2016-2017（1）专业课程实践论文
用最佳平方逼近法求逼近函数
肖夏， 29，R数学12-1班
一、算法理论
设函数组𝜑0,𝜑1,…，𝜑𝑚都是[𝑎,𝑏]上的连续函数，并且在[𝑎,𝑏]上线性无关。以此函数组为基，生成空间𝐶[𝑎,𝑏]上的一个子空间
𝐻=𝑆𝑝𝑎𝑛{𝜑0,𝜑1,…，𝜑𝑚}
则𝐻中的任意一个元素为
𝑝(𝑥)=∑𝑐𝑗𝜑𝑗(𝑥)𝑚𝑗=0
对空间𝐶[𝑎,𝑏]的任意两个函数𝑓，g，定义内积
(𝑓,𝑔)=∫𝜔(𝑥)𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎
对于给定的函数𝑓(𝑥)∈𝐶[𝑎,𝑏]，若𝑝∗(𝑥)∈𝐻，满足
(𝑓−𝑝∗,𝑓−𝑝∗)=min𝑝∈𝐻(𝑓−𝑝,𝑓−𝑝)
则称𝑝∗(𝑥)为子空间𝐻中对于𝑓(𝑥)的最佳逼近平方元素。
特别地，若𝜑𝑗(𝑥)=𝑥𝑗，𝑗=0,1,…𝑚则称满足条件的𝑝∗(𝑥)∈𝐻，为函数𝑓(𝑥)在区间[𝑎,𝑏]上带权𝜔(𝑥)的𝑚次最佳平方逼近多项式。
设𝑓(𝑥)∈𝐶[𝑎,𝑏]，𝑝∗(𝑥)∈𝐻是子空间𝐻中对于𝑓(𝑥)的最佳平方逼近元素的充分必要条件是(𝑓−𝑝∗,𝜑𝑗)=0，(𝑗=0,1,…,𝑚)或对于任意一个𝑝(𝑥)，总有(𝑓−𝑝∗,𝑝)=0。
求最佳平方逼近元素𝑝∗(𝑥)=∑𝑐𝑘∗𝜑𝑘(𝑥)𝑚𝑘=0，只要求出𝑐𝑘∗。
因
(𝑓−𝑝∗,𝜑𝑗)=(𝑓,𝜑𝑗)−∑𝑐𝑘∗(𝜑𝑖,𝜑𝑗)=0𝑚𝑘=0
得
∑𝑐𝑘∗(𝜑𝑖,𝜑𝑗)=(𝑓,𝜑𝑗)𝑚𝑘=0
得
((𝜑0,𝜑0)⋯(𝜑0,𝜑𝑚)⋮⋱⋮(𝜑𝑚,𝜑0)⋯(𝜑𝑚,𝜑𝑚))(𝑐0∗⋮𝑐𝑚∗)=((𝑓,𝜑0)⋮(𝑓,𝜑𝑚))
最佳平方逼近原理
最佳平方逼近原理（Least Squares Principle）是一种常用的数学方法，用于从一组数据中找到最佳的拟合曲线或函数。该方法的基本思想是，通过最小化数据点到拟合曲线的垂直距离平方和来确定最佳的拟合曲线。这种距离的平方和被称为残差平方和（residual sum of squares）。
在统计学和数学建模中，最佳平方逼近原理被广泛应用。它可以用于拟合线性回归模型、多项式拟合、曲线拟合等问题。通过使用最小二乘法（least squares
method），可以计算出最佳拟合曲线或函数的参数，并对其进行优化。
最佳平方逼近原理的优点在于它能够提供一个简单而有效的方法来处理数据拟合问题。它能够使我们得到一个与数据拟合最好的函数或曲线，并且具有较高的精度和可靠性。然而，它也有一些限制，例如对于非线性问题，它可能无法提供最优解，需要使用其他方法来解决。
最佳平方逼近原理
最佳平方逼近原理是数值分析中的一个经典原理，用于寻找函数在给定定义域上的最佳平方逼近曲线。在实际应用中，我们经常需要通过已知的离散数据点来近似拟合一个函数，最佳平方逼近原理就是为了解决这个问题而提出的。
最佳平方逼近原理的核心思想是，通过最小化残差平方和来选择最佳的曲线拟合函数。残差平方和是指每个数据点与拟合曲线之间的差值的平方和，通过最小化残差平方和，我们可以找到能够最好地拟合数据点的曲线。
为了更好地理解最佳平方逼近原理，我们可以通过一个简单的例子来说明。假设我们有一组包含有N个点的数据集{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}，我们需要找到一条曲线y=f(x)来拟合这些数据点。
首先，我们可以假设拟合曲线为一条直线y=ax+b，其中a为斜率，b为截距。我们的目标是找到最佳的斜率a和截距b，使得拟合曲线能够最好地拟合数据点。 为了评估拟合曲线的好坏，我们可以定义残差ei为数据点yi与拟合曲线f(xi)之间的差值，即ei=yi-f(xi)。然后，可以定义残差平方和E为所有残差的平方和，即E=∑(yi-f(xi))^2。
根据最佳平方逼近原理，我们需要选择最优的斜率a和截距b，使得E达到最小值。这可以通过对E分别对a和b求偏导数，并令偏导数等于零来实现。
∂E/∂a=0和∂E/∂b=0的解可以分别表示为a=(N∑(xiyi)-∑xi∑yi)/(N∑(xi^2)-(∑xi)^2)和b=(∑yi-∑(xi/n)a))/N
通过求解这两个方程，我们可以得到最佳的斜率a和截距b，从而得到最佳的拟合曲线。
上述例子只是最佳平方逼近原理的一个简单应用，实际上，最佳平方逼近原理可以应用于更复杂的拟合曲线，如多项式拟合、指数拟合等。
在实际应用中，最佳平方逼近原理广泛应用于数据分析、信号处理、图像处理等领域。通过最佳平方逼近原理，我们可以从大量的离散数据中提取有效的信息，利用拟合曲线来进行预测、分类、回归等操作。
如何用MATLAB求解一次和二次最佳平方逼近多项式
MATLAB是一款功能强大的科学计算软件，广泛应用于各个领域中。在数学建模中，经常需要使用最佳平方逼近技术来找到最符合样本数据的多项式函数，而MATLAB正是一个能够高效求解最佳平方逼近问题的工具。本文将详细介绍如何用MATLAB求解一次和二次最佳平方逼近多项式。
一、最佳平方逼近
最佳平方逼近是一种拟合问题，其目的是找到一个多项式函数，使其能够最好地逼近给定的样本数据集合，即最小化其平方误差。这个问题可以表示为以下形式：
minimize f(x) = ||Ax - b||^2
其中，x是待求解的多项式系数向量，A是输入数据集合的矩阵表示，而b则是对应的样本输出向量。通过数学推导，可以得到最佳平方逼近问题的解析解为：
x = (A^T A)^{-1} A^T b
二、一次最佳平方逼近 在一次最佳平方逼近中，我们需要找到一个一次多项式 y = ax +
b，使其能够最好地逼近给定的样本数据集合。首先，我们需要构建A矩阵和b向量，并将其带入解析公式中求解。具体步骤如下：
步骤1：生成样本数据集合
x = [1 2 3 4 5];
y = [1.2 1.9 3.2 4.1 5];
步骤2：构建A矩阵和b向量
n = length(x);
A = [x' ones(n, 1)];
b = y';
步骤3：求解多项式系数向量
a_b = inv(A' * A) * A' * b;
步骤4：绘制拟合曲线
a = a_b(1);
b = a_b(2);
x_fit = linspace(min(x), max(x), 100);
y_fit = a*x_fit + b;
plot(x, y, 'o', x_fit, y_fit); 三、二次最佳平方逼近
在二次最佳平方逼近中，我们需要找到一个二次多项式 y = ax^2
+ bx + c，使其能够最好地逼近给定的样本数据集合。与一次情况相似，我们同样需要构建A矩阵和b向量，并通过解析公式求解多项式系数向量。具体步骤如下：
