D8_4复合求导_5隐函数求导

Fx x x z z2 2 z x Fz
两边对 x 求偏导
2z x ( ) 2 x x 2 z
D8_5隐函数求导
(2 z )2 x 2 (2 z )3
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例3. 设F( x , y)具有连续偏导数,已知方程
解法1 利用偏导数公式.
确定的隐函数, 则
u y u xv 2 y x y2
由题设 J
x y y x
x2 y2 0
故有
u 1 u y x u yv 2 x J v x y2 x
v xu yv 2 y x y2
v 1 x J
xv yu 2 x y2
第五节 隐函数的求导方法
一、一个方程所确定的隐函数 及其导数
二、方程组所确定的隐函数组 及其导数
第八章
D8_5隐函数求导
1
本节讨论 : 1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 . 例如, 方程 当 C < 0 时, 能确定隐函数; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数;
2) 在方程能确定隐函数时, 研究其连续性、可微性
及求导方法问题 .
D8_5隐函数求导
2
一、一个方程所确定的隐函数及其导数
定理1. 设函数 在点 P( x0 , y0 )的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数; ② F ( x 0 , y0 ) 0 ; ③ F y ( x 0 , y0 ) 0
则方程 导数
的某邻域内可唯一确定一个 并有连续
D8_5隐函数求导 19
例4. 设 x u y v 0 , y u x v
u v x y u x x u v y x v x x
u u v v 1, 求 x , y , x , y .

别 类
两者的区别
把 z f (u, x, y)
把 复 合函 数 z f [ ( x, y), x, y] 中的u 及 y 看作不
中的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对x 的偏导数
例1. 设 z eu sin v , u xy , v x y , 求 z , z .
e t (cost sin t) cos t
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
例4. 设
求 w, 2w . x xz
f 具有二阶连续偏导数,
步骤：
1.必须设中间变量；
2z x2

x
( 2
x
) z
也可利用全微分求解

(2
z) (2
2 z)3
x2
总结方法： 1.求隐函数的导数或偏导数，有哪些方法： 答:通常有三种方法 (1)利用隐函数求导公式；
(2)对所给方程两端求导,再解出所求的导数或偏导数； (3)利用全微分.
x y
解: z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
uv
x yx y
eu sin v eu cos v 1
例2.
u

f
(x, y, z) ex2 y2 z2 ,
z

x2sin
y, 求
u , x
偏导数都存在，且有链式法则
z x z z u z dv y u y v dy

复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式极其运算法则同学们还记得吗，如果不记得了，请往下看。

下面是由小编为大家整理的“复合函数导数公式及运算法则”，仅供参考，欢迎大家阅读。

复合函数导数公式.常用导数公式1.y=c(c为常数) y'=02.y=x^n y'=nx^(n-1)3.y=a^x y'=a^xlnay=e^x y'=e^x4.y=logax y'=logae/xy=lnx y'=1/x5.y=sinx y'=cosx6.y=cosx y'=-sinx7.y=tanx y'=1/cos^2x8.y=cotx y'=-1/sin^2x9.y=arcsinx y'=1/√1-x^210.y=arccosx y'=-1/√1-x^211.y=arctanx y'=1/1+x^212.y=arccotx y'=-1/1+x^2在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]•g'(x)『f'[g(x)]中g(x)看作整个变量，而g'(x)中把x看作变量』2.y=u/v,y'=u'v-uv'/v^23.y=f(x)的反函数是x=g(y)，则有y'=1/x'证：1.显而易见，y=c是一条平行于x轴的直线，所以处处的切线都是平行于x的，故斜率为0。

用导数的定义做也是一样的：y=c,⊿y=c-c=0,lim⊿x→0⊿y/⊿x=0。

2.这个的推导暂且不证，因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况。

在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明。

3.y=a^x,⊿y=a^(x+⊿x)-a^x=a^x(a^⊿x-1)⊿y/⊿x=a^x(a^⊿x-1)/⊿x如果直接令⊿x→0，是不能导出导函数的，必须设一个辅助的函数β=a^⊿x-1通过换元进行计算。

复合函数求导公式有哪些
有很多的同学是非常的想知道，复合函数求导公式是什幺，小编整理了
相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 复合函数如何求导规则：1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f’(x)=f’(u)*g’(x)；
2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f’(x)=f’(a)*p’(u)*g’(x)；
拓展：
1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那幺对于Mx∩Du内的任意一个x 经过u；有唯一确定的y 值与之对应，则变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x 称为自变量，u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。

2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数
y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x 的取值范围，取他们的交集。

3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则
y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k 属于R+).
4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。

即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。

1 复合函数求导法则Y=f(u),U=g(x),则y′=f(u)′*g(x)′
例1.y=Ln(x),Y=Ln(u),U=x,
y′=f(u)′*g(x)′=[1/Ln(x)]*(x)′=[1/Ln(x)]*(3x)。