2022届山东省潍坊市高三下学期高中学科核心素养测评数学试题(解析版)

2022-2023学年山东省潍坊市高三（下）学科核心素养测评化学试卷1. 化学与社会、生产、生活密切相关。

下列说法错误的是( )A. 久置的红薯变甜，是因为葡萄糖发生了水解B. 电热水器用镁棒防止金属内胆腐蚀，原理是牺牲阳极保护法C. 第五形态的碳单质“碳纳米泡沫”，与石墨烯互为同素异形体D. 用太阳能光催化分解水代替电解水制氢气有利于节能环保2. 下列物质应用错误的是( )A. 溶液用作水果的保鲜剂B. 苯甲酸及其钠盐用作食品防腐剂C. 用作生活用水的消毒剂D. 用热NaOH溶液洗去铁表面沾有的柴油3. 下列实验装置或操作正确的是( )A. 用图1装置测定中和反应的反应热B. 用图2装置测定化学反应速率C. 用图3装置分离乙醚和苯D. 用图4装置振荡萃取、静置分层后，打开分液漏斗上方的玻璃塞再进行分液4. 是阿伏加德罗常数的值。

下列说法正确的是( )A.中含有键的数目为B.、101kPa下，中含有的原子数为C.标准状况下，与水充分反应转移的电子数目为D.时，的溶液中含有的数目为5. 某种天然沸石的化学式为，其中元素X、Y、Z、R、W原子序数依次增大，且占据四个不同周期。

Y在地壳中含量最高，在该化合物中R显示其最高价态，基态W原子的核外电子恰好填满10个原子轨道。

下列说法错误的是( )A. 简单离子半径：B. 第一电离能：C. 最简单氢化物稳定性：D. 氯化物熔点：6. 下列实验操作能达到实验目的的是( )A. 向溶液中加入硝酸酸化的氯化钡溶液，检验溶液中的B. 向沸水中逐滴加入饱和氯化铁溶液并继续加热搅拌制备氢氧化铁胶体C. 除去NaCl固体中的少量，将固体溶解后蒸发结晶、趁热过滤、洗涤干燥D. 将固体溶解于盛有适量蒸馏水的烧杯中，经转移、洗涤、定容和摇匀，配制一定浓度的溶液7. 是合成头孢克罗的关键中间体，其结构如图所示。

下列说法正确的是( )A.该化合物的化学式为 B. 分子中有5种不同化学环境的氢原子C. 分子中含有3个手性碳原子D. 不存在分子中含有苯环的同分异构体8. pH计的工作原理如图所示是通过测定电池电动势即玻璃电极和参比电极的电势差而确定待测溶液的pH。

2022年潍坊市高中学科核心素养测评高三英语考前须知：1 .答题前，考生务必将自己的姓名、座号、考号填写在答题卡和试卷指定位置上。

2 .回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一局部阅读（共两节，总分值50分）第一节（共15小题；每题2.5分，总分值37.5分）阅读以下短文，从每题所给的A、B、C、D四个选项中选出最正确选项。

AWinter sports arc constantly evolving and new sports activities arc regularly being created. This makes sure your next holiday in the snow is an unforgettable experience.Snow bikingThe snowbike — a cross between a bicycle and skis — guarantees pure fun and a unique skiing experience for snow fans above six. Snowbikes can be used on well-cared-for slopes （斜坡）and riders navigate the slopes with the additional help of short foot skis. And it can be ridden without the rider having previous experience.FreeridingThere is no other winter sport that gets you closer to nature. Due to the truly unaffected character of the slopes, snow and weather conditions have to be taken into special consideration when freeriding. Therefore, it is very important to be accompanied by a professional guide who knows the skiing area inside out and who is able to correctly assess the weather conditions.SnowshoeingSnowshoeing is the perfect activity for those who want to explore the untouched winter landscape. The snowshoes distribute the weight of the person carrying them over a larger area so that the feet only sink lightly into the snow. Handling snowshoes is easy and docs not require any previous experience: Simply fasten your snowshoes, pick up your sticks and off you go!SnowtubingSnowtubing is an activity for winter fans of all ages and involves sliding down a snowtubing slope in a rubber tire. Snowtubing tracks are often located close to a ski lift. This gives the tuber the opportunity to immediately go back up the mountain after the ride. The activity is the perfect and fun end to a day of skiing.Relieve your joints. There is something called hyaluronic acid （玻尿酸）in your joints. You might have heard of itbeing put into skin creams before. It holds a lot of moisture and is used to relieve dry eye as well as improve the skin,remove wrinkles, make joints healthy. 17Maximise your exercise. While it's clear that living healthily and exercising may only bring minor life extension, exercise helps with a wide range of longevity pathways. It seems that resistance exercise is the best for health and longevity. But remember, you don't have to lift heavy weights if you don't want to. 18 We recommend using resistance bands as they are personalised based on your current performance.Sleep better. Sleep is an essential time for our bodily repair. 19 Watching TV late at night, sleeping in a room where there is too much light, and not having a night time routine can all affect sleep.Improve your memory. 20 Fasting for more than 48 hours has been shown to activate something called autophagy（自体吞噬），which is where the body gets rid of cells it no longer needs making room for new ones. If you prefer not to fast, you can lake an ingredient called spermidine （亚精胺）instead. Il is an element found naturally in wheatgerm, and is proven to improve brain performance.A. A can of beans is sometimes enough!B.It even shows promise for fighting cancer.C.The only danger lies in not sleeping enough.D.Protecting your brain is obviously very important.E.When it is disturbed, particularly for extended periods, our bodies suffer.F.Within a couple of decades this technology should be available to humans.G.In 20 years we may have some science fiction style time machines for our bodies.【16~20题答案】【答案】16. F 17. B 18. A 19. E 20. D【解析】【导语】这是一篇说明文。

高三数学2021.12本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，设全集U=N ，集合{}{}1,3,5,7,9,06A B x Z x ==∈<<，则图中阴影部分表示的集合为 A ．{2，4}B ．{7，9}C ．{1，3，5}D ．{1，2，3，4，5}2．命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是 A ．所有奇数的立方都不是奇数 B ．存在一个奇数，它的立方是偶数 C ．不存在一个奇数，它的立方是偶数 D ．不存在一个奇数，它的立方是奇数3．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则2z = A ．zB ．zC ．2zD ．z -4．为了鼓励学生积极锻炼身体，强健体魄，某学校决定每学期对体育成绩在年级前100名的学生给予专项奖励．已知该校高三年级共有500名学生，如图是该年级学生本学期体育测试成绩的频率分布直方图．据此估计，能够获得该项奖励的高三学生的最低分数为 A ．89 B ．88 C ．87D ．865．函数()11cos y x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭的部分图象大致为6．根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，室内某污染物的浓度≤0.1mg ／m 3为安全范(单位：mg ／m 3)与竣工后保持良好通风的时间()t t N *∈ (单位：周)近似满足函数关系式()3at b t ρ+=，若竣工1周后该污染物浓度为6.25mg ／m 3，3周后室内该污染物浓度为2.25mg／m 3，则要达到安全使用标准，该建筑物室内至少需要通风放置的时间为(参考数据：7893330.0280.0170.010555⎛⎫⎛⎫⎛⎫≈≈≈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，) A ．8周 B ．9周 C ．10周 D ．11周7．五角星是指有五只尖角、并以五条直线画成的星星图形，有许多国家的国旗设计都包含五角星，如中华人民共和国国旗．如图在正五角星中，每个角的角尖为36°，则下列说法正确的是 A ．0CH ID +=B ．//AB FEC ．2AF FG HG +=D ．=AF AB AJ +8．牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，该方法不直接给出球体的体积，而是先计算牟合方盖的体积．刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积关系为4=V V π牟球，并且推理出了“牟合方盖”的八分之一的体积计算公式，即3=8V r V -牟方盖差，从而计算出34=3V r π球．如果记所有棱长都为r 的正四棱锥的体积为V ，则V V =方盖差:A ．22B ．1C ．2D ．22二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．不透明的口袋内装有红色和绿色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有 A ．2张卡片都不是红色 B ．2张卡片恰有一张红色 C ．2张卡片至少有一张红色 D ．2张卡片至多有一张红色 10．已知直线,m n ，平面,αβ，且,m n αβ⊂⊂，则下列说法正确的是 A ．若m n ⊥，则αβ⊥ B ．若//αβ，则//m β C ．若m β⊥，则αβ⊥D ．若m ∥n ，则//αβ11．设,,x y z 为正实数，且235log log log 0x y z ==>，则下列关系式可能成立的是A.235x y z== B.352y z x << C. 532z y x <<D. 235x y z <<12．已知函数()f x 的定义域为(0，+∞)，且对任意()()()0,,22x f x f x ∈+∞=恒成立；若A ．(]2,4x ∈时，()4f x x =-B ．对任意m ∈Z ，有()20m f =C ．存在n Z ∈，使得()219n f +=D ．“函数()f x 在区间(),a b 上单调递减”的充要条件是“存在k Z ∈，使得()()1,2,2k k a b +⊆” 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 13．()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为_________．(用数字作答)14．请写出同时满足以下条件的一个函数：_________． ①该函数的定义域是R ，且其图象是一条连续不断的曲线； ②该函数是偶函数； ③该函数恰有2个零点． 15．已知2sin 63πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． 16．纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸．现在我国采用国际标准，规定以A0，A1，A2，B1，B2，……等标记来表示纸张的幅面规格．复印纸幅面规格只采用A 系列和B 系列，其中An(n ∈N ，n ≤8)系列的幅面规格为：①A0，A1，A2，……，A8所有规格的纸张的幅宽(以x 表示)和长度(以y 表示)的比例关系都为:1:2x y =；②将A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，……，如此对开至A8规格．现有A0，A1，A2，……，A8纸各一张．若A4纸的宽度为2dm ，则A0纸的面积为________dm 2；这9张纸的面积之和等于___________dm 2．(第一空3分，第二空2分)四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知函数()()()sin 0,02f x x ωϕωϕπ=+><<在一个周期内的部分对应值如下表：(1)求()f x 的解析式；(2)求函数()()2sin g x f x x =+的最小值．18．(12分) 已知数列{}n a 满足1231233,nnn n N a a a a *+++⋅⋅⋅+=+∈． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令,2,nn n a a n b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．19．(12分)如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，且13AD DB =． 记,ACD BCD αβ∠=∠=． (1)求证：3sin sin AC BC αβ⋅=⋅； (2)若,,1962AB ππαβ===，求BC 的长．20．(12分)2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会”，将在2022年02月04日~2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上项目．下表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表：2022年北京冬奥会赛程表(第七版，发布自2020年11月)说明：“*”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛．(1)(i)若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰球和跳台滑雪的概率； (ii)若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛不在同一赛区的概率； (2)若在2月6日(星期日)的所有决赛中观看三场，记X 为赛区的个数，求X 的分布列及期望E(X)．21．(12分)已知圆柱1OO 的底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面．一动点从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面ABCD 绕着轴1OO 逆时针旋转()0θθπ<<后，边11B C 与曲线Γ相交于点P ．(1)当2πθ=时，证明：平面APB ⊥平面1111A B C D ；(2)是否存在θ，使得二面角D —AB —P 的大小为4π?若存在，求出线段BP 的长度；若不存在，请说明理由．22．(12分)已知函数()()x f x e ax a R =-∈．(1)若函数()0f x ≥在()0,+∞恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若()()2g x f x ax ax =+-在区间(0，+∞)上存在极大值M ，试判断M 与a 的大小，并说明理由．。

2022届山东省潍坊市高三上学期学核心素养测评数学试题一、单选题1．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80％分位数为（ ） A ．7 B ．7．2 C ．7．5 D ．8【答案】D【分析】根据百分位数的定义计算即可得出答案．【详解】解：因为980%7.2⨯=，所以第80％分位数为第8个数， 故数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的第80百分位数为8. 故选：D ．2．已知集合{}{}21,1,,A m B a a A =-=∈．若A B 中有两个元素，则实数m 的不同取值个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】由A B 中有两个元素，得到21m mm ⎧=⎨≠⎩，由此能求出实数m 的不同取值个数．【详解】解：集合{1A =-，1，}m ，2{|}{1B a a A =∈=，2}m ，A B 中有两个元素，∴21m m m ⎧=⎨≠⎩，解得0m =， ∴实数m 的不同取值个数为1． 故选：B ．3．塔里木河为中国第一大内流河，全长2179千米，由发源于天山的阿克苏河，发源于昆仑山的叶尔羌河，和田河汇流而成．塔里木河自西向东蜿蜒于塔里木盆地北部，上游地区大多流经起伏不平的戈壁荒漠，所以河水的含沙量大，很不稳定，被称为“无缰的野马”．已知阿克苏河，和田河和叶尔羌河的含沙量和流量比(见表)，则塔里木河河水的含沙量约为（ ）A ．3.333kg/m 3B ．4.060kg/m 3C ．4.992 kg/m 3D ．5.637 kg/m 3【答案】C【分析】根据平均数的运算公式进行求解即可.【详解】塔里木河河水的含沙量约为:0.7 3.860.29.850.1 3.2 4.992⨯+⨯+⨯=， 故选：C4．在平面直角坐标系xOy 中，若角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴的正半轴上，且终边经过点()1,2P -，则()sin 1sin 2sin cos αααα+=+（ ）A ．65-B ．25- C ．25D ．65【答案】C【分析】根据三角函数的定义求得三角函数值，再结合二倍角公式，即可求得答案. 【详解】若角α的终边经过点()1,2P -,则1,2,||x y r OP =-===，所以sin y x r r αα==== ，则4sin 22sin cos 5ααα==- ， 故()4(1)5sin 1sin 22sin cos 5αααα-+==+， 故选：C.5．在Rt △ABC 中，BC =1，斜边AB =2，点P 满足2AB PC =，则PC PA ⋅=（ ） A ．12-B ．12C． D【答案】A【分析】如图建立直角坐标系，则(1,0),(0,0)A B C ，然后由2AB PC =求出点P 的坐标，从而可求出PC PA ⋅的值【详解】如图建立直角坐标系，则(1,0),(0,0)A B C ，所以(1,AB =，设(,)P x y ，则(,)PC x y =--，因为2AB PC =，所以(1,2(,)x y =--，解得1,2x y =-，所以12P ⎛- ⎝⎭，所以1313,,,2222PC PA ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以131442PC PA ⋅=-=-， 故选：A6．2020年1月11日，被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜通过国家验收正式开放运行，成为全球口径最大且最灵敏的射电望远镜(简称FAST)．FAST 的反射面的形状为球冠．球冠是球面被平面所截得的一部分，截得的圆为球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段为球冠的高．某科技馆制作了一个FAST 模型，其口径为5米，反射面总面积为8π平方米，若模型的厚度忽略不计，则该球冠模型的高为（ ）(注：球冠表面积2S Rh π=，其中R 是球的半径，h 是球冠的高)A 7B 7米C 7D 7 【答案】B【分析】作出轴截面图形，可以球的几何性质以及球冠的表面积，列出方程组，求解即可．【详解】如图所示为球的轴截面图像，ACD 部分为该球冠的轴截面，AD 是弦，OC 是球的半径，点B 为AD 的中点，则OC AD ⊥于点B ，由题意可得，OC OA R ==，BC h =，5AD =， 所以OB R h =-， 2.5AB =，在OAB 中，由勾股定理可得2225()()2R R h =-+①， 又由球冠的表面积可得，28Rh ππ=②， 由①②可得，7h =7米． 故选：B ． 7．已知函数()1f x x a x=++．若存在相异的两个实数()12,,0x x ∈-∞，使得()()12f x f x =成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞B ．2⎛-∞ ⎝⎭C ．(1,)+∞D ．2()+∞ 【答案】C【分析】化简函数的解析式为()1,1,x a x a xf x x a x a x⎧++≥-⎪⎪=⎨⎪--<-⎪⎩，分类讨论，结合导数求得函数的单调性，根据函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数()1,11,x a x a xf x x a x x a x a x⎧++≥-⎪⎪=++=⎨⎪--<-⎪⎩，①当0,0a x =<时，()1f x x x =-，可得()2110f x x'=--<， 此时函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，不成立，舍去；②当0,0<<a x 时，()1f x x a x =--，可得()2110f x x'=--<， 此时函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，不成立，舍去； ③当0,0><a x 时，()1,1,0x a x a xf x x a a x x⎧--<-⎪⎪=⎨⎪++-≤<⎪⎩，若x a <-时，()2110f x x '=--<，此时()f x 在(,)a -∞-上单调递减； 若0a x -≤<时，()211f x x '=-，令()0f x '=，解得1x =±， 所以()1f x x a x=++在(,1)-∞-上单调递增，在(1,0)-上单调递减， 若1a -<-时，即1a >时，函数()f x 在(,)a -∞-和(1,0)-上单调递减， 在(,1)a --上单调递增，，对任意0[,1]x a ∈--，都有()()0f x f a >-成立，所以当1a >时，存在相异的两个实数()12,,0x x ∈-∞，使得()()12f x f x =成立， 所以实数a 的取值范围为(1,)+∞. 故选：C.8．设数列()()22121n n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则（ ）A ．25<S 100<25.5B ．25.5<S 100<26C ．26<S 100<27D ．27<S 100<27.5【答案】A【分析】利用裂项相消法，来求前n 项和公式，再求前100项的和即可． 【详解】由22214(21)(21)441n n n n n =⋅-+-211(1)441n =+-111[1()]42(21)(21)n n =+-+1111()482121n n =+--+，∴11111111(1)(1)(1)48335212148212(21)n n n n n S n n n n +=+-+-+⋅⋅⋅+-=+-=-+++， ∴10010010125.122(21001)S ⨯=≈⨯+， 故选：A ． 二、多选题9．16世纪英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若0a b ab <≠且，则下列结论成立的是（ ）A ．33a b <B ．11a b> C ．a a b b < D ．23a b <【答案】AC【分析】利用不等式的性质，逐项判断即可．【详解】解：对于A ，由a b <，可得33a b <，故A 正确； 对于B ，由a b <，当0ab <时，可得11b a>，故B 错误； 对于C ，由a b <，当0ab <时，可得||0a a <，||0b b >，可得||||a a b b <，当0a >，0b >时，可得||||a a b b <，当0a b <<时，||||a b >，可得||||a a b b <，故C 正确； 对于D ，当3a =-，2b =-时，a b <，3211223389a b --==>==，故D 错误． 故选：AC ．10．已知函数()()tan 206f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．若()f x 的最小正周期是2π，则12ω=B ．当1ω=时，()f x 的一个对称中心为,03π⎛⎫⎪⎝⎭C ．当1ω=时，()()π2π125f f ->D ．若()f x 在区间,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ω的取值范围为10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】BCD【分析】A 中，根据正切函数的最小正周期公式求出ω的值；B 中，根据正切函数的对称中心判断即可；C 中，根据三角函数诱导公式和正切函数的单调性，判断大小即可；D 中，根据正切函数的单调区间列出不等式组求得ω的取值范围． 【详解】对于A.若函数()f x 的最小正周期是2π，则22πωπ= ，解得14ω=，所以选项A 错误；对于B ，1ω=时，函数tan(2)6f x x π-（）＝，则2tan()0336f πππ-=（）＝，所以(,0)3π是f （x ）的一个对称中心，选项B 正确；对于C, 1ω=时，函数tan(2)6f x x π-（）＝，且()tan()tan 1233f πππ-=-=-，21911()tan tan 53030f πππ==-， 由11tantan330ππ< ，得11tan tan 330ππ->-，所以2()()125f f ππ->，选项C 正确； 对于D ，令2,262k x k k Z ππππωπ-+<-<+∈，,6232k k x k Z ππππωωωω-+<<+∈，因为f (x )在区间()3ππ,上单调递增,所以623,32k k Z k πππωωπππωω⎧-+≥⎪⎪∈⎨⎪≤+⎪⎩，解得32316k k ω+-≤≤ ，又ω＞0，所以103ω<≤，即ω 的取值范围是1(0,]3，选项D 正确．故选：BCD ．11．设()f x 是定义在R 上的函数，若()2f x x +是奇函数，()f x x -是偶函数，函数()()[]()(),0,1,21,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，，则下列说法正确的是（ ）A ．当[]2,3x ∈时，()()()223g x x x =---B ．()32122k k g k N -+-⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭C ．若()2g m ≥，则实数m 的最小值为72D ．若()()()2h x g x k x =--有三个零点，则实数16k =-【答案】BC【分析】由已知条件可得2()f x x x =-，再由()()[]()(),0,1,21,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，可求出()g x 的解析式，从而可画出()g x 的图象，然后利用图象分析判断【详解】因为()2f x x +是奇函数，()f x x -是偶函数，所以22()()()()f x x f x x f x x f x x ⎧-+=--⎨-+=-⎩，解得2()f x x x =-，由()()[]()(),0,1,21,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，得， 当(1,2)x ∈时，()2(1)g x g x =-，则1(0,1)x -∈， 所以()2(1)2(1)g x g x f x =-=-，同理，当(2,3)x ∈时，()2(1)4(2)4(2)g x g x g x f x =-=-=-， 以此类推，可得到()g x 的图象如下图所示，对于A ，根据上述规律，当(2,3)x ∈时，2()4(2)4[2(2)]4(2)(3)g x f x x x x x =-=---=---，所以A 错误，对于B ，根据图象，*21()2k k N -∈刚好是相邻两个自然数中间的数，则*21()2k g k N -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭刚好是每一段图象中的极大值，代入函数解析式得()32122k k g k N -+-⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，所以B 正确，对于C ，根据图象，当(3,4)x ∈时，2()8(712)g x x x =-+-，7()22g =，由图可得C 是正确的，对于D ，()()(2)h x g x k x =--有三个零点，等价于函数()g x 与函数(2)y k x =-有三个不同的交点，设11(2,0),,24A B ⎛⎫⎪⎝⎭，则函数(2)y k x =-的图象恒过点(2,0)A 的直线，如图所示，当函数(2)y k x =-与()g x 的图象相切时，有三个交点，相切时斜率k 小于直线AB 的斜率，直线AB 的斜率为10141622-=--，所以()()(2)h x g x k x =--有三个零点时，16k <-，所以D 错误， 故选：BC【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，解题的关键是根据题意求出()g x 的解析式，画出()g x 的图象，根据函数图象分析求解，考查数学结合的思想，属于较难题12．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，4,AB BC CD DA ====AC BD ==E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，AD 的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．过点E ，F ，G 作四面体ABCD 的截面，则该截面的面积为2B ．四面体ABCDC ．AC 与BD 的公垂线段的长为D ．过E 作球O 的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4 【答案】ACD【分析】A 选项，找到过点E ，F ，G 的四面体ABCD 的截面，证明出是正方形，求出边长和面积；B 选项，分割法求解四面体体积；C 选项，找到AC 与BD 的公垂线，求出长度；D 选项，先找到球心的位置，然后再得到过点E 作面积最小的截面是以E 为圆心，BE =2为半径的圆，面积最大的截面是过点O ，E 的大圆，求出两圆面积之比. 【详解】A 选项，取AB 中点H ，连接EH ，GH ，因为点E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，GH ∥BD ，FG ∥AC ，EH ∥AC ，所以四边形EFGH 是平行四边形，故平行四边形EFGH 即为过点E ，F ，G 做四面体ABCD 的截面，取AC 中点Q ，连接QB ，QD ，因为4AB BC CD DA ====，由三线合一得：DQ ⊥AC ，BQ ⊥AC ，又DQBQ Q =，所以AC ⊥平面BDQ ，因为BD ⊂平面BDQ ，所以AC ⊥BD ，从而EF ⊥EH ，因为AC BD ==EF EH ==EFGH 是正方形，面积为22=，A 正确；B 选项，由勾股定理得：DQ 同理得：BQ =取BD 中点M ，连接QM ，由三线合一得：QM ⊥BD ，所以BM 由勾股定理得：QM ==故12BDQSBD QM =⋅=1133C BDQ BDQV S CQ -=⋅=⨯=，2A BCD C BDQ V V --==B 错误；C 选项，连接MA ，MC ，由勾股定理得：2214CM DC DM =-=，同理可得：14AM =，由由三线合一得：QM ⊥AC ，结合B 选项求得的QM ⊥BD ，可得：QM 为AC 与BD 的公垂线段，23QM =，故AC 与BD 的公垂线段的长为23，C 正确；D 选项，取QM 的中点S ，则S 为球心O ，理由如下：因为QM ⊥BD ，MS 3235SB SD ==+=5SA SC ==S 为球心O 5OE ⊥BC ，所以过点E 作面积最小的截面是以E 为圆心，BE =2为半径的圆，面积最大的截面是过点O ，E 的大圆，所以2min π24πS =⋅=，2max π55πS =⋅=，所以过E 作球O 的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4，D 正确.故选：ACD【点睛】对于立体几何中求解截面面积问题，需要先结合图形特点，找到截面，再进行求解，寻找截面的方法，通常是由线线平行，得到截面是平行四边形或梯形. 三、填空题13．已知复数z 满足()2i 5i z ⋅-=，则z 的虚部为_________． 【答案】2-【分析】根据复数的四则运算结合共轭复数的定义得出z 的虚部. 【详解】()()()5i 2i 5i 12i 2i 2i 2i z +===-+--+，则12i z =--，即z 的虚部为2- 故答案为：2-14．对于项数为m (m ≥3)的有穷数列{}n a ，若存在项数为m +1的等比数列{}n b ，使得1k k k b a b +<<，其中k =1，2，…，m ，则称数列{}n b 为{}n a 的“等比分割数列”．已知数列7，14，38，60，则该数列的一个“等比分割数列”可以是_______．(写出满足条件的一个各项为整数的数列即可)【答案】6，12，24，48，96，⋯（答案不唯一） 【分析】根据题意写出一个满足条件的数列即可.【详解】取一个首项为6，公比为2的数列即满足1k k k b a b +<<，其中k =1，2，…，m ， 故答案为：6，12，24，48，96，15．已知()()()323012311,3nn n x x a a x a x a x a x n N n +++=++++⋅⋅⋅+∈≥且．若123134n a a a a +++⋅⋅⋅+=，则3a =_________．【答案】36【分析】先求出02a =，再根据条件123134n a a a a +++⋅⋅⋅+=求得n 的值，再利用二项式展开式的通项公式求得答案.【详解】对于()()()323012311,3nn n x x a a x a x a x a x n N n +++=++++⋅⋅⋅+∈≥且， 令0x = ，则02a = ；令1x = ，则()()3012311112134nn a a a a a +++=++++⋅⋅⋅+=+ ， 即2128,7n n == ，故30343371136a C C =+= ,故答案为：3616．设0a >，0b >，若关于x b 恰有三个不同的实数解1x 、2x 、3x ，且123x x x b <<=，则a b +的值为________． 【答案】144255.76【分析】分析可知，函数()f x 为偶函数，可得出()0b f ==然后分x a ≤、x a >、x a <-解方程()f x =a 、b 的方程组，解出这两个量的值，即可得解.【详解】设()f x =R ，()()f x f x -=，故函数()f x 为偶函数，所以，关于x 的方程()f x b =的三个实数解必关于数轴的坐标原点对称分布，必有()0b f ==()f x =.当x a ≤时，()f x = 当且仅当0x =时，等号成立；当x a >时，()f x =且当54x a =时，()f x =； 因为函数()f x 为R 上的偶函数，当x a <-时，()f x 单调递减，当54x a =-时，()f x =从而方程()f x =154x a =-，20x =，354x a =，由条件知354b x a ==，解得6425a =，165b =，因此，14425a b +=.故答案为：14425. 四、解答题17．已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等比数列；②数列{}1n S a +是等比数列；③212a a =． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】答案见解析【分析】先确定所选的条件，再根据数列的通项与前n 项和的关系，结合等比数列及前n 项和的函数特征进行运算分析即可得出结论.【详解】解：选①②作条件证明③： 设()110n n S a AqA -+=≠，则11n n S Aq a -=-，当1n =时，111a S A a ==-，所以12A a =，当2n ≥时，()211n n n n a S S Aq q --=-=-，因为{}n a 也是等比数列，所以()12A q Aq -=，解得2q ，所以212a a =．选①③作条件证明②：因为212a a =，{}n a 是等比数列，所以公比2q，所以()()11122112n n n a S a -==--，即112nn S a a +=，因为1112n n S a S a ++=+，所以{}1n S a +是等比数列．选②③作条件证明①： 设()110n n S a AqA -+=≠，则11n n S Aq a -=-，当1n =时，111a S A a ==-，所以12A a =，当2n ≥时，()211n n n n a S S Aq q --=-=-，因为212a a =，所以()1A q A -=，解得2q，所以当2n ≥时，()22111122n n n n n n a S S Aq q A a ----=-=-=⋅=⋅，又因为()122n na n a +=≥，且212a a =，所以{}n a 为等比数列．18．如图，在平面四边形ABCD 中，已知2,,623A B AB ππ∠=∠==，点E 在AB 上且AE =2BE ，2,73CED EC π∠==．(1)求sin BCE ∠的值； (2)求CED 的周长． 【答案】21 (2)737+【分析】（1）在BCE 中利用正弦定理求解即可，（2）在AED 中利用锐角三角函数的定义求出ED ，在CED 中利用余弦定理求出CD 的长，从而可求出CED 的周长 (1)由题知4AE =，2BE =，在BCE 中，由正弦定理得sin sin BE CEBCE B=∠，因为2π3B ∠=，2BE =，7CE 所以sin 321sin 7BE B BCE CE ⋅∠===． (2)因为23B CED π∠=∠=, 所以,33BCE BEC BEC DEA ππ∠+∠=∠+∠=，所以DEA BCE ∠=∠，所以2222127cos 1sin 1sin 17DEA DEA BCE ⎛⎫∠=-∠=-∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭在AED 中，因为2A π∠=，4AE =，所以27cos 27AE ED DEA ===∠在CED 中，由余弦定理得222cos 7CD CE DE CE DE CED =+-⋅⋅∠， 所以CED 的周长为7277737CE DE CD ++==+19．已知函数()sin f x ax x =，若函数()2f x x π=在处的切线斜率为2．(1)求实数a 的值； (2)求函数()()2+=xf xg x e 在区间[]1,π上的最小值． 【答案】(1)2a = (2)()2g e ππ=【分析】（1）求导，然后根据在切点处的导数等于切线斜率可得； （2）讨论函数在区间[]1,π上的单调性，然后可得. (1)()()sin cos f x a x x x '=+，sin cos 2222f a a ππππ⎛⎫⎛⎫'=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为函数()f x 在2x π=处的切线斜率为2，所以2a =．(2) ()()22sin 2x xf x x xg x e e ++==， ()()()()2sin 1cos sin 2sin cos sin 1x xx x x x x x x x x g x e e-+-⎡⎤+--⎣⎦'==， 因为()1,x π∈，所以sin 10x -≤，cos sin 0x x -<， 所以()0g x '<，()g x 在[]1,π上单调递减， 所以()g x 在[]1,x π∈上的最小值为()2g e ππ=． 20．如图，已知圆柱的上，下底面圆心分别为11,,P Q AAC C 是圆柱的轴截面，正方形ABCD 内接于下底面圆Q ，12,AB AA k ==．(1)当k 为何值时，点Q 在平面PBC 内的射影恰好是△PBC 的重心；(2)若[]2,4k ∈，当平面P AD 与平面PBC 所成的锐二面角最大时，求该锐二面角的余弦值．【答案】(1)2k =(2)35【分析】（1）作辅助线，找到Q 点在平面PBC 内的射影,然后利用重心的性质结合图形的几何性质计算，求得结果；（2）建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，求出相关向量的坐标，进而求得平面PAD 和平面PBC 的的法向量，根据向量的夹角公式求得结果.(1)取BC 中点E ，连结QE ，PE ，PQ ，则QE BC ⊥，PE BC ⊥，又QE PE E ⋂=，所以BC ⊥平面PQE ，过Q 作QF PE ⊥，交PE 于F ， 因为QF ⊂平面PQE ，所以BC QF ⊥， 又BC PE E ⋂=，所以QF ⊥平面PBC ， 即F 是Q 点在平面PBC 内的射影．因为F 恰好是PBC 的重心，所以3PE EF =， 在Rt PQE △中，112QE AB ==，223QE EF PE EF =⋅=， 所以3EF ，3PE =2(3)12PQ =-12AA所以当2k =Q 点在平面PBC 内的射影恰好是PBC 的重心． (2)以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，作1DM AA ∥，以DM 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()1,1,P k ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()2,0,0DA =，()1,1,DP k =，()1,1,PB k =-，()1,1,PC k =--．设平面PAD 的法向量()111,,m x y z =，则0,0,m DA m DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即111120,0,x x y kz =⎧⎨++=⎩取11z =，得()0,,1m k =-．设平面PBC 的法向量()222,,n x y z =，则0,0,n PB n PC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 即2222220,0,x y kz x y kz +-=⎧⎨-+-=⎩取21z =，得()0,,1n k =．222220112cos ,1111k k m n k k k -+-===-+++．因为24k ≤≤，所以当2k =时，上式取得最小值35，此时二面角最大，所以平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角最大时，其余弦值为35．21．2021年11月4日，第四届中国国际进口博览会在上海开幕，共计2900多家参展商参展，420多项新产品，新技术，新服务在本届进博会上亮相．某投资公司现从中选出20种新产品进行投资．为给下一年度投资提供决策依据，需了解年研发经费对年销售额的影响，该公司甲、乙两部门分别从这20种新产品中随机地选取10种产品，每种产品被甲、乙两部门是否选中相互独立．101ii x =∑101ii y =∑()10213i i x =-∑()10413i i x =-∑()10213i ii x y =-⋅∑65 75 205 8773 2016(1)求20种新产品中产品A 被甲部门或乙部门选中的概率；(2)甲部门对选取的10种产品的年研发经费i x （单位：万元）和年销售额()1,2,,10i y i =（单位：十万元）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．根据散点图现拟定y 关于x 的回归方程为()23y b x a =-+.求a 、b 的值（结果精确到0.1）；(3)甲、乙两部门同时选中了新产品A ，现用掷骰子的方式确定投资金额．若每次掷骰子点数大于2，则甲部门增加投资1万元，乙部门不增加投资；若点数小于3，则乙部门增加投资2万元，甲部门不增加投资，求两部门投资资金总和恰好为100万元的概率． 附：对于一组数据()11,v u 、()22,v u 、、(),n n v u ，其回归直线u v αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niii ni i v v u u v vβ==--=-∑∑，u v αβ=-，20162057.529877320520.5277-⨯=-⨯，2016657.51019877365 6.55567-⨯=-⨯.【答案】(1)34；(2)0.1b =， 5.4a =；(3)100311443⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭.【分析】（1）利用组合计数原理、古典概型的概率公式以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）令()23t x =-，计算出t 、y 的值，利用最小二乘法公式结合表格中的数据可求得a 、b 的值；（3）设投资资金总和恰好为n 万元的概率为n P ，则投资资金总和恰好为()1n +万元的概率为()1121233n n n P P P n +-=+≥，推导出数列{}1n n P P +-是首项为19，公比为13-的等比数列，利用累加法可求得100P 的值., (1)解：20种新产品中产品A 没有被甲部门和乙部门同时选中的概率1010191910102020C C 111C C 224P =⋅=⋅=，所以产品A 被甲部门或乙部门选中的概率为13144-=． (2)解：令()23t x =-，由题中数据得()10211320.510i i t x ==-=∑，10117.510i i y y ===∑，()101021132016i iii i i t y x y ===-=∑∑，()1010421138773i i i i t x ===-=∑∑，101102211020162057.5290.1877320520.527710i ii i i t y t yb t t==--⨯===≈-⨯-∑∑，297.520.5 5.4277a y bx =-=-⨯≈．(3)解：由题意知，掷骰子时甲部门增加投资1万元发生的概率为23，乙部门增加投资2万元发生的概率为13．设投资资金总和恰好为n 万元的概率为n P ，则投资资金总和恰好为()1n +万元的概率为()1121233n n n P P P n +-=+≥． 所以()()1112112333n n n n n n n P P P P P P P n +---=+-=--≥， 因为123P =，212273339P =+⋅=，21721939P P -=-=， 所以数列{}1n n P P +-是首项为19，公比为13-的等比数列，所以111193n n n P P -+⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，所以()()()()10012132999810099P P P P P P P P P P =+-+-++-+-2982111111139939393⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⨯-+⨯-++⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭991001119323111344313⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=+⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，所以投资资金总和恰好为100万元的概率是100311443⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭．22．已知函数()()()1ln 1x f x x a x a R x-=+--∈． (1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间；(2)设()()()()()221112x a h x x f x x x-=--+-，若()1x t t =>为函数()h x 的极值点，且()12a h t -=，求a 的值. 【答案】(1)增区间是()0,1，减区间是()1,+∞ (2)1ln 22a =+【分析】（1）利用导数得出函数()f x 的单调区间；（2）分类讨论a 的范围，利用导数得出()h x 在()1,+∞的极值，结合()12a h t -=，从而得出a 的值. (1)函数()f x 的定义域为()0,∞+，当2a =时，()()1ln 21x f x x x x-=+--， ()()()222221111212x x x x f x x x x x-+--++'=+-==， 当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<， 所以函数()f x 的增区间是()0,1，减区间是()1,+∞． (2)由题意只需研究()h x 在()1,+∞上的极值点的情况．可得()()()1ln 1x h x x a x f x x -'=+--=，()222111ax x f x a x x x -++'=+-=， ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 是单调递增函数，即()h x '是单调递增函数． 因为()10h '=，所以当1x >时，()0h x '>，()h x 是单调递增函数． 所以()h x 在()1,+∞上没有极值点；②当2a =时，由（1）知，()()()max max 10h x f x f '===，即()0h x '<， 所以()h x 在()1,+∞上是减函数，()h x 没有极值点；③当2a >时，令()21g x ax x =-++，()12g a =-，可得当2a >时，()10g <，当1x >时，()0g x <，即()0f x '<，所以()h x '在()1,+∞上单调递减， 又因为()10h '=，所以()1,x ∈+∞时，()0h x '<， 所以()h x 在()1,+∞上单调递减，没有极值点；④当02a <<时，()10g >，由二次函数的图像得存在()01,x ∈+∞使得()00g x =， 当()01,x x ∈时，()0g x >，()h x '单调递增；当()0,x x ∈+∞时，()0g x <，()h x '单调递减；又()10h '=，所以()01,x x ∈时，()0h x '>．当x →+∞时，()h x '→-∞，所以存在()1,t ∈+∞，使得()0h t '=，所以()h x 在()1,t 单调递增，在(),t +∞单调递减，所以x t =符合题目要求，第 21 页 共 21 页 即()()1ln 10t f t t a t t -=+--=，()()()211ln 1222a a h t t t t =---=-， 所以ln 11t a t t =+-，得()()2ln 1ln 121ln 1111t t t t t t t t t ⎛⎫--+-=+- ⎪--⎝⎭， 即22232ln 1t t t t t t t ⎛⎫--+= ⎪-⎝⎭，即()()()212ln 1t t t t t t t ---=-， 当2t =时，成立，当2t ≠时，1ln 1t t t t t -=-，即()221ln t t t-=， 令()()()221ln 1t t t t t ϕ-=->，可得()0t ϕ'>，()t ϕ在()1,+∞上为增函数，所以()()10t ϕϕ>=，()221ln t t t -=无解，故2t =．所以1ln 22a =+． 【点睛】方法点睛：根据极值求参数时，一般利用导数得出单调性，再由极值确定参数的值或范围.。

高三英语2021.12 第一节(共5小题；每小题1.5分，满分7.5分)听下面5段对话。

每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读一遍。

1．What color is the dress the woman is wearing?A．Green．B．Pink．C．Blue．2．What makes the woman want to buy a mobile home?A．The view．B．The warmth．C．The size．3．What does the man decide to do in the end?A．Go to school on foot．B．Have his car repaired．C．Ride in the woman’s car．4．What is the weather like today?A．Sunny．B．Rainy．C．Windy．5．How does the woman feel at the moment?A．Sleepy．B．Energetic．C．Tired．第二节(共15小题；每小题1.5分，满分22.5分)听下面5段对话或独白。

每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

每段对话或独白读两遍。

听第6段材料，回答第6、7题。

6．Why does the woman like growing vegetables herself?A．They have a better taste．B．They help to save money．C．They beautify the garden．7．What did the man like best as a child?A．Beans．B．Onions．C．Corn．听第7段材料，回答第8、9题。

一、单选题二、多选题1.若，则（ ）A ．0B．C ．1D ．1292. 在数列中，．若命题，命题是等比数列，则p 是q 的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要3. 已知变量，之间的一组相关数据如下表所示：681012632据此得到变量，之间的线性回归方程为，则下列说法的是（ ）A ．变量，之间成负相关关系B ．可以预测，当时，C．D．该回归直线必过点不正确4. 已知全集，集合，，则（ ）A ．或B ．或C．D．5. 已知，则A．B．C．D．6. 已知函数对任意都有，且函数的图象关于对称，当时，.则下列结论正确的是（ ）A ．函数的图象关于点对称B．函数的图象关于直线对称C ．函数的最小正周期为2D ．当时，7. 如果，那么与角终边相同的角的集合可以表示为（ ）A．B．C．D．8. 在中，，则等于（ ）A．B．或C．D ．以上答案都不对9. 高中学生要从必选科目（物理和历史）中选一门，再在化学、生物、政治、地理这4个科目中，依照个人兴趣、未来职业规划等要素，任选2个科目构成“1＋2选考科目组合”参加高考.已知某班48名学生关于选考科目的结果统计如下：选考科目名称物理化学生物历史地理政治选考该科人数36392412a b下面给出关于该班学生选考科目的四个结论中，正确的是（ ）A．B ．选考科目组合为“历史＋地理＋政治”的学生可能超过9人山东省潍坊市2023届高三下学期高中学科核心素养测评数学试题山东省潍坊市2023届高三下学期高中学科核心素养测评数学试题三、填空题四、解答题C ．在选考化学的所有学生中，最多出现6种不同的选考科目组合D ．选考科目组合为“历史＋生物＋地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少的10.设是抛物线弧上的一动点，点是的焦点，，则（ ）A．B ．若，则点的坐标为C．的最小值为D ．满足面积为的点有2个11. 已知，，且，则（ ）A．B．C．D．12. 在空间直角坐标系中，有以下两条公认事实：（1）过点，且以为方向向量的空间直线l 的方程为；（2）过点，且为法向量的平面的方程为．现已知平面，，，（ ）A．B．C．D．13. 将函数的图像向右平移个单位长度后，所得函数为偶函数，则________.14. 若非零向量，满足，则，的夹角为______.15. 有5只苹果，它们的质量分别为125，a ，121，b ，127（单位：克）．该样本的中位数和平均数均为124，则该样本的标准差为______．16. 设的内角，，的对边分别为，，，，且为钝角. （1）证明：； （2）求的取值范围.17. 解方程：．18.已知双曲线，左､右顶点分别为，经过右焦点垂直于轴的直线与相交于两点，且.(1)求的方程；(2)若直线与圆相切，且与双曲线左､右两支分别交于，两点，记直线的斜率为，的斜率为，那么是否为定值？并说明理由.19. 已知函数f （x ）＝log 2（x ﹣1），（1）求函数y ＝f （x ）的定义域；（2）设g （x ）＝f （x ）+m ，若函数y ＝g （x ）在（2，3）内有且仅有一个零点，求实数m 的取值范围；（3）设h （x ）＝f （x ），求函数y ＝h （x ）在[3，9]内的值域．20.已知：斜三棱柱中，，与面所成角正切值为，，，点为棱的中点，且点向平面所作投影在内．(1)求证：；(2)为棱上一点，且二面角为，求的值．21. 已知函数，，其中，.(1)求函数在上的最小值；(2)若函数恰好存在三个零点、、，且，求的取值范围.。

一、单选题二、多选题1. 已知双曲线（a ＞0，b ＞0）与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．（1，）B ．（1，]C ．（，＋∞）D ．[ ，＋∞）2. 过点作直线l ，分别与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴交于点为坐标原点，设，则当的周长最小时，等于（ ）A．B．C．D ．23.已知点为双曲线的右焦点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若(点为坐标原点)的面积为2，双曲线的离心率，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．4. 复数的共轭复数为（ ）A．B．C．D．5. 下列函数中，周期为，且在区间单调递增的是（ ）A．B．C．D．6.已知复数，则（ ）A．B．C．D．7. 如图，在棱长为的正方体中，为棱上的动点，过点作平面分别与棱，交于，两点，若三棱锥为正三棱锥，则下列说法正确的是（）A ．与不垂直B ．存在点，使得平面C ．用过，，三点的平面去截正方体，得到的截面一定是梯形D ．存在点，使得点到平面的距离为8. 设集合，，则（ ）A．B．C．D．9.已知函数.（ ）A ．当时，的极小值点为B．若在上单调递增，则C．若在定义域内不单调，则D ．若且曲线在点处的切线与曲线相切，则10. 若复数满足，则（ ）山东省潍坊市2023届高三下学期高中学科核心素养测评数学试题(1)山东省潍坊市2023届高三下学期高中学科核心素养测评数学试题(1)三、填空题四、解答题A ．的虚部为B．C．D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限11. 某种高精度产品在研发后期，一企业启动产品试生产，假设试产期共有甲､乙､丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示：生产线次品率产量（件/天）甲500乙700丙800试产期每天都需对每一件产品进行检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成5次，把5次的数字相加，若和小于4，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式.则下列选项中正确的是（ ）A ．若计算机5次生成的数字之和为，则B．设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则C．若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为D．若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自甲生产线的概率为12. 已知棱长为的正方体的所有顶点均在体积为的球上，动点在正方形内运动（包含边界），若直线与直线所成角的正弦值为，则（ ）A．B．点运动轨迹的长度为C．三棱锥体积的取值范围为D．线段长度的最小值为13. 如图在四棱柱中，侧面为正方形，侧面为菱形，，、分别为棱及的中点，在侧面内（包括边界）找到一个点，使三棱锥与三棱锥的体积相等，则点P 可以是________（答案不唯一），若二面角的大小为，当取最大值时，线段长度的取值范围是________．14.设数列的前n 项和为，，，则___________.15. 已知，集合，则_________．16. 已知函数，（为自然对数的底数），.（Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）若恒成立，求实数的值；（Ⅲ）若直线是曲线的一条切线.求证：对任意实数，都有.17. 已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，若成等比数列，且.(1)求数列的通项公式；(2)记，求证：.18. 10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛．三位选手甲､乙､丙的资格赛成绩如下：环数6环7环8环9环10环甲的射出频11102424数乙的射出频32103015数丙的射出频24101826数假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的射击成绩相互独立．(1)若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；(2)若甲､乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率；(3)甲､乙､丙各射击10次，用分别表示甲､乙､丙的10次射击中大于环的次数，其中．写出一个的值，使．（结论不要求证明）19. 已知函数，(a，b∈R)（1）当a=﹣1，b=0时，求曲线y=f(x)﹣g(x)在x=1处的切线方程；（2）当b=0时，若对任意的x∈[1，2]，f(x)+g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）当a=0，b>0时，若方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解x1，x2(x1<x2)，求证：x1+x2>2.20. 某围棋学校选拔参加围棋大赛选手的规则如下：①每位参加者都要依次和四位大师进行四场比赛；②每场比赛参赛选手只有获胜和失败两种结果，若获胜，则该场比赛依次得1分，1分，1分，3分；若失败，则该场得0分；③四场比赛结束后，累计得分大于或等于5分，则成为围棋大赛选手；小于5分时，则不能成为围棋大赛选手.学生甲和四位大师进行比赛，获胜的概率依次为，且各场比赛相互之间没有影响.(1)求学生甲成为围棋大赛选手的概率；(2)设学生甲最后累计得分为，求的分布列和数学期望.21. 相对于二维码支付，刷脸支付更加便利，以往出门一部手机解决所有，现在连手机都不需要了，毕竟手机支付还需要携带手机，打开“扫一扫”也需要手机信号和时间，从而刷脸支付可能将会替代手机支付，成为新的支付方式，现从某大型超市门口随机抽取100名顾客进行调查，得到了如下列联表：男性女性总计刷脸支付2570非刷脸支付总计100(1)请将上面的列联表补充完整，并分别估计男性､女性在该超市消费后使用刷脸支付的概率；(2)判断是否有的把握认为顾客是否使用刷脸支付与性别有关.附：，其中.。

2021-2022学年山东省高三（下）第二次学业质量联考数学试卷题号一二三四总分得分一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.已知集合A={2,3,4,5}，B={x|y=√3x−x2}，则A∩B=()A. {2}B. {3}C. {2,3}D. {2,3,4}2.已知z−=1−z1+i，则复数z=()A. 2+iB. 2−iC. 1−iD. −1+i3.已知非零实数m，n满足e m>e n，则下列关系式一定成立的是．()A. 1m <1nB. ln(m2+1)>ln(n2+1)C. m+1m >n+1nD. m|m|>n|n|4.《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为36√2π，则它的体积为()A. 18√2πB. 72πC. 64√2πD. 216π5.若α∈(π2,π)，sinα=√53，则tan(2α+π2)=()A. 4√5B. −4√5C. √520D. −√5206.“a<4”是“过点(1,1)有两条直线与圆x2+y2+2y−a=0相切”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.(x+2y)5(x−2y)7的展开式中x9y3的系数为()A. −160B. −80C. 160D. 808.函数f(x)=1+sinπx−xsinπx在区间[−52,92]上的所有零点之和为()A. 0B. 3C. 6D. 12二、多选题（本大题共4小题，共20分）9.已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如表：X012P m n m 则下列结论一定成立的是()第2页，共20页A. P(X =1)<P(X ≠1)B. E(X)=1C. mn ≤18D. D(X +1)<110. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，A(−54,0)，若△PAF 为等腰三角形，则直线AP 的斜率可能为( )A. 4√27B. 2√55C. √52D. −2√2311. 已知在△ABC 中，AB =√2AC ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )//CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ D. ∠ACM =45°12. 如图，在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是AA 1，CC 1，C 1D 1的中点，Q 是线段D 1A 1上的动点，则( )A. 存在点Q ，使B ，N ，P ，Q 四点共面B. 存在点Q ，使PQ//平面MBNC. 三棱锥P −MBN 的体积为13D. 经过C ，M ，B ，N 四点的球的表面积为9π2三、填空题（本大题共4小题，共18分）13. 已知直线y =ax −1与曲线y =alnx +2相切，则a =______．14. 已知等比数列{a n }的公比为−1，前n 项和为S n ，若{S n −1}也是等比数列，则a 1=______．15. 一个箱子里装有5件产品，包括2件一等品，2件二等品，1件次品，从中任意不放回地随机抽取，每次1件，直到取到次品为止，则此过程中恰好把2件一等品全部取出的概率为______．16. 已知A ，B 是抛物线x 2=y 上两动点，过A ，B 分别作抛物线的切线，若两切线交于点P ，当∠APB =90°时，点P 的纵坐标为______，△APB 面积的最小值为______．四、解答题（本大题共6小题，共72分）17.第五代移动通信技术(简称5G)是最新一代蜂窝移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施．某市工信部门为了解本市5G手机用户对5G网络的满意情况，随机抽取了本市200名5G手机用户进行了调查，所得情况统计如下：满意情况年龄合计50岁以下50岁或50岁以上满意95不满意25合计120200(1)完成上述列联表，并估计本市5G手机用户对5G网络满意的概率；(2)依据小概率值α=0.05的独立性检验，分析本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下是否有关．附：α0.100.050.0250.0100.001xα 2.706 3.841 5.024 6.63510.828χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．18.如图，D是△ABC外一点，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos∠BACa =cos∠BCA2b−c．(1)求∠BAC；(2)若b=32c，AD=CD=2，且△ABC的面积是△ADC面积的2倍，求b的值．19.已知数列{a n}满足a1=1，且a n+1={n+2na n−1,n为奇数a n+1,n为偶数．(1)求{a n}的通项公式；(2)若1b n +14=a n2，求数列{b n}的前n项和S n．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E，F分别是PC，PB上的点，且PF=2FB，PE=3EC．(1)证明：AF//平面BDE；(2)求直线BC与平面BDE所成角的正弦值．21.已知函数f(x)=xe x−ax+a，a≥0．(1)若a=1，求f(x)的单调区间；(2)若关于x的不等式f(x)≥alnx恒成立，求实数a的取值范围．第4页，共20页22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点是A，右焦点是F(1,0)，过点F且斜率不为0的直线与C交于M，N两点，B为线段AM的中点，O为坐标原点，直线AM与BO的斜率之积为−34．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线AM和AN分别与直线x=4交于P，Q两点，证明：以线段PQ为直径的圆恒过两个定点，并求出定点坐标．第6页，共20页答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合A ={2,3,4,5}， B ={x|y =√3x −x 2}={x|0≤x ≤3}， 则A ∩B ={2,3}． 故选：C ．求出集合B ，利用交集定义能求出A ∩B ．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】C【解析】解：设z =a +bi(a,b ∈R)， 则z −=a −bi =1−a+bi 1+i=1−(a+bi)(1−i)(1+i)(1−i)=1−(a+b)+(b−a)i2，所以{a =1−a+b2−b =−b−a 2，解得{a =1b =−1，所以z =1−i ． 故选：C ．根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解． 本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由y =e x 得y′=e x >0，∴y =e x 在R 上单调递增，又e m >e n ，可得m >n ， 取m =1，n =−2，得1m >1n ，故A 错误；取m =1，n =−2，得m 2+1<n 2+1，所以ln(m 2+1)<ln(n 2+1)，故B 错误； 取m =12，n =13，得m +1m <n +1n ，故C 错误；当m >n >0时，m 2>n 2，所以m|m|−n|n|=m 2−n 2>0，所以m|m|>n|n|，当0>m>n时，m2<n2，所以m|m|−n|n|=−m2−(−n2)=n2−m2>0，所以m|m|>n|n|，当m>0>n时，m|m|>0>n|n|，综上所述D正确．故选：D．由已知得m>n，对于A，B，C选项取特殊值可判断，对于D，分m>n>0，0>m>n，m>0>n三种情况讨论可判断其正确性．本题考查利用单调性比较数的大小，再结合各个选项的条件判断其正确性，属中档题．4.【答案】B【解析】解：设该直角圆锥的底面圆半径为r，高为ℎ，母线长为l，因为直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形，所以ℎ=r，l=√2r．因为直角圆锥的侧面积为36√2π，所以πrl=√2πr2=36√2π，解得r=6，所以该直角圆锥的体积为13πr2ℎ=13πr3=13π×63=72π．故选：B．由题意知直角圆锥的底面圆半径为r等于高ℎ，再由直角圆锥的侧面积求出底面圆的半径，即可求出其体积．本题主要考查锥体体积的计算，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．5.【答案】D【解析】解：因为α∈(π2,π)，sinα=√53，所以cosα=−√1−sin2α=−23，可得tanα=sinαcosα=−√52，tan2α=2tanα1−tan2α=4√5，则tan(2α+π2)=−1tan2α=−√520．故选：D．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，tanα的值，进而利用二倍角的正切公式可求tan2α的值，根据诱导公式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切公式，诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．第8页，共20页6.【答案】C【解析】解：过点(1,1)有两条直线与圆x 2+y 2+2y −a =0相切⇔点(1,1)在圆外⇔12+12+2×1−a >0，解得a <4．所以“a <4”是“过点(1,1)有两条直线与圆x 2+y 2+2y −a =0相切”的充要条件． 故选：C ．过点(1,1)有两条直线与圆x 2+y 2+2y −a =0相切⇔点(1,1)在圆外，以此可解决此题． 本题考查充分、必要条件的判断及点圆位置关系，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：二项式可以化为[(x +2y)(x −2y)]5(x −2y)2=(x 2−4xy +4y 2)(x 2−4y 2)5，则二项式的展开式中含x 9y 3的项为−4xy ×C 51(x 2)4(−4y 2)1=80x 9y 3，所以x 9y 3的系数为80， 故选：D ．二项式可以化为[(x +2y)(x −2y)]5(x −2y)2=(x 2−4xy +4y 2)(x 2−4y 2)5，然后根据二项式定理求出含x 9y 3的项，进而可以求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：函数f(x)=1+sinπx −xsinπx 的零点就是函数y =sinπx 与y =1x−1的图象公共点的横坐标． 如图，因为函数y =sinπx 与y =1x−1的图象均关于点(1,0)成中心对称，且函数y =sinπx 与y =1x−1的图象在区间[−52,92]上共有6个公共点，它们关于点(1,0)对称，所以函数f(x)在区间[−52,92]上共有6个零点，它们的和为3×2=6．故选：C．由题意得函数f(x)=1+sinπx−xsinπx的零点就是函数y=sinπx与y=1x−1的图象公共点的横坐标．再根据函数y=sinπx与y=1x−1的图象均关于点(1,0)成中心对称，由交点的个数可得答案．本题考查了函数的零点、转化思想、数形结合思想及三解函数的性质，属于中档题．9.【答案】BCD【解析】解：根据频率分布表可得，2m+n=1，且m>0，n>0，P(X≠1)=P(X=0)+P(X=2)=2m，由m与n的大小关系不清楚，故选项A无法判别；E(X)=0×m+1×n+2×m=2m+n=1，故选项B正确；1=2m+n≥2√2mn，∴mn≤18，故选项C正确；根据方差的性质可知D(X+1)=D(X)，D(X)=(0−1)2×m+(1−1)2×n+(2−1)2×m=2m<1，故选项D正确，故选：BCD．利用频率分布表的性质，期望与方差的计算公式，即可解出．本题考查了统计与概率，数学期望与方差，学生的数学运算能力，属于基础题．10.【答案】AB【解析】解：由抛物线C：y2=4x的方程可得：焦点F(1,0)，因为A(−54,0)，△PAF为等腰三角形时，可得|PF|=|PA|或|AF|=|PF|，当|PF|=|AF|=54+1=94时，设点P(m24,m)，则√(m24−1)2+m2=94，解得m2=5，这时P(54,±√5)，直线AP的斜率k=mm24+54=±√552=±2√55；当|AF|=|PA|=94时，设P(n24,n)，则94=√(n24+54)2+n2=94，解得n2=2，第10页，共20页这时P(12,±√2)，直线AP 的斜率k =n n 24+54=±√212+54=±4√27；故选：AB ．由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，由△PAF 为等腰三角形可得|PF|=|PA|或|AF|=|PF|，分两种情况讨论可得P 的坐标，进而求出直线AP 的斜率，进而选出结果． 本题考查抛物线的性质的应用及等腰三角形的性质的应用，直线斜率的求法，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：在△ABC 中，AB =√2AC ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，N 是CM 的中点，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 可得14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以C 正确； △ABC 是等腰直角三角形．延长AC 到E ，使得AC =CE ，连接BE ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )//CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以B 正确； 如图：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以A 不正确；∠ACM =45°，所以D 正确； 故选：BCD ．画出图形，结合向量的数量积，判断选项的正误即可．本题考查平面向量的数量积的应用，向量的位置关系的判断，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．12.【答案】ABC【解析】解：如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，连接A1B，CD1因为N，P分别是CC1，C1D1的中点，所以CD1//PN，又因为CD1//A1B，所以A1B//PN，所以A1，B，N，P四点共面，即当Q与A1重合时，B，N，P，Q四点共面，故选项A正确；连接PQ，A1C1，当Q是D1A1的中点时，因为PQ//A1C1，A1C1//MN，所以PQ//MN，因为PQ⊄平面BMN，MN⊂平面BMN，所以PQ//平面BMN，故选项B正确；连接D l M，D l N，D l B，因为D1M|BN，所以V三棱锥P−MBN =V三棱锥M−PBN=V三棱锥D1−PBN=V三棱锥B−PD1N=13×12×1×1×2=13，故选项C正确；分别取BB1，DD1的中点E，F，构造长方体MADF−EBCN，则经过C，M，B，N四点的球即为长方体MADF−EBCN的外接球，设所求外接球的直径为2R，则长方体MADF−EBCN的体对角线即为所求的球的直径，即(2R)2=AB2+BC2+CN2=4+4+1=9，所以经过C，M，B，N四点的球的表面积为4πR2=9π，故选项D错误．故选：ABC．对于A，连接A1B，CD1，可证得A1B//PN，从而可得结论；对于B，连接PQ，A1C1，当Q是D1A1的中点时，由线面平行的判定可证得；对于C，利用V三棱锥P−MBN=V三棱锥M−PBN =V三棱锥D1−PBN=V三棱锥B−PD1N求解；对于D，分别取BB1，DD1的中点E，F，构造长方体MADF−EBCN，其体对角线就是外接球的直径，求出体对角线的长，可求出球的表面积．本题考查了线面平行，三棱锥体积和长方体外接球的表面积计算，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：由y=alnx+2，得y′=ax，设切点是(x0,alnx0+2)，则y′=a x=a，故x0=1，∴ax0−1=alnx0+2，解得：a=3，故答案为：3．求出原函数的导函数，由题意求得切点的坐标，再由函数值相等即可求出a的值．本题考查了切线方程问题，考查导数的应用，是中档题．14.【答案】2【解析】解：∵{S n−1}也是等比数列，∴(S2−1)2=(S1−1)(S3−1)，又∵S2=a1+a2=a1−a1=0，S3=a1+a2+a3=a1−a1+a1=a1，∴1=(a1−1)(a1−1)，解得a1=0或2，又∵a n≠0，∴a1=2，故答案为：2．由题意可知(S2−1)2=(S1−1)(S3−1)，再结合等比数列的通项公式即可求出结果．本题主要考查了等比数列的通项公式，属于基础题．15.【答案】13第12页，共20页【解析】解：一个箱子里装有5件产品，包括2件一等品，2件二等品，1件次品，从中任意不放回地随机抽取，每次1件，直到取到次品为止，此过程中恰好把2件一等品全部取出的情况有：①前2次都取出一等品，第3次取出次品，概率为P1=25×14×13=130，②前3次取出2件一等品，1件二等品，第4次取出次品，概率为P2=C31×25×24×13×12=110，③前4次取出2件一等品，2件二等品，第5次取出次品，概率为P3=C42×25×14×23×12×1=15，∴则此过程中恰好把2件一等品全部取出全部取出的概率为：P=P1+P2+P3=130+110+15=13．故答案为：13．此过程中恰好把2件一等品全部取出的情况有：①前2次都取出一等品，第3次取出次品，②前3次取出2件一等品，1件二等品，第4次取出次品，③前4次取出2件一等品，2件二等品，第5次取出次品，由此能求出此过程中恰好把2件一等品全部取出全部取出的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．16.【答案】−141 4【解析】解：设切点A(x1,x12)，B(x2,x22)，不妨设A在第一象限，设PA方程y−x12=k(x−x1)与抛物线方程x2=y联立，消去y得x2−kx+kx1−x12=0，Δ=k2−4kx1+4x12=0，解得k=2x1，∴PA的方程y−x12=2x1(x−x1)，同理PB方程y−x22=2x2(x−x2)，联立解得交点P(x1+x22,x1x2)，∵∠APB=90°时，k AP⋅k BP=4x1x2=−1，∴x1x2=−14，∴k AB=x22−x12x2−x1=x1+x2，由直线AB的方程为y−x12=(x1+x2)(x−x1)，即(x1+x2)x−y−x1x2=0，故点P到直线AB的距离d=1222√1+(x1+x2)2，|AB|=√1+(x1+x2)2|x1−x2|，∴S△PAB=12|AB|⋅d=|x1−x2|34=|x1+14x1|34≥14，当且仅当x1=12时，等号成立，故答案为：−14；14．设切点A(x1,x12)，B(x2,x22)，设PA方程y−x12=k(x−x1)与抛物线方程x2=y联立，PA，PB的方程，解出点P的坐标为(x1+x22,x1x2)，再利用∠APB=90°，求得P的纵坐标，再求得直线AB的方程表示出弦长与点P到直线AB的距离，进而得S△PAB =|x1+14x1|34，可求△APB面积的最小值．本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，直线方程的求法和运用，考查运算化简能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)2×2列联表如下：所以本市5G手机用户对5G网络满意的概率约为150200=34．(2)零假设为H0：本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下无关．根据列联表中的数据，计算可得χ2=200×(95×25−25×55)2120×80×150×50=259≈2.778<3.841=χ0.05．根据小概率值α=0.05的χ2独立性检验原则，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下无关．【解析】(1)依题意完善列联表，根据古典概型的概率公式计算可得；(2)计算出卡方，与参考值比较，即可判断．本题考查了独立性检验的知识，属于基础题．第14页，共20页18.【答案】解：(1)在△ABC 中，由cos∠BACa=cos∠BCA 2b−c及正弦定理，得cos∠BAC sin∠BAC =cos∠BCA2sinB−sin∠BCA ，整理得2sinBcos∠BAC =cos∠BCAsin∠BAC +sin∠BCAcos∠BAC ， 即2sinBcos∠BAC =sin(∠BAC +∠BCA)=sinB ， 因为在△ABC 中，sinB ≠0， 所以cos∠BAC =12， 又0<∠BAC <π， 所以∠BAC =π3． (2)由(1)知∠BAC =π3， 因为b =32c ，c =23b ，所以S △ABC =12bcsin∠BAC =12b ⋅23b ⋅sin π3=√36b 2，又S △ADC =12b ⋅√22−(b2)2，S △ABC =2S △ADC ，所以√36b 2=b √4−b 24，解得b 2=12， 因为b >0， 所以b =2√3．【解析】(1)利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos∠BAC =12，结合范围0<∠BAC <π，即可求解．(2)由(1)及已知利用三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为a n+1={n+2na n −1,n 为奇数a n +1,n 为偶数，所以当k ∈N ∗时，a 2k+1=a 2k +1=a (2k−1)+1+1=2k+12k−1a 2k−1，即a2k+12k+1=a 2k−12k−1，所以当n 为奇数时，{ann }是常数列， 又a 1=1，所以当n 为奇数时，ann =a 11=1，即a n =n ，当n 为偶数时，a n =a n+1−1=n +1−1=n ， 所以当n ∈N ∗时，a n =n ，第16页，共20页即{a n }的通项公式为a n =n ．(2)因为1b n+14=a n 2，所以b n =44a n2−1=44n 2−1=4(2n−1)(2n+1)=2(12n−1−12n+1)，所以S n =2[(1−13)+(13−15)+(15−17)⋯+(12n−1−12n+1)]=2(1−12n+1)=4n2n+1， 即数列{b n }的前项和S n =4n2n+1．【解析】(1)由题意可知当k ∈N ∗时，a 2k+1=a 2k +1=2k+12k−1a 2k−1，即a2k+12k+1=a 2k−12k−1，所以当n 为奇数时{ann }是常数列，可求出当n 为奇数时a n =n ，当n 为偶数时a n =a n+1−1=n ，从而求出{a n }的通项公式．(2)由a n 求出b n ，再利用裂项相消法即可求出S n ．本题主要考查了数列的递推公式，考查了裂项相消法求和，属于中档题．20.【答案】(1)证明：如图，取PC 的中点Q ，连接QF ，因为PE =3EC =34PC ，PQ =12PC ， 所以PQPE =23，且E 为QC 的中点．又因为PF =2FB ，所以PFPB =23，所以PQPE =PFPB ． 又因为∠FPQ =∠BPE ，所以△FPQ∽△BPE ， 所以∠PFQ =∠PBE ， 所以FQ//BE ．因为FQ ⊄平面BDE ，BE ⊂平面BDE ， 所以FQ//平面BDE ．连接AC ，交BD 于点M ，连接AQ ，ME ， 因为M 为AC 的中点，E 为QC 的中点， 所以AQ//ME ．因为AQ ⊄平面BDE ，ME ⊂平面BDE ， 所以AQ//平面BDE ．因为AQ ⊂平面AQF ，FQ ⊂平面AQF ，AQ⋂QF =Q ， 所以平面AQF//平面BDE ． 因为AF ⊂平面AQF ， 所以AF//平面BDE ．(2)解：如图，取AD 的中点H ，BC 的中点G ，连接PH ，HG ，则HG ⊥AD ． 因为PA =PD ，所以PH ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD⋂平面ABCD =AD ，PH ⊂平面PAD ， 所以PH ⊥平面ABCD ，所以直线PH ，AD ，HG 两两垂直．以H 为原点，以HA 所在直线为x 轴，HG 所在直线为y 轴，HP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PA =2，则H(0,0,0)，P(0,0,√3)，B(1,2,0)，C(−1,2,0)，D(−1,0,0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,0)， DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3)，PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2,−√3)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DP ⃗⃗⃗⃗⃗ +34PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(14,32,√34)， 设平面BDE 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)， 则 {n ⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n ⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +6y +√3z =0，令x =√3，得y =−√3，z =5，所以n ⃗ =(√3,−√3,5)． 设直线BC 与平面BDE 所成的角为θ， 则sinθ=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√32×√31=√9331． 所以直线BC 与平面BDE 所成角的正弦值为√9331．【解析】(1)取PC 的中点Q ，连接QF ，结合已知条件可证得△FPQ∽△BPE ，从而可得FQ//BE ，由线面平行的判定可得FQ//平面BDE ，连接AC ，交BD 于点M ，连接AQ ，ME ，可证得AQ//平面BDE，则平面AQF//平面BDE，再由面面平行的性质可证得结论，(2)取AD的中点H，BC的中点G，连接PH，HG，可得直线PH，AD，HG两两垂直，所以以H为原点，以HA所在直线为x轴，HG所在直线为y轴，HP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解．本题主要考查线面平行的证明，线面角的计算，空间向量及其应用等知识，属于中等题．21.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=xe x−x+1，则f′(x)=(x+1)e x−1．当x∈(−∞,0)时，因为x+1<1，且0<e x<1，所以(x+1)e x<1，所以f′(x)=(x+1)e x−1<0，f(x)单调递减．当x∈(0,+∞)时，因为x+1>1，且e x>1，所以(x+1)e x>1，所以f′(x)=(x+1)e x−1>0，f(x)单调递增．所以当a=1时，f(x)的单调递减区间为(−∞,0)，单调递增区间为(0,+∞)．(2)f(x)≥alnx恒成立等价于xe x−ax+a−alnx≥0(x>0)恒成立，令ℎ(x)=xe x−ax+a−alnx(x>0)，则ℎ(x)min≥0．①当a=0时，ℎ(x)=xe x>0在区间(0,+∞)上恒成立，符合题意；②当a>0时，ℎ′(x)=(x+1)e x−a−ax =(x+1)⋅(e x−ax)，因为y=e x在区间(0,+∞)上单调递增，y=ax 在区间(0,+∞)上单调递减，所以y=e x−ax在区间(0,+∞)上单调递增，当x趋近于0时，y=e x−ax 趋近于−∞，当x趋近于+∞时，y=e x−ax趋近于+∞，所以存在唯一x0∈(0,+∞)，使e x0−a x0=0，此时xe x0=a，即x0+lnx0=lna，则当x∈(0,x0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减；当x∈(x0,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增．所以ℎ(x)min=ℎ(x0)=x0e x0−a(x0+lnx0)+a=2a−alna．令ℎ(x)min≥0，得2a−alna≥0．因为a>0，所以0<a≤e2．综上，实数a的取值范围为[0,e2].第18页，共20页【解析】(1)对f(x)求导，利用导数与单调性的关系即可求解单调区间；(2)令ℎ(x)=xe x −ax +a −alnx(x >0)，由题意可得ℎ(x)min ≥0，分a =0和a >0两种情况讨论，利用导数求出ℎ(x)的最小值，由ℎ(x)min ≥0即可求解a 的取值范围． 本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式恒成立问题，考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查运算求解能力，属于难题．22.【答案】解：(1)设椭圆C 的右顶点是A′，连接MA′，因为B ，O 分别是AM ，AA′的中点，所以BO//MA′， 因为直线AM 与BO 的斜率之积为−34，所以k AM ⋅k M A′=−34．设M(x 1,y 1)，则x 12a 2+y 12b 2=1，因为A(−a,0)，A′(a,0)，所以k AM ⋅k MA′=y 1x 1+a ⋅y 1x 1−a=y 12x 12−a 2=b 2(1−x 12a 2)x 12−a 2=−b 2a 2=−34，所以{b 2a 2=34c =1a 2=b 2+c 2，解得{a =2b =√3，所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1．(2)设直线MN 的方程为x =ty +1，t ≠0， 联立{x =ty +1x 24+y 23=1，整理得(3t 2+4)y 2+6ty −9=0，Δ>0，设N(x 2,y 2)，则y 1+y 2=−6t3t 2+4，y 1y 2=−93t 2+4．由A(−2,0)，知AM 的方程为y =y1x 1+2(x +2)，则点P 的坐标为(4,6y 1x1+2)，同理可得，点Q的坐标为(4,6y 2x 2+2)．令y P =6y 1x1+2，y Q =6y 2x 2+2，则PQ 中点的坐标为(4,y P +y Q2)，|PQ|=|y P −y Q |， 所以以PQ 为直径的圆的方程为(x −4)2+(y −y P +y Q 2)2=(y P −y Q 2)2，即(x−4)2+y2−(y P+y Q)y+y P y Q=0．又y P+y Q=6y1x1+2+6y2x2+2=6y1(ty2+3)+6y2(ty1+3)(ty1+3)(ty2+3)=12ty1y2+18(y1+y2)t2y1y2+3t(y1+y2)+9=12t(−93t2+4)+18(−6t3t2+4)t2(−93t2+4)+3t(−6t3t2+4)+9=12t⋅(−9)+18⋅(−6t)t2⋅(−9)+3t⋅(−6t)+9(4+3t2)=−6t，y P y Q=6y1x1+2⋅6y2x2+2=6y1ty1+3⋅6y2ty2+3=36×(−9)t2×(−9)+3t×(−6t)+9(4+3t2)=−9，所以以PQ为直径的圆的方程为(x−4)2+y2+6ty−9=0．令y=0，得x=1或x=7，故以线段PQ为直径的圆恒过x轴上的两定点，定点坐标分别为(1,0)和(7,0)．【解析】(1)设椭圆C的右顶点是A′，连接MA′，可得BO//MA′，设M(x1,y1)，则x12a2+y12b2=1，进而有k AM⋅k M′A′=−b2a2=−34，再联立椭圆中a，b，c的关系求解即可；(2)设N(x2,y2)，写出直线AM，AN的方程，求出P，Q两点坐标，从而可得以线段PQ为直径的圆，再设直线MN的方程为x=ty+1，t≠0，联立直线MN与椭圆的方程，由韦达定理化简圆的方程，最后令y=0求解即可得答案．本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．第20页，共20页。

2021-2022学年山东省潍坊市高一（下）学科核心素养数学试卷（5月份）1. 已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A. 1B. 4C. 1或4D. 2或42. 已知a ⃗ ，b ⃗ 是平面内两个不共线向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m a ⃗ +2b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a ⃗ −b ⃗ ，A ，B ，C 三点共线，则m =( )A. −23 B. 23 C. −6 D. 63. sin2cos3tan4的值( )A. 小于0B. 大于0C. 等于0D. 不存在4. 已知i ，j 是平面内的两个向量，i ⊥j ，且|i |=|j |=2,a ⃗ =i +2j ,b ⃗ =−3i +4j ，则|a ⃗ −b ⃗ |=( )A. 2√2B. 4√2C. 2√5D. 4√55. 已知θ为第三象限角，tan2θ=−2√2，则sin 2θ+sin(3π−θ)cos(2π+θ)−√2cos 2θ等于( )A. −√26B. √26C. −23D. 236. 关于函数y =sin(2x +φ)(φ∈R)有如下四个命题：甲：该函数在(−π3,π6)上单调递增；乙：该函数图象向右平移π12个单位长度得到一个奇函数； 丙：该函数图象的一条对称轴方程为x =−5π6； 丁：该函数图像的一个对称中心为(π12,0). 如果只有一个假命题，则该命题是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7. 在△ABC 中，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =119AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −29AC ⃗⃗⃗⃗⃗，则P 点( ) A. 在线段BC 上，且BPBC =29 B. 在线段CB 的延长线上，且BP BC =29 C. 在线段BC 的延长线上，且BPBC =29D. 在线段BC 上，且CP BC =298. 已知π8<α<β<π2，且sin2αsin π4−cos2αsin 54π=13,sin2βcos π4+cos2βsin π4=√33，则cos(2β−2α)的值为( )A.5√39B. √33C. −5√39D. −√339. 下列命题正确的是( )A. 若a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a ⃗ //c ⃗B. 若a ⃗ =b ⃗ ，b ⃗ =c ⃗ ，则a ⃗ =c ⃗C. 若a ⃗ //b ⃗ ，则存在唯一实数λ，使得若a ⃗ =λb ⃗D. 若点P 为△ABC 所在平面上一点，若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则△APB 面积与△ABC 面积之比为1：410. 已知α,β,γ∈(0,π2)，且α+β+γ=π2，则( ) A. 若sinα+cosα=√2，则tanα=1 B. 若tanα=12，则sin(β+γ)=2√55C. tanα，tanβ可能是方程x 2−6x +7=0的两根D. tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=111. 已知点(π6,0)是函数f(x)=cos(ωx +φ)(0<ω<3,|φ|<π)图象的一个对称中心，且f(x)在x =5π12处取得最大值，则( )A. 函数f(x)的最小正周期为πB. f(x)在[−π6,π4]上的值域为[−12,12] C. 函数f(x)在[5π12,11π12]上单调递减 D. 若f(x)=−12(x ∈[0,2π])的根为x i (i =1,2,…，n)，则∑x i n i=1=11π312. 设|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5，且对任意t ∈R ，均有|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，D 为线段AB 上一点，连接OD 并延长到P ，使|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=15，若PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(53−x)PA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. △ABO 为直角三角形B. |PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10C. |OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=6 D. 这样的D 点有2个13. 若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=______.14. 函数f(x)=lg(3−4sin 2x)的定义域为______.15. 设a ⃗ =(3,2),b ⃗ =(√x −3,√10−x)，则a ⃗ ⋅b ⃗ 的最大值为______.16. 函数f(x)=√3cosωx +3sinωx(ω>0)，若f(x)在[0,π]上的值域为[√3,2√3]，则实数ω的取值范围是______.17. 已知sinα=1−sin(π2+β)，求sin 2α+sin(π2−β)+1的取值范围．18. 如图所示，已知矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC 与MN 相交于点E.(1)若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ和μ的值； (2)用向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AE ⃗⃗⃗⃗⃗ .19. 已知函数f(x)=3sin(2x +π6)−6sin(x +π4)sin(x +34π).(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数y =f(x)−k 在区间[0,1312π]上有且仅有两个零点x 1，x 2，求k 的取值范围，并求x 1+x 2的值．20. 少林寺作为国家AAAAA 级旅游景区，每年都会接待大批游客，在少林寺的一家专门为游客提供住宿的客栈中，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重．为了控制经营成本，减少浪费，计划适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，人住客栈的游客人数基本相同；②人住客栈的游客人数在1月份最少，在7月份最多，相差约400；③1月份入住客栈的游客约为300人，随后逐月递增，在7月份达到最多． (1)试用一个正弦型函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问客栈在哪几个月份要至少准备600份食物？21. 如图，圆O 是边长为4的正方形ABCD 的内切圆，S 为圆周上一点，过S 作AB ，AD 的垂线，垂足分别为M ，N.设p =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,q =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)求pq 的取值范围；(2)求5−OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2q+8的最小值．22. 在△ABC 中，设CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=4，P 为△ABC 内任意动点，记PA⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2取最小值时的点P 为P 0.过P 0作直线交线段CA 于M.交线段CB 于N ，试求1|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+2|CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的值．答案和解析1.【答案】C【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题．设出扇形的圆心角为α，半径为Rcm ，根据扇形的周长为6，面积是2，列出方程组，即可求出扇形的圆心角的弧度数． 【解答】解：设扇形的圆心角为α，半径为R ， 则{2R +αR =612R 2α=2，解得α=1或α=4. 故选：C.2.【答案】C【解析】解：∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， ∴存在λ，使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴m a ⃗ +2b ⃗ =3λa ⃗ −λb ⃗ ，且a ⃗ ,b ⃗ 不共线， ∴{m =3λ−λ=2，解得m =−6. 故选：C.根据共线向量和平面向量基本定理即可得出m 的值．本题考查了共线向量和平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵1弧度大约等于57度，2弧度等于114度，∴sin2>0∵3弧度小于π弧度，在第二象限∴cos3<0∵4弧度小于3π2弧度，大于π弧度，在第三象限∴tan4>0 ∴sin2cos3tan4<0故选：A.根据2弧度、3弧度、4弧度所在象限分析三角函数值的正负，最后得出答案． 本题主要考查三角函数值的符号问题．常常根据角所在的象限来判断函数值的正负．4.【答案】D【解析】解：因为i ⊥j ，且|i |=|j |=2,a ⃗ =i +2j ,b ⃗ =−3i +4j ， 所以|a ⃗ −b ⃗ |=√(a ⃗ −b ⃗ )2=√(4i −2j )2=2√4i 2+j 2−2⋅2i ⋅j =4√5. 故选：D.|a ⃗ −b ⃗ |=√(a ⃗ −b ⃗ )2，以此可解决此题．本题考查平面向量数量积运算，考查数学运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：因为θ为第三象限角， 所以tanθ>0， 又tan2θ=−2√2=2tanθ1−tan 2θ，整理可得√2tan 2θ−tanθ−√2=0，所以tanθ=√2，则sin 2θ+sin(3π−θ)cos(2π+θ)−√2cos 2θ=sin 2θ+sinθcosθ−√2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tanθ−√2tan 2θ+1=2+√2−√22+1=23.故选：D.由已知可得tanθ>0，利用二倍角的正切公式化简已知等式可得√2tan 2θ−tanθ−√2=0，解方程可得tanθ的值，进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．本题考查了二倍角的正切公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：令−π2+2kπ≤2x +φ≤π2+2kπ，k ∈Z ，则函数的增区间为[kπ−π4−φ2,kπ+π4−φ2](k ∈Z)…①；函数图象向右平移π12个单位长度得到y =sin[2(x −π12)+φ]=sin(2x −π6+φ)…②；令2x +φ=π2+kπ⇒x =kπ2+π4−φ2，k ∈Z …③； 令2x +φ=kπ⇒x =kπ2−φ2，k ∈Z …④．若甲错误，则乙丙丁正确，由②，由函数的奇偶性性，令kπ−π4−φ2+kπ+π4−φ22=π6，由①，函数的增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)，则甲正确，矛盾；令φ=7π6，由①，函数的增区间为[kπ−5π6,kπ−π3](k ∈Z)，则甲错误，满足题意． 由③．函数的对称轴方程为x =kπ2−π3，k ∈Z ，k =−1时，x =−5π6，则丙正确．由④，函数的对称中心为(kπ2−7π12,0)(k ∈Z)，令kπ2−7π12=π12⇒k =43，丁错误．不合题意； 若乙错误，则甲丙丁正确，易知函数增区间的两个端点的中点为对称中心， 由①．令x =kπ−π4−φ2+kπ+π4−φ22=kπ−φ2，结合④．令kπ−φ2=π12⇒φ=2kπ−π6(k ∈Z)， 由函数的奇偶性，取k =0，φ=−π6， 由③．x =kπ2+π4+π12=kπ2+π3，k ∈Z ，令kπ2+π3=−5π6⇒k =−73，则丙错误．不合题意；若丙错误，则甲乙丁正确，由②，由函数的奇偶性，令φ=7π6， 由①．函数的增区间为[kπ−5π6,kπ−π3](k ∈Z)，则甲错误，不合题意． 令φ=π6，由①．函数的增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)，甲正确． 取区间中点x =kπ−π3+kπ+π62=−π12+kπ(k ∈Z)，则丁错误．不合题意；若丁错误，则甲乙丙正确．由②，由函数的奇偶性，令φ=7π6， 由①．函数的增区间为[kπ−5π6,kπ−π3](k ∈Z)，则甲错误，不合题意． 令φ=π6，由①．函数的增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)，甲正确． 由③．x =kπ2+π4−π12=kπ2+π6，k ∈Z.k =−2时，x =−5π6，则丙正确． 由④．x =kπ2−π12，k ∈Z ，令kπ2−π12=π12⇒k =13，④错误．满足题意．综上：该命题是丁． 故选：D.根据题意首先求出函数的增区间，平移后的解析式，对称轴和对称中心，进而分别讨论甲、乙、丙、丁为错误时其它命题的正误，进而得到答案． 本题考查了分类讨论思想、三角函数的性质，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =119AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =29(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )得BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =29CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以P 点在线段CB 的延长线上，且BP BC =29.由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =119AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =29(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )得BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =29CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，以此可判断正确选项． 本题考查平面向量线性运算，考查数学运算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由题意知，sin(2α+π4)=13，sin(2β+π4)=√33， 因为π8<α<β<π2，所以π2<2α+π4<2β+π4<5π4， 所以cos(2α+π4)=−√1−sin 2(2α+π4)=−2√23， cos(2β+π4)=−√1−sin 2(2β+π4)=−√63，所以cos(2β−2α)=cos[(2β+π4)−(2α+π4)]=cos(2β+π4)cos(2α−π4)+sin(2β+π4)sin(2α−π4) =(−√63)×2√23−√33×13=−5√39.故选：A.根据两角和差的正弦公式，结合诱导公式，可得sin(2α+π4)=13，sin(2β+π4)=√33，再由α，β的取值范围，利用同角三角函数的平方关系求得cos(2α+π4)，cos(2β+π4)的值，然后配凑角，由两角差的余弦公式，得解．本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角和差公式，诱导公式，同角三角函数的平方关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：A ：当b ⃗ 为零向量时a ⃗ //c ⃗ 不一定成立，错误； B ：由条件知：a ⃗ =b ⃗ =c ⃗ ，正确；C ：a ⃗ ，b ⃗ 为零向量时a ⃗ =λb ⃗ 中实数λ不唯一，错误；D ：由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，易知：P 为△ABC 平行于AC 的中位线中点，则S △ABC =2S △APC 且S △APB =S △PBC ，故△APB 面积与△ABC 面积之比为1：4，正确．A 、C 注意零向量的情况；B 由相等向量传递性判断；D 由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )确定P 的位置，进而判断面积关系．本题考查了共线向量、相等向量的概念、判定以及向量的加法法则，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：∵α,β,γ∈(0,π2)，且α+β+γ=π2， ∴α=π2−(β+γ)，对于A ，若sinα+cosα=√2sin(α+π4)=√2，则α+π4=π2，即α=π4，故tanα=1，故A 正确； sinα+cosα=√2，对于B ，若tanα=12，则sinα=√1+2=√55，cosα=√1+2=2√55， 则sin(β+γ)=cosα=2√55，故B 正确；对于C ，若tanα，tanβ是方程x 2−6x +7=0的两根，则tanα+tanβ=6，tanαtanβ=7， ∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=61−7=−1<0，这是不可能的，故C 错误；对于D ，tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=tanαtanβ+tanγ(tanα+tanβ)=tanαtanβ+cot(α+β)⋅tan(α+β)(1−tanαtanβ)=1，故D 正确； 故选：ABD.依题意，可得α=π2−(β+γ)，结合题意，对四个选项逐一分析可得答案．本题考查了两角和与差的三角函数，涉及诱导公式，辅助角公式，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：已知点(π6,0)是函数f(x)=cos(ωx +φ)(0<ω<3,|φ|<π)图象的一个对称中心，且f(x)在x =5π12处取得最大值； 所以：{cos(π6ω+φ)=0cos(5π12ω+φ)=1，则{π6ω+φ=π2+k 1π5π12ω+φ=2k 2π(k 1,k 2∈Z)；所以：ω=−2+4(2k 2−k 1)，φ=−5π6+2k 2π；(k 1,k 2∈Z)； 由于0<ω<3； 所以ω=2； 由于：|φ|<π；所以φ=−5π6； 故f(x)=cos(2x −5π6)；对于A ：函数的最小正周期为π，故A 正确； 对于B ：由于x ∈[−π6,π4]，所以2x −5π6∈[−7π6,−π3]，故cos(2x −5π6)∈[−1,12]，故B 错误；对于C ：由于2x −5π6∈[0,π]，故x ∈[5π12,11π12]，故C 正确； 对于D ：令cos(2x −5π6)=−12；解得x =3π4+kπ或x =π12+kπ，(k ∈Z)；由于x ∈[0,2π]，故x 1=π12;x 2=3π4；x 3=13π12;x 4=7π4；故∑x i 4i=1=11π3，故D 正确． 故选：ACD.直接利用方程组确定函数的解析式f(x)=cos(2x −5π6)；进一步利用函数的性质的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．12.【答案】AC【解析】解：∵对任意t ∈R ，均有|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，两边平方得：|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2≤||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠AOB +t 2|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 即8t 2+10cos∠AOBt ≥0对任意t ∈R 恒成立， ∴Δ=100cos 2∠AOB ≤0，∴cos∠AOB =0， ∴∠AOB =π2，故A 正确；设PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ[μPA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ]=λμPA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(1−μ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ[μPA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ]=λμPA⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(1−μ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(53−x)PA⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{λμ=53−xλ(1−μ)=x，解得λ=53，∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =53PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =35OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=25|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=25×15=6，|DP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=35|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=35×15=9，故B 错误，C 正确；设OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方整理得89m 2−50m −11=0， 此方程有两异号的根，∵D 在线段AB 上，∴0<m <1，∴方程89m 2−50m −11=0只有一个正根，即这样的点D 只有一个，故D 错误． 故选：AC.将|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |两边平行，化简得8t 2+10cos∠AOBt ≥0对任意t ∈R 恒成立，即可判断A ；设PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ[μPA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ]=λμPA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(1−μ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，解得λ=53，即可判断BC ；设OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方整理得89m 2−50m −11=0，再根据D 在线段AB 上，确定方程解的个数即可判断D.本题考查向量数量积公式、向量运算法则、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】23【解析】解：由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得2(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 得2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23.故答案为：23.由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得2(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 得2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后可求得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值．本题考查平面向量线性运算，考查数学运算能力，属于基础题．14.【答案】(−π3+kπ,π3+kπ),k ∈Z【解析】解：要使f(x)有意义，则：3−4sin 2x >0； ∴−√32<sinx <√32；∴−π3+kπ<x <π3+kπ,k ∈Z ； ∴f(x)的定义域为(−π3+kπ,π3+kπ),k ∈Z. 故答案为：(−π3+kπ,π3+kπ),k ∈Z.可看出，要使得函数f(x)有意义，则需满足3−4sin 2x >0，解出x 的范围即可． 考查函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，要熟悉正弦函数的图象．15.【答案】√91【解析】解：由(x −3)+(10−x)=7，不妨设√x −3=√7cosθ，√10−x =√7sinθ，θ∈[0,π2]， 又a ⃗ =(3,2)，则a ⃗ ⋅b ⃗ =3√7cosθ+2√7sinθ=√91sin(θ+φ)，tanφ=32， 则当θ+φ=π2时，a ⃗ ⋅b ⃗ 取最大值√91，故答案为：√91.由(x −3)+(10−x)=7，不妨设√x −3=√7cosθ，√10−x =√7sinθ，θ∈[0,π2]，然后结合辅助角公式求最大值即可．本题考查了三角函数的应用，重点考查了平面向量数量积的运算，属基础题．16.【答案】[13,23]【解析】解：函数f(x)=√3cosωx +3sinωx =2√3sin(ωx +π6)，在[0,π]上，ωx +π6∈[π6,ωπ+π6]. 若f(x)在[0,π]上的值域为[√3,2√3]，则sin(ωx +π6)∈[12,1]， ∴π2≤ωπ+π6≤5π6，求得13≤ω≤23， 故答案为：[13,23].利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得实数ω的取值范围．本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属基础题．17.【答案】解：因为sinα=1−sin(π2+β)=1−cosβ，所以cosβ=1−sinα， 因为−1≤cosβ≤1，所以−1≤1−sinα≤1，0≤sinα≤2， 又−1≤sinα≤1，所以sinα∈[0,1]，所以sin 2α+sin(π2−β)+1=sin 2α+cosβ+1=sin 2α−sinα+2=(sinα−12)2+74，(∗)， 又sinα∈[0,1].所以当sinα=12时，(∗)式取得最小值74； 当sinα=1或sinα=0时，(∗)式取得最大值2， 故所求范围为[74,2].【解析】利用诱导公式化简已知等式可得cosβ=1−sinα，根据三角函数的性质可求sinα∈[0,1]，化简所求可得sin 2α+sin(π2−β)+1=(sinα−12)2+74，根据正弦函数的性质以及二次函数的性质即可求解其取值范围．本题考查了诱导公式，三角函数的性质以及二次函数的性质的综合应用，考查了函数思想，属于中档题．18.【答案】解：以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，D(0,1),B(2,0),M(23,1),N(2,23)，C(2,1)(1)MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,−13)=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ,μ)，解得：λ=23,μ=−13： (2)设AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)=(23m +2n,m +23n).解得m =37,n =67， 即AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =37AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +67AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =37t AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +67t AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又因为M ，E ，N 三点共线，所以37t +67t =1,t =79，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗﹒【解析】以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系， 写出A 、D 、B 、M 、N 、C 各点坐标(1)把MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 中的向量都用坐标表示，可求得λ和μ的值； (2)把向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 用坐标表示后可解决此问题．本题考查平面向量坐标运算，考查数学运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为f(x)=3sin(2x +π6)−6sin(x +π4)sin(x +34π)=32cos2x +3√32sin2x +3(sinx +cosx)(sinx −cosx)=32cos2x +3√32sin2x +3(sin 2x −cos 2x)=32cos2x +3√32sin2x +3cos2x =3sin(2x −π6)，所以函数f(x)的最小正周期T =2π2=π，因为2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，所以kπ−π6≤x ≤kπ+π3(k ∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k ∈Z)； (2)由题意得f(x)−k =0在区间[0,1312π]上有且仅有两个解x 1，x 2， 即曲线y =f(x)与直线y =k 在区间x 1，x 2上有且仅有两个交点， x ∈[0,1312π]，得2x −π6∈[−π6,2π]， 设t =2x −π6，则y =3sint,t ∈[−π6,2π]，由函数y =3sint,t ∈[−π6,2π]的性质可知k 的取值范围为(−3,−32)∪(0,3)， 设曲线y =3sint 与直线y =k 在区间[−π6,2π]上的两个交点的横坐标分别为t 1，t 2，当k ∈(−3,−32)时，由图可知t 1，t 2关于直线t =32π对称，即x 1，x 2关于直线x =5π6对称，所以x 1+x 2=5π3；当k ∈(0,3)时，由图可知t 1，t 2关于直线t =π2对称，即x 1，x 2关于直线x =π3对称，所以x 1+x 2=2π3， 综上，x 1+x 2的值是5π3或2π3.【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简可求函数解析式为f(x)=3sin(2x −π6)，进而根据正弦函数的性质即可求解．(2)由题意设t =2x −π6，则y =3sint ，t ∈[−π6,2π]，根据三角函数的性质可求k 的取值范围，设曲线y =3sint 与直线y =k 在区间[−π6,2π]上的两个交点的横坐标分别为t 1，t 2，当k ∈(−3,−32)时，由图可知t 1，t 2关于直线t =32π对称，可求x 1+x 2=5π3；当k ∈(0,3)时，由图可知t 1，t 2关于直线t =π2对称，可求x 1+x 2=2π3，从而可求x 1+x 2的值．本题考查了三角恒等变换，正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意设函数为f(x)=Asin(ωx +φ)+B(A >0,ω>0,|φ|<π)，x =1，2，…，12，由①可知这个函数的周期是12，即2πω=12，得ω=π6，由②可知f(1)最小，f(7)最大，且f(7)−f(1)=400，故(A +B)−(−A +B)=400，则A =200， 由③可知f(x)在[1,7]上是增函数，且f(1)=300，得f(7)=A +B =700，则B =500， 又当x =1时，f(x)最小，当x =7时，f(x)最大，∴sin(π6+φ)=−1，且sin(7×π6+φ)=1，可得φ=−2π3+2kπ,k ∈Z ， 已知|φ|<π，取k =0，得φ=−2π3. 故f(x)=200sin(π6x −2π3)+500(x =1,2,⋯,12)；(2)由条件可知，200sin(π6x −2π3)+500≥600，化简得sin(π6x −2π3)≥12，即2kπ+π6≤π6x −2π3≤2kπ+5π6,k ∈Z ， 解得：12k +5≤x ≤12k +9，k ∈Z ，∵x ∈N ∗，且1≤x ≤12，∴x =5，6，7，8，9， ∴客栈在5，6，7，8，9月份要至少准备600份食物．【解析】(1)设函数为f(x)=Asin(ωx +φ)+B(A >0,ω>0,|φ|<π)，x =1，2，…，12，由已知求得A 、B 、ω与φ的值，可得函数解析式；(2)由题意，200sin(π6x −2π3)+500≥600，结合x 为自然数，即可求得x 值，则答案可求． 本题考查函数模型的选择及应用，考查y =Asin(ωx +φ)型函数的图象与性质，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)如图，以O 为原点，以平行于BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的直线为x 轴，以平行于DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，设点S(2cosx,2sinx)，由题可知A(2,2)，B(−2,2)，M(2cosx,2)，N(2,2sinx)， 则p =4cosx +4，q =−4+4sinx ，则pq =16(cosx +1)(sinx −1)=16(cosxsinx +sinx −cosx −1)， 令sinx −cosx =t ∈[−√2,√2]， 则cosxsinx =1−t 22， 即pq =−8(t −1)2，t ∈[−√2,√2]，所以当t =−√2时pq 有最小值为−8(3+2√2)，当t =1时pq 有最大值0， 所以pq 的取值范围是[−8(3+2√2),0]；(2)由(1)得5−OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2q+8=5−(4cos 2x+4)4sinx+4=4sin 2x−34(sinx+1)，令sinx +1=t ，t ∈(0,2], 则原式=4t 2−8t+14t=t +14t −2≥2√t ×14t −2=−1，当且仅当t =12时，即sinx =−12时等号成立，所以5−OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2q+8的最小值为−1.【解析】(1)由平面向量数量积的坐标运算可得；pq =16(cosx +1)(sinx −1)=16(cosxsinx +sinx −cosx −1)，然后令sinx −cosx =t ∈[−√2,√2]，即pq =−8(t −1)2，t ∈[−√2,√2]，再结合二次函数求值域即可；(2)由(1)得5−OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2q+8=5−(4cos 2x+4)4sinx+4=4sin 2x−34(sinx+1)，令sinx +1=t ，t ∈(0,2],然后结合基本不等式可得：4t 2−8t+14t=t +14t−2≥2√t ×14t−2=−1，得解．本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了基本不等式的应用，属基础题．22.【答案】解：设CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =p ⃗ .则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(a ⃗ −p ⃗ )2+(b ⃗ −p ⃗ )2+p ⃗ 2，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3p ⃗ 2−2(a ⃗ +b ⃗ )⋅p ⃗ +a ⃗ 2+b ⃗ 2=3(p ⃗ −a ⃗ +b ⃗3)2+a ⃗ 2+b ⃗ 2−(a ⃗ +b ⃗ )23，所以，当p ⃗ =a⃗ +b ⃗ 3时上式取得最小值， 显然，此时P 0为△ABC 的重心， 设CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x a ⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =y b ⃗ ， 则CP 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗ +b ⃗ 3=13(1x CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1y Cn ⃗⃗⃗⃗⃗ )由P 0，M ，N 三点共线可得13x +13y=1，即1x +1y=3，又x =|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,y =|CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |4， 则1|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12x ，2|CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12y， 代入上式可得：1|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32.【解析】设CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =p ⃗ .则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3p ⃗ 2−2(a ⃗ +b ⃗ )⋅p ⃗ +a ⃗ 2+b ⃗ 2=3(p ⃗ −a ⃗ +b ⃗3)2+a ⃗ 2+b ⃗ 2−(a⃗ +b ⃗ )23，所以，当p ⃗ =a⃗ +b ⃗ 3时上式取得最小值，此时P 0为△ABC 的重心，然后结合三点共线的向量表示求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三点共线的向量表示，属基础题．。