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数字信号处理教程课后习题答案目录第一章离散时间信号与系统第二章Z变换第三章离散傅立叶变换第四章快速傅立叶变换第五章数字滤波器的基本结构第六章无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器的设计方法第七章有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器的设计方法第八章数字信号处理中有限字长效应第一章 离散时间信号与系统1 .直接计算下面两个序列的卷积和)n (h *)n (x )n (y =请用公式表示。
分析：①注意卷积和公式中求和式中是哑变量m （ n 看作参量）， 结果)(n y 中变量是 n ,; )()()()()(∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=m m m n x m h m n h m x n y ②分为四步 （1）翻褶（ -m ），（2）移位（ n ）,（3）相乘，; )( )( 4n y n n y n 值的，如此可求得所有值的）相加，求得一个（③ 围的不同的不同时间段上求和范一定要注意某些题中在 n00 , 01()0 , ,()0,n n n a n N h n n n n x n n n β-⎧≤≤-=⎨⎩⎧≤⎪=⎨<⎪⎩其他如此题所示，因而要分段求解。
)(5.0)(,)1(2 )()4()(5.0)(,)2( )()3()()(,)( )()2()()(,)( )()1(3435n u n h n u n x n R n h n n x n R n h n R n x n R n h n n x n n n =--==-=====δδ2 .已知线性移不变系统的输入为)n (x ,系统的单位抽样响应 为)n (h ,试求系统的输出)n (y ,并画图。
分析：①如果是因果序列)(n y 可表示成)(n y ={)0(y ，)1(y ，)2(y ……}，例如小题（2）为)(n y ={1，2，3，3，2，1} ;②)()(*)( , )()(*)(m n x n x m n n x n x n -=-=δδ ;③卷积和求解时，n 的分段处理。
第1章 思考题参考解答1．变化规律已知的信号称之为确定信号，反之，变化规律不确定的信号称之为随机信号。
以固定常数周期变化的信号称之为周期信号，否则称之为非周期信号。
函数随时间连续变化的信号称之为连续时间信号，也称之为模拟信号。
自变量取离散值变化的信号称之为离散时间信号。
离散信号幅值按照一定精度要求量化后所得信号称之为数字信号。
2．对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 可以从采样点恢复原来的连续信号。
而对于最高频率为f c 的非周期信号，选取f s ＝2f c 一般不能从采样点恢复原来的连续信号的周期信号，通常采用远高于2f c 的采样频率才能从采样点恢复原来的周期连续信号。
3．被采样信号如果含有折叠频率以上的高频成分，或者含有干扰噪声，这些频率成分将不满足采样恢复定理的条件，必然产生频率混叠，导致无法恢复被采样信号。
4．线性时不变系统的单位脉冲响应h (n )满足n <0，h (n )=0，则系统是因果的。
若∞<=∑∞-∞=P n h n |)(|，则系统是稳定的。
5．ω表示数字角频率，Ω表示模拟角频率。
ω=ΩT (T 表示采样周期)。
6．不一定。
只有当周期信号的采样序列满足x (n )= x (n +N )时，才构成一个周期序列。
7．常系数差分方程描述的系统若满足叠加原理，则一定是线性时不变系统。
否则，常系数差分方程描述的系统不是线性时不变系统。
8．该说法错误。
需要增加采样和量化两道工序。
9．受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统不一定找得到。
因此，数字信号处理系统的分析方法是先对采样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长效应所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。
10、只有当系统是线性时不变时，有y (n )= h (n )*x (n )。
11、时域采样在频域产生周期延拓效应。
12．输入信号x a (t )先通过一个前置低通模拟滤波器限制其最高频率在一定数值之内，使其满足采样频率定理的条件。
南华大学电气工程学院《数字信号处理课程设计》任务书设计题目： Hilbert变换滤波器的实现专业：学生姓名: 学号:起迄日期: 2012年12月28日—2013年1月14日指导教师:南华大学课程设计《数字信号处理课程设计》任务书1．课程设计的内容和要求（包括原始数据、技术要求、工作要求等）： 1.设计内容：根据自己在班里的学号0207（最后两位）查表一得到一个四位数1301，由该四位数索引表二确定待设计数字滤波器的类型：Hilbert变换滤波器；滤波器设计方法：等波纹FIR。
2. 滤波器的设计指标：δ≤ 0.05 ；（1）通带波纹1（2）阻带波纹2δ≤ 0.05 ；（3）过渡带宽度= 0.014π rad ；（4）滚降 =5.6 dB ；其中，错误!未找到引用源。
为学号的最后两位，故i=7d3. 滤波器的初始设计通过手工计算完成；4. 在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构对其性能指标的影响（至少选择两种以上合适的滤波器结构进行分析）；5. 在计算机辅助计算基础上分析滤波器参数的字长对其性能指标的影响；6. 以上各项要有理论分析和推导、原程序以及表示计算结果的图表；7. 课程设计结束时提交设计说明书。
基于FPGA的新一代太阳能热水器水位水温智能测控仪设计2．对课程设计成果的要求〔包括图表（或实物）等硬件要求〕：滤波器的初始设计通过手工计算完成；在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构对其性能指标的影响（至少选择两种以上合适的滤波器结构进行分析）；在计算机辅助计算基础上分析滤波器参数的字长对其性能指标的影响；以上各项要有理论分析和推导、原程序以及表示计算结果的图表；课程设计结束时提交设计说明书。
3．主要参考文献：[1]高息全丁美玉.《数字信号处理》[M].西安：西安电子科技大学出版社，2008.8[2]陈怀琛.《数字信号处理教程——MATLAB释义与实现》[M].北京：电子工业出版社，2004.12[3]张德丰.《详解MATLAB数字信号处理》[M].北京：电子工业出版社，2010.6[4]飞思科技产品研发中心.《MATLAB7辅助信号处理技术与应用》[M].北京：电子工业出版社，2005.3[5]胡广书.《数字信号处理—理论、算法与实现》北京：清华大学出版社，2006 4．课程设计工作进度计划：序号起迄日期工作内容接到题目，搜集资料1 2012.12.28-2013.12.31整理资料，构思设计方案2 2013.1.1-2013.1.2手工计算进行滤波器的初步设计3 2013.1.3-2013.1.5完善初步设计，学习Matlab软件操作4 2013.1.6-2013.1.7通过Matlab软件分析设计内容，逐步落实课题目标5 2013.1.8-2013.1.10上交课程设计，并做细节修改并完成设计6 2013.1.11-2013.1.14主指导教师日期：年月日南华大学课程设计摘要本设计介绍了FIR滤波器的设计思想与步骤，通过建立滤波器模型利用MATLAB软件进行仿真，在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构和参数的字长对其性能指标的影响。
数字信号处理实验综合实验粒状极限环现象和解决方法姓名：刘虔堃学号：20091060027班级：通信国防指导教师：柏正尧实验日期：2011.12.23目录Comprehensive Laboratory Exercise (2)Theoretical Basis（基本理论）： (2)Finite Word Length Effect（有限字长效应） (2)Truncated&Rounding-off processing（截尾和舍入处理） (2)Limit Cycles（极限环） (2)Matlab模拟仿真实验 (3)Granular Limit Cycle Generation（粒状极限环的产生） (3)Circumstantiate Granular Limit Cycle’s Influence To The Filter(验证粒状极限环对滤波器的影响) (9)Reference（参考文献） (13)Name:刘虔堃Section:通信工程（武警国防生）Comprehensive Laboratory Exercise（综合实验）The Phenomenon Of Granular Limit Cycles And TheSolution（粒状极限环现象和解决方法）Theoretical Basis（基本理论）：Finite Word Length Effect（有限字长效应）实现DSP（数字信号处理）时，应当考虑数字系统中，储存单元的容量有限，即存储器是有限字长的。
而现实的信号都可被认为是具有无限精度的（可连续变化的）。
因此在进行数字信号处理时，只能用有限的字长来表示具有无限精度的信号，从而对系统特性造成一定的影响。
Truncated&Rounding-off processing（截尾和舍入处理）在数字信号处理中，考虑到有限字长效应，只能用有限位的二进制数近似地表示十进制数。
第一章数字信号处理概述简答题:1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答:在A/D变化之前为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时,采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。
此滤波器亦称为“抗混叠”滤波器.在D/A变换之后为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化,故又称之为“平滑”滤波器.判断说明题：2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。
( ）答：错.需要增加采样和量化两道工序。
3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理.（ ) 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。
因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析,再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。
故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础.第二章 离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理计算题：1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器,如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混叠效应)，把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器.（a ） 如果kHz rad n h 101,8)(=π截止于,求整个系统的截止频率. （b)对于kHz T 201=，重复(a ）的计算.解 （a ）因为当0)(8=≥ωπωj e H rad 时，在数 — 模变换中)(1)(1)(Tj X Tj X Te Y a a j ωω=Ω=所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为8π=ΩT c因此 Hz Tf c c 6251612==Ω=π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为Tπ，因此对T8π没有影响,故整个系统的截止频率由)(ωj e H 决定,是625Hz 。
前言 第 1 页 共 33 页 有限字长效应对信号处理的影响分析 华东理工大学 东方贱人 退款是几个意思 1 前言 1.1 有限字长效应和它产生的原因 数字信号处理中，信号的数值、系统的参数、运算中的变量以及运算结果都需要用二进制编码来表示。但由于受到 A/D 转换器位数、寄存器位数和运算字长等的限制，所以二进制码是有限字长的。必须用有限长的二进制数来表示无限精度的十进制数，有限字长效应所带来的误差现象，我们把这种误差现象称为有限字长效应。 在数字系统中有限字长效应产生的原因： （1）A/D 变换器中的有限字长效应，即把模拟输入信号变为一组离散电平信号时所产生的有限字长效应。A/D 变换包括抽样和量化两个过程,抽样是指使用“抽样器”从连续信号中“抽取”信号的离散序列样值，把这种信号称之为“抽样”信号,抽样信号在时间上具有离散化特性，但由于它还并不是真正的数字信号，还必须经过量化编码的过程才能真正地转变为数字信号。简单来讲就是要将模拟信号抽样和量化，让它转变成为具有一定字长的数字序列值的信号。 （2）滤波器系数的有限字长效应，在数字系统滤波器系数的量化处理过程中，用有限位二进制数来表示，就必定会带来有限字长效应。对于不同结构类型的数字滤波器来说，它的极点和零点位置在数字滤波器中的系数变化将不一样。因有限字长效应在数字滤波器系数中带来的任何微小变化，都极有可能对数字滤波器的频率响应特性造成巨大的影响，对于在单位圆内并且非常靠近单位圆的极点来说，有限字长效应在数字滤波器中系数的误差影响，就会让这些极点移动到单位圆上或者单位圆外，因而数字滤波器的原有稳定性就失去了。 （3）运算过程中的有限字长效应所带来的误差。在数字运算过程中，为了限制位数有限字长效应对信号处理的影响分析 第 2 页 共 33 页 而进行尾数处理和为了防止溢出进而压缩信号电平的有限字长效应，这其中就有低电平的极限环振荡效应和溢出振荡效应。 以上三种误差都与系统结构形式、数的表达方法、和所采用的运算方式、字的长短和尾数的处理有关。 研究有限字长效应目的： （1）当数字信号的处理过程在计算机上实现时，它的字长是已经固定的了，对它进行误差分析，是为了了解结果的可信度，如果可信度差的话，就需要采取一定的改进措施。但是在一般的情况下，因为计算机字长都是比较长的，所以就不用考虑字长的影响了。 （2）使用特定硬件芯片来进行数字信号处理时，通常使用定点实现，由于硬件的字长问题，所以就需要了解为了达到设计要求所需精度情况下的最小字长。通过最小字长来选定特定的硬件芯片类型，又因为不同硬件芯片的价格差很大，通过有限字长效应的研究就可以在价格和精度中间做出一个合理的选择。硬件设计工程师便可以在满足精度要求的前提下减小字长，降低生产成本，保证产品的优越性能。
1.2 主要工作
对 IIR 数字滤波器的有限字长效应进行分析，本文主要内容IIR 数字滤波器的网络实现结构，再介绍了 IIR 数字滤波器的直接型、级联型和并联型结构，并分析了这些结构的特点，以及有限字长效应对滤波器造成的误差分析。 2 IIR 数字滤波器的网络实现结构
IIR数字滤波器是一个反馈系统，它会进行循环计算，在这个过程中，其系数误差会不断地积累叠加。在IIR滤波器的极点靠近z平面上的单位圆时，其幅频特性一般会出现较大的峰值。当系数量化误差较大时，就会使原来处于单位圆内的极点移到单位圆外，这样的就会让IIR滤波器由稳定系统变成了非稳定系统。还有一钟情况，当一组系数的差过大时，量化会造成对值大于1的数在运算过程中被归一化，数字滤波器的功能就有可能无法实现。所以，讨论IIR滤波器系数的有限字长效应问题具有更加现实的意义。
2.1 IIR 数字滤波器原理 前言 第 3 页 共 33 页 2.1.1 数字滤波器的基本概念 数字滤波器是数字信号处理中的一项重要基础，在对信号的过滤和监测以及参数评估等处理的过程中，这是被运用最为广泛的一种线性系统。它的对象是通过抽样器件把模拟信号转变为数字信号。它是指能够完成信号处理功能的、使用有限精度算法有限字长效应对信号处理的影响分析
第 4 页 共 33 页 来实现的具有离散时间线性非时变特点的系统。数字滤波器的输入是一组数字量，而输出则是通过数字变换的另外一组数字量。其本身既能用硬件来完成给定运算的处理，又能通过软件编程来实现所要的运算处理，具有使用范围广的特点。总之，数字滤波器具有以下几个特点:精度高、灵敏度高、稳定性强等特点。伴随着数字技术的快速发展，通过数字技术来实现滤波器的功越来越受到人们的重视，并且得到更加广泛的应用。 滤波器，其实就是对系统的输入信号进行滤波的过程。滤波器的输出y(n)与输入x(n)之间的联系是脉冲响应h(n),即 )(*)()(nhnxny 如果滤波器的输入和输出都是离散信号，那么这个滤波器的脉冲响应也应该是离散信号，这样的滤波器就成为数字滤波器。
2.1.2 IIR滤波器的特点 IIR 数字滤器，无限长脉冲响应滤波器具有如下三个的特点： （1）IIR 数字滤波器采用的是递归型结构，就是结构上带有反馈环路； （2）IIR 数字滤波器系统的单位脉冲响应 h(n)是无限长的； （3）IIR 数字滤波器系统函数 H(z)在有限 z 平面（0<|z|<+∞)上存在极点； 上述3个特点在本质上是一致相通的，这可从 IIR 数字滤波器的系统函数 H(z) 和差分方程 y(n) 中得到体现：
)()(1)(10zXzYzazbzHNiiiMiii＝＝
（2-1）
MiNiiiinyainxbny01)()()(
（2-2)
(1)中分母多项式系数ia表明在有限z平面上存在极点，在是（2）中系数 ai 表明存在着输出到输入的反馈。 2.2 IIR 数字滤波器的网络实现结构
同一种 IIR 系统函数可以有多种不同的网络实现结构，其中就包括直接性、并IIR数字滤波器的网络实现结构 第 5 页 共 33 页 联型、级联型。不同的网络结构使得 IIR 滤波器在实现功能上具有不同的特点，在性能上也将产生不同的频率特性。下面先简单介绍不同网络结构的IIR 滤波器，然后再对具有相同传输函数滤波器的情况下，分析不同网络结构下有限字长效应对滤波器频率特性的影响。
2.2.1 直接Ⅰ型 一个 N 阶的 IIR 滤波器的输入输出关系可以用式（2）所示的 N 阶的差分方程来描述。从这个差分方程表达式可以看出，系统的输出y(n)由两部分构成：第一部分)(0inxbMii是一个输入信号x(n)的M阶延时链结构，每阶延时抽头后加权相加，这
就实现了一个零点的横向结构网络。第二部分Niiinya1)(是一个输出信号对y(n)的N阶延时链的横向结构网络，每级延时抽头后加权相加，是一个由输出到输入的反馈网络。由这两部分相加构成输出，是由输出到输入的反馈网络。
图1 滤波器直接I型 2.2.2 直接Ⅱ型 直接Ⅱ型结构也叫做典范型结构，其系统函数H(z)可以认为是两个独立的系统函数的乘积。输入信号)(xn先经过系统)z(1H，获得中间输出变量)(1ny，然后就可以把
)(1ny送入系统)(2zH得到输出信号)(ny。
NiiiMiiizazbzHzHzH1021
1
)()()(
（2-3） MiiizXzbzH02)()(
（2-4） MiiizXzbzH02)()(
（2-5） 差分方程为： 有限字长效应对信号处理的影响分析 第 6 页 共 33 页 )()()(11nyinyanyiNi （2-6）
图2 直接II型 2.2.3 滤波器级联型 将IIR滤波器的系统函数的分子分母表达为因子的形式，即
11211111121111)1)(1()1()1)(1()1()(**NiNiiiiMiM
iiii
zqzqzpzhzhzg
AzH
（2-7） 因为系统函数的系数都是实系数，故而零点、极点只有两种情况：或者是实根，或者是共轭复根。式中A为归一化常数，M=M1+M2，N=N1+2N2，ig表示实零点，ip表示实极点，ih和*ih表示复共轭零点，iq和*iq表示复共轭极点。每一对共轭因子合并起来，就可以构成一个实系数的二阶因子。所以，任意系统都可以由一阶和二阶子系统级联构成。故而，整个系统函数完全可以分解为实系数二阶因子的形式： NckkNckkkkkzHAzazazbzbAzH112211
2211)(2121)(
（2-8） 式中，Nc表示M和N中最大的整数。)(Hzk称为滤波器的二阶基本节，可以采用直接
II型结构实现，整个滤波器则是)(zHk的级联。 2.2.4 并联型 将IIR滤波器的系统函数H(z)展开为部分分式的和，即 210111111)1)(1()1(1)(*NkNMkkkkkkkNkkk
zGzdzdzeBzgAzH
（2-9）
