4.3.1角的定义

《任意角的三角函数定义》作业设计方案（第一课时）一、作业目标：1. 理解和掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义。

2. 能够运用定义进行简单的三角函数计算。

3. 培养独立思考和合作学习的能力。

二、作业内容：1. 书面作业：a. 写出任意角α的正弦、余弦、正切函数的定义。

b. 举例说明如何运用三角函数定义进行计算。

c. 完成相应的课后练习题。

2. 实践活动：a. 分组合作，制作一个简易的直角三角形模型，并标出各边的长度。

b. 在模型上标出任意角α，并计算出角的正弦、余弦、正切值。

c. 将计算结果与三角函数定义进行对比，理解其一致性。

三、作业要求：1. 认真阅读课本，确保理解三角函数定义的含义。

2. 完成书面作业时，注意书写规范，步骤完整。

3. 实践活动时，确保小组合作有效，能够按照要求制作出模型并计算出角的三角函数值。

4. 遇到问题时，及时与小组成员讨论或向老师请教。

四、作业评价：1. 完成书面作业后，学生需自我评价，了解自己对三角函数定义的掌握情况。

2. 实践活动时，老师可根据学生的制作情况和计算结果进行评价，了解学生对定义的运用能力。

3. 学生需在下次上课时提交书面作业和实践活动报告，老师将根据完成情况给予评价和反馈。

五、作业反馈：1. 学生提交作业后，老师将进行批改，并及时将反馈信息传达给学生。

2. 对于普遍存在的问题，老师将在课堂上进行集中讲解，确保所有学生都能理解三角函数定义。

3. 对于个别学生的问题，老师将给予单独指导，帮助学生解决问题，提高学习效果。

4. 对于表现优秀的学生和个人，老师将给予表扬和奖励，以激励更多的学生积极参与学习活动。

通过本次作业，学生将进一步理解和掌握三角函数定义，能够运用定义进行简单的计算，同时培养了合作学习和独立思考的能力。

在作业评价和反馈过程中，老师将根据学生的学习情况和表现，给予针对性的指导和建议，帮助学生更好地掌握数学知识，为未来的学习和工作打下坚实的基础。

4.3.1任意角的三角函数定义（教案）（2课时）-【中职专用】高一数学同步精品课堂（高教版2021·基础模块上册）

教学目标： 1. 了解任意角三角函数正弦、余弦、正切、余切的定义及其性质；

2. 掌握任意角三角函数的解题方法； 3. 能够运用三角函数解决实际问题。 教学重点： 1. 任意角三角函数的定义及性质； 2. 任意角三角函数的解题方法。 教学难点： 1. 任意角三角函数的性质的掌握； 2. 如何正确运用三角函数解决实际问题。 教学过程： 一、引入（15分钟） 教师通过PPT展示一张百度地图上太阳岛的图片，引导学生描述图片中的景色，并在黑板上画出太阳岛码头与市区中心的连线，并引导学生思考：在此连线上的某个点，你会看到什么？为什么？这个问题引导学生思考角度的概念。

然后，教师引入三角函数，简单介绍正弦、余弦、正切、余切的概念。引导学生思考：这些函数只适用于直角三角形吗？

二、讲解（45分钟） 1. 任意角的概念及符号表示 教师通过PPT展示一个完整的圆，并引导学生思考：圆上任意一点可以表示为什么？

教师讲解任意角的概念及符号表示，即角的度数和弧度制。 2. 任意角的三角函数定义及性质 教师依次讲解正弦、余弦、正切、余切在任意角下的定义，并介绍它们的性质。

3. 任意角三角函数的运算法则 教师通过例题讲解任意角三角函数的运算法则。 三、练习（60分钟） 1. 练习题选编 教师编写一些练习题，让学生在课堂上完成。 2. 课外作业 老师布置相应的作业，让学生进行巩固及加深理解。 四、小结（15分钟） 教师通过课堂的学习，提醒学生要及时复习本课才能更好的理解三角函数定义及性质，并提醒学生在以后的学习中，要注意积累概念，熟练掌握运算法则，这样才能更好地解决实际问题。

五、作业批改及答疑（15分钟） 教师对学生的作业进行批改，对学生提出的问题进行答疑。 教学反思： 任意角三角函数的概念对学生而言比较抽象，在教学时需要多使用图像来进行说明。本课设计根据学生的实际情况，结合练习缓慢来进行教学，效果也比较不错。下课后，学生的作业完成得也不错，对此，我也很满意。

4.3 角1． 角的定义及其表示方法(1) 角的定义：有公共端点的两条射线构成的图形叫做角，这个公共端点是角的极点，这两条射线是角的两条边．角也能够看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． 当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．(2)角的表示方法：有四种表示角的方法：①用一个阿拉伯数字表示独自的一个角，在角内用一段弧标明；②用一个大写英文字母表示 独自的一个角，当角的极点处有两个或两个以上的角时，不可以用这种方法表示角；③用一个小写希腊字母表示独自的一个角；④用三个大写英文字母表示随意一个角，这时表示极点的字母必定要写在中间． 破疑点 角的理解 (1)角的大小与边的长短没关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小相关，角能够胸怀，能够比较大小，能够进行运算； (2) 假如没有特别说明，所说的角 都是指小于平角的角．【例 1－ 1】 以下说法正确的选项是( ) ．A ．平角是一条直线B ．一条射线是一个周角C ．两边成一条直线时构成的角是平角D ．一个角不是锐角就是钝角分析： 要做对这种题目， 必定要理解观点， 严格依据观点进行判断， 才能得出正确的结论．平角、周角都是特别角，固然它们与一般角形象不符，可是它们仍旧是角，它们都拥有 一个极点和两条边，只可是平角的两边成一条直线，周角的两边重合成一条射线罢了．答案： C【例 1－ 2】 如图，以点 B 为极点的角有几个？请分别把它们表示出来．剖析： .射线 BA 与 BD ， BA 与 BC ，BD 与 BC 各构成一个角．表示极点的字母一定写在中间． 当一个极点处有多个角时，不可以用一个表示极点的大写字母表示，因此不可以把∠ ABC 错写成 “∠ B ”． 书写力争规范，如用数字或希腊字母表示角时要在凑近极点处加弧线注上 阿拉伯数字或小写的希腊字母．注意：角的符号必定要用 “∠” ，而不可以用 “ ＜”．解： 以 B 为极点的角有 3 个，分别是 ∠ ABC ， ∠ ABD ， ∠DBC .2.角的胸怀与换算 (1)角度制：以度、分、秒为单位的角的胸怀制，叫做角度制． (2)角度的换算：角的胸怀单位是度、分、秒，把一个周角360 均分，每一份就是1 度的角，记作 1°；把 1 度的角 6 0 均分，每一份就是 1 分的角，记作 1′；把 1 分的角 60 均分，每一份就是 1秒的角，记作 1″ .谈要点 角度的换算(1)度、分、秒的换算是 60 进制，与时间中的时、分、秒的换算 同样；(2)角的度数的换算有两种方法：(即从高位向低位化 )，用乘法， 1°＝ 60′ ， 1′ ＝ 60″ ；① 由度化成度、分、秒的形式 ② 由度、分、秒化成度的形式 (即从低位向高位化 ),1″＝ 1 ′，1′＝ 160 60 °，用除法．度及度、分、秒之间的转变一定逐级进行转变， “越级”转变简单犯错．【例 2】 (1) 将 70.23 °用度、分、秒表示；(2)将 26°48′ 36″用度表示．剖析： (1)70.23 °际是实 70°＋ 0.23 °，这里 70°不要变，只需将0.23 °化为分，而后再把所得的分中的小数部分化为秒．将0.23 °化为分，只需用 0.23 乘以 60′即可．(2)将 26°48′ 36″用度表示，应先将 36″化成分，而后再将分化成度就能够了．将 36″1化成分，能够用60′乘以 36.解： (1)将 0.23 °化为分，可得0.23× 60′＝ 13.8′，再把 0.8′化为秒，得 0.8×60″＝48″ .因此 70.23 °＝ 70°13′ 48″ .1′× 36＝0.6 ′，48′＋ 0.6′＝ 48.6′，把 48.6′ 化成度，(2)把 36″化成分， 36″＝60148.6′＝60°× 48.6＝ 0.81 .°因此 26°48′ 36″＝ 26.81 °.3．角的比较与运算(1)角的比较：①胸怀法：用量角度量出角的度数，而后依据度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小．②叠合法：把两个角的极点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，经过另一边的地点关系比较大小．解技巧角的比较① 在胸怀法中，注意三点：对中、重合、度数；② 在叠合法中，要注意极点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．(2)角的和差：角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义关于此后读图形语言有很大帮助，代数意义是此后角的运算的基础．①几何意义：如下图，∠ AOB与∠BOC的和是∠ AOC，表示为∠ AOB＋∠ BOC＝∠AOC ；∠AOC 与∠ BOC 的差为∠ AOB，表示为∠ AOC－∠ BOC＝∠ AOB.②代数意义：如已知∠ A＝23°17′ ，∠ B＝40°50′ ，∠ A＋∠ B就能够像代数加减法一样计算，即∠ A ＋∠B ＝ 23°17′＋ 40°50′＝ 64°7′，∠ B －∠A ＝ 40°50′ － 23°17′＝17°33′ .(3)角的均分线：从一个角的极点出发，把这个角分红相等的两个角的射线，叫做这个角的均分线．如图所示，射线OC是∠AOB 的均分线，则有∠1＝∠ 2＝12∠ AOB或∠ AOB ＝2∠ 1＝ 2∠ 2.警误区角的均分线的理解角的均分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它一定知足下边的条件：① 是从角的极点引出的射线，且在角的内部；② 把已知角分红了两个角，且这两个角相等．【例 3】如下图， OE 均分∠ BOC， OD 均分∠ AOC，∠ BOE＝ 20°，∠ AOD ＝ 40°，求∠ DOE 的度数．解：∵ OE 均分∠ BOC，∴∠ BOE＝∠ COE.∵OD 均分∠ AOC，∴∠ AOD＝∠COD .又∵∠ BOE＝ 20°，∠AOD ＝40°，∴∠ COE＝ 20°，∠COD ＝40°.∴∠ DOE＝∠ COE＋∠COD ＝20°＋ 40°＝ 60°.4．余角和补角(1)余角和补角的观点：①余角：假如两个角的和等于 90°(直角 )，就说这两个角互为余角，即此中一个角是另一个角的余角；②补角：假如两个角的和等于 180°(平角 )，就说这两个角互为补角，即此中一个角是另一个角的补角．(2)性质：余角的性质：同角(等角 )的余角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠ 2＝90°，∠ 3＋∠ 4＝90°，又由于∠ 2＝∠ 4，因此∠ 1＝∠ 3.补角的性质：同角(等角 )的补角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠ 2＝ 180°，∠ 3＋∠ 4＝ 180°，又由于∠ 2＝∠ 4，因此∠ 1＝∠3.(3)方向角：在航海、航空、测绘中，常常会用到一种角，它是表示方向的角，叫做方向角．往常以正北、正南方向为基准，描绘物体运动的方向．往常要先写北或南，再写偏东仍是偏西．警误区余角和补角的理解余角和补角是成对出现的，它们之间相互依存，只好说∠ 1的余角是∠2，∠ 2 的余角是∠1，或许说∠ 1 与∠ 2 互余，而不可以说∠ 1是余角．【例 4】如下图，直线 AB ，CD，EF 订交于点 O，且∠ AOD ＝ 90°，∠ 1＝ 40°，求∠ 2 的度数．解：由于∠ AOD ＋∠ AOC＝∠ AOD＋∠ BOD ＝ 180°，因此∠AOD ＝∠ AOC＝∠ BOD ＝ 90°.又由于∠ 1＋∠FOC ＝ 180°，∠DOF ＋∠ FOC ＝180°，因此∠DOF ＝∠ 1＝ 40°.因此∠2＝∠ BOD－∠ DOF ＝ 90°－ 40°＝ 50°.5．运用整体思想解决角的计算问题整体思想就是依据问题的整体构造特点，不拘泥于部分而是从整体上去掌握解决问题的一种重要的思想方法．整体思想突出对问题的整体构造的剖析和改造，发现问题的整体构造特点，擅长用“集成”的目光，把某些式子或图形当作一个整体，掌握它们之间的关系，进行有目的的、存心识的整体办理．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有宽泛的应用，整体代入、 整体运算、整体设元、整体办理、 几何中的补形等都是整体思想方法在解数学识题中的详细运用．【例 5】如下图，∠ AOB ＝ 90°，ON 是∠ AOC 的均分线， OM 是∠ BOC 的均分线，求 ∠MON 的大小．剖析： 解决问题的要点是把 ∠ AOC － ∠BOC 视为一个整体，代入求值． 解： 由于 ON 是 ∠AOC 的均分 线， OM 是 ∠ BOC 的均分线，因此∠ NOC ＝12∠ AOC ，∠MOC ＝ 1∠ BOC ，21 1 1 1 因此 ∠MON ＝∠NOC － ∠MOC ＝∠AOC － ∠BOC ＝ (∠AOC －∠ BOC)＝ ∠AOB ＝222212× 90°＝ 45°.6.钟表问题关于钟表问题要掌握基本的数目关系，如走一大格为 30 度，一小格为 6 度，分针每分钟转 6 度，时针每分钟转 0.5 度，分针是时针转速的 12 倍等．若已知详细时间，求时针与分针的夹角， 只需知道它们相距的格数，即可求得；假如已知时针与分针的夹角求相应的时间，则一般需要成立方程求解．【例 6】上午 9 点时，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角是什么时候？解：设经 过 x 分钟，时针与分针再次成直角，则时针转过(0.5x) °，分针转过 (6x) °，如图所示，可列方程360－ 6x － (90－ 0.5x) ＝90，解得 x ＝ 32 8.即过 32 8分钟，时针与分针再一11 11次成直角．7.角中的实验操作题实验操作题是最近几年来悄悄盛行的一种新形式的考题，它集阅读、作图、实验于一体，要求在规定的条件下进行实验，在着手操作中找出答案．这种题目主假如能画出整个过程中的状态表示图，从而求出点的转动角度．【例 7】如图，把作图用的三角尺 (含 30°，60°的那块 )从较长的直角边水平状态下开始，在平面上转动一周，求 B 点转动的角度 (在点的地点没有发生变化的状况下，一律看作点没有转动 )．解： 如图，从地点 ① 到地点 ② ， B 点转过 90°；从地点 ② 到地点 ③ ，B 点转过 120°；从地点 ③ 到地点 ④ ，由题意 B 点看作不动．于是在整个过程中 B 点转过的角度为90°＋ 120°＝ 210°.8.概括猜想在角的问题中的运用概括猜想， 是一种很重要的数学思想方法， 数学史上的很多重要发现： 如哥德巴赫猜想、四色猜想、角谷猜想、费马定理等都是由数学家的研究、猜想、总结而获得的．学习数学一定不停地去研究、猜想，不停地总结规律，才会有新发现．运用 n(n － 1)这个式子，能解决好多近似的问题，能达到一石数鸟，这都是大家擅长借2鉴的结果．在学习过程中，注意不停总结、概括规律，累积经验，运用总结出来的方法、技巧解决问题．【例 8】(1) 若在 n 个人的聚会上， 每一个人都要与此外全部的人握一次手， 问握手总次数 是多少？(2)如图①中共有多少条线段？如图②中共有多少个角(指小于平角的角 )?解： (1)每一个人可与此外 (n －1) 个人握一次手， n 个人就有 (n － 1) ·n 次握手，此中各重复一次，因此，握手总次数是 n(n －1) ÷2 次．(2)图 ① 中每两个点构成一条线段 (近似于两个人握一次手 )，因此共有 n(n － 1) ÷2 条线段． 图 ② 中每条射线都与此外 (n － 1)条射线构成一个角 (近似于握手 )，因此共有 n(n － 1) ÷2个角．9.方向角的应用(1)如图， 画两条相互垂直的直线 AB 和 CD 订交于点 O ，此中一条为水平线， 则图中四条射线所指方向就是东西南北四大方向， 详细是： 向上的射线 OA 表示正北方向， 向下的射线 OB 表示正南方向，向右的射线 OD 表示正东方向，向左的射线 OC 表示正西方向．这四大方向简称为上北下南左西右东．成立这四条方向线后，关于点 P ，假如点 P 在射线 OA 上，则称点 P 在正 北方向；假如点 P 在射线 OB 上，则称点 P 在正南方向；假如点 P 在射线 OC 上，则称点 P 在正西方向；假如点 P 在射线 OD 上，则称点 P 在正东方向．(2)在图中，东西和南北方向线把平面分红四个直角，假如点 P 在正北方向线 OA 与正东( 或正西 )方向线 OD( 或 OC)的夹角内，且射线 OP 与正北方向线 OA 的夹角是 m °，则称点 P 在北偏东 (或西 )m °方向；假如点 P 在正南方向线 OB 与正东 (或正西 )方向线 OD( 或 OC) 的夹角内，且射线 OP 与正南方向线 OB 的夹角为 m °，则称点 P 在南偏东 (或西 )m °方向．比如图中的射线 OA ， OB ， OC ，OD 分别称为：北偏东 40°、北偏西 65°、南偏西 45°、南偏东 20°.关于倾向 45°的方向角，有时也能够说成东南 (北 )方向或西南 (北 )方向．如图中的 OC，除了说成南偏西 45°外，还能够说是西南方向，但不要说成南西方向．【例 9】如图， OA 的方向是北偏东15°，OB 的方向是西偏北50°.(1)若∠ AOC ＝∠ AOB，则 OC 的方向是 ________；(2)OD 是 OB 的反向延伸线，OD 的方向是 ____；(3)∠ BOD 可看作是 OB 绕点 O 逆时针方向至OD，作∠ BOD 的均分线OE，OE 的方向是____ ；(4)在 (1) 、 (2) 、 (3)的条件下，∠ COE ＝ ____.分析： (1)∵ OB 的方向是西偏北50°，∴∠ 1＝ 90°－ 50°＝ 40°，∴∠ AOB＝ 40°＋ 15°＝ 55°∵∠ AOC＝∠ AOB，∴∠ AOC＝ 55°，∴∠ FOC＝∠ AOF＋∠ AOC＝ 15°＋ 55°＝ 70°，∴ OC 的方向是北偏东70°.(2)∵ OB 的方向是西偏北50°，∴∠ 1＝ 40°，∴∠ DOH ＝ 40°，∴ OD 的方向是南偏东40°.(3)∵ OE 是∠ BOD 的均分线，∴∠ DOE＝ 90°.∵∠ DOH ＝ 40°，∴∠ HOE＝ 50°，∴ OE 的方向是南偏西50°.(4)∵∠ AOF ＝ 15°，∠ AOC＝ 55°，∴∠ COG＝ 90°－∠AOF －∠ AOC＝ 90°－15°－ 55°＝ 20°.∵∠ EOH＝ 50°，∠HOG ＝ 90°，∴∠ COE＝∠ EOH＋∠HOG ＋∠ COG＝ 50°＋ 90°＋ 20°＝160°.答案： (1)北偏东 70°(2)南偏东 40°(3)南偏西 50°(4)160 °。