121平面上点的极坐标系

教学反思
教学导入，从学生熟悉的感兴趣的生活中的实例导入新课，激发学生的学习兴趣，体会数学与生活的密切关系。

教学中给学生充分的自主探究思考时间，通过学生的认知规律探究出极坐标与直角坐标的互化问题，从而很好的解决了本节课的重点难点问题。

课件简洁适用。

学生数学能力的形成应该落实在课堂教学中的每一个细节中，课内要引导学生及时归纳总结，这节课的容量比较多，所以有些方法总结和课时小结还没有很好的到位，可以适量的减少点内容，能让学生消化理解得更透彻。

好的课堂应该是让学生课前有一种期待，课中有一种满足，课后有一种留念，路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。

极坐标公式什么是极坐标公式？极坐标公式是一种用于描述平面上点的坐标系统。

与直角坐标系不同，极坐标系使用一个极径和一个极角来表示一个点的位置。

极径表示点与原点的距离，而极角表示点与参考方向的夹角。

极坐标公式可以使用以下形式来表示一个点的坐标：(r, θ)其中，r表示极径，单位可以是长度单位，例如米或英尺；θ表示极角，单位可以是角度（°）或弧度（rad）。

极坐标与直角坐标的关系极坐标与直角坐标之间可以相互转换。

对于平面上的点P(x, y)：•极径r的值可以通过以下公式计算得出：r = √(x^2 + y^2)•极角θ的值可以通过以下公式计算得出：θ = tan^(-1)(y / x)•直角坐标(x, y)则可以通过以下公式计算得出：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)如何使用极坐标公式？极坐标公式在数学、物理、工程等领域中具有广泛的应用。

以下是一些常见的用途：1. 描述圆形和椭圆形极坐标可以方便地描述圆形和椭圆形。

对于一个圆心为原点、半径为r的圆，极坐标参考方向可以是任意方向，极径始终保持为r。

椭圆形则可以通过调整极径来改变其形状。

2. 函数图像表示极坐标可以用来表示一些特殊的函数图像，例如极坐标方程r = f(θ)可以表示函数图像。

这在图形学和可视化编程中经常使用，可以绘制出美观的图形。

3. 矢量运算极坐标公式也被用于进行矢量运算。

例如，在物理学中，可以使用极坐标来描述物体的速度和加速度。

通过将速度和加速度分解为径向和切向分量，可以更方便地进行计算。

4. 坐标变换极坐标可以用于进行坐标变换。

在某些情况下，极坐标可以更简洁地描述物体的位置和方向。

因此，当需要进行坐标变换时，可以将直角坐标转换为极坐标进行计算，然后再转换回直角坐标。

总结极坐标公式提供了一种描述平面上点位置的坐标系统。

它与直角坐标系有不同的表示方法，但二者之间可以相互转换。

极坐标公式在数学、物理、工程等领域中有广泛的应用，可用于描述圆形和椭圆形、函数图像表示、矢量运算以及坐标变换等。

§1.3.1极坐标系在平面内取定一点O ，O 点叫作极点：从O 起引一条射线O x ，这条从极点起的射线O x 叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。

对于平面上的一个点M ，连接极点O 与M ，线段OM 之长ρ叫作M 点的极径（或矢径、或向径），极轴O x 为始边按逆时针转到OM 的角θ叫作M 点的极角，有序数对（ρ，θ）叫作M 点的极坐标。

当M 在极点时，它的极径ρ=0，极角θ可取任何实数。

在极坐标系中，若无特殊声明，ρ是非负实数，[)+∞∈,0ρ，),(+∞-∞∈θ。

当[)πθρ2,0,0∈>时，平面上的点与极坐标一一对应。

事实上，对给定的ρ与θ，由极坐标（ρ，θ）可以唯一地确定一个点M ，但是反过来，平面上给定一点，却可以写出这个点的无数多个极坐标。

根据点的极坐标（ρ，θ）的定义，对于给定的点，它的极径ρ是唯一确定的，但极角却可以有无穷多种，如果我们写出了它的极坐标（ρ，θ），则（ρ，πθn 2+）也是这个点的极坐标，其中n 是任意整数，当0>n 时，πθn 2+表示从该点起绕极点O 逆时针转动了n 圈又回到原处，当0<n 时，πθn 2+表示从该点起绕极点O 顺时针转动了n 圈又回到原处。

三、范例讲解例1、在极坐标系中，画出点A （1，4π），B （2，23π）C （3，4π-）D （4，49π） 解析：在极坐标系中，先按极角找到极径所在的射线，即4π线，23π线，4π-线，49π线，4π线和49π线是同一条射线，然后在相应的射线上按极径的数值描点。

指出：我们也可以允许0<ρ，此时极坐标（ρ，θ）对应的点M 的位置按下面规则确定：点M 在与极轴成θ角的射线的反向延长线上，它到极为O 的距离|ρ|，即规定当0<ρ时，点M （ρ，θ）就是点M （πθρ+-,）例2、如图在极坐标系中，写出点A ，B ，C ，的极坐标，解析：在极坐标系中，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，然后按照极径所在的射线的位置求出极角。

4.1.2 极坐标系1．了解极坐标系．2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置．3．体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．[基础·初探]1．极坐标系(1)在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．(2)设M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．有序实数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．约定ρ＝0时，极角θ可取任意角．(3)如果(ρ，θ)是点M 的极坐标，那么(ρ，θ＋2k π)或(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)(k ∈Z )都可以看成点M 的极坐标．2．极坐标与直角坐标的互化以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位(如图4-1-3所示)，平面内任一点M 的直角坐标(x ，y )与极坐标(ρ，θ)可以互化，公式是：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).图4-1-3通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0,0≤θ＜2π.[思考·探究]1．建立极坐标系需要哪几个要素？【提示】 建立极坐标系的要素是：(1)极点；(2)极轴；(3)长度单位；(4)角度单位和它的正方向，四者缺一不可．2．为什么点的极坐标不惟一？【提示】 根据我们学过的任意角的概念：一是终边相同的角有无数个，它们相差2π的整数倍，所以点(ρ，θ)还可以写成(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )；二是终边在一条直线上且互为反向延长线的两角的关系，所以点(ρ，θ)的坐标还可以写成(－ρ，θ＋2k π＋π)(k ∈Z )．3．将直角坐标化为极坐标时如何确定ρ和θ的值？【提示】 由ρ2＝x 2＋y 2求ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝yx (x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取得最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝yx 按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：(1)当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；(2)当 x ＝0，y ＞0时，可取θ＝π2；(3)当x ＝0，y ＜0时，可取θ＝3π2.[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑问3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________≤θ＜2π)．图4-1-4【自主解答】 对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π4，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，7π6，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π4，E ()9，0，F (3，π)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫9，3π2. [再练一题]1．已知边长为a 的正六边形ABCDEF ，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标．【导学号：98990003】【解】 以正六边形中心O 为极点，OC 所在直线为极轴建立如图所示的极坐标系．由正六边形性质得：C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，43π)，B (a ，53π) 或C (a,0)，D (a ，π3)，E (a ，2π3)，F (a ，π)，A (a ，－2π3)，B (a ，－π3).在极坐标系中，求与点M (3，－3)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标．【自主解答】 极坐标系中点M (ρ，θ)关于极轴对称的点的极坐标为M ′(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，利用这个规律可得对称点的坐标为(3,2k π＋π3)(k ∈Z )．[再练一题]2．在极坐标系中，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6(限定ρ＞0，0≤θ＜2π)．(1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是________． (3)点A 关于直线θ＝π2对称的点的极坐标是________． 【解析】 通过作图如图可求解为【答案】 (1)(3，11π6) (2)(3，7π6) (3)(3，5π6)(1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫8，2π3化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．【自主解答】 (1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此，点M 的直角坐标是(－4,43)．(2)ρ＝(6)2＋(－2)2＝22， tan θ＝－26＝－33， 又因为点P 在第四象限且0≤θ≤2π，得θ＝11π6.因此，点P 的极坐标为(22，11π6)．[再练一题]3．(1)把点A 的极坐标(2，7π6)化成直角坐标；(2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． 【解】 (1)x ＝2cos 7π6＝－3， y ＝2sin 7π6＝－1，故点A 的直角坐标为(－3，－1)． (2)ρ＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝－31＝－ 3.又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π3. 因此点P 的极坐标是(2，5π3)．在极坐标系中，已知A ⎝ ⎭⎪⎫3，－π3，B ⎝ ⎭⎪⎫1，2π3，求A 、B 两点之间的距离．【思路探究】 将点的极坐标化为直角坐标，在用两点间距离公式求解． 【自主解答】 对于A (3，－π3)，x ＝3cos(－π3)＝32；y ＝3sin(－π3)＝－332， ∴A (32，－332)．对于B (1，2π3)，x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin 2π3＝32，∴B (－12，32)． ∵AB ＝(32＋12)2＋(－332－32)2＝4＋12＝4，∴A 、B 两点之间的距离为4.有些问题在用极坐标表示时没有现成的解法，但在直角坐标系中却是一个常见的问题．因此，换一个坐标系，把极坐标系中的元素换成直角坐标系中的元素，问题就可以迎刃而解了．如果题目要求用极坐标作答，那么解完再用极坐标表示就行了．[再练一题]4．在极坐标系中，已知三点：A (4,0)、B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2、C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ，π6.(1)求直线AB 与极轴所成的角；(2)若A 、B 、C 三点在一条直线上，求ρ的值．【解】 (1)点A 的直角坐标为(4,0)，点B 的直角坐标为(0，－4)，直线AB 在直角坐标系中的方程为x －y ＝4.故直线AB 与x 轴所成角为π4.(2)点C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32ρ，12ρ，代入直线方程得 32ρ－12ρ＝4， 解得ρ＝83－1＝4(3＋1)．[真题链接赏析](教材第17页习题4.1第6题)将下列各点的极坐标化为直角坐标：⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，11π6，(5，π)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－3π2， ⎝ ⎛⎭⎪⎫－42，3π4.已知下列各点的直角坐标，求它们的极坐标．(1)A (3，3)；(2)B (－2，－23)； (3)C (0，－2)；(4)D (3,0)．【命题意图】 本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，属基础题． 【解】 (1)由题意可知：ρ＝32＋(3)2＝23，tan θ＝33，所以θ＝π6，所以点A 的极坐标为(23，π6)． (2)ρ＝(－2)2＋(－23)2＝4，tan θ＝－23－2＝3，又由于θ为第三象限角，故θ＝43π，所以B 点的极坐标为(4，43π)．(3)ρ＝02＋(－2)2＝2.θ为32π，θ在y 轴负半轴上，所以点C 的极坐标为(2，32π)．(4)ρ＝32＋02＝3，tan θ＝03＝0，故θ＝0.所以D 点的极坐标为(3,0)．1．点P (－2,2)的极坐标(θ∈[0,2π))为________． 【解析】 由ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋22＝22，tan θ＝2－2＝－1，∵P 点在第二象限内， ∴θ＝3π4，∴ρ的极坐标为(22，3π4)． 【答案】 (22，3π4)2．在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是________．【导学号：98990004】【解析】 极径为ρ，极角为θ，θ关于极轴对称的角为负角－θ，故所求的点为(ρ，－θ)．【答案】 (ρ，－θ)3．将极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为________．【解析】 x ＝ρcos θ＝2cos 32π＝0，y ＝ρsin θ＝2sin 32π＝－2， 故直角坐标为(0，－2)． 【答案】 (0，－2)4．已知A ，B 的极坐标分别是⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π12，则A 和B 之间的距离等于________．【解析】 由余弦定理得 AB ＝ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2·cos (θ1－θ2) ＝ 32＋(－3)2－2×3×(－3)cos (π4－π12) ＝9＋9＋93＝18＋9 3＝36＋322.【答案】36＋322我还有这些不足：(1)_____________________________________________________(2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________(2)_____________________________________________________。

第1章 1.2 极坐标系1.2 极坐标系1.2.1 平面上点的极坐标1.2.2 极坐标与直角坐标的关系1.了解极坐标系的意义，能用极坐标系刻画点的位置.(难点)2.了解极坐标系与直角坐标系的联系，能进行极坐标与直角坐标的互化.(重点)[基础·初探]1.平面上点的极坐标(1)极坐标系：在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系，O点称为极点，Ox称为极轴.(2)极坐标：平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM 的角度θ来刻画.这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为极径，θ称为极角.2.点与极坐标的关系(ρ，θ)和(ρ，θ＋2kπ)代表同一个点，其中k为整数.特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R).如果限定ρ≥0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应关系.3.极坐标与直角坐标的关系(1)互化背景：设在平面上取定了一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以θ＝π2的射线作为y轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立一个直角坐标系(如图1-2-1所示).图1-2-1(2)互化公式：设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M 直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)A.(1,0)B.(2，π4)C.(3，π2)D.(4，π)【答案】 C 3.点A 的极坐标是(2，7π6)，则点A 的直角坐标为( ) A.(－1，－3) B.(－3，1) C.(－3，－1)D.(3，－1)【解析】 x ＝ρcos θ＝2cos 76π＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin 76π＝－1.【答案】 C4.点M 的直角坐标为(0，π2)，则点M 的极坐标可以为( )A.(π2，0) B.(0，π2)C.(π2，π2) D.(π2，－π2) 【解析】 ∵ρ＝x 2＋y 2＝π2，且θ＝π2，∴M 的极坐标为(π2，π2).【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 类型一 确定极坐标系中点的坐标设点A (2，π3)，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π).【精彩点拨】 欲写出点的极坐标，首先应确定ρ和θ的值. 【尝试解答】 如图所示，关于极轴的对称点为B (2，－π3).关于直线l 的对称点为C (2，23π).关于极点O 的对称点为D (2，－23π).四个点A ，B ，C ，D 都在以极点为圆心，2为半径的圆上.1.点的极坐标不是惟一的，但若限制ρ>0,0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的.2.写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后. [再练一题]1.在极坐标系中，B (3，π4)，D (3，74π)，试判断点B ，D 的位置是否具有对称性，并求出B ，D 关于极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，θ∈[0,2π)).【解】 由B (3，π4)，D (3，7π4)，知|OB |＝|OD |＝3，极角π4与7π4的终边关于极轴对称.所以点B ，D 关于极轴对称.设点B (3，π4)，D (3，7π4)关于极点的对称点分别为E (ρ1，θ1)，F (ρ2，θ2)，且ρ1＝ρ2＝3. 当θ∈[0,2π)时，θ1＝5π4，θ2＝3π4， ∴E (3，5π4)，F (3，3π4)为所求. 类型二 将点的极坐标化为直角坐标写出下列各点的直角坐标，并判断所表示的点在第几象限.(1)(2，4π3)；(2)(2，－23π)；(3)(2，－π3).【精彩点拨】 点的极坐标(ρ，θ)―→⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ―→点的直角坐标(x ，y )―→判定点所在象限.【尝试解答】 (1)由题意知x ＝2cos 4π3＝2×(－12)＝－1，y ＝2sin 4π3＝2×(－32)＝－ 3. ∴点(2，4π3)的直角坐标为(－1，－3)，是第三象限内的点. (2)x ＝2cos(－23π)＝－1，y ＝2sin(－23π)＝－3，∴点(2，－23π)的直角坐标为(－1，－3)，是第三象限内的点.(3)x ＝2cos(－π3)＝1，y ＝2sin(－π3)＝－3，∴点(2，－π3)的直角坐标为(1，－3)，是第四象限内的点.1.点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：①极点与直角坐标系的原点重合；②极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合；③两种坐标系的长度单位相同.2.将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x ，y )时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键.[再练一题]2.分别把下列点的极坐标化为直角坐标： (1)(2，π6)；(2)(3，π2)；(3)(π，π).【解】 (1)∵x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1.∴点的极坐标(2，π6)化为直角坐标为(3，1).(2)∵x ＝ρcos θ＝3cos π2＝0，y ＝ρsin θ＝3sin π2＝3.∴点的极坐标(3，π2)化为直角坐标为(0,3).(3)∵x ＝ρcos θ＝πcos π＝－π， y ＝ρsin θ＝πsin π＝0，∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0). 类型三 将点的直角坐标化为极坐标分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0,0≤θ<2π).(1)(－2,23)；(2)(6，－2).【精彩点拨】 利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)，但求角θ时，要注意点所在的象限.【尝试解答】(1)∵ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4， tan θ＝yx ＝－3，θ∈[0,2π)， 由于点(－2,23)在第二象限. ∴θ＝2π3. ∴点的直角坐标(－2,23)化为极坐标(4，23π).(2)∵ρ＝x 2＋y 2＝(6)2＋(－2)2＝22， tan θ＝y x ＝－33，θ∈[0,2π)，由于点(6，－2)在第四象限，所以θ＝11π6. ∴点的直角坐标(6，－2)化为极坐标为(22，11π6).1.将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0)求解.2.在[0,2π)范围内，由tan θ＝yx (x ≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限.如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π(k ∈Z)即可.[再练一题]3.(1)“例3”中，如果限定ρ>0，θ∈R ，分别求各点的极坐标；(2)如果点的直角坐标(x ，y )满足xy <0，那么在限定ρ>0，θ∈R 的情况下转化为点的极坐标时，试探究θ的取值范围.【解】 (1)根据与角α终边相同的角为α＋2k π(k ∈Z)知，点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，θ∈k )分别如下：(－2,23)的极坐标为(4，2π3＋2k π)(k ∈Z). (6，－2)的极坐标为(22，116π＋2k π)(k ∈Z).(2)由xy <0得x <0，y >0或x >0，y <0. 所以(x ，y )可能在第二象限或第四象限.把直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)，ρ>0，θ∈R 时，θ的取值范围为 (π2＋2k π，π＋2k π)∪(3π2＋2k π，2π＋2k π)(k ∈Z). 类型四 极坐标与直角坐标的综合应用在极坐标系中，如果A (2，π4)，B (2，5π4)为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π).【精彩点拨】 解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标，再根据等边三角形的定义建立方程组求解点C 的直角坐标，进而求出点C 的极坐标.【尝试解答】 对于点A (2，π4)有ρ＝2，θ＝π4，∴x ＝2cos π4＝2，y ＝2sin π4＝2，则A (2，2).对于B (2，54π)有ρ＝2，θ＝54π，∴x ＝2cos 54π＝－2，y ＝2sin 54π＝－ 2.∴B (－2，－2).设C 点的坐标为(x ，y )，由于△ABC 为等边三角形， 故|AB |＝|BC |＝|AC |＝4.∴有⎩⎨⎧(x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16.解之得⎩⎨⎧ x ＝6，y ＝－6，或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.∴C 点的坐标为(6，－6)或(－6，6). ∴ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－66＝－1， ∴θ＝74π或θ＝34π.故点C 的极坐标为(23，74π)或(23，34π).1.本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质.结合几何图形可知，点C 的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键.2.若设出C (ρ，θ)，利用余弦定理亦可求解，请读者完成. [再练一题]4.本例中，如果点的极坐标仍为A (2，π4)，B (2，5π4)，且△ABC 为等腰直角三角形，如何求直角顶点C 的极坐标.【导学号：62790003】【解】 对于点A (2，π4)，直角坐标为(2，2)，点B (2，5π4)的直角坐标为(－2，－2)，设点C 的直角坐标为(x ，y )，由题意得AC ⊥BC ，且|AC |＝|BC |， ∴AC →·BC →＝0，即(x －2，y －2)·(x ＋2，y ＋2)＝0， ∴x 2＋y 2＝4.① 又|A C →|2＝|B C →|2，于是(x －2)2＋(y －2)2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2，∴y ＝－x 代入①，得x 2＝2，解得x ＝±2. ∴⎩⎨⎧ x ＝2，y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴点C 的直角坐标为(2，－2)或(－2，2)， ∴ρ＝2＋2＝2，tan θ＝－1，θ＝7π4或3π4， ∴点C 的极坐标为(2，3π4)或(2，7π4). [真题链接赏析](教材P10习题1－2T3)把下列各点的直角坐标化为极坐标(限定ρ>0,0≤θ<2π)： A (－1,1)，B (0，－2)，C (3,4)，D (－3，－4).已知点P 在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2，则当ρ>0，θ∈[0,2π)时，点P 的极坐标为________.【命题意图】 主要考查直角坐标与极坐标的互化.【解析】 ∵点P (x ，y )在第三象限角的平分线上，且到横轴的距离为2. ∴x ＝－2，且y ＝－2. ∴ρ＝x 2＋y 2＝2 2.又tan θ＝yx ＝1，且θ∈[0,2π).∴θ＝54π.因此点P 的极坐标为(22，54π).【答案】 (22，54π)我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案：(1)(2)第 11 页。

极坐标系知识点：1．极坐标系：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系．2．极坐标：设M 是平面内一点，OM 的长叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对()ρθ，叫做点M 的极坐标． 在直角坐标系内平面点集与有序实数对的集合{ (x,y )|x 、y ∈R}一一对应，而在极坐标系内平面点集与有序实数对的集合{ (ρ,θ)|ρ、θ∈R}不是一一对应的，()()(),,2,2()k k k Z ρθρθπρθππ+-++∈、、表示同一个点.3．极坐标与直角坐标的互化：把直角坐标的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标为()x y ，，极坐标为()ρθ，， 有cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，也有222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩，这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 若0ρ<时，则0ρ->，我们规定点()M ρθ，与点()P ρθ-，关于极点对称．4.极坐标中的弦长公式：1122A(,),B(,)AB ρθρθ=设，三角形的面积公式12121sin()2AOB S ρρθθ∆=-.5.常用的极坐标方程： 直线方程：圆的方程：一、极坐标的概念知识精讲：（1）极坐标系：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系． （2）极坐标：设M 是平面内一点，OM 的长叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ，有序数对()ρθ，叫做点M 的极坐标． 在直角坐标系内平面点集与有序实数对的集合{ (x,y )|x 、y ∈R}一一对应，而在极坐标系内平面点集与有序实数对的集合{ (ρ,θ)|ρ、θ∈R}不是一一对应的，()()(),,2,2()k k k Z ρθρθπρθππ+-++∈、、表示同一个点.1.__________________.(1),,(2),,(3)0,[0,2),ρθπ>∈（一星）下列判断正确的有在极坐标平面中给定一个点的极坐标则能确定该点的位置在极坐标平面中一个点的位置确定则其极坐标唯一确定若规定可使极坐标与平面内的点一一对应答案：（1）（3）2.(3,)(,)4M R πρθ∈写出点的所有极坐标规定答案：略4.2,3,32.A B O AOB ππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（二星）已知两点的极坐标，，为极点，求两点间的距离及三角形的面积2.(5,),(5,),(),623.ABC A B C πππ∆-已知的三顶点的极坐标分别为判断三角形的形状并求出面积 备注：套距离公式就可以了.二、极坐标与直角坐标互化()2:2,0:1.1,3)2(32,5)1.(3πθπθπρπ≤≤<-≥--⎪⎭⎫⎝⎛若限定；变若限定变化成极坐标的直角坐标将点化为直角坐标；的极坐标将点M M答案：略3.（二星）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为()1,1-，若取原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则在下列选项中，不是点P 极坐标的是（ ）A ．3π,4⎫⎪⎭ B．5π,4⎫-⎪⎭ C．11π,4⎫⎪⎭ D．π,4⎫-⎪⎭备注：极坐标的多种表示方法5.（一星）将极坐标方程2cos ρθ=化成直角坐标方程为． 备注：圆的极坐标的应用6.（一星）圆的极坐标方程为sin 2cos ρθθ=+，将其化成直角坐标方程为，圆心的直角坐标为．27.4sin 5.2θρ=（三星）判断极坐标方程表示的曲线，求其准线极坐标方程 备注：抛物线方程互化、直线化极坐标221cos 4sin 54522cos 522252555()455cos .22x x y x x θθρρρρθρθ-=∴=-==+=+=-=-解：由，，即：平方整理：，表示抛物线准线方程：，即2.（二星）（2015广东理）已知直线的极坐标方程为，点的极坐标为，则点到直线的距离为 .解：依题已知直线：可化为：和，所以点与直线的距离为，故应填入．9.（二星）（2015江苏）已知圆C的极坐标方程为222sin()404πρρθ+--=，求圆C的半径.1.（二星）（2016北京）在极坐标系中，直线与圆交于A ，B 两点，则______. 解：转化成直角坐标做，答案为2.l 24sin(2=-）πθρA 74A π⎛⎫⎪⎝⎭A l l 2sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭74A π⎛⎫ ⎪⎝⎭l 10x y -+=()2,2A -A l 2d ==cos sin 10ρθθ-=2cos ρθ=||AB =三、常用的直线与圆的极坐标4.（一星）已知圆的极坐标方程为2cos ρθ=，则圆心的直角坐标是 ；半径长为 ． 备注：圆的极坐标的应用7.cos sin .ρθρθ==求极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距离10.（二星）（2012陕西）直线与圆相交的弦长为 . 备注：极坐标的简单应用解：是过点且垂直于极轴的直线，是以为圆心，1为半径的圆，则弦长=.4．（二星）（2013安徽理）在极坐标系中,圆=2cos ρθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）A ．0()cos 2R θρρθ=∈=和B ．()cos 22R πθρρθ=∈=和C ．()cos 12R πθρρθ=∈=和D ．0()cos 1R θρρθ=∈=和备注：极坐标系的直接应用2cos 1ρθ=2cos ρθ=2cos 1ρθ=⎪⎭⎫⎝⎛0,212cos ρθ=()0,1321122=⎪⎭⎫⎝⎛-四、极坐标的应用(1)2cos (2)2cos()(3)2cos()66(4)sin 1(5)sin()1(6)sin() 1.66ππρθρθρθππρθρθρθ==-=+=-=+=9.（三星）画出以下图形：；备注：注意常用的旋转技巧答案：（1）略；（2）（1）的图形逆时针旋转6π；（3）（1）的图形顺时针旋转6π；（4）略；（5）（4）的图形逆时针旋转6π；（6）（4）的图形顺时针旋转6π.10.()sin().4πρθ+三星直线的极坐标方程为求极点到该直线的距离解：sin 2ρθ=绕极点顺时针旋转4π单位即可.答案：25.极坐标系中(3)6P π-，，若规定0,[,)ρθππ>∈-，（1）求点P 关于极点对称的点的极坐标；（2）求点P 关于极轴对称的点的极坐标；（3）过极点作垂直于极轴的直线l ，求点P 关于直线l 对称的点的极坐标. 答案：略.)(43sin 2cos 4.6对称的曲线方程关于极点、极轴、直线分别写出曲线R ∈=+=ρπθθθρ备注：代入转移法10.（二星）已知曲线1C ，2C 的极坐标方程分别为πcos 34cos 0,02ρθρθρθ⎛⎫==< ⎪⎝⎭，≥≤，则曲线1C 、2C 交点的极坐标为． 备注：极坐标的直接应用23.（三星）(2015全国1卷)在直角坐标系xOy 中.直线1C :2x ＝－，圆2C ：22(1)(2)1x y －＋－＝，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求1C ，2C 的极坐标方程； （2）若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ，N ，求△C 2MN的面积.备注：极坐标的简单应用解：（1）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=。