山东省潍坊市2022届高三上学期期中考试理科数学Word版含答案

2022-2023学年山东省潍坊市高二上学期期中数学试题一、单选题1．（ ）AB BC CA +-= A ．B ．C ．D ．2CAAC 0 2ACD【分析】利用向量的运算法则求解.【详解】解：，AB BC CA +- ，AC CA =-，AC AC =+ ，2AC = 故选：D 2．点到直线的距离为1，则（ ）()00,P x y 1x =0x =A ．0或2B ．1或2C ．0D ．2A【分析】由点到直线的距离求解.【详解】解：因为点到直线的距离为1，()00,P x y 1x =所以，-=011x 解得 或00x =02x =故选：A 3．已知向量与平行，则（ ）(),2,6a x =-()1,,3b y =-x y +=A ．1B ．C ．3D ．1-3-B【分析】根据向量平行列方程，求得进而求得.,x y x y +【详解】由于向量与平行，(),2,6a x =-()1,,3b y =-注意到，()()632=-⨯-所以，故.()()1222x y ⎧=⨯-⎪⎨-=⨯-⎪⎩2,1,1x y x y =-=+=-故选：B4．直线，的斜率是方程的两个根，则（ ）1l 2l 210x mx --=A ．B ．12//l l 12l l ⊥C ．与相交但不垂直D ．与的位置关系不确定1l 2l 1l 2l B【分析】结合根与系数关系、两直线的位置关系求得正确答案.【详解】设直线的斜率分别是，12,l l 12,k k 依题意，所以.1212,1k k m k k +=⋅=-12l l ⊥故选：B5点；丙：该圆的圆心为；丁：该圆经过点．如果只有一位同学的结论是错误的，那()3,3()2,1()7,0么这位同学是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁D【分析】通过假设的方法判断出错误的同学.【详解】设.()()()3,3,2,1,,7,0A B C 假设甲错误，乙丙丁正确，==，矛盾，所以甲正确.AB BC≠假设乙错误，甲丙丁正确，由甲、丙正确可知圆的方程为，()()22215x y -+-=不满足上式，矛盾，所以乙正确.()7,0C 假设丙错误，甲乙丁正确..5=>假设丁错误，甲乙丙正确，则由甲丙可知圆的方程为，()()22215x y -+-=满足上式，符合题意.()3,3A 综上所述，结论错误的同学是丁.故选：D 6．已知直线经过定点P ，直线经过点P ，且的方向向量，()()1:210m x m l y m ++++=l 'l '()2,1a =则直线的方程为（ ）l 'A ．B ．230x y --=230x y -+=C ．D ．230x y -+=230x y --=B【分析】先求出，设上一点为，其中与不重合，根据的方向向量，求出P l '(,)A m n A P l '()2,1a =，进而利用两点式，求出直线方程.A 【详解】对化简得，，得，解得，点，l :(21)0l m x y x y ++++=2100x y x y ++=⎧⎨+=⎩11x y =-⎧⎨=⎩(1,1)P -又直线经过点P ，且的方向向量，可设上一点为，其中与不重合，l 'l '()2,1a =l '(,)A m n A P 则，解得，故利用两点式，可得的直线方程为：1211m n +=⎧⎨-=⎩12m n =⎧⎨=⎩l '.230x y -+=故选：B 7．正四棱柱的底面边长为2，点E ，F 分别为，的中点，且已知与1111ABCD A B C D -1CC 1DD 1A E BF 所成角的大小为60°，则直线与平面BCF 之间的距离为（ ）1A E A ．BCDC【分析】由，可得，结合题干条件在中求解可得，由1//A E HC 60BOC ∠= Rt HBC AH =可得直线与平面BCF 之间的距离即为点与平面BCF 之间的距离，1//A E HC 1A E E 作可证明为点与平面BCF 之间的距离，求解即可.EG FC ⊥EG E【详解】取为中点，连接不妨令相交于，H 1AA ,,,HB HF FC ,HC FB O 由于点E 为的中点，故，1CC 11,//A H CE A H CE =即四边形为平行四边形，故，故与BF 所成角的大小与与所成角的大1A HCE 1//A E HC 1A E HC BF 小相等，即，60BOC ∠=不妨设，故AH x =2,BH BC CH ==由平面，平面，故，点为中点，BC ⊥11ABB A BH ⊂11ABB A 90CBH ∠= O CH故，又，故为等边三角形，即，OB OC =60BOC ∠=BOC 2OC BC ===解得x =1AA =连接，作于，,EF EB EG FC ⊥G 由于，平面BCF ，平面BCF ，故 平面BCF ，1//A E HC 1A E ⊄HC ⊂1//A E 则直线与平面BCF 之间的距离即为点与平面BCF 之间的距离，1A E E 由平面，平面，故，又平面BCF ，BC ⊥11CDD C EG ⊂11ABB A EG BC ⊥,,FC BC C FC BC ⋂=⊂故平面BCF ，即为点与平面BCF 之间的距离，EG ⊥EG E2,EC EF CD FC =====故与平面BCF .EC EF EG FC ⨯===1A E 故选：C8．已知直线，点是圆内一点，若过点A 的圆的最短弦所在2:0++=l ax by r (),A a b 222:C x y r +=直线为m ，则下列说法正确的是（ ）A ．l 与圆C 相交，且B ．l 与圆C 相切，且l m⊥//l mC ．l 与圆C 相离，且D ．l 与圆C 相离，且l m ⊥//l mD【分析】由题可得，利用圆的性质可得过点222a b r +<r>A 的圆的最短弦与垂直，进而即得.CA 【详解】因为点是圆内一点，(),A a b 222:C x y r +=所以，222a b r +<所以圆心到直线，()0,0C 2:0++=l ax by r r >所以直线l 与圆C 相离，由圆的性质可知当时，过点A 的圆的弦最短，此时，CA m ⊥m a k b =-所以.//l m 故选：D.二、多选题9．已知a ，b 为不同的直线，，为不同的平面，则下列说法正确的是（ ）αβA ．，，B ．，，//αβa α⊂//b a b β⊂⇒a α⊥b β⊂//a bαβ⇒⊥C ．，，D ．，，，//αβ//a b a b αβ⊥⇒⊥αβ⊥a α⊂b β⊂a b a β⊥⇒⊥BC【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】A 选项，若，，，则可能异面，A 选项错误.//αβa α⊂b β⊂,a b B 选项，由于，，所以，由于，所以，B 选项正确.a α⊥//αβa β⊥b β⊂a b ⊥C 选项，由于，，所以，由于，所以，C 选项正确.a α⊥//αβa β⊥//ab b β⊥D 选项，若，，，，则可能，D 选项错误.αβ⊥a α⊂b β⊂a b ⊥a αβ⋂=故选：BC10．关于直线，以下说法正确的是（ ）:0l ax y a ++=A ．直线l 过定点B ．时，直线l 过第二，三，四象限()1,0-0a >C ．时，直线l 不过第一象限D ．原点到直线l 的距离的最大值为10a <ABD【分析】由确定定点坐标，根据a 的符号判断直线所过的象限，根据时原:(1)0l a x y ++=OM l ⊥点到直线l 的距离的最大求最大距离.O 【详解】由过定点，A 正确；:(1)0l a x y ++=(1,0)M -当，过定点，斜率为负，故过第二、三、四象限，B 正确；0a >(1)y ax a a x =--=-+(1,0)M -当，过定点，且斜率为正，过一、二、三象限，故C 错误；a<0=--y ax a (1,0)M -要使原点到直线l 的距离的最大，只需，即距离等于，D 正确.O OM l ⊥||1OM =故选：ABD 11．过点的直线l 与圆相交于不同的两点A ，B ，弦AB 的中点为P ，曲线D 为()1,1C 22:4O x y +=点P 组成的集合，则下列各选项正确的是（ ）A ．的最小值为2B ．可能为等腰直角三角形ABAOB C ．曲线D 的方程为D ．曲线D 与圆O 没有公共点22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭BCD【分析】由题意求的轨迹方程，再由圆的性质，圆与圆的位置关系对选项逐一判断，P 【详解】由题意得，设，则，0PC PO ⋅=(,)P x y (1)(1)0x x y y -+-=即曲线D 的方程为，故C 正确，22111222x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于A ，时，取得最小值，故A 错误，||OC OC AB ⊥AB=对于B ，当时，，为等腰直角三角形，故B 正确，OC AB ⊥AB =AOB对于D ，曲线D 的圆心，则，两圆无公共点，故D 正确，11(,22D ||2OD =<故选：BCD12．如图，在四棱锥的平面展开图中，四边形为直角梯形，，P ABCD -ABCD //AB CD ，．在四棱锥中，以下结论正2222AB BC CD BE ====90ABC ABH CBE ∠=∠=∠=︒P ABCD -确的是（ ）A ．平面平面PAD ⊥PBD B．PA =C ．三棱锥的外接球表面积为-P ABC 4πD ．平面与平面PAD PBC ABD【分析】由平面图还原立体图，由面面的垂直的判定定理判断选项A ，根据勾股定理计算判断PA 选项B ，先计算底面三角形外接圆的半径，再由勾股定理计算外接球半径，代入球的面积公ABC 式计算即可判断选项C ，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，计算平面的法向量，利用空间向量夹角计算公式求解判断选项D.【详解】由四棱锥的平面展开图还原立体图，P ABCD -可得平面，，，PB ⊥ABCD BC CD ⊥2222AB BC CD PB ====又平面，所以，，,AB AD ⊂ABCD PB AD ⊥PB AB ⊥在直角梯形中，，ABCD AD BD =2AB =所以，即，又因为平面，222AB AD BD =+AD BD ⊥,PB BD ⊂PBD ，所以平面，又平面，PB BD B ⋂=AD ⊥PBD AD ⊂PAD 所以平面平面，故A 正确；PAD ⊥PBD 因为，，PB AB ⊥22AB PB ==所以B 正确；PA ==由题意，的外接圆半径为，ABC12r AC ===所以三棱锥的外接球半径为-P ABC，R ===所以三棱锥外接球的表面积为-P ABC，故C错误；24π6πS ==由题意，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，()2,1,0A -()0,1,0B ()0,0,0C ()1,0,0D -()0,1,1P 因为，，，PB AB ⊥BC AB ⊥PB BC B ⋂=平面，所以平面，,PB BC ⊂PBC AB ⊥PBC 所以平面的法向量为，PBC ()2,0,0AB =又，，()1,1,0AD =- ()1,1,1PD =---设平面的法向量为，PAD (),,n x y z =则，得，0000AD n x y x y z PD n ⎧⋅=-=⎧⎪⇒⎨⎨---=⋅=⎩⎪⎩()1,1,2n =- 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为PAD PBC ，故D 正确.cos ,AB n AB n AB n ⋅<>=== 故选：ABD三、填空题13．直线的横截距与纵截距的和为______．210x y +-=##1.532【分析】根据直线方程直接求解横纵截距，即可得横截距与纵截距的和.【详解】解：直线得，当时，；当时，210x y +-=0x =1y =0y =12x =则横截距与纵截距的和为.13122+=故答案为.3214．已知大小为的二面角的一个面内有一点，它到二面角棱的距离为2，则这个点到另一个面的π3距离为______．【分析】首先根据题意，画出示意图，结合直角三角形即可求解.【详解】如下图，依据题意，设内有一点C ，过C 作棱的垂线，垂足B ，与的夹角即为二面ααβ角，即.又因为，在中，，则有，解得3ABC π∠=2BC =ABC 2CAB π∠=cos cos6ACACB BC π∠==AC =15．点P 在圆上运动，直线分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()2222x y -+=20x y ++=面积的最大值为______．ABP 6【分析】先求出两点的坐标进而结合两点间的距离公式求出的长度，再根据圆,A B AB上点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半()2222x y -+=20x y ++=()2,020x y ++=径来求出点到直线的距离最大，即可求出结果.P 20x y ++=【详解】由题意可知,()()2,0,0,2A B --=由于长度为定值，故面积的最大值时即为点到直线的距离最大，ABABP P 20x y ++=而圆上点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离()2222x y -+=20x y ++=()2,020x y ++=加半径，又因为圆心到直线，()2,020x y ++=所以点到直线的距离最大值为P 20x y ++==因此面积的最大值为，ABP 621⨯=故6.四、双空题16．已知正方体的棱长为2，点M 是棱BC 的中点，点N 是棱上的一个动点，1111ABCD A B C D -1CC 设点A ，M ，N 确定的平面为，当点N 为的中点时，平面截正方体的截面的面积为α1CC α______．点到平面的距离的最小值为______．1A α##92 4.5【分析】当是的中点时，画出截面，根据梯形面积公式求得截面面积.当是棱上任意一N 1CC N 1CC 点时，建立空间直角坐标系，利用向量法求得到平面的距离的表达式，结合二次函数的性质求1A α得其最小值.【详解】（1）当是的中点时，N 1CC 连接，由于，11,AD BC 11////MN BC AD 所以四点共面，所以平面即平面，1,,,A M N D α1AMND 根据正方体的性质可知，四边形是等腰梯形，1AMND11MN AD D N AM ====所以等腰梯形1AMND =.92=（2）当是棱上任意一点时，建立空间直角坐标系如下图所示，N 1CC ，()()()2,0,0,1,2,0,1,2,0A M AM =-设，，()0,2,,02N t t ≤≤()1,0,MN t =-设平面的法向量为，α(),,n x y z =则，故可设，200n AM x y n MN x tz ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩()2,,2n t t = ，()10,0,2AA =所以到平面，1A α，2204,45424t t ≤≤≤+≤所以当，时，到平面2t =25424t +=1Aα===故92五、解答题17．已知向量，，且()1,1,0a =()1,0,b c =-a + (1)求c 的值；(2)若与互相垂直，求实数k 的值．ka b + 2a b - (1)2c =±(2)75k =【分析】（1）求出，根据向量模长公式列出方程，求出；()0,1,b a c +=2c =±（2）分与两种情况，根据向量垂直列出方程，求出实数k 的值.2c =2c =-【详解】（1），()()()01,0,1,1,0,1,b c a c =-++=所以；a + 2c =±（2）当时，2c =，()()()01,0,2,,1,,2k b k k k a k +=--=+，()()()2202,21,0,2,,23,a b -=-=--因为与互相垂直，ka b + 2a b - 所以，解得：，()231220k k -+-=75k =当时，，2c =-()()()210,1,2,,0,,ka k k k b k +=-+---=()()()2202,21,0,2,,23,a b -=-=--因为与互相垂直，ka b +2a b - 所以，解得：，()231220k k -+-=75k =综上.75k =18．已知直线过点，且倾斜角是直线倾斜角的倍．l (2P :l y '=12(1)求直线的方程；l (2)设直线与直线的交点为Q ，点R 在直线上，若三角形PQRR 的坐标．l l 'l 'y -=(2)，或3,2⎛ ⎝R 12R ⎛- ⎝【分析】（1）求出直线的斜率、倾斜角可得，直线的倾斜角、斜率，再由直线的点斜式方程可l 'l 得答案；（2）求出点坐标，设可得，再求出，点到直线的距离利用三角形Q (),R a b b =PQ(),R a b l的面积为可得答案.PQR 12=dPQa【详解】（1）因为直线的斜率为，:l y '=k=2π3所以直线的倾斜角为的方程为，lπ3l)2y x=-；y-=（2）由解得，设，所以，yy⎧=⎪-=1,2⎛⎝Q(),R ab b=，3==PQ点到直线的距离为(),R a bld所以三角形的面积为PQR12=d PQ解得或，32a=12a=-当时，，此时，32a==b3,2⎛⎝R当时，，12a=-b=12R⎛-⎝即点，或.3,2⎛⎝R12R⎛-⎝19．已知圆，圆C过点且与圆O相切于点．22:2O x y+=()5,3M()1,1N(1)求圆C的标准方程；(2)若P是圆C上异于点N的动点，PA，PB是圆O的两条切线，A，B是切点，求四边形PAOB面积的最大值．(1)228850339x y⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）设出圆心坐标，根据半径相等列出方程，再由圆C 与圆O 相切，切点为，得()1,1N 到切点在直线上，求出直线方程，得到代入，得到方程，从而求出圆心和半()1,1N OC OC ()1,1N 径，得到圆C 的标准方程；（2）通过分析得到当最长时，直角边AP 的长度最长，此时四边形PAOB 面积取得最大值，作OP 出辅助线，求出最大值，求出四边形PAOB 面积的最大值.OP AP 【详解】（1）设圆C 的圆心为，(),a b ，化简得，=28a b +=因为圆C 与圆O 相切，切点为，()1,1N 所以切点在直线上，直线为，()1,1N OC OC by x a =将代入中，得，()1,1N b y x a =a b =联立与可得：，圆心为，28a b +=a b =83a b ==88,33⎛⎫⎪⎝⎭=故圆C 的标准方程为；228850339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）四边形PAOB 面积可看作两个全等的直角三角形PAO 面积与POB面积之和，直角三角形PAO 中直角边AO AP 的长度最长即可，由勾股定理可知只需最长即可，OP 显然连接并延长，交圆C 于点，此时最长，OC P OP为max OP ==此时最长，为AP maxAP ==四边形PAOB 面积的最大值为122⨯=20．在三棱锥中，为等边三角形，平面ABC ，将三角形PAC 绕PA 逆时针旋-P ABC ABC PA ⊥转至PAD 位置（如图），且二面角的大小为90°．D PA B --(1)证明：A ，B ，C ，D 四点共面，且；AD PB ⊥(2)若，设G 为PC 的中点，求PB 与平面ABG 所成角的正弦值．4PA AB ==(1)证明见解析；【分析】（1）利用反证法，假设四点不共面，进而证明假设不成立；再通过证明平面ABCD AD ⊥，可通过线面垂直证明得到线线垂直.PAB（2）利用向量法，直接计算线面角的正弦值即可.【详解】（1）证明：平面，且平面，平面，PA ⊥ ABC AD ⊂ABC AC ⊂ABC ，，，PA AC ∴⊥PA AD ⊥AC AD ACD ⊂，平面又，平面，假设四点不共面，AC AD A = PA ∴⊥ACD ABCD 平面，平面，平面平面，PA ⊥ ABC PA ⊥ACD ∴ABC ∥ACD 与平面平面矛盾，故四点共面；ABC ⋂ACD AC =ABCD 又因为，所以为二面角的平面角，，即，,AB PA AD PA ⊥⊥BAD ∠D PA B --90BAD ∴∠=AD AB ⊥又，且，平面，PA AD ⊥PA AB A PA AB PAB ⋂=⊂，，平面AD ∴⊥PAB 又平面，PB ⊂PAB AD PB∴⊥（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A ,,AB AD AP ,,x y z ；A xyz -，得，(0,0,0),(4,0,0),(2,(0,0,4)A B CP 2)G ，设平面的法向量为，2),(4,0,0)AG AB == ABG (,,)n x y z =则，即，令，得，00AB n AG n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩20x z x ⎧++=⎪⎨=⎪⎩2y=(0,2,n =，(4,0,4)PB =-sin cos ,PB n PB n PB n θ⋅====〈〉∣21．在边长为a 的正方体上选择四个顶点，然后将它们两两相连，且这四个顶点1111ABCD A B C D -组成的几何图形为每个面都是等边三角形的四面体，记为四面体．Ω(1)请在给出的正方体中画出该四面体，并证明；(2)设的中心为O ，关于点O 的对称的四面体记为，求与的公共部分的体积．（注：到ΩΩ'ΩΩ'Ω各个顶点距离相等的点称为四面体的中心）(1)画图见解析式，证明详见解析（答案不唯一）(2)316a 【分析】（1）根据正四面体、正方体的知识画图图象，并进行证明.（2）画出与的公共部分，根据锥体体积公式求得正确答案.Ω'Ω【详解】（1）正方体的边长为，a 每个面都是等边三角形的四面体是正四面体，如图所示四面体，每个面都是等边三角形，11B ACD -即四面体是正四面体.11B ACD -（2）依题意可知是正方体的中心，O 由（1）得对应正四面体，则对应正四面体，Ω11B ACD -'Ω11D A BC -与的公共部分是正方体六个面的中心为顶点所得的正八面体Ω'Ω123456,,,,,O O O O O O ，123456O O O O O O --其棱长为，12=所以体积为.3 1112326a a⎛⎫⨯⨯=⎪⎪⎝⎭22．已知曲线C是到两个定点，()2,0A-()2,0B(1)求曲线C的方程；(2)设过点B的直线l与C交于M，N两点；问在x轴上是否存在定点，使得为定值？(),0Q t QM QN⋅若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．(1)()2235x y-+=(2)存在定点，使得为定值()2,0Q QM QN⋅4-【分析】（1）设点(),C x y（2）设直线l方程为，点，联立曲线C的方程，利用韦达定理可以()2y k x=-()11,M x y()22,N x y求出，由于为定值可知，可求出参数t的值，即可得定点坐标和224241tQM QN t tk-⋅=-++420t-=定值，当斜率不存在时，也符合题意.【详解】（1）设点，由题意可知，整理得(),C x yACAB==，故曲线C的方程为.()2235x y-+=()2235x y-+=（2）设直线l 方程为，点，，()2y k x =-()11,M x y ()22,N x y 联立，得，()()22352x y y k x ⎧-+=⎪⎨=-⎪⎩()()()2222146410k x k x k +-+++=所以，()()()22122121212121246222414k x x y y k x k x k x x x x k x x ⎧++=⎪⎡⎤⇒=-⋅-=⋅-+++⎨⎣⎦⎪⋅=⎩因此()()()()()()21122121212222222121222,,4644212411QM QN x t y x t y x x t x x t y y k t t tk x x k t x x t t t t k k ⋅=-⋅-=-+++--+-=+-+⋅++=+=-+++若，即时，，所以定值为，420t -=2t =22424QM QN ⋅=-⨯=- 4-当斜率不存在时，直线l 为，2x =联立可求得，，()2235x y -+=()2,2M ()2,2N -所以，符合题意.()()()22,22,22442QM QN t t t t ⋅=-⋅--=--=-⇒= 故存在定点，使得为定值.()2,0Q QM QN ⋅ 4-。

2021-2022年山东省潍坊市高一数学上学期期中试卷及答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R，集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，则下列关系正确的是（ ）A．1∈A B．∅⊆A C．∁R A＝{x|0＜x＜2} D．A∩∅＝A2．已知a＞b＞0，则（ ）A．a2＜ab B．a+b＜2b C．＞1 D．3．下列各组函数中，是同一函数的是（ ）A．y＝x2与y＝x B．y＝与y＝（）2C．y＝与y＝x+1 D．y＝与y＝x4．命题“∀x∈R，使得n≥x2，n∈N*”的否定形式是（ ）A．∀x∈R，使得n＜x2，n∈N* B．∀x∈R，使得n≠x2，n∈N*C．∃x∈R，使得n＜x2，n∈N* D．∃x∈R，使得n≥x2，n∈N*5．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（ ）A．1 B．﹣1 C．D．6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则下列关系式中一定成立的是（ ）A．f（﹣1）＜f（﹣2）B．f（﹣1）＜f（2）C．f（1）＞f（﹣2）D．f（0）＝07．如图，电路中电源的电动势为E，内阻为r，R1为固定电阻，R2是一个滑动变阻器，已知R2消耗的电功率为P＝（）2R2，当R2消耗的电功率P最大时，r，R1，R2之间的关系是（ ）A．r+R2＝R1B．r+R1＝R2C．＝R2D．R1+R2＝r8．函数y＝f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b 为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A．f（x）＝2x+1关于（，0）中心对称B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，2）中心对称C．函数y＝f（x）的图像关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（ ）A．a2+b2B．C．≥4 D．≥410．已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论中正确的是（ ）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是m＜0B．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1C．方程无实数根的充要条件是m＞1D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为011．已知函数f（x）＝，下列结论中正确的是（ ）A．f（x）的图像关于y轴对称B．f（x）的单调减区间为（2，+∞）C．f（x）的值域为RD．当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值12．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值可能是（ ）A．B．0 C．1 D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知集合M＝{2，m}，N＝{2m﹣1，2}，若M＝N，则实数m＝ ．14．已知f（x）＝，则f（3）的值为 ．15．已知函数f（x）＝﹣x2+bx，g（x）＝x+．写出满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为 .（注：写出一个满足条件的即可）16．设函数定义在R上的增函数，则实数a取值范围为 ．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知x+x＝3，求的值；（2）已知，求的值．18．已知集合A＝{x||x﹣4|≤3}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}．（1）当a＝1时，求A∪B，B∩∁R A；（2）若____，求实数a的取值范围．（注：从①A∪B＝A；②B∩∁R A＝∅；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．三个条件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．）19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x（m）．（1）将总造价y（元）表示为长度x（m）的函数；（2）如果当地政府财政拨款3万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地？（≈1.414）20．已知定义在[﹣3，3]上的函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（1）＝．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．21．已知函数f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]．（1）当a＝1时，求f（x）的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[0，3]上的最大值为14，求实数a的值．22．已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），F（x）＝．（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请说明理由．参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R，集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，则下列关系正确的是（ ）A．1∈A B．∅⊆A C．∁R A＝{x|0＜x＜2} D．A∩∅＝A选：B．2．已知a＞b＞0，则（ ）A．a2＜ab B．a+b＜2b C．＞1 D．选：D．3．下列各组函数中，是同一函数的是（ ）A．y＝x2与y＝x B．y＝与y＝（）2C．y＝与y＝x+1 D．y＝与y＝x选：D．4．命题“∀x∈R，使得n≥x2，n∈N*”的否定形式是（ ）A．∀x∈R，使得n＜x2，n∈N* B．∀x∈R，使得n≠x2，n∈N*C．∃x∈R，使得n＜x2，n∈N* D．∃x∈R，使得n≥x2，n∈N*【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*，故选：C．5．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（ ）A．1 B．﹣1 C．D．选：B．6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则下列关系式中一定成立的是（ ）A．f（﹣1）＜f（﹣2）B．f（﹣1）＜f（2）C．f（1）＞f（﹣2）D．f（0）＝0【分析】由偶函数的定义和单调性的性质，可得结论．解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则f（x）在（0，+∞）是减函数，所以f（﹣1）＝f（1），f（﹣2）＝f（2），且f（1）＞f（2），故选：C．7．如图，电路中电源的电动势为E，内阻为r，R1为固定电阻，R2是一个滑动变阻器，已知R2消耗的电功率为P＝（）2R2，当R2消耗的电功率P最大时，r，R1，R2之间的关系是（ ）A．r+R2＝R1B．r+R1＝R2C．＝R2D．R1+R2＝r选：B．8．函数y＝f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b 为奇函数，则下列说法正确的是（ ）A．f（x）＝2x+1关于（，0）中心对称B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，2）中心对称C．函数y＝f（x）的图像关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（ ）A．a2+b2B．C．≥4 D．≥4选：ACD．10．已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论中正确的是（ ）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是m＜0B．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1C．方程无实数根的充要条件是m＞1D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为0选：AB．11．已知函数f（x）＝，下列结论中正确的是（ ）A．f（x）的图像关于y轴对称B．f（x）的单调减区间为（2，+∞）C．f（x）的值域为RD．当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值选：AD．12．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值可能是（ ）A．B．0 C．1 D．选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知集合M＝{2，m}，N＝{2m﹣1，2}，若M＝N，则实数m＝　1　．答案为：1．14．已知f（x）＝，则f（3）的值为　2　．答案为 2．15．已知函数f（x）＝﹣x2+bx，g（x）＝x+．写出满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为　b≤3　.（注：写出一个满足条件的即可）答案为：b≤3，（答案不唯一）16．设函数定义在R上的增函数，则实数a取值范围为　[2，4]　．答案为：[2，4]．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知x+x＝3，求的值；（2）已知，求的值．解：（1）∵x+x＝3，∴＝x+x﹣1+2＝9，∴x+x﹣1＝7，∴（x+x﹣1）2＝x2+x﹣2+2＝49，∴x2+x﹣2＝47，又∵（x﹣x﹣1）2＝x2+x﹣2﹣2＝47﹣2＝45，∴x﹣x﹣1＝，∴＝＝＝＝．（2）由，得，∴＝＝．18．已知集合A＝{x||x﹣4|≤3}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}．（1）当a＝1时，求A∪B，B∩∁R A；（2）若____，求实数a的取值范围．（注：从①A∪B＝A；②B∩∁R A＝∅；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．三个条件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．）解：（1）当a＝1时，A＝{x||x﹣4|≤3}＝{x|1≤x≤7}，B＝{x|x2﹣2x﹣3）≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}A∪B＝{x|﹣1≤x≤7}，B∩∁R A＝{x|﹣1≤x＜1}；（2）若选①A∪B＝A，则B⊆A，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；若选②B∩∁R A＝∅，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，∁R A＝{x|x＜1或x＞7}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B⊆A，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x（m）．（1）将总造价y（元）表示为长度x（m）的函数；（2）如果当地政府财政拨款3万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地？（≈1.414）解：（1）由矩形的长为xm，则矩形的宽为m，则中间区域的长为x﹣4m，宽为﹣4m，所以定义域为x∈（4，50），故y＝100×200[200﹣（x﹣4）（﹣4）]，整理可得y＝18400+400（x+），x∈（4，50）；（2）因为x+＝20，当且仅当，即x＝时取等号，所以当x＝时，总造价最低为18400+8000≈2.97万元＜3万元，故仅根据总造价情况，能够修建起该市民休闲锻炼的场地．20．已知定义在[﹣3，3]上的函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（1）＝．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．【解答】（1）解：因为函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，则f（x）为奇函数，又f（1）＝，所以，解得b＝0，a＝9，所以，经检验，f（x）为奇函数，所以；（2）证明：要证明对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立，即证明f（x）在[﹣3，3]上单调递增，用定义证明如下：设﹣3≤x1＜x2≤3，则＝＝，因为﹣3≤x1＜x2≤3，所以x1x2﹣9＜0，x2﹣x1＞0，，故f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在[﹣3，3]上单调递增，故对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．21．已知函数f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]．（1）当a＝1时，求f（x）的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[0，3]上的最大值为14，求实数a的值．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣5x+5＝（x﹣）2﹣，x∈[0，3]，又因为二次函数的图像开口向上，对称轴为x＝，所以x＝时，f（x）min＝﹣；当x＝0时，f（x）max＝5；（2）f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]，对称轴为x＝，当≤，即a≤时，f（x）max＝f（3）＝8﹣19a＝14，解得a＝﹣；当x＝＞，即a＞时，f（x）max＝f（0）＝5≠14，此时不符合题意．综上可得a＝﹣．22．已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），F（x）＝．（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请说明理由．解：（1）因为f（﹣1）＝0，则a﹣b+1＝0①，又f（x）的最小值为0，则a≠0，且b2﹣4a＝0②，由①②解得，a＝1，b＝2，所以f（x）＝x2+2x+1，则；（2）由（1）可得，g（x）＝f（x）﹣kx＝x2+2x+1﹣kx＝x2+（2﹣k）x+1＝，当或，即k≤﹣2或k≥6时，g（x）为单调函数，故实数k的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）；（3）因为f（x）为偶函数，所以f（x）＝ax2+1，则，因为mn＜0，由于m，n的对称性，不妨设m＞n，则n＜0，又m+n＞0，则m＞﹣n＞0，所以|m|＞|﹣n|，所以F（m）+F（n）＝f（m）﹣f（n）＝（am2+1）﹣an2﹣1＝a（m2﹣n2）＞0，所以F（m）+F（n）能大于零．。

山东省潍坊市2024届高三一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知平面向量()1,2a =r ，()1,b λ=- ，若a b ⊥ ，则实数λ=（）A ．12B ．12-C ．2-D ．22．已知抛物线:C 2x y =上点M 的纵坐标为1，则M 到C 的焦点的距离为（）A ．1B ．54C ．32D ．23．已知集合(){}3log 212A x x =+=，集合{}2,B a =，其中R a ∈．若A B B ⋃=，则=a （）A ．1B ．2C ．3D ．44．已知等差数列{}n a 的前n 项和为174,1,510n S a S a =-=+，则4S =（）A ．6B ．7C ．8D ．105．12世纪以前的某时期，盛行欧洲的罗马数码采用的是简单累数制进行记数，现在一些场合还在使用，比如书本的卷数、老式表盘等．罗马数字用七个大写的拉丁文字母表示数目：I V X L C D M 1510501005001000例如：58LVIII =，464CCCCLXIIII =．依据此记数方法，MMXXXV =（）A ．2025B ．2035C ．2050D ．20556．如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为截面11A C B 上的动点，若1DP AC ⊥，则点P 的轨迹长度是（）17．已知数列{}n a 满足10a =，21a =．若数列{}1n n a a ++是公比为2的等比数列，则2024a =（）A ．2023213+B ．2024213+C ．101221-D ．101121-8．已知直三棱柱111ABC A B C -外接球的直径为6，且AB BC ⊥，2BC =，则该棱柱体积的最大值为（）A ．8B ．12C ．16D ．24二、多选题9．某科技攻关青年团队有6人，他们年龄分布的茎叶图如图所示，已知这6人年龄的极差为14，则（）A ．8a =B ．6人年龄的平均数为35C ．6人年龄的75%分位数为36D ．6人年龄的方差为64310．函数2()cos 2cos 1f x x x x ωωω=+-（01ω<<）的图象如图所示，则（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．)3π(2y f x =+是奇函数C ．π()cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称D ．若()y f tx =（0t >）在[]0,π上有且仅有两个零点，则1117[,)66t ∈11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，且()()2f x f x x --=，()()20g x g x +-=，则（）A ．()01g =B ．()f x y x=的图象关于点()0,1对称C ．()()20f x f x +-=D ．()212nk n n g k =-=∑（*N n ∈）三、填空题12．已知i 是虚数单位，若复数z 满足()2i i z +=，则i2z =-．13．第40届潍坊国际风筝会期间，某学校派5人参加连续6天的志愿服务活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种．（结果用数值表示）14．已知平面直角坐标系xOy 中，直线1l ：2y x =，2l ：2y x =-，点P 为平面内一动点，过P 作2//DP l 交1l 于D ，作1//EP l 交2l 于E ，得到的平行四边形ODPE 面积为1，记点P 的轨迹为曲线Γ．若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则实数t 的取值范围是．四、解答题15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin cos a B B c +=．(1)求A ；(2)若c =a =D 为BC 的中点，求AD ．16．已知椭圆E ：22221x y a b+=（0a b >>）中，点A ，C 分别是E 的左、上顶点，AC =且E的焦距为(1)求E 的方程和离心率；(2)过点()1,0且斜率不为零的直线交椭圆于R ，S 两点，设直线RS ，CR ，CS 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若123k k +=-，求k 的值．17．如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，下底面ABCD 是平行四边形，120ABC ∠=︒，1122AB A B ==，8BC =，1A A =1DD DC ⊥，M 为BC的中点．(1)求证：平面11CDD C ⊥平面1D DM ；(2)若14D D =，求直线DM 与平面11BCC B 所成角的正弦值．18．若ξ，η是样本空间Ω上的两个离散型随机变量，则称(,)ξη是Ω上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设(,)ξη的一切可能取值为(,)i j a b ，,1,2,i j =⋅⋅⋅，记ij p 表示(,)i j a b 在Ω中出现的概率，其中(,)[()()]ij i j i j p P a b P a b ξηξη====== ．(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为ξ，2号盒子中的小球个数为η，则(,)ξη是一个二维随机变量．①写出该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值；②若(,)m n 是①中的值，求(,)P m n ξη==（结果用m ，n 表示）；(2)()i P a ξ=称为二维离散型随机变量(,)ξη关于ξ的边缘分布律或边际分布律，求证：1()i ij j P a p ξ+∞===∑．19．已知函数1()2ln f x m x x x=-+（0m >）．(1)讨论()f x 的单调性；(2)证明：2322221111(1)(1(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<（*n ∈N ，2n ≥）；(3)若函数221()ln 2g x m x x x=--+有三个不同的零点，求m 的取值范围．参考答案：1．A【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得.【详解】平面向量()1,2a =r ，()1,b λ=- ，由a b ⊥，得120a b λ⋅=-+= ，所以12λ=.故选：A 2．B【分析】首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得.【详解】抛物线:C 2x y =的准线方程为14y =-，又点M 在抛物线上且纵坐标为1，所以点M 到C 的焦点的距离为41154⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故选：B 3．D【分析】首先求出集合A ，依题意可得A B ⊆，即可求出a 的值.【详解】由()3log 212x +=，则2213x +=，解得4x =，所以(){}{}3log 2124A x x =+==，又{}2,B a =，A B B ⋃=，即A B ⊆，所以4a =.故选：D 4．C【分析】根据题意，由等差数列的前n 项和公式即可得到45a =，再由等差数列的求和公式即可得到结果.【详解】因为数列{}n a 为等差数列，则()17474772722a a a S a +⨯===，又74510S a =+，则447510a a =+，即45a =，则()()1444415822a a S +-+===.故选：C 5．B【分析】根据给定的信息，直接写出该数即可.【详解】依题意，每个M 表示1000，左起两个M 就表示2000，每个X 表示10，中间3个X 就表示30，最后一个V 表示5，因此MMXXXV 表示的数是20003052035++=所以2035MMXXXV =.故选：B 6．B【分析】连接1,DC BD ，利用线面垂直的判定推理证得1AC 平面1BC D 即可确定点P 的轨迹得解.【详解】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，连接1,,DC BD AC ，由1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得1BD AA ⊥，而BD AC ⊥，11,,AA AC A AA AC ⋂=⊂平面1AA C ，则BD ⊥平面1AA C ，又1AC ⊂平面1AA C ，于是1BD AC ⊥，同理11BC A C ^，而11,,BC BD B BC BD =⊂ 平面1BC D ，因此1A C ⊥平面1BC D ，因为1DP A C ⊥，则DP ⊂平面1BC D ，而点P 为截面11A C B 上的动点，平面11AC B ⋂平面11BC D BC =，所以点P 的轨迹是线段1BC .故选：B 7．A 【分析】利用等比数列求出112n n n a a -++=，进而求得2112(2)n n n a a n -+--=≥，再利用累加法求通项得解.【详解】依题意，121a a +=，112n n n a a -++=，当2n ≥时，212n n n a a --+=，则2112n n n a a -+--=，所以35202120242426420242022()()()12222a a a a a a a a =+-+-++-=+++++101120232(14)211143-+=+=-.故选：A 8．C【分析】由已知求出多面体外接球的半径，设(06)AB x x =<<，把棱锥体积用含有x 的代数式表示，再由基本不等式求最值．【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中AB BC ⊥，所以ABC 为直角三角形，则ABC 外接圆的圆心为斜边AC 的中点，同理111A B C △外接圆的圆心为斜边11A C 的中点，如图，直三棱柱111ABC A B C -外接球的直径为6，∴外接球的半径3R =，设上下底面的中心分别为1O ，O ，连接1O O ，则外接球的球心G 为1O O 的中点，连接GC ，则3GC =，设(06)AB x x =<<，所以AC =，则OC =，在Rt COG 中，OG =1OO =∴该棱柱的体积12162V x =⨯=≤=．当且仅当2232x x =-，即4x =时等号成立．故选：C ．9．ACD 【分析】根据极差求出a ，从而求出平均数、方差，再根据百分位计算规则判断C.【详解】因为这6人年龄的极差为14，即()422014a -+=，解得8a =，故A 正确；所以这6人年龄分别为28、30、32、36、36、42，则6人年龄的平均数为()1283032363642346+++++=，故B 错误；又675% 4.5⨯=，所以6人年龄的75%分位数为从小到大排列的第5个数，即36，故C 正确；又6人年龄的方差()()()()()()222222216428343034323436343634423463S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦，故D 正确.故选：ACD 10．ACD【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数()f x ，结合给定图象求出ω，再逐项判断即可.【详解】依题意，π()2cos 22sin(2)6f x x x x ωωω=+=+，由(2π)3f =，得πππ22π,Z 362k k ω⋅+=+∈，解得13,Z 2k k ω=+∈，而01ω<<，解得12ω=，π()2sin()6f x x =+，()f x 的最小正周期为2π，A 正确；π(22sin(22co πs 236π3y f x x x =+=++=是偶函数，B 错误；ππ(cos 2sin()cos 63y f x x x x =+=+，令π()2sin()cos 3g x x x =+，则ππππππ()2sin()cos()2cos cos[(2sin()cos ()626233g x x x x x x x g x -=--=-+=+=，π(cos 6y f x x =+的图象关于直线π12x =对称，C 正确；π()2sin()6f tx tx =+，0t >，当[]0,πx ∈时，πππ[,π666tx t +∈+，依题意，π2ππ3π6t ≤+<，解得1117[,)66t ∈，D 正确.故选：ACD 11．ABD【分析】对于A ，对条件()()2f x f x x --=，求导可得；对于B ，对条件()()2f x f x x --=，两边同时除以x 可得；对于C ，反证法，假设C 正确，求导，结合条件()(2)0g x g x +-=，可得(0)0g =与(0)1g =矛盾，可判断C ；对于D ，求出()10g =，()21g =-，所以有(2)()2g n g n +-=-，()()211g g -=-，*N n ∈，得出数列{()}g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断．【详解】因为()()2f x f x x --=，所以()()2f x f x '+-='，即()()2g x g x +-=，令0x =，得(0)1g =，故A 正确；因为()()2f x f x x --=，当0x ≠时，()()2f x f x x x-+=-，所以()f x y x=的图象关于点()0,1对称，故B 正确；对于C ，假设()(2)0f x f x +-=成立，求导得()(2)0f x f x ''--=，即()(2)0g x g x --=，又()(2)0g x g x +-=，所以()0g x =，所以(0)0g =与(0)1g =矛盾，故C 错误；对于D ，因为()()2g x g x +-=，()(2)0g x g x +-=，所以(2)()2g x g x ---=-，(0)1g =，()10g =，()21g =-，所以有(2)()2g n g n +-=-，所以数列{}()g n 的奇数项是以0为首项，2-为公差的等差数列，数列{}()g n 的偶数项是以1-为首项，2-为公差的等差数列，又()()211g g -=-，*N n ∈，所以数列{}()g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列，所以()1g n n =-，所以21()2nk n n g k =-=∑，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是()()2f x f x x --=，()()20g x g x +-=的应用，D 选项关键是推出{}()g n 是以0为首项，1-为公差的等差数列.12．i 5【分析】利用复数除法法则进行计算出答案..【详解】()i 2i i 2iz z +=⇒=+，故()()2i i i i i i i 22245z ===-+--.故答案为：i 513．120【分析】首先考虑甲连续2天的情况，再其余4人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得.【详解】在6天里，连续2天的情况，一共有5种，则剩下的4人全排列有44A 种排法，故一共有445A 120⨯=种排法．故答案为：120．14．()1,4【分析】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d =再联立直线PD 与2y x =的方程，求出点D 的坐标，进而表达出平行四边形ODPE 面积，再结合平行四边形ODPE 面积为1求出点P 的轨迹方程，再利用双曲线的性质求解．【详解】设点()00,P x y ，则点P 到1l 的距离为d =，直线PD 方程为0022y x x y =-++，联立00222y x x y y x =-++⎧⎨=⎩，解得0024D x y x +=，所以OD =所以1ODPE S OD d ===平行四边形，所以22014y x -=±，所以点P 的轨迹Γ为两个双曲线2214y x -=、2214y x -=，因为双曲线2214y x -=的实半轴长为1，双曲线2214y x -=的实半轴长为2，若Γ与圆22x y t +=有四个交点，则12<，即14t <<，所以实数t 的取值范围是(1,4)．故答案为：()1,4．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是求出动点P 的轨迹方程，最后结合双曲线的性质求出t 的取值范围.15．(1)π42【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到sin cos A A =，即可得解；（2）由余弦定理求出b ，再由()12AD AB AC =+，根据数量积的运算律计算可得.【详解】（1）因为()sin cos a B B c +=，由正弦定理得sin (sin cos )sin A B B C +=，在ABC 中，sin sin()C A B =+，则有sin (sin cos )sin()A B B A B +=+，sin sin sin cos sin cos cos sin A B A B A B A B ∴+=+，sin sin cos sin A B A B ∴=，又()0,πB ∈，sin 0B ∴>，sin cos A A ∴=，tan 1A ∴=，又()0,πA ∈，π4A ∴=；（2）根据余弦定理有2222cos a b c bc A =+-，则有2522b b =+-，解得3b =或1b =-（舍去），D 为BC 的中点，则()12AD AB AC =+，()222111722923444AD AB AC AB AC ⎛∴=++⋅=⨯++= ⎝⎭，AD ∴=16．(1)2214x y +=，2e =(2)3【分析】（1）由||AC 的值，可得a ，b 的关系，再由焦距可得c 的值，又可得a ，b 的关系，两式联立，可得a ，b 的值，即求出椭圆的方程；（2）设直线RS 的方程，与椭圆的方程联立，消元、列出韦达定理，求出直线CR ，CS 的斜率之和，由题意整理可得参数的值，进而求出直线RS 的斜率的大小．【详解】（1）由题意可得(,0)A a -，(0,)C b ，可得AC ==2c =c =可得2223a b c -==，225a b +=，解得24a =，21b =，所以离心率c e a ==所以椭圆的方程为2214x y +=，离心率2e =；（2）由（1）可得(0,1)C ，（3）（4）由题意设直线RS 的方程为1x my =+()0m ≠，则1k m=，设()11,R x y ，()22,S x y ()120x x ≠，联立22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理可得22(4)230m y my ++-=，显然0∆>，且12224my y m +=-+，12234y y m =-+，直线CR ，CS 的斜率1111y k x -=，2221y k x -=，则12211212121211(1)(1)(1)(1)(1)(1)y y my y my y k k x x my my --+-++-+=+=++1212212122(1)()2()1my y m y y m y y m y y +-+-=+++22222322(1)2244321144mm m m m m m m m m m --⋅+-⋅-++==---⋅+⋅+++，因为123k k +=-，即231m -=-，解得13m =，所以直线RS 的斜率13k m==．即k 的值为3．17．(1)证明见解析；(2)67.【分析】（1）利用平行四边形性质及余弦定理求出DM ，进而证得DM CD ⊥，再利用线面垂直、面面垂直的判定推理即得.（2）由已知证得1D D ⊥平面ABCD ，再以D 为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【详解】（1）在ABCD Y 中，由120ABC ∠=︒，得60DCM ∠=︒，而2,4DC CM ==，在DCM △中，由余弦定理，得DM =则222DM CD CM +=，即DM CD ⊥，又1CD D D ⊥，1DD DM D = ，1,DD DM ⊂平面1D DM ，因此CD ⊥平面1D DM ，而CD ⊂平面11CDD C ，所以平面11CDD C ⊥平面1D DM .（2）在四棱台1111ABCD A B C D -中，由112AB A B =，得1128AD A D ==，有114A D =，在梯形11ADD A 中，18,4AD DD ==，过1A 作11//A E D D 交AD 于点E ，则14,4AE A E ==，又1AA =22211AE A E AA +=，则1A E AD ⊥，即1D D AD ⊥，又1,,,D D CD AD CD D AD CD ⊥=⊂ 平面ABCD ，于是1D D ⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，以1,,DM DC DD的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，1(0,0,0),(0,2,0),(0,1,4),D C C M，1(2,0),(0,1,4)MC CC =-=- ，设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z =，则12040MC n y CC n y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令z =，得(4,n =，而DM =，设DM 与平面11BCC B 所成角大小为θ，因此||4sin |cos ,|67||||DM n DM n DM n θ⋅=〈〉==，所以直线DM 与平面11BCC B18．(1)①(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0)；②9!!(3)!2m n m n ⋅--；(2)证明见解析.【分析】（1）①根据题意直接写出所有可能取值；②利用独立重复试验的概率、条件概率公式及独立事件的概率公式列式化简即得.（2）利用全概率公式及互斥事件的加法公式推理即可.【详解】（1）①该二维离散型随机变量(,)ξη的所有可能取值为：(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0).②依题意，03m n ≤+≤，(,)(|)()P m n P m n P n ξηξηη=====⋅=，显然3312()C ()(33n n n P n η-==，则3333111(|)C ()(C (222m m n m mn n n P m n ξη-----====，所以3333112(,)C ()C (()233mn n n n n P m n ξη---===⋅331C C 279!!(3)!2n m n m n m n -==⋅--.（2）由定义及全概率公式知，12({([(]})))()()i i j P a P a b b b ξξηηη====== 12{[([(([(})()]))])()]i i i j P a b a b a b ξηξηξη======= 12[([(()()]))]))][((i i i j P a b P a b Pa b ξηξηξη===+==++==+ 11[))](((,)i j i j j j P a b P a b ξηξη+∞+∞========∑∑ 1ij j p +∞==∑.【点睛】关键点睛：利用全概率公式求随机事件B 的概率问题，把事件B 分拆成两个互斥事件AB 与AB 的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.19．(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3)(1,)+∞.【分析】（1）求出函数()f x 的导数，按01m <≤与1m >分类讨论求出()f x 的单调区间.（2）利用（1）中1m =时的结论，再利用裂项相消法求和，推理即得.（3）变形函数()g x ，将()g x 的零点个数问题转化为()f t 的零点个数，再借助导数及零点存在性定理求解.【详解】（1）函数()f x 定义域为(0,)+∞，求导得2222121()1m x mx f x x x x -+-'=--=，设2()21k x x mx =-+-，则24(1)m ∆=-，①当01m <≤时，0,()0f x ∆'≤≤恒成立，且至多一点处为0，函数()f x 在(0,)+∞上递减；②当1m >时，0,()k x ∆>有两个零点120,0x m x m =->=+>，则当10x x <<或2x x >时，()0k x <，即()0f x '<；当12x x x <<时，()0k x >，即()0f x '>，即函数()f x 在12(0,),(,)x x +∞上单调递减，在12(,)x x 上单调递增，所以当01m <≤时，()f x 的递减区间为(0,)+∞；当1m >时，()f x的递减区间为(0,)m m +∞，递增区间为(m m .（2）由（1）知，当1m =时，(1,)x ∈+∞时，1()2ln (1)0f x x x f x=-+<=，则1ln 22x x x<-，令*211(,2)x n n n =+∈≥N ，于是2222222111111111ln(1)(1()112212(1)4n n n n n n n +<+-=+<<++-111122n n =--+，22221111ln(1)ln(1)ln(1ln(1234n ++++++++ 111111212()(()11111113322332222222n n n <-+-++-=-<-+-+-++ ，所以2322221111(1(1)e 234n+++⋅⋅⋅+<.（3）函数222221(1)()ln 2ln (ln )(ln )x g x m x x m x m x m x x x -=--+=-=，由于ln x 与1x -同号，则ln y m x =+1x =，令t =(1)0f =，则()g x 有三个不同的零点等价于函数()f t 有三个不同的零点，由（1）知，当01m <≤时，()f t 在(0,)+∞上单调递减，不合题意；当1m >时，由（1）知，()f x 的两极值点12,x x 满足121=x x ，所以121t t =，得121t t <<，由(1)0f =，则12)((1)(0)f t f f t <=<，由（2）知，当1t >时，1ln 22t t t<-，则<，即ln t <因此2222222211114(42ln(442(2)40)4)424m f m m m m m m m m m m m -=-+<--+=<，由零点存在性定理知，()f t 在区间()22,4t m 上有唯一的一个零点0t ，显然000000001111(()2ln 2ln 0)f t f m t t m t t t t t +=-++-+=，而0()0f t =，则0)(10f t =，于是当1m >时，()f t 存在三个不同的零点001,1,t t ，所以m 的取值范围是(1,)+∞.【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用函数零点的意义等价转化，构造函数并用导数探讨函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.。

一、选择题：本大题共12小题，每题3分1．计算：20•2﹣3=〔〕A．﹣18B．18C．0 D．8【答案】B. 【解析】试题分析：20•2﹣3=1×18=18．故答案选B．考点：实数的运算.2．以下科学计算器的按键中，其上面标注的符号是轴对称图形但不是中心对称图形的是〔〕【答案】D.考点：轴对称图形与中心对称图形的概念.3．如图，几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯视图是〔〕【答案】C.【解析】试题分析：根据俯视图的概念和看得到的边都应用实线表现在三视图中、看不到，又实际存在的，又没有被其他边挡住的边用虚线表现在三视图中可得：图中几何体的俯视图是C选项中的图形．故答案选C.考点：几何体的三视图.4．近日，记者从潍坊市统计局得悉，2022年第一季度潍坊全市实现生产总值1256.77亿元，将1256.77亿用科学记数法可表示为〔精确到百亿位〕〔〕A．1.2×1011B．1.3×1011C．1.26×1011D．0.13×1012【答案】B.【解析】试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，用这个数的整数位数减1即可，即将1256.77亿用科学记数法可表示为1.3×1011．故答案选B．考点：科学计数法.5．实数a，b在数轴上对应点的位置如下列图，化简|a|+的结果是〔〕A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b【答案】A.考点：二次根式的性质与化简；实数与数轴．6．关于x的一元二次方程x2﹣x+sinα=0有两个相等的实数根，那么锐角α等于〔〕A．15° B．30° C．45° D．60°【答案】B.【解析】试题分析：关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+sinα=0有两个相等的实数根，可得△=2﹣4sinα=0，解sinα=21，因α为锐角，由特殊角的三角函数值可得α=30°．故答案选B ． 考点：根的判别式；特殊角的三角函数值．7．木杆AB 斜靠在墙壁上，当木杆的上端A 沿墙壁NO 竖直下滑时，木杆的底端B 也随之沿着射线OM 方向滑动．以下列图中用虚线画出木杆中点P 随之下落的路线，其中正确的选项是〔 〕 【答案】D.考点：直角三角形斜边上的中线．8．将以下多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是〔 〕 A ．a 2﹣1 B ．a 2+a C ．a 2+a ﹣2 D ．〔a+2〕2﹣2〔a+2〕+1 【答案】C. 【解析】试题分析：先把四个选项中的各个多项式分解因式，即a 2﹣1=〔a+1〕〔a ﹣1〕，a 2+a=a 〔a+1〕，a 2+a ﹣2=〔a+2〕〔a ﹣1〕，〔a+2〕2﹣2〔a+2〕+1=〔a+2﹣1〕2=〔a+1〕2，观察结果可得四个选项中不含有因式a+1的是选项C ；故答案选C ．考点：因式分解.9．如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴相切于点A 〔8，0〕，与y 轴分别交于点B 〔0，4〕和点C 〔0，16〕，那么圆心M 到坐标原点O 的距离是〔 〕 A ．10 B ．8C ．413D ．241【答案】D.考点：切线的性质；坐标与图形性质． 10．假设关于x 的方程333x m mx x++--=3的解为正数，那么m 的取值范围是〔 〕 A ．m ＜92B ．m ＜92且m≠C ．m ＞﹣D ．m ＞﹣且m≠﹣ 【答案】B. 【解析】试题分析：去分母得：x+m ﹣3m=3x ﹣9，整理得：2x=﹣2m+9，解得：x=292m -+，关于x 的方程333x m mx x ++--=3的解为正数，所以﹣2m+9＞0，解得m ＜92，当x=3时，x=292m -+=3，解得：m=32，所以m 的取值范围是：m ＜92且m≠32．故答案选B ．考点：分式方程的解．11．如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，BC=2，以直角边AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，那么图中阴影局部的面积是〔 〕A ．﹣B ．﹣C ．﹣D ．﹣【答案】A.考点：扇形面积的计算；含30度角的直角三角形．12．运行程序如下列图，规定：从“输入一个值x〞到“结果是否＞95〞为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是〔〕A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23【答案】C.【解析】试题分析：由题意得，解不等式①得，x≤47，解不等式②得，x≤23，解不等式③得，x＞11，所以，x的取值范围是11＜x≤23．故答案选C．考点：一元一次不等式组的应用．二、填空题：本大题共6小题，每题3分13．计算：〔+〕=．【答案】12．【解析】试题分析：原式3•3333．考点：二次根式的化简.14．假设3x2n y m与x4﹣n y n﹣1是同类项，那么m+n=．【答案】5 3.考点：同类项的定义.15．超市决定招聘广告筹划人员一名，某应聘者三项素质测试的成绩如表：测试工程创新能力综合知识语言表达测试成绩〔分数〕70 80 92将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，那么该应聘者的总成绩是分．【答案】77.4．【解析】试题分析：根据该应聘者的总成绩=创新能力×所占的比值+综合知识×所占的比值+语言表达×所占的比值可得该应聘者的总成绩是：70×510+80×310+92×210=77.4分．考点：加权平均数．16．反比例函数y=kx〔k≠0〕的图象经过〔3，﹣1〕，那么当1＜y＜3时，自变量x的取值范围是．【答案】﹣3＜x＜﹣1．考点：反比例函数的性质.17．∠AOB=60°，点P是∠AOB的平分线OC上的动点，点M在边OA上，且OM=4，那么点P到点M与到边OA的距离之和的最小值是．【答案】23．【解析】试题分析：如图，过M作MN′⊥OB于N′，交OC于P，那么MN′的长度等于PM+PN的最小值，即MN′的长度等于点P到点M与到边OA的距离之和的最小值，因∠ON′M=90°，OM=4，所以MN′=OM•sin60°=23，即点P到点M 与到边OA的距离之和的最小值为23．考点：轴对称-最短路线问题．18．在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣1与x轴交于点A1，如下列图依次作正方形A1B1C1O、正方形A2B2C2C1、…、正方形A n B n C n C n﹣1，使得点A1、A2、A3、…在直线l上，点C1、C2、C3、…在y轴正半轴上，那么点B n的坐标是．【答案】〔2n﹣1，2n﹣1〕．考点：一次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．三、解答题：本大题共7小题，共66分19．关于x的方程3x2+mx﹣8=0有一个根是，求另一个根及m的值．【答案】另一个根是﹣4，m的值为10．【解析】试题分析：x=23是方程的一个根，把它代入方程即可求出m的值，再由根与系数的关系来求方程的另一根即可．试题解析：设方程的另一根为t．依题意得：3×〔23〕2+23m﹣8=0，解得m=10．又23t=﹣83，所以t=﹣4．综上所述，另一个根是﹣4，m的值为10．考点：根与系数的关系．20．今年5月，某大型商业集团随机抽取所属的m家商业连锁店进行评估，将各连锁店按照评估成绩分成了A、B、C、D四个等级，绘制了如图尚不完整的统计图表．评估成绩n〔分〕评定等级频数90≤n≤100 A 280≤n＜90 B70≤n＜80 C 15n＜70 D 6根据以上信息解答以下问题：〔1〕求m的值；〔2〕在扇形统计图中，求B等级所在扇形的圆心角的大小；〔结果用度、分、秒表示〕〔3〕从评估成绩不少于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求其中至少有一家是A等级的概率．【答案】〔1〕25；〔2〕8°48′；〔3〕5 6．【解析】试题分析：〔1〕由C等级频数为15除以C等级所占的百分比60%，即可求得m的值；〔2〕首先求得B等级的频数，继而求得B等级所在扇形的圆心角的大小；〔3〕首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其中至少有一家是A等级的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．试题解析：〔1〕∵C等级频数为15，占60%，∴m=15÷60%=25；〔2〕∵B等级频数为：25﹣2﹣15﹣6=2，∴B等级所在扇形的圆心角的大小为：225×360°=28.8°=28°48′；〔3〕评估成绩不少于80分的连锁店中，有两家等级为A，有两家等级为B，画树状图得：∵共有12种等可能的结果，其中至少有一家是A等级的有10种情况，∴其中至少有一家是A等级的概率为：1012=56．考点：频数〔率〕分布表；扇形统计图；列表法与树状图法．21．正方形ABCD内接于⊙O，如下列图，在劣弧上取一点E，连接DE、BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连接BF、AF，且AF与DE相交于点G，求证：〔1〕四边形EBFD是矩形；〔2〕DG=BE．【答案】〔1〕详见解析；〔2〕详见解析.∴∠EDF=90°，∴四边形EBFD 是矩形；〔2〕〕∵正方形ABCD 内接于⊙O， ∴的度数是90°，∴∠AFD=45°， 又∵∠GDF=90°， ∴∠DGF=∠DFC=45°， ∴DG=DF，又∵在矩形EBFD 中，BE=DF ， ∴BE=DG．考点：正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理．22．如图，直立于地面上的电线杆AB ，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC 、CD ，测得BC=6米，CD=4米，∠BCD=150°，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，试求电线杆的高度〔结果保存根号〕【答案】〔3+4〕米．试题解析：延长AD 交BC 的延长线于E ，作DF⊥BE 于F ， ∵∠BCD=150°， ∴∠DCF=30°，又CD=4， ∴DF=2，22CD DF 3 由题意得∠E=30°， ∴EF=tan DFE3， 3， ∴AB=BE×tanE=〔3〕×33=〔3+4〕米，答：电线杆的高度为〔23+4〕米．考点：解直角三角形的应用.23．旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x〔元〕是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．所有观光车每天的管理费是1100元．〔1〕优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，那么每辆车的日租金至少应为多少元〔注：净收入=租车收入﹣管理费〕〔2〕当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多【答案】〔1〕每辆车的日租金至少应为25元；〔2〕当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．【解析】由50x﹣1100＞0，解得x＞22，又∵x是5的倍数，∴每辆车的日租金至少应为25元；〔2〕设每辆车的净收入为y元，当0＜x≤100时，y1=50x﹣1100，∵y1随x的增大而增大，∴当x=100时，y1的最大值为50×100﹣1100=3900；当x＞100时，y2=〔50﹣1005x〕x﹣1100=﹣15x2+70x﹣1100=﹣15〔x﹣175〕2+5025，当x=175时，y2的最大值为5025，5025＞3900，故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．考点：二次函数的应用．24．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．〔1〕如图1，连接AC分别交DE、DF于点M、N，求证：MN=AC；〔2〕如图2，将△EDF 以点D 为旋转中心旋转，其两边DE′、DF′分别与直线AB 、BC 相交于点G 、P ，连接GP ，当△DGP 的面积等于3时，求旋转角的大小并指明旋转方向．【答案】〔1〕详见解析；〔2〕将△EDF 以点D 为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP 的面积等于33． 【解析】在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，AD=AB ， ∴△ABD 为等边三角形， ∵DE⊥AB， ∴AE=EB， ∵AB∥DC， ∴==21， 同理， =21， ∴MN=13AC ； 综上所述，将△EDF 以点D 为旋转中心，顺时针或逆时针旋转60°时，△DGP 的面积等于33． 考点：旋转的性质；菱形的性质．25．如图，抛物线y=x 2+bx+c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A 〔0，1〕，点B 〔﹣9，10〕，AC ∥x 轴，点P 时直线AC 下方抛物线上的动点．〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；〔3〕当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，假设存在，求出点Q 的坐标，假设不存在，请说明理由．【答案】〔1〕y=13x 2+2x+1；〔2〕P 〔﹣92，﹣54〕；〔3〕〔﹣4，1〕或〔3，1〕．试题解析：〔1〕∵点A 〔0，1〕．B 〔﹣9，10〕在抛物线上， ∴，∴b=2，c=1， ∴抛物线的解析式为y=13x 2+2x+1， 此时点P 〔﹣92，﹣54〕． 〔3〕∵y=13x 2+2x+1=13〔x+3〕2﹣2，∴P〔﹣3，﹣2〕，∴PF=y F﹣y P=3，CF=x F﹣x C=3，∴PF=CF，∴∠PCF=45°同理可得：∠EAF=45°，∴∠PCF=∠EAF，∴在直线AC上存在满足条件的Q，设Q〔t，1〕且AB=92，AC=6，CP=32∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，①当△CPQ∽△ABC时，∴，∴，∴t=﹣4，∴Q〔﹣4，1〕②当△CQP∽△ABC时，∴，∴，∴t=3，∴Q〔3，1〕．考点：二次函数综合题.。

2022届山东省潍坊市高三上学期学核心素养测评数学试题一、单选题1．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80％分位数为（ ） A ．7 B ．7．2 C ．7．5 D ．8【答案】D【分析】根据百分位数的定义计算即可得出答案．【详解】解：因为980%7.2⨯=，所以第80％分位数为第8个数， 故数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数为8. 故选：D ．2．已知集合{}{}21,1,,A m B a a A =-=∈．若A B 中有两个元素，则实数m 的不同取值个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】由A B 中有两个元素，得到21m mm ⎧=⎨≠⎩，由此能求出实数m 的不同取值个数．【详解】解：集合{1A =-，1，}m ，2{|}{1B a a A =∈=，2}m ，A B 中有两个元素，∴21m m m ⎧=⎨≠⎩，解得0m =， ∴实数m 的不同取值个数为1． 故选：B ．3．塔里木河为中国第一大内流河，全长2179千米，由发源于天山的阿克苏河，发源于昆仑山的叶尔羌河，和田河汇流而成．塔里木河自西向东蜿蜒于塔里木盆地北部，上游地区大多流经起伏不平的戈壁荒漠，所以河水的含沙量大，很不稳定，被称为“无缰的野马”．已知阿克苏河，和田河和叶尔羌河的含沙量和流量比(见表)，则塔里木河河水的含沙量约为（ ）A ．3.333kg/m 3B ．4.060kg/m 3C ．4.992 kg/m 3D ．5.637 kg/m 3【答案】C【分析】根据平均数的运算公式进行求解即可.【详解】塔里木河河水的含沙量约为:0.7 3.860.29.850.1 3.2 4.992⨯+⨯+⨯=， 故选：C4．在平面直角坐标系xOy 中，若角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，且终边经过点()1,2P -，则()sin 1sin 2sin cos αααα+=+（ ）A ．65-B ．25- C ．25D ．65【答案】C【分析】根据三角函数的定义求得三角函数值，再结合二倍角公式，即可求得答案. 【详解】若角α的终边经过点()1,2P -,则1,2,||x y r OP =-===，所以sin y x r r αα==== ，则4sin 22sin cos 5ααα==- ， 故()4(1)5sin 1sin 22sin cos 5αααα-+==+， 故选：C.5．在Rt △ABC 中，BC =1，斜边AB =2，点P 满足2AB PC =，则PC PA ⋅=（ ） A ．12-B ．12C． D【答案】A【分析】如图建立直角坐标系，则(1,0),(0,0)A B C ，然后由2AB PC =求出点P 的坐标，从而可求出PC PA ⋅的值【详解】如图建立直角坐标系，则(1,0),(0,0)A B C ，所以(1,AB =，设(,)P x y ，则(,)PC x y =--，因为2AB PC =，所以(1,2(,)x y =--，解得1,2x y =-，所以12P ⎛- ⎝⎭，所以1313,,,2222PC PA ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以131442PC PA ⋅=-=-， 故选：A6．2020年1月11日，被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜通过国家验收正式开放运行，成为全球口径最大且最灵敏的射电望远镜(简称FAST)．FAST 的反射面的形状为球冠．球冠是球面被平面所截得的一部分，截得的圆为球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段为球冠的高．某科技馆制作了一个FAST 模型，其口径为5米，反射面总面积为8π平方米，若模型的厚度忽略不计，则该球冠模型的高为（ ）(注：球冠表面积2S Rh π=，其中R 是球的半径，h 是球冠的高)A 7B 7米C 7D 7 【答案】B【分析】作出轴截面图形，可以球的几何性质以及球冠的表面积，列出方程组，求解即可．【详解】如图所示为球的轴截面图像，ACD 部分为该球冠的轴截面，AD 是弦，OC 是球的半径，点B 为AD 的中点，则OC AD ⊥于点B ，由题意可得，OC OA R ==，BC h =，5AD =， 所以OB R h =-， 2.5AB =，在OAB 中，由勾股定理可得2225()()2R R h =-+①， 又由球冠的表面积可得，28Rh ππ=②， 由①②可得，7h =7米． 故选：B ． 7．已知函数()1f x x a x=++．若存在相异的两个实数()12,,0x x ∈-∞，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞B ．2⎛-∞ ⎝⎭C ．(1,)+∞D ．2()+∞ 【答案】C【分析】化简函数的解析式为()1,1,x a x a xf x x a x a x⎧++≥-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩，分类讨论，结合导数求得函数的单调性，根据函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数()1,11,x a x a xf x x a x x a x a x⎧++≥-⎪⎪=++=⎨⎪--<-⎪⎩，①当0,0a x =<时，()1f x x x =-，可得()2110f x x'=--<， 此时函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，不成立，舍去；②当0,0<<a x 时，()1f x x a x =--，可得()2110f x x'=--<， 此时函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，不成立，舍去； ③当0,0><a x 时，()1,1,0x a x a xf x x a a x x⎧--<-⎪⎪=⎨⎪++-≤<⎪⎩，若x a <-时，()2110f x x '=--<，此时()f x 在(,)a -∞-上单调递减； 若0a x -≤<时，()211f x x '=-，令()0f x '=，解得1x =±， 所以()1f x x a x=++在(,1)-∞-上单调递增，在(1,0)-上单调递减， 若1a -<-时，即1a >时，函数()f x 在(,)a -∞-和(1,0)-上单调递减， 在(,1)a --上单调递增，，对任意0[,1]x a ∈--，都有()()0f x f a >-成立，所以当1a >时，存在相异的两个实数()12,,0x x ∈-∞，使得()()12f x f x =成立， 所以实数a 的取值范围为(1,)+∞. 故选：C.8．设数列()()22121n n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则（ ）A ．25<S 100<25.5B ．25.5<S 100<26C ．26<S 100<27D ．27<S 100<27.5【答案】A【分析】利用裂项相消法，来求前n 项和公式，再求前100项的和即可． 【详解】由22214(21)(21)441n n n n n =⋅-+-211(1)441n =+-111[1()]42(21)(21)n n =+-+1111()482121n n =+--+，∴11111111(1)(1)(1)48335212148212(21)n n n n n S n n n n +=+-+-+⋅⋅⋅+-=+-=-+++， ∴10010010125.122(21001)S ⨯=≈⨯+， 故选：A ． 二、多选题9．16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若0a b ab <≠且，则下列结论成立的是（ ）A ．33a b <B ．11a b> C ．a a b b < D ．23a b <【答案】AC【分析】利用不等式的性质，逐项判断即可．【详解】解：对于A ，由a b <，可得33a b <，故A 正确； 对于B ，由a b <，当0ab <时，可得11b a>，故B 错误； 对于C ，由a b <，当0ab <时，可得||0a a <，||0b b >，可得||||a a b b <，当0a >，0b >时，可得||||a a b b <，当0a b <<时，||||a b >，可得||||a a b b <，故C 正确； 对于D ，当3a =-，2b =-时，a b <，3211223389a b --==>==，故D 错误． 故选：AC ．10．已知函数()()tan 206f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．若()f x 的最小正周期是2π，则12ω=B ．当1ω=时，()f x 的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭C ．当1ω=时，()()π2π125f f ->D ．若()f x 在区间,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围为10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】BCD【分析】A 中，根据正切函数的最小正周期公式求出ω的值；B 中，根据正切函数的对称中心判断即可；C 中，根据三角函数诱导公式和正切函数的单调性，判断大小即可；D 中，根据正切函数的单调区间列出不等式组求得ω的取值范围． 【详解】对于A.若函数()f x 的最小正周期是2π，则22πωπ= ，解得14ω=，所以选项A 错误；对于B ，1ω=时，函数tan(2)6f x x π-（）＝，则2tan()0336f πππ-=（）＝，所以(,0)3π是f （x ）的一个对称中心，选项B 正确；对于C, 1ω=时，函数tan(2)6f x x π-（）＝，且()tan()tan 1233f πππ-=-=-，21911()tan tan 53030f πππ==-， 由11tantan330ππ< ，得11tan tan 330ππ->-，所以2()()125f f ππ->，选项C 正确； 对于D ，令2,262k x k k Z ππππωπ-+<-<+∈，,6232k k x k Z ππππωωωω-+<<+∈，因为f (x )在区间()3ππ,上单调递增,所以623,32k k Z k πππωωπππωω⎧-+≥⎪⎪∈⎨⎪≤+⎪⎩，解得32316k k ω+-≤≤ ，又ω＞0，所以103ω<≤，即ω 的取值范围是1(0,]3，选项D 正确．故选：BCD ．11．设()f x 是定义在R 上的函数，若()2f x x +是奇函数，()f x x -是偶函数，函数()()[]()(),0,1,21,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，，则下列说法正确的是（ ）A ．当[]2,3x ∈时，()()()223g x x x =---B ．()32122k k g k N -+-⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭C ．若()2g m ≥，则实数m 的最小值为72D ．若()()()2h x g x k x =--有三个零点，则实数16k =-【答案】BC【分析】由已知条件可得2()f x x x =-，再由()()[]()(),0,1,21,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，可求出()g x 的解析式，从而可画出()g x 的图象，然后利用图象分析判断【详解】因为()2f x x +是奇函数，()f x x -是偶函数，所以22()()()()f x x f x x f x x f x x ⎧-+=--⎨-+=-⎩，解得2()f x x x =-，由()()[]()(),0,1,21,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，得， 当(1,2)x ∈时，()2(1)g x g x =-，则1(0,1)x -∈， 所以()2(1)2(1)g x g x f x =-=-，同理，当(2,3)x ∈时，()2(1)4(2)4(2)g x g x g x f x =-=-=-， 以此类推，可得到()g x 的图象如下图所示，对于A ，根据上述规律，当(2,3)x ∈时，2()4(2)4[2(2)]4(2)(3)g x f x x x x x =-=---=---，所以A 错误，对于B ，根据图象，*21()2k k N -∈刚好是相邻两个自然数中间的数，则*21()2k g k N -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭刚好是每一段图象中的极大值，代入函数解析式得()32122k k g k N -+-⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以B 正确，对于C ，根据图象，当(3,4)x ∈时，2()8(712)g x x x =-+-，7()22g =，由图可得C 是正确的，对于D ，()()(2)h x g x k x =--有三个零点，等价于函数()g x 与函数(2)y k x =-有三个不同的交点，设11(2,0),,24A B ⎛⎫⎪⎝⎭，则函数(2)y k x =-的图象恒过点(2,0)A 的直线，如图所示，当函数(2)y k x =-与()g x 的图象相切时，有三个交点，相切时斜率k 小于直线AB 的斜率，直线AB 的斜率为10141622-=--，所以()()(2)h x g x k x =--有三个零点时，16k <-，所以D 错误， 故选：BC【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，解题的关键是根据题意求出()g x 的解析式，画出()g x 的图象，根据函数图象分析求解，考查数学结合的思想，属于较难题12．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，4,AB BC CD DA ====AC BD ==E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，AD 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．过点E ，F ，G 作四面体ABCD 的截面，则该截面的面积为2B ．四面体ABCDC ．AC 与BD 的公垂线段的长为D ．过E 作球O 的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4 【答案】ACD【分析】A 选项，找到过点E ，F ，G 的四面体ABCD 的截面，证明出是正方形，求出边长和面积；B 选项，分割法求解四面体体积；C 选项，找到AC 与BD 的公垂线，求出长度；D 选项，先找到球心的位置，然后再得到过点E 作面积最小的截面是以E 为圆心，BE =2为半径的圆，面积最大的截面是过点O ，E 的大圆，求出两圆面积之比. 【详解】A 选项，取AB 中点H ，连接EH ，GH ，因为点E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，GH ∥BD ，FG ∥AC ，EH ∥AC ，所以四边形EFGH 是平行四边形，故平行四边形EFGH 即为过点E ，F ，G 做四面体ABCD 的截面，取AC 中点Q ，连接QB ，QD ，因为4AB BC CD DA ====，由三线合一得：DQ ⊥AC ，BQ ⊥AC ，又DQBQ Q =，所以AC ⊥平面BDQ ，因为BD ⊂平面BDQ ，所以AC ⊥BD ，从而EF ⊥EH ，因为AC BD ==EF EH ==EFGH 是正方形，面积为22=，A 正确；B 选项，由勾股定理得：DQ 同理得：BQ =取BD 中点M ，连接QM ，由三线合一得：QM ⊥BD ，所以BM 由勾股定理得：QM ==故12BDQSBD QM =⋅=1133C BDQ BDQV S CQ -=⋅=⨯=，2A BCD C BDQ V V --==B 错误；C 选项，连接MA ，MC ，由勾股定理得：2214CM DC DM =-=，同理可得：14AM =，由由三线合一得：QM ⊥AC ，结合B 选项求得的QM ⊥BD ，可得：QM 为AC 与BD 的公垂线段，23QM =，故AC 与BD 的公垂线段的长为23，C 正确；D 选项，取QM 的中点S ，则S 为球心O ，理由如下：因为QM ⊥BD ，MS 3235SB SD ==+=5SA SC ==S 为球心O 5OE ⊥BC ，所以过点E 作面积最小的截面是以E 为圆心，BE =2为半径的圆，面积最大的截面是过点O ，E 的大圆，所以2min π24πS =⋅=，2max π55πS =⋅=，所以过E 作球O 的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4，D 正确.故选：ACD【点睛】对于立体几何中求解截面面积问题，需要先结合图形特点，找到截面，再进行求解，寻找截面的方法，通常是由线线平行，得到截面是平行四边形或梯形. 三、填空题13．已知复数z 满足()2i 5i z ⋅-=，则z 的虚部为_________． 【答案】2-【分析】根据复数的四则运算结合共轭复数的定义得出z 的虚部. 【详解】()()()5i 2i 5i 12i 2i 2i 2i z +===-+--+，则12i z =--，即z 的虚部为2- 故答案为：2-14．对于项数为m (m ≥3)的有穷数列{}n a ，若存在项数为m +1的等比数列{}n b ，使得1k k k b a b +<<，其中k =1，2，…，m ，则称数列{}n b 为{}n a 的“等比分割数列”．已知数列7，14，38，60，则该数列的一个“等比分割数列”可以是_______．(写出满足条件的一个各项为整数的数列即可)【答案】6，12，24，48，96，⋯（答案不唯一） 【分析】根据题意写出一个满足条件的数列即可.【详解】取一个首项为6，公比为2的数列即满足1k k k b a b +<<，其中k =1，2，…，m ， 故答案为：6，12，24，48，96，15．已知()()()323012311,3nn n x x a a x a x a x a x n N n +++=++++⋅⋅⋅+∈≥且．若123134n a a a a +++⋅⋅⋅+=，则3a =_________．【答案】36【分析】先求出02a =，再根据条件123134n a a a a +++⋅⋅⋅+=求得n 的值，再利用二项式展开式的通项公式求得答案.【详解】对于()()()323012311,3nn n x x a a x a x a x a x n N n +++=++++⋅⋅⋅+∈≥且， 令0x = ，则02a = ；令1x = ，则()()3012311112134nn a a a a a +++=++++⋅⋅⋅+=+ ， 即2128,7n n == ，故30343371136a C C =+= ,故答案为：3616．设0a >，0b >，若关于x b 恰有三个不同的实数解1x 、2x 、3x ，且123x x x b <<=，则a b +的值为________． 【答案】144255.76【分析】分析可知，函数()f x 为偶函数，可得出()0b f ==然后分x a ≤、x a >、x a <-解方程()f x =a 、b 的方程组，解出这两个量的值，即可得解.【详解】设()f x =R ，()()f x f x -=，故函数()f x 为偶函数，所以，关于x 的方程()f x b =的三个实数解必关于数轴的坐标原点对称分布，必有()0b f ==()f x =.当x a ≤时，()f x = 当且仅当0x =时，等号成立；当x a >时，()f x =且当54x a =时，()f x =； 因为函数()f x 为R 上的偶函数，当x a <-时，()f x 单调递减，当54x a =-时，()f x =从而方程()f x =154x a =-，20x =，354x a =，由条件知354b x a ==，解得6425a =，165b =，因此，14425a b +=.故答案为：14425. 四、解答题17．已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等比数列；②数列{}1n S a +是等比数列；③212a a =． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】答案见解析【分析】先确定所选的条件，再根据数列的通项与前n 项和的关系，结合等比数列及前n 项和的函数特征进行运算分析即可得出结论.【详解】解：选①②作条件证明③： 设()110n n S a AqA -+=≠，则11n n S Aq a -=-，当1n =时，111a S A a ==-，所以12A a =，当2n ≥时，()211n n n n a S S Aq q --=-=-，因为{}n a 也是等比数列，所以()12A q Aq -=，解得2q ，所以212a a =．选①③作条件证明②：因为212a a =，{}n a 是等比数列，所以公比2q，所以()()11122112n n n a S a -==--，即112nn S a a +=，因为1112n n S a S a ++=+，所以{}1n S a +是等比数列．选②③作条件证明①： 设()110n n S a AqA -+=≠，则11n n S Aq a -=-，当1n =时，111a S A a ==-，所以12A a =，当2n ≥时，()211n n n n a S S Aq q --=-=-，因为212a a =，所以()1A q A -=，解得2q，所以当2n ≥时，()22111122n n n n n n a S S Aq q A a ----=-=-=⋅=⋅，又因为()122n na n a +=≥，且212a a =，所以{}n a 为等比数列．18．如图，在平面四边形ABCD 中，已知2,,623A B AB ππ∠=∠==，点E 在AB 上且AE =2BE ，2,73CED EC π∠==．(1)求sin BCE ∠的值； (2)求CED 的周长． 【答案】21 (2)737+【分析】（1）在BCE 中利用正弦定理求解即可，（2）在AED 中利用锐角三角函数的定义求出ED ，在CED 中利用余弦定理求出CD 的长，从而可求出CED 的周长 (1)由题知4AE =，2BE =，在BCE 中，由正弦定理得sin sin BE CEBCE B=∠，因为2π3B ∠=，2BE =，7CE 所以sin 321sin 7BE B BCE CE ⋅∠===． (2)因为23B CED π∠=∠=, 所以,33BCE BEC BEC DEA ππ∠+∠=∠+∠=，所以DEA BCE ∠=∠，所以2222127cos 1sin 1sin 17DEA DEA BCE ⎛⎫∠=-∠=-∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭在AED 中，因为2A π∠=，4AE =，所以27cos 27AE ED DEA ===∠在CED 中，由余弦定理得222cos 7CD CE DE CE DE CED =+-⋅⋅∠， 所以CED 的周长为7277737CE DE CD ++==+19．已知函数()sin f x ax x =，若函数()2f x x π=在处的切线斜率为2．(1)求实数a 的值； (2)求函数()()2+=xf xg x e 在区间[]1,π上的最小值． 【答案】(1)2a = (2)()2g e ππ=【分析】（1）求导，然后根据在切点处的导数等于切线斜率可得； （2）讨论函数在区间[]1,π上的单调性，然后可得. (1)()()sin cos f x a x x x '=+，sin cos 2222f a a ππππ⎛⎫⎛⎫'=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为函数()f x 在2x π=处的切线斜率为2，所以2a =．(2) ()()22sin 2x xf x x xg x e e ++==， ()()()()2sin 1cos sin 2sin cos sin 1x xx x x x x x x x x g x e e-+-⎡⎤+--⎣⎦'==， 因为()1,x π∈，所以sin 10x -≤，cos sin 0x x -<， 所以()0g x '<，()g x 在[]1,π上单调递减， 所以()g x 在[]1,x π∈上的最小值为()2g e ππ=． 20．如图，已知圆柱的上，下底面圆心分别为11,,P Q AAC C 是圆柱的轴截面，正方形ABCD 内接于下底面圆Q ，12,AB AA k ==．(1)当k 为何值时，点Q 在平面PBC 内的射影恰好是△PBC 的重心；(2)若[]2,4k ∈，当平面P AD 与平面PBC 所成的锐二面角最大时，求该锐二面角的余弦值．【答案】(1)2k =(2)35【分析】（1）作辅助线，找到Q 点在平面PBC 内的射影,然后利用重心的性质结合图形的几何性质计算，求得结果；（2）建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，求出相关向量的坐标，进而求得平面PAD 和平面PBC 的的法向量，根据向量的夹角公式求得结果.(1)取BC 中点E ，连结QE ，PE ，PQ ，则QE BC ⊥，PE BC ⊥，又QE PE E ⋂=，所以BC ⊥平面PQE ，过Q 作QF PE ⊥，交PE 于F ， 因为QF ⊂平面PQE ，所以BC QF ⊥， 又BC PE E ⋂=，所以QF ⊥平面PBC ， 即F 是Q 点在平面PBC 内的射影．因为F 恰好是PBC 的重心，所以3PE EF =， 在Rt PQE △中，112QE AB ==，223QE EF PE EF =⋅=， 所以3EF ，3PE =2(3)12PQ =-12AA所以当2k =Q 点在平面PBC 内的射影恰好是PBC 的重心． (2)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，作1DM AA ∥，以DM 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,1,P k ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()2,0,0DA =，()1,1,DP k =，()1,1,PB k =-，()1,1,PC k =--．设平面PAD 的法向量()111,,m x y z =，则0,0,m DA m DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即111120,0,x x y kz =⎧⎨++=⎩取11z =，得()0,,1m k =-．设平面PBC 的法向量()222,,n x y z =，则0,0,n PB n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即2222220,0,x y kz x y kz +-=⎧⎨-+-=⎩取21z =，得()0,,1n k =．222220112cos ,1111k k m n k k k -+-===-+++．因为24k ≤≤，所以当2k =时，上式取得最小值35，此时二面角最大，所以平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角最大时，其余弦值为35．21．2021年11月4日，第四届中国国际进口博览会在上海开幕，共计2900多家参展商参展，420多项新产品，新技术，新服务在本届进博会上亮相．某投资公司现从中选出20种新产品进行投资．为给下一年度投资提供决策依据，需了解年研发经费对年销售额的影响，该公司甲、乙两部门分别从这20种新产品中随机地选取10种产品，每种产品被甲、乙两部门是否选中相互独立．101ii x =∑101ii y =∑()10213i i x =-∑()10413i i x =-∑()10213i ii x y =-⋅∑65 75 205 8773 2016(1)求20种新产品中产品A 被甲部门或乙部门选中的概率；(2)甲部门对选取的10种产品的年研发经费i x （单位：万元）和年销售额()1,2,,10i y i =（单位：十万元）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．根据散点图现拟定y 关于x 的回归方程为()23y b x a =-+.求a 、b 的值（结果精确到0.1）；(3)甲、乙两部门同时选中了新产品A ，现用掷骰子的方式确定投资金额．若每次掷骰子点数大于2，则甲部门增加投资1万元，乙部门不增加投资；若点数小于3，则乙部门增加投资2万元，甲部门不增加投资，求两部门投资资金总和恰好为100万元的概率． 附：对于一组数据()11,v u 、()22,v u 、、(),n n v u ，其回归直线u v αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niii ni i v v u u v vβ==--=-∑∑，u v αβ=-，20162057.529877320520.5277-⨯=-⨯，2016657.51019877365 6.55567-⨯=-⨯.【答案】(1)34；(2)0.1b =， 5.4a =；(3)100311443⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭.【分析】（1）利用组合计数原理、古典概型的概率公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）令()23t x =-，计算出t 、y 的值，利用最小二乘法公式结合表格中的数据可求得a 、b 的值；（3）设投资资金总和恰好为n 万元的概率为n P ，则投资资金总和恰好为()1n +万元的概率为()1121233n n n P P P n +-=+≥，推导出数列{}1n n P P +-是首项为19，公比为13-的等比数列，利用累加法可求得100P 的值., (1)解：20种新产品中产品A 没有被甲部门和乙部门同时选中的概率1010191910102020C C 111C C 224P =⋅=⋅=，所以产品A 被甲部门或乙部门选中的概率为13144-=． (2)解：令()23t x =-，由题中数据得()10211320.510i i t x ==-=∑，10117.510i i y y ===∑，()101021132016i iii i i t y x y ===-=∑∑，()1010421138773i i i i t x ===-=∑∑，101102211020162057.5290.1877320520.527710i ii i i t y t yb t t==--⨯===≈-⨯-∑∑，297.520.5 5.4277a y bx =-=-⨯≈．(3)解：由题意知，掷骰子时甲部门增加投资1万元发生的概率为23，乙部门增加投资2万元发生的概率为13．设投资资金总和恰好为n 万元的概率为n P ，则投资资金总和恰好为()1n +万元的概率为()1121233n n n P P P n +-=+≥． 所以()()1112112333n n n n n n n P P P P P P P n +---=+-=--≥， 因为123P =，212273339P =+⋅=，21721939P P -=-=， 所以数列{}1n n P P +-是首项为19，公比为13-的等比数列，所以111193n n n P P -+⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，所以()()()()10012132999810099P P P P P P P P P P =+-+-++-+-2982111111139939393⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭991001119323111344313⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=+⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，所以投资资金总和恰好为100万元的概率是100311443⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭．22．已知函数()()()1ln 1x f x x a x a R x-=+--∈． (1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)设()()()()()221112x a h x x f x x x-=--+-，若()1x t t =>为函数()h x 的极值点，且()12a h t -=，求a 的值. 【答案】(1)增区间是()0,1，减区间是()1,+∞ (2)1ln 22a =+【分析】（1）利用导数得出函数()f x 的单调区间；（2）分类讨论a 的范围，利用导数得出()h x 在()1,+∞的极值，结合()12a h t -=，从而得出a 的值. (1)函数()f x 的定义域为()0,∞+，当2a =时，()()1ln 21x f x x x x-=+--， ()()()222221111212x x x x f x x x x x-+--++'=+-==， 当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<， 所以函数()f x 的增区间是()0,1，减区间是()1,+∞． (2)由题意只需研究()h x 在()1,+∞上的极值点的情况．可得()()()1ln 1x h x x a x f x x -'=+--=，()222111ax x f x a x x x -++'=+-=， ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 是单调递增函数，即()h x '是单调递增函数． 因为()10h '=，所以当1x >时，()0h x '>，()h x 是单调递增函数． 所以()h x 在()1,+∞上没有极值点；②当2a =时，由（1）知，()()()max max 10h x f x f '===，即()0h x '<， 所以()h x 在()1,+∞上是减函数，()h x 没有极值点；③当2a >时，令()21g x ax x =-++，()12g a =-，可得当2a >时，()10g <，当1x >时，()0g x <，即()0f x '<，所以()h x '在()1,+∞上单调递减， 又因为()10h '=，所以()1,x ∈+∞时，()0h x '<， 所以()h x 在()1,+∞上单调递减，没有极值点；④当02a <<时，()10g >，由二次函数的图像得存在()01,x ∈+∞使得()00g x =， 当()01,x x ∈时，()0g x >，()h x '单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0g x <，()h x '单调递减；又()10h '=，所以()01,x x ∈时，()0h x '>．当x →+∞时，()h x '→-∞，所以存在()1,t ∈+∞，使得()0h t '=，所以()h x 在()1,t 单调递增，在(),t +∞单调递减，所以x t =符合题目要求，第 21 页 共 21 页 即()()1ln 10t f t t a t t -=+--=，()()()211ln 1222a a h t t t t =---=-， 所以ln 11t a t t =+-，得()()2ln 1ln 121ln 1111t t t t t t t t t ⎛⎫--+-=+- ⎪--⎝⎭， 即22232ln 1t t t t t t t ⎛⎫--+= ⎪-⎝⎭，即()()()212ln 1t t t t t t t ---=-， 当2t =时，成立，当2t ≠时，1ln 1t t t t t -=-，即()221ln t t t-=， 令()()()221ln 1t t t t t ϕ-=->，可得()0t ϕ'>，()t ϕ在()1,+∞上为增函数，所以()()10t ϕϕ>=，()221ln t t t -=无解，故2t =．所以1ln 22a =+． 【点睛】方法点睛：根据极值求参数时，一般利用导数得出单调性，再由极值确定参数的值或范围.。

2022年山东省潍坊市中考数学试卷一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分。

每小题四个选项中只有一项正确） 1．（3分）（2022•潍坊）下列几何体中，三视图都是圆的为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（3分）（2022•潍坊）秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为√5−12，下列估算正确的是（ ）A ．0＜√5−12＜25B ．25＜√5−12＜12C ．12＜√5−12＜1 D ．√5−12＞1 3．（3分）（2022•潍坊）不等式组{x +1≥0，x −1＜0的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（3分）（2022•潍坊）抛物线y＝x2+x+c与x轴只有一个公共点，则c的值为（）A．−14B．14C．﹣4D．45．（3分）（2022•潍坊）如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面AB与CD 平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面AB的夹角∠1＝40°10'，则∠6的度数为（）A．100°40'B．99°80'C．99°40'D．99°20'6．（3分）（2022•潍坊）地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同．观察图中数据，你发现（）A．海拔越高，大气压越大B．图中曲线是反比例函数的图象C．海拔为4千米时，大气压约为70千帕D．图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系7．（3分）（2022•潍坊）观察我国原油进口月度走势图，2022年4月原油进口量比2021年4月增加267万吨，当月增速为6.6%（计算方法：2674036×100%≈6.6%）.2022年3月当月增速为﹣14.0%，设2021年3月原油进口量为x万吨，下列算法正确的是（）A ．x−42714271×100%＝﹣14.0%B ．4271−x 4271×100%＝﹣14.0%C ．x−4271x ×100%＝﹣14.0%D ．4271−xx×100%＝﹣14.0%8．（3分）（2022•潍坊）如图，在▱ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝2，AD ＝1，点E ，F 在▱ABCD 的边上，从点A 同时出发，分别沿A →B →C 和A →D →C 的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C 时停止，线段EF 扫过区域的面积记为y ，运动时间记为x ，能大致反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题（共4小题，每小题3分，共12分.每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得3分，部分选对得2分，有错选的得0分）（多选）9．（3分）（2022•潍坊）小莹所在班级10名同学的身高数据如表所示． 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 身高（cm ）165158168162174168162165168170下列统计量中，能够描述这组数据集中趋势的是（ ） A ．平均数B ．方差C ．众数D ．中位数（多选）10．（3分）（2022•潍坊）利用反例可以判断一个命题是错误的，下列命题错误的是（ ）A ．若ab ＝0，则a ＝0B ．对角线相等的四边形是矩形C ．函数y =2x的图象是中心对称图形 D ．六边形的外角和大于五边形的外角和（多选）11．（3分）（2022•潍坊）如图，实数a ，b 在数轴上的对应点在原点两侧，下列各式成立的是（ ）A ．|ab |＞1B ．﹣a ＜bC ．a ﹣b ＞0D ．﹣ab ＞0（多选）12．（3分）（2022•潍坊）如图，△ABC 的内切圆（圆心为点O ）与各边分别相切于点D ，E ，F ，连接EF ，DE ，DF ．以点B 为圆心，以适当长为半径作弧分别交AB ，BC 于G ，H 两点；分别以点G ，H 为圆心，以大于12GH 的长为半径作弧，两条弧交于点P ；作射线BP ．下列说法正确的是（ ）A ．射线BP 一定过点OB ．点O 是△DEF 三条中线的交点C ．若△ABC 是等边三角形，则DE =12BC D ．点O 不是△DEF 三条边的垂直平分线的交点三、填空题（共4小题，每小题3分，共12分.只写最后结果） 13．（3分）（2022•潍坊）方程组{2x +3y =13，3x −2y =0的解为 ． 14．（3分）（2022•潍坊）小莹按照如图所示的步骤折叠A 4纸，折完后，发现折痕AB ′与A 4纸的长边AB 恰好重合，那么A 4纸的长AB 与宽AD 的比值为 ．15．（3分）（2022•潍坊）《墨子•天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形ABCD 的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A 'B 'C 'D '，若A 'B '：AB ＝2：1，则四边形A 'B 'C 'D '的外接圆的周长为 ．16．（3分）（2022•潍坊）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO 绕原点O 逆时针旋转75°，再沿y 轴方向向上平移1个单位长度，则点B ″的坐标为 ．四、解答题（共7小题，共72分.请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（5分）（2022•潍坊）在数学实验课上，小莹将含30°角的直角三角尺分别以两个直角边为轴旋转一周，得到甲、乙两个圆锥，并用作图软件Geogebra画出如下示意图．小亮观察后说：“甲、乙圆锥的侧面都是由三角尺的斜边AB旋转得到，所以它们的侧面积相等．”你认同小亮的说法吗？请说明理由．18．（11分）（2022•潍坊）（1）在计算2103√3tan30°−√643×(−2)−2+(−2)0时，小亮的计算过程如下：解：2103√3tan30°−√643×(−2)−2+(−2)0=√3×√3−4×22+0=4+1−6+273−16＝﹣2小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：①﹣22＝4；②（﹣1）10＝﹣1；③|﹣6|＝﹣6；．请写出正确的计算过程．（2）先化简，再求值：(2x−3−1x)⋅x2−3xx2+6x+9，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根．19．（11分）（2022•潍坊）2022年5月，W市从甲、乙两校各抽取10名学生参加全市语文素养水平监测．【学科测试】每名学生从3套不同的试卷中随机抽取1套作答，小亮、小莹都参加测试，请用树状图或列表法求小亮、小莹作答相同试卷的概率．样本学生语文测试成绩（满分100分）如下表：样本学生成绩平方差中众均数位数数甲校5066666678808182839474.6141.04a66乙校6465697476767681828374.640.8476b表中a＝；b＝．请从平均数、方差、中位数、众数中选择合适的统计量，评判甲、乙两校样本学生的语文测试成绩．【问卷调查】对样本学生每年阅读课外书的数量进行问卷调查，根据调查结果把样本学生分为3组，制成频数分布直方图，如图所示．A组：0＜x≤20；B组：20＜x≤40；C组：40＜x≤60．请分别估算两校样本学生阅读课外书的平均数量（取各组上限与下限的中间值近似表示该组的平均数）．【监测反思】①请用【学科测试】和【问卷调查】中的数据，解释语文测试成绩与课外阅读量的相关性；②若甲、乙两校学生都超过2000人，按照W市的抽样方法，用样本学生数据估计甲、乙两校总体语文素养水平可行吗？为什么？20．（12分）（2022•潍坊）【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置．小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．21．（10分）（2022•潍坊）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017﹣2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如图．小亮认为，可以从y＝kx+b（k＞0），y=mx（m＞0），y＝﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．（1）小莹认为不能选y=mx（m＞0）．你认同吗？请说明理由；（2）请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；（3）根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？22．（10分）（2022•潍坊）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹筒，旋转时低则舀水，高则泻水．如图，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引至A处，水沿射线AD方向泻至水渠DE，水渠DE所在直线与水面PQ平行．设筒车为⊙O，⊙O 与直线PQ交于P，Q两点，与直线DE交于B，C两点，恰有AD2＝BD•CD，连接AB，AC．（1）求证：AD为⊙O的切线；（2）筒车的半径为3m，AC＝BC，∠C＝30°．当水面上升，A，O，Q三点恰好共线时，求筒车在水面下的最大深度（精确到0.1m，参考值：√2≈1.4，√3≈1.7）．23．（13分）（2022•潍坊）为落实“双减”，老师布置了一项这样的课后作业：二次函数的图象经过点（﹣1，﹣1），且不经过第一象限，写出满足这些条件的一个函数表达式．【观察发现】请完成作业，并在直角坐标系中画出大致图象．【思考交流】小亮说：“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧．”小莹说：“满足条件的函数图象一定在x轴的下方．”你认同他们的说法吗？若不认同，请举例说明．【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多，老师不方便批阅，于是探究了二次函数y＝ax2+bx+c 的图象与系数a，b，c的关系，得出了提高老师作业批阅效率的方法．请你探究这个方法，写出探究过程．2022年山东省潍坊市中考数学试卷答案与试题解析一、单项选择题（共8小题，每小题3分，共24分。

2023届山东省潍坊市（安丘、诸城、高密）三县市高三10月联考数学试题一、单选题1．已知集合{}1,1A =-，11,Z 2B x x x ⎧⎫=+≤∈⎨⎬⎩⎭，则（ ）A ．{}1AB ⋂= B ．{}1,0,1A B =-UC ．(){}R 1A B ⋂=-ðD ．(){}R 1,0,1A B ⋃=-ð【答案】B【分析】计算绝对值不等式得到{}1,0,1B =-，从而进行交集，并集，补集相关计算. 【详解】由112x +≤得：1112x -≤+≤，所以3122x -≤≤， 又因为Z x ∈，所以{}1,0B =-， 故{}1A B ⋂=-，A 错误； {}1,0,1A B =-U ，B 正确；(){}R 1A B ⋂=ð，C 错误；(){}R1A B x x ⋃=≠ð，D 错误.故选：B2．已知命题p ：有的长方形是正方形，则（ ） A ．p ⌝：有的长方形不是正方形 B ．p ⌝：所有长方形都不是正方形 C ．p ⌝：所有的长方形都是正方形 D ．p ⌝：不是长方形的图形都不是正方形【答案】B【分析】根据特称命题的否定，可得答案.【详解】由题意，p ：存在一个长方形，该长方形是正方形，p ⌝：所有长方形都不是正方形. 故选：B.3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足m n m n S S S ++=，若12a =，则20a =（ ） A ．2 B ．4C ．20D ．40【答案】A【分析】由m n m n S S S ++=可得2020192111a S S S S S a =-=-== 【详解】()20201918218121112a S S S S S S S S S a =-=+-+=-===. 故选：A4．“关于x 的方程()212xxa +=没有实数解”的一个必要不充分条件是（ ） A ．12a ≤B ．1a >C ．12a ≤或1a ≥ D ．12a <或1a ≥ 【答案】C 【分析】先得到1111221x ≤-<+，从而得到12a <或1a ≥，进而判断出四个选项中，符合要求的选项.【详解】()212xxa +=，因为210x+>，所以2112121xxxa ==-++， 因为0221x ≥=，所以212x +≥，110221x<≤+，1111221x ≤-<+， 要想()212xxa +=没有实数解，则12a <或1a ≥， 由于12a <或1a ≥⇒12a ≤，故A 不成立；由于12a <或1a ≥⇒1a >，故B 不成立； 由于12a <或1a ≥⇒12a ≤或1a ≥，且12a ≤或1a ≥⇒12a <或1a ≥，C 正确；D 选项为充要条件，不合要求. 故选：C5．偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率．自主创业的大学毕业生张华向银行贷款的本金为72万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，30年还清，贷款月利率为0.4%，设张华第n 个月的还款金额为n a 元，则n a =（ ） A ．2288 B ．48728n -C ．48808n -D ．48888n -【答案】D【分析】计算出每月应还的本金数，再计算第n 个月已还多少本金，由此可计算出n 个月的还款金额.【详解】由题意可知：每月还本金为2000元， 设张华第n 个月的还款金额为n a 元，则()2000720000120000.4%48888n a n n ⎡⎤=+--⨯⨯=-⎣⎦， 故选：D6．已知函数()()()ln 10f x x x =+≥，将函数()f x 的图象绕原点逆时针旋转(]()0,ααθ∈角后得到曲线C ，若曲线C 仍是某个函数的图象，则θ的最大值为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】B【分析】利用导数求出函数在原点的切线的斜率，即可求出其倾斜角，再结合函数图象及函数的定义判断即可.【详解】解：因为()()()ln 10f x x x =+≥，所以()11f x x '=+，则()01f '=． 即函数()()ln 1f x x =+在原点的切线OM 的斜率1k =，所以4MOx π∠=．由图可知：当函数图象绕坐标原点逆时针方向旋转时，旋转的角θ大于2MOx π-∠时，旋转所得的图象与y 轴就会存在两个交点， 此时曲线C 不是函数的图象，故θ的最大值是24MOx ππ-∠=．故选：B ．7．足球运动是目前全球体育界最具影响力的项目之一，深受青少年喜爱．有甲，乙，丙，丁四个人相互之间进行传球训练，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过三次传球后乙只接到一次球的概率为（ ） A ．127B ．19C ．827D ．1627【答案】D【分析】计算出每一种情况后，再求和即可.【详解】由题意，根据第一次传给乙第二次传给甲或丙或丁第三次传给丙丁或甲丁或甲丙，第一次传给丙或丁第二次传给乙第三次传给甲或丙或丁，第一次传给丙或丁第二次传给甲丁或甲丙第三次传给乙分别求出概率，再求和可得答案.122122116=?1?+?×1+?×=333333327P . 故选：D8．已知a ，b ，()e,c ∈+∞，c a a c >，ln ln c b b c <，则（ ） A ．e ln e ln e ln a c b c a b b a c +++>> B ．e ln e ln e ln a b a c b c c b a +++>> C ．e ln e ln e ln a c a b b c b c a +++>> D ．e ln e ln e ln b c a b a c a c b +++>>【答案】D【分析】由题意变形得ln ln ln a c ba c b>>，构造函数()ln x f x x =证得a c b <<，观察选项，通过变形可知比较的是ln ln ln ,,e e e a b c a b c的大小，故构造函数()ln xx g x =e 证得其单调递减，由此得到所比大小排序.【详解】因为a ，b ，()e,c ∈+∞，所以由c a a c >两边取自然对数得ln ln c a a c >，即ln ln c a a c >，故ln ln a ca c>， 再由ln ln c b b c <得ln ln b c b c <，故ln ln ln a c ba c b>>， 令()()ln e x f x x x=>，则()21ln 0xf x x '-=<，故()f x 在()e,+∞上单调递减，又由上式可知()()()f a f c f b >>，故a c b <<， 由四个选项的不等式同时除以e a b c ++可知，比较的是ln ln ln ,,e e e a b ca b c的大小， 故令()()ln e ex x g x x =>，则()211e e ln ln 1ln e e e x x x x x x xx x x x g x x --'-===， 再令()()1ln e h x x x x =->，则()()()ln 1ln e 120h x x =-+<-+=-<'， 故()h x 在()e,+∞上单调递减，所以()()e 1eln e 1e 0h x h <=-=-<，故()0g x '<， 所以()g x 在()e,+∞上单调递减，又因为a c b <<，所以()()()g a g c g b >>，即ln ln ln e e ea cb ac b>>， 上述不等式两边同时乘以e a b c ++得，e ln e ln e ln b c a b a c a c b +++>>. 故选：D.二、多选题9．某产品的质量指标值服从正态分布()250,σ，则下列结论正确的是（ ）A ．σ越大，则产品的质量指标值落在()49.9,50.1内的概率越大B ．该产品的质量指标值大于50的概率为0.5C ．该产品的质量指标值大于50.01的概率与小于49.99的概率相等D ．该产品的质量指标值落在()49.9,50.2内的概率与落在()50,50.3内的概率相等 【答案】BC【分析】对于A ，根据标准差的性质分析判断，对于BCD ，根据正态分布的性质分析判断即可.【详解】对于A ，σ越大，则数据越分散，所以产品的质量指标值落在()49.9,50.1内的概率越小，所以A 错误，对于B ，因为产品的质量指标值服从正态分布()250,σ，所以正态分布的图象关于直线50x =对称，所以该产品的质量指标值大于50的概率为0.5，所以B 正确，对于C ，由选项B 可知正态分布的图象关于直线50x =对称，所以该产品的质量指标值大于50.01的概率与小于49.99的概率相等，所以C 正确，对于D ，由选项B 可知正态分布的图象关于直线50x =对称，所以由正态分布的图象可知该产品的质量指标值落在()49.9,50.2内的概率大于落在()50,50.3内的概率，所以D 错误， 故选：BC10．已知0x >，0y >，且21x y +=，下列结论中正确的是（ ）A ．xy 的最小值是18B ．24x y +的最小值是C ．12x y+的最小值是9D ．22x y +的最小值是25【答案】BC【分析】根据基本不等式即可逐一求解.【详解】由>0,>0x y ，21x y +=得1+28x y xy ≥≤，当且仅当122x y ==时等号成立，故A 错误，由于2>0,4>0x y ，所以2+4x y ≥当且仅当122x y ==时等号成立，故B 正确，>0,>0x y ，()1222++2=5++y x x y x y x y ≥⎛⎫ ⎪⎝⎭，当且仅当12x y ==时等号成立，故C 正确，()222222211+=12+=54+1=5+555x y y y y y y ---≥⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 错误，故选：BC 11．已知194x x y y+=，则关于函数()y f x =说法正确的是（ ） A ．函数()f x 在R 上为减函数 B ．函数()f x 的图象的对称轴为y x = C ．0x ∃<，使得()0f x < D ．()23f x x >-【答案】AD【分析】利用不同象限表示不同的圆锥曲线图象可求解.【详解】当0,0x y ≥≥时，原等式化为22194x y +=，当0,0x y ≥<时，原等式化为22194x y -=，当0,0x y <≥时，原等式化为22149y x -=， 当0,0x y <<时，原等式化为22194x y --=，此方程无解，结合椭圆、双曲线的图象作出图象如下：由图象可知，函数()f x 在R 上为减函数，所以A 正确； 第一象限的图象为椭圆的部分，不关于y x =，所以B 错误； 函数图象不出现在第三象限，所以不存在0x <，使得()0f x <， 所以C 错误；因为第四象限部分双曲线22194x y -=的渐近线与第二象限的双曲线22149y x -=部分的渐近线都为23y x =-，所以结合函数图象()23f x x >-恒成立，所以D 正确.故选:AD.12．将各项均为正数的数列{}n c 中的所有项按每一行比上一行多一项的规律排成数表，如图所示．记表中各行的第一个数1c ，2c ，4c ，7c ，…构成数列{}n a ，各行的最后一个数1c ，3c ，6c ，10c ，…构成数列{}n b ，第n 行所有数的和为()1,2,3,4,n S n =L ．已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序成公比为q 的等比数列，且11c =，18119c =，39179c =．则下列结论正确的是（ ）A ．21n a n =-B ．202320231012b c ⨯=C ．13nn n b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．()()1213123n n n n S ---=⨯【答案】ABD【分析】由条件结合确定{}n b 与{}n c 的关系，根据等差数列通项公式和等比数列通项公式求出数列{}n a 的公差d ，由此可得{}n a 的通项公式，再求nnb a ，并根据等比数列求和公式求n S ，由此判断各选项.【详解】由已知第n 行有n 个数，各行的最后一个数1c ，3c ，6c ，10c ，…构成数列{}n b ，所以11b c =，2123b c c +==，31236b c c ++==，⋅⋅⋅，由此可得()12312n n n n b c c +++鬃?+==，所以()20231232023202310122023202312b c c c +++鬃??+===，B 对，又11a c =，，2112a c c +==，31216a c c ++==，⋅⋅⋅，由此可得()()12311112n n n n a c c +++鬃?-+-+==，因为数列{}n a 是首项为1，公差为d 的等差数列，所以1n a dn d =+-，所以61651a c d ==+，93781a c d ==+，由因为从第二行起，每一行中的数按照从左到右的顺序成公比为q 的等比数列，所以()21851c d q =+，()23981c d q =+，由已知可得()211519d q +=，()217819d q +=，所以2d =，13q =，所以21n a n =-，A 正确，由已知1n n n b a q -=，所以113n n n b a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，C 错误，所以()()()()2111121212121333n n S n n n n -骣骣鼢珑=-+-+-+鬃?-鼢珑鼢珑桫桫()()()111213132112313nn n n n S n -骣÷ç-÷ç÷--ç桫=-=´-，D 对，故选：ABD.三、填空题13．已知函数()()12,0,1,0,x x f x f x x +⎧≤⎪=⎨->⎪⎩()2log 3f =______． 【答案】321.5 【分析】由21log 32<<结合条件0x >时，()(1)f x f x =-化简可得()()22log 3log 32f f =-，再由0x ≤时，1()2x f x +=，结合对数运算性质求其值. 【详解】因为函数2log y x =在()0+∞，上单调递增，所以222log 2log 3log 4<<，所以21log 32<<，因为0x >时，()(1)f x f x =-，所以()()()222log 3log 31log 32f f f =-=-，因为0x ≤时，1()2x f x +=，所以()222223log log 321log 31log 3log 2223log 322222f -+--=====， 故答案为：32. 14．在101x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，7xy 的系数为______．【答案】360-【分析】101x y x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开通项为()101101C kkk k T x y x -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，可得()3778101C T x y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭包含7xy ，再求出31x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开项x 的系数即可【详解】由二项式展开项通项公式可得()101101C kkkk T x y x -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ，故只有()3778101C T x y x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭包含7xy ，又31x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开项通项公式为3321331C C mm m m mm S x xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，故当1m =时，7xy 的系数为()771103-1C C 360=-.故答案为：360-15．已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a +=，则数列{}n a 的前2n 项和2n S =______．【答案】()321n-【分析】当2n ≥时，可知112n n n a a --=，进而可知112n nn n a a a a +-=，即112n n aa +-＝，从而可知{}n a 的奇数项和偶数项都是等比数列，进而分奇偶两部分，可求出2n S .【详解】由11a =，12nn n a a +=，得22a =.当2n ≥时，112n n n a a --=，所以111222nn n n n n a a a a --+==，即112n n a a +-=， 所以{}n a 的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列.则21(12)2(12)3233(21)1212n n n n n S ⨯-⨯-=+=⨯-=---. 故答案为：()321n-.16．进入秋冬季以来某病毒肆虐，已知感染此病毒的概率为10%，且每人是否感染这种病毒相互独立．为确保校园安全，某校组织该校的3000名学生做病毒检测，如果对每一名同学逐一检测，就需要检测3000次，但实际上在检测时都是随机地按()110k k <≤人一组分组，然后将各组k 个人的检测样本混合再检测．如果混合样本呈阴性，说明这k 个人全部阴性，如果混合样本呈阳性，说明其中至少有一人检测呈阳性，就需要对该组每个人再逐一检测一次．当检测次数最少时k 的值为______． 参考数据：20.90.810=，30.90.729=，40.90.656≈，50.90.590≈，60.90.531≈，70.90.478≈，80.90.430≈，90.90.387≈，100.90.349≈．【答案】4【分析】设每个人检测次数为X ，若混合为阴性，则1X k=；若混合为阳性，则11X k =+.依次求出1P X k ⎛⎫= ⎪⎝⎭、11P X k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭、()E X ，则当()E X 最小时，检测次数最少，最后研究()E X 的最小值即可【详解】设每个人检测次数为X ，若混合为阴性，则1X k=；若混合为阳性，则11X k =+.则10.9k P X k ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1110.9kP X k ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，()111111110.9k E X P X P X k k k k k⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=++⋅=+=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故当()E X 最小时，检测次数最少.当2k =时，()0.69E X =；当3k =时，()0.604E X =；当4k =时，()0.594E X =；当5k =时，()0.61E X =；当6k =时，()0.636E X =；当7k =时，()0.665E X =；当8k =时，()0.695E X =；当9k =时，()0.724E X =；当10k =时，()0.751E X =.故当4k =时，()0.594E X =最小. 故答案为：4四、解答题17．已知数列{}n a 中，12a =，当2n ≥时，()112n n n a na --=． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()9n nn n c a -=，数列{}n c 中是否存在最大项与最小项？若存在，求出最大项与最小项；若不存在，说明理由．【答案】(1)2nn a n =⋅(2)存在，最小项为14c =-，最大项为101111024c c ==【分析】(1)由递推式证明数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，根据等比数列通项公式求其通项，再求数列{}n a 的通项公式；(2)研究数列的单调性，由此确定其最值. 【详解】(1)因为当2n ≥时，有()112n n n a na --=，所以121n n a an n -=-， 令nn a b n =，则12n n b b -=，2n ≥，又1121a b ==，所以12n n b b -=，2n ≥，所以数列{}n b 为等比数列，公比为2，首项为2，所以2n n b =，所以2nn a n =⋅，(2)由（1）知()992n n n n n n c a --==，得1182n n n c ++-=，1111898218102222n n n n n n n n n n nc c ++++----+--=-==， 当10n =时，10n n c c +-=，1n n c c +=，即1110c c =；当10n <时，10n n c c +->，1n n c c +>，即109821c c c c c >>>>>L ； 当10n >时，10n n c c +-<，1n n c c +<，即111213c c c >>>L ， 所以数列{}n c 是先增后减，最大项为1011101121024c c ===， 因为当19n ≤≤时，0n c ≤且数列{}n c 是单调递增；当10n ≥时0n a >， 所以数列{}n c 的最小项为1842c -==-． 18．从有3个红球和4个蓝球的袋中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，记i A 表示事件“第i 次摸到红球”，1,2,,7i =．(1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率；(2)记()123P A A A 表示1A ，2A ，3A 同时发生的概率，()312P A A A 表示已知1A 与2A 都发生时3A 发生的概率．①证明：()()()()123121312P A A A P A P A A P A A A =； ②求()3P A ． 【答案】(1)12 (2)①证明见解析，②37【分析】（1）所求概率为21(|)P A A ，由条件概率的公式计算.(2) ①由条件概率的公式计算推导可证, ②由①的结论,分类计算所求概率.【详解】(1)由条件概率公式可得1221143()176(|)4()27p A A P A A p A ⨯⨯===； 所以第一次摸到蓝球，第二次摸到红球的概率为12； (2)①由条件概率乘法公式12331212()(|),()P A A A P A A A P A A =可得12312312()()(|),P A A A P A A P A A A =，由12211()(|)()P A A P A A P A =,可得12121()()(|)P A A P A P A A =,所以123121312()()(|)(|);P A A A P A P A A P A A A =②由①可得()()()()()3123123123123P A P A A A P A A A P A A A P A A A =+++ =121312121312()(|)(|)()(|)(|)P A P A A P A A A P A P A A P A A A ++121312121212()(|)(|)()(|)(|)P A P A A P A A A P A P A A P A A A +32143234243337657657657657=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以()337P A =．19．已知函数()321f x x ax bx =--+，其中0a >．(1)若函数()f x 的单调减区间为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，求实数a ，b 的值；(2)若2b a =，已知曲线()y f x =在点()(),a f a --处的切线与y 轴的交点为()0,m ，求9m a +的最小值．【答案】(1)1a =，1b = (2)13【分析】(1)由已知()0f x '<的解集为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据二次方程和二次不等式的解的关系求a ，b 的值；(2)根据导数的几何意义确定,a m 的关系，由此可得39931m a a a +=++，利用导数求其最小值．【详解】(1)因为()321f x x ax bx =--+，所以()232f x x ax b '=--，已知函数()f x 的单调减区间为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，故()0f x '<的解集为1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()10,310,f f ''⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩故11320,93320,a b a b ⎧⨯+⨯-=⎪⎨⎪--=⎩解得1a =，1b =，当1a =，1b =时，()()()2321311x x x x f x --=+'-=，当13x <-时，()0f x '>，函数()f x 在1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭单调递增，当113-<<x 时，()0f x '<，函数()f x 在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，当1x >时，()0f x '>，函数()f x 在()1+∞，单调递增， 满足已知条件，故1a =，1b =；(2)因为2b a =，所以()2232f x x ax a '=--，可得()()()222324f a a a a a a '-=--⨯--=，即24k a =，又由()()()()322311f a a a a a a a -=--⋅--⨯-+=-+，得切线方程为()()3214y a a x a --+=+，即23431y a x a =++，令0x =，可得331y a =+，即331m a =+，则39931m a a a+=++， 令()3931g a a a =++，0a >，可得()42229999a g a a a a -'=-=，0a >，令()0g x '>，即4990a ->，解得1a >，令()0g x '<，即4990a -<，解得01a <<， 所以函数()g a 在区间()0,1单调递减，在区间()1,+∞单调递增， 所以当1a =时，函数()g a 取得最小值，最小值为()131913g =++=．20．一工厂为了提高生产效率，对某型号生产设备进行了技术改造，为了对比改造前后的效果，采集了20台该种型号的设备技术改造前后连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，整理如下表：(1)根据所给数据，完成下面的22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为技术改造前与技术改造后的连续正常运行时间有差异？(2)若某台设备出现故障，则立即停工并申报维修，根据长期生产经验，每台设备停工n天的总损失额记为y （单位：元）满足()2100200015001,2,3,4y n n n =++=，现有两种维修方案（一天完成维修）可供选择：方案一：加急维修单，维修人员会在设备出现故障的当天上门维修，维修费用为4000元；方案二：常规维修单，维修人员会在设备出现故障当天或者之后3天中的任意一天上门维修，维修费用为1000元．现统计该工厂最近100份常规维修单，获得每台设备在第()1,2,3,4n n =天得到维修的数据如下：将频率视为概率，若某台设备出现故障，以该设备维修所需费用与停工总损失额的和的期望值为决策依据，应选择哪种维修方案？()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【答案】(1)表格见解析，有99%的把握 (2)方案一【分析】（1）根据已知表中的数据填写22⨯列联表，然后利用()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++求出2K ，再利用临界值表判断即可，（2）根据题意分别计算出1,2,3,4n =时，设备的总损失额，设选择方案一、方案二的设备维修所需费用与设备停工总损失额分别为X 、Y 元，则()36004000E X =+，Y 的可能取值有：4600，6900，9400，12100，求出相应的概率，可得随机变量Y 的分布列，求出()E Y ，然后比较可得结论. 【详解】(1)22⨯列联表为：易知()224055151510 6.63520202020K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以有99%的把握认为技术改造前与技术改造后的连续正常运行时间有差异． (2)当1n =时，设备的总损失额为3600y =元； 当2n =时，设备的总损失额为5900y =元； 当3n =时，设备的总损失额为8400y =元； 当4n =时，设备的总损失额为11100y =元；设选择方案一、方案二的设备维修所需费用与设备停工总损失额分别为X 、Y 元， 选择方案一，则()360040007600E X =+=元，选择方案二，则Y 的可能取值有：4600，6900，9400，12100， 所以，()1460010P Y ==，()3690010P Y ==，()4940010P Y ==，()21210010P Y ==，所以，随机变量Y 的分布列如下表所示：所以，()134246006900940012100871010101010E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=元， 所以，()()E X E Y <，故选方案一.21．已知数列{}n a ，{}n b 的各项都是正数，n S 是数列{}n a 的前n 项和，满足()22210n n S n S n +--=；数列{}n b 满足11b a =，331b a =-，()221*n n n b b b n N ++=∈(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)记()22167,log ,nn n n n n b n c a a b n ++⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n c 的前2n 项和为2n T ，若不等式()24141nnn T n λ-+<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围． 【答案】(1)21n a n =-，12n n b -=(2)15λ-<<【分析】（1）先根据条件算出n S ，再算出n a 和n b ；（2）对于{}n c 采用分组求和的方法，推出2n T 的解析式，再根据条件，计算不等式()24141nnn T n λ-+<+ ，确定λ 的范围. 【详解】(1)依题意，根据()22210n n S n S n +--=，得()()210n nS n S-+=，又0n a >，0n S >，得2n S n =；当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-；当1n =时，111a S ==适合上式， 所以数列{}n a 的通项公式21n a n =-，所以111b a ==，3314b a =-=，又因为()221*n n n b b b n N ++=∈，所以数列{}n b 为等比数列，所以22314b b q q ===，解得2q =或2q =-（舍去），所以12n n b -=；(2)由题意可知，2n S n =，12n n b +=；由已知()22167,,log ,,nn n n n n b n c a a b n ++⎧-⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数可得()()()1672,2123,n n n n c n n n n -⎧-⎪=-+⎨⎪⎩为奇数为偶数 ， 设{}n c 的前2n 项和中，奇数项的和为n P ，偶数项的和为n Q ， 所以13521n n P c c c c -=++++L ，2462n n Q c c c c =++++L ，当n 为奇数时，()()()1116722221232321n n n n n c n n n n -+--==--++-，所以204264222135212222222251951394143n n n n P c c c c n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L0424141141n nn n =-=-++， 当n 为偶数时，n c n =，所以()()246222246212n n n n Q c c c c n nn +=++++=++++==+L L ，由()24141n nn T n λ-+<+，得()()441114141n n nn n n n λ-+<-++++，即()()111n n n λ-<-++， 当n 为偶数时，21n n λ<+-对一切偶数成立，当2n = 时，215n n +-= 为最小值，所以5λ<，当n 为奇数时，21n n λ<+--对一切奇数成立，当1n = 时()211n n -+-=- 为最大值，所以此时1λ>-，故对一切*n ∈N 恒成立，则15λ-<<．综上，21n a n =-，12n n b -=，λ 的取值范围是15λ-<<.22．已知函数()()3xf x x a e =--，()g x ax =．(1)设()f x '，()g x '分别为()f x ，()g x 的导函数，试讨论()()0f x g x ''-=根的个数； (2)若4a =-，当2x ≥-时，()()2122kf x x g x ⎡⎤≥-+⎣⎦恒成立，求k 的取值范围． 【答案】(1)当0a ≥时，()h x 有一个零点；当10a -<<时，()h x 有两个零点； 当1a =-时，()h x 有一个零点；当1a <-时，()h x 无零点；(2)21,e ⎡⎤⎣⎦【分析】(1)方程的根的个数，转化为函数的零点个数，利用导数讨论单调性来解决. (2) 恒成立问题转化为函数最值问题，讨论函数单调性，得到最值.【详解】(1)由题意可得()()2e xf x x a '=--，()g x a ¢=，令()()()()2e x h x f x g x x a a ''=-=---，()()1e xh x x a '=--，()10h a '+=，当1x a <+时，()0h x '<，()h x 为减函数；当1x a >+时，()0h x '>，()h x 为增函数； 所以()h x 的最小值为()11ea h a a ++=--，令()()11e a p a h a a +=+=--，显然()p a 为减函数，且()10p -=，所以当1a <-，()10h a +>，所以()0h x >，所以()h x 无零点； 当1a =-，()10h a +=，所以()h x 有一个零点；当0a >，()10h a +<，因为当1x a <+时，()h x a <-，故()h x 无零点，当1x a >+，()h x 有一个零点；当0a =时，()()2e xh x x =-，显然有一个零点；当10a -<<时，当1x a <+时，()h x 有一个零点，当1x a >+，()h x 有一个零点；故有两个零点．综上所述，当0a ≥时，()h x 有一个零点；当10a -<<时，()h x 有两个零点； 当1a =-时，()h x 有一个零点；当1a <-时，()h x 无零点；(2)()()()()22112e 12122xF x kf x x g x k x x x ⎡⎤=--+=+---⎣⎦，()2≥-x ()()()()e 222e 1x x F x k x x x k '=+--=+-，由题设可得()00F ≥，即1k ³， 令()0F x '=得1ln x k =-，22x =-， ①若21e k ≤<，则120x -<≤，当()12,x x ∈-时，()0F x '<，当()1,x x ∈+∞时，()0F x '>， 即()F x 在()12,x x ∈-单调递减，在()1,x +∞单调递增， 故()F x 在1x x =取最小值()1F x ，而()()()111221*********1e 211e 212e 2x x x F x k x x x x x x =+---=+---()211111111212022x x x x x =+---=-+≥所以当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()2122kf x x g x ⎡⎤≥-+⎣⎦恒成立． ②若2e k =，则()()()22e 2e e x F x x -'=+-，所以当2x ≥-时，()0F x '≥，∴()F x 在()2,-+∞单调递增， 而()20F -=，∴当2x ≥-时，()0F x ≥，即()()2122kf x x g x ⎡⎤≥-+⎣⎦恒成立， ③若2e k >，则()()2222e 1e e 0F k k ---=-+=--<，所以当2x ≥-时，()()2122kf x x g x ⎡⎤≥-+⎣⎦不可能恒成立． 综上所述，k 的取值范围为21,e ⎡⎤⎣⎦．【点睛】1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。

2021-2022学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．一、单项选择题（共8小题）.1．已知全集R，集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，则下列关系正确的是（）A．1∈A B．∅⊆A C．∁R A＝{x|0＜x＜2}D．A∩∅＝A2．已知a＞b＞0，则（）A．a2＜ab B．a+b＜2b C．＞1D．3．下列各组函数中，是同一函数的是（）A．y＝x2与y＝x B．y＝与y＝（）2C．y＝与y＝x+1D．y＝与y＝x4．命题“∀x∈R，使得n≥x2，n∈N*”的否定形式是（）A．∀x∈R，使得n＜x2，n∈N*B．∀x∈R，使得n≠x2，n∈N*C．∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*D．∃x∈R，使得n≥x2，n∈N*5．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则下列关系式中一定成立的是（）A．f（﹣1）＜f（﹣2）B．f（﹣1）＜f（2）C．f（1）＞f（﹣2）D．f（0）＝07．如图，电路中电源的电动势为E，内阻为r，R1为固定电阻，R2是一个滑动变阻器，已知R2消耗的电功率为P＝（）2R2，当R2消耗的电功率P最大时，r，R1，R2之间的关系是（）A．r+R2＝R1B．r+R1＝R2C．＝R2D．R1+R2＝r8．函数y＝f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b 为奇函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）＝2x+1关于（，0）中心对称B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，2）中心对称C．函数y＝f（x）的图像关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2B．C．≥4D．≥4 10．已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论中正确的是（）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是m＜0B．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1C．方程无实数根的充要条件是m＞1D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为011．已知函数f（x）＝，下列结论中正确的是（）A．f（x）的图像关于y轴对称B．f（x）的单调减区间为（2，+∞）C．f（x）的值域为RD．当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值12．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合A ＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值可能是（）A．B．0C．1D．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知集合M＝{2，m}，N＝{2m﹣1，2}，若M＝N，则实数m＝．14．已知f（x）＝，则f（3）的值为．15．已知函数f（x）＝﹣x2+bx，g（x）＝x+．写出满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为.（注：写出一个满足条件的即可）16．设函数定义在R上的增函数，则实数a取值范围为．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知x+x＝3，求的值；（2）已知，求的值．18．已知集合A＝{x||x﹣4|≤3}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}．（1）当a＝1时，求A∪B，B∩∁R A；（2）若____，求实数a的取值范围．（注：从①A∪B＝A；②B∩∁R A＝∅；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．三个条件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．）19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x（m）．（1）将总造价y（元）表示为长度x（m）的函数；（2）如果当地政府财政拨款3万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地？（≈1.414）20．已知定义在[﹣3，3]上的函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（1）＝．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．21．已知函数f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]．（1）当a＝1时，求f（x）的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[0，3]上的最大值为14，求实数a的值．22．已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），F（x）＝．（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请说明理由．参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集R，集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，则下列关系正确的是（）A．1∈A B．∅⊆A C．∁R A＝{x|0＜x＜2}D．A∩∅＝A【分析】解出集合A再做判断．解：因为A＝{x|x2﹣2x＞0}＝{x|x＜0或x＞2}，所以ACD选项均错误，故选：B．2．已知a＞b＞0，则（）A．a2＜ab B．a+b＜2b C．＞1D．【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及作差法，即可求解．解：对于A，∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，∴a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，即a2＞ab，故A错误，对于B，∵a＞b＞0，∴a+b＞b+b，即a+b＞2b，故B错误，对于C，∵a＞b＞0，∴b﹣a＜0，∴，即，故C错误，对于D，∵a＞b＞0，∴b﹣a＜0，∴＜0，即，故D正确．故选：D．3．下列各组函数中，是同一函数的是（）A．y＝x2与y＝x B．y＝与y＝（）2C．y＝与y＝x+1D．y＝与y＝x【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．解：对于A，函数y＝x2，定义域为R，y＝x＝x|x|，定义域为R，两函数的对应关系不同，不是同一函数；对于B，函数y＝＝|x|，定义域为R，y＝＝x，定义域为[0，+∞），两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C，函数y＝＝x+1，定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），y＝x+1，定义域为R，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于D，函数y＝＝x，定义域为R，y＝x，定义域为R，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．4．命题“∀x∈R，使得n≥x2，n∈N*”的否定形式是（）A．∀x∈R，使得n＜x2，n∈N*B．∀x∈R，使得n≠x2，n∈N*C．∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*D．∃x∈R，使得n≥x2，n∈N*【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，使得n＜x2，n∈N*，故选：C．5．设b＞0，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1B．﹣1C．D．【分析】分别根据二次函数的开口方向和对称轴的关系进行判断即可．解：把四个图象分别叫做A，B，C，D．若为A，由图象知a＜0，对称轴为x＝0，解得矛盾，所以不成立．若为B，则由图象知a＞0，对称轴为x＝0，解得矛盾，所以不成立．若为C，由图象知a＜0，对称轴为x＞0，且函数过原点，得a2﹣1＝0，解得a＝﹣1，此时对称轴有可能，所以此时a＝﹣1成立．若为D，则由图象知a＞0，对称轴为x＞0，且函数过原点，得a2﹣1＝0，解得a＝1，此时对称轴，矛盾，所以不成立．故图象为第三个，此时a＝﹣1．故选：B．6．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则下列关系式中一定成立的是（）A．f（﹣1）＜f（﹣2）B．f（﹣1）＜f（2）C．f（1）＞f（﹣2）D．f（0）＝0【分析】由偶函数的定义和单调性的性质，可得结论．解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，若f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数，则f（x）在（0，+∞）是减函数，所以f（﹣1）＝f（1），f（﹣2）＝f（2），且f（1）＞f（2），故选：C．7．如图，电路中电源的电动势为E，内阻为r，R1为固定电阻，R2是一个滑动变阻器，已知R2消耗的电功率为P＝（）2R2，当R2消耗的电功率P最大时，r，R1，R2之间的关系是（）A．r+R2＝R1B．r+R1＝R2C．＝R2D．R1+R2＝r【分析】利用公式P2＝U2I和，表示出滑动变阻器消耗的电功率，然后利用基本不等式求解即可．解：根据公式P2＝U2I和可得，滑动变阻器消耗的电功率，因为，当且仅当U2＝E﹣U2，即时，此时时，R2消耗的电功率P 最大．故选：B．8．函数y＝f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b 为奇函数，则下列说法正确的是（）A．f（x）＝2x+1关于（，0）中心对称B．f（x）＝x3﹣3x2关于（1，2）中心对称C．函数y＝f（x）的图像关于x＝a成轴对称的充要条件是y＝f（x+a）为偶函数D．f（x）＝x2﹣2x+5，则f（x﹣1）为偶函数【分析】根据f（x）的图像关于点P（a，b）成中心对称的充要条件是函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，分别对各个选项进行判断即可．解：由题意函数y＝f（x+a）﹣b为奇函数，则f（x+a）﹣b＝﹣f（﹣x+a）+b，则f（x+a）+f（﹣x+a）＝2b，对于A：f（x）＝2x+1，a＝，b＝0，则f（x+）+f（﹣x+）＝2（x+）+1+2（﹣x+）+1＝4≠2b＝0，故A错误；对于B：f（x）＝x3﹣3x2＝x2（x﹣3），a＝1，b＝2，则f（x+1）+f（﹣x+1）＝（x+1）2（x+1﹣3）+（﹣x+1）2（﹣x+1﹣3）＝﹣4≠2b＝4，故B错误；对于C：若f（x）关于x＝a对称，则f（x）＝f（2a﹣x），令x＝t+a，则f（t+a）＝f（a﹣t），用x替换t，则f（x+a）＝f（a﹣x），故f（x+a）是偶函数，若f（x+a）是偶函数，则f（x+a）＝f（﹣x+a），令h＝x+a，则f（h）＝f（2a﹣h），故f（h）关于h＝a对称，用x替换h，则f（x）关于x＝a对称，故C正确；对于D：f（x﹣1）＝x2﹣4x+8，f（﹣x﹣1）＝x2+4x+8，f（x﹣1）≠f（﹣x﹣1），故f （x﹣1）不是偶函数，故D错误，故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2B．C．≥4D．≥4【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可判断．解：因为a＞0，b＞0，且a+b＝1，A：由，得．即a2+b2，当且仅当a＝b时取等号，A正确；B：由ab≤（）2＝，得，≥4，当且仅当a＝b时取等号，B错误，C 正确；D：＝＝2+＝4，当且仅当a＝b时取等号，D正确；故选：ACD．10．已知关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0，下列结论中正确的是（）A．方程有一个正根一个负根的充要条件是m＜0B．方程有两个正根的充要条件是0＜m≤1C．方程无实数根的充要条件是m＞1D．当m＝3时，方程的两个实数根之和为0【分析】利用根与系数关系与判别式计算判断即可．解：关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0中△＝（m﹣3）2﹣4m＝m2﹣10m+9、两根和为3﹣m、两根积为m．若方程有一个正根一个负根，则，解得m＜0，∴A对；若方程有两个正根，则，解得0＜m≤1，∴B对；若方程无实根，则△＝m2﹣10m+9＜0，解得m＜1或m＞9，∴C错；当m＝3时，关于x的方程x2+（m﹣3）x+m＝0为x2+3＝0无解，∴D错．故选：AB．11．已知函数f（x）＝，下列结论中正确的是（）A．f（x）的图像关于y轴对称B．f（x）的单调减区间为（2，+∞）C．f（x）的值域为RD．当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值【分析】根据函数奇偶性判断A；化简f（x）解析式，根据f（x）的单调性判断B；根据f（x）≠0判断C；根据奇偶性和单调性判断D．解：对于A，函数f（x）＝的定义域为{x|x≠±2}，关于原点对称，且f（﹣x）＝＝＝f（x），所以f（x）为偶函数，f（x）的图像关于y轴对称，故A正确；对于B，当x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0）时，f（x）＝＝﹣，当x∈[0，2）∪（2，+∞）时，f（x）＝＝，所以f（x）的单调递减区间为[0，2）和（2，+∞），故B错误；对于C，由函数解析式可得f（x）≠0，故C错误；对于D，当x∈（﹣2，0）时，f（x）＝﹣为增函数，f（x）＜f（0）＝﹣，当x∈[0，2）时，f（x）＝为减函数，f（x）≤f（0）＝﹣，所以当x∈（﹣2，2）时，f（x）有最大值为f（0）＝﹣，故D正确．故选：AD．12．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝|C（A）﹣C（B）|．已知集合A ＝{x|x2﹣1＝0}，B＝{x|（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0}，若A*B＝1，则实数a的取值可能是（）A．B．0C．1D．【分析】由条件可知C（A）＝2，根据A*B＝1，可得C（B）＝1或3，即方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0有1个根或3个根，然后分析方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0根的情况，即可得出a的可能取值．解：根据题意，已知A＝{1，2}，则C（A）＝2，又A*B＝1，则C（B）＝1或3，即方程（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0有1个根或3个根，若（ax2+3x）（x2+ax+2）＝0，则必有ax2+3x＝0或x2+ax+2＝0，若ax2+3x＝0，则x＝0或ax+3＝0，当a＝0时，B＝{0}，C（B）＝1，符合题意，当a≠0时，ax2+3x＝0对应的根为0或﹣，所以①需要x2+ax+2＝0有两根且根不为0或﹣，当△＝0时，a＝±2，当a＝2，此时B＝{0，﹣2，﹣}，C（B）＝3，符合题意，当a＝﹣2，此时B＝{0，2，}，C（B）＝3，符合题意，②当﹣是x2+ax+2＝0的根时，解得a＝±3，当a＝3，此时B＝{0，﹣1，﹣2}，C（B）＝3，符合题意，当a＝﹣3，此时B＝{0，1，2}，C（B）＝3，符合题题意，综上所述，a可取的值为0，±3，±，故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．已知集合M＝{2，m}，N＝{2m﹣1，2}，若M＝N，则实数m＝1．【分析】由{2，m}＝{2m﹣1，2}得m＝2m﹣1．解：∵{2，m}＝{2m﹣1，2}，∴m＝2m﹣1，解得，m＝1，故答案为：1．14．已知f（x）＝，则f（3）的值为2．【分析】由题意得f（3）＝f（5）＝f（7），故f（7）为所求．解：∵f（x）＝，则f（3）＝f（5）＝f（7）＝7﹣5＝2，故答案为2．15．已知函数f（x）＝﹣x2+bx，g（x）＝x+．写出满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为b≤3.（注：写出一个满足条件的即可）【分析】根据题意，将f（x）≤g（x）变形可得b≤x++1，由基本不等式的性质求出b的取值范围，即可得“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的充分必要条件，由充分必要条件的定义分析可得答案．解：根据题意，∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x），即﹣x2+bx≤x+，变形可得b≤x++1，又由x∈（0，+∞），则x++1＝+++1≥3+1＝+1，当且仅当x＝时等号成立，若“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x），必有b≤+1，即“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的充分必要条件为b≤+1，故满足“∀x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）”的一个必要不充分条件为b≤3，故答案为：b≤3，（答案不唯一）16．设函数定义在R上的增函数，则实数a取值范围为[2，4]．【分析】根据题意，分析y＝|x2﹣x﹣2|的单调区间，由函数单调性的定义可得，解可得a的取值范围，即可得答案．解：根据题意，y＝|x2﹣x﹣2|＝，在区间（﹣1，）、[2，+∞）上为增函数，若函数是定义在R上的增函数，则有，解可得2≤a≤4，即a的取值范围为[2，4]；故答案为：[2，4]．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）已知x+x＝3，求的值；（2）已知，求的值．【分析】（1）由x+x＝3结合完全平方公式可求出x+x﹣1的值，进而求出x﹣x﹣1的值，代入所求式子即可求出结果．（2）解方程组，用x表达出y，z的值，代入所求式子化简，即可求出结果．解：（1）∵x+x＝3，∴＝x+x﹣1+2＝9，∴x+x﹣1＝7，∴（x+x﹣1）2＝x2+x﹣2+2＝49，∴x2+x﹣2＝47，又∵（x﹣x﹣1）2＝x2+x﹣2﹣2＝47﹣2＝45，∴x﹣x﹣1＝，∴＝＝＝＝．（2）由，得，∴＝＝．18．已知集合A＝{x||x﹣4|≤3}，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}．（1）当a＝1时，求A∪B，B∩∁R A；（2）若____，求实数a的取值范围．（注：从①A∪B＝A；②B∩∁R A＝∅；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件．三个条件中任选一个，补充在上面的问题横线处，并进行解答．）【分析】（1）先求出集合A，B，然后结合集合的交并补运算即可求解；（2）根据所选条件，进行转化，然后结合集合包含关系可求．解：（1）当a＝1时，A＝{x||x﹣4|≤3}＝{x|1≤x≤7}，B＝{x|x2﹣2x﹣3）≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}A∪B＝{x|﹣1≤x≤7}，B∩∁R A＝{x|﹣1≤x＜1}；（2）若选①A∪B＝A，则B⊆A，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；若选②B∩∁R A＝∅，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，∁R A＝{x|x＜1或x＞7}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；③“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则B⊆A，B＝{x|x2﹣2ax+（a2﹣4）≤0}＝{x|a﹣2≤x≤a+2}，所以，解得3≤a≤5，所以a的范围[3，5]；19．在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地中规划一个面积为200m2的矩形区域作为市民休闲锻炼的场地（如图所示），按规划要求：在矩形内的四周安排2m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x（m）．（1）将总造价y（元）表示为长度x（m）的函数；（2）如果当地政府财政拨款3万元，不考虑其他因素，仅根据总造价情况，判断能否修建起该市民休闲锻炼的场地？（≈1.414）【分析】（1）由矩形的长为xm，求出矩形的宽，中间区域的长，宽，得到定义域，表示出总造价y即可；（2）利用基本不等式求解最值，比较即可得到答案．解：（1）由矩形的长为xm，则矩形的宽为m，则中间区域的长为x﹣4m，宽为﹣4m，所以定义域为x∈（4，50），故y＝100×200[200﹣（x﹣4）（﹣4）]，整理可得y＝18400+400（x+），x∈（4，50）；（2）因为x+＝20，当且仅当，即x＝时取等号，所以当x＝时，总造价最低为18400+8000≈2.97万元＜3万元，故仅根据总造价情况，能够修建起该市民休闲锻炼的场地．20．已知定义在[﹣3，3]上的函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，且f（1）＝．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．【分析】（1）利用奇函数的定义以及奇函数的性质，得到f（0）＝0，结合f（1）＝，求出a，b的值，验证即可；（2）将问题转化为证明f（x）在[﹣3，3]上单调递增，利用函数单调性的定义证明即可．【解答】（1）解：因为函数f（x）＝满足f（x）+f（﹣x）＝0，则f（x）为奇函数，又f（1）＝，所以，解得b＝0，a＝9，所以，经检验，f（x）为奇函数，所以；（2）证明：要证明对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立，即证明f（x）在[﹣3，3]上单调递增，用定义证明如下：设﹣3≤x1＜x2≤3，则＝＝，因为﹣3≤x1＜x2≤3，所以x1x2﹣9＜0，x2﹣x1＞0，，故f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在[﹣3，3]上单调递增，故对∀x1，x2∈[﹣3，3]，且x1≠x2，＞0恒成立．21．已知函数f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]．（1）当a＝1时，求f（x）的最大值和最小值；（2）若f（x）在区间[0，3]上的最大值为14，求实数a的值．【分析】（1）求得二次函数的对称轴，考虑单调性，可得最值；（2）求得二次函数的对称轴，讨论对称轴与的大小关系，可得最大值，解方程可得a．解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣5x+5＝（x﹣）2﹣，x∈[0，3]，又因为二次函数的图像开口向上，对称轴为x＝，所以x＝时，f（x）min＝﹣；当x＝0时，f（x）max＝5；（2）f（x）＝x2﹣（2+3a）x+5，x∈[0，3]，对称轴为x＝，当≤，即a≤时，f（x）max＝f（3）＝8﹣19a＝14，解得a＝﹣；当x＝＞，即a＞时，f（x）max＝f（0）＝5≠14，此时不符合题意．综上可得a＝﹣．22．已知函数f（x）＝ax2+bx+1（a，b为实数），F（x）＝．（1）若f（﹣1）＝0，且函数f（x）的最小值为0，求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x∈[﹣2，2]时，g（x）＝f（x）﹣kx是单调函数，求实数k 的取值范围；（3）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）能否大于零？请说明理由．【分析】（1）利用f（﹣1）＝0以及函数f（x）的最小值为0，列出关于a，b的方程组，求解即可；（2）求出g（x）的解析式，然后确定函数的对称轴，由二次函数的单调性，列出不等式，求解即可；（3）利用函数为偶函数，求出f（x）和F（x）的解析式，由题意得到|m|＞|﹣n|，表示出F（m）+F（n），即可得到答案．解：（1）因为f（﹣1）＝0，则a﹣b+1＝0①，又f（x）的最小值为0，则a≠0，且b2﹣4a＝0②，由①②解得，a＝1，b＝2，所以f（x）＝x2+2x+1，则；（2）由（1）可得，g（x）＝f（x）﹣kx＝x2+2x+1﹣kx＝x2+（2﹣k）x+1＝，当或，即k≤﹣2或k≥6时，g（x）为单调函数，故实数k的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）；（3）因为f（x）为偶函数，所以f（x）＝ax2+1，则，因为mn＜0，由于m，n的对称性，不妨设m＞n，则n＜0，又m+n＞0，则m＞﹣n＞0，所以|m|＞|﹣n|，所以F（m）+F（n）＝f（m）﹣f（n）＝（am2+1）﹣an2﹣1＝a（m2﹣n2）＞0，所以F（m）+F（n）能大于零．。

2023-2024学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{﹣1，1，2}，B ＝{x |x 2＝x }，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣1}B ．{1}C ．{﹣1，1}D ．{﹣1，0，1，2}2．命题“∃x ∈Z ，x ∈N ”的否定为（ ） A ．∃x ∈Z ，x ∉NB ．∃x ∉Z ，x ∈NC ．∀x ∈Z ，x ∉ND ．∀x ∈Z ，x ∈N3．与函数y =√x 3为同一函数的是（ ） A ．y =x √xB ．y =−x √xC ．y =x √−xD ．y ＝|x |4．函数f （x ）=√−x 2+2x +3的单调递减区间是（ ） A ．（﹣∞，1]B ．[1，3]C ．（﹣1，3）D ．[1，+∞）5．已知a ＞b ＞0，下列不等式中正确的是（ ） A ．a ﹣1＜b ﹣1B ．ab ＜b 2C ．1a+1＜1b+1D ．c a＞cb6．已知函数f(x)={x +a ，x ＞0，|x|+1，x ＜0，且f （f （﹣1））＝4，则a ＝（ ）A ．2B ．1C ．0D ．﹣17．已知函数f （x ）为奇函数，且对任意的x 1，x 2∈R ，当x 1＜x 2时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则关于x 的不等式f （x 2﹣x ）＜0的解集为（ ） A ．（0，1） B ．（﹣∞，0）∪（1，+∞） C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）8．某人分两次购买同一种物品，因价格有变动，两次购买时物品的单价分别为a 1，a 2且a 1≠a 2．若他每次购买数量一定，其平均价格为b 1；若他每次购买的费用一定，其平均价格为b 2，则（ ） A ．b 1＜b 2 B ．b 1＞b 2C ．b 1＝b 2D ．b 1，b 2不能比较大小二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列函数值域为[1，+∞）的是（ ） A ．y ＝x +1 B ．y ＝x 2+2x +2 C ．y =1−x1+xD ．y =x −1x +1(x ≥1)10．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＜0的解集为{x |x ＜﹣4或x ＞3}，则（ ） A ．a ＞0B ．12a +c ＝0C ．a +b +c ＞0D ．不等式ax−b ax−c≤0的解集为{x |﹣12＜x ≤1}11．若a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则（ ） A ．ab ≤14B ．1a+1b≥4C ．|a −12|+|b −14|≤14D ．a 2+b ≥3412．对于任意实数x ，函数f （x ）满足：当n −12＜x ≤n +12(n ∈Z)时，f （x ）＝x ﹣n ，则（ ） A ．f （2023）＝0B ．f （x ）的值域为(−12，12]C ．f （x ）在区间(−12，52]上单调递增D ．f （x ）的图象关于点（k ，0）（k ∈Z ）对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知集合M ＝{x ，x +2，2}，若0∈M ，则x ＝ ． 14．已知函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2，5]，则函数y =f(2x−1)x−1的定义域为 ． 15．已知f （x ），g （x ）是分别定义在R 上的奇函数和偶函数，且f （x ）﹣g （x ）＝x 3+x 2+1，则f （1）+g （2）＝ ．16．已知函数f(x)={|x −1|，0≤x ＜2，2(x −3)2−1，x ≥2，则函数y =f(f(x))−12的零点个数为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |m ﹣1≤x ≤m +1}． （1）当m ＝4时，求A ∪B ，A ∩（∁U B ）；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f （x ）＝x 2+2x ． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）在给出的坐标系中画出f （x ）的图象，并写出f （x ）的单调增区间．19．（12分）已知函数f （x ）＝ax 2+（a ﹣2）x +14(a ∈R)．（1）若关于x 的不等式f （x ）≥0的解集是实数集R ，求a 的取值范围； （2）当a ＜0时，解关于x 的不等式f （x ）−94≤0．20．（12分）为改善生态环境，某企业对生产过程中产生的污水进行处理．已知该企业污水日处理量为x 百吨（70≤x ≤120），日处理污水的总成本y 元与x 百吨之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2+40x +5000．（1）该企业日污水处理量为多少百吨时，平均成本最低？（平均成本=y x）（2）若该企业每处理1百吨污水获收益100元，为使该企业可持续发展，政府决定对该企业污水处理进行财政补贴，补贴方式有两种方案：方案一：每日进行定额财政补贴，金额为4200元；方案二：根据日处理量进行财政补贴，处理x 百吨获得金额为40x +1700元．如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴？并说明原因． 21．（12分）已知函数f （x ）对于任意实数x ，y ∈R ，都有f （x +y ）+2＝f （x ）+f （y ），且f （2）＝4． （1）求f （1）的值；（2）令g （x ）＝f （x ）﹣2，求证：函数g （x ）为奇函数；（3）求f （﹣2023）+f （﹣2022）+…+f （﹣1）+f （0）+f （1）+…+f （2022）+f （2023）的值． 22．（12分）已知函数f （x ），g （x ）满足g （x ）＝f （x ）+a 2f(x)(a ＞0)． （1）设f （x ）＝x ，求证：函数g （x ）在区间（0，a ）上为减函数，在区间（a ，+∞）上为增函数； （2）设f （x ）=√1−x1+x． ①当a ＝1时，求g （x ）的最小值；②若对任意实数r ，s ，t ∈[−35，35]，|g （r ）﹣g （s ）|＜g （t ）恒成立，求实数a 的取值范围．2023-2024学年山东省潍坊市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{﹣1，1，2}，B＝{x|x2＝x}，则A∩B＝（）A．{﹣1}B．{1}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1，2}解：集合A＝{﹣1，1，2}，B＝{x|x2＝x}＝{0，1}，则A∩B＝{1}．故选：B．2．命题“∃x∈Z，x∈N”的否定为（）A．∃x∈Z，x∉N B．∃x∉Z，x∈N C．∀x∈Z，x∉N D．∀x∈Z，x∈N解：因为特称命题的否定是全称命题，所以“∃x∈Z，x∈N”的否定是：“∀x∈Z，x∉Z”．故选：C．3．与函数y=√x3为同一函数的是（）A．y=x√x B．y=−x√x C．y=x√−x D．y＝|x|解：∵函数y=√x3中x3≥0可得x≥0，故函数y=√x3的定义域为[0，+∞），排除CD，又y=√x3=x√x，排除B．故选：A．4．函数f（x）=√−x2+2x+3的单调递减区间是（）A．（﹣∞，1]B．[1，3]C．（﹣1，3）D．[1，+∞）解：由﹣x2+2x+3≥0，解得﹣1≤x≤3，设t＝﹣x2+2x+3，由二次函数的性质可知：t在x∈[﹣1，1]上单调递增，在x∈[1，3]上单调递减，又因为y=√t在定义上为增函数，由复合函数的性质可得：函数f（x）=√−x2+2x+3的单调递减区间是[1，3]．故选：B．5．已知a＞b＞0，下列不等式中正确的是（）A．a﹣1＜b﹣1B．ab＜b2C．1a+1＜1b+1D．ca＞cb解：因为a＞b＞0，所以a﹣1＞b﹣1，A错误；因为a＞b＞0，所以ab＞b2，B错误；因为a+1＞b+1＞0，所以0＜1a+1＜1b+1，C正确；因为1a＜1b，所以c a＜cb，D 错误．故选：C ．6．已知函数f(x)={x +a ，x ＞0，|x|+1，x ＜0，且f （f （﹣1））＝4，则a ＝（ ）A ．2B ．1C ．0D ．﹣1解：∵函数f(x)={x +a ，x ＞0，|x|+1，x ＜0，∴f （﹣1）＝|﹣1|+1＝2， f （f （﹣1））＝2+a ＝4， ∴a ＝2． 故选：A ．7．已知函数f （x ）为奇函数，且对任意的x 1，x 2∈R ，当x 1＜x 2时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，则关于x 的不等式f （x 2﹣x ）＜0的解集为（ ） A ．（0，1） B ．（﹣∞，0）∪（1，+∞） C ．（﹣1，0）D ．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）解：因为对任意的x 1，x 2∈R ，当x 1＜x 2时，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0，所以f （x ）在R 上单调递减， 因为f （x ）为奇函数，即f （0）＝0， 因为f （x 2﹣x ）＜0＝f （0）， 所以x 2﹣x ＞0， 解得x ＞1或x ＜0． 故选：B ．8．某人分两次购买同一种物品，因价格有变动，两次购买时物品的单价分别为a 1，a 2且a 1≠a 2．若他每次购买数量一定，其平均价格为b 1；若他每次购买的费用一定，其平均价格为b 2，则（ ） A ．b 1＜b 2 B ．b 1＞b 2C ．b 1＝b 2D ．b 1，b 2不能比较大小解：设每次购买数量为x ，平均价格为b 1=a 1x+a 2x 2x=a 1+a 22， 设每次购买的费用为y ，平均价格为b 2=2y y a 1+ya 2=2a 1a2a 1+a 2，∵a 1≠a 2，∴(a 1+a 2)2＞4a 1a 2⇒a 1+a 22＞2a 1a 2a 1+a 2⇒b 1＞b 2．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．下列函数值域为[1，+∞）的是（ ） A ．y ＝x +1 B ．y ＝x 2+2x +2 C ．y =1−x1+xD ．y =x −1x +1(x ≥1)解：y ＝x +1的值域为R ，A 错误；y ＝x 2+2x +2＝（x +1）2+1≥1，B 符合题意； y =1−x1+x =−x−1x+1=−1+2x+1≠−1，C 不符合题意； 当x ≥1时，y ＝x −1x +1单调递增，故y ≥1，D 符合题意． 故选：BD ．10．已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＜0的解集为{x |x ＜﹣4或x ＞3}，则（ ） A ．a ＞0B ．12a +c ＝0C ．a +b +c ＞0D ．不等式ax−b ax−c≤0的解集为{x |﹣12＜x ≤1}解：已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ＜0的解集为{x |x ＜﹣4或x ＞3}， 可得﹣4，3是方程ax 2+bx +c ＝0的两个根，且a ＜0，则{−ba =−4+3c a =−4×3，即b ＝a ，c ＝﹣12a ，所以c +12a ＝0，故A 错误，B 正确；因为1∉{x |x ＜﹣4或x ＞3}，所以a ×12+b ×1+c ＞0，即a +b +c ＞0，故C 正确； 又不等式ax−b ax−c≤0等价于{(ax −b)(ax −c)≤0ax −c ≠0，即{(ax −a)(ax +12a)≤0ax +12a ≠0，即{(x −1)(x +12)≤0x ≠−12，解得﹣12＜x ≤1，故D 正确． 故选：BCD ．11．若a ＞0，b ＞0，a +b ＝1，则（ ）A ．ab ≤14B ．1a+1b≥4C ．|a −12|+|b −14|≤14D ．a 2+b ≥34解：因为a +b ＝1≥2√ab ，解得ab ≤14，当且仅当a =b =12时，等号成立，故A 正确；由1a+1b=(a +b)(1a+1b)=2+b a+a b≥2+2√b a ⋅ab=4，当且仅当a =b =12时，等号成立，可得B 正确；当a =15，b =45时，|a −12|+|b −14|=1720＞14，故|a −12|+|b −14|≤14不成立，故C 错误；根据题意，可得a 2+b =a 2−a +1=(a −12)2+34≥34，当且仅当a =b =12时，a 2+b 的最小值为34，故D 正确． 故选：ABD ．12．对于任意实数x ，函数f （x ）满足：当n −12＜x ≤n +12(n ∈Z)时，f （x ）＝x ﹣n ，则（ ） A ．f （2023）＝0B ．f （x ）的值域为(−12，12]C ．f （x ）在区间(−12，52]上单调递增D ．f （x ）的图象关于点（k ，0）（k ∈Z ）对称解：由题意得f （x ）={⋯x +1，−32＜x ≤−12x ，−12＜x ≤12x −1，12＜x ≤32，x −2，32＜x ≤52⋯，其大致图象如图所示，故f （2023）＝f （2022）＝f （2021）＝…＝f （0）＝0，A 正确； 由函数的图象可知，函数的值域为（−−12，12]，B 正确； 根据函数图象可知，f （x ）在区间(−12，52]上不单调，C 错误； 根据函数的图象可知，f （x ）的图象关于（k 2，0）对称，D 错误．故选：AB ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知集合M ＝{x ，x +2，2}，若0∈M ，则x ＝ ﹣2 ． 解：集合M ＝{x ，x +2，2}，若0∈M ，则x ＝0或x +2＝0， 所以x ＝0或x ＝﹣2，当x ＝0时，x +2＝2，不满足元素的互异性，舍去， 当x ＝﹣2时，集合M ＝{﹣2，0，2}，符合题意， 综上所述，x ＝﹣2． 故答案为：﹣2．14．已知函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2，5]，则函数y =f(2x−1)x−1的定义域为 {x |−12≤x ≤3且x ≠1} ． 解：数y ＝f （x ）的定义域为[﹣2，5]，则{−2≤2x −1≤5x −1≠0，解得−12≤x ≤3且x ≠1，故函数y 的定义域为{x |−12≤x ≤3且x ≠1}． 故答案为：{x |−12≤x ≤3且x ≠1}．15．已知f （x ），g （x ）是分别定义在R 上的奇函数和偶函数，且f （x ）﹣g （x ）＝x 3+x 2+1，则f （1）+g （2）＝ ﹣4 ．解：因为f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数， 且f （x ）﹣g （x ）＝x 3+x 2+1，①所以f （﹣x ）﹣g （﹣x ）＝（﹣x ）3+（﹣x ）2+1＝﹣x 3+x 2+1，即﹣f （x ）﹣g （x ）＝﹣x 3+x 2+1，变形可得：f （x ）+g （x ）＝x 3﹣x 2﹣1，② 由①②解得：f （x ）＝x 3，g （x ）＝﹣x 2﹣1， 则f （1）＝1，g （2）＝﹣5， 故f （1）+g （2）＝﹣4． 故答案为：﹣4．16．已知函数f(x)={|x −1|，0≤x ＜2，2(x −3)2−1，x ≥2，则函数y =f(f(x))−12的零点个数为 7 ．解：令f （x ）＝t ，则有y =f(f(x))−12=f （t ）−12， 令f （t ）−12=0，得f （t ）=12，当0≤t ＜2时，由|t ﹣1|=12，解得t 1=12或t 2=32；当t ≥2时，由2（t ﹣3）2﹣1=12，解得t 3＝3−√32，t 4＝3+√32， 作出y ＝f （x ）的图象，如图所示：由此可得当f （x ）=12时，有4个根（y ＝f （x ）的图象与y =12的图象有4个交点）； 当f （x ）=32时，有1根（y ＝f （x ）的图象与y =32的图象有1交点）； 当f （x ）＝3−√32时，有1根（y ＝f （x ）的图象与y ＝3−√32的图象有1交点）； 当f （x ）＝3+√32时，有1根（y ＝f （x ）的图象与y ＝3+√32的图象有1交点）；所以一共有4+1+1+1＝7个零点． 故答案为：7．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设全集U ＝R ，集合A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |m ﹣1≤x ≤m +1}． （1）当m ＝4时，求A ∪B ，A ∩（∁U B ）；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件，求实数m 的取值范围．解：（1）m ＝4时，A ＝{x |1＜x ＜4}，B ＝{x |m ﹣1≤x ≤m +1}＝{x |3≤x ≤5}， 则∁U B ＝{x |x ＞5或x ＜3}，A ∪B ＝{x |1＜x ≤5}，A ∩（∁U B ）＝{x |1＜x ＜3}； （2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要条件， 则B ⊆A ，则{m −1＞1m +1＜4，解得：2＜m ＜3，即实数a 的取值范围是（2，3）．18．（12分）已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，f （x ）＝x 2+2x ． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）在给出的坐标系中画出f （x ）的图象，并写出f （x ）的单调增区间．解：（1）设x＞0，则﹣x＜0，所以f（﹣x）＝x2﹣2x，因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），所以当x＞0 时，f（x）＝f（﹣x）＝x2﹣2x，综合可得：f（x）={x2+2x，x≤0 x2−2x，x＞0；（2）根据题意，由（1）的结论，f（x）={x2+2x，x≤0 x2−2x，x＞0，其图象为：该函数的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞）．19．（12分）已知函数f（x）＝ax2+（a﹣2）x+14(a∈R)．（1）若关于x的不等式f（x）≥0的解集是实数集R，求a的取值范围；（2）当a＜0时，解关于x的不等式f（x）−94≤0．解：（1）若关于x的不等式f（x）≥0的解集是实数集R，即ax2+(a−2)x+14≥0在实数集R上恒成立，当a ＝0时，x ≤18，不符合题意；当a ≠0时，要使关于x 的不等式f （x ）≥0的解集是实数集R ， 则要满足{a ＞0(a −2)2−4a ×14≤0，解得1≤a ≤4， 综上可得，实数l 的取值范围是{a |1≤a ≤4}．（2）由题意f(x)−94≤0 可变为ax 2+（a ﹣2）x ﹣2≤0， 可得ax 2+（a ﹣2）x ﹣2＝（ax ﹣2）（x +1），当a ＜0时，方程（ax ﹣2）（x +1）＝0的两根为−1，2a， ①当a ＜﹣2时，因为−1＜2a ，解不等式得x ≤﹣1或x ≥2a ； ②当a ＝﹣2时，因为−1=2a ，此时不等式的解集为R ； ③当﹣2＜a ＜0时，因为−1＞2a，解不等式得x ≤2a或x ≥﹣1； 综上所述，不等式的解集为：当﹣2＜a ＜0时，不等式的解集为{x|x ≤2a 或≥−1}； 当a ＝﹣2时，不等式的解集为R ；当a ＜﹣2时，不等式的解集为{x|x ≤−1或x ≥2a}．20．（12分）为改善生态环境，某企业对生产过程中产生的污水进行处理．已知该企业污水日处理量为x 百吨（70≤x ≤120），日处理污水的总成本y 元与x 百吨之间的函数关系可近似地表示为y =12x 2+40x +5000．（1）该企业日污水处理量为多少百吨时，平均成本最低？（平均成本=yx ）（2）若该企业每处理1百吨污水获收益100元，为使该企业可持续发展，政府决定对该企业污水处理进行财政补贴，补贴方式有两种方案：方案一：每日进行定额财政补贴，金额为4200元；方案二：根据日处理量进行财政补贴，处理x 百吨获得金额为40x +1700元．如果你是企业的决策者，为了获得每日最大利润，你会选择哪个方案进行补贴？并说明原因． 解：（1）∵y =12x 2+40x +5000， ∴yx =x 2+5000x+40，又x ∈[70，120]，则y x=x 2+5000x+40≥2√x 2⋅5000x +40＝140，当且仅当x 2=5000x，即x ＝100百吨时，平均成本最低；（2）选择方案一：设每日获利为y 1，∴y 1＝100x ﹣（12x 2+40x +5000）+4200=−12x 2+60x ﹣800=−12（x ﹣60）2+1000，∵x ∈[70，120]，∴当x ＝70百吨时，获得最大利润为950元； 选择方案二：设每日获利为y 2，则y 2＝100x +40x +1700﹣（12x 2+40x +5000）=−12x 2+100x ﹣3300=−12（x ﹣100）2+1700，∵x ∈[70，120]，∴当x ＝100百吨时，获得最大利润为1700元， 又1700＞950，故选择方案二进行补贴．21．（12分）已知函数f （x ）对于任意实数x ，y ∈R ，都有f （x +y ）+2＝f （x ）+f （y ），且f （2）＝4． （1）求f （1）的值；（2）令g （x ）＝f （x ）﹣2，求证：函数g （x ）为奇函数；（3）求f （﹣2023）+f （﹣2022）+…+f （﹣1）+f （0）+f （1）+…+f （2022）+f （2023）的值． 解：（1）∵对于任意实数x ，y ∈R ，都有f （x +y ）+2＝f （x ）+f （y ），且f （2）＝4． ∴f （1+1）+2＝f （1）+f （1），∴4+2＝2f （1），∴f （1）＝3； （2）证明：∵f （0+0）+2＝f （0）+f （0），∴f （0）＝2，又x ∈R ，∴g （﹣x ）+g （x ）＝f （﹣x ）﹣2+f （x ）﹣2＝f （﹣x ）+f （x ）﹣4＝f （﹣x +x ）+2﹣4＝f （0）﹣2＝0， ∴g （x ）为奇函数；（3）由（2）知g （﹣x ）+g （x ）＝0，f （x ）＝g （x ）+2， ∴f （﹣x ）+f （x ）＝4，又f （0）＝2，∴f （﹣2023）+f （﹣2022）+…+f （﹣1）+f （0）+f （1）+…+f （2022）+f （2023） ＝2023×4+2＝8094．22．（12分）已知函数f （x ），g （x ）满足g （x ）＝f （x ）+a 2f(x)(a ＞0)．（1）设f （x ）＝x ，求证：函数g （x ）在区间（0，a ）上为减函数，在区间（a ，+∞）上为增函数； （2）设f （x ）=√1−x1+x ．①当a ＝1时，求g （x ）的最小值；②若对任意实数r ，s ，t ∈[−35，35]，|g （r ）﹣g （s ）|＜g （t ）恒成立，求实数a 的取值范围．解：（1）证明：由题意，可得g(x)=x +a 2x ，令0＜x 1＜x 2，则g(x 2)−g(x 1)=x 2+a 2x 2−(x 1+a 2x 1)=(x 2−x 1)+a 2⋅x 1−x 2x 1x 2=(x 2−x 1)(1−a 2x 1x 2)=(x 2−x 1)x 1x 2−a 2x 1x 2，当0＜x 1＜x 2＜a 时，x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＞0且x 1x 2−a 2＜0， 故g （x 2）﹣g （x 1）＜0，故g （x ）在区间（0，a ）上为减函数； 当x 2＞x 1＞a 时，x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＞0且x 1x 2−a 2＞0，所以g （x 2）﹣g （x 1）＞0，所以g （x ）在区间（a ，+∞）上为增函数． （2）①令1−x 1+x＞0⇔(1+x)(1−x)＞0，解得﹣1＜x ＜1，由g(x)=f(x)+a 2f(x)中f （x ）可知， f(x)=√1−x 1+x 的定义域为（﹣1，1），且f(x)=√21+x−1， 因为x ∈（﹣1，1]，所以x +1∈（0，2]，所以2x+1−1∈(0，+∞)，所以f （x ）∈（0，+∞），令t ＝f （x ），则p(t)=t +1t， 所以p(t)=t +1t≥2，当且仅当t ＝1时取等号， 所以g （x ）min ＝g （0）＝2，②因为|g （r ）﹣g （s ）|＜g （t ）恒成立，所以g （x ）max ﹣g （x ）min ＜g （x ）min ，所以g （x ）max ＜2g （x ）min ， 由①可知，x ∈[−35，35]时，f(x)∈[12，2]， 令t =f(x)∈[12，2]，令ℎ(t)=t +a 2t， 由（1）知，h （t ）在（0，a ）上为减函数，在（a ，+∞）上为增函数， 所以当a ≥2时，h （t ）在[12，2]上为减函数， 所以g(x)max =ℎ(t)max =ℎ(12)=12+2a 2，g(x)min =ℎ(t)min =ℎ(2)=2+a 22， 所以12+2a 2＜2(2+a 22)，所以−√142＜a ＜√142，与a ≥2矛盾，当12＜a ＜2时，h （t ）在[12，a]上为减函数，h （t ）在[a ，2]上为增函数，所以{ℎ(12)＜2ℎ(a)ℎ(2)＜2ℎ(a)，所以{12+2a 2＜4a 2+a 22＜4a，解得4−2√3＜a ＜2+√32，当a≤12时，h（t）在[12，2]上为增函数，所以2+a22＜2(12+2a2)，所以a2＞27，所以a＞√147或a＜−√147，由a≤12，得a＜−√147，又a＞0，所以a∈∅，综上，a的取值范围为{a|4−2√3＜a＜2+√32}．。

2022-2023学年山东省潍坊市、诸城市、安丘市、高密市高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a →=(1，3)，b →=(x ，6)，若a →∥b →，则x ＝（ ） A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣12．若α是第四象限的角，则π﹣α是（ ） A ．第一象限的角 B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角3．如图，航海罗盘将圆周32等分，设圆盘的半径为4，则其中每一份的扇形面积为（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π44．设e 1→，e 2→是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．e 1→+e 2→和e 1→−e 2→B ．2e 1→−3e 2→和4e 1→−6e 2→C ．e 1→+2e 2→和2e 1→+e 2→D ．e 2→和e 1→+e 2→5．已知tan α＝2，则sin 2α+sin αcos α的值为（ ） A ．23B ．1C ．45D ．656．如图，已知OA →，OB →，OC →的模均为4，且∠AOB ＝∠BOC ＝60°，则AC →⋅AB →=（ ）A ．24B ．﹣24C ．8D ．﹣87．如图所示，角α的终边与单位圆在第一象限交于点P ，且点P 的横坐标为35，OP 绕O 逆时针旋转π2后与单位圆交于点Q ，角β的终边在OQ 上，则（ ）A ．sinβ=45 B ．cosβ=−35 C ．cos(α+β)=2425 D ．sin(α+β)=−7258．已知函数f （x ）＝sin x +sin|x |，则（ ） A ．f （x ）是周期函数B ．f （x ）在区间[π2，3π2]单调递减C ．f （x ）的图象关于直线x =π2对称D ．f （x ）的图象关于点（π，0）对称二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9．下列说法中正确的是（ ）A ．a→|a →|是与非零向量a →共线的单位向量B ．若a →与b →共线，则a →=b →或a →=−b →C ．若|a →|=0，则a →=0→D ．若a →⊥b →，a →⊥c →，则b →∥c →10．设平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=2，a →在b →方向上的投影向量为c →，则（ ） A ．a →⋅b →的最大值为4 B ．|a →−b →|最大值为2C ．|b →⋅c →|≤4D ．a →⋅b →=a →⋅c →11．如图（1）所示的摩天轮抽象成如图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x 轴，建立平面直角坐标系，设O 到地面的高OT 为lm ，点P 为转轮边缘上任意一点，点P 在x 轴上的垂足为M ，转轮半径为rm ，记以OP 为终边的角为αrad ，点P 离地面的高度为hm ，则（ ）A ．点P 坐标为（r cos α，r sin α）B ．|MT →|=√r 2+l 2 C ．OP →⋅OT →≤lrD ．h ＝l +r sin α12．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B （其中A ，ω，φ，B 均为常数，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则（ ）A ．φ=910π B ．f(x)≤f(43π)C ．f （x ）图象的对称中心为(56kπ−π12，32)(k ∈Z) D ．函数f(x +43π)为偶函数三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．记cos （﹣55°）＝k ，那么tan125°＝ ． 14．写出一个最小正周期为6的奇函数f （x ）＝ ．15．设函数f(x)=cos(ωx −π4)(ω＞0)，若f(x)≤f(π3)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值是 ． 16．已知平面向量a →，b →，c →满足，|a →|=|b →|=3，|b →−c →|=2|a →−c →|=6，c →=λa →+μb →(λ＞0，μ＞0)．当λ+μ＝3时，|c →|= ．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）写出两角差的余弦公式，并利用单位圆以及向量的数量积证明该公式．18．（12分）在如图的方格纸（每个小方格边长为1）上有A ，B ，C 三点，已知向量a →以A 为始点． （1）试以B 为始点画出向量b →，使b →⋅a →=2，且|b →|=√2，并求向量b →的坐标；（2）在（1）的条件下，求(a →+b →)⋅BC →．19．（12分）已知向量a →=(cosθ，sinθ)，b →=(−1，√3)，−π2≤θ≤π3． （1）当a →⊥b →时，求θ的值； （2）求|a →−b →|的取值范围．20．（12分）某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将如表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求出函数f （x ）的解析式；（2）先将y ＝f （x ）图象上的所有点，向左平移m （m ＞0）个单位，再把图象上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到y ＝g （x ）的图象，若y ＝g （x ）的图象关于直线x =5π24对称，求当m 取得最小值时，函数y ＝g （x ）的单调递增区间．21．（12分）如图，在梯形ABCD 中，AD →=13BC →．（1）令AB →=a →，AC →=b →，用a →，b →表示AD →，BD →，CD →； （2）若AB ＝AD ＝2，且AC →⋅BD →=12，求cos ∠ABC ，|AC →|．22．（12分）定义函数f （x ）＝a sin x +b cos x 的“积向量”为m →=(a ，b)，向量m →=(a ，b)的“积函数”为f （x ）＝a sin x +b cos x ． （1）若向量m →=(a ，b)的“积函数”f （x ）满足f(π7)f(9π14)=tan10π21，求ba的值；（2）已知|m →|=|n →|=2，设OP →=λm →+μn →(λ＞0，μ＞0)，且OP →的“积函数”为g （x ），其最大值为t ，求（t ﹣2）（λ+μ）的最小值，并判断此时m →，n →的关系．2022-2023学年山东省潍坊市、诸城市、安丘市、高密市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a →=(1，3)，b →=(x ，6)，若a →∥b →，则x ＝（ ） A ．2B ．﹣2C ．1D ．﹣1解：a →=(1，3)，b →=(x ，6)，a →∥b →，则1×6＝3x ，解得x ＝2． 故选：A ．2．若α是第四象限的角，则π﹣α是（ ） A ．第一象限的角 B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角解：若α是第四象限的角，即：2k π−12π＜α＜2k π，k ∈Z ，所以2k π＜﹣α＜2k π+12π，k ∈Z 2k π+π＜π﹣α＜2k π+3π2k ∈Z 故选：C ．3．如图，航海罗盘将圆周32等分，设圆盘的半径为4，则其中每一份的扇形面积为（ ）A ．2πB ．πC ．π2D ．π4解：圆盘的半径为4，则圆的面积为π×42＝16π，故其中每一份的扇形面积为16π32=π2．故选：C ．4．设e 1→，e 2→是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（ ） A ．e 1→+e 2→和e 1→−e 2→B ．2e 1→−3e 2→和4e 1→−6e 2→C ．e 1→+2e 2→和2e 1→+e 2→D ．e 2→和e 1→+e 2→解：对于ACD ，两个向量均不共线，可以作为基底，对于B ，2e 1→−3e 2→=12（4e 1→−6e 2→），两个向量共线，不符合基底的定义． 故选：B ．5．已知tan α＝2，则sin 2α+sin αcos α的值为（ ） A ．23B ．1C ．45D ．65解：∵tan α＝2，∴sin 2α+sin αcos α=sin 2α+sinαcosαsin 2α+cos 2α=tan 2α+tanαtan 2α+1=4+24+1=65．故选：D ．6．如图，已知OA →，OB →，OC →的模均为4，且∠AOB ＝∠BOC ＝60°，则AC →⋅AB →=（ ）A ．24B ．﹣24C ．8D ．﹣8解：AC →⋅AB →=（OC →−OA →）•（OB →−OA →）=OC →•OB →−OC →•OA →−OA →•OB →+OA →2=4×4×cos60°﹣4×4×cos120°﹣4×4×cos60°+42＝24． 故选：A ．7．如图所示，角α的终边与单位圆在第一象限交于点P ，且点P 的横坐标为35，OP 绕O 逆时针旋转π2后与单位圆交于点Q ，角β的终边在OQ 上，则（ ）A ．sinβ=45 B ．cosβ=−35 C ．cos(α+β)=2425D ．sin(α+β)=−725解：因为角α的终边与单位圆在第一象限交于点P ，且点P 的横坐标为35， 所以由三角函数的定义可得sin α=45，cos α=35，又OP 绕O 逆时针旋转π2后与单位圆交于点Q ，角β的终边在OQ 上，即β＝α+π2，所以sin β＝sin （α+π2）＝cos α=35，故A 错误； cos β＝cos （α+π2）＝﹣sin α=−45，故B 错误；cos （α+β）＝cos αcos β﹣sin αsin β=35×(−45)−45×35=−2425，故C 错误； sin （α+β）＝sin αcos β+cos αsin β=45×(−45)+35×35=−725，故D 正确． 故选：D ．8．已知函数f （x ）＝sin x +sin|x |，则（ ） A ．f （x ）是周期函数B ．f （x ）在区间[π2，3π2]单调递减C ．f （x ）的图象关于直线x =π2对称D ．f （x ）的图象关于点（π，0）对称解：当x ≥0时，f （x ）＝2sin x ，当x ＜0时，f （x ）＝sin x ﹣sin x ＝0，则函数不可能是周期函数，故A 错误，当x ≥0时，f （x ）＝2sin x ，f （x ）在区间[π2，3π2]单调递减，故B 正确， 若f （x ）的图象关于直线x =π2对称，则f （π2+x ）＝f （π2−x ），当x ＝π时，f （3π2）＝f （−π2），即﹣2＝0，不成立，则f （x ）的图象关于直线x =π2对称不正确，故C错误，若f （x ）的图象关于（π，0）对称，则f （π+x ）＝﹣f （π﹣x ），当x =3π2时，f （5π2）＝﹣f （−π2），即2＝﹣0，不成立，则f （x ）的图象关于（π，0）对称不正确，故D 错误， 故选：B ．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．下列说法中正确的是（ ）A ．a→|a →|是与非零向量a →共线的单位向量B ．若a →与b →共线，则a →=b →或a →=−b →C ．若|a →|=0，则a →=0→D ．若a →⊥b →，a →⊥c →，则b →∥c →解：A ．a→|a →|是单位向量且与a →共线，A 正确；B ．a →，b →共线时，若b →≠0→，则a →=kb →，B 错误； C ．根据零向量的定义知C 正确；D ．如图，空间向量a →，b →，c →满足a →⊥b →，a →⊥c →，b →与c →不平行，D 错误．故选：AC ．10．设平面向量a →，b →，|a →|=2，|b →|=2，a →在b →方向上的投影向量为c →，则（ ） A ．a →⋅b →的最大值为4 B ．|a →−b →|最大值为2C ．|b →⋅c →|≤4D ．a →⋅b →=a →⋅c →解：设向量a →，b →的夹角为θ，选项A ，a →⋅b →=|a →|•|b →|cos θ＝2×2×cos θ≤4，当且仅当θ＝0°时，等号成立，即A 正确； 选项B ，因为a →⋅b →=4cos θ∈[﹣4，4]，所以|a →−b →|=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√4+4−2a →⋅b →=√8−2a →⋅b →≤4，当且仅当a →⋅b →=−4，即θ＝180°时，等号成立，即B 错误；选项C ，因为a →在b →方向上的投影向量为c →，所以c →=|a →|cos θ•b→|b →|=cos θ•b →，所以|b →⋅c →|＝|cos θ•b →•b →|＝|4cos θ|≤4，即C 正确； 选项D ，a →⋅c →=cos θ•a →•b →=a →•b →不恒成立，即D 错误．故选：AC ．11．如图（1）所示的摩天轮抽象成如图（2）所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x 轴，建立平面直角坐标系，设O 到地面的高OT 为lm ，点P 为转轮边缘上任意一点，点P 在x 轴上的垂足为M ，转轮半径为rm ，记以OP 为终边的角为αrad ，点P 离地面的高度为hm ，则（ ）A ．点P 坐标为（r cos α，r sin α）B ．|MT →|=√r 2+l 2 C ．OP →⋅OT →≤lrD ．h ＝l +r sin α解：选项A ，因为|OP |＝r ，∠POx ＝α，所以点P （r cos α，r sin α），即A 正确； 选项B ，因为PM ⊥x 轴于点M ，所以M （r cos α，0），而T （0，﹣l ），所以MT →=（﹣r cos α，﹣l ），所以|MT →|=√r 2cos 2α+l 2，即B 错误；选项C ，OP →⋅OT →=（r cos α，r sin α）•（0，﹣l ）＝﹣lr sin α≤lr ，当且仅当sin α＝﹣1时，等号成立，即C 正确；选项D ，当α的终边在第一、二象限或y 轴正半轴上时，|MP |＝r sin α，此时h ＝|OT |+|MP |＝l +r sin α； 当α的终边在第三、四象限或y 轴负半轴上时，|MP |＝﹣r sin α，此时h ＝|OT |﹣|MP |＝l +r sin α； 当α的终边在x 轴上时，sin α＝0，此时h ＝|OT |＝l +r sin α， 综上，不管α的终边在何处，都有h ＝l +r sin α，即D 正确． 故选：ACD ．12．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B （其中A ，ω，φ，B 均为常数，A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则（ ）A ．φ=910π B ．f(x)≤f(43π)C ．f （x ）图象的对称中心为(56kπ−π12，32)(k ∈Z) D ．函数f(x +43π)为偶函数解：由函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B 的部分图象知，{A +B =3−A +B =0，解得A ＝B =32，由T 2=π2−（−π3）=5π6，解得T =5π3，所以ω=2πT =65， 当x =−π3时，f （x ）=32sin[65×（−π3）+φ]+32=3，所以−2π5+φ=π2+2k π，k ∈Z ； 解得φ=9π10+2k π，k ∈Z ； 又因为|φ|＜π，所以φ=9π10，选项A 正确； 由f （x ）=32sin （65x +9π10）+32，计算f （4π3）=32sin （65×4π3+9π10）+32=3，所以f （x ）≤f （4π3），选项B 正确；令65x +9π10=k π，k ∈Z ，解得x =56k π−3π4，k ∈Z ；所以f （x ）图象的对称中心为（56k π−3π4，32），k ∈Z ；选项C 错误；因为f （x +4π3）=32sin[65（x +4π3）+9π10]+32=32cos 65x +32，所以函数f （x +43）为偶函数，选项D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．记cos （﹣55°）＝k ，那么tan125°＝ −√1−k 2k．解：∵cos （﹣55°）＝cos55°＝k ，且sin55°＞0， ∴sin55°=√1−cos 255°=√1−k 2，∴tan55°=sin55°cos55°=√1−k2k ，那么tan125°＝tan （180°﹣55°）＝﹣tan55°=−√1−k 2k．故答案为：−√1−k 2k．14．写出一个最小正周期为6的奇函数f （x ）＝ sin π3x （答案不唯一） ． 解：根据题意，要求函数是最小正周期为6的奇函数， 可以考查三角函数，则该函数可以为f （x ）＝sin π3x ，故答案为：sin π3x （答案不唯一）．15．设函数f(x)=cos(ωx −π4)(ω＞0)，若f(x)≤f(π3)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值是 34．解：函数f(x)=cos(ωx −π4)(ω＞0)，且f(x)≤f(π3)对任意的实数x 都成立， ∴ω•π3−π4=2k π，k ∈Z ，解得ω＝6k +34，k ∈Z ；又ω＞0，∴ω的最小值为34． 故答案为：34．16．已知平面向量a →，b →，c →满足，|a →|=|b →|=3，|b →−c →|=2|a →−c →|=6，c →=λa →+μb →(λ＞0，μ＞0)．当λ+μ＝3时，|c →|= 3√3 ． 解：如图，作OA →=a →，OB →=b →，OC →=c →，由题意知，|b →−c →|=6，|a →−c →|＝3，则OA ＝OB ＝3，CA ＝3，CB ＝6， 设直线OC 与直线AB 交点为P ，则OP →∥OC →，且OP →=1OA +(1−t)OB →，t ≠0， 即OA →=1t OP →+t−1t OB →，因为c →=λa →+μb →(λ＞0，μ＞0)，且λ+μ＝3，所以OC →=λOA →+(3−λ)OB →=λ(1t OP →+t−1t )+(3−λ)OB →=λt OP →+(3−λ−λt +λ)OB →=λt OP →+(3−λt )OB →，3−λt =0，即λt=3，所以OC →=3OD →，作OG ⊥AB 于G ，CH ⊥AB 于H ，则△OGP 与△CHP 相似，且相似比为1：2， 所以CH ＝2OG ．设∠OBA ＝θ，则BG ＝3cos θ，OG ＝3sin θ，又OA ＝OB ， 所以AG ＝BG ＝3cos θ，所以CH ＝2OG ＝6sin θ．又6cos θ＝3cos θ+3cos θ＝AG +BG ＝AB ，所以AH ＝0，即点H 与点A 重合，故∠BAC =π2， 所以AB =6cosθ=√BC 2−AC 2=√36−9=3√3，故cosθ=√32，sinθ=12，又△OGP 与△CAP 相似，且相似比为1：2， 于是GP =13AG =cosθ=√32 OG =3sinθ=32， 所以在Rt △OGP 中，OP =√GP 2+OG 2=√3，从而OC =3√3，故|c|=3√3． 故答案为：3√3．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）写出两角差的余弦公式，并利用单位圆以及向量的数量积证明该公式．证明：公式：cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β，由图知，P （cos α，sin α），Q （cos β，sin β），OP →⋅OQ →=(cosα，sinα)⋅(cosβ，sinβ)=cos αcos β+sin αsin β， 又存在k ∈Z ，使得＜OP →，OQ →＞=β−α+2kπ， 所以cos ＜OP →，OQ →＞=cos(α−β)， 因为|OP →|=|OQ →|=1，所以OP →⋅OQ →=|OP →||OQ →|cos ＜OP →，OQ →＞=cos （α﹣β）， 所以cos （α﹣β）＝cos αcos β+sin αsin β．18．（12分）在如图的方格纸（每个小方格边长为1）上有A ，B ，C 三点，已知向量a →以A 为始点． （1）试以B 为始点画出向量b →，使b →⋅a →=2，且|b →|=√2，并求向量b →的坐标； （2）在（1）的条件下，求(a →+b →)⋅BC →．解：（1）由图知，向量a →=（2，0），设b →=（x ，y ）， ∵b →⋅a →=2，∴2x ＝2，x ＝1，∵|b →|=√2，∴1+y 2＝2，∴y ＝±1， 则b →=(1，±1)， 如图，这两个向量b →均满足题意；（2）①若b →=(1，1)，则a →+b →=(3，1)，BC →=(3，−1)，∴(a →+b →)⋅BC →=8， ②若b →=(1，−1)，则a →+b →=(3，−1)，BC →=(3，−1)，∴(a →+b →)⋅BC →=10， 综上，(a →+b →)⋅BC →=8或(a →+b →)⋅BC →=10．19．（12分）已知向量a →=(cosθ，sinθ)，b →=(−1，√3)，−π2≤θ≤π3． （1）当a →⊥b →时，求θ的值； （2）求|a →−b →|的取值范围．解：（1）因为a →⊥b →，所以a →⋅b →=√3sinθ−cosθ=0，得tanθ=√33，又因为−π2≤θ≤π3，所以θ=π6． （2）|a →−b →|=√|a →|2−2a →⋅b →+|b →|2=√1−2(√3sinθ−cosθ)+4=√5−4sin(θ−π6)，因为−π2≤θ≤π3，所以−2π3≤θ−π6≤π6， 所以−1≤sin(θ−π6)≤12， 所以3≤5−4sin(θ−π6)≤9， 所以√3≤|a →−b →|≤3， 故|a →−b →|的取值范围为[√3，3]．20．（12分）某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将如表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求出函数f （x ）的解析式；（2）先将y ＝f （x ）图象上的所有点，向左平移m （m ＞0）个单位，再把图象上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到y ＝g （x ）的图象，若y ＝g （x ）的图象关于直线x =5π24对称，求当m 取得最小值时，函数y ＝g （x ）的单调递增区间． 解：（1）根据表中数据，得A ＝2，T =4(5π6−7π12)=π，∴ω＝2， 当x =7π12时，2x +φ＝π，解得φ=−π6，∴f(x)=2sin(2x −π6)． 数据补充完整如下表：（2）将f （x ）图象上所有的点向左平移m （m ＞0）个单位长度，得到y =2sin[2(x +m)−π6]的图象，再把所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到y ＝g （x ）的图象，∴g(x)=2sin(4x +2m −π6)；∵y ＝g （x ）的图象关于直线x =5π24对称，则x =5π24时，函数取得最值， ∴4×5π24+2m −π6=kπ+π2，k ∈Z ，∴m =kπ2−π12，k ∈Z ， ∵m ＞0，k ＝1时，m min =5π12，此时g(x)=2sin(4x +2π3)， 由2kπ−π2≤4x +2π3≤2kπ+π2，k ∈Z ，可得kπ2−7π24≤x ≤kπ2−π24，k ∈Z ，∴函数y ＝g （x ）的单调递增区间为[kπ2−7π24，kπ2−π24]，k ∈Z ． 21．（12分）如图，在梯形ABCD 中，AD →=13BC →．（1）令AB →=a →，AC →=b →，用a →，b →表示AD →，BD →，CD →； （2）若AB ＝AD ＝2，且AC →⋅BD →=12，求cos ∠ABC ，|AC →|．解：（1）∵AB →=a →，AC →=b →，∴BC →=AC →−AB →=b →−a →则AD →=13BC →=13(b →−a →)=，可得CD →=BD →−BC →=13b →−43a →−(b →−a →)=−13a →−23b →；（2）∵AD →=13BC →，AD ＝2，∴BC ＝6，由AC →⋅BD →=(BC →−BA →)⋅(BA →+13BC →)=−BA →2+23BA →⋅BC →+13BC →2=12，得−22+23×6×2×cos∠ABC +13×62=12，解得cos ∠ABC =12； ∵|BA →|=2，|BC →|=6，且AC →=BC →−BA →，∴|AC →|2=|BC →−BA →|2=|BC →|2+|BA →|2−2BC →⋅BA →=4+36−2×2×6×12=28， 可得|AC →|=2√7．22．（12分）定义函数f （x ）＝a sin x +b cos x 的“积向量”为m →=(a ，b)，向量m →=(a ，b)的“积函数”为f （x ）＝a sin x +b cos x ． （1）若向量m →=(a ，b)的“积函数”f （x ）满足f(π7)f(9π14)=tan10π21，求ba的值；（2）已知|m →|=|n →|=2，设OP →=λm →+μn →(λ＞0，μ＞0)，且OP →的“积函数”为g （x ），其最大值为t ，求（t ﹣2）（λ+μ）的最小值，并判断此时m →，n →的关系．解：（1）若向量m →=(a ，b)的“积函数”f （x ）满足f(π7)f(9π14)=tan10π21，则f （x ）＝a sin x +b cos x ， f （π7）＝a sin π7+b cos π7，f （9π14）＝a sin9π14+b cos9π14=a cos π7−b sin π7，所以f(π7)f(9π14)=asin π7+bcosπ7acos π7−bsinπ7=b a +tan π71−b a ⋅tan π7， 可令tan θ=b a ，f(π7)f(9π14)=tan10π21，即为tan （θ+π7）＝tan10π21，则θ+π7=k π+10π21，即θ＝k π+π3，k ∈Z ， 所以tan θ＝tan π3=√3，即ba =√3；（2）设m →=(2cosα，2sinα)，n →=(2cosβ，2sinβ)，因为OP →=λm →+μn →=(2(λcosα+μcosβ)，2(λsinα+μsinβ))， 所以g （x ）＝2（λcos α+μcos β）sin x +2（λsin α+μsin β）cos x＝2λ（cos αsin x +sin αcos x ）+2μ（cos βsin x +sin βcos x ）＝2λsin （x +α）+2μsin （x +β）， h （x ）＝2λsin （x +α）+2μsin （x +β）≤2λ+2μ， 当且仅当存在x 0使得{x 0+α=2k 1π+π2x 0+β=2k 2π+π2时，等号成立，其中k 1，k 2∈Z ，所以α﹣β＝2（k 1﹣k 2）π，即m →=n →，所以α＝β+2k π，k ∈Z ，所以h （x ）＝2λsin （x +α）+2μsin （x +β）＝2（λ+μ）sin （x +α）≤2（λ+μ）， 所以t ＝2（λ+μ），此时(t −2)(λ+μ)=t(t−2)2=(t−1)22−12，所以当t ＝1时，（t ﹣1）（λ+μ）的最小值为−12．。