列方程解行程问题教师版

列方程解路程问题的应用题教案 (2篇)【教学目标】1．会解决两个物体运动的简单实际问题。

2．理解行程问题解决的关键，弄清楚物体运动的具体情况，具体问题具体分析。

3．尝试列方程解决较复杂的相遇问题、追及问题和相离问题。

4. 感受数学在现实生活中的应用价值，体会数学学习的乐趣。

【教学重点】理解和掌握行程问题的等量关系；【教学难点】理解和掌握行程问题的等量关系；【教学过程】解答行程问题的关键是要弄清物体运动的具体情况，如运动的方向（相向、同向、背向），出发的地点（两地、同地），出发的时间（同时、先后），运动的路径（封闭、不封闭），运动结果（相遇、相距、交错而过、追及等等）。

1．相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程( v1 + v2 ) ×t相遇= s相遇2. 追及问题：速度差×追及时间=相差路程( v1 - v2 ) ×t追及= s追及例1、看图说图意和等量关系，并列出方程。

？小时相遇100千米/小时80千米/时客车货车540千米客车乙轿车？小时追上一、填空；（1）沪宁高速公路全长约270千米，一辆轿车和一辆吉普车同时从两地出发，相向而行。

轿车平均每小时行115千米，吉普车平均每小时行101千米，几小时后两车在途中相遇？解：设（）。

数量关系式是：（）○（）=（）方程是：（）（2）在公路上，一辆卡车正以35千米/时的速度行驶，在离卡车9千米的地方，一辆轿车正以50千米/时的速度赶上来，轿车几小时后在途中追上卡车？解：设（）。

数量关系式是：（）=（）方程是：（）（3）车间里的几个师傅计划合作一批零件，如果每人做25个，那么比计划少25个，如果每人做30个，那么正好完成计划。

车间里共有几位工人师傅？一共计划做多少个零件？解：设（）。

数量关系式是：（）=（）方程是：（）二、选择（1）东西两村相距750米，甲乙两人同时分别从东西两村出发向西而行，甲每分行10米，乙每分行75米，几分后甲追上乙？解：设X分钟后甲追上乙。

第十六讲行程问题（专项复习讲义）小升初数学专项复习讲义（苏教版）（含答案）第十六讲行程问题（专项复习讲义）（知识梳理+专项练习）1、行程问题行程问题：关于走路、行车等问题，一般都是计算路程、时间、速度，叫做行程问题。

解答这类问题首先要搞清楚速度、时间、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他们之间的关系，再根据这类问题的规律解答。

2、解题关键及规律同时同地相背而行：路程=速度和×时间。

同时相向而行：相遇时间=速度和×时间同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及时间=路程速度差。

同时同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×时间。

一、选择题1．从家到学校，小明要走8分钟，小红要走12分钟，则小明与小红的速度比为（）A．8：12 B．2：3 C．3：2 D．12：82．平平骑自行车从甲地到乙地，开始时0.2时骑了3千米，剩下的路又以每分钟0.3千米的速度骑了18分钟，平平从甲地到乙地骑自行车的平均速度是（）千米/时。

A．8.4 B．12 C．14 D．16.83．一列火车长200米，以每分钟1200米的速度经过一座大桥，从车头进到车尾出一共用了2分钟．求桥的长度是多少米？正确的算式是（）A．1200×2＋200 B．1200×2－200 C．（1200＋200）×2 D．（1200－200）×24．小明由家去学校然后又按原路返回，去时每分钟行a米，回来时每分钟行b米，求小明来回的平均速度的正确算式是（）。

A．（a＋b）÷2 B．2÷（a＋b）C．1÷（＋）D．2÷（＋）5．芳芳和媛媛各走一段路．芳芳走的路程比媛媛多，芳芳用的时间比媛媛多，芳芳和媛媛的速度比是( )．A．5:8 B．8:5 C．27:20 D．16:156．船在水中行驶的时候，水流增加对船的行驶时间（）。

A．增加B．减小C．不增不减D．都有可能二、填空题7．甲、乙二人分别从，两地出发相向而行.如果二人同时出发，则12小时相遇；如果甲先出发2小时后，乙再出发，则3小时后二人共走完全程的.甲、乙二人的速度比是( ).8．从甲城到乙城，汽车要8小时，客车要10小时，则汽车的速度比客车快25%。

教学反思
人非圣贤，孰能无过？过而能改，善莫大焉。

《左传》
江缘学校陈思梅
这节课从学生已有的生活经验出发，比如相遇问题，创设利于学生自主学习的情境，让学生在教师的指导下主动学习，调动了学生的积极性。

课堂上学生参与较积极，学习效果良好。

通过多媒体课件的直观、生动、形象、有趣展示，能使学生在快乐积极中简单明了地分辨它们间的变异，轻松地帮助他们渡过难关，突破重点，对帮助学生掌握巩固本节内容，培养归纳概括能力、想象能力、感悟能力起到了事半功倍的作用。

【素材积累】
从诞生的那一刻起，我们旧像一支离弦的箭，嗖嗖地直向着生命的终点射去。

但我们无论怎样地气喘吁吁疾步如飞，也赶不上岁月那轻捷的步履。

她无声无息波澜不惊地带走纷沓的人群，卷走一个又一个朝代，不摘世界的任何一个角落停留，也不摘心灵的重重羁绊前稍一驻足。

无论历经了多少沧海桑田的变迁，她永远年轻、纯洁、轻盈、清澈如初。

时光不老人易老。

穿行摘一片又一片洁白的日子里，我们可曾朝涂曦霞，暮染烟岚，摘她的脉络里注进拼搏的汗水，把每一页洁白的日子都涂成一幅斑斓的图画，剪成一贴丰满的记忆？穿行摘一片又一片洁白的日子里，我们可曾删繁旧简，除去芜杂的枝蔓，抖落发黄的往事，省略多余的情节，向着既定的目标轻装向前。

第八讲 行程问题（二）教学目标：1、 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点；2、 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题；3、 变速变道问题的关键是如何处理“变”；4、 掌握寻找等量关系的方法来构建方程，利用方程解行程题．知识精讲：比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。

从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。

比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。

我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用,,v v t t s s 乙乙乙甲甲甲，；；来表示，大体可分为以下两种情况： 1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。

s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙，这里因为时间相同，即t t t ==乙甲,所以由s s t t v v ==甲乙乙甲乙甲， 得到s s t v v ==甲乙乙甲，s v s v =甲甲乙乙，甲乙在同一段时间t 内的路程之比等于速度比 2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。

s v t s v t =⨯⎧⎨=⨯⎩甲甲甲乙乙乙，这里因为路程相同，即s s s ==乙甲，由s v t s v t =⨯=⨯乙乙乙甲甲甲， 得s v t v t =⨯=⨯乙乙甲甲，v t v t =甲乙乙甲，甲乙在同一段路程s 上的时间之比等于速度比的反比。

行程问题常用的解题方法有⑴公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；⑵图示法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具．示意图包括线段图和折线图．图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点．另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；⑶比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；⑷分段法在非匀速即分段变速的行程问题中，公式不能直接适用．这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；⑸方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解．例题精讲：模块一、时间相同速度比等于路程比【例 1】甲、乙二人分别从A、B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达B 地和乙到达A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点30千米，则A、 B 两地相距多少千米？【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为 4 : 3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3个全程，三个全程中甲走了453177⨯=个全程，与第一次相遇地点的距离为542(1)777--=个全程．所以 A 、 B 两地相距2301057÷= (千米)．【例 2】 B 地在A ，C 两地之间．甲从B 地到A 地去送信，甲出发10分后，乙从B 地出发到C 地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B 地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B 地至少要用多少时间。

列方程解应用题（行程）【教学目标】1．会解决两个物体运动的简单实际问题。

2．理解行程问题解决的关键，弄清楚物体运动的具体情况，具体问题具体分析。

3．尝试列方程解决较复杂的相遇问题、追及问题和相离问题。

4. 感受数学在现实生活中的应用价值，体会数学学习的乐趣。

【教学重点】理解和掌握行程问题的等量关系；【教学难点】理解和掌握行程问题的等量关系；【教学过程】解答行程问题的关键是要弄清物体运动的具体情况，如运动的方向（相向、同向、背向），出发的地点（两地、同地），出发的时间（同时、先后），运动的路径（封闭、不封闭），运动结果（相遇、相距、交错而过、追及等等）。

1．相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程( v1 + v2 ) ×t相遇= s相遇2. 追及问题：速度差×追及时间=相差路程( v1 - v2 ) ×t追及= s追及【例题精讲】【例1】甲、乙两站的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行驶72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行驶48千米．（1）两列火车同时开出，相向而行，经过多少小时相遇？（2）快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多少小时两车相遇？（3）若两车同时开出，同向而行，快车在慢车的后面，几小时后快车追上慢车？（4）若两车同时开出，同向而行，慢车在快车的后面，几小时后快车与慢车相距720千米？解：（1）360÷（72+48）=3小时（2）（360-72×6025）÷（72+48）=2.75小时 （3）360÷（72-48）=15小时（4）（720-360）÷（72-48）=15小时【例2】 甲、乙骑自行车同时从相距65千米的两地相向而行，2小时相遇．甲比乙每小时多骑2.5千米，求甲、乙的时速各是多少？解：设乙每小时速度为x 千米/时652)5.2(=⨯++x x解得：15=x【例3】 一架飞机在两城之间飞行，风速为20千米/小时 ，顺风飞行需2小时30分，逆风飞行需要3小时。

专题十一次函数的应用：行程问题专题诠释：行程问题是我们接触到最多的一类实际应用题。

本专题主要训练一次函数行程问题中的三类题型，路程-时间图像问题和两车之间路程-时间图像问题，速度时间-图象问题。

解决行程问题，需要明白相遇问题中的常见数量关系式，总路程=两车速度和×相遇时间；追及问题中的常见数量关系式，相距路程=两车速度差×追及时间；在路程-时间图像中，一次函数的斜率K 的绝对值等于行车速度。

类型一路程-时间图象典例1（2022•河东区一模）A ，B 两地相距200千米．早上8：00货车甲从A 地出发将一批物资运往B 地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B 地联系．B 地收到消息后立即派货车乙从B 地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后以相同的速度返回B 地，两辆货车离开各自出发地的路程y （千米）与时间x （小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：货车甲离开A 地的时间/h0.10.8 1.63货车甲离开A 地的距离/km580（Ⅱ）填空：①事故地点到B地的距离为千米；②货车乙出发时的速度是千米/小时；③货车乙赶到事故地点时，为时分；④货车乙从事故地点返回B 地时间为时分．y 关于时间x 的函数解析式．思路引领：（Ⅰ）根据“速度＝路程÷时间“可得结果，结合函数图象以及题意可得货车甲离开A 地3小时时的路程不变化即可求解．（Ⅱ）根据函数图象求解即可．（Ⅲ）由待定系数法可求出函数解析式．解：（Ⅰ）货车甲出发时的速度是：80÷1.6＝50（千米/小时），0.8×50＝40（千米），根据函数图像可知当x ＞1.6时，货车货车甲离开地的距离没有变化．货车甲离开A 地的时间/h0.10.8 1.63货车甲离开A 地的距离/km5408080故答案为：40，80；（Ⅱ）①根据函数图象可知，事故地点距离A 地80千米，则事故地点到B地的距离为200﹣80﹣120千米，故答案为：120．②根据图象可知80÷（2.6﹣1.6）＝80千米/小时，货车乙出发时的速度是80千米小时．故答案为：80．③货车乙赶往事故地所需时间为：（200﹣80）÷80＝1.5h，1.6+1.5＝3.1h，所以货车乙赶到事故地点时，为11时6分，故答案为：11，6．④货车乙开始返回的时间为：3.1+1860=3.4h，货车乙返回到达B地的时间：3.1+1860+1.5＝4.9h，货车乙从事故地点返回B地时间为12时54分，故答案为：12，54．（Ⅲ）货车乙赶往事故地所需时间为：（200﹣80）÷80＝1.5h，2.6+1.5＝3.1h，货车乙开始返回的时间为：3.1+1860=3.4h，货车乙返回到达B地的时间：3.1+1860+1.5＝4.9h，当1.6≤x≤3.1时，设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得0=1.6k+b80=2.6k+b，解得：k=80b=−128，∴y关于x的函数表达式为y＝80﹣128（1.6≤x＜3.1）；y＝120（3.1＜x≤3.4）；当3.4＜x≤4.9时，设函数表达式为y＝mx+n（m≠0），把（3.4，120），（4.9，0）代入＝mx+n，得3.4m+n=1204.9m+n=0，解得：m=−80n=392．∴y关于x的函数表达式为y＝﹣80x+392（3.4＜x≤4.9）；综上所述．y=80x −128(1.6≤x≤3.1)120(3.1＜x≤3.4)−80x+392(3.4＜x≤4.9)．解题秘籍：本题考查了一次函数的应用；待定系数法求函数的解析式，根据数形结合得到甲乙相应的速度以及相应的时间是解决本题的关键．针对训练11．（2022•齐齐哈尔一模）在新冠肺炎疫情期间，A市派一辆货车将抗疫物资运往240km的B市，途中因故障停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B市前往A市，到达A市停留一段时间后，原路原速返回．如图是两车距B市的距离y（km）与货车行驶时间x（h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题：（1）图中m的值是；轿车的速度是km/h；（2）求货车从A市前往B市过程中，货车距B市的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数关系式；（3）直接写出轿车出发多长时间与货车相距21km？思路引领：（1）由图象可知轿车从B地前往A地用时为2小时，据此可得m的值以及轿车的速度；（2）分段函数，线段MN与线段GH的函数关系式利用待定系数法求解即可；（3）根据两车的速度分桥车从B市前往A市时和桥车从A市返回B市时两种情况列方程解答即可．解：（1）由图象得，m＝0.5+（2.5﹣0.5）×2+（3﹣2.5）＝0.5+4+0.5＝5；轿车的速度为：240÷2＝120（km/h）；故答案为：5；120；（2）①设线段MN所在直线的解析式为y1＝k1x+b1（k1≠0）（0≤x＜2.5），∵图象经过点M（0，240）和点N（2.5，75），∴b1=2402.5k1+b1=75，解得b1=240k1=−66，∴y1＝﹣66x+240（0≤x＜2.5）；②y2＝75（2.5≤x＜3.5）；③设GH所在直线解析式为y3＝k3x+b3（k3≠0）（3.5≤x≤5），∵图象经过点G（3.5，75）和点H（5，0），∴5k3+b3=03.5k3+b3=75，解得k3=−50b3=250，∴y3＝﹣50x+250，∴y=−66x+240(0≤x＜2.5)75(2.5≤x＜3.5)−50x+250(3.5≤x≤5)；（3）①桥车从B市前往A市时，货车出故障前的速度为：（240﹣75）÷2.5＝66（km/h），设轿车出发a小时与货车相距21km，根据题意，得66（0.5+a）+120a＝240+21或66（0.5+a）+120a＝240﹣21，解得a=或a＝1；②桥车从A市返回B市时，货车出故障后的速度为：75÷（5﹣3.5）＝50（km/h），设轿车出发a小时与货车相距21km，根据题意，得75+50（a﹣3.5+0.5）＝120（a﹣3）+21，解得：a=13235．答：轿车出发1小时或5749小时或13235与货车相距21km．解题秘籍：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．2．（2022春•尤溪县期中）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是多少米？小明在书店停留了多少分钟？（2）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？（3）我们认为骑单车的速度超过300米/分就超过了安全限度．问：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车速度最快，速度在安全限度内吗？（4）小明出发多长时间离家1200米？思路引领：（1）根据图象即可求得；（2）根据图象可知；（3）根据图象可知，从12分钟至14分钟小明的骑车速度最快，根据“路程÷时间＝速度”即可判断；（4）设小明出发t分钟时，小明离家1200米，根据图象以及列方程即可求解．解：（1）根据图象可知，小明家到学校的路程是1500米，12﹣8＝4（分钟），故小明在书店停留了4分钟；（2）1500+（1200﹣600）×2＝2700（米），故本次上学途中，小明一共行驶了2700米；（3）根据图象可知，从12分钟至14分钟小明的骑车速度最快，（1500﹣600）÷（14﹣12）＝450（米/分钟），∵450＞300，∴小明的骑车速度超过了安全限度．（4）设小明出发t分钟时，小明离家1200米，①根据图象可知，t＝6；②根据题意，得600+450（t﹣12）＝1200，解得t=403，∴小明出发6分钟或403分钟时，小明离家1200米．解题秘籍：本题考查了一次函数的实际应用，理解图象上各点的含义并求出速度是解题的关键．3．（2022•铁锋区一模）A，B两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C市，甲车从A市到B市，乙车从C 市到A市，两车在途中匀速行驶，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程y（单位：千米）与甲车行驶的时间t（单位：小时）的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：（1）图中括号内应填入的数为，A、B两市相距的路程为千米；（2）求图象中线段MN所在直线的函数解析式，不需要写出自变量的取值范围；（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距C市的路程之和是300千米．思路引领：（1A、B两市相距的路程；（2）设MN的解析式为y＝kt+b，代入（4，0）（10，480）用待定系数法即可求出；（3）两车距C市之和是300千米，分两种情况讨论：①是甲车到达C市之前，设甲车出发后x小时，此时列方程480﹣60x+80x﹣320＝300即可求出；②当甲车到达C市时，此时乙车距离C市320千米，易得甲车从C到B的过程中两车距离之和不可能是300千米，即可得出结论．解：（1）根据图象可知甲车的速度为480÷8＝60千米/小时，∴乙车速度为60+20＝80千米/小时，∴乙车从C到A的时间为480÷80＝6小时，∴乙车在甲车出发后4+6＝10小时时到达A市．CB两市相距（10﹣8）×60＝120千米，∴AB两市相距480+120＝600千米，故答案为：10，600．（2）设MN的解析式为：y＝kt+b，代入（4，0），（10，480），得4k+b=010k+b=480，解得，∴直线MN的解析式为：y＝80t﹣320．（3）当甲车到C市之前，设甲车出发后x小时，两车离C市的距离之和是300千米，得480﹣60x+80x﹣320＝300，解得x＝7，当甲车到达C市，此时乙车距离C市80×8﹣320＝320＞300，∴当甲车从C市到B市过程中，两车离C市的距离之和不可能是300千米，综上，当甲车出发7小时时，两车离C市的距离之和是300千米．解题秘籍：本题考查了一次函数的实际应用，通过数形结合的思想以及分类讨论思想是解决本题的关键．4．（2021春•丰泽区校级期中）A，B两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C市，甲车从A市到B市，乙车从C市到A市，甲车的速度比乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程y（单位：千米）与甲行驶的时间t（单位：小时）的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：（1）甲车的速度是千米/时，图中括号内应填入正确的数为；（2）求两车相遇时离C市的路程；（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距C市的路程之和是460千米．思路引领：（1）根据图象可求甲车的速度，再求出乙车的速度即可求出时间；（2）设甲车出发x小时两车相遇，根据甲车的路程+乙车的路程＝480列方程求解即可；（3）分两种情况：①是乙车出发之前，②是两车相遇之后，根据两车距C市的路程之和分别列方程求解即可．解：（1）甲车的速度：480÷8＝60（千米/小时），乙车的速度为60+20＝80（千米/小时）∴乙车从C到A市需要480÷80＝6（小时），∴6+4＝10，故答案为：60，10（2）设甲车出发x小时两车相遇，则有60x+80（x﹣4）＝480，解得x=407，∴80×（407−4）=9607，∴两车相遇时距离C市9607千米．（3）设甲车出发后t小时，两车距C市的路程之和是460千米，①乙车出发之前，根据题意，得480﹣60t＝460，解得t=13，②甲、乙两车相遇之后，根据题意，得60t﹣480+80（t﹣4）＝460，解得t＝9，综上，甲车出发13小时或9小时时，两车距C市的路程之和是460千米．解题秘籍：本题考查了一次函数的实际应用，结合实际问题理解图象上各点的含义是解决本题的关键．类型二两车之间距离-时间图像典例2（2021•宁波模拟）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发匀速行驶．设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至慢车到达甲地的过程中y 与x的函数关系．（1）点P表示在两车行驶1.5h时，两车相距千米；（2）求点C的横坐标；（3）两车距离小于或等于140千米的时间有多久？思路引领：（1 1.5h时，两车相距70千米；（2）根据函数图象中的数据，可以计算出两车的速度，从而可以求得点C的横坐标；（3）根据题意和图象中的数据，可以求得相遇前和相遇后，何时两车相距140千米，从而可以得到两车距离小于或等于140千米的时间有多久．解：（1）由图象可知，点P表示在两车行驶1.5h时，两车相距70千米，故答案为：70；（2）由图象可知，B点表示两车出发2小时时相遇，C点对应时刻快车正好到达乙地，D点对应时刻慢车正好到达甲地，设快车速度为x千米/小时，慢车速度为y千米/小时，2(x+y)=143y(2−1.5)×(x+y)=70，解得x=80y=60，∴点C的横坐标为2×(80+60)80=3.5；（3）设两车距离等于140千米的时间为t时，相遇前：（80+60）t＝2（80+60）﹣140，解得t＝1，相遇后：（80+60）×（t﹣2）＝140，解得t＝3，3﹣1＝2（小时），即两车距离小于或等于140千米的时间有2小时．解题秘籍：本题考查一次函数的应用，从图象中获取解答问题的信息是解答本题的关键，其中用的数学思想是数形结合的思想．针对训练25．（2021•集贤县模拟）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，图中的折线表示两车之间距离y（km）与慢车行驶时间x（h）之间的函数关系图象，请根据图象提供的信息回答：（1）快车的速度是km/h．（2）求线段BC所表示的函数关系式．（3）若在第一列快车与慢车相遇时，第二列快车从乙地出发驶往甲地，速度与第一列快车相同，直接写出第二列快车出发多长时间与慢车相距200km．思路引领：（1）x＝0时两车之间的距离即为两地间的距离，根据横坐标和两车之间的距离增加变慢解答，分别利用速度＝路程÷时间列式计算即可得解；（2）求出相遇的时间得到点B的坐标，再求出两车间的距离，得到点C的坐标，然后设线段BC的解析式为y＝kx+b，利用待定系数法求一次函数解析式解答；（3）设第二列快车出发a小时两车相距200km，然后分相遇前与相遇后相距200km两种情况列出方程求解即可．解：（1）由图象可知，甲、乙两地间的距离是960km，图中点C的实际意义是：当慢车行驶6h时，快车到达乙地；慢车速度是：960÷12＝80km/h，快车速度是：960÷6＝160km/h；故答案为：160；（2）根据题意，两车行驶960km相遇，所用时间960÷（160+80）＝4（h），所以，B点的坐标为（4，0），2小时两车相距2×（160+80）＝480km，所以，点C的坐标为（6，480），设线段BC的解析式为y＝kx+b，则4k+b=06k+b=480，解得，所以，线段BC所表示的y与x之间的函数关系式为y＝240x﹣960（4≤x≤6）；（3）设第二列快车出发a小时两车相距200km，分两种情况，①若是第二列快车还没追上慢车，相遇前，则4×80+80a﹣160a＝200，解得a＝1.5，②若是第二列快车追上慢车以后再超过慢车，则160a﹣（4×80+80a）＝200，解得a＝6.5，∵快车到达甲地仅需要6小时，∴a＝6.5不符合题意，舍去，综上所述，第二列快车出发1.5h，与慢车相距200km．解题秘籍：本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，相遇问题，追击问题，综合性较强，（3）要注意分情况讨论并考虑快车到达甲地的时间是6h，这也是本题容易出错的地方．6．（2020•鼓楼区校级二模）甲、乙两车同时出发，在同一直线公路上同向匀速行驶，开始甲车在乙车前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后同一时间，甲车继续前行，乙车则原路返回．设甲车行驶x（h）后两车间的距离为y（km），y与x的函数关系如图所示．（1）请解释图中线段BC的实际意义；（2）求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式；（3）求甲车与乙车的速度．思路引领：（1）根据函数图象可得，线段BC的实际意义是表示乙车的货物转给甲车所用的时间为1h；（2）设线段AB的解析式为y＝kx+b，把点A（0，80），B（2，0）分别代入，即可解答；（3）设甲车的速度是a米/秒，乙车的速度为b米/秒，根据函数图象反应的数量关系建立方程组求出其解即可．解：（1）根据函数图象可得，线段BC的实际意义是表示乙车的货物转给甲车所用的时间为1h；（2）设线段AB的解析式为y＝kx+b，把点A（0，80），B（2，0）代入y＝kx+b，得：b=802k+b=0，解得：k=−40b=80，∴线段AB的解析式为：y＝﹣40x+80，（0≤x≤2）；（3）设甲车的速度是akm/h，乙车的速度为bkm/h，由题意，得2b−2a=80(4−3)(a+b)=200，解得：a=80b=120．答：甲车的速度是80km/h，乙车的速度为120km/h．解题秘籍：本题考查了一次函数的应用，解答时认真分析函数图象的含义是关键，根据条件建立方程组是难点．类型三速度时间图象典例3（2015春•安丘市期末）“低碳生活，绿色出行”的理念正逐渐被人们所接受，越来越多的人选择骑自行车上下班，王叔叔某天骑自行车上班，从家出发到单位过程中行进速度v（米/分钟）随时间t（分钟）变化的函数图象大致如图所示，图象由三条线段OA、AB和BC组成．设线段OC上有一动点T（t，0），直线l过点T且与横轴垂直，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t分钟内王叔叔行进的路程s（米）．（1）①当t＝2分钟时，速度v＝米/分钟，路程s＝米；②当t＝15分钟时，速度v＝米/分钟，路程s＝米；（2）当0≤t≤3和3≤t≤15时，分别求出路程s（米）关于时间t（分钟）的函数解析式；（3）求王叔叔该天上班从家出发行进了1350米时所用的时间t．思路引领：（1）①根据图象得出直线OA的解析式，代入t＝2解答即可；②根据图象得出t＝15时的速度，并计算其路程即可；（2）利用待定系数法得出0≤t≤3和3＜t≤15时的解析式即可；（3）根据当3＜t≤15时的解析式，将s＝1350代入解答即可．解：（1）①直线OA的解析式为：v=3003t，即v＝100t，把t＝2代入可得：v＝200；路程S=12×2×200＝200，故答案为：200；200；②当t＝15时，速度为定值＝300，路程=12×3×300+（15﹣3）×300＝4050，故答案为：300；4050；（2）①当0≤t≤3，设直线OA的解析式为：v＝kt，由图象可知点A（3，300），∴300＝3k，解得：k＝100，则解析式为：v＝100t；设l与OA的交点为P，则P（t，100t），=12•t•100t＝50t2，∴s＝S△POT②当3＜t≤15时，设l与AB的交点为Q，则Q（t，300），=12（t﹣3+t）×300＝300t﹣450，∴S＝S梯形OAQT（3）∵当0≤t≤3，S最大＝50×9＝450，∵1350＞50，∴当3＜t≤15时，450＜S≤4050，则令1350＝300t﹣450，解得：t＝6．故王叔叔该天上班从家出发行进了1350米时所用的时间6分钟．解题秘籍：此题考查一次函数的应用，关键是根据图象进行分析，同时利用待定系数法得出解析．针对训练37．（2021秋•连云港期末）如图是甲、乙两个动点在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（）A．乙点前4秒是匀速运动，4秒后速度不断增加B．甲点比乙点早4秒将速度提升到32cm/sC．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度D．甲、乙两点到第3秒时运动的路程相等思路引领：选项A，根据前4s内，乙的速度﹣时间图象是一条平行于x轴的直线，即速度不变．选项B，8秒时速度是32cm/s，乙12秒时速度是32cm/s，直接可判断；选项C，在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，可判断；选项D，算出甲、乙3秒所走路程即可判断．解：A．根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为12米/秒，故A正确，不合题意；B．从图象可知，甲8秒时速度是32cm/s，乙12秒时速度是32cm/s，故B正确，不符合题意；C．在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，故C正确，不合题意．D．甲每秒增加的速度为：32÷8＝4（米/秒），3×4＝12（米/秒），甲前3秒的运动路程为4+8+12＝24（米），乙前4秒的速度不变，为12米/秒，则行驶的路程为12×3＝36米，所以甲、乙两点到第3秒时运动的路程不相等，故D错误，符合题意；故选：D．解题秘籍：此题考查了一次函数的应用，弄清函数图象表示的意义是解本题的关键．第二部分专题提优训练1．（2021秋•开州区期末）一辆快车和一辆慢车将一批物资从甲地运往乙地，其中快车送达后立即沿原路返回，且往返速度的大小不变，两车离甲地的距离y（单位：km）与慢车行驶时间t（单位：h）的函数关系如图，则两车先后两次相遇的间隔时间是（）A．934思路引领：根据图象得出，慢车的速度为为a9km/h，快车的速度为速度a3km/h．从而得出快车和慢车对应的y与t的函数关系式．联立两个函数关系式，求解出图象对应两个交点的坐标，即可得出间隔时间．解：根据图象可知，慢车的速度为a9km/h，对于快车，由于往返速度大小不变，总共行驶时间是6h，因此单程所花时间为3h，故其速度a3km/h．所以对于慢车，y与t的函数表达式为y=a9t（0≤t≤9）①．对于快车，y与t的函数表达式为y=−3)(3≤t≤6)②a3(t−6)(6＜t≤9)③，联立①②，可解得交点横坐标为t=92，联立①③，可解得交点横坐标为t=274，因此，两车先后两次相遇的间隔时间是274−92=94（h），故选：A．解题秘籍：本题主要考查根据函数图象求一次函数表达式，以及求两个一次函数的交点坐标．解题的关键是利用图象信息得出快车和慢车的速度，进而写出y与t的关系．2．（2021秋•张店区期末）甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往100千米外的B地，甲、乙两人离A地的距离（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示，以下说法正确的是（）A．甲出发2小时后两人第一次相遇B．乙的速度是30km/hC．甲乙同时到达B地D．甲的速度是60km/h思路引领：根据函数图象中的数据，可以计算出各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项中的说法是否正确．解：由图可知，乙出发2小时后两人第一次相遇，故A不正确，不符合题意；乙3小时走了60千米，速度是20km/h，故B不正确，不符合题意；由图可知，甲到达B地时，乙距B地还有40千米，故C不正确，不符合题意；甲的速度是（100﹣40）÷（3﹣2）＝60km/h，故D正确，符合题意；故选：D．解题秘籍：本题考查一次函数的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．3．（2021秋•城阳区期末）如图，在一次爬山活动中，小新先出发，1h后，小宇从同一地点出发去追小新，两人在山顶相遇并一起在山顶欣赏日出，而后两人一起沿原路返回，小新和小宇距起点的距离y（km）与时间x （h）之间的关系如图所示，下列结论错误的是（）A．在小宇追小新的过程中，小宇的平均速度是5km/hB．小新从起点出发到山顶的平均速度是4km/hC．AB的函数表达式是y＝﹣4x+52D．小宇从起点出发到返回起点所用的时间是13小时思路引领：在小宇追小新的过程中，小宇用4h走了20km，可判定A正确，小新从起点出发到山顶用时5h，路程是20km，可判定B正确，设AB函数表达式是y＝kx+b，将（8，20），（11，8）代入，可判定C正确，在y＝﹣4x+52中，令y＝0得x＝13，由小新先出发，1h后，小宇从同一地点出发去追小新，可判断D错误．解：由图可知，在小宇追小新的过程中，小宇用4h走了20km，∴在小宇追小新的过程中，小宇的平均速度是5km/h，故A正确，不符合题意；∵小新从起点出发到山顶用时5h，路程是20km，∴小新从起点出发到山顶的平均速度是4km/h，故B正确，不符合题意；设AB函数表达式是y＝kx+b，将（8，20），（11，8）代入得：8k+b=2011k+b=8，解得k=−4b=52，∴AB函数表达式是y＝﹣4x+52，故C正确，不符合题意；在y＝﹣4x+52中，令y＝0得x＝13，∵小新先出发，1h后，小宇从同一地点出发去追小新，∴小宇从起点出发到返回起点所用的时间是13﹣1＝12（小时），故D错误，符合题意，故选：D．解题秘籍：本题考查一次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是读取图形中信息，写出函数关系式．4．（2021秋•包河区期末）甲、乙两人在笔直的公路上同起点、同终点、同方向匀速步行1200米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间t （分）之间的关系如图所示，下列结论：①乙用6分钟追上甲；②乙步行的速度为60米/分；③乙到达终点时，甲离终点还有400米；④整个过程中，甲乙两人相聚180米有2个时刻，分别是t＝18和t＝24．其中正确的结论有（）A．①②B．①③C．②④D．①②④思路引领：根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．解：由图可得，甲出发9分分钟时，乙追上甲，故乙用6分钟追上甲，故①结论正确；由题意可得：甲步行的速度为1203=40（米/分）；设乙的速度为x米/分，由题意可得：9×40＝（9﹣3）x，解得x＝60，∴乙的速度为60米/分；故②正确；∴乙走完全程的时间=120060=20（分），乙到达终点时，甲离终点距离是：1200﹣（3+20）×40＝280（米），故③结论错误；由图可知，整个过程中，甲乙两人相聚180米有2个时刻，当t＝18时，甲距起点40×18＝720（米），乙距起点60×（18﹣3）＝900（米），此时二人相距180米；当t＝24时，乙已到终点，即乙距起点1200米，甲距起点24×40＝960米，此时二人相距240米，故④错误；∴正确的结论有①②，故选：A．解题秘籍：本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．5．（2022春•九龙坡区校级期中）周末，自行车骑行爱好者甲、乙两人相约沿同一路线从A地出发前往B地进行骑行训练．甲、乙分别以不同的速度匀速骑行，乙比甲早出发5分钟，乙骑行30分钟后，甲以原速的1.7倍继续骑行，经过一段时间，甲先到达B地，乙一直保持原速前往B地．在此过程中，甲、乙两人相距的路程y（单位：米）与乙骑行的时间x（单位：分钟）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（）A．乙骑行的速度为300米/分B．甲提速之后的速度为425米/分C．乙出发52分钟后，甲追上乙D．甲到达B地时，乙距离B地还有4500米思路引领：根据函数与图象的关系以此计算即可判断．解：乙5min骑行1500m，故速度为1500÷5＝300（米/分），故A正确，不符合题意；设甲开始的速度为x米/分，则有30×300﹣（30﹣5）x＝2750，解得：x＝250，∴甲开始的速度为250米/分，乙骑行30分钟后，甲以原速的1.7倍继续骑行，即1.7×250＝425（米/分），故B正确，不符合题意；2750÷（425﹣300）＝22（分钟），22+30＝52（分钟），∴乙出发52分钟后，甲追上乙，故C正确，不符合题意；AB两地的总路程为25×250+（86﹣30）×425＝30050（米），86分钟时乙的路程为86×300＝25800（米），∴乙距离B地还有30050﹣25800＝4250（米），故D错误，符合题意．故选：D．解题秘籍：本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．6．（2022•夏津县模拟）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶，两车在途中相遇时，快车恰巧出现故障，慢车继续驶往甲地，快车维修好后按原速继续行驶乙地，两车到达各地终点后停止，两车之间的距离s（km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系如图：①甲乙两地之间的距离是480千米；②快车的速度100km/h；③C点的坐标为（8，480）；④当快车到达乙地时，慢车距甲地132千米；⑤慢车出发1.75h和3.875h时，两车相距200km．其中说法正确的个数是（）A．2B．3C．4D．5思路引领：根据题意，结合两车之间的距离s（km）与慢车行驶的时间t（h）之间的关系图进行分析，分别求出快车和慢车的速度，即可判断．解：由图可知，甲乙两地之间的距离是480km；故①正确；在0～3小时，慢车和快车一起行驶了3小时，3～4小时快车出故障停止前行，仅有慢车行驶，则慢车的速度为60=60km/h；。

一元一次方程的应用行程问题
一元一次方程在日常生活中有很多应用，比如用来解决行程问题。

例如，假设小明骑自行车去学校，他以每小时10公里的速度骑行，如果他离开家的时候已经骑行了1个小时，那么离学校还有多远？
我们可以用一元一次方程来解决这个问题。

设小明离学校的距离为x公里，根据题意，我们可以列出方程式，10x=10。

这个方程表示小明骑行的速度乘以时间等于距离。

解这个方程得到x=1，所以小明离学校还有1公里的距离。

这就是一元一次方程在行程问题中的应用。

通过建立方程，我们可以用数学方法解决实际生活中的问题，帮助我们更好地理解和处理各种情境。

列方程解决问题【教学目标】1.能根据题意正确寻找等量关系；2.能用方程解答简单的实际问题。

【教学重点】1.正确寻找题中的等量关系；2.列方程解应用题的步骤。

【教学难点】寻找题中的等量关系列出方程。

【知识点精讲】知识点1：正确寻找题中的等量关系（1）列方程解应用题的关键是寻找到题目中数量之间的相等关系，根据等量关系列出方程求出解。

一般情况下，题目中会有一句话反映出数量之间的相等关系，只要找到这句话，也就找到了等量关系。

（2）常用的等量关系：①行程问题公式: 路程＝速度×时间; 路程÷时间＝速度; 路程÷速度＝时间相遇问题: 速度和×相遇时间＝相遇路程追及问题: 速度差×追及时间＝追及路程流水问题: 顺水速度＝船速＋水速逆水速度＝船速－水速顺水行程＝(船速＋水速)×顺水时间逆水行程＝(船速－水速)×逆水时间②平均数问题公式：总数量÷总份数=平均数工程问题公式：工效×工时=工作总量工作总量÷工作时间=工效效率工作总量÷工作效率=工作时间④面积问题公式：长方形面积=长×宽正方形面积=边长×边长知识点2：列方程解应用题的步骤：（1）找出一个合适的未知数，用字母表示。

（2）找出应用题中的等量关系。

（3）根据等量关系列出方程。

（4）解方程并检验、验算，写出答案。

例1、说出下列各题中的等量关系。

（1）篮球和足球共40只。

篮球只数+足球只数=40（2）红花的朵数是黄花的4倍。

红花朵数=黄花朵数×4（3）每只足球的价格比每根跳绳的价格的4倍还多5元。

每只足球的价格=每根跳绳的价格×4+5例2、看图列方程。

（1）x人唱歌50人跳舞150人唱歌跳舞方程是： x+50=150801本故事书借走了18本还剩下x本方程是： 18+x=801（3）方程是： 4x=128（4）方程是： x-10=30例3、列方程解决问题（1） 停车场停放着290辆公共汽车，开出一部分后，还剩下143辆，开出了几辆公共汽车？解：设开出了x 辆公共汽车。

【例1】一种药品经过两次降价后，每盒的价格从原来的60元降到现在的48.6元，设平均每次的降低率是x 元，则可以列方程：_____________，降低率是________． 【难度】★【答案】()260148.6x -=，10%．【解析】设平均每次的降低率为x ，依题意可得：()260148.6x -=，解得：10.1x =，2 1.9x =（舍），即得降低率是10%．【总结】考查降低（增长）率问题的应用．【例2】某公司2014年各项经营收入中，经营电脑配件收入为500万元，占全部经营总收入的13，该公司预计2016年经营总收入达到2160万元，求从2014年到2016年每年经营总收入的平均年增长率． 【难度】★★【答案】()2150012160x +=，20%．【解析】设从2014年到2016年每年经营总收入的平均年增长率为x ，依题意可得： ()2150012160x +=，解得：10.2x =，2 2.2x =-（舍），即得平均增长率是20%． 【总结】考查降低（增长）率问题的应用．【例3】一辆汽车，新车的购买价是20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后的价值是 11.56万元，求这辆车第二、三年的折旧率． 【难度】★★ 【答案】15%．【解析】设这辆车第二、三年的折旧率为x ，依题意可得：()()220120%111.56x --=， 解得：10.15x =，2 1.85x =（舍），即得这辆车第二、三年的折旧率是15%． 【总结】考查降低（增长）率问题的应用．【例4】某工厂甲、乙两个车间在6月份共生产231台仪器，每个车间都比上月增产，且增产的百分率相同，已知甲车间上个月月产量不少于100台，6月份比上个月增产5台，乙车间上月生产120台．问：甲车间上月生产多少台?6月份每个车间增产的百分率是多少?例题解析【难度】★★【答案】甲车间上月生产100台，增产百分率是5%【解析】设甲车间上月生产x 台，则6月份生产()5x +台，依题意可得：551201231x x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，整理得21066000x x -+=，解得：1100x =，26x =（舍），即得甲车间上月生产100台，每个车间增产百分率为5100%5%100⨯=． 【总结】考查降低（增长）率问题的应用．【例5】某农户种植花生，原来种植的亩产量为200千克，出油率为50%，现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量增长率的12，求新产品花生亩产量的增长率? 【难度】★★ 【答案】20%．【解析】设新产品花生亩产量的增长率x ，则出油率增长率为12x ，依题意可得：()1200150%11322x x ⎛⎫+⨯+= ⎪⎝⎭，整理得22575160x x +-=，解得：10.2x =，2 3.2x =-（舍），即得新产品花生亩产量增长率是20%． 【总结】考查降低（增长）率问题的应用．【例6】某工厂今年头三个月生产甲、乙两种产品，已知甲种产品1月份生产16件，以后每月比上月增长相同的百分率；乙种产品每月比上月增产10件．又知2月份的甲、乙两种产品的产量之比为2:3，且3月份的两种产品的产量之和为65件，求甲种产品每月的增长率和乙种产品1月份的产量． 【难度】★★★【答案】甲产品每月产量增长率是25%，乙产品1月份的产量为20件．【解析】设甲种产品每月的增长率为x ，则甲2月份的产量为()161x +，3月份的产量为()2161x +，则乙3月份产量为()265161x -+，2月份的产量为()26516110x -+-，依题意可得：()()2161:65161102:3x x ⎡⎤+-+-=⎣⎦，整理得21656150x x +-=，解得：10.25x =，2 3.75x =-（舍），即得甲产品每月产量增长率是25%， 乙产品1月份的产量为()26516125%101020-⨯+--=件． 【总结】考查降低（增长）率问题的应用，注意各个月份产量的表示．【例7】（1）一项工程甲单独做需要a 天完成，乙单独做需要b 天完成，则甲乙合作需要_____天完成；（2）甲、乙两个工程队合作修筑一条通道，已知甲工程队比乙工程队每天多修5米，甲工程队修筑80米所用的时间与乙工程队修筑70米所用的时间相同，那么甲工程队每天修________米，如果设甲工程队每天修x 米，则可列出方程__________． 【难度】★ 【答案】（1）ab a b +；（2）40，80705x x =-． 【解析】（1）设工程量为1，则甲的工作效率为1a ，乙的工作效率为1b， 合作完成需要的天数为111aba ba b=++； （2）依题意可得80705x x =-，解得：40x =，经检验40x =是原方程的解，且符合题意， 故甲工程队每天修40米．【总结】考查工程问题和相应工作效率的表示，注意分式方程解完要检验．【例8】某服装厂准备加工300套演出服，在加工了60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用了9天完成任务，求该厂原来每天加工多少套演出服． 【难度】★ 【答案】20【解析】设该厂原来每天加工x 套演出服，依题意可得：603006092x x-+=， 解得：20x =，经检验20x =是原方程的解，且符合题意， 即该厂原来每天加工20套演出服．【总结】考查工程问题一个量作设一个量列式，注意分式方程要检验．【例9】汛期到来之前，某施工队承接了一段长300米的河提加固任务，加固80米后，接到防汛指挥部的指示，要求加快施工速度，为此施工队在保证质量的前提下，每天多加工15米，这样一共用了6天完成了任务，问接到指示后，施工队每天加固河堤多少米． 【难度】★ 【答案】55．【解析】设指示后施工队每天加固河堤x 米，则指示前每天加工()15x -米，依题意可得：8030080615x x-+=-，解得：55x =， 经检验55x =是原方程的解，且符合题意，故接到指示后施工队每天加固河堤55米． 【总结】考查工程问题一个量作设一个量列式，注意分式方程要检验．【例10】有一项工程，甲单独做比甲、乙合作的天数多5天，如果甲、乙先合作4天，再由乙单独做3天，才能完成全部工作的一半，问甲、乙单独完成此项工程各需要多少天． 【难度】★★【答案】甲单独完成需要15天，乙单独完成需要30天．【解析】设甲单独完成需要x 天，则甲乙合作完成需要()5x -天，乙单独完成需要2151155x x x x -=--天，依题意可得215143552x x x ⋅+⋅=--，整理得213300x x -+=，解得：115x =，22x =-（舍），经检验均是原方程的解，但22x =-不符合题意，舍去，即甲单独完成需要15天，乙单独完成需要215515305-⨯=天． 【总结】考查工程问题一个量作设一个量列式，注意分式方程要检验．【例11】某工厂甲、乙两个车间各生产300个零件，按原来的工效，乙车间需要比甲车间多用一天的时间完成，现在甲、乙两车间都提高了工效，其中甲车间工效提高了20%，而乙车间提高了一倍，结果生产同样的300个零件，乙车间比甲车间少用了2天就可完成，问甲、乙两车间原来生产300个零件各需要多少天? 【难度】★★★【答案】甲车间原来生产300个零件需要7.5天，乙车间需要8.5天． 【解析】设甲原来需要x 天，则乙原来需要()1x +天，依题意可得：12120%2x x +-=+，解得：7.5x =，即甲车间原来生产300个零件需要7.5天，乙车间需要8.5天． 【总结】考查工程问题一个量作设一个量列式．【例12】已知甲、乙、丙三人做某项工作，甲独做所需要的时间是乙、丙两人合做这件工作的a 倍，乙独做需要的时间是甲、丙两人合做这件工作的b 倍，求丙独做所用的时间是甲、乙两人合做此工作的几倍． 【难度】★★★【答案】21a b ab ++-．【解析】设甲、乙、丙需要的工作时间分别为x ，y ，z ，依题意可得111x a y z=⋅+，111y b x z=⋅+，分别整理可得()111a x ab z +=-，()111b y ab z+=-， 相加得()1121a b x y ab z+++=-，由此得2111a b z ab x y ⎛⎫++=+ ⎪-⎝⎭．【总结】考查工程问题的应用，注意找准字母之间的关系．【例13】一个水池有甲、乙两个进水管，单独开放甲管注满水池比单独开放乙管少用10小时，如果单独开放甲管10个小时后，加入乙管，需要6个小时把水池注满，那么单独开放一个水管，需要多少小时才可以把水池注满? 【难度】★★★【答案】单独开放甲注水管需要20小时注满水池，单独开放乙注水管需要30小时注满水池．【解析】设甲需要xh ，则乙需要()10x h +，依题意可得10116110x x x ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，整理得2121600x x --=，解得：120x =，28x =-， 经检验均是原方程的解，但28x =-不符合题意，舍去，故单独开放甲注水管需要20小时注满水池，单独开放乙注水管需要30小时注满水池． 【总结】考查工程问题的应用，合作加独做合为单位“1”，注意分式方程要检验．．【例14】某各个体户以2元/kg 的价格购进一种食品，以3元/kg 的价格出售，每天可售出200kg ，为促销，该个体户决定降价销售，经调查，这种食品每降价0.1元/kg ，每天可多售出40kg ，另外每天房租等固定成本24元，此人想每天盈利200元，应将售价降低为多少元/kg ? 【难度】★★【答案】应将售价降低为2.7元/千克．【解析】设应将售价降低为x 元/kg ，依题意可得：()3220040242000.1x x -⎛⎫-+⋅-= ⎪⎝⎭， 整理得2502753780x x -+=，即()()51410270x x --=，解得：1 2.7x =，2 2.8x =， 因为是促销，即应将售价每千克应降低为2.7元． 【总结】考查利润问题的应用，总利润=单个利润×总销量．【例15】甲、乙两家便利店到批发站采购一批饮料，共25箱，由于两店所处的地理位置不同，因此甲店的销售价格比乙店的销售价格每箱多10元．当两店将所进的饮料全部售完后，甲店的营业额为1000元，比乙店少350元，求甲乙两店各进货多少箱饮料? 【难度】★★【答案】甲店进货10箱饮料，乙店进货15箱饮料． 【解析】设甲店进货x 箱饮料，则乙店进货()25x -箱饮料，依题意可得100010003501025x x+-=-，整理得226025000x x -+=， 解得：110x =，2250x =，经检验均是原方程的解，但2250x =不符合题意，舍去， 故甲店进货10箱饮料，乙店进货15箱饮料． 【总结】考查销售问题，注意对题意的准确理解．【例16】某水果店在水果批发市场用100元购进一批甲种水果，再用100元购进一批乙种水果，已知购进的乙种水果比甲种水果多10千克，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价低 0.5元/千克．（1） 求甲乙两种水果各购进了多少千克?（2） 购进水货当天，甲乙两种水果都按照2.8元/千克出售，乙种水果很快售完，而甲种水果先售出35，剩余的按售价打5折出售，这一天的水果买卖是否赚钱?如果赚钱了，赚多少?如果不赚钱，那么赔了多少?【难度】★★★【答案】（1）甲种水果购进40千克，乙种水果购进50千克；（2）赚了29.6元【解析】（1）设购进甲种水果x 千克，乙种水果x +10千克，由题意得1001000.510x x -=+，解得：x =40，经检验x =40是原方程的解，且符合题意，故购进甲种水果是40千克，乙种水果是40+10=50千克；（2）利润为：3250(2.82)40(2.8 2.5)40(1.4 2.5)29.6055⨯-+⨯-+⨯-=>，故赚了29.6元．【总结】本题主要考察了利润问题，找出题目中的等量关系再列方程．【例17】某中学库存960套旧课桌椅，准备修理后捐助给贫困山区学校，现在有甲乙两个木工小组都希望承揽这项业务，经协商研究得知：甲小组单独修理这批桌椅比乙小组单独修理要多用20天；乙小组每天比甲小组多修理8套；学校每天需要付甲乙小组修理费分别是80元和120元；（1）求甲乙两个小组每天各修理课桌椅多少套?（2）在修理桌椅的过程中，学校委派一名维修工进行质量监控，由学校每天发出10元钱作为生活补贴；现在有三种修理方案：方案一由甲单独修理；方案二由乙单独修理；方案三由甲乙共同修理；选择哪种方案，更省钱?【难度】★★★【答案】（1）甲小组每天修理16套旧桌椅，则乙小组每天修理24套旧桌椅；（2）方案三．【解析】（1）设甲小组每天修理x套旧桌椅，则乙小组每天修理()8x+套旧桌椅，依题意可得960960208x x-=+，整理得283840x x+-=，解得：116x=，224x=-，经检验均是原方程的解，但224x=-不符合题意，舍去，即得甲小组每天修理16套旧桌椅，则乙小组每天修理24套旧桌椅；（2）方案一需要的费用为(8010)960165400+⨯÷=元；方案二需要的费用为(12010)960245200+⨯÷=元；方案三需要的费用为(8012010)960(1624)5040++⨯÷+=元，可知方案三更省钱．【总结】考查工程问题的应用，注意分式方程要检验．【例18】小王从甲地到乙地需要m分钟，若小李同时从乙地到甲地，则两人经过n分钟相遇，则小李从乙地到甲地需要_________分钟（用含m、n的代数式表示）．【难度】★★【答案】mnm n-．【解析】小李需要的分钟数为111mnm nn m=--．【总结】考查行程问题的应用，注意平均速度的求解．【例19】甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄，甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时，二人每小时各走多少米?【难度】★★【答案】甲每小时走6千米，乙每小时走5千米．【解析】设甲每小时走x 千米，则乙每小时走()1x -千米，依题意可得：1515112x x -=-， 整理得2300x x --=，解得：16x =，25x =-（舍）， 经检验均是原方程的解，但25x =-不符合题意，故舍去， 所以甲每小时走6千米，乙每小时走5千米． 【总结】考查行程问题的应用，注意分式方程要检验．．【例20】已知A 、B 两地相距125km ，甲乙两人同时A 、B 两地出发，相向而行，每走10km 甲比乙快36分钟，经5小时两人相遇，求甲乙两人的速度． 【难度】★★ 【答案】甲的速度为50/3km h ，乙的速度为25/3km h ． 【解析】设甲的速度为/xkm h ，依题意可得1051251035x x +=+（），整理得232512500x x +-=， 解得：1503x =，225x =-，经检验均是原方程的解，但225x =-不符合题意，故舍去， 所以甲的速度为50/3km h ，乙的速度为1255025/533km h -=． 【总结】考查行程问题的应用，注意分式方程要检验．【例21】甲、乙两人分别从相距27千米的A 、B 两地同时出发，相向而行，3小时相遇，随后两人按照原来的速度继续前进，甲到达B 地比乙到达A 地少用1小时21分钟，求两人的速度． 【难度】★★★【答案】甲的速度为5/km h ，乙的速度为4/km h ． 【解析】设甲的速度为/xkm h ，乙的速度为/ykm h ．依题意可得()32727272720x y y x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得：54x y =⎧⎨=⎩，经检验54x y =⎧⎨=⎩是原方程组的解，且符合题意，故甲的速度为5/km h ，乙的速度为4/km h ．【总结】考查行程问题的应用，，注意分式方程组要检验．．【例22】函数y =2x 图像上一点P 到点A （5，0）的距离是5，求点P 的坐标． 【难度】★【答案】()124P ，，()200P ，． 【解析】设()2P x x ，，依题意可得()()22525x x -+=，解得：12x =，20x =，经检验12x =，20x =均是原方程的解，故得()124P ，或()200P ，． 【总结】考查点坐标的求取，根据点所在的直线设点坐标，注意无理方程要验根．【例23】已知直角三角形的两条直角边的差是2cm ，它的面积是12cm 2，求这两条直角边的长． 【难度】★【答案】两直角边长分别为6cm 和4cm 、【解析】设较长一边为xcm ，则另一直角边为()2x cm -，依题意可得()12122x x -=，整理得22240x x --=，解得：16x =，24x =-（舍），即得一边长为6cm ，另一边长为624cm -=． 【总结】考查根据面积的相应表示进行列方程求解．【例24】将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度围成一个正方形，两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗?若能，求出两段铁丝的长度，若不能，请说明理由． 【难度】★★ 【答案】不能．【解析】设一个正方形边长为xcm ，则另一个边长为()5x cm -，依题意可得()512x x -=， 方程无解，即不可能．【总结】考查面积问题的应用，一边作设，一边相应表示出来列方程求解即可．例题解析【例25】如图，笔直公路上A、B两点相距10千米，C、D为两居民区，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=6千米，CB=8千米，现要在公路AB段上建一超市E，使C、D两居民区到E的距离相等，则超市E应建在离A处多远处．【难度】★★【答案】离A处处【解析】设AE xkm=，则10BE x=-，6.4x=，经检验 6.4x=是原方程的解，故超市应建在离A处6.4km处．【总结】考查根据勾股定理确定相应长度表示进行求解．【例26】有一块长x米，宽120米（x>120）的长方形，投资方计划将它分成甲乙丙三部分，其中甲和乙为正方形，甲为住宅区，乙为商场，丙为公司，若已知丙地的面积为3200米，求x的值．【难度】★★【答案】160或200．【解析】依题意可得()()1201201203200x x---=⎡⎤⎣⎦，整理得2360320000x x-+=，解得：1160x=，2200x=，即x的值为160或200．【总结】考查根据面积的相应表示进行列方程求解．【例27】有一块长为80米，宽为50米的长方形绿地，其中有三条直路（图中的阴影部分，道路的一边AD与长方形绿地的一边平行，且道路的出入口AB、CD、EF、KI、GH、IJ的长度都相等，其余部分种植绿化）．已知道路的面积为352平方米，求道路出入口的边的长度【难度】★★【答案】2m【解析】设边的长度为xm，依题意可得2802502352x x x+⋅-=，整理得2901760x x-+=，解得：12x=，288x=（舍），即得路宽为2m．【总结】考查根据面积的相应表示进行列方程求解．A BCDEAB甲乙丙【例28】等腰Rt △ABC 中，8 cm AB BC ==，动点P 从点A 出发，沿AB 向点B 移动.通过点P引平行于BC 、AC 的直线与AC 、BC 分别交于点R 、Q ，问：AP 等于多少厘米时，平行四边形PQCR 的面积等于16cm 2． 【难度】★★ 【答案】4cm【解析】设AP xcm =，则8BP x =-，由题意可知APR ∆和PBQ ∆ 均为等腰直角三角形，依题意可得()816x x -=， 解得：124x x ==，即AP 长为4cm ． 【总结】考查动点问题的应用求解．【例29】m 、n 为两条互相垂直的笔直公路，工厂A 在公路n 上，距公路m 为1千米，B 与工厂A 在公路m 的同侧，且距公路m 为2千米，距公路n 为3千米．现要在公路m 上建造一个车站P ，使它与A 、B的距离之和为P【难度】★★★【答案】点P 在两道路交点上下方2km 或211km 处． 【解析】以公路n 、m 分别为x 、y 依题意得()10A ，，()123B ，或()23B -，，设()0P y ，整理得2112440y y -+=或2112440y y ++=， 解得：12y =，2211y =，32y =-，4211y =-，经检验均是原方程的解，但32y =-，4211y =-不符合题意，故舍去， 所以点P 在两道路交点上下方2km 或211km 处． 【总结】考查根据题目条件建立平面直角坐标系进行点坐标的确定进而确定相应位置．【例30】已知A （0，-1），B （0，4），点P 在坐标轴上，且P A +PB =P 的坐标． 【难度】★★★【答案】()120P ，，()220P -，，30P ⎛ ⎝⎭，40P ⎛ ⎝⎭． ABC QR【解析】当P 在x 轴上时，设()0P x ，= 解得：12x =，22x =-，即得()120P ，，()220P -，；当P 在y 轴上时，设()0P x ，，依题意可得41x x -++=解得：1x 2x =30P ⎛ ⎝⎭，40P ⎛ ⎝⎭． 【总结】考查根据题目条件进行相应作设求解，注意分类讨论．【例31】有一个非零数，它与4的和的正平方根再加上2后恰好等于它本身，求这个数． 【难度】★ 【答案】5【解析】设这个数为x ，2x =，解得：15x =，20x =（舍），即这个数是5． 【总结】考查数位问题根据题目条件作设求解．【例32】有一个两位数，如果个位上的数与十位上的数的和是5，并且个位上的数的平方比十位上的数大1，求这个两位数． 【难度】★ 【答案】32．【解析】设十位数为x ，则个位数为5x -，依题意可得()251x x --=，整理得211240x x -+=，解得：13x =，28x =（舍）， 则这个数个位上是2，这个数是32． 【总结】考查数位问题根据题目条件作设求解．【例33】某剧场有座位800个，每排的座位数一样多，在每排增加5个座位，并增加2排后就有座位1020个，问原来座位多少排?原每排多少个座位． 【难度】★★【答案】这个剧院有10排，每排有80个座位；或这个剧院有32排，每排有25个座位．【解析】设原来有x 排，则每排有800x 个座位，依题意可得()800251020x x ⎛⎫++=⎪⎝⎭， 整理得2423200x x -+=，解得：110x =，232x =，经检验均是方程的解且符合题意．即这个剧院有10排，每排有8008010=个座位； 或这个剧院有32排，每排有8002532=个座位． 【总结】考查根据题目条件进行相应方程求解列式的应用，注意两种解都成立，另分式方程解完别忘记检验．【例34】植树节前，园林局把植数1600棵的任务交给了一个小队，小队被分成若干个组，计划每个组植树的棵树相同，但后来又4个组另有任务不能参加，所以其他组就要比原计划多植树20棵，每个小分队共分成了多少个组． 【难度】★★ 【答案】20【解析】设共分成了x 个小组，依题意可得16001600204x x-=-， 整理得243200x x --=，解得：120x =，216x =-（舍），即共分成了20个小组． 【总结】考查工程问题的应用，解完别忘记检验．【例35】学校甲、乙、丙三个摄影兴趣小组进行了一次摄影作品交流活动，活动时，每位同学向不同组的每个组员送一张摄影作品，这样互相交流的摄影作品共310张，已知甲组人数是丙组人数的2倍，乙组比甲组少3人，这三个摄影小组各有多少人? 【难度】★★【答案】甲组有10人，乙组有7人，丙组有5人．【解析】设丙组有x 人，则甲组有2x 人，乙组有()23x -人，依题意可得()()()()223232232310x x x x x x x x x +-+-++-+=，整理得2891550x x --=，即()()58310x x -+=，解得：15x =，2318x =-（舍）， 即丙组有5人，甲组有10人，乙组有7人． 【总结】考查握手问题的应用．【例36】小强放学回家后，向爸爸、妈妈询问火箭队与雄鹿队的当天的篮球比赛的结果，妈妈说：“本场比赛火箭队的姚明比雄鹿的易建联多得了12分”．爸爸说：“如果把姚明的分数乘以易建联的得分再加上36分，恰好等于他们两人的得分之和的15倍，并且，如果姚明的得分不超过30分，则雄鹿队胜，否则，火箭队胜”，请你帮小强算一下，这场比赛，究竟是哪个队胜了?姚明和易建联各得了多少分? 【难度】★★【答案】姚明得分为36分，易建联得分为24分，火箭队获胜． 【解析】设姚明得分为x 分，则易建联得分为()12x -分，依题意可得()()12361512x x x x -+=+-，整理得242+2160x x -=， 解得：136x =，26x =（舍），即姚明得分为36分，则易建联得分为24分，可知火箭队获胜． 【总结】考查根据题意列方程进行方程的求解．【习题1】 某公司1996年出口创收135万元，1997年、1998年每年都比上一年增加a %，那么1998年这个公司出口创收_________元． 【难度】★【答案】()21351%a +．【解析】考查增长率问题的应用．【习题2】 甲、乙两个工程队合修一条路要6天完成，如果各队单独修路，则甲队比乙队少用5天，设甲、乙两队单独修路所需天数分别为x 天和y 天，则可列方程组为（ ）A ．65x y x y +=⎧⎨=-⎩B ．65x y x y +=⎧⎨=+⎩C ．11165x y x y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩D ．11165x y x y ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩【难度】★随堂检测【答案】C【解析】考查工程问题的应用．【习题3】 已知点A （12，2），B （3，-1），在x 轴上找一点P ，使P A =2PB ． 【难度】★【答案】()160P ，，()260P -，【解析】设()0P x ，=，整理得236x =，解得：16x =，26x =-，即得()160P ，或()260P -，． 【总结】考查满足一定条件的点坐标求取的应用．【习题4】 甲、乙两组工人合做某项工作，10天以后，因甲组另有任务，乙组再单独做2天才完成，如果单独完成这项工作，甲组比乙组可以快4天，求各组单独完成这项工作所需要的天数． 【难度】★★【答案】甲单独做需要20天，则乙单独做需要24天． 【解析】设甲单独做需要x 天，则乙单独做需要()4x +天，依题意可得111102144x x x ⎛⎫++⋅= ⎪++⎝⎭，整理得218400x x --=， 解得：120x =，22x =-，经检验均是原方程的解，但22x =-不符合题意，故舍去． 即甲单独做需要20天，则乙单独做需要20424+=天． 【总结】考查工程问题的应用，注意分式方程解完要检验．【习题5】 有一面积为150平方米的长方形饲养场，饲养场一边靠墙（墙长18米），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35米，求饲养场的长和宽． 【难度】★★【答案】饲养场长为15m ，宽为10m ．【解析】设饲养场长为xm ，依题意可得351502xx -⋅=，整理得2353000x x -+=，解得：115x =，220x =（舍），即饲养场长为15m ，宽为10m ． 【总结】考查面积问题的应用．【习题6】 修建360米长的一段高速公路,甲工程队单独修建比乙工程队多用10天，甲工程队每天比乙工程队少修建6米.甲工程队每天修建的费用为2万元,乙工程队每天修建的费用为3.2万元.（1）求甲、乙两个工程队每天各修建多少米；（2）为在35天内完成修建任务应请哪个工程队修建这段高速公路才能在按时完成任务的前提下所花费用较少?并说明理由 【难度】★★【答案】（1）甲每天修12m ，则乙每天修18m ；（2）甲． 【解析】（1）设甲每天修xm ，则乙每天修()6x m +，依题意可得360360106x x -=+，整理得262160x x +-=， 解得：112x =，218x =-（舍）， 即甲每天修12m ，则乙每天修18m ；（2）甲需要30天，乙需要20天，所以在35天内都可以完成．甲所需的费用为30260⨯=万元，乙所需的费用为20 3.264⨯=万元，6064<，所以选择甲． 【总结】考查工程问题的应用．【习题7】 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛． 【难度】★★ 【答案】8【解析】设应邀请需要x 个队参赛， 依题意可得()1472x x -=⨯，整理得2560x x --=，解得：18x =，27x =-（舍）， 即应邀请6个队参赛．【总结】考查比赛问题，注意赛制是单循环还是双循环．【习题8】 初二（1）班班委会主动为班级上一位生病住院的同学筹集部分医药费，计划筹集600元，由全体班委同学分担，后来又6位同学知道消息后也自愿参加了捐助和班委同学一起分担，因此每个班委的同学比原来少分担了50元，问：该班委有几个人?按照原计划每个班委平均分摊多少元． 【难度】★★【答案】班委有6个人，原计划每个班委分摊100元【解析】设班委有x 个人，依题意可得600600506x x -=+，整理得26720x x +-=，解得：16x =，212x =-，经检验均是原方程的解，但212x =-不符合题意，故舍去． 即班委有6个人，原计划每个班委分摊6001006=元． 【总结】考查列方程解应用题的应用，注意分式方程解完要检验．【习题9】 制造一种产品，原来每件的成本是500元，销售价是625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月将比第一个月提高6%，为了使两个月后的原销售利润不变，该产品的成本价平均每月应降低多少? 【难度】★★ 【答案】10%【解析】设成本价平均每月降低x ，依题意可得：()()()2625120%16%5001625500x -+--=-， 解得：10.1x =，2 1.9x =（舍），即成本价平均每月降低10%． 【总结】考查利润问题的应用，根据题目条件找到等量关系．【习题10】 一汽艇用一定速度驶完一段路程，若汽艇每小时少走8千米，则走完全程要多用4小时，若汽艇每小时多走8千米，则走完全程可少用2小时，试求这段路的长度以及汽艇原来的速度． 【难度】★★【答案】这段路长192km ，汽艇原来速度为24/km h ． 【解析】设这段路长为xkm ，汽艇原来的速度为/ykm h ，依题意可得4828x x y y x x y y ⎧-=⎪-⎪⎨⎪-=⎪+⎩，即得()()84828x y y y y =-=+，解得：12121920240x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，， 经检验220x y =⎧⎨=⎩不是原方程组的解，故舍去，即这段路长192km ，汽艇原来速度为24/km h ．【总结】考查行程问题的应用，注意这是一个分式方程组，解完后要检验．【习题11】 有两块正方形的木板，其中大块的面积比小块的面积大45平方分米，已知小木块的边长比大木块的边长短3分米，求这两块木板的面积分别是多少． 【难度】★★【答案】大块木板面积为281dm ，小块木板的面积为236dm ． 【解析】设小块木板的边长为xdm ，则大块木板的边长为()3x dm +，依题意可得()22345x x +-=，解得：6x =，即得大块木板面积为()226381dm +=，小块木板的面积为22636dm =． 【总结】考查面积问题的应用．【习题12】 坐标轴上有B 、C 两动点．B 从P (4，0)点以1B v =的速度沿x 轴负方向运动，同时C 点从y 轴某处以2C v =的速度直线运动．问两点能否在OP 的中点A 处相遇，若能，求C 点的起始坐标；若不能，说明原因． 【难度】★★★【答案】(10C，(20C -，．【解析】依题意可得运动时间2t =，则有224BC =⨯=，此时2OA =，设()0C y ，，4=，解得：y =±(10C或(20C -，． 【总结】考查简单的图形运动问题的结合应用．。

第一讲列方程解应用题——典型题（教师版）★1、一辆公共汽车上有乘客43人，在同志街站有7人下车，又上来一些人，这时车上有乘客52人，在同志街站上车多少人？解：设在同志街站上车x人43－7＋x=52x=52－43＋7x=16答：在同志站上车16人。

1、小华用二元五角钱买了面值二角和一角的邮票共17 张，问两种邮票各买多少张？答：二角8张，1角9张。

3、、某商店原有一些橘子，又购进120千克，卖出430千克后，还剩70千克。

商店原有橘子多少千克？解：设商店原有橘子x千克x+120-430=70x=70+430-120x=380答：商店有橘子380千克。

4、商店运来桃和梨两种水果，运来桃的重量是梨的3倍。

已知桃比梨多78千克，运来桃和梨一共多少千克？解：设运来梨x千克，则桃3x千克3x-x=782x=78x=393x=39×3=11739+117=156（棵）答：运来桃和梨一共156棵。

5、小刚和小华两人集邮，小刚的邮票数是小华的3倍，如果把小刚的邮票给小华45枚，那么两人邮票枚数相等。

求小刚和小华各有多少枚邮票？解：设小华有邮票x枚，则小刚有3 x枚3x-45=x+452x=90x=4545×3=135（枚）答：小华有邮票45枚，小刚有邮票135枚。

6、父亲今年的年龄是儿子年龄的4倍，8年后父子年龄的和是61，父亲和儿子今年各是多少岁？解:设儿子今年x岁,则父亲今年4 X岁（x+8）+（4x+8）=615x=61-16x=94x=4×9=36答:儿子今年9岁,父亲今年36岁.★ ★7、机器制造厂原来做一个零件用钢材2.2千克，为了增加它的耐久性，现在每个零件多用钢材0.3千克。

原来做600个零件的钢材现在可以做多少个？解:设原来做600个零件的钢材现在可以做X 个（2.2+0.3）x=2.2×6002.5x=1320 x=528答:原来做600个零件的钢材现在可以做528个.8、一车间加工一批零件，每人加工5个，还剩3个零件，如果其中2人各加工4个，其余人各加工6个，恰好完工，这批零件有多少个？解:设共有x 人5x+3=4×2+（x-2）×65x+3=8+6x-12 x=75x+3=5×7+3=38答:这批零件有38个.9、有三堆煤，甲堆比乙堆的3倍多30千克，丙堆比乙堆少15千克，三堆煤共240千克。

1. 行程的基本概念，会解一些简单的行程题.2. 掌握单个变量的平均速度问题及其三种基本解题方法：“特殊值法”、“设而不求法”、“设单位1法”3. 利用对比分析法解终（中）点问题一、s 、v 、t 探源我们经常在解决行程问题的过程中用到s 、v 、t 三个字母，并用它们来分别代表路程、速度和时间。

那么，为什么分别用这三个字母对应这三个行程问题的基本量呢？今天我们就一起了解一下。

表示时间的t ，这个字母t 代表英文单词time ，翻译过来就是时间的意思。

表示速度的字母v ，对应的单词同学们可能不太熟悉，这个单词是velocity ，而不是我们常用来表示速度的speed 。

velocity 表示物理学上的速度。

与路程相对应的英文单词，一般来说应该是distance ，但这个单词并不是以字母s 开头的。

关于为什么会用s 来代表路程，有一个比较让人接受的说法，就是在行程问题的公式中，代表速度的v 和代表时间的t 在字母表中比较接近，所以就选取了跟这两个字母位置都比较接近的s 来表示速度。

二、关于s 、v 、t 三者的基本关系速度×时间=路程 可简记为：s vt = 路程÷速度=时间 可简记为：t s v =÷ 路程÷时间=速度 可简记为：v s t =÷三、平均速度平均速度的基本关系式为： 平均速度=总路程÷总时间； 总时间=总路程÷平均速度； 总路程=平均速度⨯总时间。

板块一、简单行程公式解题【例 1】 韩雪的家距离学校480米，原计划7点40从家出发8点可到校，现在还是按原时间离开家，不过每分钟比原来多走16米，那么韩雪几点就可到校？【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 原来韩雪到校所用的时间为20分钟，速度为：4802024÷=(米/分)，现在每分钟比原来多走16米，即现在的速度为241640+=(米/分)，那么现在上学所用的时间为：4804012÷=(分钟)，7点40分从家出发，12分钟后，即7点52分可到学校．【答案】7点52分【巩固】 小白从家骑车去学校，每小时15千米，用时2小时，回来以每小时10千米的速度行驶，需要多少时间？【考点】行程问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 从家到学校的路程：15230⨯=（千米），回来的时间 30103÷=（小时）． 【答案】3小时【例 2】 甲、乙两地相距100千米。

2023-2024学年五年级数学上册典型例题系列第五单元：列方程解行程问题和相遇问题专项练习1．甲乙两地相距1280千米，一辆货车和一辆客车同时从两地相对开出，8小时相遇，货车每小时行驶70千米，客车每小时行驶多少千米？（1）用线段图完整地表示出题意。

（2）写出题中的等量关系。

（3）列方程解答。

【答案】（1）见详解；（2）相遇时间×两车速度和＝甲、乙两地间的距离；（3）90千米【分析】（1）先同一条线段表示出甲、乙两地的距离，然后从左右两边分别画出线头，在中间的某个点相遇，左边表示货车行驶的路程，右边表示客车行驶的路程，据此画图。

（2）根据速度×时间＝路程，可知相遇时间×两车速度和＝甲、乙两地间的距离；（3）设客车每小时行驶x千米，列方程为（70＋x）×8＝1280，然后解出方程即可。

【详解】（1）（2）相遇时间×两车速度和＝甲、乙两地间的距离（3）解：设客车每小时行驶x千米。

（70＋x）×8＝1280（70＋x）×8÷8＝1280÷870＋x＝16070＋x－70＝160－70x＝90答：客车每小时行驶90千米。

【点睛】本题考查了列方程解决问题，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。

2．旭旭和明明家相距2920米，两人同时从家出发见面，旭旭骑自行车，明明步行，10分钟后两人相遇，旭旭骑自行车的速度是明明步行速度的3倍。

旭旭和明明的速度分别是每分钟多少米？（用方程解答）【答案】219米；73米【分析】速度×时间＝路程，设明明步行速度是每分钟x米，则旭旭骑自行车速度是每分钟3x米，根据速度和×相遇时间＝总路程，列出方程求出x的值是明明速度，明明速度×3＝旭旭速度，据此分析。

【详解】解：设明明步行速度是每分钟x米。

（3x＋x）×10＝29204x×10＝292040x＝292040x÷40＝2920÷40x＝7373×3＝219（米）答：旭旭和明明的速度分别是每分钟219米、73米。

方程法解行程一、方程方程：含有未知数的等式叫做方程。

如4x-3=21，6x-2(2x-3)=20方程的解：使方程成立的未知数的值叫做方程的解。

如上式解得x=6解方程：求方程的解的过程叫做解方程。

解方程的步骤：1、去括号：（1）运用乘法分配律；（2）括号前边是“－”，去掉括号要变号；括号前边是“＋”，去掉括号不变号。

2、移项：法1——运用等式性质，两边同加或同减，同乘或同除；法2——符号过墙魔法，越过“=”时，加减号互变，乘除号互变。

注意两点：（1）总是移小的；（2）带未知数的放一边，常数值放另一边。

3、合并同类项：未知数的系数合并；常数加减计算。

4、系数化为1：利用同乘或同除，使未知数的系数化为1。

5、写出解：未知数放在“=”左边，数值（即解）放右边；如x=66、验算：将原方程中的未知数换成数，检查等号两边是否相等！注意：（1）做题开始要写“解：”（2）上下“=”要始终对齐二、列方程解应用题的基本步骤1.设未知数应认真审题，分析题中的数量关系，用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法，注意未知数的单位不要漏写。

2.寻找相等关系可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系，列出等式两边的代数式，注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量。

3.列方程列方程应满足三个条件：各类是同类量，单位一致，两边是等量。

4.解方程方程的变形应根据等式性质和运算法则。

5.写出答案检查方程的解是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位。

三、解行程问题的应用题要用到路程、速度、时间之间的关系。

如果用s、v、t分别表示路程、速度、时间，那么s、v、t三个量的关系为s= vt ，或v= s÷t ，或t= s÷v 。

四、相遇问题1.相向而行同时出发到相遇时甲、乙两人所用的时间相等。

2.基本公式：速度和×相遇时间＝相遇路程五、追击问题1.同向而行同时出发到相遇（即追击）时，甲、乙两人所用的时间相等。

第一讲行程问题学习目标：1、比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；4、单位“ 1”变化的比例问题5、方程解比例应用题知识点拨：发车问题(1)、一般间隔发车问题。

用 3 个公式迅速作答；汽车间距=(汽车速度+行人速度)X相遇事件时间间隔汽车间距=(汽车速度-行人速度)X追及事件时间间隔汽车间距=汽车速度X汽车发车时间间隔( 2)、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。

标准方法是：画图一一尽可能多的列3个好使公式一一结合s全程=vXt-结合植树问题数数。

( 3 ) 当出现多次相遇和追及问题——柳卡火车过桥火车过桥问题常用方法⑴ 火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和.⑵ 火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和.⑶ 火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度.对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行.接送问题根据校车速度(来回不同) 、班级速度(不同班不同速) 、班数是否变化分类为四种常见题型：( 1)车速不变-班速不变- 班数2 个(最常见)(2)车速不变-班速不变-班数多个( 3)车速不变-班速变-班数 2 个( 4)车速变-班速不变- 班数2 个标准解法：画图＋列 3 个式子1、总时间=一个队伍坐车的时间+ 这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间= 班车同时出发后回来接它的时间。

时钟问题：时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上 2 人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。

时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是 2 个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。

小学奥数行程问题( 分类 )( 教师版)行程问题知识点拨发车问题（1）、一般间隔发车问题。

用 3 个公式快速作答；汽车间距 =（汽车速度 +行人速度）×相遇事件时间间隔汽车间距 =（汽车速度 - 行人速度）×追及事件时间间隔汽车间距 =汽车速度×汽车发车时间间隔（2）、求抵达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。

标准方法是：绘图——尽可能多的列 3 个好使公式——联合 s 全程＝ v×t- 联合植树问题数数。

（3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡火车过桥火车过桥问题常用方法1⑴ 火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，所以火车的行程是桥长与车身长度之和 .⑵ 火车与人错身时，忽视人自己的长度，二者行程和为火车自己长度；火车与火车错身时，二者行程和则为两车身长度之和 .⑶ 火车与火车上的人错身时，只需以为人具备所在火车的速度，而忽视自己的长度，那么他所看到的错车的相应行程仍不过对面火车的长度 .关于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种种类的题目，在剖析题目的时候必定得联合着图来进行 .接送问题依据校车速度（来回不一样）、班级速度（不一样班不一样速）、班数能否变化分类为四种常有题型：（1）车速不变 - 班速不变 - 班数 2 个（最常有）（2）车速不变 - 班速不变 - 班数多个（3）车速不变 - 班速变 - 班数 2 个2（4）车速变 - 班速不变 - 班数 2个标准解法：绘图＋列 3 个式子1、总时间 =一个队伍坐车的时间 +这个队伍步行的时间；2、班车走的总行程；3、一个队伍步行的时间 =班车同时出发后回来接它的时间。

多人多次相遇和追击问题1.多人相遇追及问题，即在同向来线上， 3 个或3个以上的对象之间的相遇追及问题。

全部行程问题都是环绕“ 行程速度时间”这一条基本关系式睁开的，比方我们碰到的两大典型行程题相遇问题和追及问题的实质也是这三个量之间的关系转变．由此还能够获得以下两条关系式：行程和速度和相遇时间；行程差速度差追实时间；多人相遇与追及问题固然较复杂，但只需抓住这两条公式，逐渐表征题目中所波及的数目，3问题即可水到渠成．2、多人多次相遇追及的解题重点多次相遇追及的解题重点几个全程多人相遇追及的解题重点行程差时钟问题：时钟问题能够看做是一个特别的圆形轨道上 2 人追及问题，可是这里的两个“人”分别是时钟的分针和时针。

列方程解应用题（行程）【教学目标】1．会解决两个物体运动的简单实际问题。

2．理解行程问题解决的关键，弄清楚物体运动的具体情况，具体问题具体分析。

3．尝试列方程解决较复杂的相遇问题、追及问题和相离问题。

4. 感受数学在现实生活中的应用价值，体会数学学习的乐趣。

【教学重点】理解和掌握行程问题的等量关系；【教学难点】理解和掌握行程问题的等量关系；【教学过程】解答行程问题的关键是要弄清物体运动的具体情况，如运动的方向（相向、同向、背向），出发的地点（两地、同地），出发的时间（同时、先后），运动的路径（封闭、不封闭），运动结果（相遇、相距、交错而过、追及等等）。

1．相遇问题：速度和×相遇时间=相遇路程 ( v1 + v2 ) ×t相遇 = s相遇2. 追及问题：速度差×追及时间=相差路程 ( v1 - v2 ) ×t追及 = s追及看图说图意和等量关系，并列出方程。

？小时相遇100千米/小时80千米/时客车乙轿车？小时追上填空；（1）沪宁高速公路全长约270千米，一辆轿车和一辆吉普车同时从两地出发，相向而行。

轿车平均每小时行115千米，吉普车平均每小时行101千米，几小时后两车在途中相遇？解：设（）。

数量关系式是：（）○（）=（）方程是：（）（2）在公路上，一辆卡车正以35千米/时的速度行驶，在离卡车9千米的地方，一辆轿车正以50千米/时的速度赶上来，轿车几小时后在途中追上卡车？解：设（）。

数量关系式是：（）=（）方程是：（）（3）车间里的几个师傅计划合作一批零件，如果每人做25个，那么比计划少25个，如果每人做30个，那么正好完成计划。

车间里共有几位工人师傅？一共计划做多少个零件？解：设（）。

数量关系式是：（）=（）方程是：（）选择（1）东西两村相距750米，甲乙两人同时分别从东西两村出发向西而行，甲每分行10米，乙每分行75米，几分后甲追上乙？解：设X分钟后甲追上乙。