经济问题题库教师版 This model paper was revised by LINDA on December 15, 2012.
1. 分析找出试题中经济问题的关键量。
2. 建立条件之间的联系，列出等量关系式。
3. 用解方程的方法求解。
4. 利用分数应该题的方法进行解题
一、经济问题主要相关公式： =+售价成本利润，100%100%-=?=?售价成本利润率利润成本成本
； 1=?+售价成本（利润率）
，1=+售价成本利润率 其它常用等量关系：
售价=成本×（1+利润的百分数）；
成本=卖价÷（1+利润的百分数）；
本金：储蓄的金额；
知识点拨
教学目标 6-2-2经济问题
利率：利息和本金的比；
利息=本金×利率×期数；
含税价格=不含税价格×（1+增值税税率）；
二、经济问题的一般题型
(1)直接与利润相关的问题：
直接与利润相关的问题，无非是找成本与销售价格的差价。
(2)与利润无直接联系，但是涉及价格变动的问题：
涉及价格变动，虽然没有直接提到利润的问题，但是最终还是转化成(1)的情况。三、解题主要方法
1．抓不变量(一般情况下成本是不变量)；
2．列方程解应用题．
例题精讲
【例 1】某商店从阳光皮具厂以每个80元的价格购进了60个皮箱，这些皮箱共卖了6300元。这个商店从这60个皮箱上共获得多少利润？
【例 2】
【解析】6300-60×80=1500（元）
【例 3】 李师傅以1元钱3个苹果的价格买进苹果若干个，以1元钱2个苹果的价格
将这些苹果卖出，卖出一半后，因为苹果降价只能以2元钱7个苹果的价格将剩下的苹果卖出．不过最后他不仅赚了24元钱，还剩下了1个苹果，那么他买了多少个苹果？
【例 4】
【解析】 经济问题都是和成本、利润相关的，所以只要分别考虑前后的利润即可．
1元钱3个苹果，也就是一个苹果1
3元；1元钱2个苹果，也就是一个苹果12
元；卖出一半后，苹果降价只能以2元钱7个苹果的价格卖出，也就是每个
2
7元． 在前一半的每个苹果可以挣1
11236-=(元)，而后一半的每个苹果亏
1213721-=(元)．假设后一半也全卖完了，即剩下的1个苹果统一按亏的价卖得27元，就会共赚取2
247
元钱． 如果从前、后两半中各取一个苹果，合在一起销售，这样可赚得
11562142
-=(元)，所以每一半苹果有2524204742÷=个，那么苹果总数为2042408?=个．
【巩固】 某商品价格因市场变化而降价，当初按盈利27%定价，卖出时如果比原价便
宜4元，则仍可赚钱25%，求原价是多少元？
【巩固】
【解析】 根据量率对应得到成本为：()427%25%200÷-=，当初利润为：
20027%54?=（元）所以原价为：20054254+=（元）
【例 5】 (2008年清华附中考题)王老板以2元/个的成本买入菠萝若干个，按照定价卖出了全部菠萝的4
5后，被迫降价为：5个菠萝只卖2元，直至卖完剩下的菠
萝，最后一算，发现居然不亏也不赚，那么王老板一开始卖出菠萝的定价为 元/个．
【解析】 降价后5个菠萝卖2元，相当于每个菠萝卖0.4元，则降价后每个菠萝亏
20.4 1.6-=元，由于最后不亏也不赚，所以开始按定价卖出的菠萝赚得的与降价后亏损的相等，而开始按定价卖出的菠萝的量为降价后卖出的菠萝的4倍，所以按定价卖出的菠萝每个菠萝赚：1.640.4÷=元，开始的定价为：20.4 2.4+=元．
【例 6】 （难度等级 ※※※）某人在某国用5元钱买了两块鸡腿和一瓶啤酒，当物
价上涨20％后，5元钱恰好可买一块鸡腿和一瓶啤酒，当物价又上涨20％，这5元钱能否够买一瓶啤酒？
【例 7】
【解析】 方法一：以原来鸡腿和啤酒的价格为基准，所以可列下面的式子：两块鸡腿
+一瓶啤酒=5元
(一块鸡腿+一瓶啤酒）×(1+20%)＝5元；1瓶啤酒=4块鸡腿，所以原来一瓶啤酒要20/6元。物价上涨两次20%以后，啤酒的价格为：20/6×（1+20%）
(1+20%)=4.8元。所以还能买到一瓶啤酒。
方法二：物价上涨20%后，如果钱也增加20%，那么就仍然可买两块鸡腿和一瓶啤酒。两块鸡腿 + 一瓶啤酒=6元。但是现在一块鸡腿+一瓶啤酒=5元，则一块鸡腿=1元。一瓶啤酒=4元。再上涨20%以后，一瓶啤酒为：4×（1+20%）=4.8元。
【巩固】 某商品按每个5元的利润卖出4个的钱数，与按每个20元的利润卖出3个
的钱数一样多，这种商品每个成本是多少元
【巩固】
【解析】 方法一：根据题意存在下面的关系（5元＋成本）×4＝（20元＋成本）×
3，经过倒退可以列式子为：()()203544340?-?÷-=（元），所以成本为40元 方法二：成本不变，每件利润多20515-=（元），3件多15345?=（元），多与少恰好相等，少卖1个少45元，原价利润5元+成本，成本为45540-=（元）。
【巩固】 （难度等级 ※※※※※）某人以每3只16分的价格购进一批桔子。随后又
以每4只21分的价格购进数量是前一批2倍的桔子，若他想赚取全部投资20%的盈利，则应以每3只多少分的标价出售？
【巩固】
【解析】 可以设第一次购进12（是3、4的最小公倍数）子，第二次购进24子，其
投资为：16×（12÷3）＋21×（24÷4）＝190（分）若想获利20%，应该售价为()()190120%1224319?+÷+÷=????
【例 8】 一千克商品随季节变化降价出售，如果按现价降价10%，仍可获利180元，
如果降价20%就要亏损240元，这种商品的进价是多少元？
【例 9】
【解析】
根据盈亏问题可得现价为：()()18024020%10%4200+÷-=， 所以成本为：()110%42001803600-?-= (元)
【巩固】 (2008年实验中学考题)某种商品按定价卖出可得利润960元，若按定价的
80%出售，则亏损832元．问：商品的购入价是________元．
【解析】 该商品的定价为：(832960)(180%)8960+÷-=(元)，则购入价为：
89609608000-=(元)．
【巩固】 一千克商品按20%的利润定价，然后又按8折售出，结果亏损了64元，这
千克商品的成本是多少元？
【巩固】
【解析】
()641120%80%1600÷-+?=????（元） 【例 10】 （2008年第六届“希望杯”一试六年级）春节期间，原价100元／件的某商
品按以下两种方式促销：第一种方式：减价20元后再打八折；第二种方式：打
八折后再减价20元．那么，能使消费者少花钱的方式是第 种。
【解析】 方法一：设原价是a 元，第一种促销价为()0.8200.816a a -=-（元），第二种
促销价为(0.820)a -元，由于0.8160.820a a ->-，所以少花钱的方式是第二种.
方法二：第一种促销价格为()100200.864-?=，第二种促销价格为
1000.82060?-=（元），所以选第二种。
【巩固】 甲、乙两店都经营同样的某种商品，甲店先涨价10%后，又降价10%；乙店
先涨价15%后，又降价15%。此时，哪个店的售价高些？
【巩固】
【解析】
甲店原价：()()110%110%99%+?-=； 对于乙店原价为：()()115%115%97.75%+?-= ，所以甲店售价更高些。
【巩固】 (2008年清华附中考题)某种皮衣定价是1150元，以8折售出仍可以盈利
15%，某顾客再在8折的基础上要求再让利150元，如果真是这样，商店是盈利还是亏损？
【巩固】
【解析】 该皮衣的成本为：()11500.8115%800?÷+=元，在8折的基础上再让利150元
为：11500.8150770?-=元，所以商店会亏损30元．
【例 11】 （难度等级 ※※※※）一件衣服，第一天按原价出售，没人来买，第二天
降价20％出售，仍无人问津，第三天再降价24元，终于售出。已知售出价格恰是原价的56％，这件衣服还盈利20元，那么衣服的成本价多少钱？
【例 12】
【解析】 我们知道从第二天起开始降价，先降价20%然后又降价24元，最终是按原
价的56%出售的，所以一共降价44%，因而第三天降价24%。24÷24%=100元。原
价为100元。因为按原价的56%出售后，还盈利20元，所以100×56%-20=36
元。所以成本价为：36元。
【例 13】 （难度等级 ※）某公司股票当年下跌20％，第二年上涨多少才能保持原值
【例 14】
【解析】 本题需要了解股票下跌和上涨之间的关系,因为上涨值未知,所以可设某公司
股票为1,第二年上涨x 才能保持原值,则可列方程为:（1－20%）×（1＋x ）=1，所以x ＝25%，则第二年应该上涨25%才能保持原值.
【巩固】 （难度等级 ※※※）某商按定价的80%（八折）出售，仍能获得20%的利
润，定价时期望的利润百分数是多少？
【巩固】
【解析】 设定价时“1”，卖价是定价的80%，就是0.8.因为获得20%的利润，卖价
是成本乘以（1+20%），即1.2倍，所以成本是定价的2
8 1.23÷=，定价的期望利润的百分数是22150%33
??-÷= ??? 【例 15】 有一种商品，甲店进货价比乙店进货价便宜10%．甲店按20%的利润来定
价，乙店按15%的利润来定价，甲店的定价比乙店的定价便宜11.2元．甲店的进货价是多少元
【例 16】
【解析】因为甲店进货价比乙店进货价便宜10%，所以甲店进货价是乙店的90%．设乙店的进货价为x元，则甲店的进货价为90%x元．由题意可知，甲店的定价为
()
90%120%
x?+元，乙店的定价为()
115%
x?+元，而最终甲店的定价比乙店的定价便宜11.2元，由此可列方程：()()
115%90%120%11.2
x x
?+-?+=．解得160
x=(元)，那么甲店的进货价为16090%144
?=(元)．
【巩固】某商店进了一批笔记本，按30%的利润定价．当售出这批笔记本的80%后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售．问销完后商店实际获得的
利润百分数是多少？
【巩固】
【解析】设这批笔记本的成本是“1”．因此定价是()
1130% 1.3
?+=．其中80%的卖价是1.380%
?，20%的卖价是1.3220%
÷?．
因此全部卖价是1.380% 1.3220% 1.17
?+÷?=．
实际获得利润的百分数是1.1710.1717%
-==．
【例 17】(2008年清华附中考题)某书店购回甲、乙两种定价相同的书，其中甲种书
占3
5
，需按定价的78%付款给批发商，乙种书按定价的82%付款给批发商，请算算，书店按定价销售完这两种书后获利的百分率是多少？
【例 18】
【解析】设甲、乙两种书的定价为a，甲、乙两种书的总量为b，则甲种书数量为
3 5b，乙种书数量为
2
5
b，则书店购买甲、乙两种书的成本为：
3278%82%0.79655
a b a b ab ??+??=，而销售所得为ab ，所以获利的百分率为：()0.7960.796100%26%ab ab ab -÷?=．
【例 19】 某家商店决定将一批苹果的价格降到原价的70%卖出，这样所得利润就只有原计划的13
．已知这批苹果的进价是每千克6元6角，原计划可获利润2700
元，那么这批苹果共有多少千克？ 【例 20】
【解析】 原价的30%相当于原利润的2
3，所以原利润相当于原价的230%45%3÷=，则
原价与原利润的比值为20:9，因此原利润为每千克96.6 5.4209?
=-元；又原计划获利2700元，则这批苹果共有2700 5.4500÷=千克．
【巩固】 某商家决定将一批苹果的价格提高20%，这时所得的利润就是原来的两
倍．已知这批苹果的进价是每千克6元，按原计划可获利润1200元，那么这批苹果共有多少千克？
【巩固】
【解析】 根据题意可知，原价的20%就等于原来的利润，所以原价和原利润的比值为
1:20%5:1=，利润为每千克16 1.551?
=-元，所以这批苹果一共有1200 1.5800÷=千克．
【巩固】 (2008年实验中学考题)2008年1月，我国南方普降大雪，受灾严重．李先生
拿出积蓄捐给两个受灾严重的地区，随着事态的发展，李先生决定追加捐赠资
金．如果两地捐赠资金分别增加10%和5%，则总捐资额增加8%；如果两地捐赠
资金分别增加15%和10%，则总捐资额增加13万元．李先生第一次捐赠了多少万
元？
【巩固】
【解析】两地捐赠资金分别增加10%和5%，则总捐资额增加8%，如果再在这个基础上两地各增加第一次捐资的5%，那么两地捐赠资金分别增加到15%和10%，总捐
资额增加了8%5%13%
÷=
+=，恰好对应13万，所以第一次李先生捐资1313%100万.
【例 21】（2008年湖北省“创新杯”六年级二试）甲、乙两种商品成本共200元。商品甲按30%的利润定价，商品乙按20%的利润定价。后来两种商品都按定价的九
折销售，结果仍获得利润27.7元。问甲种商品的成本是多少元？
【例 22】
【详解】假设把两种商品都按20%的利润来定价，那么可以获得的利润是
?+?-=元，
200(120%)90%20016
由于在计算甲商品获得的利润时，它成本所乘的百分数少了
[]
(27.716)(30%20%)90%130
-÷-?= +-+?，所以甲商品的成本是[]
(130%)(120%)90%
元。
【巩固】甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价．后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元．甲种商品
的成本是元．
【解析】甲种商品的实际售价为成本的()
+?=，所以甲种商品的利润率
120%90%108%
为8%；乙种商品的实际售价为成本的()
115%90%103.5%
+?=，所以乙种商品的利润率为3.5%．根据“鸡兔同笼”的思想，甲种商品的成本为：
()()
-?÷-=(元)．
1312200 3.5%8% 3.5%1200
【巩固】某商场将一套儿童服装按进价的50%加价后，再写上“大酬宾，八折优惠”，结果每套服装仍获利20元．这套服装的进价是元．
【解析】如果儿童服装的成本为a元，那么原来的售价为150% 1.5
?=元，优惠后的
a a
价格为1.50.8 1.2
?=元，每套服装能获利1.20.2
a a
a=，可得
-=元，所以0.220
a a a
a=，即每套服装进价为100元．
100
【巩固】体育用品商店用3000元购进50个足球和40个篮球．零售时足球加价9%，篮球加价11%，全部卖出后获利润298元．问：每个足球和篮球的进价是多少元？【巩固】
【解析】如果零售时都是加价9%，那么全部卖出后可获利润30009%270
?=元，比实际上少了29827028
÷-=元，那么
-=元，可见所有篮球的总成本为28(11%9%)1400足球的总成本为300014001600
÷=元，每个篮
-=元，故每个足球的进价为16005032球的进价为14004035
÷=元。
【例 23】某体育用品商店进了一批篮球，分一级品和二级品．二级品的进价比一级品便宜20%．按优质优价的原则，一级品按20%的利润率定价，二级品按15%的利
润率定价，一级品篮球比二级品篮球每个贵14元．一级品篮球的进价是每个多少
元？
【例 24】
【解析】设一级品的进价每个x元，则二级品的进价每个0.8x元．由一、二级品的定价可列方程：()()
x x
?+-?+=，解得50
120%0.8115%14
x=，所以一级品篮球的进价是每个50元.
【巩固】（难度等级※※※）某种蜜瓜大量上市，这几天的价格每天都是前一天的80％。妈妈第一天买了2个，第二天买了3个，第三天买了5个，共花了38
元。如果这10个蜜瓜都在第三天买，那么能少花多少钱？
【巩固】
【解析】设第一天每个蜜瓜的价格是x元。列方程：2x＋3x×80％＋5x×80％×80％＝38，解得x=5（元）。都在第三天买，要花5×10×80％×80％=32（元），少
花38-32＝6（元）。
【例 25】商店以80元一件的价格购进一批衬衫，售价为100元，由于售价太高，几天过去后还有150件没卖出去，于是商店九折出售衬衫，又过了几天，经理统计了
一下，一共售出了180件，于是将最后的几件衬衫按进货价售出，最后商店一共
获利2300元．求商店一共进了多少件衬衫？
【例 26】
【解析】(法1)由题目条件，一共有150件衬衫以90元或80元售出，有180件衬衫以100元或90元售出，所以以100元售出的衬衫比以80元售出的衬衫多-=件，剔除30件以100元售出的衬衫，则以100元售出的衬衫和以80 18015030
元售出的衬衫的数量相等，也就是说除了这30件衬衫，剩下的衬衫的平均价格为90元，平均每件利润为10元，如果将这30件100元衬衫也以90元每件出售，那么所有的衬衫的平均价格为90元，平均利润为10元，商店获利减少
3010300?=元，变成2000元，所以衬衫的总数有200010200÷=件．
(法2)按进货价售出衬衫获利为0，所以商店获利的2300元都是来自于之前售出的180件衬衫，这些衬衫中有的按利润为10元售出，有的按利润为20元售出，于是将问题转化为鸡兔同笼问题.可求得按100元价格售出的衬衫有50件，所以衬衫一共有50150200+=件衬衫．
（方法3）假设全为90元销出：()180********?-=（元），可以求按照100元售出件数为：()()23001800201050-÷-=（件），所以衬衫一共有50150200+=件衬衫．
【巩固】 商店以每件50元的价格购进一批衬衫，售价为70元，当卖到只剩下7件的
时候，商店以原售价的8折售出，最后商店一共获利702元，那么商店一共进了多少件衬衫？
【巩固】
【解析】 (法1)将最后7件衬衫按原价出售的话，商店应该获利
()7027010.87800+?-?=(元)，按原售价卖每件获利705020-=元，所以一共有
8002040÷=件衬衫．
(法2)除掉最后7件的利润，一共获利()702700.8507660-?-?=(元)，所以按原价售出的衬衫一共有()660705033÷-=件，所以一共购进33740+=件衬衫．
【巩固】商店以每双13元购进一批拖鞋，售价为14.8元，卖到还剩5双时，除去购进这批拖鞋的全部开销外还获利88元．问：这批拖鞋共有多少双？
【巩固】
【解析】(法1)将剩余的5双拖鞋都以14.8元的价格售出时，总获利升至
+?=元，即这批拖鞋以统一价格全部售出时总利润为162元；又知每双8814.85162
拖鞋的利润是14.813 1.8
÷=双．
-=元，则这批拖鞋共有162 1.890
(法2)当卖到还剩5双时，前面已卖出的拖鞋实际获利88135153
+?=元，则可知卖出了153(14.813)85
÷-=双，所以这批拖鞋共计85590
+=双.
【巩固】（难度等级※※※）某书店出售一种挂历，每售出1本可获得18元利润．售出一部分后每本减价10元出售，全部售完.已知减价出售的挂历本数是原
价出售挂历的2/3．书店售完这种挂历共获利润2870元．书店共售出这种挂历多少本
【巩固】
【解析】方法一：减价出售的本数是原价出售挂历本数的2/3，所以假设总共a本数，则原价出售的为3/5a,减价后的为2/5a，所以3/5a×18＋2/5a×8=2870，所
以a=205本。方法二：我们知道原价和减价后的比例为3：2，所以可求平均获利
多少，即(3×18＋2×8)÷5=14元.所以2870÷14=205本。
【例 27】 成本0.25元的练习本1200本，按40%的利润定价出售．当销掉80%后，剩
下的练习本打折扣出售，结果获得的利润是预定的86%，问剩下的练习本出售时是按定价打了什么折扣？
【例 28】
【解析】 先销掉80%，可以获得利润0.2540%120080%96???=(元)．最后总共获得
86%的利润，利润共0.2540%120086%103.2???=(元)，那么出售剩下的20%，要获得利润103.2967.2-=(元)，每本需要获得利润()7.2120020%0.03÷?=(元)，所以现在售价是0.250.030.28+=(元)，而定价是()0.25140%0.35?+=(元)．售价是定价的0.28100%80%0.35
?=，故出售时是打8折． 【巩固】 某店原来将一批苹果按100%的利润(即利润是成本的100%)定价出售．由于
定价过高，无人购买．后来不得不按38%的利润重新定价，这样出售了其中的
40%．此时，因害怕剩余水果腐烂变质，不得不再次降价，售出了剩余的全部水果．结果，实际获得的总利润是原定利润的30.2%．那么第二次降价后的价格是原定价的百分之多少
【巩固】
【解析】 第二次降价的利润是：(30.2%40%38%)(140%)25%-?÷-=，价格是原定价的
(125%)(1100%)62.5%+÷+=．
【例 29】 商店购进1000个十二生肖玩具，运途中破损了一些．未破损的好玩具卖完
后，利润率为50%；破损的玩具降价出售，亏损了10%．最后结算，商店总的利润率为39.2%．商店卖出的好玩具有多少个？
【例 30】
【解析】 设商店卖出的好玩具有x 个，则破损的玩具有()1000x -个．根据题意，有：
()50%100010%100039.2%x x ?--?=?，解得820x =．故商店卖出的好玩具有820
个．
【例 31】 利民商店从一家日杂公司买进了一批蚊香，然后按希望获得的纯利润，每袋
加价40%定价出售．但是，按这种定价卖出这批蚊香的90%时，夏季即将过
去．为了加快资金的周转，利民商店按照定价打七折的优惠价，把剩余的蚊香全部卖出．这样，实际所得的纯利润比希望获得的纯利润少了15%．按规定，不论按什么价钱出售，卖完这批蚊香必须上缴营业税300元(税金与买蚊香用的钱一起作为成本)．请问利民商店买进这批蚊香时一共用了多少元？
【例 32】
【解析】 解法一：设买进这批蚊香共用x 元，那么希望获得的纯利润为“0.4300x -”
元，实际上比希望的少卖的钱数为：
x ?(190%-)?(140%+)?(170%-)0.042x =(元)．
根据题意，得：
0.042x =(0.4300x -)15%?，解得2500x =．
故买进这批蚊香共用2500元．
1、 学会化线段图解决行程中的走停问题 2、 能够运用等式或比例解决较难的行程题 3、 学会如何用枚举法解行程题 本讲中的知识点较为复杂，主要讲行程过程中出现休息停顿等现象时的问题处理。解题办法比较驳杂。 模块一、停一次的走停问题 【例 1】 甲、乙两车分别同时从A ，B 两城相向行驶，6时后可在途中某处相遇。甲车因途中发生故障抛 描，修理2.5时后才继续行驶，因此从出发到相遇经过7.5时。甲车从A 城到B 城共用多长时 间？ 【考点】行程问题之走停问题 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 12.5时。由题意推知，两车相遇时，甲车实际行驶5时，乙车实际行驶7.5时。与计划的6时相 遇比较，甲车少行1时，乙车多行1.5时。也就是说甲车行1时的路程，乙车需行1.5时。进一步推知，乙车行7.5时的路程，甲车需行5时。所以，甲车从A 城到B 城共用7.5＋5＝12.5（时）。 【答案】12.5时 【例 2】 龟兔赛跑，同时出发，全程6990米，龟每分钟爬30米，兔每分钟跑330米，兔跑了10分钟就 停下来睡了215分钟，醒来后立即以原速往前跑，问龟和兔谁先到达终点？先到的比后到的快 多少米？ 【考点】行程问题之走停问题 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 先算出兔子跑了330103300?=（米），乌龟跑了30215106750?+=（）（米） ，此时乌龟只余下69906750240-=（米） ，乌龟还需要240308÷=（分钟）到达终点，兔子在这段时间内跑了83302640?=（米） ，所以兔子一共跑330026405940+=（米）．所以乌龟先到，快了699059401050-=（米） ． 【答案】1050米 【例 3】 快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过 5时相遇。已知慢车从乙地到甲地用 12.5时，慢车到甲地停留1时后返回，快车到乙地停留2时后返回，那么两车从第一次相遇到 第二次相遇共需多长时间？ 【考点】行程问题之走停问题 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 11时36分。快车5时行的路程慢车需行12.5－5＝7.5（时），所以快车与慢车的速度比为7.5∶5 ＝3∶2。因为两车第一次相遇时共行甲、乙两地的一个单程，第二次相遇时共行三个单程，所以若两车都不停留，则第一次相遇到第二次相遇需10时。现在慢车停留1时，快车停留2时，所 以第一次相遇后11时，两车间的距离快车还需行60分，这段距离两车共行需3603632 ?=+（分）。第一次相遇到第二次相遇共需11时36分。 【答案】11时36分 例题精讲 知识点拨 教学目标 走停问题
列方程解行程问题 一、概念 一元一次方程三要素：1.含有未知数的代数式必须是整式（即分母不含有未知数） 2.只含有一个未知数 3.经整理后未知数的最高次数为1 2、解一元二次方程 三、行程问题中三个量之间的关系：路程=时间×速度，时间=，速度=（注意单位：路程——米、千米；时间——秒、分、时；速度——米／秒、米／分、千米／小时） 行程问题解决方法：画图分析法 4、 常见的行程问题中的类型 直线型的行程问题 （1） 相遇问题 1、 同时相遇 甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行驶100公里，一列快车同时从乙站开出，每小时行驶140公里，几个小时后两车相遇？慢车的速度×慢车的时间+快车的速度×快车的时间=总路程 解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间] 100x+140x=480 x=2 答：2小时后相遇 2、先后相遇 甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行驶100公里，1小时之后，一列快车从乙站开出，每小时行驶140公里，快车开出几个小时后两车相遇？
慢车的速度×慢车的时间1+慢车的速度×慢车的时间2+快车的速度×快车的时间=总路程 解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间] 100*1+100x+140x=480 答：小时后两车相遇。 3、同时不相遇（相距） 甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行驶100公里，一列快车同时从乙站开出，每小时行驶140公里，几个小时后两车相距60公里？ 情况一：相遇前相距 慢车的速度×慢车的时间+快车的速度×快车的时间+相互距离=总路程解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间] 100x+140x+60=480 答：小时后相距60公里 情况二：相遇后相距 慢车的速度×慢车的时间+快车的速度×快车的时间-相互距离=总路程解：设x小时后相遇 [这个x小时同时是慢车的时间也是快车的时间] 100x+140x-60=480 答：小时后相距60公里 慢车速×时间1 +慢车速×时间2 +快车速×时间2 =总路程 总结： 慢车速×时间+快车速×时间= 总路程
走走停停的行程问题 1、骑车人沿公共汽车路线前进，他每分行300米，当他离始发站3000米时，一辆公共汽车从始发站出发，公共汽车每分行700米，并且每行3分到达 一站停车1分。问：公共汽车多长时间追上骑车人？ 方法一：11分。提示：列表计算： 方法二： 3*(700-300)=1200（米）即当人车的距离小于或等于1200米时，汽车与人的速度差是700-300=400（米/分）;当人车的距离大于1200米时，汽车的平均速度是700×3/4=525（米/分）这时汽车与人的速度差是 525-300=225（米/分）因为：3000>1200 3000-225*4=2100>1200; 3000-225*8=1200（米）; 1200/400=3（分钟） 8+3=11（分钟）公共汽车11分钟追上骑车人。 方法三： 假设汽车不停, 那么汽车追上骑车人至少需要: 3000/(700-300)=7.5(分钟) 所以可以知道在此时间内汽车至少要停两次,花费8分钟. 汽车8分钟行驶距离: 700*(8-2)=4200(米)，骑车人8分钟行驶距离: 300*8=2400(米) ， 8分钟后 人车相距: 3000+2400-4200=1200(米)，1200米小于汽车三分钟行驶距离, 因此, 汽车追上骑车人还需要: 1200/(700-300)=3(分钟) 结论: 汽车追上骑车人需要: 8+3=11(分钟) 方法四： 700-300=400（m） (400+400+400-300)+（400+400+400-300）+（400+400+400）=3000(m)
4 + 4 + 3 =11(分)答：公共汽车11分追上骑车人。
3-1-1-行程问题基础 教学目标 1.行程的基本概念，会解一些简单的行程题. 2.掌握单个变量的平均速度问题及其三种基本解题方法：“特殊值法”、 “设而不求法”、“设单位1法” 3.利用对比分析法解终（中）点问题 知识精讲 一、s、v、t探源 我们经常在解决行程问题的过程中用到s、v、t三个字母，并用它们来分别代表路程、速度和时间。那么，为什么分别用这三个字母对应这三个行程问题的基本量呢？今天我们就一起了解一下。表示时间的t，这个字母t代表英文单词time，翻译过来就是时间的意思。表示速度的字母v，对应的单词同学们可能不太熟悉，这个单词是velocity，而不是我们常用来表示速度的speed。velocity表示物理学上的速度。与路程相对应的英文单词，一般来说应该是distance，但这个单词并不是以字母s开头的。关于为什么会用s来代表路程，有一个比较让人接受的说法，就是在行程问题的公式中，代表速度的v和代表时间的t在字母表中比较接近，所以就选取了跟这两个字母位置都比较接近的s来表示速度。 二、关于s、v、t三者的基本关系 速度×时间=路程可简记为：s=vt 路程÷速度=时间可简记为：t=s÷v 路程÷时间=速度可简记为：v=s÷t
三、平均速度 平均速度的基本关系式为： 平均速度=总路程÷总时间； 总时间=总路程÷平均速度； 总路程=平均速度?总时间。 板块一、简单行程公式解题 【例 1】韩雪的家距离学校480米，原计划7点40从家出发8点可到校，现在还是按原时间离开家，不过每分钟比原来多走16米，那么韩雪几点就 可到校？ 【解析】原来韩雪到校所用的时间为20分钟，速度为：4802024 ÷=(米/分)，现在每分钟比原来多走16米，即现在的速度为241640 +=(米/分)，那么现在上学所用的时间为：4804012 ÷=(分钟)，7点40分从家出发，12分钟后，即7点52分可到学校． 【巩固】甲、乙两地相距100千米。下午3点，一辆马车从甲地出发前往乙地，每小时走10千米；晚上9点，一辆汽车从甲地出发驶向乙地，为了使汽 车不比马车晚到达乙地，汽车每小时最少要行驶多少千米？. 【解析】马车从甲地到乙地需要100÷10=10小时，在汽车出发时，马车已经走了9-3=6(小时)。依题意，汽车必须在10-6=4小时内到达乙地，其每小时 最少要行驶100÷4=25(千米)． 【巩固】两辆汽车都从北京出发到某地，货车每小时行60千米，15小时可到达。客车每小时行50千米，如果客车想与货车同时到达某地，它要比货 车提前开出几小时？ 【解析】北京到某地的距离为：6015900 ?=（千米），客车到达某地需要的时间为： -=（小时），所以客车要比货车提前开出3小9005018 ÷=（小时），18153 时。
火车问题 教学目标 1、会熟练解决基本的火车过桥问题. 2、掌握人和火车、火车与火车的相遇追及问题与火车过桥的区别与联系. 3、掌握火车与多人多次相遇与追及问题 知识精讲 火车过桥常见题型及解题方法 （一）、行程问题基本公式：路程=速度?时间 总路程=平均速度?总时间； （二）、相遇、追及问题：速度和?相遇时间=相遇路程 速度差?追及时间=追及路程； （三）、火车过桥问题 1、火车过桥（隧道）：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度， 解法：火车车长＋桥(隧道)长度(总路程) ＝火车速度×通过的时间； 2、火车＋树(电线杆)：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度， 解法：火车车长(总路程)＝火车速度×通过时间； 2、火车＋人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度， （1）、火车＋迎面行走的人：相当于相遇问题， 解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度＋人的速度)×迎面错过的时间； （2）火车＋同向行走的人：相当于追及问题， 解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度—人的速度) ×追及的时间； （3）火车＋坐在火车上的人：火车与人的相遇和追及问题 解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度±人的速度) ×迎面错过的时间（追及的时间）； 4、火车＋火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度， （1）错车问题：相当于相遇问题， 解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度＋慢车速度) ×错车时间； （2）超车问题：相当于追及问题， 解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度—慢车速度) ×错车时间； 老师提醒学生注意：对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行。 模块一、火车过桥（隧道、树）问题 【例 1】一列火车长200米，以60米每秒的速度前进，它通过一座220米长的大桥用时多少？
走停与变速问题 六年级奥数行程走停、变速问题 算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来； 折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定； 方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算． 行程问题常用的解题方法有 ⑴公式法 即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件； ⑵图示法 在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法； ⑶比例法 行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题； ⑷分段法 在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来； ⑸方程法 在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知
数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解． 学会画线段图解决行程中的走停问题 能够运用等式或比例解决较难的行程题 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。 一、走停问题 【例 1】一辆汽车原计划6小时从A城到B城。汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟。 如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距多少千米？ 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行 750 米，预计 50 分钟到达．但汽车行驶到路程的3/5时，出了故障，用 5 分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必 须比原来快多少米？ 【例 2】甲每分钟走80千米，乙每分钟走60千米.两人在A , B两地同时出发相向而行在E相遇，如果甲在途中休息7分钟，则两人在F地相遇，已知为C为AB中点，而EC=FC，那么AB两地相距 多少千米？ 一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地，大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍．已知大轿车比小轿车早出发17分钟，它在两地中点停了5分钟后，才继续驶往乙地；而小轿车出发后中途没有 停，直接驶往乙地，最后小轿车却比大轿车早4分钟到达乙地．又知大轿车是上午10时从甲地 出发．求小轿车追上大轿车的时间．
走走停停的行程问题 1.在400米环形跑道上，A、B两点的跑道相距200米，甲、乙两人分 别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他们每人跑100米都停5秒．那么，甲追上乙需要多少秒？ ----------------------------------------------------------------- 经过我认真思考后总结如下： 情况1，如果在乙休息结束的时候追上，甲比乙多休息1次，多5秒，用时最少。 情况2，如果在休息过程中且又没有休息结束，那么甲比乙多休息的时间，就在这5～10秒之间。用时介于情况1与情况3之间 情况3，如果在行进中追上，甲比乙多休息2次，多10秒。用时最多。 显然我们考虑的顺序是首先看是否在结束时追上，又是否在休息中追上，最后考虑在行进中追上。 为了更好一点思考这类题目： 先按情况1，计算出甲乙行走的路程，如果都是100（休息间隔距离）的整数倍，就说明本题答案满足条件1了，不用考虑情况2和情况3了。 如果满足不了情况1，就按情况3计算。不管满足不满足都要考虑下面情况（情况2的情形），情况1和情况3计算出的甲行走的路程，这两个路程之间有没有是100的整数倍，如果有，情况2就是答案了。 否则答案就是情况3。 ------------------------------------------------------------------- 本题答案详细解答: （1）情况1，假设在乙休息结束时被甲追上。 追及时间为：（200+5*5）/（7-5）=112.5（秒），这时甲行了112.5*7=787.5（米），乙行了112.5*5+5*5=587.5（米）。由于787.5和587.5都不是100整数倍，情况1不满足条件。 （2）情况3，假设在乙行进过程中被甲追上。 追及时间为：（200+10*5）/（7-5）=125（秒），这时甲行了125*7=875（米），乙行了125*5+10*5=675（米）。用时（用甲计算）：875/7+8*5=165（秒）。用时（用乙计算）：675/5+6*5=165（秒）。 （2）情况2，由于787.5和875之间有800是100的整数倍，所以，在乙休息过程中被甲追上。用时800/7+7*5=149又2/7（秒）。
小学奥数行程问题---走走停停 先出一道比较简单的： 在200米环形跑道上，甲、乙两人从同一个点出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，他们每人跑100米都停5秒．那么，甲追上乙一圈需要多少秒？ 提高一些难度：第二题 在200米环形跑道上，甲、乙两人从同一个点出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，甲每跑100米停5秒．乙每跑30米停10秒．那么，甲追上乙一圈需要多少秒？ 两者都在途中时，追上，可以套用这个方法，进行简单计算可得，结果为165秒。计算过程 但是不适用乙在休息的时候被追上。 这时，甲比乙多休息的时间为5～10秒。而并非10秒整！ 现在，我们假设在同一个地点，甲比乙晚出发200/7＋5＝235/7至200/7＋10＝270/7秒的之间，在追赶中，甲就要比乙少用这么多时间，由于甲走100米比乙少用100/5－100/7＝40/7秒。 因为270/7÷40/7除不断，即第一次追上不是在乙休息结束的时候追上的。因为在这个范围内有240/7÷40/7＝6是整数，说明在乙休息中追上的。甲共走了6×100＋200＝800米，休息了7次，计算出时间就是800/7＋7×5＝149又2/7秒。 明显这个数据比165秒要提前很多。165秒实际上是第二次被追上 走走停停行程问题 在有些行程问题中，既有路程上的前后调头，又有时间上的走走停停，同时
又有速度上的前后变化。遇到此类问题，我们应分析其中的运动规律，把整个运动过程分成几段，再仔细分析每一段中的情况，然后再类推到其它各段中去。这样既可使运动关系明确、简化，又可减少复杂重复的推理及计算。 例：甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，两人从同一起跑线同时起跑，甲每分钟跑400米，乙每分钟跑360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙的速度比原来快，甲每分比原来多跑18米，并且都以这样的速度保持到终点。问：甲、乙两人谁先到达终点？ 【题目】甲乙两人同时从一条800环形跑道同向行驶，甲100米/分，乙80米/分，两人每跑200米休息1分钟，甲需多久第一次追上乙？ 【解答】这样的题有三种情况：在乙休息结束时被追上、在休息过程中被追上和在行进中被追上。很显然首先考虑在休息结束时的时间最少，如果不行再考虑在休息过程中被追上，最后考虑行进中被追上。其中在休息结束时或者休息过程中被追上的情况必须考虑是否是在休息点追上的。 由此首先考虑休息800÷200－1＝3分钟的情况。甲就要比乙多休息3分钟，就相当于甲要追乙800＋80×3＝1040米，需要1040÷（100－80）＝52分钟，52分钟甲行了52×100＝5200米，刚好是在休息点追上的满足条件。行5200米要休息5200÷200－1＝25分钟。 因此甲需要52＋25＝77分钟第一次追上乙。 休息点不同的走走停停行程问题 【题目】在400米环形跑道上，A、B两点的跑道相距200米，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑7米，乙每秒跑5米，
1、 根据学习的“路程和＝速度和× 时间”继续学习简单的直线上的相遇与追及问题 2、 研究行程中复杂的相遇与追及问题 3、 通过画图使较复杂的问题具体化、形象化，融合多种方法达到正确理解题目的目的 4、 培养学生的解决问题的能力 一、相遇 甲从A 地到B 地，乙从B 地到A 地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B 之间 这段路程，如果两人同时出发，那么 相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间 ＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间 ＝速度和×相遇时间. 一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和，即=t S V 和和 二、追及 有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内： 知识精讲 教学目标 3-1-2相遇与追及问题
追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间 ＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间 ＝速度差×追及时间. 一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即=t S V 差差 例如：假设甲乙两人站在100米的跑道上，甲位于起点(0米)处，乙位于中间5米处，经过时间t 后甲乙同时到达终点，甲乙的速度分别为v 甲和v 乙，那么我们可以看到经过时间t 后，甲比乙多跑了5 米，或者可以说，在时间t 内甲的路程比乙的路程多5米，甲用了时间t 追了乙5米 三、在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件： (1)在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间相同 (2)在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径。 ???÷??÷?÷?????÷? 总路程=速度和相遇时间相遇问题速度和=总路程相遇时间 相遇时间=总路程速度和追及时间=追及路程速度差追及问题追及路程=速度差追及时间 速度差=追及路程追及时间 模块一、直线上的相遇与追及问题 【例 1】 一辆客车与一辆货车同时从甲、乙两个城市相对开出，客车每小时行46千米，货车每小时行 48千米。3.5小时两车相遇。甲、乙两个城市的路程是多少千米？ 【解析】 本题是简单的相遇问题，根据相遇路程等于速度和乘以相遇时间得到甲乙两地路程为：（46+48） ×3.5=94×3.5=329（千米）． 【巩固】 两地间的路程有255千米，两辆汽车同时从两地相对开出，甲车每小时行45千米，乙车每小时 行40千米。甲、乙两车相遇时，各行了多少千米？ 【解析】 根据相遇公式知道相遇时间是：255÷（45+40）=255÷85=3（小时），所以甲走的路程为：45×3=135 （千米），乙走的路程为：40×3=120（千米）.
知识点说明： 盈亏问题的特点是问题中每一同类量都要出现两种不同的情况?分配不足时，称之为“亏”，分配有余称之为“盈”；还有些实际问题，是把一定数量的物品平均分给一定数量的人时，如果每人少分，则物品就有余（也就是盈），如果每人多分，则物品就不足（也就是亏），凡研究这一类算法的应用题叫做“盈亏问题” ?可以得出盈亏问题的基本关系式： （ 亏）两次分得之差人数或单位数 盈 （ 盈）两次分得之差人数或单位数 盈 （ 亏亏）两次分得之差人数或单位数 物品数可由其中一种分法和人数求出?也有的问题两次都有余或两次都不足，不管哪种 情况，都是属于按两个数的差求未知数的“盈亏问题” 注意1.条件转换2.关系互换 板块一、直接计算型盈亏问题 【例1】三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动?如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖.这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？ 【解析】比较两种搬砖法中各个量之间的关系：每人搬4块，还剩7块砖；每人搬5块，就少2块.这两次搬砖，每人相差5 4 1 （块）?第一种余7块，第二种少2块，那么第二次与第一次总共相差砖数：7 2 9 （块），每人相差1块，结果总数就相差9块，所以有少先队员9 1 9 （人）?共有砖：4 9 7 43 （块）? 【巩固】明明过生日，同学们去给他买蛋糕，如果每人出8元，就多出了8元；每人出7元，就多出了4元?那么有多少个同学去买蛋糕？这个蛋糕的价钱是多少？ 【巩固】老猴子给小猴子分桃，每只小猴分10个桃，就多出9个桃，每只小猴分11个桃则多出2个桃，那么一共有多少只小猴子？老猴子一共有多少个桃子？ 【巩固】有一批练习本发给学生，如果每人5本，则多70本，如果每人7本，则多10本，那么这个班有多少学生，多少练习本呢？
走停与变速问题 知识总结 变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。 算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来； 折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定； 方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算． 行程问题常用的解题方法有 ⑴公式法 即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件； ⑵图示法 在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法； ⑶比例法 行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题； ⑷分段法 在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来； ⑸方程法 在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．
重点难点 学会画线段图解决行程中的走停问题 能够运用等式或比例解决较难的行程题 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。 例题精讲 一、走停问题 【例 1】一辆汽车原计划6小时从A城到B城。汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟。如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城 相距多少千米？ 【巩固】一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750 米，预计50 分钟到达．但汽车行驶到路程的3/5时，出了故障，用5 分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每 分钟必须比原来快多少米？ 【例 2】甲每分钟走80千米，乙每分钟走60千米.两人在A , B两地同时出发相向而行在E相遇，如果甲在途中休息7分钟，则两人在F地相遇，已知为C为AB中点，而EC=FC，那么AB两地相距多 少千米？ 【巩固】一辆大轿车与一辆小轿车都从甲地驶往乙地，大轿车的速度是小轿车速度的0.8倍．已知大轿车比小轿车早出发17分钟，它在两地中点停了5分钟后，才继续驶往乙地；而小轿车出发后中途
走走停停问题例题解析 在有些行程问题中，既有路程上的前后调头，又有时间上的走走停停，同时又有速度上的前后变化。遇到此类问题，我们应分析其中的运动规律，把整个运动过程分成几段，再仔细分析每一段中的情况，然后再类推到其它各段中去。这样既可使运动关系明确、简化，又可减少复杂重复的推理及计算。这类题抓住一个关键--假设不停走，算出本来需要的时间。 例：甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，两人从同一起跑线同时起跑，甲每分钟跑400米，乙每分钟跑360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙的速度比原来快，甲每分比原来多跑18米，并且都以这样的速度保持到终点。问：甲、乙两人谁先到达终点？ 【例1】龟兔赛跑，全程5.4千米，兔子每小时跑25千米，乌龟每小时跑4千米，乌龟不停的跑，但兔子却边跑边玩，它先跑1分，然后再玩15分，又跑2分，玩15分，再跑3分，玩15分，……，那么先到达终点的比后到达终点的快几分钟呢？ 【例2】在一条公路上，甲、乙两个地点相距600米。张明每小时行走4千米，李强每小时5千米。8点整，他们两人从甲、乙两地同时出发相向而行，1分钟后他们都的掉头反向而行，再过3分钟，他们又掉头相向而行，依次按照1，3，5，7，9，……分钟数掉头行走，那么，张、李二人相遇时间是8点几分呢？ 5．多人行程---这类问题主要涉及的人数为3人，主要考察的问题就是求前两个人相遇或追及的时刻，第三个人的位置，解题的思路就是把三人问题转化为寻找两两人之间的关系。 【例1】有甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲于乙、丙背向而行。甲每分40米，乙每分38米，丙每分36米。出发后，甲和乙相遇后3分钟又与丙相遇。这花圃的周长是多少？ 【例2】甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走50米，丙每分钟走40米。甲从A地，乙和丙从B出发相向而行，甲和乙相遇后，过了15分钟又与丙相遇，求A、B两地的距离。 【题目】甲乙两人同时从一条800环形跑道同向行驶，甲100米/分，乙80米/分，两人每跑200米休息1分钟，甲需多久第一次追上乙？ 【解答】这样的题有三种情况：在乙休息结束时被追上、在休息过程中被追上和在行进中被追上。很显然首先考虑在休息结束时的时间最少，如果不行再考虑在休息过程中被追上，
1.乙两车分别同时从A，B两城相向行驶，6时后可在途中某处相遇。甲车因途中发生故 障抛描，修理2.5时后才继续行驶，因此从出发到相遇经过7.5时。甲车从A城到B城共用多长时间？ 2.龟兔赛跑，同时出发，全程6990米，龟每分钟爬30米，兔每分钟跑330米，兔跑了10 分钟就停下来睡了215分钟，醒来后立即以原速往前跑，问龟和兔谁先到达终点？先到的比后到的快多少米？ 3.快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5时相遇。已知慢车从乙地 到甲地用12.5时，慢车到甲地停留1时后返回，快车到乙地停留2时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇共需多长时间？ 4.邮递员早晨 7 时出发送一份邮件到对面山里，从邮局开始要走 12 千米上坡路，8 千 米下坡路．他上坡时每小时走 4 千米，下坡时每小时走 5 千米，到达目的地停留 1 小时以后，又从原路返回，邮递员什么时候可以回到邮局？ 5.一辆汽车原计划6小时从A城到B城。汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30 分钟。如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距多少千米？
6. 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行 750 米，预计 50 分钟到达．但汽车行驶到路程 的3/5时，出了故障，用 5 分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？ 7. 一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的3/4前进，最终到达目的 地晚1.5 小时．若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的3/4前进，则到达目的地仅晚1 小时，那么整个路程为多少公里？ 8. 一辆汽车从甲地开往乙地，每分钟行750米，预计50分钟到达.但汽车行驶到路程3/5 时，出了故障，用5分钟修理完毕，如果仍需在预定时间内到达乙地，汽车行驶余下的路程时，每分钟必须比原来快多少米？ 9. 甲每分钟走80千米，乙每分钟走60千米.两人在A , B 两地同时出发相向而行在E 相 遇，如果甲在途中休息7分钟，则两人在F 地相遇，已知为C 为AB 中点，而EC=FC ，那么AB 两地相距多少千米？ 10. 一辆货车从甲地开往乙地需要7小时，一辆客车从乙地开往甲地需要9小时，两车同时 从两地相对开出。中途货车因故停车2小时，相遇时，客车比货车多行30千米。甲、乙两地相距多少千米？ A B C F E
行程问题基础 教学目标 1．行程的基本概念，会解一些简单的行程题. 2．掌握单个变量的平均速度问题及其三种基本解题方法：“特殊值法”、“设而不求法”、“设单位1法” 3．利用对比分析法解终（中）点问题 知识点拨： 一、s、v、t探源 我们经常在解决行程问题的过程中用到s、v、t三个字母，并用它们来分别代表路程、速度和时间。那么，为什么分别用这三个字母对应这三个行程问题的基本量呢？今天我们就一起了解一下。表示时间的t，这个字母t代表英文单词time，翻译过来就是时间的意思。表示速度的字母v，对应的单词同学们可能不太熟悉，这个单词是velocity，而不是我们常用来表示速度的speed。velocity表示物理学上的速度。与路程相对应的英文单词，一般来说应该是distance，但这个单词并不是以字母s开头的。关于为什么会用s 来代表路程，有一个比较让人接受的说法，就是在行程问题的公式中，代表速度的v和代表时间的t在字母表中比较接近，所以就选取了跟这两个字母位置都比较接近的s来表示速度。 二、关于s、v、t 三者的基本关系 速度×时间=路程可简记为：s = vt 路程÷速度=时间可简记为：t = s÷v 路程÷时间=速度可简记为：v = s÷t 三、平均速度 平均速度的基本关系式为： 平均速度=总路程÷总时间； 总时间=总路程÷平均速度； 总路程=平均速度?总时间。 典型例题： 模块一、简单行程公式解题 【例 1】韩雪的家距离学校480米，原计划7点40从家出发8点可到校，现在还是按原时间离开家，不过每分钟比原来多走16米，那么韩雪几点就可到校？ 【解析】原来韩雪到校所用的时间为20分钟，速度为：4802024 ÷=(米/分)，现在每分钟比原来多走16米，即现在的速度为241640 ÷=(分钟)，7 +=(米/分)，那么现在上学所用的时间为：4804012点40分从家出发，12分钟后，即7点52分可到学校． 【巩固】甲、乙两地相距100千米。下午3点，一辆马车从甲地出发前往乙地，每小时走10千米； 晚上9点，一辆汽车从甲地出发驶向乙地，为了使汽车不比马车晚到达乙地，汽车每小时最少要行驶多少千米？. 【解析】马车从甲地到乙地需要100÷10=10小时，在汽车出发时，马车已经走了9-3=6(小时)。依题意，汽车必须在10-6=4小时内到达乙地，其每小时最少要行驶100÷4=25(千米)． 【巩固】两辆汽车都从北京出发到某地，货车每小时行60千米，15小时可到达。客车每小时行50千米，如果客车想与货车同时到达某地，它要比货车提前开出几小时？ 【解析】北京到某地的距离为：6015900 ÷=（小时）， ?=（千米），客车到达某地需要的时间为：9005018 -=（小时），所以客车要比货车提前开出3小时。 18153 【巩固】甲、乙两辆汽车分别从A、B 两地出发相向而行，甲车先行三小时后乙车从 B 地出发，乙车出发5 小时后两车还相距15千米．甲车每小时行48千米，乙车每小时行50千米．求A、B 两地间相距多少千米？ 【解析】在整个过程中，甲车行驶了3＋5= 8=(小时)，行驶的路程为：48× 8 =384(千米)；乙车行驶了5 小时，行驶的路程为：50 ×5 =250(千米)，此时两车还相距15 千米，所以A 、B 两地间相距：384＋250＋15 =649(千米)． 【巩固】一天，梨和桃约好在天安门见面，梨每小时走200千米，桃每小时走150千米，他们同时出发2小时后还相距500千米，则梨和桃之间的距离是多少千米？ 【解析】我们可以先求出2小时梨和桃走的路程：(200150)2700 +?=(千米)，又因为还差500千米，所以梨和桃之间的距离：7005001200 +=(千米)． 【巩固】两列火车从相距480千米的两城相向而行，甲列车每小时行40千米，乙列车每小时行42千米，5小时后，甲、乙两车还相距多少千米？ 【解析】两车的相距路程减去5小时两车共行的路程，就得到了两车还相距的路程： n（千米）． 480(4042)548041070 -+?=-=
鸡兔同笼问题 一、鸡兔同笼 这个问题，是我国古代著名趣题之一．大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？ 你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？ 二、解鸡兔同笼的基本步骤 解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1．因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即473512 -=（只）．显然，鸡的只数就是351223 -=（只）了． 这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外，“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”． 假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到． 解鸡兔同笼问题的基本关系式是： 如果假设全是兔，那么则有： 鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数 如果假设全是鸡，那么就有： 兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数 当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍 当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍 在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法 板块一、两个对象的“鸡兔同笼” 【例1】鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？ 【解析】假设46只都是兔，一共应有446184 -=只脚， ?=只脚，这和已知的128只脚相比多了18412856这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把1只鸡当成1只兔，就要比实际多422 -=（只）脚，那么56只脚是我们把56228 -= ÷=只鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是28，兔的只数是462818（只）．当然，这里我们也可以假设46只全是鸡！鼓励学生从两个方面假设解题，更深一步理解假设法． 【巩固】点点家养了一些鸡和兔子，同时养在一个笼子里，点点数了数，它们共有35个头，94只脚．问：点点家养的鸡和兔各有多少只？ 【解析】方法一：我们假设，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都是两条后腿，像人一样用两只脚站着．现在，地面上出现的脚是总数的一半，也就是94247 ÷=(只)．在47这个数中，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次，因此从47减去总头数35，
行程问题 经典例题 一、相遇问题和追及问题基本模型 ①相遇问题指的是两个物体在两地相向而行，然后迎面相遇问题。在相遇过程中距离和、速度和、相遇时间三者之间的关系是： 公式1：相遇距离（距离和）=速度和?相遇时间 公式2：速度和=相遇距离（距离和）÷相遇时间 公式3：相遇时间=相遇距离（距离和）÷速度和 ②追击问题指的是两个物体在某地同向而行，速度快的物体从后面追上速度慢的物体的行程问题。在追及过程中追及距离、速度差和时间三者之间的关系是： 公式4：追及距离（距离差）=速度差?追及时间 公式5：速度差=追及距离（距离差）÷追及时间 公式6：追及时间=追及距离（距离差）÷速度差 二、多次相遇 两地相向运动与全程关系：第1次相遇，共走1个全程 第2次相遇，共走3个全程 第3次相遇，共走5个全程 第N次相遇，共走2N-1个全程
【例1】 甲、乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米． （1）两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？ （2）快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？ （3）若两车同时开出，同向而行，快车在慢车的后面，几小时后快车追上慢车？ （4）若两车同时开出，同向而行，慢车在快车的后面，几小时后快车与慢车相距720千米？ 解：（1）360÷（72+48）=3小时 （2）（360-72×6025 ）÷（72+48）=2.75小时 （3）360÷（72-48）=15小时 （4）（720-360）÷（72-48）=15小时 【例2】甲乙两人同时从两地出发，距离50千米。甲每小时走3千米，乙每小时走2千米。甲带着一只小狗，狗每小时跑5千米。这只狗同甲一起出发，当它碰到乙后便转头跑向甲；碰到甲时又掉头跑向乙......如此下去，直到两人碰头为止。问这只狗一共跑了多少千米？ 【解析】甲乙两人从出发到相遇共需要()() 小时103250=+÷，所以狗走的路程是 50510=?千米 【例3】一个车队以每秒行5米的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用145秒。已知每辆车长5米，两车间隔8米。这个车队共有几辆车？ 【解析】已知每辆车的长度和两车间的间隔，要求共有几辆车，就需要知道车队的长度，车队通过大桥所行驶的路程就是车队长加上桥长，桥长已知，要求车队长，需知道车队行驶的路程，可根据速度乘以时间来求。 车队长：5×145-200=525(米) (525+8)÷(5+8)=41(辆) 答：这个车队共有41辆车。
1.挖掘孩子学习数学的兴趣. 2.让孩子掌握各种趣题的不同思考方式． 知识点说明 智巧趣题顾名思义，就是有趣的一类问题，但回答时要十分小心，稍有不慎，就可能落入“圈套”。要想正确地解答这类题目，一是细心，善于观察，全面考虑各种情况；二是要充分运用生活中学到的知识；三是需要那么一点思考问题的灵气和非常规的思考方法。本讲主要是通过数学趣题的研究学习引发学生学习奥数的兴趣，激发学生学习奥数的灵感，充分调动学生学习奥数的积极性。 智巧趣题主要依靠巧妙的构思而解决问题，其中包括火柴棍游戏、数的恰当排列、称量问题及直线或圆周形状的报数问题。 【例 1】 用数字1，1，2，2，3，3拼凑出一个六位数，使两个1之间有1个数字，两个2之间有2个 数字，两个3之间有3个数字。 【解析】 312132 231213 【巩固】 把一根线绳对折，对折，再对折，然后从对折后的中间处剪开，这根线绳被剪成了多少段？ 【解析】 对折一次: 2*2-1=3段 对折二次:4*2-3=5段 对折三次:8*2-7=9段. 【例 2】 12345679999999999? 【解析】 粗看起来，本题应该是利用了99999999910000000001=-这个知识点。于是有： ()12345679999999999 1234567910000000001123456790000000001234567912345678987654321 ?=?-=-= 注意12345679到这个数字的特殊性质，123456799111111111?=，可以得到 12345679999999999123456799111111111 11111111111111111112345678987654321 ?=??=?= 例题精讲 知识点拨 教学目标 智巧趣题