下载文档原格式
数学分析中的级数展开在数学分析中，级数展开是一种重要的数学工具，用于将一个函数表示为无穷级数的形式。
级数展开在数学和物理学中有广泛的应用，可以帮助我们理解函数的性质和行为。
本文将介绍级数展开的基本概念、常见的级数展开方法以及一些实际应用。
一、级数展开的基本概念级数展开是将一个函数表示为无穷级数的形式，即将函数表示为一系列项的和。
通常情况下，我们希望将一个函数展开成幂级数的形式，即形如∑an(x-a)n的级数。
其中，an是系数，x是变量，a是展开点。
二、常见的级数展开方法1. 泰勒级数展开泰勒级数展开是最常见的级数展开方法之一。
它将一个函数在某个展开点附近展开成幂级数的形式。
泰勒级数展开的公式为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)2/2! + f'''(a)(x-a)3/3! + ...2. 麦克劳林级数展开麦克劳林级数展开是泰勒级数展开的一种特殊情况，展开点为0。
麦克劳林级数展开的公式为：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x2/2! + f'''(0)x3/3! + ...3. 幂级数展开幂级数展开是将一个函数展开成幂级数的形式，不限于泰勒级数展开和麦克劳林级数展开。
幂级数展开的公式为：f(x) = ∑an(x-a)n三、级数展开的实际应用级数展开在数学和物理学中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 函数逼近级数展开可以将一个复杂的函数逼近为一个简单的级数，从而方便计算和分析。
例如，利用泰勒级数展开可以将一个非线性函数逼近为一个多项式函数，从而简化计算。
2. 解析几何级数展开在解析几何中有重要的应用。
例如，利用幂级数展开可以将一个复杂的曲线或曲面表示为一系列简单的项的和，从而方便研究其性质和行为。
3. 物理学级数展开在物理学中有广泛的应用。
常用收敛级数
下面是一些常用的收敛级数（convergent series）的示例：
1.几何级数（Geometric series）：格式：a + ar + ar^2 + ar^3 + ...
收敛条件：当|r| < 1时，级数收敛。
示例：1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 是一个收敛的几何级数，其和为2。
2.调和级数（Harmonic series）：格式：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...
收敛条件：该级数发散，不收敛。
3.自然对数级数（Natural logarithm series）：格式：1 + 1/2 + 1/3
+ 1/4 + ... 收敛条件：该级数发散，不收敛。
4.幂级数（Power series）：格式：a + bx + cx^2 + dx^3 + ... 收
敛条件：收敛范围依赖于幂级数的具体形式和系数。
5.三角函数级数（Trigonometric series）：格式：a0 + a1cos(x) +
b1sin(x) + a2cos(2x) + b2sin(2x) + ... 收敛条件：收敛范围依赖于三角函数级数的具体形式和系数。
这只是一些常见的收敛级数的示例，还有其他许多不同形式和类型的级数，每个级数都有自己特定的收敛条件和求和方法。
级数的收敛性是数学分析中的一个重要概念，对于理解数学和应用领域中的计算和估计都具有重要意义。
级数收敛的概念级数是无穷多个数相加得到的一种数列。
级数收敛的概念是指当无穷个数相加后，得到一个有限的结果。
在数学中，级数是一个重要的概念，应用广泛，特别是在数学分析、实分析、微积分和数论等领域。
我们知道，数列是有限或无限个数按照一定规律排列的序列。
如果数列中的项随着项数的增加而趋近于某个常数或无穷大，那么我们说这个数列是收敛的。
类似地，级数也可以是收敛的或发散的。
一个级数的部分和是指级数中有限个项相加得到的结果。
令Sn表示级数的第n 个部分和，如果这个数列{Sn}收敛，那么我们称这个级数是收敛的，反之称为发散的。
现在我们来具体讨论级数收敛的一些概念和性质。
1. 数列极限：级数中的每一项都可以看作数列中的一个项，因此级数的收敛与数列的极限是密切相关的。
如果数列的极限存在，那么级数也有可能收敛。
2. 部分和：级数的部分和是前n项之和，用Sn表示。
如果部分和Sn存在有限极限，即lim(n→∞)Sn = S，那么我们称级数的和为S，级数是收敛的。
其中，S称为级数的和或总和，也记作S = ∑(从n=1到∞)an。
3. Cauchy收敛准则：一个级数收敛的充分必要条件是它满足Cauchy准则。
一个序列{Un}是Cauchy序列，当且仅当对于任意的ε> 0，存在正整数N，使得当n > m > N时，有Un - Um < ε。
当级数的部分和序列满足这个准则时，我们才能说这个级数是收敛的。
4. 绝对收敛：如果一个级数的每一项的绝对值之和收敛，那么我们称这个级数是绝对收敛的。
5. 条件收敛：一个级数收敛，但是其每一项的绝对值之和发散，那么我们称这个级数是条件收敛的。
6. 收敛级数的性质：如果一个级数收敛，那么它的部分和序列是有界的。
此外，如果级数收敛，那么它的所有子序列也收敛，并且它们的极限都相同。
7. 终极法则：如果一个级数的每一项的绝对值不超过另一个级数的相应项的绝对值，那么如果后者绝对收敛，那么前者也绝对收敛；如果后者发散，那么前者也发散。
级数的重要结论级数是数学中重要的概念之一，它在数学分析、概率论、统计学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍级数的重要结论，包括级数的收敛性、级数和的性质、级数的运算等内容。
一、级数的收敛性级数的收敛性是指级数的部分和是否趋于一个有限的极限。
对于级数∑an来说，如果存在一个实数L，使得对任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，有|Sn-L|<ε，其中Sn表示前n项的部分和，则称级数收敛于L，记作∑an=L。
1. 收敛级数的性质：如果级数∑an收敛，则它的任意子级数也收敛，并且收敛于相同的极限。
2. 收敛级数的必要条件：如果级数∑an收敛，则必有lim(n→∞)an=0。
3. 收敛级数的比较判别法：设∑an和∑bn是两个级数，如果存在正整数N，使得当n>N时，有|an|≤|bn|，则有以下结论：a) 如果∑bn收敛，则∑an也收敛；b) 如果∑an发散，则∑bn也发散。
二、级数和的性质级数和是指级数的所有项相加得到的结果。
对于级数∑an来说，级数和可以是有限的也可以是无限的。
1. 级数和存在的条件：如果级数∑an收敛，则级数和存在。
2. 级数和的唯一性：如果级数∑an收敛，则级数和是唯一的。
3. 改变级数前有限项不改变级数和：如果级数∑an收敛，则级数∑bn也收敛，并且它们的级数和相同，其中bn=an（n>N）。
三、级数的运算级数的运算包括级数的加法、减法、乘法和除法。
1. 级数的加法：如果级数∑an和∑bn都收敛，则它们的和级数∑(an+bn)也收敛，并且有以下结论：a) (∑an+∑bn)=∑(an+bn)b) (∑an+∑bn)的级数和等于∑an的级数和加上∑bn的级数和。
2. 级数的减法：如果级数∑an和∑bn都收敛，则它们的差级数∑(an-bn)也收敛，并且有以下结论：a) (∑an-∑bn)=∑(an-bn)b) (∑an-∑bn)的级数和等于∑an的级数和减去∑bn的级数和。
级数发散和收敛的定义
级数是指将一列数按照特定顺序相加得到的数列。
对于级数的收敛和发散有以下定义：
1. 收敛：如果级数的部分和数列有一个有限的极限，即存在一个实数L，使得当级数的项数趋近无穷大时，部分和趋近于L，则称该级数为收敛的。
数学上可以表示为：级数的部分和数列{Sn}存在有限极限L，即lim(n→∞)Sn=L。
2. 发散：如果级数的部分和数列不存在有限的极限，即当级数的项数趋近无穷大时，部分和趋向于无穷大或无穷小，则称该级数为发散的。
需要注意的是，对于发散的级数，有时也可以给出其无穷大或无穷小的性质，比如无穷大级数可以是正无穷大或负无穷大级数；而无穷小级数可以是正无穷小或负无穷小级数。
级数和函数级数和函数是数学中的两个重要概念，二者的关系十分密切。
在这篇文章中，我将分步骤阐述级数和函数的含义，以及它们之间的联系。
一、级数级数是数学中的一种数列求和形式。
它由一系列实数或复数按照一定的规律相加组成。
形式化地，级数可以表示成以下形式：$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n+...$$其中 $a_n$ 是第 $n$ 个数。
当级数的和存在时，称其为可和级数；否则称其为发散级数。
二、函数函数是数学中最基本的概念之一。
它是一种将输入值映射为输出值的映射关系。
形式化地，函数可以表示成以下形式：$$f:X\rightarrow Y$$其中 $X$ 表示输入值的集合，$Y$ 表示输出值的集合。
函数$f$ 将 $X$ 中的每个元素映射到唯一的一个 $Y$ 中元素，我们通常用 $y=f(x)$ 表示 $x$ 在 $f$ 中的映射。
其中，$x$ 称为自变量，$y$ 称为因变量。
三、级数和函数的关系在某些情况下，级数和函数之间会建立起映射关系。
具体地说，当一个级数的部分和数列 $\{S_n\}$ 收敛于一个实数 $S$ 时，我们可以定义其和函数 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，其中 $x$ 是定义域中的变量。
这里需要特别注意的是，和函数在定义时必须指定其定义域，否则该函数可能不存在。
显然，和函数的值取决于级数 $a_n$ 是否收敛，以及收敛的值是多少。
例如，当级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$ 收敛时，我们可以定义 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$，其中 $x$ 属于定义域。
这里的定义域可以是任意区间，但不能包含 $0$，因为级数在 $x=0$ 处发散。
需要指出的是，并不是所有的级数都可以建立起对应的函数关系。
例如，级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n$ 的部分和数列$\{S_n\}$ 不收敛，所以我们不能定义其和函数。
级数和的定义级数是数学中重要的概念，它描述了无限个数的和。
在实际问题中，级数经常用于物理、工程、经济等领域的建模和计算。
本文将介绍级数和的定义以及与之相关的概念和定理。
首先，我们来定义级数。
级数是由无穷个数的和所组成的表达式，通常表示为∑(n=1 to ∞) a_n ，其中a_n是数列的第n个元素。
例如，∑(n=1 to ∞) 1/n 就是一个级数，每一项都是数列1/1, 1/2, 1/3, ...中的元素。
接下来，我们将介绍级数和的计算方法。
对于某个级数∑(n=1 to ∞) a_n，存在以下三种情况：1. 收敛：如果级数的和存在有限的极限L，则称该级数收敛，记为∑(n=1 to ∞) a_n = L。
在计算级数和时，我们通常使用部分和的概念。
级数的第n个部分和记为S_n，它表示级数前n 个数的和。
当n趋向于无穷大时，如果S_n趋向于一个有限的值L，则级数收敛，并且∑(n=1 to ∞) a_n = L。
2. 发散：如果级数的和不存在有限的极限，则称该级数发散。
这意味着无论我们取的n多大，级数的部分和都没有一个有限的极限值。
3. 不收敛也不发散：有些级数既不收敛也不发散。
这些级数没有定义一个有限的极限值，同时也没有无限地趋向于正无穷或负无穷。
这种情况下，级数的和是没有定义的。
在计算级数和时，有一些常用的方法和技巧，例如：1. 等比级数求和公式：对于等比数列 a, ar, ar^2, ar^3, ... ，如果0 < r < 1，则等比级数∑(n=0 to ∞) ar^n = a / (1 - r)。
例如，∑(n=0 to ∞) (1/2)^n = 1 / (1 - 1/2) = 2。
2. 绝对收敛与条件收敛：对于级数来说，我们可以讨论其所有项的绝对值之和，即∑(n=1 to ∞) |a_n|。
如果这个绝对值级数收敛，则称原级数绝对收敛。
如果绝对值级数发散，但原级数收敛，则称原级数条件收敛。
数学中的数列与级数在数学中，数列与级数是非常重要和常见的概念。
数列是一系列按照一定规律排列的数字的集合，而级数则是将一个数列中的所有项相加得到的结果。
本文将具体探讨数列和级数的定义、性质以及应用。
一、数列的定义与性质数列是按照一定规律排列的一组数字的集合。
一般来说，数列可以用公式表示，如an=a1+(n-1)d，其中an表示数列的第n项，a1表示数列的首项，d表示数列的公差。
数列的性质包括有界性、单调性和有限项性质。
有界性指的是数列是否有上界或下界。
如果数列中的所有项都小于某个数M，则称该数列具有上界M；反之，如果数列中的所有项都大于某个数N，则称该数列具有下界N。
单调性指的是数列的项之间是否满足递增或递减的关系。
如果数列的每一项都大于前一项，则称该数列是递增数列；反之，如果数列的每一项都小于前一项，则称该数列是递减数列。
有限项性质指的是数列中项的个数是否有限。
如果数列只有有限个项，则称该数列是有限数列；反之，如果数列有无穷多项，则称该数列是无限数列。
二、数列的应用数列在数学中有着广泛的应用，尤其在各个分支领域中起着重要的作用。
1. 几何数列与等比数列几何数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项的比称为公比，通常用q表示。
几何数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比，n是项数。
几何数列的应用十分广泛，例如在复利、人口增长模型、物理中的等比数列等方面都有应用。
2. 斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前两项的和。
斐波那契数列以其特殊的规律性而闻名，常用于自然界现象的描述，如植物的生长、蜂巢的排列、兔子繁殖等。
3. 调和级数调和级数是将数列的所有项求倒数并相加得到的级数。
调和级数在数学分析中扮演重要的角色，例如在极限理论和级数收敛性的研究中都有应用。
三、级数的定义与性质级数是将数列中的所有项相加得到的结果。
对于一个数列{an}，级数用符号∑(n=1到∞)an表示。
级数的收敛-概述说明以及解释1.引言1.1 概述级数是数学中非常重要的概念之一。
它是无穷个数相加的结果。
对于一个给定的级数，我们关心的是它是否收敛，即是否存在一个有限的和。
若级数的和为有限值，则称其为收敛级数；若级数的和为无穷大或无穷小，则称其为发散级数。
级数的研究与应用广泛存在于数学的各个领域，如数学分析、物理学、工程学等。
在实际问题中，级数的收敛性质有助于我们对数值计算的理解和掌握。
同时，级数的收敛性也与解析函数、无穷级数、数列极限等数学概念存在密切的联系，因此具有很高的研究价值。
本文主要围绕级数的收敛展开讨论，旨在介绍级数的基本概念、性质以及判定方法。
首先，我们将介绍级数的定义和基本性质，包括级数的收敛和发散的判定条件以及级数的线性运算法则。
接着，我们将详细介绍常用的判定级数收敛的方法，如比较判别法、比值判别法和根值判别法等。
最后，我们将探讨级数在实际问题中的应用，例如级数的近似计算和级数在物理问题中的应用等。
通过本文的学习，读者将能够掌握级数收敛的基本概念和判定方法，进一步理解数学中的级数概念，并能够应用所学知识解决相关问题。
同时，我们也将思考级数收敛的一些深层次问题，并展望级数收敛领域的未来研究方向。
总之，级数的收敛是数学中的重要概念之一，具有广泛的应用价值和研究意义。
本文将以系统而全面的方式介绍级数的收敛性质和判定方法，希望能够为读者提供一定的参考和帮助。
1.2文章结构文章结构主要包括以下几个部分：1. 引子：对级数的收敛进行简要说明2. 正文：详细介绍级数的定义和基本性质、收敛级数的判定方法以及收敛级数的应用3. 结论：总结级数的收敛的重要性，对于级数收敛的思考，以及展望级数收敛的未来研究方向在正文部分中，我们将会详细讨论级数的定义和基本性质，包括级数的概念、无穷级数的收敛性和发散性判定等内容。
然后，我们会介绍收敛级数的判定方法，包括比较判别法、比值判别法、根值判别法和积分判别法等。
数列与级数的收敛性与计算数列与级数是数学中重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨数列与级数的收敛性以及如何计算它们。
一、数列的收敛性数列是由一系列有序的数按照一定的规律排列而成的。
数列的收敛性是指数列是否有一个有限的极限值。
如果数列有一个有限的极限值，我们称其为收敛数列；如果数列没有有限的极限值，我们称其为发散数列。
那么，如何判断一个数列是否收敛呢？有几种常见的方法可以判断数列的收敛性。
1. 极限定义法：根据极限的定义，如果对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n>N时，数列的绝对值与极限值之差小于ε，那么这个数列就是收敛的。
举个例子，考虑数列an = 1/n。
我们要判断这个数列是否收敛。
根据极限定义，对于任意给定的正数ε，我们要找到一个正整数N，使得当n>N时，|an - 0| < ε。
显然，当n > 1/ε时，这个不等式成立。
所以，根据极限定义，这个数列收敛于0。
2. 递推关系法：对于一些特定的数列，我们可以通过递推关系来判断其收敛性。
递推关系是指数列中后一项与前一项之间的关系。
例如，斐波那契数列是一个经典的递推关系数列，其定义为：F(0) = 0，F(1) = 1，F(n) = F(n-1) + F(n-2)（n > 1）。
通过观察可以发现，斐波那契数列是一个收敛数列。
3. 收敛准则法：数列的收敛性还可以通过一些特定的收敛准则来判断。
常见的收敛准则有单调有界准则、夹逼准则等。
单调有界准则是指如果数列是递增且有上界（或递减且有下界），那么这个数列就是收敛的。
夹逼准则是指如果数列an ≤ bn ≤ cn，且an和cn都收敛于同一个极限L，那么数列bn也收敛于L。
二、级数的收敛性级数是由数列的和构成的数列。
级数的收敛性是指级数的部分和是否有一个有限的极限值。
如果级数的部分和有一个有限的极限值，我们称其为收敛级数；如果级数的部分和没有有限的极限值，我们称其为发散级数。
级数在数学中，一个有穷或无穷的序列u 0,u 1,u 2, …的元素的形式和S 称为级数。
序列u 0,u 1,u 2, …中的项称作级数的通项。
级数的通项可以是实数、矩阵或向量等常量，也可以是关于其他变量的函数，不一定是一个数。
如果级数的通项是常量，则称之为常数项级数，如果级数的通项是函数，则称之为函数项级数。
常见的简单有穷数列的级数包括等差数列和等比数列的级数。
有穷数列的级数一般通过初等代数的方法就可以求得。
如果序列是无穷序列，其和则称为无穷级数，有时也简称为级数。
无穷级数有发散和收敛的区别，称为无穷级数的敛散性。
判断无穷级数的敛散性是无穷级数研究中的主要工作。
无穷级数在收敛时才会有一个和；发散的无穷级数在一般意义上没有和，但可以用一些别的方式来定义。
无穷级数的研究更多的需要数学分析的方法来解决。
无穷级数一般写作a 1+a 2+a 3+⋯= a n 或者 a n ∞n =1，级数收敛时，其和通常被表示为 a n ∞n =1无穷级数的定义设(u n )是一个无穷序列：u 1,u 2, …,u n ,…，其前n 项的和称为 u n 的部分和:S n =u 1+u 2+ …+u n(u n )部分和依次构成另一个无穷序列：S 1,S 2, …,S n ,…这两个序列合称为一个级数，记作 u n 或者 u n ∞n =1，其中符号为求和号。
无穷级数的敛散性对于级数 u n ∞n =1，如果当n 趋于正无穷大时，s n 趋向一个有限的极限：S =lim x→∞S n ，那么这个无穷级数就叫做是收敛的，S 叫做级数 u n ∞n =1的和。
如果极限不存在，这个无穷级数就是发散的。
收敛的无穷级数存在唯一的一个和S 。
这时可以定义级数 u n 的余项和：R n =S-S n 。
收敛级数的性质若一个无穷级数 u n : u 1+u 2+ …+u n + …收敛，其和为S ，则如果每一项乘以一个常数a ，得到的级数 au n : au 1+au 2+ …+au n + …也收敛，且和等于aS 。
收敛的无穷级数可以逐项相加或相减，如有两个无穷级数：u n =s ∞n =1和 v n =t ∞n =1则 (u n ±v n )=s ±t ∞n =1.级数前面加上有限项或减去有限项不影响其敛散性，如：S=u 1+u 2+ …+u n + …和S=u 12+u 15+ u 16+ u 17+…+u n + …这两个级数的敛散性是一样的。
当n 趋向无限大时，任何一个收敛级数的通项都趋于0：lim n→∞u n =0在一个完备空间中，也可以运用柯西收敛的准则来判断级数是否收敛：一个无穷级数 u n +∞n =1收敛的充要条件是，对任意ε>0 ，总存在N 0>0，使得任意的n>m>N 0，有S n −S m = u k nk =m +1=|u m +1+u m +2+⋯+u n |<ε无穷级数的研究历史将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自14世纪印度的马德哈瓦。
他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理逼近以及无穷连分数做了研究。
他发现了正弦、余弦、正切函数等的泰勒展开，还用幂级数计算π 的值。
他的学生继承和发展了他关于级数的工作。
17世纪，詹姆斯·格里高利也开始研究无穷级数，并发表了若干函数的麦克劳林展开式。
1715年，布鲁克·泰勒提出了构造一般解析函数的泰勒级数的方法。
18世纪时欧拉又发展了超几何级数和q-级数的理论。
对审敛法的研究14世纪时，马德哈瓦已经开始讨论判别无穷级数敛散性的方法。
他提出了一些审敛的准则，后来他的学生将其推广。
然而在欧洲，审查无穷级数是否收敛的研究一般被认为是从19世纪由高斯开始的。
他于1812年发表了关于欧拉的超几何级数1+αβ1∙γx +α(α+1)β(β+1)1∙2∙γ(γ+1)x 2+⋯ 的论文，提出了一些简单的收敛准则，并对余项和以及收敛半径进行了讨论。
柯西提出了严格的审敛法的重要性，他证明了两个收敛级数的乘积不一定是收敛的，同时开始研究严格的审敛准则。
欧拉和高斯各自给出了各种审敛法则。
柯西更研究了复函数的幂级数展开。
1826年，阿贝尔在他的关于二项式级数1+m 1x +m (m −1)2!x 2+⋯ 的论文中更正了柯西的若干个结论，并给出了二项式级数的严格的求和方法，指出了连续性在收敛问题中的重要性。
柯西提出的审敛法并不是普遍适用的，只能用于判别某些特定函数的敛散性。
同时代的其他数学家，比如拉贝（Joseph Ludwig Raabe ）的对数判别法，德·摩根的对数判别法（被 DuBois-Reymond 和普林斯海姆证明对某些函数失效） ，以及贝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的审敛法也是如此。
对普遍的审敛法则的研究由恩斯特·库默尔开始，之后的艾森斯坦、维尔斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力于这一领域。
普林斯海姆于1889年发表的论文阐述了完整的普适审敛理论。
对一致连续性的研究1821年，柯西首先开始对一致连续性的研究，但其中有不少错误和局限。
这些错误最早被阿贝尔指出，但首先得出正确结论的是西德尔（en:Philipp Ludwig von Seidel ）和斯托克斯。
1853年，柯西在注意到阿贝尔的批评后重新开展研究，并得到了与斯托克斯一样的结论。
然而，一致连续性的重要性在很长一段时间里没有受到重视。
类别几何级数几何级数（或等比级数）是指通项为等比数列的级数，比如：11+12+14+18+116+⋯= 12n ∞n =0一般来说，几何级数 z n ∞n =0收敛当且仅当 |z | < 1。
调和级数主条目：调和级数调和级数是指通项为1n 的级数： 11+12+13+14+15+⋯= 1n ∞n =1 它是发散的。
p-级数p-级数是指通项为1n p 的级数：U p =1n p∞n =1 对于实数值的p ，当p > 1 时收敛，当p ≤ 1 时发散。
这可以由积分比较审敛法得出。
函数ζ:p ↦U p 是黎曼ζ函数在实轴大于1的部分的限制，关于黎曼ζ函数有著名的黎曼猜想。
裂项级数(b n −b n +1)∞n =1收敛当且仅当数列b n收敛到某个极限L，并且这时级数的和是b1− L。
泰勒级数主条目：泰勒级数泰勒级数是关于一个光滑函数f 在一点a附近取值的级数。
泰勒函数由函数在点a的各阶导数值构成，具体形式为：f n(x) n!(x−a)n∞n=0这是一个幂级数。
如果它在a附近收敛，那么就称函数f在点a上是解析的。
交错级数具有以下形式的级数(−1)n a n∞n=0其中所有的 a n非负，被称作交错级数。
交错级数的收敛通常要借助莱布尼茨判别法。
幂级数形同a n(x−x0)n的函数项无穷级数称为x-x0的幂级数。
它的收敛与否和系数a n有关。
傅里叶级数主条目：傅里叶级数任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，称为傅里叶级数。
傅里叶级数是函数项无穷级数，也就是说每项都是一个函数。
傅里叶级数在数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
例如，周期为2 π的周期函数f(x)可以表示为：f x=a02+(a n cos nx+b n sin nx),n=1,2,3,…∞n=1其中，a n=1πf x cos nxπ−πdx，b n=1πf x sin nxπ−πdx，a0=1πf xπ−πdx常数项无穷级数（数项级数）正项级数若通项为实数的无穷级数每一项u n都大于等于零，则称u n是一正项级数。
如果无穷级数u n是正项级数，则部分和S n是一个单调递增数列。
由数列极限的判别准则：单调有界数列必有极限。
因此，要么部分和数列S n有界，这时u n收敛，S=lim x→∞S n，要么部分和数列趋于正无穷，这时级数发散。
比较判别法设u n和v n是正项级数。
如果存在正实数M，使得从若干项开始，u n≤Mv n（也就是说u n=Ο∞(v n)），则当v n收敛时，可推出u n也收敛;当u n发散时，可推出v n也发散。
如果lim n→∞u nv n=0，则当v n收敛时，可推出u n也收敛;当u n发散时，可推出v n也发散。
如果lim n→∞u nv n=1，则v n和u n同时收敛或发散。
比如，我们已知级数：1n2收敛，则级数：sin nn2也收敛，因为对任意的n ，sin n≤1。
比较判别法的特点是要已知若干级数的敛散性。
一般来说，我们可以选择比较简单的级数：U p=1n p作为“标准级数”，依此判断其他函数的敛散性。
需要知道的是当p≤1时，U p发散，当p>1时，U p收敛。
达朗贝尔判别法主条目：达朗贝尔审敛法|达朗贝尔判别法|达朗贝尔审敛法在比较判别法中，如果取几何级数为比较的标准级数，可得：设u n是通项大于零的正项级数。
并且lim n→∞u n+1u n=p，则当p<1 时，级数u n收敛。
当p>1 时，级数u n发散。
当p=1 时，级数u n可能收敛也可能发散。
这个判别法也称为比值判别法或比值审敛法。
柯西收敛准则主条目：根值审敛法设u n是正项级数。
并且lim n→∞u nn=p，则当p<1 时，级数u n收敛。
当p >1 时，级数 u n 发散。
当p =1 时，级数 u n 可能收敛也可能发散。
这个判别法也称为根值判别法或根值审敛法'。
交错级数主条目：交错级数具有以下形式的级数 (−1)n a n ∞n =1,其中所有的 a n 非负，被称作交错级数。
莱布尼茨判别法主条目：莱布尼茨审敛法|莱布尼茨判别法|莱布尼茨审敛法在上述的级数 (−1)n a n ∞n =1中，如果当 n 趋于无穷时, 数列 a n 的极限存在且等于 0，并且每个 a n 小于 a n-1 (即, 数列 a n 是单调递减的)，那么级数收敛。
任意项级数对于通项为任意实数的无穷级数 u n ，将级数 |u n | 称为它的绝对值级数。
可以证明，如果 |u n |收敛，那么 u n 也收敛，这时称 u n 绝对收敛。
如果 u n 收敛，但是 |u n | 发散，则称 u n 条件收敛。
比如说，级数sin n n 2 绝对收敛，因为前面已经证明 sin nn 2收敛。
而级数 (−1)n n 是条件收敛的。
它自身收敛到 ln 12 ，但是它的绝对值级数 1n是发散的。
黎曼级数定理说明，如果一个无穷级数 u n 条件收敛，那么对于任意的实数 x ，存在一个正整数到正整数的双射σ ，使得级数 u ς(n ) 收敛到 x 。
对于正负无穷大，上述双射也存在。
