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—47—基于Hilbert 曲线的近似k -最近邻查询算法徐红波1，郝忠孝1,2(1. 哈尔滨理工大学计算机科学与技术学院，哈尔滨 150080；2. 哈尔滨工业大学计算机科学与技术学院，哈尔滨 150001)摘 要：在低维空间中R 树的查询效率较高，而在高维空间中其性能急剧恶化，降维成为解决问题的关键。
利用Hilbert 曲线的降维特性，该文提出基于Hilbert 曲线近似k -最近邻查询算法AKNN ，分析近似k -最近邻的误差。
实验结果表明算法在执行时间上优于线性扫描和基于R 树最短优先查询算法，近似解的质量较好。
关键词：k -最近邻；降维；Hilbert 曲线；近似算法Approximate k -nearest Neighbors Query AlgorithmBased on Hilbert CurveXU Hong-bo 1, HAO Zhong-xiao 1,2(1. College of Computer Science and Technology, Harbin University of Science and Technology, Harbin 150080;2. College of Computer Science and Technology, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001)【Abstract 】R-Tree can achieve better performance in low-dimensional space, but its performance suffers greatly in high-dimensional space. So the reduction of the dimensionality is the key to the problem. Hilbert curve can fill d dimensional space linearly, divide it into equal-size grids and map points lying in grids into linear space. Using the quality of reducing dimensions of Hilbert curve, the paper presents an approximate k -nearest neighbors query algorithm, and analyzes the quality of the approximate k -nearest neighbors. According to the test, its running time is shorter than brute-force method and the algorithm based on R-tree, and the quality of approximate k -nearest neighbors is better. 【Key words 】k -nearest neighbors; reduction of dimensionality; Hilbert curve; approximate algorithm计 算 机 工 程Computer Engineering 第34卷 第12期Vol.34 No.12 2008年6月June 2008·软件技术与数据库·文章编号：1000—3428(2008)12—0047—03文献标识码：A中图分类号：TP3911 概述最近邻查询是地理信息系统、数据挖掘和模式识别等领域中重要问题之一。
cubichermite4算法Cubichermite4算法是一种用于计算Hermite插值曲线的算法。
Hermite插值是一种通过已知点的函数值和导数值来构造插值函数的方法,可以在提供平滑插值的同时，尽可能减小插值误差。
Cubichermite4算法是Hermite插值的一种具体实现算法，通过给定的点和导数来找到插值函数的系数，从而得到平滑的曲线。
Cubichermite4算法的基本思想是利用四个相邻点的函数值和导数来计算出一个二次多项式，然后将每个相邻的二次多项式连接起来，构成一个具有连续函数值和导数的三次样条函数。
给定一系列已知的点和单侧导数，我们可以根据这些点和导数来计算出每个分段的三次样条多项式的系数。
例如，对于第i段的三次多项式，我们可以通过以下公式计算系数：h(i) = x(i+1) - x(i) #第i段的宽度delta(i) = (y(i+1) - y(i)) / h(i) #第i段的斜率a(i) = h(i) / 6b(i) = h(i+1) / 6c(i) = (h(i) + h(i+1)) / 3d(i) = (delta(i+1) - delta(i)) / (h(i) + h(i+1))其中，x(i)和y(i)分别表示第i个点的横坐标和纵坐标。
接下来，我们可以根据以上计算出的系数，构造出每个分段上的三次多项式。
对于第i段的三次多项式，表示为Pi(x) = a(i) *(x(i+1) - x)^3 + b(i) * (x - x(i))^3 + c(i) * (x(i+1) - x) +d(i) * (x - x(i))，其中x(i) <= x <= x(i+1)。
将所有的三次多项式连接起来，构造出整个曲线。
对于给定的x 值，我们可以根据x所在的段，通过插值得到对应的y值。
Cubichermite4算法的主要优点是能够保证函数值和导数的连续性，从而可以得到平滑的插值曲线。
学术研究基于布谷鸟算法优化K_means聚类的缺失数据填充算法*林枫1蔡延光1蔡颢2 张丽1（1.广东工业大学自动化学院，广东广州5100062.奥尔堡大学健康科学与工程系，丹麦奥尔堡9920）摘要：针对K_means聚类算法对初始参数较敏感且相对容易出现局部最优解的问题，提出基于布谷鸟算法优化的K_means聚类算法，并将优化后的K_means聚类算法与条件均值填充算法相结合，递归地填充缺失数据。
实验结果表明：与传统算法相比，基于布谷鸟算法优化K_means聚类的缺失数据填充算法具有更好的效果。
关键字：缺失数据；填充；布谷鸟算法；K_means算法中图分类号：TP301 标志码：A 文章编号：1674-2605(2020)06-0003-06 DOI：10.3969/j.issn.1674-2605.2020.06.0030引言数据集在收集与整理过程中，因各种不可控因素导致数据部分属性值缺失，从而对数据质量造成较严重影响且降低数据挖掘效果[1-2]。
因此，为提高数据集的分析效果，对其中缺失数据进行填充是至关重要的。
常用的缺失数据填充方法有回归插补法、聚类插补法、人工神经网络插补法等。
回归分析是一种基于变量间关系的预测性分析方法，广泛应用于各个领域[2]。
回归插补法的基本思想是通过数据中的缺失属性与其余属性的关系建立回归模型，再利用回归模型预测缺失属性的值并进行填充。
卜范玉等利用CFS聚类算法对不完整数据集进行聚类，对降噪自动编码模型进行改进，并根据聚类结果，利用改进的自动编码模型对缺失数据进行填充[3]。
戴明锋等利用logistic回归算法对数据中的缺失属性值进行填充并取得较好成效[4]。
李建更等为解决基因谱的数据缺失问题，提出基于双向核加权回归估计算法，取得较好缺失值填充效果[5]。
在数据挖掘领域，聚类算法是对数据进行分类统计分析的一种经典算法。
它通过度量数据间的相似性对数据进行分类划分，使相同类的数据聚集成一类[6]。
希尔伯特变换求包络谱
希尔伯特变换（Hilbert Transform）是一种用于对信号进行解
析的数学变换。
包络谱（envelope spectrum）是希尔伯特变换
的一个应用，用于分析非线性系统中的频谱。
以下是使用希尔伯特变换求包络谱的步骤：
1. 输入信号：将待分析的信号表示为函数f(t)。
2. 傅里叶变换：对信号f(t)进行傅里叶变换，得到频谱F(ω)。
3. 正频率部分延拓：将F(ω)的正频率部分延拓到负频率部分，得到延拓后的频谱F_ext(ω)。
4. 希尔伯特变换：对F_ext(ω)进行希尔伯特变换，得到希尔伯
特变换后的频谱H(ω)。
5. 包络谱计算：将H(ω)与F(ω)进行复数乘积，得到包络谱
E(ω) = H(ω) * F(ω)。
6. 反傅里叶变换：对包络谱E(ω)进行反傅里叶变换，得到包
络谱e(t)。
最终得到的包络谱e(t)描述了信号f(t)的幅度变化情况，可以
用于分析非线性系统中的频谱分布。
需要注意的是，希尔伯特变换是一种特殊的积分变换，不能直接通过常规计算方法进行求解，通常需要借助傅里叶变换等数值计算方法。
希尔伯特滤波算法希尔伯特滤波算法（Hilbert Transform）是一种常用于信号处理和图像处理领域的数学工具。
它基于希尔伯特变换，可以将一个实数信号转换为一个复数信号，并通过对信号的包络进行处理，提取出信号的相位信息。
希尔伯特滤波算法在信号处理、通信、图像处理、音频处理等领域有着广泛的应用。
希尔伯特滤波算法的基本原理是通过对信号进行频谱分析，将信号分解为多个频率分量。
在信号的频谱中，希尔伯特变换可以将正频率分量与负频率分量相互对应，从而提取出信号的相位信息。
通过对相位信息进行处理，可以实现信号的包络提取、相位调制、调频调相等操作。
希尔伯特滤波算法主要包括以下几个步骤：1. 信号预处理：对输入信号进行预处理，包括去除噪声、降低采样率等操作。
预处理能够提高信号质量，减少后续处理的复杂性。
2. 希尔伯特变换：将实数信号转换为复数信号。
复数信号由实部和虚部组成，其中实部与原始信号相同，虚部为实部的希尔伯特变换结果。
3. 包络提取：通过对复数信号进行包络提取操作，提取出信号的幅度信息。
包络提取可以使用希尔伯特变换的实部和虚部的平方和的平方根来实现。
4. 相位调制：通过对信号的相位信息进行调制操作，可以实现相位的平移、相位的旋转等功能。
相位调制可以用于频率调制、相位调制等应用中。
5. 调频调相：通过对信号的相位信息进行调频调相操作，可以实现对信号频率和相位的调整。
调频调相可以用于信号的频谱分析、频率合成等应用中。
希尔伯特滤波算法在信号处理和图像处理领域有着广泛的应用。
在通信领域，希尔伯特滤波算法可以用于调制解调、信号检测等方面。
在图像处理领域，希尔伯特滤波算法可以用于图像增强、轮廓提取等方面。
在音频处理领域，希尔伯特滤波算法可以用于音乐合成、语音识别等方面。
总结起来，希尔伯特滤波算法是一种常用的信号处理工具，通过对信号进行频谱分析和相位处理，可以提取出信号的相位信息，并实现包络提取、相位调制、调频调相等操作。
基于huber加权的拟合圆算法摘要：1.概述2.Huber 加权拟合圆算法的原理3.Huber 加权拟合圆算法的步骤4.Huber 加权拟合圆算法的应用实例5.总结正文：1.概述基于Huber 加权的拟合圆算法是一种在空间数据处理中广泛应用的算法。
该算法主要通过加权拟合圆的方式，对空间数据进行插值和平滑。
与其他插值方法相比，该算法具有较强的鲁棒性，能够有效地处理数据中的噪声和异常值。
2.Huber 加权拟合圆算法的原理Huber 加权拟合圆算法的核心思想是基于距离加权的最小二乘法。
具体来说，算法首先计算数据点之间的距离矩阵，然后对距离矩阵进行加权处理，使得距离较小的数据点对拟合圆的影响较大。
接着，算法通过最小化加权距离的平方和来确定拟合圆的圆心和半径。
3.Huber 加权拟合圆算法的步骤Huber 加权拟合圆算法主要包括以下三个步骤：(1) 计算数据点之间的距离矩阵。
(2) 对距离矩阵进行加权处理，选取合适的权重函数。
通常采用Huber函数作为权重函数，即$w(d) = frac{1}{d^2 + delta^2}$，其中$d$表示数据点之间的距离，$delta$为一个较小的正数。
(3) 计算加权距离的平方和，并最小化该值以确定拟合圆的圆心和半径。
4.Huber 加权拟合圆算法的应用实例Huber 加权拟合圆算法在地理信息系统、遥感图像处理、计算机视觉等领域具有广泛的应用。
例如，在气象数据分析中，该算法可以用于对气象站点的数据进行插值，从而预测某个地区的气象情况；在图像处理中，该算法可以用于去除图像中的噪声，提高图像质量。
5.总结基于Huber 加权的拟合圆算法是一种具有较强鲁棒性的插值方法，可以有效地处理空间数据中的噪声和异常值。
希尔伯特滤波算法希尔伯特滤波算法，又称为Hilbert-Huang变换（Hilbert-Huang Transform，简称HHT），是一种用于处理非线性和非平稳信号的分析方法。
它由希尔伯特谱分析方法和经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，简称EMD）方法组成。
希尔伯特滤波算法可以有效地提取非线性和非平稳信号中的信息，并广泛应用于信号处理、振动分析、图像处理等领域。
希尔伯特滤波算法的核心思想是通过将原始信号分解为一组本征模函数（Intrinsic Mode Functions，简称IMF），然后对每个IMF进行希尔伯特谱分析，最终得到信号的希尔伯特谱。
希尔伯特谱是一种能够描述信号在频域上的能量分布的方法，可以反映信号的频率特征和能量分布情况。
希尔伯特滤波算法的第一步是通过经验模态分解将原始信号分解为一组IMF。
经验模态分解是一种将信号分解为一组局部特征模态函数（Local Mean Decomposition，简称LMD）的方法。
LMD方法通过迭代地计算信号的局部极大值和局部极小值，并通过线性插值得到信号的上包络线和下包络线。
通过对上下包络线求平均，得到信号的局部均值曲线。
将信号减去局部均值曲线得到一个局部振动信号，即第一次提取的IMF。
重复以上步骤，直到剩余的信号无法再分解为一个IMF，即得到了所有的IMF。
希尔伯特滤波算法的第二步是对每个IMF进行希尔伯特谱分析。
希尔伯特谱分析通过计算每个IMF的解析信号的幅度谱和相位谱，得到了信号在频域上的能量分布情况。
解析信号是原始信号的复数表示，其中实部部分是原始信号本身，虚部部分是原始信号的希尔伯特变换。
通过对解析信号进行傅里叶变换，可以得到信号的幅度谱和相位谱。
希尔伯特滤波算法的最后一步是将每个IMF的希尔伯特谱进行合成，得到整个信号的希尔伯特谱。
合成希尔伯特谱的方法可以是简单的将每个IMF的谱相加，也可以是根据信号的特点选择不同的加权方式。
第十六讲希尔伯特变换和解析过程分析希尔伯特变换（Hilbert transform）是一种在信号处理和解析过程分析中常用的数学工具。
它是由德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）于20世纪早期提出的。
希尔伯特变换可以将一个实函数转换为另一个实函数，使得原始函数和转换后的函数在频率域上是正交的。
这种变换的基本思想是通过引入一个90度相移的相位因子，将原始函数的频谱转移到正交补空间中。
希尔伯特变换的具体定义是通过傅里叶变换来实现的，用于计算一个函数的希尔伯特变换的公式如下：H\{x(t)\} = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}d\tau其中，x(t)表示原始函数，H\{x(t)\}表示x(t)的希尔伯特变换。
利用希尔伯特变换，我们可以将复杂的时间域分析问题转化为简单的频域分析问题。
例如，可以使用希尔伯特变换来计算信号的瞬时频率、瞬时幅值和相位等。
此外，在通信系统、医学信号处理和音频处理等领域中，希尔伯特变换也被广泛应用于信号分析和滤波等问题中。
解析过程分析（Analytic Signal Processing）是一种利用希尔伯特变换进行信号处理的方法。
解析过程分析可以将一个实信号转换为一个复信号，其中包含了原始信号的全部信息。
具体来说，通过将原始信号与它的希尔伯特变换相加，我们可以得到原始信号的解析信号。
原始信号和解析信号在频域上是相同的，唯一的区别是它们在时域上的相位。
解析信号的相位总是比原始信号滞后90度。
这意味着我们可以利用解析信号来分析信号的相位、频率和幅值特性，而无需考虑相位问题。
对于一个实信号x(t)，它的解析信号z(t)可以通过以下公式计算得到：z(t)=x(t)+jH\{x(t)\}其中，j表示虚数单位。
解析信号z(t)可以分解为实部和虚部，即z(t) = A(t)e^{j\phi(t)}，其中A(t)表示瞬时幅值，\phi(t)表示瞬时相位。
基于hermite算法的曲线拟合
Hermite算法是一种用于曲线拟合的方法，其基本原理是通过
给定曲线上的点和曲线上的切线方向，来确定曲线的相关参数。
基于Hermite算法的曲线拟合可以分为以下几个步骤：
1. 收集曲线上的点：根据实际需求，在曲线上选择一些点作为样本点。
2. 确定曲线上的切线方向：根据实际情况，在每个样本点处确定曲线的切线方向，通常是通过曲线上相邻点的连线来估计。
3. 确定曲线的参数：根据选择的拟合曲线的类型，确定相应的参数。
Hermite算法通常使用参数化的方式来表示曲线，这样
就可以通过调整参数的值来拟合曲线。
4. 拟合曲线：根据给定的曲线上的点和切线方向，以及确定的曲线参数，使用Hermite算法计算得出对应的曲线。
5. 评估拟合结果：通过计算拟合曲线上的点和给定实际点之间的差异，评估拟合结果的好坏。
可以使用各种误差度量指标，如均方根误差(RMSE)等。
需要注意的是，Hermite算法只是一种常用的曲线拟合方法之一，根据具体的需求，也可以考虑其他的曲线拟合算法，如B 样条曲线拟合等。
同时，在实际应用中，拟合的精确度和效率也需要进行权衡，选择合适的拟合方法。
四叉树索引—Hibert填充曲线算法介绍
1 引言（问题描述）
德国数学家David Hilbert发现了一种曲线，首先把一个正方形等分成四个小正方形，依次从西南角的正方形中心出发往北到西北正方形中心，再往东到东北角的正方形中心，再往南到东南角正方形中心，这是一次迭代，如果对四个小正方形继续上述过程，往下划分，反复进行，最终就得到一条可以填满整个正方形的曲线，这就是Hibert曲线。
2 算法介绍（图、文结合或流程图、伪代码等）
1)Hilbert 曲线生成原理：
Hilbert 曲线的定义是通过正方形逐次分割的标号次序给出的，例如，一单位正方形，可将其逐级分割为4个相等的小正方形，图1（a）、图 1 b）所示。
分别为一、二级分割所得到的结果。
以此类推，每个自然数k,对k-1次分割在做细分割，即得到4k个k级正方形，每个正方形的边长为1/2k，可记这些正方形为Q i(k)(i=1,2,…,4k),且他们的标号符合次序满足以下条件：
（1）每级Q i（k）包含点O（0，0）；
（2）k级正方形Q4i-3（k），Q4i-2（k），Q4i-1（k），Q4i（k）包含在k-1级的正方形Q i（k-1）中，k>1, i=1,2,…,4k-1;
（3）任何下标为连续整数的正方形Q i k）与Q i+1（k）具有共边。
将以上标号按从小到大的顺序用折线连接每个正方形的中心点就得Hilbert 曲线，如如图1（c）、1（d）所示。
1
由图1可见，在单位正方形内，随着分割级数增加，图形覆盖相同平面方的点数为4k，即随着分割级数的增加该曲线会越来越密集。
2)基于矩形形式的Hilbert 曲线生成原理：
针对Hilbert曲线生成算法，运用基于矩阵运算的算法来生成该曲线，该方法的具体实现原理如下：
记阶Hilbert 曲线矩阵为H ，
且构造Hilbert 曲线矩阵的递归算法如下：
2
3
式中：E —相应阶数的单位矩阵。
根据该递推公式，可以得到不同阶次的数字矩阵，如图 1（a ），1（b ）所示，把其数字按从小到大的顺序连线，即可得到不同阶次的 Hilbert 曲线。
按照上述生成方法，采用 Matlab 编程，程序运行得到的不同阶的平面 Hilbert 填充曲线，如图 2 所示。
从图2中的图形可以看出，该平面填充线是一条从始到终连续的折线，它能够均匀地填充在给定的平面区域。
3)算法参考代码
public class Hibert extends JFrame{
public static void main(String[] args) {
new Hibert();
}
Hibert(){
this.setBounds(200, 200, 800, 800);
this.setDefaultCloseOperation(EXIT_ON_CLOSE);
this.setVisible(true);
}
public void paint(Graphics g) {
super.paint(g);
g.setColor(Color.red);
Rectangle rect=new Rectangle(100,100,600,600);
drawHibert(rect ,3,g);
}
/*
n为迭代的次数
*/
public Point[] drawHibert(Rectangle rect, int direction,int n,Graphics g){ Point[] temp=new Point[2];
int width=rect.width/2;
int height=rect.height/2;
if(n==0){ //当n=0时，hibert变成一个点。
Point p=new Point(rect.x+width,rect.y+height);
temp[0]=p;
temp[1]=p;
}
else{
Rectangle rect1=new Rectangle(rect.x,rect.y,width,height);
Rectangle rect2=new Rectangle(rect.x+width,rect.y,width,height);
Rectangle rect3=new Rectangle(rect.x,rect.y+height,width,height);
Rectangle rect4=new
Rectangle(rect.x+width,rect.y+width,width,height);
switch (direction){
Point[] point1=drawHibert(rect1,DOWN,n-1,g);
Point[] point2=drawHibert(rect2,DOWN,n-1,g);
Point[] point3=drawHibert(rect3,LEFT,n-1,g);
Point[] point4=drawHibert(rect4,RIGHT,n-1,g);
4
g.drawLine(point1[1].x, point1[1].y,
point2[0].x,point2[0].y);
g.drawLine(point1[0].x, point1[0].y,
point3[0].x,point3[0].y);
g.drawLine(point2[1].x, point2[1].y,
point4[0].x,point4[0].y);
temp[0]=point3[1];
temp[1]=point4[1];
}
return temp;
}
}
3 总结（说明该算法的性能以及适用情况）
平面Hilbert填充曲线生成方法简单、易于控制填充疏密的优点。
Hilbert曲线对空间数据进行排序，进而对树节点进行排序，并对排序后得到的节点集实施滞后分裂算法从而获得较高的存储效率。
此种算法多应用于是栅格的K维空间数据进行排序，进而使数据获得高效率的存储。
5。
