计算机图形学 编程生成“三次贝塞尔”曲线

Bezier曲线原理及实现代码（c++）一、原理：贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。

贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。

这条线由下式给出：且其等同于线性插值。

二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B(t) 追踪：。

TrueType字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。

P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。

曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。

一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。

P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。

曲线的参数形式为：。

现代的成象系统，如PostScript、Asymptote和Metafont，运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。

一般化P0、P1、…、P n，其贝塞尔曲线即。

例如：。

如上公式可如下递归表达：用表示由点P0、P1、…、P n所决定的贝塞尔曲线。

则用平常话来说，阶贝塞尔曲线之间的插值。

一些关于参数曲线的术语，有即多项式又称作n阶的伯恩斯坦基底多项式，定义00 = 1。

点P i称作贝塞尔曲线的控制点。

多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于P0并以P n终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。

贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线函数中的 t 会经过由 P 0 至P 1 的 B(t ) 所描述的曲线。

例如当 t=0.25 时，B(t ) 即一条由点 P 0 至 P 1 路径的四分之一处。

就像由 0 至 1 的连续 t ，B(t ) 描述一条由 P 0 至 P 1 的直线。

OpenGL绘制简单的参数曲线（⼆）——三次Bezier曲线 今天我们来介绍三次Bezier曲线，这曲线⽹上资料⾮常多，我这⾥只是简单介绍下原理。

在⼆维空间中（三维也类似），给定n+1个点P0、P1、... 、P n。

参数t的n次的Bezier曲线是：图1 我们根据上⾯式⼦可以推出⼀次、⼆次、三次贝塞尔曲线，下⾯是⼀次贝塞尔曲线：图2 下⾯是⼆次贝塞尔曲线，表⽰的是从P0P1线段取Q0，P1P2线段取Q1，每⼀个Q0Q1都是曲线的切向量：图3 下⾯是三次贝塞尔曲线，表⽰的是从P0P1线段取Q0，P1P2线段取Q1，P2P3线段取Q2，再从Q0Q1取R0，Q1Q2取R1，每⼀个R0R1都是曲线的切向量：图4 这样就给出了公式，下⾯贴出三次Beizer曲线的代码，同样可以⼿动调节参数，⼤家参考⼀下。

#include <math.h>#include <gl/glut.h>#include <iostream>using namespace std;int xCoord[4], yCoord[4];int num = 0;bool finishBeizer = false;bool mouseLeftDown = false;bool mouseRightDown = false;/*计算Bezier曲线*/void Bezier(int n){float f1, f2, f3, f4;float deltaT = 1.0 / n;float T;glBegin(GL_LINE_STRIP);for (int i = 0; i <= n; i++) {T = i * deltaT;f1 = (1-T) *(1- T) * (1-T);f2 = 3 * T * (1-T) * (1- T);f3 = 3 * T * T * (1-T);f4 = T * T * T;glVertex2f( f1*xCoord[0] + f2*xCoord[1] + f3*xCoord[2] + f4*xCoord[3], f1*yCoord[0] + f2*yCoord[1] + f3*yCoord[2] + f4*yCoord[3]);}glEnd();}/*⽤⿏标进⾏绘制，完成后可改变控制点，拖动即可*/void display(){glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);glLineWidth(1.5);glColor3f (1.0, 0.0, 0.0);glBegin(GL_LINE_STRIP);for (int i = 0; i < num; i++)glVertex3f (xCoord[i], yCoord[i], 0.0);glEnd();glColor3f (0.0, 0.0, 1.0);if (num == 4)Bezier(20);glPointSize(10.0f);glBegin(GL_POINTS);glVertex2f(xCoord[0], yCoord[0]);glVertex2f(xCoord[1], yCoord[1]);glVertex2f(xCoord[2], yCoord[2]);glVertex2f(xCoord[3], yCoord[3]);glEnd();glFlush();glutSwapBuffers();}void init(){glClearColor(1.0, 1.0, 1.0, 0.0);glShadeModel(GL_FLAT);}void myReshape(int w, int h){glViewport(0, 0, (GLsizei)w, (GLsizei)h);glMatrixMode(GL_PROJECTION);glLoadIdentity();gluOrtho2D(0.0, (GLsizei)w, (GLsizei)h, 0.0);glMatrixMode(GL_MODELVIEW);glLoadIdentity();}void mouse(int button, int state, int x, int y){if (!finishBeizer){if (button == GLUT_LEFT_BUTTON && state == GLUT_DOWN){xCoord[num] = x;yCoord[num] = y;num++;if (num == 4)finishBeizer = true;glutPostRedisplay();}}else{if (button == GLUT_LEFT_BUTTON && state == GLUT_DOWN) {mouseLeftDown = true;}if (button == GLUT_LEFT_BUTTON && state == GLUT_UP){mouseLeftDown = false;}if (button == GLUT_RIGHT_BUTTON && state == GLUT_DOWN) {mouseRightDown = true;}if (button == GLUT_RIGHT_BUTTON && state == GLUT_UP){mouseRightDown = false;}}}double distance(int x1, int y1, int x2, int y2){return sqrt((x1-x2) * (x1 -x2) + (y1-y2) * (y1-y2));}void motion(int x, int y){if (mouseLeftDown){if (distance(xCoord[1], yCoord[1], x, y) < 20){xCoord[1] = x;yCoord[1] = y;}if (distance(xCoord[2], yCoord[2], x, y) < 20){xCoord[2] = x;yCoord[2] = y;}}glutPostRedisplay();}int main(int argc, char** argv){glutInit(&argc, argv);glutInitDisplayMode (GLUT_DOUBLE | GLUT_RGB );glutInitWindowSize (450, 450);glutInitWindowPosition (200, 200);glutCreateWindow ("hello");init ();glutDisplayFunc(display);glutReshapeFunc(myReshape);glutMouseFunc(mouse);glutMotionFunc(motion);glutMainLoop();return 0;}。

一、概述在计算机图形学中，贝塞尔曲线是一种常用的曲线生成算法，可用于实现平滑曲线的绘制。

贝塞尔曲线的生成依赖于控制点和起止点的位置，我们可以利用这些点来控制曲线的形状和轨迹。

本文将介绍如何使用起止点和两个控制点来生成三阶贝塞尔曲线，并详细讨论其中的数学原理和算法实现。

二、贝塞尔曲线简介贝塞尔曲线由保罗·德·卡斯楚（Paul de Casteljau）于1959年推广，它是一种参数化的曲线，可以用于描述平滑曲线的轨迹。

贝塞尔曲线的生成依赖于若干控制点，通过这些点可以控制曲线的形状和轨迹。

一般来说，贝塞尔曲线可以分为一阶、二阶、三阶……n阶贝塞尔曲线，本文将主要讨论三阶贝塞尔曲线的生成。

三、三阶贝塞尔曲线的数学原理对于三阶贝塞尔曲线，假设有四个控制点P0、P1、P2和P3，其中P0为起始点，P3为终止点。

我们需要通过两个额外的控制点P1和P2来控制曲线的形状。

具体而言，三阶贝塞尔曲线可以通过如下公式来表示：B(t) = (1-t)^3 * P0 + 3*(1-t)^2 * t * P1 + 3*(1-t) * t^2 * P2 + t^3 * P3其中，t为参数，取值范围通常为[0,1]，用来控制曲线上点的位置。

当t为0时，曲线通过P0（起始点）；当t为1时，曲线通过P3（终止点）。

而当0<t<1时，曲线则由P0、P1、P2和P3共同决定。

四、三阶贝塞尔曲线的生成算法现在我们来介绍如何通过起止点和两个控制点来生成三阶贝塞尔曲线的具体算法。

假设我们已经有起止点P0和P3，以及两个控制点P1和P2。

接下来，我们可以通过如下步骤来计算曲线上的点。

1. 将参数t划分为若干个小段，如0.01、0.02、0.03……0.99。

2. 对于每个t值，利用上述的贝塞尔曲线公式，计算出曲线上对应的点B(t)。

3. 将所有计算得到的点B(t)连接起来，就可以得到整条曲线的轨迹。

通过以上算法，我们可以利用起止点和两个控制点来生成一条平滑的三阶贝塞尔曲线。

题目：深度探讨Java三次贝塞尔曲线坐标在计算机图形学中，贝塞尔曲线是一种平滑曲线，它使用一系列控制点来定义曲线的形状。

贝塞尔曲线可以分为一次、二次和三次贝塞尔曲线，其中三次贝塞尔曲线由四个控制点定义。

在Java编程中，我们经常会遇到需要使用三次贝塞尔曲线的情况，比如绘制复杂的图形或动画。

对于三次贝塞尔曲线的坐标计算十分重要。

在本文中，我将对Java三次贝塞尔曲线的坐标进行深入探讨，以帮助你更好地理解和应用这一概念。

1. 三次贝塞尔曲线简介三次贝塞尔曲线由四个控制点P0、P1、P2和P3定义，起点为P0，终点为P3，而P1和P2分别为起点和终点之间的两个控制点。

曲线上的点由参数t决定，参数t的取值范围通常是[0, 1]，而曲线上的点则可以由下式计算得出：B(t) = (1-t)^3 * P0 + 3*(1-t)^2 * t * P1 +3*(1-t) * t^2 * P2 + t^3 * P3其中B(t)为曲线上的点，P0、P1、P2、P3为控制点。

在实际应用中，我们需要计算曲线上的点来绘制曲线或进行其他操作，因此掌握如何计算三次贝塞尔曲线的坐标是非常重要的。

2. 计算三次贝塞尔曲线坐标要计算三次贝塞尔曲线上的点，可以使用上面的B(t)公式来进行计算。

通常情况下，我们需要以一定的步长逐步计算曲线上的点，以便绘制出完整的曲线。

具体来讲，可以使用以下的伪代码来计算三次贝塞尔曲线上的点：```for t in range(0, 1, step):x = (1-t)^3 * P0.x + 3*(1-t)^2 * t * P1.x +3*(1-t) * t^2 * P2.x + t^3 * P3.xy = (1-t)^3 * P0.y + 3*(1-t)^2 * t * P1.y +3*(1-t) * t^2 * P2.y + t^3 * P3.y// 使用(x, y)绘制点或进行其他操作```在上面的伪代码中，我们使用了一个循环来遍历参数t的取值范围，并通过B(t)公式来计算曲线上的点的坐标。

作业三：三次Bezier曲线1. 设计要求:1．在程序窗口中建立坐标系2．输入控制点，绘制出三次Ｂｅｚｉｅｒ曲线3．四个控制点间依次用细线连接4．在程序窗口显示四个控制点的位置并标出2. 设计思路:先在草稿纸上算出三次Ｂｅｚｉｅｒ曲线的函数表达式： （０≤ｕ≤１）＝ａ×＋ｂ×＋ｃ×ｕ＋ｄ其中ａ、ｂ、ｃ、ｄ的值为：ａ＝（-） + 3 × - 3 × +ｂ＝3× - 6 × + 3 ×ｃ＝（-3） × + 3 ×ｄ＝将、、、中的（ｘ，ｙ）坐标值分别代入ａ、ｂ、ｃ、ｄ中得到、、、和、、、则：＝×＋×＋×ｕ＋ （１）＝×＋×＋×ｕ＋ （２）根据以上结果（１）和（２）编程求得当ｕ取不同值时所得到的点Ｐ（ｕ）。

再将各点用线连接起来即可拟合三次Ｂｅｚｉｅｒ曲。

3. 设计过程:以下是用ＶＢ编三次Ｂｅｚｉｅｒ曲线时的源代码：其中显示四个控制点的思路是将控制点在ｘ和ｙ方向的坐标值都增大１，然后再与控制点用粗实线连接起来。

这样一来在窗口中显示的即为一个较大的实点。

Function drawcs() '此模块为建立坐标系Dim k As IntegerPictDraw.DrawWidth = 1: PictDraw.FontSize = 9 '设置线宽和字体 PictDraw.Line (-400, 0)-(400, 0), RGB(100, 100, 100)PictDraw.Line (0, -300)-(0, 300), RGB(100, 100, 100)For k = (-360) To 360 Step 40PictDraw.Line (k, -5)-(k, 0): PictDraw.CurrentX = k - 20: PictDraw.CurrentY = 5: PictDraw.Print kNext kFor k = (-280) To -40 Step 40PictDraw.Line (5, k)-(0, k): PictDraw.CurrentX = -40: PictDraw.CurrentY = k - 10: PictDraw.Print (-1) * kNext kFor k = (40) To 280 Step 40PictDraw.Line (5, k)-(0, k): PictDraw.CurrentX = -40: PictDraw.CurrentY = k - 10: PictDraw.Print (-1) * kNext kEnd FunctionPrivate Sub Form_Load()PictDraw.AutoRedraw = TruePictDraw.ScaleWidth = 800PictDraw.ScaleHeight = 600Text1.Text = -300: Text2.Text = -250: Text3.Text = 300: Text4.Text = -250Text5.Text = -300: Text6.Text = 250: Text7.Text = 300: Text8.Text = 250 '作为初始值，便于测试drawcsEnd SubPrivate Sub cmdCancle_Click()PictDraw.Clsdrawcs '清除屏幕后，重建坐标系End SubPrivate Sub delet_Click() '此模块为清除输入框中的值 Text1.Text = ""Text2.Text = ""Text3.Text = ""Text4.Text = ""Text5.Text = ""Text6.Text = ""Text7.Text = ""Text8.Text = ""End SubPrivate Sub cmdDraw_Click() '此模块为画三次Bezier曲线Dim px(4) As Double '定义控制点的x坐标的数组Dim py(4) As Double '定义控制点的y坐标的数组Dim a1, b1, c1, d1 As Double '定义x系数Dim a2, b2, c2, d2 As Double '定义y系数Dim x, y, u As Double '定义曲线中的自变量u和变量x，y Dim i As IntegerIf (Not IsNumeric(Text1) Or Not IsNumeric(Text2) Or Not IsNumeric(Text3) Or Not IsNumeric(Text4) _Or Not IsNumeric(Text5) Or Not IsNumeric(Text6) Or Not IsNumeric(Text7) Or Not IsNumeric(Text8)) ThenText1.Text = "": Text2.Text = ""Text3.Text = "": Text4.Text = ""Text5.Text = "": Text6.Text = ""Text7.Text = "": Text8.Text = ""Text1.SetFocus '判断输入框中的字符是否为数字，如果为数字执行else开始画图Elsepx(0) = Text1.Text: py(0) = Text2.Textpx(1) = Text3.Text: py(1) = Text4.Textpx(2) = Text5.Text: py(2) = Text6.Textpx(3) = Text7.Text: py(3) = Text8.TextPictDraw.FontSize = 18 '设置字体，为显示输入的四个点设置字体大小PictDraw.CurrentX = px(0): PictDraw.CurrentY = (-1) * py(0): PictDraw.Print "P"; 0For i = 0 To 2PictDraw.DrawWidth = 1PictDraw.Line (px(i), (-1) * py(i))-(px(i + 1), (-1) * py(i + 1)), RGB(0, 0, 255): PictDraw.Print "P"; i + 1Next iFor i = 0 To 3PictDraw.DrawWidth = 7PictDraw.Line (px(i), (-1) * py(i))-(px(i) + 1, (-1) * py(i) - 1)Next ia1 = -px(0) + 3 * px(1) - 3 * px(2) + px(3) '计算x和y的参数 b1 = 3 * px(0) - 6 * px(1) + 3 * px(2)c1 = -3 * px(0) + 3 * px(1)d1 = px(0)a2 = -py(0) + 3 * py(1) - 3 * py(2) + py(3)b2 = 3 * py(0) - 6 * py(1) + 3 * py(2)c2 = -3 * py(0) + 3 * py(1)d2 = py(0)For u = 0 To 1 Step 0.001 '每当u增加0.001求一次x和y x = a1 * u * u * u + b1 * u * u + c1 * u + d1 '求x的值y = (-1) * (a2 * u * u * u + b2 * u * u + c2 * u + d2) '求y的值 If u = 0 ThenPictDraw.CurrentX = x '设置画线起点PictDraw.CurrentY = yElsePictDraw.DrawWidth = 2PictDraw.Line -(x, y), RGB(255, 0, 0) '连点成线End IfNext uEnd IfEnd SubPrivate Sub cmdEnd_Click() '退出窗口程序EndEnd Sub4. 设计截图:图四．三次Ｂｅｚｉｅｒ曲线截图。

三次Bezier曲线一、程序设计功能：1.设计绘图窗口，能实现数据的多次输入；2.具有多次绘图功能，能实现不同数据的绘图；3.具有清屏功能，在画完该次图形后，清除图像并重建坐标系，4.具有数据完整性检测功能，当数据输入不完整时，通过弹窗提示用户数据输入不完整。

二、程序设计思想：先在草稿纸上求出三次Bezier曲线的各坐标参数前的系数表达式：a1 = -px(0) + 3 * px(1) - 3 * px(2) + px(3)b1 = 3 * px(0) - 6 * px(1) + 3 * px(2)c1 = -3 * px(0) + 3 * px(1)d1 = px(0)a2 = -py(0) + 3 * py(1) - 3 * py(2) + py(3)b2 = 3 * py(0) - 6 * py(1) + 3 * py(2)c2 = -3 * py(0) + 3 * py(1)d2 = py(0)然后根据三次Bezier曲线的特点来定义为以u为变量的函数，然后根据取点速率的不同来绘制相应四个顶点的曲线。

三、程序代码：Private Sub Command1_Click()Picture1.DrawWidth = 2Picture1.FontSize = 12 '此处定义绘制坐标系时的字体大小，因为后面程序要用到字体设置，故此处字体设置要重新声明，不可用系统默认的字体，否则再次绘制图形时，坐标由于字体过大而很难看Picture1.Scale (-300, 300)-(300, -300) '定义PictureBox坐标系Picture1.Line (-300, 0)-(300, 0)Picture1.Line (0, 300)-(0, -300) 'VB编译系统中，其默认的是在Form（窗体）中画图，当需要在其他属性框中画图时，需要加上其对应的属性框名称Picture1.CurrentX = 270: Picture1.CurrentY = 40: Picture1.Print "X"Picture1.CurrentX = 15: Picture1.CurrentY = 285: Picture1.Print "Y"Picture1.FontSize = 9 '坐标上的数字字体小一些For i = -280 To 280 Step 40Picture1.Line (i, 0)-(i, 8)Picture1.CurrentX = i - 12: Picture1.CurrentY = -5: Picture1.Print iNext iFor j = -280 To -40 Step 40Picture1.Line (0, j)-(8, j)Picture1.CurrentX = -28: Picture1.CurrentY = j + 10: Picture1.Print jNext jFor j = 40 To 280 Step 40Picture1.Line (0, j)-(8, j)Picture1.CurrentX = -28: Picture1.CurrentY = j + 10: Picture1.Print jNext jDim px(4) As Double '定义控制点的x坐标的数组Dim py(4) As Double '定义控制点的y坐标的数组Dim a1, b1, c1, d1 As Double '定义x系数Dim a2, b2, c2, d2 As Double '定义y系数Dim x, y, u As Double '定义曲线中的自变量u和变量x，yIf (Not IsNumeric(Text1) Or Not IsNumeric(Text2) Or Not IsNumeric(Text3) Or Not IsNumeric(Text4) _Or Not IsNumeric(Text5) Or Not IsNumeric(Text6) Or Not IsNumeric(Text7) Or Not IsNumeric(Text8)) ThenMsgBox "对不起！系统检测到数据输入不完整，请您输入完整后绘图。

1. 概述贝塞尔曲线是计算机绘图中常用的一种曲线类型，它具有良好的光滑性和控制性。

在三维图形学中，三次贝塞尔曲面作为一种重要的曲面类型，经常被用于建模和渲染复杂的曲面形状。

本文将介绍使用16个控制点构建三次贝塞尔曲面的代码实现。

2. 贝塞尔曲面的数学原理贝塞尔曲面是由多个贝塞尔曲线在参数空间上的一种延伸，它可以由控制点和基函数来表示。

在三维空间中，三次贝塞尔曲面可以由16个控制点来定义，这些控制点确定了曲面在参数空间上的形状。

3. 三次贝塞尔曲面的代码实现在计算机图形学中，我们可以通过编程的方式来实现三次贝塞尔曲面的绘制。

下面是一个使用OpenGL库实现三次贝塞尔曲面的伪代码：```c// 定义16个控制点Point controlPoints[4][4];// 计算基函数float B(int i, float t) {if (i == 0) {return (1 - t) * (1 - t) * (1 - t);} else if (i == 1) {return 3 * t * (1 - t) * (1 - t);} else if (i == 2) {return 3 * t * t * (1 - t);} else {return t * t * t;}}// 计算三次贝塞尔曲面上的点Point evaluateBezierSurface(float u, float v) { Point p(0, 0, 0);for (int i = 0; i < 4; i++) {for (int j = 0; j < 4; j++) {p += controlPoints[i][j] * B(i, u) * B(j, v); }}return p;}// 绘制三次贝塞尔曲面void drawBezierSurface() {for (float u = 0; u <= 1; u += 0.01) {glBegin(GL_LINE_STRIP);for (float v = 0; v <= 1; v += 0.01) {Point p = evaluateBezierSurface(u, v); glVertex3f(p.x, p.y, p.z);}glEnd();}for (float v = 0; v <= 1; v += 0.01) {glBegin(GL_LINE_STRIP);for (float u = 0; u <= 1; u += 0.01) {Point p = evaluateBezierSurface(u, v); glVertex3f(p.x, p.y, p.z);}glEnd();}}```4. 代码解析上述代码中，首先定义了16个控制点，然后通过基函数计算得到三次贝塞尔曲面上的点，最后通过OpenGL库中的函数来绘制曲面。

de casteljau算法,绘出3次bezier曲线代码以下是使用Python实现de Casteljau算法绘制3次贝塞尔曲线的代码：import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npdef de_casteljau(t, points):"""使用de Casteljau算法计算贝塞尔曲线上的点:param t: 参数，取值范围为[0, 1]:param points: 控制点列表，长度为n+1，表示n个控制点和曲线上的一个点:return: 贝塞尔曲线上的一个点"""n = len(points) - 1new_points = []for i in range(n):new_points.append((1 - t) * points[i] + t * points[i + 1])return new_points[-1]def bezier_curve(points, num_steps):"""绘制贝塞尔曲线:param points: 控制点列表，长度为n+1，表示n个控制点和曲线上的一个点:param num_steps: 参数t的取值个数，即曲线上的点数"""t = np.linspace(0, 1, num_steps)curve = []for i in range(num_steps):curve.append(de_casteljau(t[i], points))return curve# 控制点列表，长度为4，表示3个控制点和曲线上的一个点control_points = np.array([[0, 0], [0, 1], [1, 1], [1, 0]])# 绘制贝塞尔曲线，取100个参数t的值curve = bezier_curve(control_points, 100)# 使用matplotlib绘制贝塞尔曲线和3个控制点plt.plot(*control_points.T, 'ro-', label='Control Points')plt.plot(*curve, 'bo-', label='Bezier Curve')plt.legend()plt.show()在上面的代码中，我们首先定义了两个函数：de_casteljau()和bezier_curve()。

第三次作业三次Bezier曲线的绘制一．解题思路：Bezier曲线是用N+1个顶点（控制点）所构成的N根折线来定义一根N阶曲线。

本次作业中的三次Bezier曲线有4个顶点，设它们分别为P0，P1，P2，P3，那么对于曲线上各个点Pi（x,y）满足下列关系：x=x0*1-u)*(1-u)*(1-u)+x1 *3*u*(1-u)*(1-u)+x2 *3*u*u*(1-u)+x3 *t*t*ty=y0*(1-u)*(1-u)*(1-t)+y1*3*u*(1-u)*(1-u)+y2*3*u*u*(1-u) +y3 *u*u*u所以只要确定控制点的坐标，该曲线可通过编程即可绘制出来。

本题取的初始控制点为：p0(-600,100)、p1(-300,400)、p2(300,600)、p3(600,100)。

还可以通过输入不同的控制点画出不同的三次Bezier曲线。

程序中有绘制曲线，清空，清屏，退出四个按钮，其中点击绘制曲线按钮可根据控制点绘制出相应的曲线；点击清空按钮则可以将已绘制的曲线清除；点击清屏按钮可以将输入文本框中的数据清除，以方便输入新的数据；点击退出按钮则退出程序。

二．程序代码Function f()Picture1.FontSize = 9Picture1.Scale (-900, 1000)-(900, -1000)Picture1.Line (-800, 0)-(800, 0)Picture1.Line (0, 800)-(0, -800)For i = -7 To 7Picture1.Line (100 * i, 0)-(100 * i, 20)Picture1.CurrentX = i * 100 - 50: Picture1.CurrentY = -5: Picture1.Print i * 100Next iFor i = -7 To -1Picture1.Line (0, 100 * i)-(20, 100 * i)Picture1.CurrentX = -100: Picture1.CurrentY = 100 * i + 20: Picture1.Print i * 100Next iFor i = 1 To 7Picture1.Line (0, 100 * i)-(20, 100 * i)Picture1.CurrentX = -100: Picture1.CurrentY = 100 * i + 20: Picture1.Print i * 100 Next iEnd FunctionPrivate Sub Form_Load()Picture1.AutoRedraw = TruePicture1.ScaleWidth = 900Picture1.ScaleHeight = 900fText1.Text = -600: Text2.Text = 100: Text3.Text = -300: Text4.Text = 400Text5.Text = 300: Text6.Text = 600: Text7.Text = 600: Text8.Text = 100End SubPrivate Sub command1_Click()x0 = Text1.Text: y0 = Text2.TextX1 = Text3.Text: Y1 = Text4.TextX2 = Text5.Text: Y2 = Text6.TextX3 = Text7.Text: Y3 = Text8.TextPicture1.FontSize = 18Picture1.CurrentX = 800: Picture1.CurrentY = -5: Picture1.Print "X"Picture1.CurrentX = 10: Picture1.CurrentY = 810: Picture1.Print "Y"For t = 0 To 1 Step 0.001x = x0 * (1 - t) * (1 - t) * (1 - t) + X1 * 3 * t * (1 - t) * (1 - t) + X2 * 3 * t * t * (1 - t) + X3 * t * t * ty = y0 * (1 - t) * (1 - t) * (1 - t) + Y1 * 3 * t * (1 - t) * (1 - t) + Y2 * 3 * t * t * (1 - t) + Y3 * t * t * tPicture1.CurrentX = x0 + 10: Picture1.CurrentY = y0 + 10: Picture1.Print "p0"Picture1.CurrentX = X1 + 10: Picture1.CurrentY = Y1 + 10: Picture1.Print "p1" Picture1.CurrentX = X2 + 10: Picture1.CurrentY = Y2 + 10: Picture1.Print "p2" Picture1.CurrentX = X3 + 10: Picture1.CurrentY = Y3 + 10: Picture1.Print "p3"Picture1.DrawWidth = 1Picture1.Line (x0, y0)-(X1, Y1), vbBluePicture1.Line (X1, Y1)-(X2, Y2), vbBluePicture1.Line (X2, Y2)-(X3, Y3), vbBluePicture1.DrawWidth = 2Picture1.PSet (x, y), vbRedNext tEnd SubPrivate Sub Command2_Click()Picture1.ClsfEnd SubPrivate Sub Command3_Click()Text1.Text = ""Text2.Text = ""Text3.Text = ""Text4.Text = ""Text5.Text = ""Text6.Text = ""Text7.Text = ""Text8.Text = ""End SubPrivate Sub Command4_Click()EndEnd Sub三．运行结果截图四．小结通过此次作业，我对Bezier曲线有了一定的了解，同时也学会了如何用VB来绘制Bezier曲线，和其他一些类似的曲线，使我对VB 的使用有了更进一步的了解。

Python是一种高级编程语言，它在数据科学、机器学习、人工智能等领域都有广泛的应用。

贝塞尔曲线是一种有很多应用的数学曲线，它在计算机图形学、动画制作等领域有着重要的作用。

本文将介绍如何使用Python实现三次贝塞尔曲线的参数方程。

1. 三次贝塞尔曲线简介三次贝塞尔曲线是贝塞尔曲线中的一种，它由四个点P0、P1、P2、P3确定。

根据这四个点可以得到两个控制点Q0、Q1：Q0 = P0 + (P1 - P0) * tQ1 = P1 + (P2 - P1) * t再根据这两个控制点可以得到最终的贝塞尔曲线上的点：B(t) = Q0 + (Q1 - Q0) * t2. 三次贝塞尔曲线的参数方程三次贝塞尔曲线的参数方程表示了曲线上的点与参数t的关系。

在上面的公式中，t的取值范围一般是[0,1]。

当t为0时，得到的点是P0；当t为1时，得到的点是P3。

其他取值范围则表示了曲线上的其他点。

3. 使用Python实现下面我们使用Python实现三次贝塞尔曲线的参数方程。

```pythonimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef bezier_curve(P0, P1, P2, P3, t):Q0 = P0 + (P1 - P0) * tQ1 = P1 + (P2 - P1) * tQ2 = P2 + (P3 - P2) * tR0 = Q0 + (Q1 - Q0) * tR1 = Q1 + (Q2 - Q1) * tB = R0 + (R1 - R0) * treturn BP0 = np.array([0, 0])P1 = np.array([1, 3])P2 = np.array([3, 4])P3 = np.array([5, 2])t_values = np.linspace(0, 1, 100)curve = np.array([bezier_curve(P0, P1, P2, P3, t) for t in t_values])plt.plot(curve[:, 0], curve[:, 1])plt.scatter([P0[0], P1[0], P2[0], P3[0]], [P0[1], P1[1], P2[1], P3[1]]) plt.show()```在这段代码中，我们定义了`bezier_curve`函数来计算指定参数t时的点。

js计算三次贝塞尔曲线控制点坐标摘要：一、贝塞尔曲线的介绍1.贝塞尔曲线的定义2.贝塞尔曲线的应用二、计算三次贝塞尔曲线的控制点坐标1.计算方法概述2.具体计算步骤a.计算曲线起点和终点坐标b.计算控制点坐标c.验证计算结果三、JavaScript 实现计算三次贝塞尔曲线的控制点坐标1.使用函数实现2.函数参数及返回值3.代码实现正文：一、贝塞尔曲线的介绍贝塞尔曲线是一种以计算机图形学中广泛使用的曲线。

它由一个起点、一个终点和两个控制点决定。

贝塞尔曲线在计算机图形学中有广泛的应用，例如在路径、填充和描边等方面。

二、计算三次贝塞尔曲线的控制点坐标1.计算方法概述在计算三次贝塞尔曲线的控制点坐标时，需要先计算起点和终点坐标，然后通过一定的公式计算出两个控制点的坐标。

计算过程包括以下步骤：2.具体计算步骤a.计算曲线起点和终点坐标这一步通常已知，可以根据给定的参数直接计算得出。

b.计算控制点坐标根据贝塞尔曲线的公式，可以计算出两个控制点的坐标。

具体的公式如下：控制点1 坐标：(x1, y1) = (2 * x0 - x1, 2 * y0 - y1)控制点2 坐标：(x2, y2) = (x1 - 2 * x0, y1 - 2 * y0)c.验证计算结果为了确保计算结果的正确性，可以通过将计算出的控制点坐标代入贝塞尔曲线方程进行验证。

如果计算结果满足贝塞尔曲线方程，则说明计算正确。

三、JavaScript 实现计算三次贝塞尔曲线的控制点坐标1.使用函数实现可以使用一个函数来实现计算三次贝塞尔曲线的控制点坐标的功能。

函数可以接收起点、终点坐标以及曲线参数作为参数，然后返回两个控制点的坐标。

三阶贝塞尔曲线公式 c语言三阶贝塞尔曲线是一种常用的曲线插值方法，它可以通过四个控制点来描述曲线的形状。

在C语言中，可以使用以下公式来实现三阶贝塞尔曲线：c.typedef struct {。

float x;float y;} Point;// 计算三阶贝塞尔曲线上的点。

Point calculateBezierPoint(Point points, float t) {。

Point result;float u = 1 t;float tt = t t;float uu = u u;float uuu = uu u;float ttt = tt t;result.x = uuu points[0].x + 3 uu t points[1].x + 3 u tt points[2].x + ttt points[3].x;result.y = uuu points[0].y + 3 uu t points[1].y + 3 u tt points[2].y + ttt points[3].y;return result;}。

在这个公式中，我们首先定义了一个Point结构体来表示二维坐标点，然后使用calculateBezierPoint函数来计算三阶贝塞尔曲线上的点。

函数接受一个Point类型的数组作为控制点，以及一个参数t（取值范围为0到1），然后根据贝塞尔曲线的计算公式，计算出曲线上的点的坐标，并将其返回。

在实际使用中，可以通过循环遍历t的取值范围，调用calculateBezierPoint函数来计算出曲线上的一系列点，从而绘制出整条贝塞尔曲线。

除了上述公式，还可以使用其他方法来实现三阶贝塞尔曲线，比如使用递归算法或者其他数学公式。

这些方法都可以根据具体的需求和实现环境来选择合适的方式来实现。

贝塞尔曲线c++贝塞尔曲线是一种数学上的曲线，可以用于制作矢量图形和动画。

在C++中，可以通过以下步骤绘制二次和三次贝塞尔曲线：1. 定义控制点：贝塞尔曲线通常由几个关键点组成，称为控制点。

对于二次贝塞尔曲线，需要三个控制点（起点、终点和控制点），对于三次贝塞尔曲线，需要四个控制点。

2. 计算曲线点：使用以下公式计算曲线上的任意点：二次贝塞尔曲线：P(t) = (1-t)²*P0 + 2t(1-t)*P1 +t²*P2三次贝塞尔曲线：P(t) = (1-t)³*P0 + 3t(1-t)²*P1 +3t²(1-t)*P2 + t³*P3其中，P0、P1、P2和P3分别是控制点，t是取值范围在0到1之间的参数，P(t)是曲线上的点。

3. 绘制曲线：使用绘图库例如OpenGL或者QT绘图库，将计算出的点连接起来绘制出曲线。

以下是C++代码示例，用于绘制二次和三次贝塞尔曲线：```c++#include <iostream>#include <vector>#include <cmath>#include <GL/glut.h>using namespace std;// 二次贝塞尔曲线void drawQuadraticBezierCurve(float p0x, float p0y, float p1x, float p1y, float p2x, float p2y) {float t = 0.0;float step = 0.01;glColor3f(1.0, 0.0, 0.0); // 设置曲线颜色glBegin(GL_LINE_STRIP);while (t <= 1.0) {float x = (1 - t) * (1 - t) * p0x + 2 * (1 - t) * t * p1x + t * t * p2x;float y = (1 - t) * (1 - t) * p0y + 2 * (1 - t) * t * p1y + t * t * p2y;glVertex2f(x, y);t += step;}glEnd();glFlush();}// 三次贝塞尔曲线void drawCubicBezierCurve(float p0x, float p0y, float p1x, float p1y, float p2x, float p2y, float p3x, float p3y) {float t = 0.0;float step = 0.01;glColor3f(0.0, 1.0, 0.0); // 设置曲线颜色glBegin(GL_LINE_STRIP);while (t <= 1.0) {float x = pow(1 - t, 3) * p0x + 3 * pow(1 - t, 2) * t * p1x + 3 * (1 - t) * pow(t, 2) * p2x + pow(t, 3) * p3x;float y = pow(1 - t, 3) * p0y + 3 * pow(1 - t, 2) * t * p1y + 3 * (1 - t) * pow(t, 2) * p2y + pow(t, 3) * p3y;glVertex2f(x, y);t += step;}glEnd();glFlush();}// 初始化OpenGLvoid init() {glClearColor(1.0, 1.0, 1.0, 0.0);glMatrixMode(GL_PROJECTION);glLoadIdentity();gluOrtho2D(0, 600, 0, 600);glMatrixMode(GL_MODELVIEW);}// 绘制函数void display() {glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);// 绘制二次贝塞尔曲线drawQuadraticBezierCurve(100, 100, 200, 300, 400, 400); // 绘制三次贝塞尔曲线drawCubicBezierCurve(100, 200, 200, 400, 400, 100, 500, 500);glFlush();}// 主函数int main(int argc, char** argv){glutInit(&argc, argv);glutInitDisplayMode(GLUT_SINGLE | GLUT_RGB);glutInitWindowSize(600, 600);glutInitWindowPosition(0, 0);glutCreateWindow("Bezier Curve");glutDisplayFunc(display);init();glutMainLoop();return 0;}```注意，代码中使用了OpenGL库和glut库，需要提前安装和配置。

js 三次方贝塞尔曲线贝塞尔曲线是数学中的一种曲线表示方法，其可以描述二维或三维空间中的复杂路径。

而三次方贝塞尔曲线是其中的一种特殊形式，在图形设计和计算机图形学等领域中广泛应用。

三次方贝塞尔曲线由四个控制点定义，分别称为起始点P0、结束点P3以及两个中间控制点P1和P2。

这四个点的位置和相互关系决定了贝塞尔曲线的形状。

可以将贝塞尔曲线想象成一条橡皮带，由这四个控制点拉伸和变形而成的曲线。

为了更好地理解三次方贝塞尔曲线，我们可以通过一个实际例子来说明。

假设我们想绘制一条光滑的汽车曲线，将起始点P0设为汽车的起始位置，结束点P3设为汽车的目标位置。

中间的两个控制点P1和P2则可以决定汽车曲线的形状。

例如，我们可以将P1设为汽车在转弯过程中的一个点，而P2则可以控制汽车的转弯半径和曲率。

通过调整P1和P2的位置，我们可以得到不同形状和弯曲程度的汽车曲线。

当P1和P2靠近P0和P3时，曲线将更接近直线。

而当P1和P2远离P0和P3时，曲线会更加弯曲。

三次方贝塞尔曲线的生成过程也可以用几何方法来解释。

首先，将起始点P0和结束点P3连接起来，得到一条直线段。

然后，通过将P0和P3之间的直线段分割成若干相等的小线段，并将它们与两个中间的控制点P1和P2进行连接。

最后，通过逐渐增加每个小线段与P1和P2的连接点，就可以形成三次方贝塞尔曲线。

利用三次方贝塞尔曲线，我们可以实现许多创意设计和图形效果。

例如，在计算机图形学中，贝塞尔曲线可以用于创建平滑的角度过渡、绘制复杂的路径动画，甚至是模拟自然界中的光线折射等。

在工业设计中，贝塞尔曲线也被广泛应用于汽车外形设计、产品造型等方面。

总结起来，三次方贝塞尔曲线是一种强大的曲线表示方法，其对于描述复杂路径和图形效果具有重要意义。

通过灵活调整控制点的位置，我们可以在设计中实现丰富多样的变形和动画效果。

无论是在计算机图形学、工业设计还是其他领域，了解和掌握三次方贝塞尔曲线的应用都是非常重要的。

C++⽣成三次贝塞尔曲线// 三次贝塞尔.cpp : Defines the entry point for the console application.//#include "stdafx.h"#include <stdio.h>#include <iostream>#include <vector>#define NUM_STEPS 30 //越⼤，曲线越密，越逼近using namespace std;class CvPoint{public:float x;float y;CvPoint(){x=0.0;y=0.0;}CvPoint(float a,float b){x=a;y=b;}};void curve4(vector<CvPoint> &p,double x1, double y1, //Anchor1double x2, double y2, //Control1double x3, double y3, //Control2double x4, double y4) //Anchor2{CvPoint tmp0(x1,y1);p.push_back(tmp0);double dx1 = x2 - x1;double dy1 = y2 - y1;double dx2 = x3 - x2;double dy2 = y3 - y2;double dx3 = x4 - x3;double dy3 = y4 - y3;double subdiv_step = 1.0 / (NUM_STEPS + 1);double subdiv_step2 = subdiv_step*subdiv_step;double subdiv_step3 = subdiv_step*subdiv_step*subdiv_step;double pre1 = 3.0 * subdiv_step;double pre2 = 3.0 * subdiv_step2;double pre4 = 6.0 * subdiv_step2;double pre5 = 6.0 * subdiv_step3;double tmp1x = x1 - x2 * 2.0 + x3;double tmp1y = y1 - y2 * 2.0 + y3;double tmp2x = (x2 - x3)*3.0 - x1 + x4;double tmp2y = (y2 - y3)*3.0 - y1 + y4;double fx = x1;double fy = y1;double dfx = (x2 - x1)*pre1 + tmp1x*pre2 + tmp2x*subdiv_step3;double dfy = (y2 - y1)*pre1 + tmp1y*pre2 + tmp2y*subdiv_step3;double ddfx = tmp1x*pre4 + tmp2x*pre5;double ddfy = tmp1y*pre4 + tmp2y*pre5;double dddfx = tmp2x*pre5;double dddfy = tmp2y*pre5;int step = NUM_STEPS;while(step--){fx += dfx;fy += dfy;dfx += ddfx;dfy += ddfy;ddfx += dddfx;ddfy += dddfy;CvPoint tmp1(fx,fy);p.push_back(tmp1);}CvPoint tmp2(x4,y4);p.push_back(tmp2);}int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){CvPoint point[4];point[0].x=1.0;point[0].y=4.0;point[1].x=2.2;point[1].y=5.0;point[2].x=6;point[2].y=3;point[3].x=8;point[3].y=9;vector<CvPoint> curvePoint;curve4(curvePoint,point[0].x,point[0].y,point[1].x,point[1].y,point[2].x,point[2].y,point[3].x,point[3].y);int i=0;for(;i<curvePoint.size();i++){cout<<"("<<curvePoint[i].x<<","<<curvePoint[i].y<<")"; if((i+1)%2==0)cout<<endl;}cout<<endl<<"点的个数："<<i<<endl;system("pause");return 0;}。

集美大学计算机工程学院实验报告课程名称计算机图形学教程实验名称实验五、编程生成“三次贝塞尔”曲线实验类型设计型姓名学号日期12月12日地点成绩教师一、实验目的：一方面，让学生对自由曲线的生成算法有更深入的理解，特别是对于曲线的逼近，能够通过实验编程来验证书上所提供的算法思想：另一方面，在图形程序设计方法（如设计各种各样的图形）、绘图函数的使用以及C和C++语言编程环境、程序的调试和测试方面受到比较系统和严格的训练。

二、实验内容：运用所学的三次贝塞尔曲线生成的算法，根据以下数据点[x, y]：[50, 100] [80, 230] [100, 270] [140, 160] [180, 50] [240, 65] [270, 120] [330, 230] [380, 230] [430, 150]计算出结果，并实现三段贝塞尔在屏幕上显示的功能三、实验要求：（1）3段三次贝塞尔曲线在衔接点上要连续，曲线整体效果要光滑。

（2）整个图形轮廓要清晰，色彩要分明四、实验环境：1．PC，CPU：P4 2.0GHz以上，内存：512M，硬盘：40GB以上；2．操作系统：Microsoft Windows 2000 /2003/XP；3．软件：VC或JAVA等。

五、实验内容及完成情况：#include "graphics.h"#include "conio.h"#include "stdio.h"typedef struct{double x,y;} DPOINT; //定义结构体class Bezier //定义Bezier类{private:DPOINT* bP;int m_maxIndex;void drawFrame();void drawCurve();void drawCurve(int p0,int p1,int p2,int p3);public:Bezier(DPOINT* p,int len); //定义构造函数void draw();};Bezier::Bezier(DPOINT* p,int len) //构造函数的实现{this ->bP=p;m_maxIndex=len-1;}void Bezier::draw() //通过公有函数调用私有函数{drawFrame();drawCurve();}void Bezier::drawFrame() //其功能是绘制出多边形和各个端点{setcolor(12);for(int i=0;i<m_maxIndex;i++){line( bP[i].x, bP[i].y, bP[i+1].x, bP[i+1].y ); //绘制多边形circle(bP[i].x, bP[i].y,5); //绘制各个端点}circle(bP[m_maxIndex].x,bP[m_maxIndex].y,5);}void Bezier::drawCurve() //实现多段Bezier曲线绘制的功能{for(int i=0;i<=m_maxIndex-3;i+=3){drawCurve(i,i+1,i+2,i+3);}}void Bezier::drawCurve(int p0,int p1,int p2,int p3) //实现绘制某一段Bezier曲线的功能{double tmpx=0.0;double tmpy=0.0;double t=0.0;for(;t<=1.0;t+=0.001){tmpx=(-bP[p0].x+3*bP[p1].x-3*bP[p2].x+bP[p3].x)*t*t* t+(3*bP[p0].x-6*bP[p1].x+3*bP[p2].x)*t*t+(-3*bP[p0].x+ 3*bP[p1].x)*t+bP[p0].x;tmpy=(-bP[p0].y+3*bP[p1].y-3*bP[p2].y+bP[p3].y)*t*t* t+(3*bP[p0].y-6*bP[p1].y+3*bP[p2].y)*t*t+(-3*bP[p0].y+ 3*bP[p1].y)*t+bP[p0].y;putpixel(tmpx,tmpy,3);}}void main() //主函数的实现{int graphdriver=DETECT,graphmode;initgraph(&graphdriver,&graphmode,"E:\\tc3\\bgi");setbkcolor(0);outtextxy(10,20,"n\n\n\n\n\n\ jisuan1013 2010810070 chengaowei");DPOINT* p;p=new DPOINT[10];p[0].x=50.0;p[0].y=100.0;p[1].x=80.0;p[1].y=230.0;p[2].x=100.0;p[2].y=270.0;p[3].x=140.0;p[3].y=160.0;p[4].x=180.0;p[4].y=50.0;p[5].x=240.0;p[5].y=65.0;p[6].x=270.0;p[6].y=120.0;p[7].x=330.0;p[7].y=230.0;p[8].x=380.0;p[8].y=230.0;p[9].x=430.0;p[9].y=150.0;Bezier bzr(p,10);bzr.draw();delete p;getch();closegraph();}运行结果：六、实验总结：通过这次实验，让我对自由曲线的生成算法有更深入的理解，特别是对于曲线的逼近，能够通过实验编程来验证书上所提供的算法思想，在图形程序设计方法（如设计各种各样的图形）、绘图函数的使用以及C和C++语言编程环境、程序的调试和测试方面受到比较系统和严格的训练。

Bezier曲线原理及实现代码（c++）一、原理：贝塞尔曲线于1962年，由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。

贝塞尔曲线最初由Paul de Casteljau于1959年运用de Casteljau 算法开发，以稳定数值的方法求出贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线给定点P0、P1，线性贝塞尔曲线只是一条两点之间的直线。

这条线由下式给出：且其等同于线性插值。

二次方贝塞尔曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B(t) 追踪：。

TrueType字型就运用了以贝塞尔样条组成的二次贝塞尔曲线。

P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。

曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。

一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。

P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。

曲线的参数形式为：。

现代的成象系统，如PostScript、Asymptote和Metafont，运用了以贝塞尔样条组成的三次贝塞尔曲线，用来描绘曲线轮廓。

一般化P0、P1、…、P n，其贝塞尔曲线即。

例如：。

如上公式可如下递归表达：用表示由点P0、P1、…、P n所决定的贝塞尔曲线。

则用平常话来说，阶贝塞尔曲线之间的插值。

一些关于参数曲线的术语，有即多项式又称作n阶的伯恩斯坦基底多项式，定义00 = 1。

点P i称作贝塞尔曲线的控制点。

多边形以带有线的贝塞尔点连接而成，起始于P0并以P n终止，称作贝塞尔多边形（或控制多边形）。

贝塞尔多边形的凸包（convex hull）包含有贝塞尔曲线。

线性贝塞尔曲线函数中的 t 会经过由 P 0 至P 1 的 B(t ) 所描述的曲线。

例如当 t=0.25 时，B(t ) 即一条由点 P 0 至 P 1 路径的四分之一处。

就像由 0 至 1 的连续 t ，B(t ) 描述一条由 P 0 至 P 1 的直线。

三阶贝塞尔曲线js算法实现贝塞尔曲线是计算机图形学中的一种重要工具，常用于绘制光滑的曲线。

一个n阶贝塞尔曲线由n+1个控制点P0, P1, ..., Pn定义。

对于三阶贝塞尔曲线，我们有4个控制点P0, P1, P2, P3。

以下是一个使用JavaScript实现三阶贝塞尔曲线的简单示例：javascriptfunction bezier(t, p0, p1, p2, p3) {var one_minus_t = 1.0 - t;var be = new Array(4);be[0] = Math.pow(one_minus_t, 3); be[0] *= p0;be[1] = 3 * Math.pow(one_minus_t, 2) * t * p1;be[2] = 3 * one_minus_t * Math.pow(t, 2) * p2;be[3] = Math.pow(t, 3) * p3;return be;}var p0 = [0, 0]; // 控制点P0var p1 = [1, 2]; // 控制点P1var p2 = [2, 0]; // 控制点P2var p3 = [3, 0]; // 控制点P3for (var t = 0; t <= 1; t += 0.1) {var point = bezier(t, p0, p1, p2, p3);console.log(point); // 输出当前t值对应的曲线上的点}在这个示例中，bezier函数接受一个参数t（在0和1之间）和四个控制点的数组，然后返回一个表示曲线上的点的数组。

然后，我们用一个循环来遍历t的值，并打印出每个t值对应的曲线上的点。