分式方程的增根及无解(优推内容)

分式方程有增根-无解-有解 精品文档

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解方程：(1)4321222xxx (2)xxx23221 (3)114112xxx

注：可化为一元一次方程的分式方程可能有一个解，也可能无解。

增根：分式方程有增根满足两个条件

①分式方程化为整式方程后是整式方程的解②使分式方程最简公分母为0的未知数的值

例题1：关于x的分式方程)1(163xxmxxx有增根，求m的值

解题步骤整理：

练习：关于x的分式方程)1)(1(11xxmxx有增根，求m的值

分式方程无解：增根不等同于无解

分式方程无解：①分式方程化为整式方程后整式方程本身无解

②整式方程的解使最简公分母为零是增根而舍去，无解

例题2：关于x的分式方程131xxax无解，求a的值

解题步骤整理：

练习：关于x的分式方程xxxm2132无解，求m的值

例题3：关于x的分式方程xxkxx2121有解，求k的取值范围

解题步骤整理：

练习：关于x的分式方程323xmmxx有解，求m的取值范围

例题4：关于x的分式方程112xm的解为正数（非负数，负数，非正数），

求m的取值范围

解题步骤整理：

关于x的分式方程112xa的解为非正数，求a的取值范围

能力提升：

1.若关于x的分式方程xxxkxx5)1(216有增根,求k的值？

2.若关于x的分式方程)1)(2(21221xxaxxxxx的解是正数，求a的取值范围？

3.若关于x的方程21125xxm无解，求m的值？

4.若关于x的分式方程234222xxmxx无解，求m的值？

5.关于x的分式方程0)1(163xxmxxx有解，求k的取值范围？ 精品文档

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分式方程

1. 解分式方程的思路是：

（1） 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。

（2） 解这个整式方程。

（3） 把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。

（4） 写出原方程的根。

“一化二解三检验四总结”

例1：解方程214111xxx

（1） 增根是使最简公分母值为零的未知数的值。

（2） 增根是整式方程的根但不是原分式方程的，所以解分式方程一定要验根。

例2：解关于x的方程223242axxxx有增根，则常数a的值。

解：化整式方程的(1)10ax由题意知增根2,x或2x是整式方程的根，把2,x代入得2210a,解得4a,把2x代入得-2a+2=-10，解得6a

所以4a或6a时，原方程产生增根。

方法总结：1.化为整式方程。

2.把增根代入整式方程求出字母的值。

例3：解关于x的方程223242axxxx无解，则常数a的值。

解：化整式方程的(1)10ax

当10a时，整式方程无解。解得1a原分式方程无解。

当10a时，整式方程有解。当它的解为增根时原分式方程无解。

把增根2,x或2x代入整式方程解得4a或6a。

综上所述：当1a或4a或6a时原分式方程无解。

方法总结：1.化为整式方程。

2.把整式方程分为两种情况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根。

例4：若分式方程212xax的解是正数，求a的取值范围。

解：解方程的23ax且2x，由题意得不等式组：2-a032-a23解得2a且4a

思考：1.若此方程解为非正数呢？答案是多少？

2．若此方程无解a的值是多少？

方程总结：1. 化为整式方程求根，但是不能是增根。

分式方程无解和增根的区别

1、当分式方程中使分母为零的根为增根，使分母不为零的根不是增根；当方程推出矛盾等式或解出的根全部是增根时，方程无解。2、增根时，可能还有合理根存在；无解时，没有合理根。3、无解指在规定范围和条件内，没有任何数可以满足方程；增根是指可以通过方程求出，但是不满足条件只能舍去的解。常见于分式方程。

无解与增根的区别

1、解分式方法是通过去分母把把分式方程转化为整式方程；

2、要求分式方程的根,是先要求出转化后的整式方程的根；

3、验证通过整式方程求出来的根是不是分式方程的根；

4、把通过整式方程求出来的根代入分式方程中,若使分式方程中的分母不为0,则所求出的根也就是分式方程的根,否则便是分式方程增根；

5、于是有结论：分式方程的根一定是化简后的整式方程的根,化简后整式方程的根不一定是分式方程的根,有可能是增根,分式方程无解,就是说化简后的整式方程无解。

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第 1 页 共 2 页 分式方程的增根与无解的区别及联系

分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．

分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：

（一）原方程化去分母后的整式方程无解；

（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：

解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②

解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．

所以原方程无解．

【说明】显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，原方程无解．

解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）．

整理得0x＝8．

因为此方程无解，所以原分式方程无解．

【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．

方程两边都乘以x－2，得x－3=－m． 本文格式为Word版，下载可任意编辑

第 2 页 共 2 页 解这个方程，得x=3－m．

因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，