7 角的定义及表示

4.3 角1．角的定义及其表示方法(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．(2)角的表示方法：有四种表示角的方法：①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注； ②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间． 破疑点 角的理解 (1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角．【例1－1】 下列说法正确的是( )．A ．平角是一条直线B ．一条射线是一个周角C ．两边成一条直线时组成的角是平角D ．一个角不是锐角就是钝角解析：要做对这类题目，一定要理解概念，严格按照概念进行判断，才能得出正确的结论．平角、周角都是特殊角，虽然它们与一般角形象不符，但是它们仍然是角，它们都具有一个顶点和两条边，只不过平角的两边成一条直线，周角的两边重合成一条射线罢了． 答案：C【例1－2】 如图，以点B 为顶点的角有几个？请分别把它们表示出来．分析：.射线BA 与BD ，BA 与BC ，BD 与BC 各组成一个角．表示顶点的字母必须写在中间．当一个顶点处有多个角时，不能用一个表示顶点的大写字母表示，所以不能把∠ABC 错写成“∠B ”．书写力求规范，如用数字或希腊字母表示角时要在靠近顶点处加弧线注上阿拉伯数字或小写的希腊字母．注意：角的符号一定要用“∠”，而不能用“＜”． 解：以B 为顶点的角有3个，分别是∠ABC ，∠ABD ，∠DBC .2.角的度量与换算(1)角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．(2)角度的换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.谈重点 角度的换算 (1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；(2)角的度数的换算有两种方法：①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″；②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝⎝⎛⎭⎫160′，1′＝⎝⎛⎭⎫160°，用除法．度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．【例2】 (1)将70.23°用度、分、秒表示；(2)将26°48′36″用度表示．分析：(1)70.23°实际是70°＋0.23°，这里70°不要变，只要将0.23°化为分，然后再把所得的分中的小数部分化为秒．将0.23°化为分，只要用0.23乘以60′即可．(2)将26°48′36″用度表示，应先将36″化成分，然后再将分化成度就可以了．将36″化成分，可以用⎝⎛⎭⎫160′乘以36.解：(1)将0.23°化为分，可得0.23×60′＝13.8′，再把0.8′化为秒，得0.8×60″＝48″.所以70.23°＝70°13′48″.(2)把36″化成分，36″＝⎝⎛⎭⎫160′×36＝0.6′，48′＋0.6′＝48.6′，把48.6′化成度，48.6′＝⎝⎛⎭⎫160°×48.6＝0.81°. 所以26°48′36″＝26.81°.3．角的比较与运算(1)角的比较： ①度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小． ②叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小．解技巧 角的比较 ①在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；②在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．(2)角的和差：角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．①几何意义：如图所示，∠AOB 与∠BOC 的和是∠AOC ，表示为∠AOB ＋∠BOC ＝∠AOC ；∠AOC 与∠BOC 的差为∠AOB ，表示为∠AOC －∠BOC ＝∠AOB .②代数意义：如已知∠A ＝23°17′，∠B ＝40°50′，∠A ＋∠B 就可以像代数加减法一样计算，即∠A ＋∠B ＝23°17′＋40°50′＝64°7′，∠B －∠A ＝40°50′－23°17′＝17°33′.(3)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，射线OC 是∠AOB 的平分线，则有∠1＝∠2＝12∠AOB 或∠AOB ＝2∠1＝2∠2.警误区 角的平分线的理解 角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；②把已知角分成了两个角，且这两个角相等．【例3】 如图所示，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∠BOE ＝20°，∠AOD ＝40°，求∠DOE 的度数．解：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE.∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD.又∵∠BOE＝20°，∠AOD＝40°，∴∠COE＝20°，∠COD＝40°.∴∠DOE＝∠COE＋∠COD＝20°＋40°＝60°.4．余角和补角(1)余角和补角的概念：①余角：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；②补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．(2)性质：余角的性质：同角(等角)的余角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.补角的性质：同角(等角)的补角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.(3)方位角：在航海、航空、测绘中，经常会用到一种角，它是表示方向的角，叫做方位角．通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．通常要先写北或南，再写偏东还是偏西．警误区余角和补角的理解余角和补角是成对出现的，它们之间互相依存，只能说∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠1，或者说∠1与∠2互余，而不能说∠1是余角．【例4】如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD＝90°，∠1＝40°，求∠2的度数．解：因为∠AOD＋∠AOC＝∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°.又因为∠1＋∠FOC＝180°，∠DOF＋∠FOC＝180°，所以∠DOF＝∠1＝40°.所以∠2＝∠BOD－∠DOF＝90°－40°＝50°.5．运用整体思想解决角的计算问题整体思想就是根据问题的整体结构特征，不拘泥于部分而是从整体上去把握解决问题的一种重要的思想方法．整体思想突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．【例5】如图所示，∠AOB ＝90°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，求∠MON 的大小．分析：解决问题的关键是把∠AOC －∠BOC 视为一个整体，代入求值．解：因为ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，所以∠NOC ＝12∠AOC ，∠MOC ＝12∠BOC ， 所以∠MON ＝∠NOC －∠MOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(∠AOC －∠BOC )＝12∠AOB ＝12×90°＝45°. 6.钟表问题对于钟表问题要掌握基本的数量关系，如走一大格为30度，一小格为6度，分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，分针是时针转速的12倍等．若已知具体时间，求时针与分针的夹角，只需知道它们相距的格数，便可求得；若是已知时针与分针的夹角求相应的时间，则一般需要建立方程求解．【例6】上午9点时，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角是什么时候？解：设经过x 分钟，时针与分针再次成直角，则时针转过(0.5x )°，分针转过(6x )°，如图所示，可列方程360－6x －(90－0.5x )＝90，解得x ＝32811.即过32811分钟，时针与分针再一次成直角．7.角中的实验操作题实验操作题是近年来悄然兴起的一种新形式的考题，它集阅读、作图、实验于一体，要求在规定的条件下进行实验，在动手操作中找出答案．这类题目主要是能画出整个过程中的状态示意图，进而求出点的转动角度．【例7】如图，把作图用的三角尺(含30°，60°的那块)从较长的直角边水平状态下开始，在平面上转动一周，求B 点转动的角度(在点的位置没有发生变化的情况下，一律看作点没有转动)．解：如图，从位置①到位置②，B 点转过90°；从位置②到位置③，B 点转过120°；从位置③到位置④，由题意B点看作不动．于是在整个过程中B点转过的角度为90°＋120°＝210°.8.归纳猜想在角的问题中的运用归纳猜想，是一种很重要的数学思想方法，数学史上的许多重要发现：如哥德巴赫猜想、四色猜想、角谷猜想、费马定理等都是由数学家的探究、猜想、总结而得到的．学习数学必须不断地去探索、猜想，不断地总结规律，才会有新发现．运用n(n－1)2这个式子，能解决很多类似的问题，能达到一石数鸟，这都是大家善于借鉴的结果．在学习过程中，注意不断总结、归纳规律，积累经验，运用总结出来的方法、技巧解决问题．【例8】(1)若在n个人的聚会上，每个人都要与另外所有的人握一次手，问握手总次数是多少？(2)如图①中共有多少条线段？如图②中共有多少个角(指小于平角的角)?解：(1)每个人可与另外(n－1)个人握一次手，n个人就有(n－1)·n次握手，其中各重复一次，所以，握手总次数是n(n－1)÷2次．(2)图①中每两个点构成一条线段(类似于两个人握一次手)，所以共有n(n－1)÷2条线段．图②中每条射线都与另外(n－1)条射线构成一个角(类似于握手)，所以共有n(n－1)÷2个角．9.方位角的应用(1)如图，画两条互相垂直的直线AB和CD相交于点O，其中一条为水平线，则图中四条射线所指方向就是东西南北四大方向，具体是：向上的射线OA表示正北方向，向下的射线OB表示正南方向，向右的射线OD表示正东方向，向左的射线OC表示正西方向．这四大方向简称为上北下南左西右东．建立这四条方向线后，对于点P，如果点P在射线OA上，则称点P在正北方向；如果点P在射线OB上，则称点P在正南方向；如果点P在射线OC上，则称点P在正西方向；如果点P在射线OD上，则称点P在正东方向．(2)在图中，东西和南北方向线把平面分成四个直角，如果点P在正北方向线OA与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正北方向线OA的夹角是m°，则称点P在北偏东(或西)m°方向；如果点P在正南方向线OB与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正南方向线OB的夹角为m°，则称点P在南偏东(或西)m°方向．例如图中的射线OA，OB，OC，OD分别称为：北偏东40°、北偏西65°、南偏西45°、南偏东20°.对于偏向45°的方位角，有时也可以说成东南(北)方向或西南(北)方向．如图中的OC，除了说成南偏西45°外，还可以说是西南方向，但不要说成南西方向．【例9】如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50°.(1)若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是________；(2)OD是OB的反向延长线，OD的方向是____；(3)∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是____；(4)在(1)、(2)、(3)的条件下，∠COE＝____.解析：(1)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝90°－50°＝40°，∴∠AOB＝40°＋15°＝55°∵∠AOC＝∠AOB，∴∠AOC＝55°，∴∠FOC＝∠AOF＋∠AOC＝15°＋55°＝70°，∴OC的方向是北偏东70°.(2)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝40°，∴∠DOH＝40°，∴OD的方向是南偏东40°.(3)∵OE是∠BOD的平分线，∴∠DOE＝90°.∵∠DOH＝40°，∴∠HOE＝50°，∴OE的方向是南偏西50°.(4)∵∠AOF＝15°，∠AOC＝55°，∴∠COG＝90°－∠AOF－∠AOC＝90°－15°－55°＝20°.∵∠EOH＝50°，∠HOG＝90°，∴∠COE＝∠EOH＋∠HOG＋∠COG＝50°＋90°＋20°＝160°.答案：(1)北偏东70°(2)南偏东40°(3)南偏西50°(4)160°。

人教版数学七年级上册3.1《角》教学设计1一. 教材分析《角》是人教版数学七年级上册第三章第一节的内容，本节主要介绍了角的定义、分类和表示方法。

通过本节的学习，使学生能够理解角的概念，掌握角的分类和表示方法，为后续学习几何图形打下基础。

二. 学情分析七年级的学生已经学习了实数、代数等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

但他们对角的概念和表示方法可能较为陌生，因此，在教学过程中，需要注重引导学生从实际情境中发现角，感知角的概念，并通过大量的实例使学生理解和掌握角的表示方法。

三. 教学目标1.了解角的概念，能正确地认识和表示各种角。

2.掌握角的分类，能对给定的角进行分类。

3.能运用角的概念解决实际问题，培养学生的空间想象能力。

四. 教学重难点1.重点：角的概念、分类和表示方法。

2.难点：对角的概念和表示方法的理解和运用。

五. 教学方法采用情境教学法、实例教学法和小组合作学习法。

通过实际情境引入角的概念，引导学生观察、思考和交流，培养学生的问题解决能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作角的概念、分类和表示方法的课件。

2.教学素材：准备一些实际情境的图片和几何图形。

3.小组合作学习材料：分发给每个小组，用于小组讨论和展示。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些实际情境的图片，如钟表、剪刀、自行车等，引导学生观察并提问：“这些图片中有哪些形状是角？”让学生从实际情境中发现角，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）介绍角的概念，讲解角的分类和表示方法。

通过课件和实物展示，使学生直观地理解和掌握角的概念。

同时，引导学生进行思考和交流，培养学生的问题解决能力。

3.操练（10分钟）让学生分组进行实践活动，每组分发一些几何图形，要求学生判断和表示图形中的角。

教师巡回指导，解答学生的疑问，并给予鼓励和评价。

4.巩固（5分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。

题目包括判断题、选择题和填空题，主要考察学生对角的概念和表示方法的掌握程度。

苏教版七年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习角（基础）知识讲解【学习目标】1．掌握角的概念及角的表示方法，并能进行角度的换算及运算；2. 掌握借助三角尺或量角器画角的方法，并熟悉角大小的比较方法；3. 掌握角的和、差、倍、分关系，并会进行有关计算；5. 掌握余角、补角及对顶角的概念及性质，会用其性质进行有关计算；6．了解方位角、钟表上有关角，并能解决一些实际问题．【要点梳理】要点一、角的概念及表示1．角的定义：（1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1 图2（2）定义二：角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边．要点诠释：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关．（2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：在表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，再注上相应数字或字母．3.角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．要点二、角的比较与运算1.角度制及其换算角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的160为1分，记作“1′”，1′的160为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．要点诠释：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位．2.角的比较：角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．3.角的和、差关系如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1＋∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．(2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．4.角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC ＝12∠AOB．要点诠释：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样．要点三、余角、补角、对顶角1.余角与补角（1）定义：一般地，如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中一个角叫做另一个角的余角．类似地，如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中一个角叫做另一个角的补角．（2）性质：同角（等角）的余角相等．同角（等角）的补角相等．要点诠释：(1)互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关．(2)一个锐角的补角比它的余角大90°．2.对顶角（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．要点诠释：(1)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.(2)只有两条直线相交时，才能产生对顶角．两条直线相交时，除了产生对顶角外，还会产生邻补角，邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线. （2）性质：对顶角相等．要点四、方位角在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．要点诠释：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示；（2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”；（3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向；（4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点．要点五、钟表上有关角问题钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题．【典型例题】类型一、角的概念及表示1.下列语句正确的是 ( )A．两条直线相交，组成的图形叫做角．B．两条具有公共端点的线段组成的图形叫做角．C．两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角．D．过同一点的两条射线组成的图形叫做角．【答案】C【解析】根据角的定义判断【总结升华】角不能仅仅看作是有公共端点的两条射线，角的两种描述中都隐含了组成角的一个重要元素，即两条射线间的相对位置关系，这是角与“有公共端点的两条射线”的重要区别．举一反三：【变式】写出图中(1)能用一个字母表示的角；(2)以B为顶点的角； (3)图中共有几个角(小于180°).【答案】解：(1)能用一个字母表示的角∠A、∠C．(2)以B为顶点的角∠ABE、∠ABC、∠CBE．(3)图中共有7个角．类型二、角度制的换算2. 把25.72°用度、分、秒表示； (2)把45°12′30″化成度（精确到百分位）．【思路点拨】第(1)题中25.72°中含有两部分25°和0.72°，只要把0.72°化成分、秒即可．第(2)题中，45°12′30″含有三部分45°，12′和30″，其中45°已经是度，只要把12′和30″化成度即可．【答案与解析】解：(1)0.72°＝0.72×60′＝43.2′，0.2′＝0.2×60″＝12″，所以25.72°＝25°43′12″．(2)130300.560'⎛⎫'''=⨯=⎪⎝⎭，112.512.50.2160⎛⎫'=⨯ ⎪⎝⎭°≈°所以45°12′30″≈45.21°．【总结升华】无论由高级单位向低级化还是由低级单位向高级化，都必须逐级进行，“越级”化单位容易出错．举一反三：【变式】 (1)把26.29°转化为度、分、秒表示的形式；(2)把33°24′36″转化成度表示的形式．【答案】 (1)26.29°＝26°＋0.29°＝26°＋0.29×60′＝26°＋17.4′＝26°＋17′＋0.4×60″＝26°17′＋24″＝26°17′24″(2)33°24′36″＝33°＋24′＋36×160'⎛⎫⎪⎝⎭＝33°＋24′＋0.6′＝33°＋24.6′＝33°＋24.6×160⎛⎫⎪⎝⎭°＝33.41°【总结升华】在角度的和、差运算中应先统一单位，都化成度或分、秒表示，然后再进行计算.类型三、角的比较与运算3.不用量角器，比较图1和图2中角的大小．(用“＞”连接)【思路点拨】图1中两角∠α、∠β均为锐角，因此，在不能测量的情形下，我们可以将图中的∠α向∠β平移，让∠α与∠β始边重合，观察终边的位置来比较角的大小．图2中的三个角按角的分类，∠1为锐角，∠2为直角，∠3为钝角，因此按照各自的范围就可以将它们的大小比较出来．【答案与解析】解：(1)如图所示，将∠α平移使∠α的始边与∠β的始边重合，发现∠α落在∠β内部，因此∠β＞∠α．(2)由图可知∠1是锐角，∠1＜90°，∠2是直角，即∠2＝90°，∠3是钝角，即90°<∠3＜180°，因此∠3＞∠2＞∠1．【总结升华】本例给出的两题是在不用量角器测量角的情况下比较角的大小，一种方法是叠合比较法，另外一种方法则是根据角的分类，由图形观察角的不同分类，按照常见的锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角来比较大小．举一反三：【变式】已知∠AOB(如图所示)，画一个角等于这个角．【答案】作法：如图，(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；(2)画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧l，交O′A′于点C′；(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，交弧l于点D′；(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．4. 如图所示，已知OC平分∠BOD，且∠BOC＝20°，OB是∠AOD的平分线，求∠AOD的度数．【答案与解析】解：因为OC平分∠BOD，且∠BOC＝20°，所以∠BOD＝2∠BOC=2×20°＝40°．又因为OB是∠AOD的平分线，所以∠AOD＝2∠BOD＝2×40°＝80°．【总结升华】应用角的平分线的定义时根据两点：若OB是∠AOC的平分线，则①∠AOB＝∠BOC＝12∠AOC；②∠AOC＝2∠AOB＝2∠BOC，在解题时要学会灵活应用．【角 397364 角的有关计算例3】举一反三：【变式】已知：如图，OM是∠AOB的平分线，ON是∠BOC的平分线，∠AOC=80︒，求：∠MON.【答案】解：∵OM平分∠AOB，ON平分∠COB，∴∠MOB=12∠AOB，∠BON=12∠BOC.(角平分线的定义)∴∠MON=∠MOB＋∠BON=12∠AOB＋12∠BOC=12(∠AOB＋∠BOC)=12∠AOC=12×80︒=40︒ .即∠MON=40︒.类型四、余角、补角、对顶角5.（2016春•曹县校级月考）一个角的补角比这个角的余角的2倍还多40°，求这个角的度数．【思路点拨】这类题目要先设出这个角的度数．设这个角为x°，分别写出它的余角和补角，根据题意写出等量关系，解之即可得到这个角的度数．【答案与解析】解：设这个角为x°，则其余角为（90﹣x）°，补角为（180﹣x）°，依题意有180﹣x=2（90﹣x）+40，解得x=40．答：这个角的度数是40°．【总结升华】本题考查了余角和补角，是基础题，列出方程是解题的关键．举一反三：【变式】（2015•崇左）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（）A． B．C．D．【答案】C．解：四个选项中，只有选项C满足∠1+∠2=90°，即选项C中，∠1与∠2互为余角．类型五、方位角及钟表上有关角问题6.（2015•浦东新区三模）已知小岛A位于基地O的东南方向，货船B位于基地O的北偏东50°方向，那么∠AOB的度数等于．【答案】85°．【解析】解：如图：∵∠2=50°，∴∠3=40°，∵∠1=45°，∴∠AOB=∠1+∠3=45°+40°=85°，故答案为：85°．【总结升华】本题主要考查了方位角的概念，根据方位角的概念，画图正确表示出A，B的方位，注意东南方向是45度是解答此题的关键．7.计算： 4时15分时针与分针的夹角.【答案与解析】解法一：如下图，设4时15分时针与分针的夹角为∠α(注：夹角指小于180°的角)，时针转过的角度为：30°×4＋0.5°×15，分针转过的角度为：6°×15，所以∠α＝30°×4＋0.5°×15-6°×15＝37.5°．解法二：如上图，∠AOC＝30°×1＝30°，∠BOC＝0.5°×15＝7.5°．所以∠AOB＝37.5°．即4时15分时针与分针的夹角为37.5°．【总结升华】求钟表中时针与分针的夹角有两种方法：第一种方法利用时针与分针的每分钟转速求解，比如解法一；第二种方法直接根据图形求夹角，如解法二．。

角的定义角是由两条有公共端点的射线组成的图形，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。

角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边。

01角的大小与角的两条边的长短无关，只与角的开口大小有关。

02角的大小可以用度、分、秒来表示，1度等于60分，1分等于60秒。

03角具有方向性，即角有正负之分，通常规定逆时针旋转形成的角为正角，顺时针旋转形成的角为负角。

角的基本性质角的大小比较可以使用量角器来测量角的大小，并进行比较。

对于两个角，如果它们的度数相等，则这两个角相等；如果它们的度数不相等，则这两个角不相等。

对于两个相等的角，如果其中一个角比另一个角大，则这个角叫做另一个角的余角。

01锐角小于90°的角，如30°、60°等。

02直角等于90°的角，记作Rt∠。

03钝角大于90°且小于180°的角，如120°、150°等。

锐角、直角、钝角0102等于180°的角，记作∠180°或平角。

等于360°的角，记作∠360°或周角。

平角周角平角、周角03是锐角的一种，也是等腰直角三角形的一个锐角。

45°角是锐角的一种，也是等边三角形的一个内角。

60°角即直角，是特殊角中唯一的一个直角，具有独特的性质和应用。

90°角特殊角：45°、60°、90°角度的基本单位，一个圆被等分为360度。

度1度等于60分，用于更精确的角度测量。

分1分等于60秒，用于高精度角度计算。

秒角度的度量单位当两个角共有一个端点和两条相交的直线时，它们的角度相加。

角度的加法角度的减法角度的乘法与除法用于计算两个角之间的差值。

通过乘以或除以一个常数来增大或减小角度。

030201角度的计算方法两个或多个角相加得到的总角度。

第七单元《认识角》教材分析引言在数学的学习中，角是一个基本的概念和重要的研究对象。

掌握角的相关知识不仅能够较好地理解平面几何，还能将这些知识运用到实际生活中。

在初中数学中，第七单元《认识角》是角的入门教材。

本文将对该教材进行分析，并提出一些改进的建议。

教材概述第七单元《认识角》是初中数学七年级上册的一个章节，主要内容涵盖了角的定义、角的大小以及角的基本性质等知识点。

教材中主要采用了讲解和例题的方式进行教学，并逐步引入练习题和思考题等较为深入的问题。

本章中的知识点包括：1.角的定义及表示法：点、线段或射线组成的图形称为角，角的顶点为所在图形的公共端点；2.角的大小及度量：角的大小用角度来度量，以直角为标准基准角，一周对应360度；3.角的基本性质：余角、补角、同位角等性质；4.角的平分线：定义、性质及运用；5.相邻角和共线角：定义、性质及运用。

教材分析1. 教材优点1.形象生动：教材中通过精心设计的插图和例题，让学生更好地理解和记忆角的定义和表示方法等相关知识；2.循序渐进：教材中的各个知识点之间进行了合理的衔接，让学生能够掌握角的基本概念和性质，进而解决较为复杂的问题；3.突出实践应用：教材中通过大量的例题和习题，让学生将所学知识应用到现实生活中，从而更好地理解和掌握所学的内容。

教材的这些优点，从学生的角度来看，相信也是吸引他们学习的重要原因。

2. 教材不足1.缺乏足够的思考题和拓展知识：虽然教材中引入了一些思考题和拓展题，但是数量不足，且难度较为平缓，限制了学生的思考能力和进一步提升；2.例题过于简单：教材中的例题数量较多，但是大多数例题难度较低，轻易让学生掌握，难以体现其巨大潜力。

改进建议1. 增加思考题和拓展题的数量和质量在教材中，可以对一些难度较高或者涉及实际应用较多的问题，引入更多的思考题和拓展题。

而这些题目的难度和复杂性，应该适当地提高，从而充分展示数学的魅力和体现学科内在的逻辑性和内涵。