华东师大数学分析习题解答

《数学分析选论》习题解答

第 一 章 实 数 理 论

１．把§例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明．

证 设数集S有下确界，且SSinf，试证：

（１）存在数列nnnaSalim,}{使；

（２）存在严格递减数列nnnaSalim,}{使．

证明如下：

（１） 据假设，aSa有,；且aSa使得,,0．现依

次取,,2,1,1nnn相应地San,使得

,2,1,nann．

因)(0nn，由迫敛性易知nnalim.

（２） 为使上面得到的}{na是严格递减的，只要从2n起，改取

,3,2,,1min1nannn，

就能保证

,3,2,)(11naaannnn． □

２．证明§例６的（ⅱ）．

证 设BA,为非空有界数集，BAS，试证：

BASinf,infmininf．

现证明如下．

由假设，BAS显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何BxAxSx或有,，由此推知BxAxinfinf或，从而又有

BASBAxinf,infmininfinf,infmin．

另一方面，对任何,Ax 有Sx，于是有 SASxinfinfinf；

同理又有SBinfinf．由此推得

BASinf,infmininf．

综上，证得结论 BASinf,infmininf成立． □

３．设BA,为有界数集，且BA．证明：

（１）BABAsup,supmin)sup(；

（２）BABAinf,infmax)(inf．

并举出等号不成立的例子．

证 这里只证（２），类似地可证（１）．

设BAinf,inf．则应满足：

yxByAx,,,有．

于是，BAz，必有

,maxzzz，

这说明,max是BA的一个下界．由于BA亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论BABAinf,infmaxinf成立．

上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设

)4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(BABA则，

这时3)(inf,0inf,2infBABA而，故得

BABAinf,infmaxinf． □

４．设BA,为非空有界数集．定义数集

BbAabacBA,，

证明：

（１）BABAsupsup)sup(；

（２）BABAinfinf)(inf． 证 这里只证（２），类似地可证（１）．

由假设，BAinf,inf都存在，现欲证)(infBA．依据下确界定义，分两步证明如下：

１）因为,,,,yxByAx有所以BAz，必有

yxz．

这说明BA是的一个下界．

２）ByAx00,,0，使得

2,200yx．

从而)(,0000zBAyxz使得，故BA是的最大下界．于是结论 BABAinfinf)(inf 得证． □

５．设BA,为非空有界数集，且它们所含元素皆非负．定义数集

BbAaabcAB,，

证明：

（１）BAABsupsup)sup(；

（２）BAABinfinf)(inf．

证 这里只证（１），类似地可证（２）．

,supsup,sup,sup,,)0,0(,,)(BAcBbAaabcbaBbAaABc且使由于因此BAsupsup是AB的一个上界．

另一方面，BbAa00,,0，满足

BbAasup,sup00，

故)(000ABbac，使得

])supsup([supsup0BABAc．

由条件，不妨设0supsupBA，故当足够小时，])supsup([BA 仍为一任意小正数．这就证得BAsupsup是AB的最小上界，即 BAABinfinf)(inf

得证． □

６．证明：一个有序域如果具有完备性，则必定具有阿基米德性．

证 用反证法．倘若有某个完备有序域F不具有阿基米德性，则必存在两个正元素F,，使序列}{n中没有一项大于．于是，}{n有上界（就是一个），从而由完备性假设，存在上确界}sup{n．由上确界定义，对一切正整数n，有n；同时存在某个正整数0n，使0n．由此得出

)1()2(00nn，

这导致与0相矛盾．所以，具有完备性的有序域必定具有阿基米德性． □

７．试用确界原理证明区间套定理．

证 设],[nnba为一区间套，即满足：

0)(lim,1221nnnnnabbbbaaa．

由于na有上界kb，nb有下界ka（Nk），因此根据确界原理，存在

且,inf,supnnba ．

倘若，则有

,2,1,0nabnn，

而这与0)(limnnnab相矛盾，故．又因,2,1,nbann，

所以是一切],[nnba的公共点．

对于其他任一公共点,2,1,],[nbann，由于

nabnn,0 ，

因此只能是，这就证得区间套],[nnba存在惟一公共点． □

８．试用区间套定理证明确界原理．

证 设S为一非空有上界的数集，欲证S存在上确界．为此构造区间套如下：令

],[],[011Mxba，其中MSSx,)(0为S的上界．记2111bac， 若1c是S的上界，则令],[],[1122caba；否则，若1c不是S的上界，则令],[],[1122bcba．一般地，若记2nnnbac，则令

,2,1,,,],[,,],[],[11nScbcSccabannnnnnnn的上界不是的上界当是．

如此得到的],[nnba显然为一区间套，接下来证明这个区间套的惟一公共点即为S的上确界．

由于上述区间套的特征是：对任何Νn，nb恒为Ｓ的上界，而na则不为S的上界，故Sx，有nbx，再由nnblim，便得x，这说明是S的一个上界；又因nnalim，故na,0，由于na不是S的上界，因此更加不是S的上界．根据上确界的定义，证得Ssup．

同理可证，若S为非空有下界的数集，则S必有下确界． □

９．试用区间套定理证明单调有界定理．

证 设nx为递增且有上界M的数列，欲证nx收敛．为此构造区间套如下：令],[],[111Mxba；类似于上题那样，采用逐次二等分法构造区间套],[nnba，使na不是nx的上界，nb恒为nx的上界．由区间套定理，],[nnba，且使

nnnnbalimlim．下面进一步证明 nnxlim．

一方面，由kbxkn取,的极限，得到

,2,1,limnbxkkn．

另一方面，KaK使,,0Ν；由于Ka不是nx的上界，故KNax；又因nx递增，故当Nn时，满足Nnxx．于是有

NnxxanNK,，

这就证得nnxlim．

同理可证nx为递减而有下界的情形． □

10．试用区间套定理证明聚点定理． 证 设S为实轴上的一个有界无限点集，欲证S必定存在聚点．

因S有界，故0M，使得Mx，Sx．现设],[],[11MMba，则],[11baS．然后用逐次二等分法构造一区间套],[nnba，使得每次所选择的],[nnba都包含了S中的无限多个点．由区间套定理，],[nnba，n．最后应用区间套定理的推论，,0当n充分大时，使得],[nnba);(U；由于],[nnba中包含了S的无限多个点，因此);(U中也包含了S的无限多个点，根据聚点定义，上述即为点集S的一个聚点． □

11．试用有限覆盖定理证明区间套定理．

证 设],[nnba为一区间套，欲证存在惟一的点,2,1,],[nbann．

下面用反证法来构造],[11ba的一个无限覆盖．倘若],[nnba不存在公共点，则],[11ba中任一点都不是区间套的公共点．于是，x],[11ba，使,],[nnba

],[nnbax．即);(xxU与某个],[nnba不相交（ 注：这里用到了],[nnba为一闭区间 ）．当x取遍],[11ba时，这无限多个邻域构成],[11ba的一个无限开覆盖：

],[);(11baxxUHx．

依据有限覆盖定理，存在],[11ba的一个有限覆盖：

HNixUUHixii,,2,1);(~，

其中每个邻域NibaUiinni,,2,1,],[．若令

NnnnK,,,max21，

则NibabaiinnKK,,2,1,],[],[，从而

NiUbaiKK,,2,1,],[． （Ж）

但是NiiU1覆盖了],[11ba，也就覆盖了],[KKba，这与关系式（Ж）相矛盾．所以必定存在,2,1,],[nbann．（有关惟一性的证明，与一般方法相同．） □ １２．设S为非空有界数集．证明：

SSyxSyxinfsup||sup,．

证 设且,sup,infSS（ 若，则S为单元素集，结论显然成立 ）．记SyxyxE,||，欲证Esup．

首先，Syx,，有

||,yxyx，

这说明是E的一个上界．

又因2,0 2不再是S的上下界，故Syx00,，使

)(||220000yxyx,

所以是E的最小上界，于是所证结论成立． □

１３．证明：若数集S存在聚点，则必能找出一个各项互异的数列Sxn，使nnxlim．

证 依据聚点定义，对SUx);(,1111．一般地，对于