习题课 复数的几何意义

这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 复平面 ，x轴叫做 实轴 ， y轴叫做 虚轴 . 显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应； 反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.因此，复 数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数z＝a＋bi
因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与
零向量对应)，即复数z＝a＋bi
平面向量
→ OZ
，这是复数的
另一种几何意义.
思考 (1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？
答案 不是.
(2)象限内的点与复数有何对应关系？
பைடு நூலகம்
答案 第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；
第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；
第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；
第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负.
知识点二 复数的模 1.如图所示，向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a
＋bi|.如果 b＝0，那么 z＝a＋bi 是一个实数 a，它的模等于|a|(就是 a 的绝 对值).由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝ a2＋b2 (r≥0，r∈R).
2.复数的模的性质，设z1，z2是任意两个复数，则 (1)|z1·z2|＝|z1|·|z2|，zz12＝||zz12||(|z2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到). (2)|zn1|＝|z1|n(n∈N*). (3)|z1|－|z2|≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1＋z2|＝|z1|＋|z2|时，即 z1，z2 所对应的向量同向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1＋z2|时，即 z1，z2 所对应的向量反向共线. (4)||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|，等号成立的条件是： ①当|z1－z2|＝|z1|＋|z2|时，即 z1，z2 所对应的向量反向共线； ②当||z1|－|z2||＝|z1－z2|时，即 z1，z2 所对应的向量同向共线.

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
3.在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2 mi 的点在直线y＝x上， 则实数m的值为__________.
【解析】1.选B. z＝ 3＋i2＝ 3－1R， ∴z对应的点在实轴上，故选B. 2.选D.∵ < 2<π，∴sin2>0，cos2<0.
2
故z＝sin2＋icos2对应的点在第四象限.故选D.
3.复数z在复平面上对应的点为(m－3,2 m)， ∴m－3＝2 m，即m－2 －m 3＝0. 解得m＝9.
Байду номын сангаас答案：9
【归纳】复数对应的点在曲线上的判断步骤. 提示：复数对应的点在曲线上的判断有三步：(1)确定复数的 实部和虚部；(2)写出复数对应的点；(3)将坐标代入曲线方程， 若满足方程，在曲线上；否则，不在曲线上.
2.复数的几何意义z=a+bi(a，b∈R) (1)复数z=a+bi在复平面内所对应的点是Z(a,b)，而不是 Z(a,bi); (2)复数集的复数z =a+bi与复平面内的向量 OZ 一一对应 (向量起点必须是原点).
3.复数的模 复数的模是一个非负实数，它的几何意义是复平面内复数所对 应的点到原点的距离.
即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以(－1,2)为圆 心，以3为半径的圆. 答案：以(－1,2)为圆心，3为半径的圆 2.(1)复数z的模等于4，就是说，向量 OZ 的模等于4，所以满足条件|z|＝4的点Z的 集合是以原点O为圆心，以4为半径的圆.
(2)不等式2<|z|<4可化为不等式组
z z
＜4,
＞不2. 等式|z|<4的解集是

[规范解答] 法一 (1)∵复数 z 的模等于 2，这表明向量O→Z的 长度等于 2，即点 Z 到原点的距离等于 2，因此满足条件|z|＝2 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 2 为半径的圆．(6 分)
(2)满足条件|z|≤3 的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，以 3 为半径 的圆及其内部．(12 分) 法二 设 z＝x＋yi(x，y∈R)，(1)|z|＝2，∴x2＋y2＝4， ∴点 Z 的集合是以原点为圆心，以 2 为半径的圆． (6 分) (2)|z|≤3，∴x2＋y2≤9. ∴点 Z 的集合是以原点为圆心，以 3 为半径的圆及其内部．
计算复数的模时，应先找出复数的实部和虚部，然后再利用模的公式进行计算，两个虚数不能比较大小， 但它们的模可以比较大小．
题型三 复数的模的几何意义 【例 3】 设 z∈C，满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形？
(1)|z|＝2； (2)|z|≤3. 利用模的意义或转化为实数 x、y 应满足的条件．
[正解] 设 x＝a＋bi(a，b∈R)，则原方程可化为 a2－b2－5 a2＋b2＋6＋2abi＝0 ⇒a2－b2－5 a2＋b2＋6＝0，
2ab＝0 ⇒ab＝ ＝±02， 或ab＝ ＝±03， 或ab＝ ＝0±，1， 即 x＝±2 或 x＝±3 或 x＝±i. 故方程在复数集上的解共有 6 个．
解 法一 由已知 A(0,1)，B(1,0)，C(4,2)，
则 AC 的中点 E2，32， 由平行四边形的性质知 E 也是 BD 的中点，设 D(x，y)
则xy＋＋22 10＝ ＝232， ，
∴xy＝＝33，. 即 D(3,3)，
∵D 点对应复数为 3＋3i.
法二 由已知：O→A＝(0,1)，O→B＝(1,0)，O→C＝(4,2)． ∴B→A＝(－1,1)，B→C＝(3,2)，∴B→D＝B→A＋B→C＝(2,3)， ∴O→D＝O→B＋B→D＝(3,3)， 即点 D 对应复数为 3＋3i. 法三 设 D(x，y)，由B→A＝C→D， ∴(－1,1)＝(x－4，y－2)， ∴xy＝＝33，， 即 D(3,3)．

a
o
x
练习4 已知复数2+i，-2+4i， -2i，4，在复平面内画出 这些复数对应的向量。
（-2，4）.
y
8
6
4
2
.（2，1）
-10 -5
o
-2
(4,0) (0,-2)
5
10
x
-4
-6
-8
复数的模：
对应平面向量 OZ 的模| OZ |，它表示复数 z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的 距离。
复数的几何意义（一）
有序实数对(a,b) 复数z=a+bi 直角坐标系中的点 Z(a,b) 1799年德国数学家高斯提出了复 （数） （形） y 数的几何意义，完善了复数体系。 z=a+bi 建立了平面直角 b Z(a,b) 坐标系来表示复数的 平面 ------复平面 (高斯平面)
a
一一对应
o （0，0 ）
实数的几何意义
在几何上， 我们用什么 来表示实数? 实数可以用数轴 上的点来表示。
一一对应
实数 (数 )
数轴上的点 (形 )
类比实数的 表示，可以 用什么来表 示复数？
想 一 想 ？
学生活动 回 忆
复数的 代数形 式？
z=a+bi(a, b∈R)
实部!
(a , 虚部!
b)
有序实数 对
一个复数 由什么唯 一确定？
复数z=a+bi
复平面内的点Z(a,b)
2.复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的:
复数z=a+bi
一一对应
平面向量
OZ
二.复数z=a+bi的模 2 2 | z | = | OZ | a b