(完整版)习题：分式方程及增根、无解(含答案)

分式方程的增根与无解问题专题练习一、分式方程的增根问题1、关于x 的分式方程522x m x x -=++有增根，则m 的值为（ ）． A. 0 B. -5 C. -2 D. -72、关于x 的方程1x x --1=()()21a x x +-有增根，那么a =（ ）． A. -2 B. 0 C. 1 D. 33、已知关于x 的方程22x m x +-=3有增根，则m 的值为______． 4、若分式方程2111x m x x ----=1有增根，则m 的值是______． 5、已知关于x 的分式方程1x m x +-=2有增根，则m 的值为______． 6、已知关于x 的方程311x k x x ----=2有增根，则增根为______，k 的值为______． 7、若关于x 的分式方程12x x ++=2m x -有增根，则增根为______． 8、已知方程214x -+2=2k x -有增根，则k =______． 9、若关于x 的方程21x x -+25k x x -+=211k x --有增根，则k 的值为______． 10、若关于x 的分式方程2611m x x ---=1有增根，则增根是______． 11、关于x 的分式方程12mx x +-=-1有增根，求m 的值．12、若关于x 的方程33x -+29ax x -=43x +有增根，求a 的值．二、分式方程的无解问题13、关于x 的方程321x x -+=2+1m x +无解，则m 的值为（ ）． A. -5 B. -8 C. -2 D. 514、若分式方程31x x +=1m x ++2无解，则m =（ ）． A. -3 B. -2 C. -1 D. 015、关于x 的分式方程23m x x +--1=2x 无解，则m 的值为（ ）．A. -1.5B. 1C. -1.5或2D. -0.5或-1.516、关于x 的方程12x x --=1m x -+1无解，则m 的值是（ ）． A. 0 B. 0或1 C. 1 D. 217、若关于x 的方程323x x --+23mx x+-=-1无解，则m 的值为（ ）． A. 3 B. -3 C. -53或-1 D. 0 18、若分式方程31a x --=2无解，则a =______． 19、若方程52m x --+1=12x -无解，则m =______． 20、若关于x 的方程3m x -+2=43x x --无解，则m 的值为______． 21、若关于x 的分式方程1x k x +-=4x+1无解，则k 的值是______． 22、若关于x 的分式方程23kx x -+532x-=4无解，则k 的值为______． 23、关于x 的方程2ax x -=42x -+1无解，求a 的值．24、已知关于x 的分式方程2211a a x x x x ---++=0无解，求a 的值．。

分式方程专题一：知识梳理如果一个分式方程的根能使此方程的公分母为零,那么这个根就是原方程的增根。

产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。

在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根。

二：例题精讲例题1：若方程﹣=1有增根，则它的增根是，m=．【解答】解：由分式方程有增根，得到（x+1）（x﹣1）=0，解得：x=±1，分式方程去分母得：6﹣m（x+1）=x2﹣1，把x=1代入整式方程得：6﹣2m=0，即m=3；把x=﹣1代入整式方程得：6=0，无解，综上，分式方程的增根是1，m=3．故答案为：1；3．反馈：（1）若关于x的分式方程=1有增根，则增根为；此时a=．（2）关于x的方程+=2有增根，则m=．（3）若关于x的分式方程=﹣有增根，则k的值为．例题2：若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是．【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：﹣2+x+m=2（x﹣2），解得：x=m+2，∵方程的解为正数，∴m+2＞0，且m+2≠2，解得：m＞﹣2，且m≠0，故答案为：m＞﹣2且m≠0．反馈：（1）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．（2）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是．例题3：若关于x的分式方程=a无解，则a的值为．【解答】解：两边同乘以x+1，得x﹣a=ax+a移项及合并同类项，得x（a﹣1）=﹣2a，系数化为1，得x=，∵关于x的分式方程=a无解，∴x+1=0或a﹣1=0，即x=﹣1或a=1，∴﹣1=，得a=﹣1，故答案为：±1．反馈：（1）关于x的方程无解，则k的值为．（2）若关于x的分式方程无解，则m的值为．（3）若关于x的分式方程无解，则m=．三：典型错题1.在中，x的取值范围为．2.要使方式的值是非负数，则x的取值范围是．3.已知，则分式的值为．4.将分式（a、b均为正数）中的字母a、b都扩大到原来的2倍，则分式值为原来的倍．5.若=+，则A=，B=．6.若解分式方程产生增根，则m=．7.若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是．8.关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是9.已知，则的值为．10．已知a2+b2=9ab，且b＞a＞0，则的值为．参考答案：例题1：反馈：（1）若关于x的分式方程=1有增根，则增根为；此时a=．【解答】解：去分母得：2x﹣a=x+1，由分式方程有增根，得到x+1=0，即x=﹣1，把x=﹣1代入得：﹣2﹣a=0，解得：a=﹣2，故答案为：﹣1；﹣2（2）关于x的方程+=2有增根，则m=．【解答】解：去分母得：5x﹣3﹣mx=2x﹣8，由分式方程有增根，得到x﹣4=0，即x=4，把x=4代入整式方程得：20﹣3﹣4m=0，快捷得：m=，故答案为：（3）若关于x的分式方程=﹣有增根，则k的值为．【解答】解：去分母得：5x﹣5=x+2k﹣6x，由分式方程有增根，得到x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，把x=0代入整式方程得：k=﹣；把x=1代入整式方程得：k=，则k的值为或﹣．故答案为：或﹣例题2：反馈：（1）已知关于x的方程=3的解是正数，则m的取值范围是．【解答】解：解关于x的方程=3得x=m+6，∵方程的解是正数，∴m+6＞0且m+6≠2，解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．（2）关于x的方程的解是负数，则a的取值范围是．【解答】解：把方程移项通分得，∴方程的解为x=a﹣6，∵方程的解是负数，∴x=a﹣6＜0，∴a＜6，当x=﹣2时，2×（﹣2）+a=0，∴a=4，∴a的取值范围是：a＜6且a≠4．故答案为：a＜6且a≠4．例题3：反馈：（1）关于x的方程无解，则k的值为．【解答】解：去分母得：2x+4+kx=3x﹣6，当k=1时，方程化简得：4=﹣6，无解，符合题意；由分式方程无解，得到x2﹣4=0，即x=2或x=﹣2，把x=2代入整式方程得：4+4+2k=0，即k=﹣4；把x=﹣2代入整式方程得：﹣4+4﹣2k=﹣12，即k=6，故答案为：﹣4或6或1（2）若关于x的分式方程无解，则m的值为．【解答】解：两边都乘以（x﹣2），得x﹣1=m+3（x﹣2）．m=﹣2x+5．分式方程的增根是x=2，将x=2代入，得m=﹣2×2=5=1，故答案为：1．（3）若关于x的分式方程无解，则m=．【解答】解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1），得：m﹣（x﹣1）=0，即m=x﹣1，∵关于x的分式方程无解，∴x=1或x=﹣1，当x=1时，m=0，当x=﹣1时，m=﹣2，故答案为：0或﹣2．典型错题：1.在中，x的取值范围为0＜x≤1．2.要使方式的值是非负数，则x的取值范围是x≥1或x＜﹣2．3.已知，则分式的值为．4.将分式（a、b均为正数）中的字母a、b都扩大到原来的2倍，则分式值为原来的倍．5.若=+，则A=﹣12，B=17．6.若解分式方程产生增根，则m=﹣2或1．．7.若关于x的方程是非负数，则m的取值范围是m≥﹣2且m≠﹣1 ．8.关于x的分式方程有解，则字母a的取值范围是a≠5，a≠0．9.已知，求的值．【解答】解：将两边同时乘以x，得x2+1=3x，===．10．已知a2+b2=9ab，且b＞a＞0，求的值．【解答】解：∵a2+b2=9ab，∴a2+b2+2ab=11ab，a2+b2﹣2ab=7ab，即（a+b）2=11ab，（a﹣b）2=7ab，∵b＞a＞0，即b﹣a＞0，∴a+b=，b﹣a=，则原式=﹣=﹣=﹣．。

初中数学分式方程的增根、无解问题填空题基础训练1（附答案详解）1．关于x 的方程212x a x +=-的解是大于1的数，则a 的取值范围是__________________ 2．若关于若关于x 的分式方程的解为正数，那么字母a 的取值范围是___． 3．已知关于x 的方程232x m x +=-的解是正数，则m 的取值范围为__________． 4．若关于x 的方程2222x m x x ++=--的解为非负数，则m 的取值范围_________． 5．如果分式方程133x k x x -=--有增根，那么k 的值是_________． 6．若关于x 的分式方程11x m x x =+-的解为3x =，则m 的值为_______ ． 7．已知关于x 的分式方程231x a x +=+的解为非正数，则a 的取值范围是_____． 8．若关于x 的方程212x m x +=-+有增根，则m =__________，若关于x 的方程212x m x +=-+的解是负数，则m 的取值范围是__________． 9．关于x 的分式方程211m x -=-的解是正数，则m 的取值范围为__________. 10．若关于x 的方程2233x m x x -=+--有增根，则m 的值为__． 11．当m=_________时，关于x 的分式方程21x m x --=1有增根． 12．若关于x 的方程4233k x x x-+=--有增根，则k 的值为________． 13．若方程322x m x x-=--会产生增根，则常数m 的值等于_____________． 14．如果关于x 的方程122x m m x x +-=+-的解为负数，则m 的取值范围是_____． 15．关于x 的方程 1433x m x x -=+-- 有增根，则m ＝_______． 16．关于x 的分式方程11m x =-+的解是负数，则m 的取值范围是_________. 17．如果关于x 的分式方程x m m x 1-=+的解是正数，则m 的取值范围为______． 18．若关于x 的分式方程3222x m m x x++=--有增根，则m 的值为___________． 19．若关于x 的方程，232111mx x x x -=-+-无解，则m 的值为_______________ 20．当m =_____________时，关于x 的分式方程622x m x x -=--会出现增根，且增根为x =__________．21．若关于x 的分式方程223242m x x x +=--+无解，则m 的值为_____． 22．已知关于x 的分式方程211x k x x -=--的解为正数，则k 的取值范围为________． 23．若关于x 的分式方程355x a x x =---有增根，则a 的值为___________ 24．若分式方程11222kx x x-+=--有增根，则k =_____． 25．若关于x 的分式方程a b x =的解为1a b+，我们就说这个方程是和解方程．比如：24x =-就是一个和解方程．如果关于x 的分式方程3n n x=-是一个和解方程，则n =___________．26．关于x 的方程1233x k x x -=+--有增根，则k 的值是__________． 27．使得关于x 的不等式组1222141x m x m --⎧≤+⎪⎨⎪-+≥-⎩有解，且使得关于y 的分式方程1222m y y y--=--有非负整数解的所有的m 的和是_________． 28．若关于x 的方程232x a x +=+的解是负数，则a 的取值范围是_______． 29．若关于x 的分式方程x 3a 2x 12x 2=---有非负数解，则a 的取值范围是 ． 30．已知关于 x 的方程 2 -1122kx x x-=--有增根，则 k ＝__________． 31．若关于x 的分式方程2122x a x -=-的解为正数，则a 的取值范围是____________ 32．已知关于x 的方程244x k x x =--会产生增根，则k 的值为________． 33．已知关于x 的分式方程3111m x x +=--的解是非负数，则m 的取值范围是__________.34．已知关于x 的分式方程211m x -=+ 的解是负数，则m 的取值范围是______. 35．如果关于x 的分式方程355x m x x =---有增根，则m 的值为_____． 36．若关于x 的方程222x m x x-+--＝﹣2有增根，则m 的值是_____． 12k x -38．已知分式方程1222x kx x-=+--的解为非负数，求k的取值范围______．39．关于x的方程121ax-=-的解是非负数，则a的取值范围是__________．40．如果关于x的方程23(1)a x=-的解为2x=，则a=__________参考答案1．a< -3且a≠-4【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解是大于1的数，确定出a 的范围即可．【详解】去分母得：2x +a =x −2，解得：x =−a −2，由分式方程的解是大于1的数，得到−a −2>1，且−a −2≠2，解得：a <−3，且a ≠−4，则a 的范围是a <−3且a ≠−4，故答案为：a <−3且a ≠−4.【点睛】考查分式方程的解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键.2．a ＞1且a≠2【解析】【分析】【详解】分式方程去分母得：2x ﹣a=x ﹣1，解得：x=a ﹣1，根据题意得：a ﹣1＞0，解得：a ＞1．又当x=1时，分式方程无意义，∴把x=1代入x=a ﹣1得a=2．∴要使分式方程有意义，a≠2．∴a 的取值范围是a ＞1且a≠2．3．6m >-且4m ≠-【解析】【分析】首先求出关于x 的方程232x m x +=-的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m 的取值范围．【详解】解关于x 的方程232x m x +=-得x ＝m ＋6， ∵x−2≠0，解得x ≠2，∵方程的解是正数，∴m ＋6＞0且m ＋6≠2，解这个不等式得m ＞−6且m ≠−4．故答案为：m ＞−6且m ≠−4．【点睛】本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，解关于x 的方程是关键，解关于x 的不等式是本题的一个难点．4．m ≤6且m ≠0【解析】【分析】先解分式方程，再使0x ≥且20x -≠，列出不等式组，即可得出m 的取值范围．【详解】 解：由2222x m x x++=-- 解得：63m x -=， ∵方程的解为非负数， ∴6036203m m -⎧≥⎪⎪⎨-⎪-≠⎪⎩， 解得：60m m ≤⎧⎨≠⎩， 故答案为：m ≤6且m ≠0．【点睛】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的解法，注意分式方程中分母不能为零．5．3【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根确定出k 的值即可．【详解】 解：133x k x x -=-- 去分母得：x-（x-3）=k ， ∵分式方程133x k x x -=--有增根， ∴x-3=0，解得：x=3，把x=3代入x-（x-3）=k 得：k=3，故答案为：3【点睛】本题考查分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．6．32【解析】【分析】 根据分式方程11x m x x =+-的解为x =3，把x =3代入方程即可求出m 的值． 【详解】 ∵x=3是11x m x x =+-的解， ∴3=3+131m -， 解得m=32， 故答案为：32． 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握方程解得定义是解答本题的关键．7．3a ≤且2a ≠【解析】【分析】先解分式方程231x a x +=+，再根据解为非正数得到不等式，求解即可. 【详解】 解：解方程231x a x +=+得：x=a-3， ∵解为非正数，∴a-3≤0，解得a≤3，又∵x+1≠0，即a-3+1≠0，∴a≠2,∴a 的取值范围是3a ≤且2a ≠.故答案为：3a ≤且2a ≠.【点睛】此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 8．4， 2m >-且4m ≠【解析】【分析】先求得增根，再将分式方程化为整式方程，将增根代入整式方程求得m 的值即可；先求得方程的解，再解0x <，求出m 的取值范围．【详解】 ∵方程212x m x +=-+有增根， ∴20x +=，解得2x =-：，把方程两边同乘以2x +，去分母得：()22x m x +=-+，把2x =-代入，得：4m =； 解方程212x m x +=-+得：23m x --=， ∵方程212x m x +=-+的解是负数， ∴0x <，即203m --<， 解得：2m >-且4m ≠，故答案为：4，2m >-且4m ≠．本题考查了解分式方程和解一元一次不等式，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 9．m ＞1且m≠2【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出x ，由解为正数求出m 的范围即可．【详解】解：去分母得：m-2=x-1，解得：x=m-1，由分式方程的解为正数，得到m-1＞0，且m-1≠1，解得：m ＞1且m ≠2．故答案为：m ＞1且m≠2．【点睛】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．10．1【解析】【分析】先解分式方程，分式两边同时乘以x-3化为整式方程，再去括号、移项合并同类项、系数化为1，得到方程的解，已知关于x 的方程2233x m x x -=+--有增根，所得方程的解即为3，由此可求出m 的值．【详解】分式两边同乘以x-3，得22(3)x m x -=+-去括号，得226x m x -=+-移项合并同类项，得4x m -=-系数化为1，得4x m =-∵关于x 的方程2233x m x x -=+--有增根 ∴43m -=故答案为：1【点睛】本题考查了分式方程的解法，及增根的定义，分式方程的增根是使最简公分母的值为0的根．11．2【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x-1=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．【详解】解：去分母得整式方程：2x-m=x-1，由分式方程有增根，得到x-1=0，即x=1，把x=1代入整式方程中得：2×1-m=1-1，解得：m=2，故答案为：2．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．12．1【解析】【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，有增根，那么最简公分母x−3＝0，所以增根是x＝3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．【详解】方程两边都乘（x−3），得k＋2（x−3）＝4−x，∵原方程有增根，∴最简公分母x−3＝0，即增根为x＝3，把x ＝3代入整式方程，得k ＝1，故答案为：1．【点睛】此题考查了分式的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，掌握知识点是解题关键．13．1【解析】【分析】先解出分式方程，然后根据分式方程有增根说明2x =，即可求出m 的值．【详解】解分式方程得，3x m =-∵分式方程有增根∴32x m =-=解得1m =故答案为：1．【点睛】本题主要考查根据分式方程的增根求参数，掌握分式方程的增根的概念是解题的关键． 14．1m 且2m ≠【解析】【分析】先解关于x 的分式方程，求得x 的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求m 的取值范围．【详解】 解：由方程122x m m x x +-=+-，解得：22x m =- ∵关于x 的方程122x m m x x +-=+-的解为负数， ∴220m -<且222m -≠±解得：1m 且2m ≠故答案为：1m 且2m ≠【点睛】本题考查了一元一次方程的解与解不等式，把m 看作常数求出x 的表达式是解题的关键． 15．2【解析】【分析】首先解分式方程，进而利用分式方程有增根得出关于m 的方程，解之求得m 的值即可．【详解】 解：方程1433x m x x -=+--两边同时乘以（x -3），得：1=4(3)x m x -+-， 解得：113m x -=， ∵方程有增根，∴30x -=，即3x =， ∴1133m -=， 解得：2m =，故答案为：2．【点睛】本题考查了分式方程的增根，解决增根问题的步骤：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．16．m ＞-1且m≠0【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据分式方程解为负数列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可确定出m 的范围．【详解】解：分式方程去分母得：m=-x-1，即x=-1-m ，根据分式方程解为负数，得到-1-m ＜0，解得m ＞-1，又∵x+1≠0，∴x≠-1，即-1-m≠-1，∴m≠0，∴m ＞-1且m≠0．故答案为：m ＞-1且m≠0．【点睛】本题考查解分式方程，解本题时注意考虑分式的分母不为0这一条件．17．01m <<【解析】【分析】方程两边同乘以1x +，化为整式方程，求得x ，再根据分式方程解的情况列不等式得出m 的取值范围．【详解】 解：m m 1x x -=+， 方程两边同乘以1x +，得，()m m 1x x -=+， 解得2m 1mx =-， 分式方程m m 1x x -=+的解是正数， 2m 01m∴>-且10x +≠， 即0m 1<<．故答案为：0m 1<<．【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况，求分式中参数的取值范围，掌握分式方程的解法和分式方程的增根的定义是解决此题的关键．18．1【解析】【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母20x -=，所以增根是2x =，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值．【详解】关于x 的方程3222x m m x x++=--的最简公分母为：2x -， ∵方程有增根，∴20x -=，解得：2x =，在方程两边同乘()2x -得：()322x m m x +-=-，把2x =代入方程()322x m m x +-=-得：230m m +-=，解得：1m =，故答案为：1．【点睛】本题考查了分式方程的增根，确定增根可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定可能的增根；②化分式方程为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根．19．5m =或6m =或4m =．【解析】【分析】 分式方程去分母转化为整式方程求得15x m=-，由分式方程无解求出m 的值即可． 【详解】 232111mx x x x -=-+- ()()321111mx x x x x -=+-+- ()()3121mx x x --=+()51m x -=-15x m=-关于x 的方程232111mx x x x -=-+-无解 50m ∴-=或1111055m m ⎛⎫⎛⎫+-=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ 5m ∴=或115m =--或115m=- 解得：5m =或6m =或4m =故答案为：5m =或6m =或4m =．【点睛】本题考查了分式方程无解的情况，将分式方程转化为整式方程是解题的关键．20．－4 2【解析】【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母20x -=，得到2x =，然后代入化为整式方程的方程算出m 的值．【详解】∵原方程会出现增根，∴最简公分母20x -=，解得：2x =，即增根为2x =． 由分式方程622x m x x -=--， 方程两边同时乘以2x -，得：6x m -=，由题意知：264m =-=-，即当4m =-时，原分式方程会出现增根，且增根为2x =．故答案为：4-，2．【点睛】本题考查了分式方程的增根．增根问题可以按照以下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．21．﹣12或﹣8【解析】【分析】根据分式方程的解法，先用m 将x 表示出来，再利用方程无解，令最简分母为0即可求出m 的值．【详解】解：2（x +2）+m ＝3（x ﹣2）2x +4+m ＝3x ﹣6x ＝10+m ，由题意可知：将x ＝10+m 代入x 2﹣4＝0，（10+m ）2﹣4＝0，解得：m ＝﹣12或﹣8故答案为：﹣12或﹣8【点睛】本题考查了分式的解法，解决本题的关键是熟练掌握分式的解法步骤，能够用m 将x 表示出来。

分式方程1. 解分式方程的思路是：（1） 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。

（2） 解这个整式方程。

（3） 把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。

（4） 写出原方程的根。

“一化二解三检验四总结”例1：解方程214111x x x +-=-- （1） 增根是使最简公分母值为零的未知数的值。

（2） 增根是整式方程的根但不是原分式方程的，所以解分式方程一定要验根。

例2：解关于x 的方程223242ax x x x +=--+有增根，则常数a 的值。

解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根，把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10，解得6a =所以4a =-或6a =时，原方程产生增根。

方法总结：1.化为整式方程。

2.把增根代入整式方程求出字母的值。

例3：解关于x 的方程223242ax x x x +=--+无解，则常数a 的值。

解：化整式方程的(1)10a x -=-当10a -=时，整式方程无解。

解得1a =原分式方程无解。

当10a -≠时，整式方程有解。

当它的解为增根时原分式方程无解。

把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。

综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。

方法总结：1.化为整式方程。

2.把整式方程分为两种情况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根。

例4：若分式方程212x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围。

解：解方程的23a x -=且2x ≠，由题意得不等式组：2-a 032-a 23>≠解得2a <且4a ≠- 思考：1.若此方程解为非正数呢？答案是多少？2．若此方程无解a 的值是多少？方程总结：1. 化为整式方程求根，但是不能是增根。

中考复习——分式方程的增根与无解问题一、选择题1、关于x的分式方程71x-+3=1mx-有增根，则增根为（）．A. x=1B. x=-1C. x=3D. x=-3答案：A解答：方程两边都乘（x-1），得7+3（x-1）=m，∵原方程有增根，∴最简公分母x-1=0，解得x=1，当x=1时，m=7，这是可能的，符合题意．2、若关于x的分式方程23x-+3x mx+-=1有增根，则m的值为（）．A. 3B. 0C. -1D. -3答案：C解答：方程两边都乘（x-3），得2-（x+m）=x-3，∵原方程有增根，∴最简公分母x-3=0，解得x=3，当x=3时，m=-1，选C.3、关于x的分式方程322mx x---=1有增根，则m的值（）．A. m=2B. m=1C. m=3D. m=-3答案：D解答：去分母得：m+3=x-2，由分式方程有增根，得到x-2=0，即x=2，把x=2代入整式方程得：m+3=0，解得：m=-3．选D.4、若关于x 的分式方程24x m x +-+2xx -=1有增根，则m 的值是（ ）． A. m =2或m =6 B. m =2C. m =6D. m =-2或m =-6答案：A解答：∵关于x 的分式方程24x m x +-+2xx -=1有增根， ∴x =±2是方程x +m -x （x +2）=4-x 2的根， 当x =2时，2+m -2（2+2）=4-4， 解得：m =6，当x =-2时，-2+m =4-4， 解得：m =2． 选A.5、关于x 的分式方程71x x -+5=211m x --有增根，则m 的值为（ ）．A. 1B. 3C. 4D. 5答案：C解答：方程两边都乘（x -1）， 得7x +5（x -1）=2m -1， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x -1=0， 解得x =1，当x =1时，7=2m -1， 解得m =4， 所以m 的值为4． 6、若关于x 的方程31x -=1-1k x-无解，则k 的值为（ ）．A. 3B. 1C. 0D. -1答案：A解答：方程两边都乘x -1， 得：3=x -1+k ， ∵原方程有增根，∴最简公分母x-1=0，解得x=1，当x=1时，k=3．故k的值为3．选A.7、关于x的方程321xx-+=2+1mx+无解，则m的值为（）．A. -5B. -8C. -2D. 5答案：A解答：去分母得：3x-2=2x+2+m，由分式方程无解，得到x+1=0，即x=-1，代入整式方程得：-5=-2+2+m，解得：m=-5，选A.8、关于x的方程12xx--=2mx-+2无解，则m的值是（）．A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C解答：去分母得x-1=m+2（x-2），解得x=3-m，当x=2时分母为0，方程无解，即3-m=2，m=1时方程无解．选C.9、若关于x的方程32233x mxx x-----=-1无解，则m的值为（）．A. 1B. 3C. 1或53D.53答案：C解答：两边同时乘x-3，得3-2x+mx-2=-x+3，∴（m-1）x=2．①当m=1时，0=2矛盾，∴无解．②当m ≠1时，x =21m -， ∴方程无解． ∴方程有增根， ∴x =3，即21m -=3， ∴m =53．综上所述m =1或53． 选C. 10、若分式232x a x x --+12x -=2x无解，则实数a 的取值为（ ）．A. 0或2B. 4C. 8D. 4或8答案：D 解答：解方程：232x a x x --+12x -=2x，去分母，得3x -a +x =2（x -2）， 去括号，得3x -a +x =2x -4， 移项，得3x +x -2x =-4+a ， 合并同类项，得2x =-4+a ， 系数化为1，得x =42a -， 又∵原分式方程无解， ∴42a -=0或2， ∴a =4或8． 选D.11、若关于x 的方程12x =3k x +无解，则k 的值为（ ）．A. 0或12B. -1C. -2D. -3答案：A解答：去分母得：x +3=2kx ， ∴（2k -1）x =3，当k =12时，（2k -1）x =3无解，即原方程无解． 由分式方程无解，得到2x （x +3）=0， 解得：x =0或x =-3．把x =0代入整式方程得：3=0，无解． 把x =-3代入整式方程得：-6k =0，解得k =0． 综上所述，k 的值为0或12． 选A. 二、填空题 12、若关于x 的方程32x x --=2mx-有增根，则m =______． 答案：1解答：方程两边都乘（x -2），得x -3=-m ， ∵方程有增根，∴最简公分母x -2=0，即增根是x =2， 把x =2代入整式方程，得m =1． 故答案为：1． 13、关于x 的方程23x x m--=0有增根．则m =______． 答案：9 解答：要使方程23x x m--=0有增根，则x =3使x 2-m =0， 得m =9． 14、分式方程233m x x---=1有增根，则m =______． 答案：-2解答：去分母得：m +2=x -3，由分式方程有增根，得到x -3=0，即x =3， 把x =3代入整式方程得：m +2=0， 解得m =-2． 故答案为：-2．15、若关于x 的分式方程31x a x x---=1无解，则a =______． 答案：1或-2解答：去分母得x 2-ax -3x +3=x 2-x ，（a +2）x =3， ①去分母后的整式方程无解，∴a +2=0，a =-2； ②解为增根，舍去，∴x =1，a =1， x =0，不符合题意． 16、若关于x 的分式方程3x x --2=3mx -有增根，则m 的值为______． 答案：3解答：方程两边都乘x -3， 得x -2（x -3）=m ． ∵原方程有增根， ∴最简公分母x -3=0， 解得x =3， 当x =3时，m =3． 故m 的值是3． 17、若关于x 的方程22x -+2x m x+-=2有增根，则m 的值是______． 答案：0解答：方程两边都乘以（x -2）， 得2-x -m =2（x -2）， ∵分式方程有增根， ∴x -2=0， 解得x =2， ∴2-2-m =2（2-2）， 解得m =0．18、已知关于x 的分式方程21x ax +-=1无解，则a 的值为______． 答案：-2 解答：21x ax +-=1 方程两边同乘以x -1，得移项及合并同类项，得 x =-1-a ，∵关于x 的分式方程21x ax +-=1无解， ∴x -1=0，得x =1， ∴-1-a =1，得a =-2． 故答案为：-2． 19、关于x 的分式方程2m x -+2xx-=2无解，则实数m 的值为______． 答案：2解答：去分母得：m -x =2x -2， 把x =2，代入得：m -2=22-2， 解得：m =2．20、如果关于x 的分式方程25x x --=5mx-无解，m 的值为______． 答案：-3解答：将原分式方程整理为整式方程：x =2-m ， ∵分式方程无解，∴分式方程有增根x =5， ∴m =-3．21、关于x 的分式方程2142m x x --+=0无解，则m =______． 答案：0或-4解答：方程去分母得：m -（x -2）=0，解得：x =2+m ，∴当x =2时分母为0，方程无解，即2+m =2，∴m =0时方程无解．当x =-2时分母为0，方程无解，即2+m =-2，∴m =-4时方程无解．综上所述，m 的值是0或-4． 22、若分式方程2111x mx x x +-+-=11x x +-无解，则m 的值是______． 答案：-3或-5或-1解答：方程去分母得：x （x -1）-（mx +1）=（x +1）（x +1）， 解得：x （3+m ）+2=0，当x =0时整式方程无解，即m =-3， ∴当x =1时分母为0，方程无解，∴当x =-1时分母为0，方程无解， 即m =-1．故答案为：-3或-5或-1． 23、若关于x 的分式方程52a x -+=2xx++3无解，那么a 的值为______． 答案：7 解答：52a x -+=2xx++3， 去分母得：5-a =x +3（x +2）， 将x =-2代入上式得：5-a =-2， 所以a =7． 故答案为：7．24、若关于x 的分式方程32xx --1=32m x +-有增根，则m 的值为______．答案：3解答：方程两边都乘（x -2），得3x -x +2=m +3， ∵原方程有增根，∴最简公分母x -2=0，解得x =2，把x =2代入3x -x +2=m +3，得3×2-2+2=m +3，解得m =3． 25、关于x 的方程3mx x -=33x -无解，则m 的值是______． 答案：1或0解答：去分母得mx =3，∵x =3时，最简公分母x -3=0，此时整式方程的解是原方程的增根， ∴当x =3时，原方程无解，此时3m =3，解得m =1， 当m =0时，整式方程无解． ∴m 的值为1或0时，方程无解． 故答案为：1或0． 三、解答题26、若关于x 的分式方程31x a x x---=1无解，求a 的值． 答案：a =1或a =-2．解答：去分母得：x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），去括号得：x2-ax-3x+3=x2-x，移项合并得：（a+2）x=3，（1）把x=0代入（a+2）x=3，∴a无解，当x=1代入（a+2）x=3，解得a=1，（2）（a+2）x=3，当a+2=0时，0×x=3，x无解，即a=-2时，整式方程无解，综上所述，当a=1或a=-2时，原方程无解，故答案为：a=1或a=-2．27、当a为何值时，关于x的方程ax=()21xx x+-无解？答案：1或-2解答：方程两边同乘x（x-1）得：a（x-1）=x+2，整理得：（a-1）x=2+a（i）当a-1=0，即a=1时，原方程无解；（ii）当a-1≠0，原方程有增根x=0或1，当x=0时，2+a=0，即a=-2；当x=1时，a-1=2+a，无解，即当a=1或-2时原方程无解．28、已知关于x的分式方程21x-+()()12mxx x-+=12x+．（1）已知m=4，求方程的解．（2）若该分式方程无解，试求m的值．答案：（1）x=-1．（2）m的值可能为-1、1.5或-6．解答：（1）方程两边同时乘以（x+2）（x-1），去分母并整理得5x=-5，解得x=-1，经检验，x =-1是原方程的解．（2）方程两边同时乘以（x +2）（x -1）， 去分母并整理得（m +1）x =-5， ∵原分式方程无解，∴m +1=0或（x +2）（x -1）=0， 当m +1=0时，m =-1； 当（x +2）（x -1）=0时， 解得：x =-2或x =1， 当x =-2时，m =1.5； 当x =1时，m =-6；所以m 的值可能为-1、1.5或-6． 29、已知关于x 的分式方程1xx --1=()()12m x x -+ （1）m 为何值时，这个方程的解为x =2？ （2）m 为何值时，这个方程有增根？ 答案：（1）m =4．（2）m =3．解答：（1）分式方程去分母得：x （x +2）-（x -1）（x -2）=m ， 将x =2代入得：8-4=m ，即m =4．（2）分式方程去分母得：x （x +2）-（x -1）（x -2）=m ， 将x =1代入得：m =3；将x =-2代入得：m =0（舍去）． 则m =3．30、已知关于x 的方程111m xx x ----=0无解，方程x 2+kx +6=0的一个根是m ． （1）求m 和k 的值．（2）求方程x 2+kx +6=0的另一个根．答案：（1）m =2，k =-5．（2）方程的另一个根为3． 解答：（1）∵关于x 的方程111m xx x ----=0无解， ∴x -1=0， 解得x =1，方程去分母得：m -1-x =0，把x=1代入m-1-x=0得：m=2．把m=2代入方程x2+kx+6=0得：4+2k+6=0，解得：k=-5．（2）方程x2-5x+6=0，（x-2）（x-3）=0，∴x1=2，x2=3，∴方程的另一个根为3．。

分式方程的增根与无解讲解例1 解方程2344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．例2 解方程22321++-=+-xx x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．整理得0x ＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．例3（2007湖北荆门）若方程32x x --=2m x-无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．解这个方程，得x=3－m ．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m ，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．例4当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。

（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为x ＝2或－2，把x ＝2或－2代入方程②中，求出a ＝－4或6．综上所述，a ＝1或a ＝一４或a ＝6时，原分式方程无解．例5：（2005扬州中考题）若方程)1)(1(6-+x x -1-x m =1有增根，则它的增根是（ ） A 、0 B 、1 C 、-1 D 、1或-1分析：使方程的最简公分母 (x+1)(x-1)=0则x=-1或x=1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零,还必须是所化整式方程的根。

分式方程的增根与无解问题专题练习一、分式方程的增根问题 1、关于x 的分式方程522x mx x -=++有增根，则m 的值为（ ）．A. 0B. -5C. -2D. -7答案：D解答：原分式方程去分母得：x -5=m ， ∵方程有增根， ∴x +2=0即x =-2， ∴m =-2-5=-7． 选D.2、关于x 的方程1xx --1=()()21a x x +-有增根，那么a =（ ）．A. -2B. 0C. 1D. 3答案：D解答：去分母得：x （x +2）-（x +2）（x -1）=a ， 由分式方程有增根，得到x +2=0或x -1=0， 解得：x =-2或x =1，把x =-2代入整式方程得：a =0，经检验不合题意，舍去； 把x =1代入整式方程得：a =3， 选D3、已知关于x 的方程22x mx +-=3有增根，则m 的值为______． 答案：-4 解答：∵22x mx +-=3， ∴2x +m =3x -6， ∴x =m +6． 又∵有增根， ∴m +6=2， ∴m =-4．4、若分式方程2111x m x x ----=1有增根，则m 的值是______． 答案：3 解答：2111x m x x ----=1， 同乘以x -1得： 2x -（m -1）=x -1， 2x -x =-1+m -1， x =m -2．∵该分式方程存在增根，即x -1=0，x =1， ∴m -2=1， ∴m =3．5、已知关于x 的分式方程1x mx +-=2有增根，则m 的值为______． 答案：-1解答：原方式可化为2（x -1）=m +x ． 当原分式方程有增根时，x =1． 将x =1代入得m +1=0． 解得m =-1． 6、已知关于x 的方程311x kx x ----=2有增根，则增根为______，k 的值为______． 答案：1；-2解答：原方程去分母，整理，得k =-x -1． ∵原方程有增根，而原方程的最简公分母为x -1． ∴由x -1=0可知原方程的增根为x =1． 当x =1时，k =-1-1=-2．因此，原方程的增根为1，k 的值为-2． 故答案为：1；-2． 7、若关于x 的分式方程12x x ++=2mx -有增根，则增根为______． 答案：2或-2解答：∵原方程有增根， ∴最简公分母（x +2）（x -2）=0，解得x=-2或2．故答案为2或-2．8、已知方程21 4x-+2=2kx-有增根，则k=______．答案：1 4解答：原方程去分母，得1+2（x2-4）=k（x+2）①，∵原方程有增根，∴x+2=0或x-2=0，∴x=-2或2．把x=-2代入①，得，方程无解．把x=2代入①，得，1+2×（22-4）=k（2+2），解得k=14．故答案为14．9、若关于x的方程21x x -+25kx x-+=211kx--有增根，则k的值为______．答案：3，6或9解答：去分母，得：x+1+（k-5）（x-1）=（k-1）x ①若x=1为增根，则：1+1+0=k-1，k=3，②若x=-1为增根，则：-1+1-2（k-5）=-（k-1），得：k=9，③若x=0为增根，则：0+1-（k-5）=0，k=6，综上，k的值为3，6或9．10、若关于x 的分式方程2611mx x ---=1有增根，则增根是______． 答案：x =1解答：去分母，得：6-m （x +1）=x 2-1， 移项，得：7-m （x +1）=x 2， 当x =-1时，原方程无解， 则x =1为原方程的增根． 11、关于x 的分式方程12mx x +-=-1有增根，求m 的值． 答案：-12． 解答：方程两边都乘（x -2），得mx +1=-（x -2）， ∵原方程有增根， ∴最简公分母x -2=0， 解得x =2，当x =2时，2m +1=-（2-2），解得m =-12． 12、若关于x 的方程33x -+29ax x -=43x +有增根，求a 的值．答案：a =-6或a =8．解答：化为整式方程得：3（x +3）+ax =4（x -3）， 整理得ax =x -21，再将x =3，x =-3分别代入ax =x -21中，得a =-6或a =8． 二、分式方程的无解问题 13、关于x 的方程321x x -+=2+1mx +无解，则m 的值为（ ）．A. -5B. -8C. -2D. 5答案：A解答：去分母得：3x -2=2x +2+m ， 由分式方程无解，得到x +1=0， 即x =-1，代入整式方程得：-5=-2+2+m ， 解得：m =-5， 选A.14、若分式方程31xx+=1mx++2无解，则m=（）．A. -3B. -2C. -1D. 0答案：A解答：31xx+=1mx++2，3x=m+2x+2，x=m+2，∵x=-1是原方程的增根，原方程无解，∴m+2=-1，∴m=-3．选A.15、关于x的分式方程23m xx+--1=2x无解，则m的值为（）．A. -1.5B. 1C. -1.5或2D. -0.5或-1.5答案：D解答：23m xx+--1=2x，方程两边都乘以x（x-3），得：x（x+2m）-x（x-3）=2（x-3），整理，得：（2m+1）x=-6，x=-621 m+，∵原分式方程无解，∴2m+1=0或-621m+=3或-621m+=0．解得：x=-0.5或x=-1.5，选D.16、关于x的方程12xx--=1mx-+1无解，则m的值是（）．A. 0B. 0或1C. 1D. 2答案：B解答：解分式方程12xx--=1mx-+1，整理得（x-1}）2}=m（x-2）+（x-1）（x-2），（1-m ）x =1-2m ，当m =1时，整式方程无解； 当m ≠1时，x =121mm--． ∵当x =1或x =2时，x 为原方程的増根， 当x =1时，解得m =0； 当x =2时，方程121mm--=2无解． ∴当m =0或1时，原方程无解， 选B.17、若关于x 的方程323x x --+23mxx+-=-1无解，则m 的值为（ ）．A. 3B. -3C. -53或-1 D. 0答案：C解答：去分母得：3-2x -2-mx =-x +3整理为：（ ）（1+m ）x =-2 该整式方程无解时，原分式方程无解，此时m =-1该整式方程有解，此解恰好是原分式方程的增根，此时m =-53． 18、若分式方程31a x --=2无解，则a =______． 答案：3 解答：31a x --=2， 解得：a =2x +1， ∵x =1时，方程无解， ∴a =2×1+1=3． 19、若方程52m x --+1=12x -无解，则m =______． 答案：4 解答：52m x --=12x --1． 52m x --=()122x x ---．52m x --=32x x --．5-m =3-x ． x =-2+m ．当x =2时，方程无解． ∴-2+m =2． ∴m =4．20、若关于x 的方程3m x -+2=43xx --无解，则m 的值为______． 答案：1 解答：3m x -+2=43xx -- m +2（x -3）=4-x m +2x -6=4-x 3x =10-m∵方程无解，可知x =3． ∴9=10-m ， ∴m =1．21、若关于x 的分式方程1x k x +-=4x+1无解，则k 的值是______． 答案：3或-1解答：化整式方程得：x 2+kx =4x -4+x 2-x ， 化简得：（k -3）x =-4．当k -3=0时，整式方程无解，即k =3时，分式方程无解． 当k -3≠0时，整式方程的解x =43k-为分式方程增根1时， 即k =-1时分式方程无解， ∴k =3或-1．22、若关于x 的分式方程23kx x -+532x-=4无解，则k 的值为______． 答案：8或103解答：去分母，得：kx -5=4（2x -3）， kx -5=8x -12， kx -8x =-7，当k =8时，原方程无解，当k ≠8时，x =78k --， ∵无解， ∴2x -3=0，∴x =32， ∴78k --=32， ∴k =103，综上，k 的值为8或103． 23、关于x 的方程2ax x -=42x -+1无解，求a 的值．答案：a =1或2．解答：方程去分母得：ax =4+x -2， 解得：（a -1）x =2，∴当a -1=0即a =1时，整式方程无解，分式方程无解， 当a ≠1时，x =21a -， x =2时分母为0，方程无解， 即21a -=2，a =2时方程无解， 综上，当a =1或2时，原分式方程无解． 24、已知关于x 的分式方程2211a a x x x x---++=0无解，求a 的值． 答案：a =12，0，-1时，原方程无解． 解答：方程两边同时乘x （x +1），得： ax -（2a -x -1）=0， 整理得（a +1）x =2a -1，当a =-1时，整式方程无解，原分式方程无解； 当整式方程的解是原分式方程的增根时， 将x =0或x =-1代入整式方程，解得a =12或a =0． 综上所述，a =-1，12或0．。

分式方程的增根、正根、负根、无解问题专题训练一、选择题1．关于x的方程有增根，那么a的值为（）A．1B．﹣4C．﹣1或﹣4D．1或42．关于x的分式方程+＝3有增根，则实数m的值是（）A．2B．﹣1C．3D．43．若关于x的方程﹣＝0有增根，则m的值为（）A．﹣5B．0C．1D．24．方程﹣3＝有增根，则m的值为（）A．B．±3C．﹣3D．35．若关于x的分式方程﹣＝1有增根，则增根为（）A．1B．0C．1和0D．不确定6．若关于x的分式方程+＝1有增根，则m的值是（）A．m＝6B．m＝2C．m＝2或m＝6D．m＝2或m＝−6 7．已知关于x的分式方程﹣＝1有增根，则k＝（）A．﹣3B．1C．2D．3二．填空题8．若关于x的分式方程有增根，则a的值为．9．关于x的方程＝1有增根，则a的值是．10．关于x的方程有增根，则增根是；且k的值是．11．若关于x的分式方程有增根x＝1，则k的值为．12．已知关于x的分式方程+2＝﹣有增根，则这个增根的值是．13．若方程+＝2有增根x＝﹣1，则k＝．14．一们同学在解关于x的分式方程的过程中产生了增根，则可以推断a的值为．三、解答题15．（1）方程＝3﹣有增根，则m的值为．（2）若关于x的方程+2＝有增根，试求k的值．16．若分式方程有增根x＝﹣1，求k的值．17．已知关于x的分式方程．（1）若分式方程有增根，求m的值；（2）若分式方程的解是正数，求m的取值范围．18．关于x的分式方程：．（1）当m＝3时，求此时方程的根；（2）若这个关于x的分式方程会产生增根，试求m的值．（3）若关于x的分式方程的增根为x＝3，求a的值．19．若关于y的不等式组无解，且关于x的分式方程的解为负数，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？20．若关于x的一元一次不等式组的解集为x＞1，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？。

初中数学试题分类汇编：分式方程的增根无解问题综合训练3（填空 附答案） 1．若关于x 的分式方程1x a a x +=-无解，则a 的值是_______．2．若关于x 的分式方程233x m x x -=--＋2无解，则m 的值为________． 3．若关于x 的方程133x m x x =+-+无解，则m 的值为_________________．4．已知12322kx x x x --=--为分式方程，有增根，则k =_____．5．若关于x 的分式方程有增根，则m =________．6．若关于x 的分式方程322x m x x -=--无解，则m =__________．7．如果关于x 的方程1322k x x -=--+1有增根，那么k 的值为_____8．若方程244x a x x =+--有增根，则a =________．9．已知关于x 的方程311x m x x +=--，当m =______时，此方程的解为4x =；当m =______时，此方程无解．10．若关于 x 的方程322x m x x-=--无解，则 m ＝_____． 11．若关于x 的分式方程33122x m x x +-=--有增根，则m 的值为_____.12．若关于x 的方程2134416x m m x x ++=-+-无解，则m 的值为__．13．若关于x 的分式方程133x m x x -=--无解，则m=_________． 14．若关于x 的方程2333x a a x x++=--无解，则a 的值为__________． 15．若关于x 的分式方程2133x k x x+=--无解，则k 的值等于______________. 16．若关于x 的分式方程122x x a x x--=--有增根，则a 的值_____________. 17．如果关于x 的方程1x a x-=无解，则a 的值是____. 18．若关于x 的分式方程x x 4-+4m 4x - = 2m 无解，则m 的值为___________ 19．关于x 的方程233tx t x x+=--无解，则t =_____________． 20．若关于x 的分式方程11222kx x x -+=-- 无解,则k 的值为________. 21．若方程233x m x x -=--无解，则m =_______________； 22．若关于x 的方程3101ax x +-=-无解，则a 的值为__________． 23．若方程233x m x x =---有增根，则m =___________． 24．若分式方程3211x m x x =+++无解，则m ＝______. 25．若关于x 的方程3533-+=--x m x x 无解，则m 的值等于_____． 26．关于x 的分式方程214224k x x x +=-+-有增根2x =-，则k =______. 27．若分式方程213+33kx x x-=--无解,则k=__________ 28．对于非零实数a 、b ，规定a ⨂b ＝b a，若（x ﹣3）⨂（3﹣2x ）＝0，则x 的值为_____；若关于x 的方程（x ﹣3）⨂（3﹣2x ）﹣（3﹣x ）⨂（mx ﹣2）＝﹣1无解，则m 的值为_____．29．当k =______时，分式方程0111x k x x x x +-=--+无解. 30．若方程2133x k x x+=--有增根，则k =______.参考答案1．﹣1或1【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解分两种情况讨论分别求出a的值．【详解】去分母得：x+a=a(x﹣1)，(1)2a x a-=，分两种情况讨论：①当a=1时整式方程方程无解，从而分式方程无解；②当a≠1时，根据分式方程无解，得到x﹣1=0，即x=1，∴a-1=2a，解得：a=﹣1．故答案为：﹣1或1．【点睛】本题考查了分式方程的解，分式方程无解包括两种情况：①最简公分母为0；②化简后的整式方程无解．2．1【解析】分析：把原方程去分母化为整式方程，求出方程的解得到x的值，由分式方程无解得到分式方程的分母为0，求出x的值，两者相等得到关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．详解：22 33x mx x-=+ --去分母得：x﹣2=m+2（x﹣3），整理得：x=4﹣m．∵原方程无解，得到x﹣3=0，即x=3，∴4﹣m=3，解得：m=1．故答案为1．点睛：本题的关键是让学生理解分式方程无解就是分母等于0，同时要求学生掌握解分式方程的方法，以及转化思想的运用．学生在去分母时，不要忽略分母为1的项也要乘以最简公分母．3．3m =或0m =【解析】【分析】方程两边同时乘以()()33x x +-，根据方程无解去确定m 的值即可．【详解】当3030x x -≠+≠，，133x m x x =+-+ 22339x x mx m x +=-+-()339m x m -=+由于方程无解∴30m -=解得3m = ∴3933m x m +==-，无解 ∴3933m x m +==--，解得0m = ∴3m =或0m =故答案为：3m =或0m =．【点睛】本题考查了分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键．4．1【解析】【分析】去分母得(2)2k x -=-，根据有增根即可求出k 的值．【详解】去分母得，123kx x -=-(2)2k x -=-，当20k -≠时，22x k =--为增根， 222k ∴-=- 21k -=-1k =故答案为：1．【点睛】本题考查了分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键．5．-2【解析】【分析】【详解】解：根据关于x 的方程有增根，可知x-3=0，增根为x=3，原方程化为整式方程为2=（x-3）-m ，代入x=3可得m=-2．故答案为：-2．【点睛】本题考查分式方程的增根，理解概念正确计算是解题关键．6．2【解析】【分析】去分母，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根时无解求m 的值．【详解】去分母，得x-3（x-2）=m ，整理，得-2x+6= m ，当x=2时，原方程有增根，分式方程无解，此时-2×2+6= m ，解得m=2，故答案为2.【点睛】本题考查分式方程无解计算，解题时需注意，分式方程无解要根据方程的特点进行判断，既要考虑分式方程有增根的情况，又要考虑整式方程无解的情况.7．4【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x 的值，代入整式方程计算即可求出k 的值．【详解】去分母得：1=k-3+x-2，由分式方程有增根，得到x-2=0，即x=2，把x=2代入整式方程得：k=4，故答案为4【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．8．4.【解析】【分析】先去掉分母将分式方程转化为整式方程，再根据原方程有增根而得出x 的值，将其代入之前得到的整式方程进一步求解即可.【详解】将分式方程去掉分母可得：()24x x a =-+，即：8x a -=-+，∵原方程有增根，∴40x -=，即4x =，∴48a -=-+，∴4a =，故答案为：4.【点睛】本题主要考查了分式方程中增根的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.9．5 －1【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，将x=4代入计算即可求出m的值；分式方程无解，将x=1代入即可解答．【详解】解：由原方程，得x+m=3x-3，∴2x=m+3，将x=4代入得m=5；∵分式方程无解，∴此方程有增根x=1将x=1代入得m=-1；故答案为：5，-1；【点睛】本题考查了分式方程的解法和方程的解，以及分式方程无解的问题，理解分式方程无解的条件是解题的关键．10．1．【解析】试题解析：原方程可化为x－3=－m，∴x=3－m，由已知得：3－m=2，∴m=1．考点：分式方程的解．11．3【解析】【分析】把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得m的值．【详解】去分母得3x-(x-2)=m+3，当增根为x=2时，6=m+3∴m=3．故答案为3．【点睛】考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．12．-1或5或13-【解析】【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案.【详解】去分母得：()443x m x m ++-=+，可得：()151m x m +=-，当10m +=时，一元一次方程无解，此时1m =-，当10m +≠时， 则5141m x m -==±+， 解得：5m =或13-. 故答案为：1-或5或13-.【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键.13．2【解析】【分析】因为关于x 的分式方程无解，即分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即x=3，据此即可求解．【详解】两边同时乘以（x-3）去分母解得x=1+m ，∵方程无解，∴说明有增根x=3，所以1+m=3，解得m=2，故答案为：2.【点睛】本题考查了分式方程的解，理解分式方程的增根产生的原因是解题的关键．14．3【解析】【分析】根据方程无解可得该方程的增根为3x =，分式方程去分母转化为整式方程，将x =3代入即可求出a 的值．【详解】解：分式方程去分母得：23(3)x a a x +-=-，根据题意得：当x -3=0时，该分式方程有增根，为x =3，将x =3代入整式方程得：320a a +-=解得3a =故答案为：3．【点睛】本题考查分式方程无解问题. 依据分式方程的增根确定字母参数的值的一般步骤：① 先将分式方程转化为整式方程；②由题意求出增根；③将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值.15．6【解析】【分析】将分式方程转化为整式方程，由已知该分式方程无解，则有x=3，进而求出k 的值．【详解】解：原分式方程可化为：2x-k=x-3因为原分式方程无解，所以x=3.∴2⨯3-k=3-3解得，k=6.故答案为：6.【点睛】本题考查分式方程的解；熟练掌握分式方程的解法，明确分式方程无解的情况是解题的关键． 16．4【解析】【分析】方程第二个分母提取-1变形后，去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为2，即可求出a 的值．【详解】 方程变形得：+122x x a x x -=--， 去分母得：x+x-a=x-2，解得：x=a-2， ∵方程122x x a x x--=--有增根， ∴x=2，即a-2=2，解得：a=4，故答案为：4．【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．17．1【解析】【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【详解】解：去分母得，1x ax -=，∴1x ax -= ∴11x a=- ， 当分母1-a=0时方程无解，即a=1时方程无解，则a 的值是1．故答案为：1．【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，是需要识记的内容．18．12或1【解析】【分析】方程无解分两种情况：①方程的根是增根②去分母后的整式方程无解，去分母后分情况讨论即可.【详解】①去分母得：x-4m=2m（x-4）若方程的根是增根，则增根为x=4把x=4代入得：4-4m=0 解得：m=1②去分母得：x-4m=2m（x-4）整理得：（2m-1）x=4m∵方程无解，故2m-1=0 解得：m=1 2∴m的值为12或1故答案为：12或1【点睛】本题考查的是分式方程的无解问题，注意无解的两种情况是解答的关键.19．0或2 3 -【解析】【分析】根据等式的基本性质，将分式方程化为整式方程，因为方程无解，讨论当t=0时和t≠0时两种情况下确定字母的值即可.【详解】解：233txtx x+=--两边同乘3x-得：(3)2 tx t x+-=-32 tx tx t+-=-232tx t=-①当t=0时，0=-2，满足方程无解；②当t≠0时，322t x t-=， 要使分式方程无解，则30x -=即x=3将3x =代入得：3232t x t-== 解得：23t =- 故答案为：0或23-【点睛】本题考查分式方程无解时求字母的值，解决本题的关键是熟练掌握分式方程的变形，将分方程转化为整式方程.20．2或1【解析】 11222kx x x-+=-- 去分母得，2(x-2)+(1-kx)=-1,整理得(2-k)x=2，∴当2-k=0时或x-2=0时原方程无解.当2-k=0时，k=2;当x-2=0时，即x=2时，2-k=1,k=1.∴当，k=2或k=1时，原方程无解.点睛：本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，分式方程的无解包括两种情况，①当分母为0时，分式方程无解，求出x 的值，代入到去分母后的整式方程求出参数的值；②去分母整理成ax =b 的形式，如果a =0,b ≠0,此时分式方程也无解.21．1【解析】【分析】先去分母得出x-2=m ，且x-3=0，得出x 的值再代入x-2=m ，即可得出m 的值.【详解】去分母，得x-2=m.∵分式原方程无解，∴x-3=0，即x=3.将x=3代入x-2=m ，得m=1.【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握无解的情况时分母为0是解题的关键.22．1或-3．【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【详解】3101ax x +-=-， ()310ax x +-=﹣即：()14a x -=-∴当1a =时，整式方程无解，分式方程无解；当1a ≠时，41x a -=- 1x =时，分式的分母为0，方程无解， 即411a --，解得：3a =-, 因此3a =-时，方程无解.故答案为：1或－3．【点睛】本题主要考查解分式方程，去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．23．﹣3【解析】【分析】先去分母，根据方程有增根求出x=3，代入以上方程即可求出a 的值．【详解】解：方程两边同乘以x−3得：x=2（x-3）-m ，∵分式方程有增根，∴最简公分母x-3=0，即x=3.当x=3时，m=-3.故答案为-3.【点睛】此题考查了分式方程的增根.增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母等于0，得到未知数的值，然后代入化为整式方程的方程算出字母的值．24．-3【解析】【分析】先将分式方程化成整式方程，再将x=-1代入求出m 的值，即可得出答案.【详解】3211x m x x =+++ 3x=m+2(x+1)∵分式方程无解∴x=-1将x=-1代入得：3×(-1)=m+2×(-1+1) 解得：m=-3故答案为：-3.【点睛】本题考查的是解分式方程，难度中等，分析分式方程有增根是解决本题的关键.25．6【解析】【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程，解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【详解】解：3533-+=--x mx x，x+5（x﹣3）＝m﹣3 x+5x﹣15＝m﹣3∴x＝16m+2，当(16m+2)﹣3＝0时，方程无解，解得m＝6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查解分式方程，分式方程的意义，关键在于明确当3x=时，原方程无解，求出x 关于m的表达式，认真正确的解关于m的方程．26．1-【解析】【分析】化分式方程为整式方程，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．【详解】方程两边都乘(x+2)(x−2)，得x+2+k(x−2)=4∵原方程增根为x=−2，∴把x=−2代入整式方程，得k=−1.故填：-1.【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．27．3和1【解析】试题解析：方程去分母得：3（x-3）+2-kx=-1，整理得（3-k）x=6，当整式方程无解时，3-k=0即k=3，当分式方程无解时，x=3，此时3-k=2，k=1，所以k=3或1时，原方程无解．故答案为3或1．28．3253或1.【解析】【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值；已知等式利用题中的新定义化简，根据分式方程无解分情况求出m的值即可．【详解】解：已知等式利用题中的新定义化简得：323xx--＝0，解得：x＝32，经检验x＝32是分式方程的解，则x的值为32；已知等式利用题中的新定义化简得：323xx--﹣23mxx--＝﹣1，去分母得：3﹣2x+mx﹣2＝3﹣x，整理得：（m-1）x-2=0，①由分式方程有增根，得到x﹣3＝0，即x＝3，把x＝3代入整式方程得：3m﹣3﹣2＝0，解得：m＝53，②整式方程无解，则m-1＝0，解得m=1，故答案为：32；53或1.【点睛】此题主要考查解分式方程以及分式方程无解问题，解题的关键根据题意列出分式方程求解. 29．2-或1-【解析】【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据无解分情况讨论：去分母后整式方程无解或有增根.【详解】方程两边同乘(x +1)(x －1)得：x (x +1)+k (x +1)－x (x －1)=0，整理得：(2+k )x =－k ，当整式方程无解时，2+k =0即k =－2，当分式方程有增根时，x =1或x =－1，此时，当x =1时，k =－1，当x =－1，k 不存在，∴k =－2或－1时，分式方程0111x k x x x x +-=--+无解. 【点睛】本题考查分式方程无解，注意分“去分母后的整式方程无解或分式方程有增根”两种情况进行讨论是解题的关键.30．6【解析】【分析】将分式方程去分母后，将x=3代入求出k 值即可.【详解】解：去分母得 23x k x -=-∵方程有增根，∴最简公分母x-3=0，即增根是x=3，把x=3代入整式方程，得k=6．故答案为6【点睛】本题考查了分式方程的增根，注意解答增根问题按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．。

初中数学分式方程增根与无解问题专题突破四（附答案详解）1．若分式方程()5411x x x x +=--有增根，则增根为______________．2．如果分式方程有增根，则增根是_____． 3．若关于x 的分式方程2213m x x x+-=-有增根，则该方程的增根为________。

4．分式方程0222=--x x x 的增根是的增根是 ．5．若关于x 的分式方程－2＝有增根，则增根为________，m ＝________．6．用去分母解关于x 的分式方程会产生增根，那么增根x 的值可能为___________．7．使分式方程211339k x x x +=-+-产生增根的k 值为_________8．若分式方程21111x m x x --=--有增根，则m 的值是____．9．若关于a 的分式方程有增根，则m 的值为__________. 10．关于x 的分式方程=有增根，则m 的值是__．11．若解分式方程441+=+-x m x x 产生增根，则____ ___12．若分式方程424-+=-x a x x 有增根，则a 的值为的值为 ．13．若分式方程有增根，则a 的值是 ．14．若去分母解分式方程x-3x －2=x-3m 时有增根，则m 的值为的值为 ______．15．若关于x 的分式方程有增根，则常数m 的值为____．16．若关于x 的分式方程﹣2=有增根，则m 的值为的值为 ．17．若关于的分式方程有增根，则常数的值为__________．18．如果关于x 的分式方程有增根，那么m 的值为______．19．若分式方程655x k x x-=--（其中k 为常数）产生增根，则k ＝___________.20．已知关于x 的分式方程有增根且m ≠0，则m ＝_____．答案：1．x=1解：两边乘x （x-1）得到：（x-1）（5x-x-4）=0，∴x=1，经检验：x=1是分式方程的增根. 2．x=3解:∵分式方程有增根，有增根，∴∴x -3=0,∴x =3. 3．x=3解:方程两边都乘x （x-3），得2mx+x 2-x （x-3）=2（x-3）∵原方程有增根，∴最简公分母x （x-3）=0，解得x=3，或x=0，当x=0时，方程无意义；故答案是：x=0。

分式方程的增根与无解甲：增根是什么？乙:增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.比如例1、解方程：。

①为了去分母，方程两边乘以，得②由②解得。

甲：原方程的解是.乙：可是当时，原方程两边的值相等吗？甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。

哟!当时，原方程有的项的分母为0，没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦?乙:求解过程完全正确,没有任何的差错。

甲:那为什么会出现这种情况呢？乙：因为原来方程①中未知数x的取值范围是且，而去分母化为整式方程②后,未知数x的取值范围扩大为全体实数。

这样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。

甲:如此说来，从方程①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么,如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢？乙:很简单,两个字：检验。

可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母,看是否使公分母等于0，如果公分母为0,则说明这个值是增根，否则就是原方程的解。

甲：那么，这个题中就是增根了，可原方程的解又是什么呢？乙：原方程无解。

甲：啊？！为什么会无解呢？乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等,如上题中,不论x取何值,都不能使方程①两边的值相等,因此原方程无解，又如对于方程，不论x取何值也不能使它成立，因此,这个方程也无解.甲：是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？乙：不是！有增根的分式方程不一定无解,无解的分式方程也不一定有增根,你看：例2、解方程,去分母后化为，解得或，此时，是增根，但原方程并不是无解，而是有一个解，而方程,去分母后化为，原方程虽然无解，但原方程也没有增根。

乙：增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，利用这种关系可以解决分式方程的有关问题，你看：例3、已知关于x的方程有增根，求k的值.首先把原方程去分母，化为。