实验四 自由曲线曲面算法实验(2)

实验四曲线生成算法一、目的和要求（1）根据曲线的基础知识和常用曲线的数学基础，对其算法进行程序设计，验证算法的正确性，并通过程序结果加深对常用曲线数学模型的理解。

；（2）写出Bezier曲线的算法实现；（3）写出B样条曲线的算法实现；二、实验内容（一）Bezier曲线的算法实现1、建立一个BezierCurve的工程文件：2、右击CBezierCurveView类，建立成员函数：int CBezierCurveView::Multiply_n(int m, int n)用于的函数实现：！！！（）！double CBezierCurveView::Bernstein(int m, int n, double t)用于实现伯恩斯坦多项数的函数实现：，（）3、编写自定义的成员函数代码：（注意：程序灰色底纹部分为自己添加，没有底纹的为工程文件自动生成。

）int CBezierCurveView::Multiply_n(int m, int n){int i,j,a;if(m!=0){a=1;for(i=m+1;i<=n;i++)a=a*i;for(j=1;j<=n-m;j++)a=a/j;return a;}elsereturn 1;}double CBezierCurveView::Bernstein(int m, int n, double t) {int i,j;double sum;sum=Multiply_n(m,n);for(i=1;i<=m;i++)sum=sum*t;for(j=1;j<=n-m;j++)sum=sum*(1-t);return sum;}4、编写OnDraw()函数：void CBezierCurveView::OnDraw(CDC* pDC){CBezierCurveDoc* pDoc = GetDocument();ASSERT_VALID(pDoc);// TODO: add draw code for native data hereint i,j,k,n=3;double curx,cury,t,b;double dt=0.01;int array[4][2]={{30,100},{100,30},{50,150},{200,40}};CPen PenRed(PS_SOLID,1,RGB(255,0,0));//定义红色笔CPen PenBlue(PS_SOLID,1,RGB(0,0,255));//定义蓝色笔//绘制特征多边形pDC->SelectObject(&PenBlue);pDC->MoveTo(array[0][0],array[0][1]);for(i=0;i<=n;i++)pDC->LineTo(array[i][0],array[i][1]);//绘制Bezier曲线pDC->MoveTo(array[0][0],array[0][1]);pDC->SelectObject(&PenRed);t=0.0;for(i=0;i<=(int)1/dt;i++){curx=0;cury=0;for(j=0;j<=n;j++){b=Bernstein(j,n,t);curx=curx+array[j][0]*b;cury=cury+array[j][1]*b;}pDC->LineTo(curx,cury);t=t+dt;}}5、编译、调试和运行程序，程序结果如下：6、尝试修改特征多边形的顶点，生成其他形状的Bezier曲线。

计算机图形学课程实验 报 告实验题目 自由曲线和曲面的绘制 班 级 计算081 姓 名 杨 恒 学 号 3080811017 指导教师 胡钢 日 期 2011.6.3西安理工大学理学院应用数学系二零一一年春季学期信息与计算科学专业基础课 Computer GraphicsReport Of course experiment实验说明实验目的：掌握自由曲线和曲面(包括Bezier 曲线、曲面和B 样条曲线、曲面)的生成算法思想，并能上机编程绘制相应的曲线、曲面和利用曲线、曲面进行简单的几何造型设计。

实验地点： 教九楼401 数学系机房实验要求(Direction): 1.每个学生单独完成；2.开发语言为TurboC 或C++，也可使用其它语言；3.请在自己的实验报告上写明姓名、学号、班级；4.每次交的实验报告内容包括：题目、试验目的和意义、程序制作步骤、主程序、运行结果图以及参考文件；5. 自己保留一份可执行程序,考试前统一检查和上交。

实验内容实验题一1.1实验题目上机编写一个能绘制Bezier 曲线和B 样条曲线的通用程序，并调试成功。

具体要求为：(1)用户在运行程序时，可以根据提示信息来决定选择绘制Bezier 曲线，还是B 样条曲线；(2)两种曲线控制顶点的个数和坐标值要求可以随机输入(即Bezier 曲线和B 样条曲线的次数和位置可以随机输入)；(3)当用户输入控制点的坐标位置后，屏幕上生成曲线的同时显示其特征多边形；且在特征多边形的顶点处输出该顶点坐标；(4)要求在可执行程序后附上运行结果(两种曲线都至少附上一个结果图)。

自由曲线和曲面的绘制实验41.2实验目的和意义掌握Bezier曲线和B样条曲线的绘制方法。

1.3程序制作步骤(包括算法的基本思想、流程图、设计步骤等)一、基本思想（1）Bezier曲线:是由一组折线来定义的，且第一个点和最后一个点在曲线上，第一条和最后一条折线分别表示出曲线在起点和终点处的切线方向。

实验四：实现自由曲线的生成算法一．实验目的：掌握计算机图形学中各种常见图形的各种算法及其实现。

特别要求直线，二次曲线，自由曲线，区域填充，二维图形裁剪，图形几何变换，自由曲面二．实验内容（1）巩固图形学中关于自由曲线的绘制算法；（2）编写程序实现Hermite,Bezier,B样条曲线个各一条；（3）综合利用直线，圆，自由曲线的算法设计生成一个卡通图形和或图案；注：本次实验要求不能直接使用系统提供的绘制二次曲线函数，但是可以调用相应的画点或画线函数。

三．实验原理使用VC环境开发实例步骤：打开VC++6.0运行界面；选择文件菜单—新建—工程—MFC App Wiaard[exe]:在右侧添加工程名称，单击确定。

单文档—点击完成，确定在View类中添加成员函数名（如：line）;在新添加的函数（void CDDALineView::line()）下添加程序实现过程；void CDDALineView::Ondraw(CDC*Pdc){CDDALineDoc=GetDocument();ASSERT_VALID(pDoc);//TODO:add draw code for native data hereline();}四．实验环境硬件环境:PIII以上,内存为128M以上PC机即可.软件环境：开发平台为Windows或DOS,开发语言为C或C++,可以使用其他编程语言，相关知识自学掌握。

五．实验方案利用计算机图形学中直线,圆弧的形成算法熟悉所使用的开发环境,能够利用C所提供的绘图函数自行编写一个程序,使用相关函数完成图形的初使化能够编写程序实现Hermite,Bezier,B样条曲线个各一条；六．实验步骤及实验结果Hermite曲线:void CMy050401huqingguo04View::Hermite(){CClientDC dc(this);dc.TextOut(150,70,"Hermite曲线");dc.TextOut(500,40,"实验4:实现自由曲线的生成算法");dc.TextOut(500,70,"班级:计算机0503");dc.TextOut(500,100,"姓名:方磊");dc.TextOut(500,130,"学号:7");CPen pen1,pen2;pen1.CreatePen(PS_SOLID,2,RGB(255,0,255));pen2.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,0,0));inta1[9][2]={100,300,120,200,220,200,270,100,370,100,420,200,420,300,220,28 0,100,300};inta2[9][2]={70,-70,70,-70,70,-70,70,-70,70,70,70,70,-70,70,-70,70,70,-70};for(int i=0;i<8;i++){dc.SelectObject(&pen1);dc.MoveTo(a1[i][0],a1[i][1]);dc.LineTo(a1[i+1][0],a1[i+1][1]);dc.MoveTo(a1[i][0],a1[i][1]);for(double u=0;u<1;u=u+0.01){ double x,y;x=(2*u*u*u-3*u*u+1)*a1[i][0]+(-2*u*u*u+3*u*u)*a1[i+1][0]+(u*u*u-2*u*u+u)*a2[i][0]+(u*u*u-u*u)*a2[i+1][0];y=(2*u*u*u-3*u*u+1)*a1[i][1]+(-2*u*u*u+3*u*u)*a1[i+1][1]+(u*u*u-2*u*u+u)*a2[i][1]+(u*u*u-u*u)*a2[i+1][1];dc.SelectObject(&pen2);dc.LineTo(x,y);Sleep(2);}dc.SelectObject(&pen1);}pen1.DeleteObject();pen2.DeleteObject();}Bezier曲线:void CMy050401hiqingguo04View::Bezier(){CClientDC dc(this);dc.TextOut(5,50,"由七个控制点绘制的Bezier曲线(心型结构)，其中起始点和终止点相同");dc.TextOut(500,40,"实验4:实现自由曲线的生成算法");dc.TextOut(500,70,"班级:计算机0503");dc.TextOut(500,100,"姓名:方磊");dc.TextOut(500,130,"学号:7");CPen pen1,pen2;pen1.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(255,0,0));pen2.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(255,0,255));inta[7][2]={{300,220},{200,100},{100,250},{300,400},{500,250},{400,100},{3 00,220}};for (int i=0;i<4;i=i+3){dc.MoveTo(a[i][0],a[i][1]);dc.LineTo(a[i+1][0],a[i+1][1]);dc.LineTo(a[i+2][0],a[i+2][1]);dc.LineTo(a[i+3][0],a[i+3][1]);dc.MoveTo(a[i][0],a[i][1]);for (double u=0;u<1;u=u+0.01){double x,y;x=(-u*u*u+3*u*u-3*u+1)*a[i][0]+(3*u*u*u-6*u*u+3*u)*a[i+1][0] +(-3*u*u*u+3*u*u)*a[i+2][0]+u*u*u*a[i+3][0];y=(-u*u*u+3*u*u-3*u+1)*a[i][1]+(3*u*u*u-6*u*u+3*u)*a[i+1][1] +(-3*u*u*u+3*u*u)*a[i+2][1]+u*u*u*a[i+3][1];dc.SelectObject(&pen1);dc.LineTo(x,y);Sleep(20);}dc.SelectObject(&pen2);}pen1.DeleteObject();pen2.DeleteObject();}卡通图:void CMy050401hiqingguo04View::duck(){CClientDC dc(this);CPen pen1,pen2;pen1.CreatePen(PS_SOLID,2,RGB(0,255,0));pen2.CreatePen(PS_SOLID,2,RGB(0,0,0));int a[50][2]={180,200,190,130,235,120,280,135,300,150,320,185,310,200,300,240,260,285,230,290,255,285,300,290,320,293,360,310,400,310,480,270,435,320,410,340,380,380,370,400,330,420,300,420,240,420,210,410,170,350,160,310,140,290,180,235,170,232,160,234,140,236,138,235,138,234,140,233,155,228,160,226,180,220,160,220,150,222,130,220,128,219,128,217,130,216,160,210,170,205,180,200};//小鸭子的外型线框dc.SelectObject(&pen1);for(int i=0;i<=44;i=i+1){dc.MoveTo(a[i][0],a[i][1]);dc.LineTo(a[i+1][0],a[i+1][1]);}pen1.DeleteObject();//Bezier曲线dc.SelectObject(&pen2);dc.Arc(215,185,245,215,245,215,245,215);dc.Arc(228,198,232,202,232,202,232,202);dc.MoveTo(250,340);dc.LineTo(320,340);dc.MoveTo(250,350);dc.LineTo(320,350);dc.MoveTo(250,360);dc.LineTo(320,360);dc.Arc(230,310,330,390,330,285,330,400);for(i=0;i<=44;i=i+3){dc.MoveTo(a[i][0],a[i][1]);for(double u=0;u<1;u=u+0.01){double x,y;x=(-u*u*u+3*u*u-3*u+1)*a[i][0]+(3*u*u*u-6*u*u+3*u)*a[i+1][0]+(-3* u*u*u+3*u*u)*a[i+2][0]+u*u*u*a[i+3][0];y=(-u*u*u+3*u*u-3*u+1)*a[i][1]+(3*u*u*u-6*u*u+3*u)*a[i+1][1]+(-3*u*u*u+3*u*u)*a[i+2][1]+u*u*u*a[i+3][1];dc.LineTo(x,y);Sleep(1);}}pen2.DeleteObject();}。

自由曲面的CGH光学检测方法与实验黎发志1,2，郑立功1，闫锋1，薛栋林1，张学军1【摘要】自由曲面能有效地简化光学系统结构并提高其性能，在照明光学系统和成像光学系统中均具有良好的应用前景。

为了实现自由曲面的高精度光学检测，分析了自由曲面的计算机全息图(CGH)检测方法并讨论了它的限制因素；探讨了使用基准CGH区域解决自由曲面检测时的对准问题；设计并制作了直径为180 mm的CGH对某三次方项波前编码自由曲面(口径150 mm，PV为6λ，λ@632.8 nm)进行了光学检测，该方法的检测结果(0.068λrms)与非零位检测方法的检测结果(0.067λrms)一致，实验验证了自由曲面的CGH检测方法。

该方法具有易对准、精度高和效率高的优点。

【期刊名称】红外与激光工程【年(卷),期】2012(041)004【总页数】5【关键词】计算全息图；自由曲面；光学检测0 引言自由曲面能有效地简化光学系统结构并提高系统光学性能，目前已经广泛应用到照明光学系统中以提高能量利用率和优化照明效果。

自由曲面应用到成像光学系统中能有效地扩大视场和减小像差[1]或附加特殊效果[2]，具有良好的应用前景，然而由于成像光学系统中的自由曲面具有复杂面形且面形精度要求较高，给光学制造过程中的加工[3]和检测[4]带来困难，致使其应用大大受限。

目前，自由曲面制造过程中常用三坐标测量方法进行面形检测，该方法能测量几乎任何类型的自由曲面面形，但其精度有限，难以满足成像光学系统对自由曲面精度的需求。

莫尔法、条纹投影法也可以用来检测自由曲面，但同样存在精度不够高的问题。

非零位干涉检测方法也可用来检测某些自由曲面：采用数字样板技术可对与球面偏离量非常小的一类自由曲面进行非零位干涉检测[5]；对于与球面偏离量较大的自由曲面，可以采用子孔径拼接技术，但其检测过程较为繁琐，且检测精度受限于拼接过程中的机械精度和拼接算法。

计算机全息图(CGH)常用来检测非球面[6-7],该技术可通过衍射从球面波生成几乎任何形状的参考波前，这一特点使得它可结合激光干涉仪对自由曲面进行零位补偿光学检测，同时具有高效率和高精度的优点。

贵州大学实验报告
学院：计算机科学与信息学院专业:计算机科学与技术班级：101记为：G=A•M
可将其简记为：
上式是三次Hermite(Ferguson)曲线的几何形式。

几何系数是P0、P1、P’0、P’1。

构成该Bézier曲线的特征多边形，
Bézier曲线
样条曲线
B样条基函数代替Bernstein
样条曲线的突出优点是对曲线的局部修改功能，因为
，所以控制多边形的顶点对曲线的控制灵活而直观。

样条曲线的次数可根据需要指定，不像Bezier曲线的次数是由控制点的个数来确定。

阶数k，控制顶点数n+1，节点个数m+1，具有以下关系: m=n+k
记T为：Tn,k={ti}(ti≤ti+1 ,i=0,1,2,…,n,…,n+k)
(5). 3次Bézier曲面的矩阵表达式：Microsoft Visual Studio 6.0
2、在zjie_BView.h文件中声明成员函数和变量：
2.点击绘制三次B样条曲线：
三．绘制Bezier曲线：
1.点击绘制Bezier曲线：
、四次Bezier曲线：
点击绘制曲面：。

实验四 自由曲线绘制算法1. 实验目的：1.掌握曲线的表示形式、曲线的连续性条件、拟合和逼近的基本概念2.掌握Bezier 曲线的性质3.编程实现Bezier 曲线生成算法2. 实验描述：绘制三次Bezier 曲线，可以采用公式法或德卡斯特里奥（De Casteliau ）算法绘制。

3. 算法设计：在空间给定1n +个点012,,,,n PP P P ，称下列参数曲线为n 次Bezier 曲线：,0()(),01ni i n i P t P B tt ==≤≤∑其中,()i n B t 是Bernstein 基函数，其表达式为：,!()(1)!()!i n ii n n B t t ti n i -=--，接着我们讨论3次Bezier 曲线，我们也采用将表达式改写为矩阵形式的方法，我们得到：3303!()(1)!(3)!i i ii P t P t t i i -==--∑32230123(1)3(1)3(1)t P t t P t t P t P =-+-+-+01323232323331,363,33,P P t t t t t t t t t P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=-+-+-+-+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦01322313313630,,,133001000P P t t t P P --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4. 源程序：//1)TestView.hclass CTestView : public CView {…….protected:bool Flag;//标志CPoint *pt;//顶点int CtrlPoint;//控制多边形顶点……..}2) //TestView.cpp#include "math.h"//数学头文件#define N_MAX_POINT 10//控制多边形的最大顶点数#define ROUND(a) int(a+0.5) //四舍五入。

实验四 自由曲线绘制算法1.实验目的：1.掌握曲线的表示形式、曲线的连续性条件、拟合和逼近的基本概念2.掌握Bezier 曲线的性质3.编程实现Bezier 曲线生成算法2.实验描述：绘制三次Bezier 曲线，可以采用公式法或德卡斯特里奥（De Casteliau ）算法绘制。

3.算法设计：在空间给定1n +个点012,,,,n P PP P ，称下列参数曲线为n 次Bezier 曲线：,0()(),01n i i n i P t PB t t ==≤≤∑其中,()i n B t 是Bernstein 基函数，其表达式为：,!()(1)!()!i n ii n n B t t t i n i -=--，接着我们讨论3次Bezier 曲线，我们也采用将表达式改写为矩阵形式的方法，我们得到：3303!()(1)!(3)!i i ii P t P t t i i -==--∑32230123(1)3(1)3(1)t P t t P t t P t P =-+-+-+01323232323331,363,33,P P t t t t t t t t t P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤=-+-+-+-+⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦01322313313630,,,133001000P P t t t P P --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦4.源程序：//1)TestView.hclass CTestView : public CView {…….protected:bool Flag;//标志CPoint *pt;//顶点int CtrlPoint;//控制多边形顶点……..}2) //TestView.cpp#include "math.h"//数学头文件#define N_MAX_POINT 10//控制多边形的最大顶点数#define ROUND(a) int(a+0.5) //四舍五入。

实验四自由曲线绘制算法1.实验目的：掌握曲线的表示形式、曲线的连续性条件、拟合和逼近的基本概念掌握Bezier曲线的性质编程实现Bezier曲线生成算法2.实验描述：绘制三次Bezier曲线，可以采用公式法或德卡斯特里奥（De Casteliau）算法绘制3.算法设计：当n=3时，Bezier曲线的控制多边形有4个控制点P0、P1、P2和P3，Bezier曲线是三次多项式。

P（t）=∑PiBi,n(t),t∈[0,1]；三次Bezier曲线是自由曲线。

4.源程序：//1)T estView.hclass CTestV iew : public CView{public:void DrawCharPolygon();int Factorial(int m);double Cnk(const int &n, const int &i);void DrawBezier();protected:bool Flag;//标志CPoint *pt;//顶点int CtrlPoint;//控制多边形顶点……..}2) //T estView.cpp#include "math.h"//数学头文件#define N_MAX_POINT 10//控制多边形的最大顶点数#define ROUND(a) int(a+0.5) //四舍五入。

CT estView::CT estView(){Flag=false;}void CT estView::OnMENUBezierCurve(){// TODO: Add your command handler code hereRedrawWindow();AfxGetMainWnd()->SetWindowText("三次Bezier曲线");//显示标题MessageBox("单击左键绘制控制多边形，单击右键绘制曲线","提示",MB_OK);pt=new CPoint[N_MAX_POINT];Flag=true;CtrlPoint=0;}void CT estView::DrawBezier()//绘制Bezier曲线{CClientDC dc(this);double x,y;int rate=800,n;n=CtrlPoint-1;for(double t=0;t<=1;t+=1.0/rate){x=0;y=0;for(int i=0;i<=n;i++){x+=pt[i].x*Cnk(n,i)*pow(t,i)*pow(1-t,n-i);y+=pt[i].y*Cnk(n,i)*pow(t,i)*pow(1-t,n-i);}dc.SetPixel(ROUND(x),ROUND(y),RGB(0,0,255));//曲线颜色}}double CT estView::Cnk(const int &n, const int &i)//Bernstein第一项{return double(Factorial(n)/(Factorial(i)*Factorial(n-i)));}int CT estView::Factorial(int m)//阶乘函数{int f=1;for(int i=1;i<=m;i++)f*=i;return f;}void CT estView::DrawCharPolygon()//绘制控制多边形{CClientDC dc(this);CPen MyPen,*pOldPen;MyPen.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,0,0));//控制多边形pOldPen=dc.SelectObject(&MyPen);for(int i=0;i<CtrlPoint;i++){if(i==0){dc.MoveTo(pt[i]);dc.Ellipse(pt[i].x-2,pt[i].y-2,pt[i].x+2,pt[i].y+2);}else{dc.LineTo(pt[i]);dc.Ellipse(pt[i].x-2,pt[i].y-2,pt[i].x+2,pt[i].y+2);}}dc.SelectObject(pOldPen);MyPen.DeleteObject();}void CT estView::OnLButtonDown(UINT nFlags, CPoint point)//获得屏幕控制点坐标{// TODO: Add your message handler code here and/or call defaultCView::OnLButtonDown(nFlags, point);if(Flag){pt[CtrlPoint].x=point.x;pt[CtrlPoint].y=point.y;if(CtrlPoint<N_MAX_POINT)CtrlPoint++;elseFlag=false;DrawCharPolygon();}}void CT estView::OnRButtonDown(UINT nFlags, CPoint point)//调用绘制函数{// TODO: Add your message handler code here and/or call defaultFlag=false;DrawBezier();CView::OnRButtonDown(nFlags, point);}5.运行结果：(屏幕截图)。

自由曲线曲面的基本原理（下）浙江大学单岩浙江黄岩华日（集团）公司梁建国5 自由曲线的几点说明下面我们针对造型的实际需要，对自由曲线的特点和生成方式作几点补充说明，以便读者更有效地使用CAD/CAM软件中的有关功能5.1 与坐标系无关性读者或许会注意到，在Bezier曲线的表达式中（见上期文章），根本没有出现任何坐标变量（如x,y,z），即使是控制顶点P i的坐标值也未出现，即这种表达式是与坐标无关的。

它的优点至少有三个方面：（1）与现实世界保持一致，更易于理解。

现实世界中本来就不存在什么坐标系，坐标系只是人为创造出来的一个位置基准，是可以任意变化的。

实际空间上的每一个点客观上占据着一个确定的空间位置，是不依赖于任何坐标系的客观存在，而坐标系仅仅是用于帮助描述这个空间位置。

也就是说，对于一个确定的空间点，坐标系的变化不会使其空间位置发生任何变化，但其坐标值（即对这个位置的描述）却发生变化。

同样，一条自由曲线是由一组控制顶点通过插值得到的，其形状仅与控制顶点之间的位置(注意不是坐标值！)和插值方式有关，因此其表达式中自然没有必要出现坐标变量。

（2）表达方便、统一。

对于非参数化表达（如直线y=x）而言，当坐标系逆时针旋转90度时，它的表达式就发生变化（y=0），有时甚至无法得到新的表达式。

这就为编制统一的处理软件带来了极大困难。

而Bezier曲线的表达式与坐标系无关，始终保持统一，因此方便编制统一的计算程序。

（3）图形处理速度更快。

当我们在计算机屏幕上显示一条曲线时，它已按一定精度离散成许多点。

如果这时需要对显示进行一些变换（如旋转），则对于非参数化表达的曲线我们只能将其离散点一一进行变换（因为其表达式发生了变化或者根本无法表达），这将耗费大量的计算时间。

而对于Bezier曲线则只要将数量有限的控制顶点进行变换后重新通过插值运算重新绘出新的曲线即可，而插值过程是线性运算（见上期文章），速度远高于旋转变换运算，因此整个变换过程要比非参数化表达的曲线快得多。