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用尺规作三角形及三角形全等应用（提高）【学习目标】1．知道基本作图的常用工具，并会用尺规作常见的几种基本图形；2．根据三角形全等判定定理，掌握用尺规作三角形及作一个三角形与已知三角形全等；3．能利用三角形全等解决实际生活问题，体会数学与实际生活的练习，并初步培养将实际问题抽象成数学问题的能力.【要点梳理】要点一、基本作图1.尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.常见基本作图常见并经常使用的基本作图有：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作角的平分线；4.作线段的垂直平分线；5.作三角形.要点诠释：1.要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达；2.第3、4条基本作图，在第5章再详细叙述，本节重点叙述其他三个基本作图.要点二、三角形全等的实际应用在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决.【典型例题】类型一、基本作图1、作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）如图，已知，∠α、∠β．求作∠AOB，使∠AOB=∠α+2∠β．【思路点拨】先作∠BOC=∠β，再以OC为一边，在∠BOC的外侧作∠COD=∠β，再以OB为一边，在∠BOD的外侧作∠AOB=∠α，∠AOD即是所求．【答案与解析】解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分．【总结升华】此题主要考查作一个角等于已知角的综合应用．举一反三：【变式】（2015•湖州模拟）请把下面的直角进行三等分．（要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）【答案】解：（1）以点B为一顶点作等边三角形；（2）作等边三角形点B处的角平分线．2、（2015•宝鸡校级模拟）如图，△ABC，用尺规作图作角平分线CD．（保留作图痕迹，不要求写作法）【思路点拨】以C为圆心，任意长为半径画弧分别交CA、CB于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结CP并延长交BA于点D．【解析】解：如图所示：DC即为所求．【总结升华】此题主要考查了角平分线的做法，熟练掌握基本作图方法是解题关键．类型二、作三角形3、已知线段b和∠α，用尺规作一个三角形，使它的两边长分别为b和2b，且这两条边的夹角等于∠α．（先填空，再根据步骤依次作出图形，保留作图痕迹）作法：作射线OM；在射线OM上截取OA=．作∠=∠α在射线ON上截取OB=．连接．所以△AOB为所求．【思路点拨】运用尺规作图的方法，先在已知角的两边取OA=B，OB=2b，连接AB，即可得出答案．【答案与解析】解：作图如图所示：作射线OM；在射线OM上截取OA=b，作∠AOB=∠α在射线ON上截取OB=2b，连接AB，所以△AOB为所求；故答案为：b，AOB，2b，AB．【总结升华】此题考查了作图﹣复杂作图，解题的关键是在已知角的两边分别取OA=b，OB=2B，都是基本作图，需熟练掌握．举一反三：【变式】已知△ABC，求作一个三角形，使其与已知△ABC全等，并写出作图全等的依据．（用尺规画图，保留必要的画图痕迹）【答案】先作出∠MEN=∠ABC，然后在变EM、EN上截取DE=AB，EF=BC，连接DF，即可得到△ABC的全等三角形；如图所示，△DEF即为所求作的三角形，依据为SAS；类型三、三角形全等的实际应用4、如图为紫舞公园中的揽月湖，现在测量揽月湖两旁A、B两棵大树间的距离（不得直接量得）．请你根据三角形全等的知识，用几根足够长的绳子及标杆为工具，设计一种测量方案．要求：（1）画出设计的测量示意图；（2）写出测量方案的理由．【思路点拨】（1）本题属于主观性试题，有多种方案，我们可以构造8字形的全等三角形来测得揽月湖的长度（如下图）；（2）根据三角形全等的证明得出对应边相等即可得出答案．【答案与解析】解：（1）如图所示；分别以点A、点B为端点，作AQ、BP，使其相交于点C，使得CP=CB，CQ=CA，连接PQ，测得PQ即可得出AB的长度．（2）理由：由上面可知：PC=BC，QC=AC，又∠PCQ=∠BCA，∴在△PCQ与△BCA中，，∴△PCQ≌△BCA（SAS），∴AB=PQ．【总结升华】此题考查了全等三角形的应用与证明；此题带有一定主观性，学生要根据已知知识对新问题进行探索和对基础知识进行巩固，这种做法较常见，要熟练掌握．举一反三【变式】我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞不论张开还是缩拢，△AED与△AFD始终保持全等，因此伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC，从而保证伞圈D能沿着伞柄滑动．你知道△AED≌△AFD的理由吗？（）A．边角边B．角边角C．边边边D．角角边【答案】C；。
4.4《用尺规作三角形》教案负责人：审核人：七年级数学组一、预习案（1）预习书（2）学具：圆规、直尺（3）预习作业：已知：a求作：AB，使AB=a已知：∠求作：∠AOB，使∠AOB=∠•精讲案1、尺规作图的工具是直尺和圆规.2、我们已经会用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角.小明在一个工程施工图上看到一个三角形，他想用直尺和圆规画一个与这个三角形全等的三角形，应当怎样画？新课做一做1．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形.已知：线段a，c，∠α.求作：△ABC，使BC=a，AB=c，∠ABC=∠α.将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？为什么？方法总结：已知两边及其夹角作三角形的理论依据是判定三角形全等的“SAS”，作图时可先作一个角等于已知角，再在角的两边分别截取已知线段长即可．2．已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形.已知：∠α，∠β，线段c．求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β，AB=c.将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？为什么？方法总结：已知两角及其夹边作三角形的理论依据是判定三角形全等的“ASA”，作图时可先作一条边等于已知边，再在这条边的同侧，以边的两个端点为顶点作两个角分别等于已知角即可．3．已知三角形的三条边，求作这个三角形.已知：线段 a，b，c．求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a．（1）请写出作法并作出相应的图形．（2）将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？为什么？作法：（1）作一条线段BC=a；（2）分别以B，C为圆心，以c，b为半径画弧，两弧交于A点；（3）连接AB，AC;△ABC就是所求作的三角形.。
正三角形：做法一：尺规作图画出正三角形：先用尺画出一条任意长度的线段（这条线段的长度即正三角形的边长），再分别以线段二端点为圆心、线段为半径画圆，二圆汇交于二点，任选一点，和原来线段的两个端点画线段，则这二条线段和原来线段即构成一个正三角形。
做法二（圆内切正三角形）：作圆O，半径为R，在圆上取任意一点P圆心。
半径仍为R做弧。
与圆O相交与AB两点。
AB是正三角形的两个顶点了。
再以A为圆心，半径仍为R做弧。
与圆O又有两个交点。
其中一个肯定为第1次做弧的圆心P。
还有个设为Q以Q为圆心。
半径为R作弧。
与圆O有两个交点。
一个为A，另一个为C。
则三角形ABC为正三角形正方形：作一圆O，作圆O的垂直两直径AB、CD，将A、B、C、D分别连接，即为圆O的内切正方形。
正五边形:①以O为圆心,定长R为半径画圆,并作互相垂直的直径AB和 CD。
② 平分半径OD得OG=GD。
③以 E为圆心,EA为半径画弧与 OC交于F,以A为圆心，AF为半径，作弧，交与圆上一点G, AG即为正五边形的边长。
④以AG为弦长,在圆周上截得A、G、H、M、N各点,顺次连接这些点即得正五边形。
正六边形：作圆O，作它的直径AB，以AO为半径作圆A，与圆O交于两点C、D;以BO为半径作圆B，与圆O交于两点E、F。
依次连接A、D、E、B、F、C、A，即作成了正六边形。
正十五边形：在同一个圆中，用尺规作图法作出一个圆内切正三角形和一个圆内切正五边形，并且让这两个图形有一个顶点相交。
从这个顶点出发，到达下一个正三角形顶点的弧长是1/3圆周，按同一方向，还是从那个顶点出发，到达下一个正五边形顶点的弧长是1/5圆周。
我们知道，1/3-1/5=2/15，所以，我们所到达的正三角形顶点与正五边形顶点之间的弧长是2/15圆周。
我们只需将这段弧长一分为二，就可以得到1/15圆周。
在得到1/15圆周之后，从任意一点开始截取即可。
尺规作等腰三角形的画法和依据
等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在几何学中，绘制等腰三角形的一
种常用方法是使用尺规作图法。
尺规作图是一种传统的几何画图方法，它依靠尺子和直尺（也称为规）来测量和绘制几何图形。
绘制等腰三角形的基本步骤如下：
1. 使用直尺或者尺子在纸上画一条直线段AB作为基准线。
2. 在基准线上选择一个点C，它将成为等腰三角形的顶点。
3. 以C为圆心，以AC、BC为半径，画两个圆弧，交于点D（在基准线上）。
4. 连接线段CD，得到等腰三角形ACD。
根据等腰三角形的性质，我们可以证明这个构造是正确的。
首先，线段AC和BC是等长的，因为它们是以相同的半径在圆弧上画出来的。
其次，由于相邻两边
的夹角相等，所以角ACD和角BCD也是等角的。
这种尺规作图方法基于等腰三角形的一个重要性质——对称性。
当我们选取点
C来绘制圆弧时，点D被确定为圆弧的交点。
由于圆弧是以AC和BC为半径的，
所以点D自然成为基准线上离C点相等距离的一点。
总之，尺规作图法是一种有效的绘制等腰三角形的方法。
利用这个方法，我们
可以准确绘制出等腰三角形，并利用它在几何学中进行严密推导和分析。
尺规作图法在几何学的研究和实践中起着重要的作用，为我们探索几何世界提供了有力的工具。
用尺规作三角形教材教法重点、难点分析：本节内容的重点是熟练掌握基本作图。
在生活实践中和学习各种知识的过程中，经常需要借助于几何图形解决问题。
几何学是研究图形的，学习几何更离不开画图。
在几何里，利用图形，可帮助我们研究它的性质，反过来，作图的方法也是几何研究的成果。
因此尺规作图是几何的重要内容，而基本作图是其他复杂图形的基础。
作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形。
学习尺规作图，一方面可以培养学生正确的作图思想与方法，另一方面在以后做题中经常用到，同时也给实际的技术制图打下理论基础。
本节内容的难点是作图语言的准确应用，作图的规范与准确。
学生刚刚学习作图问题，首先感到困难的是作图语言的叙述，经常出现不准确、不严密的现象。
由于学生还不能完全理解作图的依据，还不能分析作图方法的来源及作图过程的推理。
这节课的教学，注重两件事，一是常见几何语言的学习；二是基本作图问题的书写格式。
另外，尺规作图题在理论上以及在训练学生逻辑推理能力方面，有较大的作用，但是，除一些基本作图外，作为绘图方法，实际价值不大，而且难度较大．因此，根据教学大纲的要求，这一大节内容较少，只介绍几种常用的基本作图和最简单的尺规作图题，讲解的重点是基本作图方法，掌握其它复杂作图的思想方法，作图的逻辑推理过程。
教学活动建议：1．首先观察已知三角形的三边作三角形的过程。
2．通过作图近一步关注学生有条理地叙述问题及解决问题能力的提高。
3．引导学生体会并思考作图的合理性及依据。
4．引导学生写出已知、求作和作法。
5．作图过程中，一定要提倡学生在做中体会并提高，鼓励学生思考并设计作图过程，大胆尝试动手作图。
尺规作等腰三角形的画法和依据一、简介在几何学中，等腰三角形是指两边长度相等的三角形。
而尺规作等腰三角形，是一种基本的几何作图方法，通过使用尺规和直尺，能够准确地构画出等腰三角形。
本文将从尺规作等腰三角形的基本原理、具体步骤以及几何依据等方面，探讨尺规作等腰三角形的画法和依据。
二、尺规作等腰三角形的基本原理在进行尺规作等腰三角形之前，我们首先需要了解一些基本原理。
等腰三角形的定义是两边相等，因此可以得出等腰三角形的两个基本性质：1. 等腰三角形的两底角相等。
2. 等腰三角形的高是底边中线的垂直平分线。
根据这些基本性质，我们可以确定尺规作等腰三角形的具体步骤。
三、尺规作等腰三角形的具体步骤1. 我们需要利用直尺在纸上画出底边。
这条线代表等腰三角形的底边，记为AB。
2. 我们利用尺规在底边上取一个任意点C，并通过点C画出一条与AB 不重合的线段CD。
3. 接下来，我们调整尺规的长度，使其比边AC和BC的长度都更长一些，然后分别以点C和D为圆心，边长为AC和BC的长度为半径，作两个圆弧，分别与线段AC和BC相交于点E和F。
4. 连接点E和F，就得到了所求的等腰三角形ACE。
通过以上步骤，我们可以利用尺规作出等腰三角形，并且保证构图的准确性和精密度。
但是，这种方法能够确保画出的等腰三角形是符合规范的吗？接下来，我们将就这一问题展开讨论。
四、尺规作等腰三角形的几何依据尺规作等腰三角形的依据主要是三角形的性质和尺规作图的基本原理。
在几何学中，我们知道等腰三角形有一个基本性质就是两个底角相等。
而根据直尺和尺规可以进行画线和测量长度，因此我们可以利用这些工具来满足等腰三角形的构图条件。
另外，利用尺规作图有一个基本原理就是可以通过作圆弧和直线来满足一定的几何条件。
在尺规作等腰三角形的过程中，我们正是利用了这一原理，通过作两个圆弧和连接相交点来构画出等腰三角形。
尺规作等腰三角形的依据是基于等腰三角形的基本性质和尺规作图的基本原理。
