极坐标讲座

解 如图10 -12所示,设M , 是直线上任意一点.连接OM ,
则OM =, AOM .又因为
OAM ,所以有cos a ,
2
即
a cos
• M ,
O
•
A a, 0
x
这就是所求直线的极坐标方程.
图10-12 例8图形
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例9 设有一圆经过极点O,圆心C在极轴上,半径为a,求它 的极坐标方程.
第11页
例2 设点M的直角坐标为1,-1,求它的极坐标.
解 由公式10-2可得 :
12 12 2, tan 1 1.
1
因为点M 1, 1在第IV象限,所以 7 ,于是可得点M的
4
极坐标为
2,
7 4
.
第12页
二、曲线极坐标方程
1.曲线极坐标方程概念
在平面上的一条曲线, 在
直角坐标系中可以用含有 x 和 y 的方程来表示.同样,在极坐
x O
M0 0,0
图10-14 等速螺线极坐标系
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极角为: t
由于 t
所以
0
令a ,得 :
0 a a, 0为常数,且a 0.
这就是等速螺线的极坐标方程.
如果0 0,即动点M由极点O开始运动,那么 a.这时,极 径与极角成正比.
下面我们来作等速螺线 a a 0的图像.
x
5 cos
3
5 2
,
y
5
sin
3Leabharlann 53 2.
第10页
于是得点M的直角坐标为
5 2
,
5
3 2
.我们也可以把点M的
直角坐标化为极坐标,由公式10 1变化可得 :

0, 且0 2（或 ）
第15页
思考？ 平面内一点P直角坐标是 ( 3，,1)其 极坐标如何表示?点Q极坐标 为(5, 2 )，其直角坐标如何表示？
3
第16页
六、极坐标与直角坐标互化公式
极化直：x cos , y sin
直化极： 2 x2 y2 , tan y ( x 0)
第11页
关于负极径思考
“负极径”真是“负”？
？？？
依据极径定义，极径是距离，当然是正。 现在所说“负极径”中“负”到底是什么意 思？
负极径实质:从比较来看，负极径比正极径多了一 个操作，将射线OP“反向延长”。而反向延长也 能够当作是旋转 ，因此，所谓“负极径”实质 是管方向。这与数学中通常习惯一致，用“负” 表示“反向 ”。
6
3
[小结]由极坐标描点环节： (1) 先按极角找到点所在射线； (2) 在此射线上按极径描点.
第8页
三、点极坐标表示式研究
M
如图：OM长度为4，
4
请说出点M极坐标表示式？ 思考：这些极坐标之间有何异同？
O
4，π 4
+2kπ
X
极径相同，不同是极角.
思考：这些极角有何关系？
这些极角始边相同，终边也相同。也就是说它们是 终边相同角。
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四、极坐标系下点与它极坐标相应情况
[1]给定（,）,就能够在极坐 标平面内拟定唯一一点M
P
M (ρ,θ)
O
X
[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标
与之相应。
原因在于：极角有无数个。
点与极坐标是一对多关系
[3]假如限定ρ＞0,0≤θ＜2π 那么除极点外,
平面内点和极坐标就能够一一相应了. 第10页

极坐标的知识点总结极坐标是一种描述平面上点的坐标系统，与直角坐标系相对应。

在极坐标中，点的位置由极径和极角表示，极径代表点到原点的距离，极角代表点与正半轴的夹角。

极坐标具有一些独特的性质和应用，下面将逐步介绍极坐标的基本概念、转换公式以及在数学和物理等领域的应用。

一、极坐标的基本概念 1. 极坐标系：极坐标系是由极轴和极角组成的坐标系，其中极轴是由原点O出发的射线，极角是由极轴和射线OP所夹的角度。

2. 极点和极径：极点是极坐标系的原点O，极径是点P到极点O的距离，用r表示。

3.极角：极角是由极轴和射线OP所夹的角度，通常用θ表示，取值范围为0到360度或0到2π弧度。

二、极坐标与直角坐标的转换公式 1. 极坐标到直角坐标的转换： - x = r * cosθ - y = r * sinθ 2. 直角坐标到极坐标的转换： - r = √(x^2 + y^2) - θ = arctan(y / x)三、极坐标的应用 1. 数学中的应用： - 极坐标方程：用极径和极角表示的方程，常用于描述曲线、圆和椭圆等几何图形。

- 极坐标下的微积分：在极坐标下，可以使用极坐标系的雅克比行列式来进行积分运算。

- 极坐标下的曲线积分：极坐标下的曲线积分可以简化对于弧长的计算，常用于求解环形路径上的物理量。

2. 物理中的应用： - 极坐标下的速度和加速度：利用极坐标转换公式，可以将速度和加速度从直角坐标系转换到极坐标系，从而更方便地描述物体的运动状态。

- 极坐标下的力和力矩：在某些情况下，使用极坐标可以更直观地描述物体受力和力矩的情况，尤其是涉及到旋转运动的问题。

总结：极坐标是一种用极径和极角表示点的坐标系统，可以简化某些数学和物理问题的描述和计算。

通过极坐标与直角坐标的转换公式，可以在不同坐标系之间进行转换。

在数学和物理等领域，极坐标具有广泛的应用，如曲线方程、微积分、曲线积分、运动学和动力学等。

了解和掌握极坐标的知识点有助于我们更好地理解和应用相关的数学和物理概念。

极坐标 ()P r ,θ,其中r 是从 O 到 P 的有向距离, θ是从初始射线到射线OP 的有向角一、如果不限制 r ,θ 的范围, 同一个点的极坐标表示不是唯一的.例如P P π11π2,2,66⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭表示同一个点.二、极坐标r<0的意义例1 r sin2θ用直角坐标系中r sin2θ=的图形来理解四叶玫瑰线r sin2θ=(),=θ当0r Fr≥时用描点方r<，则极坐标系中法作图.若0点 (),r θ 实际上处于点(),r -θ+π 或 (),r -θ-π 的位置上，于是得到如下的处理方法: 将直角坐标曲线 ()r F =θ 在轴下方的图形向左或向右平移 π 的整数倍，使之位于区间 []0,2π 内；再以 θ 轴为轴线将这部分图形翻转到 θ 轴上方，然后按， 0r ≥ 情形的描点方法作图.注意负移正不动.sin3r =θ在直角坐标系中的图形轴下方图形平移后的结果如下图下方图形向上翻转得到例3 ()33sin0r a a θ=>求曲线 ()33sin0r a a θ=> 的全长．分析 本例中()33sin0r a a θ=> 是一个连续的周期函数，其周期为 6π ，即区间 []6,66n n πππ+ 上的曲线与区限[]0,6π 上的曲线完全重合．但这并不说明曲线的绕圈周期也一定就是 6π ，完全有可能是 实际上, 在区间 []0,3π 上曲线完成一个周期．而在区间[]3,6ππ ．由丁 0r < ，所以曲线与区间[]0,3π 上曲线完全重合. 事实上, 设 θ=[]()30,3πααπ+∈()3333333sin sinsin 0,r a a a θπααπ+===+<按照 0r < 的几何意义,()()333sin ,a ααππ++ 与()333sin,a αα表示同一个点.30S πθ=⎰30πθ=⎰32332sin.a d a πθθπ==⎰三、极坐标下的对称性四、极坐标图形举例 例4B1p165-20 双纽线r a 222cos2θ=如图所示, 12ρρ⋅ a 2= 的点的轨迹. 由余弦定理,r a ra r a ra 22212222ρ2cos θρ2cos θ⎧=++⎨=+-⎩ ()r ar a 2222222212ρρ4cos θ⇒=+- ,即()a r ar a 24222224cos θ=+- , 即()r a r a 22222212cos θ02cos2θ+-=⇒=例5 脏线(左尖) r 1cos θ=+ 的图形动画演示：心脏线左尖.gif心脏线左尖平行线.gif例6 心脏线r1cosθ=-的图形心脏线r1cosθ=-,动画演示: 心脏线动画.gif 心脏线+平行线.gif例7 设a 1=.方程 r 2cos2θ= 要求cos2θ0≥ 于是我们让 2θ 从 π2- 跑到 π2 即 ππ44θ-≤≤ 就得到整个图形. 对 π4- 和 π4 之间的θ 每一个值 , 公式 r 2cos2θ=给出 r 的两个值 r =动画演示: 双纽线2.gif的图形例8 r24cosθ=动画:双纽线1.gif r24cosθ例9r3sinθ 3.5cos10θcos8θ=+动画演示: 极坐标画花.gif例10 b1p175-33动画 b1p175-33.gif 五、极坐标曲线的斜率设曲线()=r fθ,改写成参数方程()()x r f y r f cos θθcos θsin θθsin θ==⎧⎨==⎩()()()()dxd dy d f f f f θθθcos θθsin θθsin θθcos θ'=-⎧⇒⎨'=+⎩()()()()()f f dydx f f r θsin θθcos θθcos θθsin θ,θ'+'-=心脏线 r 1cos θ=-水平切线在()()0,00,2π,= ()()32π34π2323,,,垂直切线在()()π123,,2,π, ()5π123,六、极坐标面积微元七、极坐标的弧长公式设曲线 ()r f θ,αθβ=≤≤ 改写成参数方程 ()()x r f y r f cos θθcos θsin θθsin θ==⎧⎨==⎩()()()()dxd dy d f f f f θθθcos θθsin θθsin θθcos θ'=-⎧⇒⎨'=+⎩()()()()()()()dy dx dr f f r 222222θθ'+=+=+L βθ=⎰θ=⎰八、应用举例1. 对数螺线一般对数螺线的极坐标方程是r a θμ= ,其中 a r 0= , 即 θ0= 时的向径长度.若 ψ 表示切线与向径的夹角,则()()x r r y r r cos θθcos θsin θθsin θ==⎧⎨==⎩()()()()dx dy d r r r r θθcos θθsin θθcos θθsin θ''⎧=-⎨=-⎩()()()()()r r r r dydx r r r r r θsin θθcos θθtan θθθcos θθsin θθθtan θ,θ''''++--==()y y tan θtan αtan θ1tan αtan θ1tan θtan ψtan αθ'--'++=-==()()()()()()()()()()()()()()()()()()r r r r r r r r r r r r r r r r θtan θθθθtan θθtan θθθθtan θtan θθtan θθtan θθθtan θθθtan θtan θθtan θθ1tan θ'+'''-'''+'--+---+++==()()()()()()r r r r θ1tan θθθ1tan θθ''++==,即得()()r r θθcot ψ,'=而 r a θμ=()()r a r θθμln μθln μ'⇒==于是 ()()()()r r r r θθln μθθcot ψln μ.'===由此可见, 在对数螺线上的任何一 点处切线与向径的夹角都是常数.这样定义的对数螺线, 任何一对互相垂直的向径为边的矩形都是黄金矩形, 故称黄金对数螺线.2. 阿基米德螺旋线 a ρφ.有一种凸轮传动装置, 通过以匀角速度 ω 转动的主动轮边缘来驱动从动杆, 使从动杆以匀速 v 作铅直上升的直线运动, 并周期性地突然下降再作铅直上升的直线运动, 如此周而复始.t φω,= vt 0ρρ=+这里 0ρ 为初始向径, 参数 t 为转动时间, 消去其中的参数 t , 得到vω0ρρφ,=+记 va ,= 则有a 0ρρφ=+ ()0φ2π≤≤如果对上式所表示曲线中的 φ 的范围不加限制, 则可得到一圈圈向外呈发散状的螺旋线.动画演示: 阿基米德螺线.gif九、求极坐标图形的交点从图形上看, 曲线 r 1cos θ=- 与曲线 r 24cos θ= 有四个交点. 但是我们联立 rr r r 2421cos θ14cos θ=-⎧⇒=-⎨=⎩≤所r2⇒=-±因为r2,以舍弃r2=--=-+的θ值是对应r2()(θarccos1arccos380 =-=-≈±r但是漏掉()2,π两个交0,0和()点.为什么这两个交点没有被解联立方程发现? 回答是:点()0,0和()2,π不同时在曲线上, 即不是在同样的θ值到达. 在曲线==-上, 点()r1cosθ2,π在θπ=上,点时到达; 而在曲线r24cosθ()=时到达, 它没有从2,π在θ0坐标()2,π得到,因为该坐标不满足方程, 但可以从坐标()-得到,后2,0=-者满足方程. 类似地, r1cosθ在 θ0= 时到达原点, 而曲线r 24cos θ=,在 πθ2= 时到达原点.动画演示:极坐标曲线交点-动画.gif在交通控制中,人们关心的是两个航空器是否会在同一时刻到达同一位置,而它们经过的曲线是否相交却无关紧要.十、极坐标图形的渐近线1,r θ=11cos sin x y θθ=θ⎧⎨=θ⎩ tan y x=θ 0x →+∞⇔θ→lim lim 0y yx x x →∞θ→==lim lim 1x y y →∞θ→==渐近线为 1y =同理可求r =渐近线为 0.y =21r θ= 无渐近线.。