高等数学同济大学版课程讲解函数的极限

课 时 授 课 计 划课次序号： 03一、课 题：§1.3 函数的极限二、课 型：新授课三、目的要求：1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念；2.了解函数极限的性质．四、教学重点：自变量各种变化趋势下函数极限的概念．教学难点：函数极限的精确定义的理解与运用．五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，高等教育出版社；2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．七、作业：习题1–3 1（2），2（3），3，6八、授课记录：九、授课效果分析： 第三节 函数的极限复习1.数列极限的定义：lim 0,N,N n n n x a n x a εε→∞=⇔∀>∃>-<当时，； 2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系．在此基础上，今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限． 与数列极限不同的是，对于函数极限来说，其自变量的变化趋势要复杂的多．一、x →∞时函数的极限对一般函数y ?f （x ）而言，自变量无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的是，自变量的变化可以是连续的．定义1 若∀ε＞0，∃X ＞0，当x ＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →+∞f （x ）?A ． 若∀ε＞0，∃X ＞0，当x ＜?X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →-∞f （x ）?A ． 例1 证明limx 0．证 0-，故∀ε＞00-＜εε，即x ＞21ε．因此，∀ε＞0，可取X ?21ε，则当x ＞X 0-＜ε，故由定义1得 limx ?0． 例2 证明lim 100x x →-∞=． 证 ∀ε＞0，要使100x -?10x ＜ε，只要x ＜l gε．因此可取X ?｜l gε｜?1，当x ＜?X 时，即有｜10x ?0｜＜ε，故由定义1得lim x →+∞10x ?0． 定义2 若∀ε＞0，∃X ＞0，当｜x ｜＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →∞f （x ）?A ． 为方便起见，有时也用下列记号来表示上述极限：f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →∞）．注 若lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x A f x A →∞→+∞→-∞===或或，则称y A =为曲线()y f x =的水 平渐近线．由定义1、定义2及绝对值性质可得下面的定理．定理1 lim x →∞f （x ）?A 的充要条件是lim x →+∞f （x ）?lim x →-∞f （x ）?A ． 例3 证明2lim 1x x x →∞--?1．证 ∀ε＞0，要使211x x ---?31x +＜ε，只需｜x ?1｜＞3ε，而｜x ?1｜≥｜x ｜?1，故只需｜x ｜?1＞3ε，即｜x ｜＞1?3ε． 因此，∀ε＞0，可取X ?1?3ε，则当｜x ｜＞X 时，有211x x --+＜ε，故由定义2得2lim 1x x x →∞-+?1． 二、x →x 0时函数的极限现在我们来研究x 无限接近x 0时，函数值f （x ）无限接近A 的情形，它与x →∞时函数的极限类似，只是x 的趋向不同，因此只需对x 无限接近x 0作出确切的描述即可．以下我们总假定在点x 0的任何一个去心邻域内都存在f （x ）有定义的点．定义3 设有函数y ?f （x ），其定义域D f ⊆R ，若∀ε＞0，∃δ＞0，使得x ∈U （x 0，δ）（即0＜｜x ?x 0｜＜δ）时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即｜f （x ）?A ｜＜ε），则称A 为函数y ?f （x ）当x →x 0时的极限，记为0lim x x →f （x ）? A ，或f （x ）→A （x →x 0）． 研究f （x ）当x →x 0的极限时，我们关心的是x 无限趋近x 0时f （x ）的变化趋势，而不关心f （x ）在x ?x 0处有无定义，大小如何，因此定义中使用去心邻域．函数f (x )当x →x 0时的极限为A 的几何解释如下：任意给定一正数ε，作平行于x 轴的两条直线y ?A ?ε和y ?A ?ε，介于这两条直线之间是一横条区域．根据定义，对于给定的ε，存在着点x 0的一个δ邻域（x 0?δ,x 0?δ），当y ?f (x )的图形上点的横坐标x 在邻域 （x 0?δ,x 0?δ）内，但x ≠x 0时，这些点的纵坐标f (x )满足不等式 |f (x )?A |<ε,或 A ?ε<f (x )<A ?ε．亦即这些点落在上面所作的横条区域内，如图1－34所示．图1－34例4 证明211lim 1x x x →--?2． 证 函数f （x ）?211x x --在x ?1处无定义．∀ε＞0，要找δ＞0，使0＜｜x ?1｜＜δ时，2121x x ---?｜x ?1｜＜ε成立．因此，∀ε＞0，据上可取δ?ε，则当0＜｜x ?1｜＜δ时，2121x x ---＜ε成立，由定义3得211lim 1x x x →--?2． 例5 证明0lim x x →sin x ?sin x 0． 证 由于｜sin x ｜≤｜x ｜，｜cos x ｜≤1，所以｜sin x ?sin x 0｜?200cos sin 22x x x x +-≤｜x ?x 0｜． 因此，∀ε＞0，取δ?ε，则当0＜｜x ?x 0｜＜δ时，｜sin x ?sin x 0｜＜ε成立，由定义3得0lim x x →sin x ?sin x 0．有些实际问题只需要考虑x 从x 0的一侧趋向x 0时，函数f （x ）的变化趋势，因此引入下面的函数左右极限的概念．定义4 设函数y ?f （x ），其定义域D f ⊆R ，若∀ε＞0，∃δ＞0，当x ∈0(,)U x δ- (或x ∈0(,)U x δ+)时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε），则称A 为f （x ）当x →x 0时的左（右）极限，记为0lim x x -→f （x ）?A （0lim x x +→f （x ）?A ），或记为f （0x -）?A （f （0x +）?A ）． 由定义3和定义4可得下面的结论．定理2 0lim x x →f （x ）?A 的充要条件是0lim x x -→f （x ）?0lim x x +→f （x ）?A ． 例6 设cos ,0()10x x f x x x <⎧=⎨-≥⎩，研究0lim x →f （x ）． 解 x ?0是此分段函数的分段点，0lim x -→f （x ）?0lim x -→cos x ?cos0?1，而 0lim x +→f （x ）?0lim x +→（1?x ）?1． 故由定理2可得，0lim x →f （x ）?1． 例7 设,0()10x x f x x ≤⎧=⎨>⎩，研究0lim x →f （x ）． 解 由于 0lim x -→f （x ）?0lim x -→x ?0，0lim x +→f （x ）?0lim x +→1?1，因为0lim x -→f （x ）≠0lim x +→f (x ),故0lim x →f （x ）不存在． 三、函数极限的性质与数列极限性质类似，函数极限也具有相类似性质，且其证明过程与数列极限相应定理的证明过程相似，下面未标明自变量变化过程的极限符号“lim”表示定理对任何一种极限过程均成立．1．唯一性定理3 若lim f （x ）存在，则必唯一．2．局部有界性定义5 在x →x 0（或x →∞）过程中，若∃M ＞0，使x ∈U (x 0)(或｜x ｜＞X )时，｜f （x ）｜≤M ，则称f （x ）是x →x 0（或x →∞）时的有界变量．定理4 若lim f （x ）存在，则f （x ）是该极限过程中的有界变量．证 我们仅就x →x 0的情形证明，其他情形类似可证．若0lim x x →f （x ）?A ，由极限定义，对ε?1，∃δ＞0，当x ∈U （x 0，δ）时，｜f （x ）?A ｜＜1，则｜f （x ）｜＜1?｜A ｜，取M ?1?｜A ｜，由定义5可知，当x →x 0时，f （x ）有界．注意，该定理的逆命题不成立，如sin x 是有界变量，但lim x →∞sin x 不存在． 3．局部保号性定理5 若0lim x x →f （x ）?A ，A ＞0（A ＜0），则∃U （x 0），当x ∈U （x 0）时，f （x ）＞0 （f （x ）＜0）．若lim x →∞f （x ）?A ，A ＞0（A ＜0），则∃X ＞0，当｜x ｜＞X 时，有f （x ）＞0（f （x ）＜0）． 该定理通常称为保号性定理，在理论上有着较为重要的作用．推论 在某极限过程中，若f （x ）≥0（f （x ）≤0），且lim f （x ）?A ，则A ≥0（A ≤0）．4. 函数极限与数列极限的关系定理6 0lim x x →f (x )?A 的充要条件是对任意的数列{x n }，x n ∈D f （x n ≠x 0）,当x n →x 0（n →∞）时，都有lim n →∞f （x n ）?A ，这里A 可为有限数或为∞． 定理6 常被用于证明某些极限不存在． 例1 证明极限01limcos x x→不存在． 证 取{x n }?12n π，则lim n →∞x n ?lim n →∞12n π?0，而lim n →∞cos 1n x ?lim n →∞cos2nπ?1． 又取{x ′n }?()121n π⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，则lim n →∞x ′n ?lim n →∞()121n π+?0,而lim n →∞cos 1'n x ?lim n →∞cos(2n ?1)π??1， 由于 lim n →∞cos 1n x ≠lim n →∞cos 1'n x ，故0lim n →cos 1x不存在． 课堂总结1.两种变化趋势下函数极限的定义；2.左右极限（单侧极限）；3.函数极限的性质：惟一性、局部有界性、局部保号性、函数极限与数列极限的关系．。