培优专题(第6讲一元一次方程概念和等式性质)
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第6讲 一元一次方程概念和等式性质
考点·方法·破译
1.了解一元一次方程、等式的概念,能准确进行辨析.
2.掌握一元一次方程的解、等式的性质并会运用.
经典·考题·赏析
【例1】 下面式子是方程的是( )
A .x +3
B . x +y <3
C .2x 2 +3 =0
D .3+4 =2+5
【解法指导】判断式子是方程,首先要含有等号,然后看它是否含有未知数,只有同时具有这两个条件的就是方程.2x 2 +3 =0是一个无解的方程,但它是方程,故选择C .
【变式题组】
01.在①2x +3y -1.②2 +5 =15-8,③1-13
x =x +l ,④2x +y =3中方程的个数是( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个
02.(安徽舍肥)在甲处工作的有272人,在乙处工作的有196人,如果要使乙处工作的人数是甲处工作人数的
13
,应从乙处调多少人到甲处?若设应从乙处调多少人到甲处,则下列方程正确的是( ) A . 272+x =13 (196-x ) B . 13
(272-x ) =196 –x C .12×272 +x =196-x D .13 (272 +x ) =196-x 03.根据下列条件列出方程:
⑴3与x 的和的2倍是14 ⑵x 的2倍与3的差是5 ⑶x 的
15与13的差的2倍等于1
【例2】下列方程是一元一次方程的是( )
A .x 2-2x -3=0
B .2x -3y =4
C .1x
=3 D .x =0 【解法指导】判断一个方程是一元一次方程,要满足两个条件:①只含有一个未知数;②未知数的次数都是1,只有这样的方程才是一元一次方程.故选择D .
【变式题组】
01.以下式子:①-2 +10=8;②5x +3 =17;③xy ;④x =2;⑤3x =1;⑥3x x -=4x ;⑦(a +b )c =ac +bc ;⑧ax +b 其中等式有___________个;一元一次方程有___________个. 02.(江油课改实验区)若(m -2)23m x -=5是一元一次方程,则m 的值为( )
A .±2
B .-2
C .2
D .4
03.(天津)下列式子是方程的是( )
A .3×6= 18
B .3x -8 c .5y +6 D .y ÷5=1
【例3】若x =3是方程-kx +x +5 =0的解,则k 的值是( )
A .8
B .3
C .83-
D .83
【解法指导】方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值,所以-3k+3 +5 =0,k=8
3
故选择D.
【变式题组】
01.(海口)x=2是下列哪个方程的解( )
A.3x=2x-1 B.3x-2x+2 =0 C.3x-1 =2x+1 D.3x=2x-2 02.(自贡)方程3x+6 =0的解的相反数是( )
A.2 B.-2 C.3 D.-3
03.(上海)如果x=2是方程1
1
2
x a
+=-的根,那么a的值是( )
A.0 B.2 C.-2 D.-6
04.(徐州)根据下列问题,设未知数并列出方程,然后估算方程的解:
(1)某数的3倍比这个数大4;
(2)小明年龄的3倍比他的爸爸的年龄多2岁,小明爸爸40岁,问小明几岁?
(3)一个商店今年8月份出售A型电机300台,比去年同期增加50%,问去年8月份出售A型电机多少台?
【例4】(太原)c为任意有理数,对于等式1
2
a=2×0.25a进入下面的变形,其结果仍然是等式的
是( )
A.两边都减去-3c B.两边都乘以1 c
C.两边都除以2c D.左边乘以2右边加上c
【解法指导】等式的性质有两条:①等式两边都加(或减)同一个数(或式子)结果仍相等;②等式两边都乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等,故选择A.
【变式题组】
01.(青岛)如果ma=mb,那么下列等式不一定成立的是( )
A.ma+1=mb+1 B.ma−3=mb−3 C.
1
2
-ma=
1
2
-mb D.a=b
02.(大连)由等式3a−5 =2a+b得到a=11的变形是( )
A.等式两边都除以3 B.等式两边都加上(2a-5)
C.等式两边都加上5 D.等式两边都减去(2a-5)
03.(昆明)下列变形符合等式性质的是( )
A.如果2x−3 =7,那么2x=7−x B.如果3x−2=x+l,那么3x−x=1−2
C.如果-2x=5,那么x=-5+2 D.如果-1
3
x=1,那么x=-3
【例5】利用等式的性质解下列方程:
⑴x+7 =19 ⑵-5x=30 ⑶-1
3
x−5 =4
⑴解:两边都减去7得x+7 −7 =19 −7
合并同类项得x=12
⑵解:两边都乘以
1
5
-得x=-6
⑶解:两边都加上5得-
13x −5+5 =4 +5 合并同类项得-13
x =9 两边都乘以-3得x =-27
【解法指导】 要使方程x +7 =19转化为x =a (常数)的形式,要去掉方程左边的7,因此要减7,类似地考虑另两个方程如何转化为x =a 的形式.
【变式题组】
01.(黄冈)某人在同一路段上走完一定的路程,去的速度是1v ,回来的速度是2v ,则他的平均速度为( )
A .122
v v + B .12122v v v v + C .12122v v v v + D .1212v v v v + 02.(杭州)已知11x y =⎧⎨=-⎩
是方程2x −ay =3的一个解,那么a 的值是( ) A .1 B .3 C .-3 D .-1
03.(郑州)下列变形正确的是( )
A .由x +3=4得x =7
B .由a +b =0,得a =b
C .由5x =4x -2得x =2
D .由
6x =0,得x =0 04.(南京)解方程2332x -
= ( ) A .同乘以23- B .同除以32 C .同乘以-32 D .同除以32
【例6】 根据所给出的条件列出方程:小华在银行存了一笔钱,月利率为2%,利息税为20%,5个月后,他一共取出了本息1080元,问他存人的本金是多少元?(只列方程)
【解法指导】 生活中常碰见的储蓄问题是中考中常见的一种题型,应正确理解利息税的含义,清楚本息和:本金+利息(除税后)是解题的关键.题中的利息税是把利息的20%扣除作为税上交国家.
解:设他存入的本金是x 元,则5个月的利息是2%×5x =0.1x 元,需交利息税0.lx ×20%=0.02x 元,根据题意得:x +0. lx −0.02x = 1080.
【变式题组】
01.(甘肃)商场在促销活动中,将标价为200元的商品,在打八折的基础上,再打八折销售,则该商品
现在售价是( )
A .160元
B .128元
C .120元
D .8元
02.(辽宁)根据下列条件,列出方程并解之:
(1)某数的5倍减去4等于该数的6倍加上7,求某数;
(2)长方形的周长是50厘米,长与宽之比为3∶2,求长方形面积,
【例7】 (“希望杯”邀请赛试题)已知p 、q 都是质数,并且以x 为未知数的一元一次方程px +5q =97的解是l .求代数式40p +l 0lq +4的值.
【解法指导】用代入法可得到p 、q 的关系式,再综合运用整数知识:偶数+奇数=奇数、奇数+奇数=偶数、偶数+偶数=偶数.