角的定义及其表示方法

角的基本概念与分类（知识点总结）角是几何学中常见的概念，它是由两条射线的公共端点所组成的图形。

在学习角的过程中，我们需要了解角的基本概念以及不同的分类方法。

本文将对角的基本概念与分类进行总结。

一、基本概念1. 顶点：角的射线的公共端点称为角的顶点。

2. 边：角的两条射线称为角的边。

3. 初始边：以角的顶点为起点的那条射线称为角的初始边。

4. 终边：以角的顶点为起点，与初始边共线的射线称为角的终边。

二、角的分类1. 零角：角度为0度的角称为零角。

零角的两条射线重合。

2. 直角：角度为90度的角称为直角。

直角的两条射线互相垂直。

3. 钝角：角度大于90度且小于180度的角称为钝角。

钝角的两条射线在同一直线上但不重合。

4. 锐角：角度小于90度的角称为锐角。

锐角的两条射线在同一直线上但不重合。

三、角的度量角的度量一般用度（°）作为单位。

一个完整的圆周有360度。

例如，直角的度数为90度，直角的度数为180度。

我们可以用量角器或直尺等工具对角的度数进行测量。

四、角的表示方法角可以用字母、数字或符号来表示。

例如，用大写字母A表示一个角，用小写字母a表示一条边，用两个小写字母ab表示两条边。

五、角的相等关系1. 角相等：如果两个角的度数相等，则它们相等。

例如，如果角A的度数等于角B的度数，可以表示为∠A = ∠B。

2. 互补角：如果两个角的度数之和等于90度，则它们互补。

例如，如果∠A + ∠B = 90度，可以表示为∠A ⊥∠B。

3. 余角：如果两个角的度数之和等于180度，则它们互为余角。

例如，如果∠A + ∠B = 180度，可以表示为∠A ∪∠B。

六、角的补角与余角1. 补角：两个角的度数之和为90度时，它们互为补角。

例如，如果∠A + ∠B = 90度，则∠A和∠B互为补角。

2. 余角：两个角的度数之和为180度时，它们互为余角。

例如，如果∠A + ∠B = 180度，则∠A和∠B互为余角。

七年级下册角的表示知识点角是我们初中数学的重要内容之一，理解角的概念及表示方法是我们学好数学的基础。

在七年级数学下册中，角的表示是重要的知识点之一。

本文将从角度、角的表示方法、角的性质三个方面详细介绍七年级下册角的表示知识点。

一、角度什么是角度？角度是指由角平分线将一个平面分成两个不同射线组成的一对有序射线，两组射线的端点构成角的两个端点。

在角度表示中，角度用大写字母表示，比如A、B、C等，两条射线之间的角用小写字母表示，如∠ABC。

店名“∠”表示角。

二、角的表示方法1、度数制我们通常使用“度”来表示角的大小，一定角所对的圆心角是360度，也就是一个圆的周长。

因此，一个直角所对的圆心角是90度，一个钝角所对的圆心角是大于180度，一个锐角所对的圆心角是小于180度的。

通过度数表示角的大小比较直观，方便计算。

2、弧度制弧度制是角度制的另一种表示方法，我们通过将一个圆的弧长分成等于圆半径的长度(弧度)来表示角度大小。

一个完整的圆对应的弧度是2π，所以一个弧度对应的角度是180/π度，约等于57.3度。

弧度制的表示更加精确，常用于高等数学学科。

三、角的性质1、角的平分线性质一个角的平分线将这个角平分成两个相等的角，反之，如果一个角被平分成两个相等的角，那么这条平分线是这个角的平分线。

2、垂直角和邻角性质两个角互为垂直角当且仅当它们的度数之和为90度。

两个角互为邻角当且仅当它们有一个公共的端点和一个公共的边。

3、同位角性质如果两条平行线被一条横线所切，那么同旁两个内角、同旁两个外角和对顶角互相等价。

总结理解七年级下册角的表示知识点是我们学好数学的基础，需要我们掌握角度、角的表示方法、角的性质等关键概念，这不仅有助于我们对角的基本认识，更有助于我们理解相关问题的解法和公式的应用。

希望本文内容能够为各位同学带来帮助。

4.3 角1．角的定义及其表示方法(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．(2)角的表示方法：有四种表示角的方法：①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注； ②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间． 破疑点 角的理解 (1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角．【例1－1】 下列说法正确的是( )．A ．平角是一条直线B ．一条射线是一个周角C ．两边成一条直线时组成的角是平角D ．一个角不是锐角就是钝角解析：要做对这类题目，一定要理解概念，严格按照概念进行判断，才能得出正确的结论．平角、周角都是特殊角，虽然它们与一般角形象不符，但是它们仍然是角，它们都具有一个顶点和两条边，只不过平角的两边成一条直线，周角的两边重合成一条射线罢了． 答案：C【例1－2】 如图，以点B 为顶点的角有几个？请分别把它们表示出来．分析：.射线BA 与BD ，BA 与BC ，BD 与BC 各组成一个角．表示顶点的字母必须写在中间．当一个顶点处有多个角时，不能用一个表示顶点的大写字母表示，所以不能把∠ABC 错写成“∠B ”．书写力求规范，如用数字或希腊字母表示角时要在靠近顶点处加弧线注上阿拉伯数字或小写的希腊字母．注意：角的符号一定要用“∠”，而不能用“＜”． 解：以B 为顶点的角有3个，分别是∠ABC ，∠ABD ，∠DBC .2.角的度量与换算(1)角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．(2)角度的换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.谈重点 角度的换算 (1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；(2)角的度数的换算有两种方法：①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″；②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝⎝⎛⎭⎫160′，1′＝⎝⎛⎭⎫160°，用除法．度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．【例2】 (1)将70.23°用度、分、秒表示；(2)将26°48′36″用度表示．分析：(1)70.23°实际是70°＋0.23°，这里70°不要变，只要将0.23°化为分，然后再把所得的分中的小数部分化为秒．将0.23°化为分，只要用0.23乘以60′即可．(2)将26°48′36″用度表示，应先将36″化成分，然后再将分化成度就可以了．将36″化成分，可以用⎝⎛⎭⎫160′乘以36.解：(1)将0.23°化为分，可得0.23×60′＝13.8′，再把0.8′化为秒，得0.8×60″＝48″.所以70.23°＝70°13′48″.(2)把36″化成分，36″＝⎝⎛⎭⎫160′×36＝0.6′，48′＋0.6′＝48.6′，把48.6′化成度，48.6′＝⎝⎛⎭⎫160°×48.6＝0.81°. 所以26°48′36″＝26.81°.3．角的比较与运算(1)角的比较： ①度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小． ②叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小．解技巧 角的比较 ①在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；②在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．(2)角的和差：角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．①几何意义：如图所示，∠AOB 与∠BOC 的和是∠AOC ，表示为∠AOB ＋∠BOC ＝∠AOC ；∠AOC 与∠BOC 的差为∠AOB ，表示为∠AOC －∠BOC ＝∠AOB .②代数意义：如已知∠A ＝23°17′，∠B ＝40°50′，∠A ＋∠B 就可以像代数加减法一样计算，即∠A ＋∠B ＝23°17′＋40°50′＝64°7′，∠B －∠A ＝40°50′－23°17′＝17°33′.(3)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，射线OC 是∠AOB 的平分线，则有∠1＝∠2＝12∠AOB 或∠AOB ＝2∠1＝2∠2.警误区 角的平分线的理解 角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；②把已知角分成了两个角，且这两个角相等．【例3】 如图所示，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∠BOE ＝20°，∠AOD ＝40°，求∠DOE 的度数．解：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE.∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD.又∵∠BOE＝20°，∠AOD＝40°，∴∠COE＝20°，∠COD＝40°.∴∠DOE＝∠COE＋∠COD＝20°＋40°＝60°.4．余角和补角(1)余角和补角的概念：①余角：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；②补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．(2)性质：余角的性质：同角(等角)的余角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.补角的性质：同角(等角)的补角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.(3)方位角：在航海、航空、测绘中，经常会用到一种角，它是表示方向的角，叫做方位角．通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．通常要先写北或南，再写偏东还是偏西．警误区余角和补角的理解余角和补角是成对出现的，它们之间互相依存，只能说∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠1，或者说∠1与∠2互余，而不能说∠1是余角．【例4】如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD＝90°，∠1＝40°，求∠2的度数．解：因为∠AOD＋∠AOC＝∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°.又因为∠1＋∠FOC＝180°，∠DOF＋∠FOC＝180°，所以∠DOF＝∠1＝40°.所以∠2＝∠BOD－∠DOF＝90°－40°＝50°.5．运用整体思想解决角的计算问题整体思想就是根据问题的整体结构特征，不拘泥于部分而是从整体上去把握解决问题的一种重要的思想方法．整体思想突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．【例5】如图所示，∠AOB ＝90°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，求∠MON 的大小．分析：解决问题的关键是把∠AOC －∠BOC 视为一个整体，代入求值．解：因为ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，所以∠NOC ＝12∠AOC ，∠MOC ＝12∠BOC ， 所以∠MON ＝∠NOC －∠MOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(∠AOC －∠BOC )＝12∠AOB ＝12×90°＝45°. 6.钟表问题对于钟表问题要掌握基本的数量关系，如走一大格为30度，一小格为6度，分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，分针是时针转速的12倍等．若已知具体时间，求时针与分针的夹角，只需知道它们相距的格数，便可求得；若是已知时针与分针的夹角求相应的时间，则一般需要建立方程求解．【例6】上午9点时，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角是什么时候？解：设经过x 分钟，时针与分针再次成直角，则时针转过(0.5x )°，分针转过(6x )°，如图所示，可列方程360－6x －(90－0.5x )＝90，解得x ＝32811.即过32811分钟，时针与分针再一次成直角．7.角中的实验操作题实验操作题是近年来悄然兴起的一种新形式的考题，它集阅读、作图、实验于一体，要求在规定的条件下进行实验，在动手操作中找出答案．这类题目主要是能画出整个过程中的状态示意图，进而求出点的转动角度．【例7】如图，把作图用的三角尺(含30°，60°的那块)从较长的直角边水平状态下开始，在平面上转动一周，求B 点转动的角度(在点的位置没有发生变化的情况下，一律看作点没有转动)．解：如图，从位置①到位置②，B 点转过90°；从位置②到位置③，B 点转过120°；从位置③到位置④，由题意B点看作不动．于是在整个过程中B点转过的角度为90°＋120°＝210°.8.归纳猜想在角的问题中的运用归纳猜想，是一种很重要的数学思想方法，数学史上的许多重要发现：如哥德巴赫猜想、四色猜想、角谷猜想、费马定理等都是由数学家的探究、猜想、总结而得到的．学习数学必须不断地去探索、猜想，不断地总结规律，才会有新发现．运用n(n－1)2这个式子，能解决很多类似的问题，能达到一石数鸟，这都是大家善于借鉴的结果．在学习过程中，注意不断总结、归纳规律，积累经验，运用总结出来的方法、技巧解决问题．【例8】(1)若在n个人的聚会上，每个人都要与另外所有的人握一次手，问握手总次数是多少？(2)如图①中共有多少条线段？如图②中共有多少个角(指小于平角的角)?解：(1)每个人可与另外(n－1)个人握一次手，n个人就有(n－1)·n次握手，其中各重复一次，所以，握手总次数是n(n－1)÷2次．(2)图①中每两个点构成一条线段(类似于两个人握一次手)，所以共有n(n－1)÷2条线段．图②中每条射线都与另外(n－1)条射线构成一个角(类似于握手)，所以共有n(n－1)÷2个角．9.方位角的应用(1)如图，画两条互相垂直的直线AB和CD相交于点O，其中一条为水平线，则图中四条射线所指方向就是东西南北四大方向，具体是：向上的射线OA表示正北方向，向下的射线OB表示正南方向，向右的射线OD表示正东方向，向左的射线OC表示正西方向．这四大方向简称为上北下南左西右东．建立这四条方向线后，对于点P，如果点P在射线OA上，则称点P在正北方向；如果点P在射线OB上，则称点P在正南方向；如果点P在射线OC上，则称点P在正西方向；如果点P在射线OD上，则称点P在正东方向．(2)在图中，东西和南北方向线把平面分成四个直角，如果点P在正北方向线OA与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正北方向线OA的夹角是m°，则称点P在北偏东(或西)m°方向；如果点P在正南方向线OB与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正南方向线OB的夹角为m°，则称点P在南偏东(或西)m°方向．例如图中的射线OA，OB，OC，OD分别称为：北偏东40°、北偏西65°、南偏西45°、南偏东20°.对于偏向45°的方位角，有时也可以说成东南(北)方向或西南(北)方向．如图中的OC，除了说成南偏西45°外，还可以说是西南方向，但不要说成南西方向．【例9】如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50°.(1)若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是________；(2)OD是OB的反向延长线，OD的方向是____；(3)∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是____；(4)在(1)、(2)、(3)的条件下，∠COE＝____.解析：(1)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝90°－50°＝40°，∴∠AOB＝40°＋15°＝55°∵∠AOC＝∠AOB，∴∠AOC＝55°，∴∠FOC＝∠AOF＋∠AOC＝15°＋55°＝70°，∴OC的方向是北偏东70°.(2)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝40°，∴∠DOH＝40°，∴OD的方向是南偏东40°.(3)∵OE是∠BOD的平分线，∴∠DOE＝90°.∵∠DOH＝40°，∴∠HOE＝50°，∴OE的方向是南偏西50°.(4)∵∠AOF＝15°，∠AOC＝55°，∴∠COG＝90°－∠AOF－∠AOC＝90°－15°－55°＝20°.∵∠EOH＝50°，∠HOG＝90°，∴∠COE＝∠EOH＋∠HOG＋∠COG＝50°＋90°＋20°＝160°.答案：(1)北偏东70°(2)南偏东40°(3)南偏西50°(4)160°。

角的四种表示方法
在数学中，角是一个重要的概念，表示面内两条相交的线之间的夹角。

因为在数学中角有重要的意义，所以人们有不同的方法来表示角。

下面将介绍四种表示角的方法：
一、角的度数表示法
度数表示法是最常用的角的表示法，它将角分为360份，每份表示1度，每份又可分2等份，每等份表示0.5度，又可分4等份，每等份表示0.25度，以此类推，每等份分别表示一定的度数，从而表明角的大小。

这种方法最简单也是最容易理解，但实际应用中会出现精度问题，尤其是在角度很小的时候，这增加了计算的难度。

二、角的弧度表示法
弧度表示法是由德国数学家勃兰特发展而来，是一种比较完善的表示角的方法。

弧度表示法中，圆的周长是2π个弧度，每个弧度表示一个角，可以用π表示圆所具有的弧度长度，也可以用弧度来表示角。

弧度表示法计算弧长和体积都比较容易实现，而且可以精确表示角的大小，但是弧度表示法的计算难度也较大。

三、角的秒数表示法
秒数表示法是将圆的周长分成60等分，每等分为1秒，从而来表示角的大小。

比如1度表示的是60秒，由此可见，秒数表示法比较容易理解，而且也比较精确，但实际应用中，因为秒数大多由整数表示，所以精度问题仍存在。

四、角的梯度表示法
梯度表示法是由英国数学家发展而来，是一种比较完善的表示角的方法，它将圆分成400等分，每等份为1梯度，1度表示的是400梯度。

由此可见，梯度表示法在表示角的大小时能够比较准确，不会出现精度问题，而且计算的难度也比较低。

以上就是角的四种表示方法，它们各有优缺点，根据实际情况选择合适的表示方法才能发挥它们的最大作用。

总之，要想正确表示角的大小，就必须选用适当的表示方法。

基本内容 角知识精要概念定义1：有公共端点的两条射线组成的图形叫角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.定义2：角由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边.(1) 如果角的终边是由角的始边旋转半周而得到，这样的角叫平角.(2) 如果角的终边是由角的始边旋转一周而得到，这样的角叫周角.（3）两个角可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一个角，它的度数等于这个角的度数的和（或差）. 表示方法 表示方法用三个大写字母来表示用一个大写字母来表示 用数字来 表示角 用希腊字母来 表示角 图示AOB ∠A ∠1∠α∠角平分线: 从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线. 互余：如果两个角的度数和是︒90，那么这两个角叫做互为余角，简称互余。

（其中一个角称为另一个角的余角。

)互补：如果两个角的度数的和是︒180，那么这两个角叫做互为补角，简称互补。

（其中一个角称为另一个角的补角。

）（注：同角（或等角）的余角和补角相等。

） 角的度量单位换算：061'=︒ 061''='热身练习一、判断题1、一条直线是一个平角；（ ⅹ ）2、小于钝角的角都是锐角；（ √ ）3、如果α和β两角互补，α和γ两角互余，那么γβα2-=；（ √ ）4、互补的两个角中一定有一个角是锐角。

（ ⅹ ）5、有公共端点的两条射线叫做角 。

（ ⅹ ）6、角的边的长短，决定了角的大小。

（ ⅹ ）7、互余且相等的两个角都是45°的角。

（ √ ）8、若两个角互补，则其中一定有一个角是钝角。

（ ⅹ ） 二、选择题1、钟表上的时间指示为两点半，这时时针和分针之间所形的成的（小于平角）角的度数（ B ）。

A.︒120B.︒105C.︒100D.︒90 2、一个锐角的余角加上︒90，就等于（ C ）A.这个锐角的两倍数B.这个锐角的余角C.这个锐角的补角D.这个锐角加上︒90 3、已知α、β都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算51)(βα+的结果依次是30°、35°、60°、75°，其中恰有正确结果．这个正确结果是（ C ）A.30°B.35°C.60°D.75° 4、如图，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝30°．图中互补的角有（ B ）A.10对B.4对C.3对D.14对 5、下列说法中正确的是（ A ）A. 角是由一条射线旋转而成的B. 角的两边可以度量C. 一条直线就是一个平角D. 平角的两边可以看成一条直线6、下列四个图形中，能用∠α，∠O ，∠AOB 三种方式正确表示同一个角的图形是（ C ）A B C D7、下列说法中正确的是（ C ）A. 一个角的补角一定比这个角大B. 一个锐角的补角是锐角C. 一个直角的补角是直角D. 一个锐角和一个钝角一定互为补角三、填空题1、如图1,∠AOB___>___∠AOC,∠AOB___>____∠BOC(填>,=,<); 用量角器度量∠BOC=____°,∠AOC=______°,∠AOC___>___∠BOC.OC(1)AB O DC(2)AB2、如图2,∠AOC=__AOB ∠____+___BOC ∠___=___AOD ∠___-___DOC ∠___;∠BOC=__∠AOC____-___AOB ∠___= __BOD ∠___-___DOC ∠_____.3、OC 是∠AOB 内部的一条射线,若∠AOC=12___AOB ∠_____,则OC 平分∠AOB;若OC 是∠AOB 的角平分线,则____AOB ∠_____=2∠AOC. 4、填写适当的分数：︒45=__21__直角=__41__平角=__81__周角。