根的存在性定理：如果)(x f 在闭区间[a,b]上连续0)(,,0)()(=∈<ξξf b a b f a f ）使得（则存在。
证明 利用构造法的思想，将)(x f 的零点范围逐步缩小。
先将[a,b]二等分为],2[],2,[b b a b a a ++，如果0)2(=+b a f 。
则定理获证。
如果0)2(≠+b a f ，则f(a)和f(b)中必然有一个与)2(b a f +异号，记这个小区间为[11,b a ],它满足2-0)()(1111a b a b b f a f -=<且区间的长度。
又将[11,b a ]二等分，考虑中点的函数值，要么为零，要么不为零。
如果中点的函数值为零，则定理获证。
如果中点的函数值不为零，那么必然可以选出一个小区间，使得f(x)在这个区间的端点值异号，记这个小区间为],[22b a ，它满足[a,b]⊃[11,b a ]],[22b a ⊃，0)()(222222<-=-a f b f a b a b 且。
采用这样的方法一直进行下去，或者到有限步时，某个区间的中点的函数值为零，这样定理的结论成立。
或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列{],[n n b a }，它满足:①[a,b]⊃[11,b a ]⋅⋅⋅⊃⊃],[22b a ；②nn n a b a b 2-=-；③0)()(<n n a f b f 。
由单调有界定理，可以得到],[lim lim b a b a n n n n ∈==∞→∞→ξ，如果0)(=ξf ，则定理获证。
如果0)(≠ξf ，因为f(x)在ξ点连续，因而由连续函数的局部保号性：存在一个0>δ，使得f(x)在],[),(b a ⋂+-δξδξ上与)(ξf 同号。
根据所构造的区间的性质②，存在正整数N ，当n>N 时，],[),(],[b a b a n n ⋂+-⊂δξδξ。
