八下分式方程的增根与无解

分式方程无解各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢分式方程的增根与无解例谈分式方程的增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：原方程化去分母后的整式方程无解；原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例 1 解方程．①解：方程两边都乘以，得2-4x=3．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x≠2且x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，原方程无解．例 2 解方程．解：去分母后化为x－1＝3－x＋2．整理得0x＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．例3若方程无解，则m=——————．解：原方程可化为－．方程两边都乘以x－2，得x－3=－m．解这个方程，得x=3－m．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．例4当a为何值时，关于x 的方程①会产生增根？解：方程两边都乘以，得2＋ax＝3整理得x＝－10②若原分式方程有增根，则x＝2或－2是方程②的根．把x＝2或－2代入方程②中，解得，a＝－4或6．【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a为何值时，关于x的方程①无解？此时还要考虑转化后的整式方程x ＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以，得2＋ax＝3整理得x＝－10②若原方程无解，则有两种情形：当a－1＝0时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。

八年级数学下册10.5 分式方程分式方程的“增根”与“无解”素材(新版）苏科版编辑整理:尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望(八年级数学下册1０．5 分式方程分式方程的“增根”与“无解”素材(新版）苏科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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分式方程的“增根”与“无解”学习了解分式方程以后,我们便知道了“增根”的知识，不少同学对“增根”与“无解”混为一谈,甚至根本无法理解，为了说明这两个概念,现帮助同学们重新定位．一、增根的概念将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根）,这种根通常称为增根.如,若方程2m x -＋3=12x x+-有增根,则这个增根一定是x =２。

二、分式方程增根产生的原因在解分式方程的关键是要将分式方程转化为整式方程,而转化的关键又是去分母，由于对原分式方程的解来说，它必须使分式方程中各分式分母的值不为零，而对约去分母后得到的整式方程来说，却不要求分母的值非零,因为整式方程中各分母都是已知数,零不能作分母,当所得到的整式方程的某一根使原分式方程中至少有一个分式的分母为零时,即这个分母实际上是去分母时最简公分母的一个因式,那么最简公分母（整式)的值为零，即去分母过程中就相当于在方程两边同时乘以了0,不符合等式性质的要求,所以这个整式方程的根不适合原分式方程,它就是增根，因而,解分式方程时,必须要检验。

三、无解的概念分式方程无解有两种情形:一是将原分式方程两边都乘以最简公分母,约去分母得到整理后的整式方程为ax =ｂ，此时若a =0,而ｂ≠0，则此整式方程无解,即原分式方程无解;二是化分式方程为整式方程,此整式方程的解是原分式方程增根，此时分式方程无解。

【八年级】浅谈分式方程的增根与无解在学习分式方程时，增根与无解是避不开的话题，也是绝大部分同学弄不清楚的地方。

今天，给大家带来 2 类典型的问题。

一、解分式方程时，增根是如何产生的？增根到底有多少个？二、增根与无解到底有怎样的区别与联系。

1.有关增根的问题1.1增根是如何产生的先看一个有意思的问题：x-1=0显然，我们都知道原方程的解为 x=1，但是如果我们没有直接移项，而是在方程的两边同时乘以 x，则原方程可化为 x(x-1)=0，可解得 x=0 或x=1.我们当然知道第一种方法是正确的，但是为什么我在等号两边同时乘了一个 x，就会变成两个解呢？这是因为两边同时乘的这个 x，我们没有确保它是不等于 0 的。

换言之，第二种解法的 x=0 就是这个一元一次方程的增根。

因为我在方程 x-1=0 两边同时乘以 x 后，得到的方程 x(x-1)=0 与原方程不是同解方程。

而我们解分式方程时，总是将分式方程化成整式方程进行求解。

由于这个过程扩大了原来末知数的取值范围，使得所化成的整式方程与原分式方程不是同解方程，带来了可能使所化成的整式方程成立，而使原分式方程分母为零的末知数的值，也即增根。

1.2增根到底有多少个再看一个有意思的问题，也是以前很多老师争论不休的问题。

故原方程无解，因此原方程的增根有 0 个。

这个问题为什么会产生歧义呢？这个方程的增根到底有几个？解法一、二、三到底哪个是正确的？首先，需要明确一点：解所有不含参数的分式方程，按照所有项移到方程左边，进而通分，这样的方式解得的分式方程永远都不会有增根，即解法三这样的。

因为这种解法，一直在进行等价转化，即都是同解方程。

那既然这种解法不会产生增根，为什么教材不提倡这种做法呢？笔者觉得原因有两个。

一、通过通分化简求值的方法相比于去分母化成整式方程更加麻烦，虽然不需要验根，但是对于复杂一些的分式方程，通分的计算量不小。

二、更重要的一点，通分的方法无法处理含参数的分式方程。

如何理解分式方程中的增根和无解【摘要】：增根和无解是解分式方程时常常遇到的两个问题。

在讲解分式方程的解的过程中，如果没有把分式方程的增根和无解的概念、二者的联系与区别、以及各自的解法等问题讲解透彻，会导致学生在学习分式方程时，对增根和无解的理解存在一定的困难。

有些同学简单的认为这两个概念大致相同，做题时就都用同一种方法，或是将二者的解法混为一团。

正确理解分式方程中的增根和无解，对于学生来说是一个难点。

教师在教学过程中，也常常因为学生对这两个问题的理解不够透彻而感到焦急、困惑。

老师们也希望能够用简单易懂的道理来帮助学生认识、分析分式方程中的增根和无解的联系和区别，从而让学生能够正确的解题。

【关键词】：分式方程整式方程增根无解最简公分母【正文】：八年级学生在学习解分式方程时，有一个很重要的步骤是：检验，在检验这一过程中常常会遇到增根和无解这两个问题。

分式方程的增根与无解是分式方程中两个常见的概念，它们所满足的条件不同。

分式方程的增根同时满足的的两个条件为：（1）增根使最简公分母为0，（2）增根是分式方程化为整式方程时，整式方程的根。

分式方程无解的两种原因：（1）分式方程去分母后所得的整式方程无解。

（2）分式方程的根是增根。

现将二者的区别与联系以例题的形式进行分析解释： 例 1：解分式方程 1 = x - 510 x 2 - 25解：原分式方程分母因式分解得：1 = x - 5 10 (x + 5)(x - 5)分式方程左右两边同时乘以最简公分母（ x +5）( x -5)得：x +5=10解得x =5检验：当x =5 时，（ x +5）( x -5)=0，所以x =5 是原分式方程的增根。

即原分式方程无解。

说明：此题中当x =5 时，最简公分母（ x +5）( x -5)的值为 0，在检验的过程中发现x =5 是原分式方程的增根。

即原分式方程无解。

例1 让学生初步感受分式方程中增根和无解的意义。

二者具体有哪些联 系与区别，在后面的例题中将加以详细的分析与说明。

怎样区别分式方程的增根与无解责旧.蝙辑:王二喜刘顿学习了解分式方程以后,不少同学把增根与无解混为一谈.为了掌握这两个概念,现举例说明这两个概念的区别和联系.一.岔将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘以一个含有未知数的整式,并约去分母,可能产生不适合原分式方程的解或根,这种根称为增根.如,若方程—+3=有增根,则这个增根一定是=2.一二_徭绣罗解分式方程的关键是去分母将分式方程转化为整式方程.对原分式方程的解来说,各分式的分母不能为零,而对去分母后得到的整式方程来说,没有这个限制.因此,解分式方程时,必须检验.2O09.3的增根与无解怎样区剔分式方程课程_IiI赍源_…i庭裔锄辑分式方程无解有两种情形:一种是将原分式方程两边都乘以最简公分母,去分母并整理得到的整式方程为ax=b,若a=O,而b≠0,则此整式方程无解,即原分式方程无解;另一种是化分式方程为整式方程,整式方程的解是原分式方程的增根,此时分式方程无鳃.,ll如,若关于的方程一1=0无解,试求n的值.将原方程去分母转化为(o一1)x+2=O,即(n一1)一2.当n一1=0时,~Ja=l,此时整式方程无解.所以当n=1时,原方程无解.对于方程(.～1)x+2=O,当=1时,原方程无解.所以当(n一1)×1+2=0时,即o=一1,原方程无解.所以a为1或一1.在解本题时,考虑问题要全面,不要只考虑原分式方程有增根的情形,而忽略了整式方程无解,则原分式方程无解的情况.一分薅方癌警车麟按哮暴分式方程有增根,则增根是原分式方程变形后所得整式方程的根,但不是原分式方程的根,即这个根使最简公分母为0.如,解分式方程=3一刍,可得x=2,把=2代人(2一),得2一x=O,即=2使分式方程的分母2一为0.所以x=2不是原方程的解,x=2 是原方程的增根,此方程无解.在本题中,分式方程有增根,方程无解.请思考下面两道题:1.若关于的方程:m无解,求m的值.2.m为何值时,关于的方程+x2-4=会产生增根.目I2OO9.3。

分式方程的增根与无解讲解2 4x 3例1解方程上 二—.①x 2 x 4 x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得2 (x+2) -4x=3 (x-2 ).② 解这个方程，得x=2 .经检验：当x=2时，原方程无意义，所以 x=2是原方程的增根.所以原方程无解.x 13 x 例2解方程2 .x 22 x解：去分母后化为 x — 1 = 3- x + 2 (2 + x ). 整理得0x = 8.因为此方程无解，所以原分式方程无解.例3 (2007湖北荆门)若方程 口 = 旦 无解，则m 二——x 2 2 x解：原方程可化为方程两边都乘以 x — 2,得x — 3=— m. 解这个方程，得x=3 — m因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根.即 x=2 ,所以2=3 — m,解得m=1 故当m=1时，原方程无解.2例4当a 为何值时，关于x 的方程 ---------x 2解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 ),得 2 (x + 2) + ax = 3 (x — 2) 整理得(a — 1) x = — 10②若原分式方程有增根，则 x = 2或—2是方程②的根. 把x = 2或一 2代入方程②中，解得，a = — 4或6. 若将此题“会产生增根”改为“无解” ，即：此时还要考虑转化后的整式方程(a — 1) x =— 10本身无解的情况，解法如下:解：方程两边都乘以(x+2) (x-2 )，得 2 (x + 2) + ax = 3 (x — 2)2当a 为何值时，关于x 的方程门 axx 2 4①无解?axx 2 4①会产生增根?整理得(a—1) x = —10 ②若原方程无解，则有两种情形:（1 ）当a - 1 = 0 （即a = 1）时，方程②为Ox = - 10,此方程无解，所以原方程无解。

（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解•原方程若有增根，增根为 =2或一2,把x = 2或一2代入方程②中，求出 a =- 4或6.综上所述，a = 1或a =—4或a = 6时，原分式方程无解. 例5: （2005扬州中考题）A 、0B 、1C 、-1D 、1 或-1 分析：使方程的最简公分母 （x+1）（x-1）=0 则x=-1或x=1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零须是所化整式方程的根。

例谈分式方程的增根与无解
通过解分式方程组，我们可以发现，通常会出现三种情况：有解、增根、无解。

1. 有解的情况
有解的情况就是对方程组所有方程的解，可以为数值，也可以为无理数。

例如：
例1： 8x-4=4x-8
x=-2
例2：令 x=2，则有：
〔4/x－2=(x＋1)/2〕
即4/2-2=(2+1)/2，经过计算得出有解：2=-1
2. 增根的情况
增根的情况就是方程组只有由无理方程构成，但所有方程没有共同解的情形。

例如：
例1：〔3/x－2=(x＋1)/x〕
由于3/x-2和(x+1)/x只有无理数解，但它们没有共同的解，因此解此方程组为增根。

例2：〔2/x－2=(x＋1)/x〕
由于2/x-2和(x+1)/x只有无理数解，但它们没有共同的解，因此解此方程组为增根。

3. 无解的情况
无解的情况就是对方程组所有方程没有解的情形。

例如：
例1：〔3/x－2=1/x〕
由于3/x-2和1/x只有无理数解，但它们没有共同的解，因此解此方程组为无解。

例2：〔2/x＋2=1/x〕
由于2/x+2和1/x只有无理数解，但它们没有共同的解，因此解此方程组为无解。

综上所述，当解分式方程组时，通常会出现三种情况：有解、增根、无解，其中增根和无解比较常见。

针对分式方程组的计算，要正确的区分它们的解。

分式方程的“无解”与“有增根”的区别作者：徐丽娟来源：《中学生数理化·教与学》2011年第10期初学分式方程的学生经常受到有无增根的困扰，搞不清楚什么时候方程有增根，什么时候无增根，因而时常出错。

尤其是在含有字母的分式方程中，求字母为何值时方程有增根或者方程无解。

遇到这样的问题，学生总是经常出错，究其原因，主要是学生认为既然方程有增根，方程就无解；反之，若方程无解，就表示方程一定有增根。

其实这是一种错误的认识，方程是否有解与方程是否有增根是有着本质的区别，它们之间是不能划等号的。

现举例说明。

一、若整式方程解出的值都是增根，则分式方程一定无解例1 解方程3x+6x-1-x+5x(x-1)=0。

解：两边同时乘以最简公分母x(x-1)，得3(x-1)+6x-(x+5)=0。

解这个方程，得x=1。

检验：当时x=1，x(x-1)=0，所以x=1是原方程的增根，即原方程无解。

点评：求出整式方程的根都是增根时，必须交代“原方程无解”。

二、若分式方程有增根，则整式方程解出的值一定等于增根例2 若关于的方程x-2x-3=mx-3+2有增根，求m的值。

分析：分式方程有增根，表明在转化为整式方程之后解出的未知数的值能使最简公分母的值为0，因此方程的增根是x=3。

解：两边同时乘以x-3，得x-2=m+2(x-3)。

即x=4-m。

因为方程有增根，且只能x=3，所以4-m=3，即m=1。

点评：若分式方程无解，则解出的x=4-m一定是增根，所以4-m=3，从而m=1。

在这里有增根与无解的含义的等同的。

三、若分式方程无解，则可能有两种情况例3 若关于x的方程ax+1x-1-1=0无解，求a的值。

分析：对于分式方程来说，方程无解可能有两种情况：一是解出的值都是增根，则方程无解；二是在转化为整式方程的时候，整式方程本身就无解。

解：两边同时乘以(x-1)，得ax+1-(x-1)=0，即(a-1)x=-2。

（1）若a-1≠0，即a≠1时，x=-2a-1。

分式方程的增根与无解分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例1 解方程2344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2．经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．例2 解方程22321++-=+-xx x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．整理得0x ＝8．因为此方程无解，所以原分式方程无解．例3（2007湖北荆门）若方程32x x --=2m x-无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．解这个方程，得x=3－m ．因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，所以2=3－m ，解得m=1．故当m=1时，原方程无解．例4当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下：解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）整理得（a －1）x ＝－10 ②若原方程无解，则有两种情形：（1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。

数学篇学思导引在解分式方程问题时，经常会碰到“增根”或“无解”的情形.许多同学对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解或有增根是同样的概念.事实上，“增根”与“无解”是两个不同的数学概念.抓住概念本质是理解概念的关键.下面，笔者就分式方程的“增根”与“无解”问题进行了剖析，希望同学们能够理解两者的概念，掌握不同问题的解法.一、分式方程的“增根”问题分式方程的“增根”是在去分母的过程中，方程两边同乘了一个能使最简公分母为零的整式，致使未知数的取值范围扩大，从而产生了增根，所以在得出分式方程的解后往往需要进行检验，若经过验证发现是增根，则应舍去；若此“增根”是分式方程唯一的解，则说明该分式方程无解.一般而言，分式方程产生“增根”，应满足如下两个条件：一是去分母时，能使方程两边同时乘以的最简公分母等于零；二是能使分式方程转化后的整式方程成立.例1(1)解方程2x x +1-2x 2+x=x +1x ；(2)解方程3x -3-6x x 2-9=4x +3；(3)当m 为何值时，关于x 的方程4x -4+mx x 2-16=5x +4会产生增根？解：(1)方程两边同时乘以最简公分母x (x +1)，可得2x 2-2=(x +1)2，整理可得x 2-2x -3=0，解得x 1=3，x 2=-1.经检验，当x 2=-1时，分母为0，原方程无意义，所以x 2=-1为增根，应舍去，所以原方程的解为x =3.(2)方程两边同时乘以最简公分母(x +3)⋅(x -3)，可得3(x +3)-6x =4(x -3)，整理可得x =3.经检验，当x =3时，原方程无意义，所以x =3为增根，应舍去，所以原方程无解.(3)原分式方程两边同时乘以最简公分母(x -4)(x +4)，可得4(x +4)+mx =5(x -4)，整理可得(1-m )x =36.因为原分式方程有增根，所以（x -4）(x +4)=0，例谈分式方程的“增根”与“无解”问题甘肃省张掖市山丹育才中学韩永年29数学篇学思导引所以x =4或x =-4是整式方程(1-m )x =36的根，所以361-m =4或361-m =-4，解得m =-8或m =10.评注：分式方程的“增根”必定使方程两边同时乘以的最简公分母等于0，但是并非同时乘以的最简公分母等于0的未知数的值，都是分式方程的增根，也不是所有的分式方程都会产生增根.二、分式方程的“无解”问题分式方程无解是指不管未知数取何值时，都无法使得分式方程两边的值相等.一般情况下，当分式方程出现无解时，同学们需要注意如下两种情况：一是把原来的分式方程转化为整式方程后，该整式方程无解，则原分式方程无解；二是把原来的分式方程转化为整式方程后，该整式方程有解，但此解是原方程的增根（能使最简公分母为0），所以原分式方程亦无解.例2（1）解方程x -3x +4=5-x4+x+2；（2）倘若关于x 的方程2x -1-kx +3x 2+x -2=5x +2无解，则实数k 的值为；（3）求证：不论实数t 取何值时，关于x 的方程x -4t x -1+4t 2+2t x 2-x=1x 无实数解.解：（1）方程两边同时乘以最简公分母x +4，可得x -3=5-x +2(x +4)，整理得0=16，显然，该整式方程无解，所以原分式方程无解.（2）原分式方程两边同时乘以最简公分母(x -1)(x +2)，可得2(x +2)-(kx +3)=5(x -1)，整理可得：（k +3）x =6.因为原方程无解，所以需要讨论如下两种情况：①当k =-3时，所得的整式方程为0·x =6，显然方程是无解的，所以原分式方程无解.②当k ≠-3时，所得的整式方程有解，且x =6k +3为原分式方程的增根，所以有6k +3=1或6k +3=-2，解得k =3或k =-6.综上所述，当k =-3或k =3或k =-6时，原分式方程无解.（3）证明：方程两边同乘以最简公分母x (x -1)，可得x (x -4t )+4t 2+2t =x -1，整理可得x 2-(4t +1)x +4t 2+2t +1=0.因为△=(4t +1)2-4(4t 2+2t +1)=-3＜0，所以整理后的方程无实数解，所以不论实数t 取何值时，原分式方程无实数解.评注：当分式方程无解时，该分式方程可能有增根，也可能没有增根；当分式方程去分母后所得的整式方程无解时，分式方程一定无解；当分式方程去分母后所得的整式方程为一元二次方程，需要对分式方程的无解、有解以及增根等情况进行探讨，如果该一元二次方程没有实数解，则表明该分式方程无解.从这两道例题可以看出，分式方程有增根与无解是完全不同的两个概念.分式方程与去分母后得到的整式方程是不等价的，这就是分式方程要验根的重要原因.同学们在解题时要用心区别，仔细辨析，明确其差异，准确把握数学概念，从而提高解分式方程的准确性.30。

初二数学分式方程试题答案及解析1.若关于的分式方程有增根，则．【答案】2．【解析】方程两边都乘（x﹣3），得m =2+x﹣3，∵原方程有增根，∴最简公分母，x﹣3=0，解得x=3，当x=3时，m=2．故答案是2．【考点】分式方程的增根．2.为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵树是原计划的倍，结果提前4天完成任务，原计划每天种树多少棵？【答案】原计划每天种树60棵．【解析】设原计划每天种树x棵，则实际每天种树为x棵，根据实际比原计划提前4天完成任务，列方程求解．试题解析：设原计划每天种树x棵，则实际每天种树为x棵，由题意得，，解得：x=60，经检验，x=60是原方程的解，且符合题意．答：原计划每天种树60棵．【考点】分式方程的应用．3.若关于的分式方程无解，则．【答案】a=1或a=-2【解析】该分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．试题解析：去分母得：x（x-a）-3（x-1）=x（x-1），去括号得：x2-ax-3x+3=x2-x，移项合并得：（a+2）x=3．（1）把x=0代入（a+2）x=3，∴a无解；把x=1代入（a+2）x=3，解得a=1；（2）（a+2）x=3，当a+2=0时，0×x=3，x无解即a=-2时，整式方程无解．综上所述，当a=1或a=-2时，原方程无解．【考点】解分式方程．4.一项工程要在限期内完成，若第一组单独做，则恰好在规定日期完成，若第二组单独做，则超过规定日期4天才能完成，若两组合做3天后剩下的工程由第二组单独做，则正好在规定日期内完成，问规定日期是多少天？【答案】12天【解析】设规定日期为x天，则第一组单独完成用x天，第二组单独完成用（）天，根据“两组合做3天后剩下的工程由第二组单独做，则正好在规定日期内完成”即可列方程求解.解：设规定日期为x天，则第一组单独完成用x天，第二组单独完成用（）天，由题意得解得：经检验：是原方程的解答：规定日期为12天。

分式方程无解和增根的区别分式方程无解和增跟的区别有哪些呢?想来大部分同学都忘记了。

下面是由小编小编为大家整理的“分式方程无解和增根的区别”，仅供参考，欢迎大家阅读。

无解指在规定范围和条件内，没有任何数可以满足方程。

增根是指可以通过方程求出，但是不满足条件只能舍去的解。

常见于分式方程。

分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数的有理方程，或者等号左右两边至少有一项含有未知数，该部分知识属于初等数学知识.①去分母方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。

不要忘了改变符号。

(最简公分母：①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂)②移项移项，若有括号应先去括号，注意变号，合并同类项，把系数化为1 求出未知数的值;③验根(解)求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根。

验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。

否则这个根就是原分式方程的根。

若解出的根都是增根，则原方程无解。

如果分式本身约分了，也要代入进去检验。

在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合题意。

一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.(1)注意去分母时，不要漏乘整式项。

(2)増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。

(3)増根使最简公分母等于0。

(4)分式方程中，如果x为分母，则x应不等于0。

专题5.13 分式方程-增根、无解问题探究（专项练习）一、填空题1．分式方程有增根与分式方程无解的关系：分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的___整式_____方程的根，也是使___分式 _____方程的分母为0的根．2．分式方程的增根概念：把分式方程化为整式方程后，得到的整式方程的根使分式方程中分母的值为0，分式方程无解，这样的根叫做___增根_____．检验方法：将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为0，不为0就是原分式方程的根，若为0则为增根，必须舍去．二、解答题3．增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；①将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值． 阅读以上材料后，完成下列探究：探究1：m 为何值时，方程3533x m x x+=--有增根． 探究2：m 为何值时，方程3533x m x x+=--的根是1-． 探究3：任意写出三个m 的值，使对应的方程3533x m x x +=--的三个根中两个根之和等于第三个根；探究4：你发现满足“探究3”条件的123m m m 、、的关系是______．4．（2020·山西八年级期末）阅读理解，并解决问题.分式方程的增根:解分式方程时可能会产生增根，原因是什么呢？事实上，解分式方程时产生增根，主要是在去分母这一步造成的.根据等式的基本性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.但是，当等式两边同乘0时，就会出现00=的特殊情况.因此，解方程时，方程左右两边不能同乘0.而去分母时会在方程左右两边同乘公分母，此时无法知道所乘的公分母的值是否为0，于是，未知数的取值范围可能就扩大了.如果去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母值为0，此根即为增根，增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根.所以解分式方程必须验根.请根据阅读材料解决问题：（1）若解分式方程11222x x x-+=--时产生了增根，这个增根是 ； （2）小明认为解分式方程22230122x x x -=++时，不会产生增根，请你直接写出原因； （3）解方程2214111x x x +=-+-5．（2020·河北八年级期末）小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?1322x x+=--. （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是2x =，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？6．（2020·廊坊市第一中学八年级期末）王涵想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?233x x x =--- (1)她把这个数“?”猜成2-，请你帮王涵解这个分式方程；(2)王涵的妈妈说：“我看到标准答案是：3x =是方程的增根，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？7．（2020·广西七年级期末）增根是一个数学用语，其定义为在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根．对于分式方程：223393mx x x x +=--+ （1）若该分式方程有增根，则增根为________．（2）在（1）的条件下，求出m 的值．8．（2020·山东九年级月考）已知关于x 的分式方程2311x a a x x x x--=+--，回答下列问题： （1） 原方程去分母后，整理成关于x 的整式方程得：_______________________． （2） 若原分式方程无解，求a 的值．9．（2020·江苏九年级期中）阅读理解：转化思想是常用的数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的；解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．2x =解：两边平方得：22124x x +=解得：12x =，22x =-经检验，12x =是原方程的根，22x =-代入原方程中不合理，是原方程的增根．①原方程的根是2x =．解决问题：（1）填空：已知关于x x 有一个根是1x =，那么a 的值为 ；（2x =的x 的值；（3）的值能否等于8 ? 若能，求出x 的值；若不能，请说明理由．10．（2020·长沙市雅礼实验中学八年级月考）请你利用我们学习的“分式方程及其解法”解决下列问题：（1）已知关于x 的方程2112mx x -=+的解为负数，求m 的取值范围； （2）若关于x 的分式方程322133x nx x x --+=---无解．求n 的取值范围．11．（2019·全国九年级专题练习）人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x 的方程m 1x 0x 1x 1--=--无解，方程2x kx 60++=的一个根是m ．（1）求m 和k 的值；（2）求方程2x kx 60++=的另一个根．12．（2018·北京师大附中八年级期中）阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程14a x =-的解为正数，求a 的取值范围？经过独立思考与分析后，小明和小聪开始交流解题思路如下：小明说：解这个关于x 的分式方程，得到方程的解为4x a =+.由题意可得40a +>，所以4a >-，问题解决.小聪说：你考虑的不全面.还必须保证0a ≠才行.请回答：_______________的说法是正确的，并说明正确的理由是：__________________. 完成下列问题：（1）已知关于x 的方程233m x x x-=--的解为非负数，求m 的取值范围； （2）若关于x 的分式方程322133x nx x x --+=---无解.直接写出n 的取值范围.13．（2018·内蒙古八年级期末）阅读下列材料：在学习“分式方程及其解法”过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程3111a x x+=--的解为正数，求a 的取值范围？ 经过小组交流讨论后，同学们逐渐形成了两种意见：小明说：解这个关于x 的分式方程，得到方程的解为x=a ﹣2．由题意可得a ﹣2＞0，所以a ＞2，问题解决．小强说：你考虑的不全面．还必须保证a≠3才行．老师说：小强所说完全正确．请回答：小明考虑问题不全面，主要体现在哪里？请你简要说明： ．完成下列问题：（1）已知关于x 的方程212mx x -+=1的解为负数，求m 的取值范围； （2）若关于x 的分式方程32233x nx x x --+--=﹣1无解．直接写出n 的取值范围．14．（2019·江苏九年级期中）阅读并回答问题：小亮是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学．一天他在解方程2x 1=-时，突发奇想：2x 1=-在实数范围内无解，如果存在一个数i ，使2i 1=-，那么当2x 1=-时，有x i =±，从而x i =±是方程2x 1=-的两个根．据此可知：()1i 可以运算，例如：32i i i 1i i =⋅=-⨯=-，则4i =____，2011i =____，2012i =____； () 2方程2x 2x 20-+=的两根为________(根用i 表示)．15．（2018·山东八年级期末）阅读下列材料：在学习“可化为一元一次方程的分式方程及其解法”的过程中，老师提出一个问题：若关于x 的分式方程a x−a =1的解为正数，求a 的取值范围．经过独立思考与分析后，小杰和小哲开始交流解题思路如下：小杰说：解这个关于x 的分式方程，得x=a+4．由题意可得a+4＞0，所以a ＞﹣4，问题解决．小哲说：你考虑的不全面，还必须保证x≠4，即a+4≠4才行．（1）请回答： 的说法是正确的，并简述正确的理由是 ；（2）参考对上述问题的讨论，解决下面的问题：若关于x 的方程m x−3−x 3−x =2的解为非负数，求m 的取值范围．参考答案3．探究1：-9；探究2：23；探究3：123158,158,158m a m b m c ==-=--；探究4：31215m m m =+-【分析】解分式方程，根据方程有增根求得m 的值即可，根据规律即可得出结论．第三问设方程的三根为,,a b c 且a b c +=，再求得对应的m ．即可得出它们之间的关系．【详解】解：探究1：方程两边都乘(3)x -，得①原方程有增根，①最简公分母(3)0x -=，解得3x =，当3x =时，9m =-，故m 的值是9-．探究2：方程两边都乘(3)x -，得①原方程的根为1x =-，23m ∴=，探究3：由（1）（2）得158mx -=，方程的三个对应根为,,a b c 且a b c +=，①1158m a =-，2m =15-8b ，3158m c =-探究4：a b c +=，312151515888m m m ---∴+=， 整理得31215m m m =+-，故答案为31215m m m =+-．【点拨】本题考查了分式方程的解法，分式方程的增根，熟练掌握解分式方程，准确判定方程的增根是解题的关键．4．（1）x=2；（2）见解析；（3）无解【分析】(1)由题意直接看出即可.(2)找到最简公分母,判断最简公分母的范围即可.(3)利用分式方程的运算方法解出即可.【详解】（1）2x =（2）①原分式方程的最简公分母为22(1)x +，而22(1)0x +>①解这个分式方程不会产生增根.（3）方程两边同乘(1)(1)x x -+，得2(1)(1)4x x ++-=解得：1x =经检验：当1x =时，(1)(1)0x x -+=所以，原分式方程无解.【点拨】本题考查分式方程的增根,关键在于理解增根的意义.5．（1）0x =;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.【分析】（1）“？”当成5，解分式方程即可，（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.【详解】（1）方程两边同时乘以()2x -得()5321x +-=-解得 0x =经检验，0x =是原分式方程的解.（2）设？为m ，方程两边同时乘以()2x -得()321m x +-=-由于2x =是原分式方程的增根，所以把2x =代入上面的等式得()3221m +-=-1m =-所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.【点拨】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行： ①化分式方程为整式方程； ①把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．6．(1)4x =；(2)原分式程中“?”代表的数是3-.【分析】（1）根据题意，求解分式方程即可；（2）根据分式方程的解的情况，首先去分母，然后将增根代入即可得解．【详解】(1)该分式方程的解为4x =，由题意，得 2233x x x -=--- 去分母，得()232x x =-+去括号，得262x x =-+移项、合并同类项，得4x =经检验，当4x =时30x -≠，4x ∴=是原分式方程的解；(2)设原分式方程中“?”代表的数为m ，方程两边同时乘()3x -得()23x x m =--，由于3x =是原分式方程的增根，把3x =代入上面的等式解得3m =-，∴原分式程中“?”代表的数是3-．【点拨】此题主要考查分式方程的求解，熟练掌握，即可解题．7．（1）3x =或3x =-；（2）-4或6．【分析】（1）由题意分式方程会产生增根，即最简公分母等于0，则x 2-9=0，故方程产生的增根有两种可能；（2）根据题意由增根的定义可知，3x =或3x =-是原方程去分母后化成的整式方程的根，把其代入整式方程即可求出m 的值．【详解】解：（1）当分母值为0时，分式方程有增根，可得：30x ±=，解得：3x =或3x =-，即增根是：3x =或3x =-，故答案为：3x =或3x =-；（2）解：223393mx x x x +=--+ 2(3)3(3)x mx x ++=-15mx x -=-①若3x =时，3315m -=-4m =-①若3x =-时，3315m -+=-6m =．【点拨】本题考查分式方程的增根，注意掌握增根的求法即令最简公分母为0以及求有增根的方程中参数的值，应先求出可能的增根，再将其代入化简后的整式方程即可．8．（1）(2)3a x a +=-；（2）-2、3或12． 【分析】（1）先确定最简公分母是()1x x -,方程两边同时乘以最简公分母约去分母，移项整理即可求解;（2）根据分式方程无解,分两种情况讨论,第一种,整式方程无解,第二种原分式方程有增根.【详解】（1）解:方程两边同时乘以()1x x -可得: ()()()311x x a x x x a ---=-+,整理可得: ()23a x a --=-,即(2)3a x a +=-.（2）当20a +=时,(2)3a x a +=-无解;解得:a =-2. 因为2311x a a x x x x--=+--增根是x =0和x =1, 所以当x =0时, 03a =-,解得3a =,当x =1时, 23a a +=-,解得a =12. 【点拨】本题主要考查分式方程解法和分式方程无解问题,解决本题的关键是要熟练掌握分式方程无解问题的方法.9．（1）2；（2）3；（3）不能，理由见解析【分析】（1）根据方程解的定义把x=1代入方程，解关于a 的无理方程即可；（2）类比提供的例题解方程，并检验即可求解；（38=无解，得出结论即可．【详解】解：（1）把x=1x ，两边平方得 3-a=1，解得a=2，经检验，a=2的解，故答案为：a =2；（2x =两边平方得：26x x +=解得：13x =，22x =-经检验，x 2=-2代入原方程中不合理，是原方程的增根，x 1=3是原方程的根①原方程的根是x =3；（3）不能．8=，8=两边平方得22(8)9649x x -+=-+整理得x =两边平方得229x x =+，此方程无解，①的值不等于8．【点拨】本题考查了学生的学习能力，能理解文本和提供的例题并结合所学知识灵活运用是解题的关键．10．（1）12m <且14m ≠-；（2）53n =或n =1． 【分析】（1）先求出分式方程的解，然后根据方程的解为负数可得关于m 的不等式组，解不等式组即可求出答案；（2）先把分式方程转化为整式方程，然后由方程无解分整式方程无解和分式方程有增根两种情况解答即可．【详解】解：（1）去分母，得212mx x -=+，当210m -≠时，解得：321x m =-， ① 方程有解，且解为负数， ①2103221m m -<⎧⎪⎨≠-⎪-⎩，解得12m <且14m ≠-； （2）方程两边同时乘以（x －3），约去分母得：()3223x nx x ---=-，整理得：()12n x -=，当n －1=0时，方程无解，此时n =1；当10n -≠时，21x n =-， 要使方程无解，则有231n =-，解得：53n =； 综上，53n =或n =1． 【点拨】本题考查了分式方程的解法和分式方程无解问题，正确理解题意、熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．11．（1）-5（2）3【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，故将x=1代入整式方程，即可求出m 的值，将m 的值代入已知方程即可求出k 的值.（2）利用根与系数的关系即可求出方程的另一根.【详解】解：（1）分式方程去分母得：m －1＋x=0，由题意将x=1代入得：m －1－1=0，即m=2，①当m=2时，关于x 的方程m 1x 0x 1x 1--=--无解， 将m=2代入方程得：4+2k+6=0，即k=－5；（2）设方程另一根为a ，则有2a=6，即a=3，①方程2x kx 60++=的另一个根是3.12．（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】根据分式方程解为正数，且分母不为0判断即可；(1)分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数确定出m 的范围即可．(2) 分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解，得到有增根或整式方程无解，确定出n 的范围即可．【详解】小聪的说法是正确的，正确的理由是分式的分母不为0,故4x ≠，从而0a ≠.故答案为小聪；分式的分母不为0,故4x ≠，从而0a ≠.(1)去分母得：m +x =2x −6，解得：x =m +6，由分式方程的解为非负数，得到60m +≥，且m +6≠3，解得：6m ≥-且3m ≠-(2) 分式方程去分母得：3−2x +nx −2=−x +3,即(n −1)x =2，由分式方程无解，得到x −3=0，即x =3， 代入整式方程得：53n =；当n −1=0时，整式方程无解，此时n =1，综上,n =1或5.3n =【点拨】考查知识点是解一元一次不等式以及分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键. 13．（1）：m ＜12且m≠﹣14；（2）n=1或n=53． 【分析】考虑分式的分母不为0，即分式必须有意义；（1）表示出分式方程的解，由解为负数确定出m 的范围即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解，得到有增根或整式方程无解，确定出n的范围即可．【详解】请回答：小明没有考虑分式的分母不为0（或分式必须有意义）这个条件；（1）解关于x的分式方程得，x=321 m-，①方程有解，且解为负数，①21032 21mm-⎧⎪⎨≠-⎪-⎩＜，解得：m＜12且m≠-14；（2）分式方程去分母得：3-2x+nx-2=-x+3，即（n-1）x=2，由分式方程无解，得到x-3=0，即x=3，代入整式方程得：n=53；当n-1=0时，整式方程无解，此时n=1，综上，n=1或n=53．【点拨】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．14．（1）1；-i；1（2）1+i和1-i【分析】（1）原式各项根据阅读材料中的方法计算即可得到结果；（2）一元二次方程解法--配方法，结合阅读材料中的方法求出解即可．【详解】解：（1）由题意可得i4=1，i2012=1，i2013=i；故答案为1；1；i；（2）方程整理得：x2-2x=-2，配方得：x2-2x+1=-1，即（x-1）2=-1，开方得：x-1=±i，解得：x1=1+i，x2=1-i．故答案为x1=1+i，x2=1-i15．（1）小哲；分式的分母不为0；（2）m≥﹣6且m≠﹣3．【解析】【分析】（1）根据分式方程解为正数，且分母不为0判断即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为非负数确定出m的范围即可．【详解】解：（1）小哲的说法是正确的，正确的理由是分式的分母不为0；故答案为：小哲；分式的分母不为0；（2）去分母得：m+x=2x﹣6，解得：x=m+6，由分式方程的解为非负数，得到m+6≥0，且m+6≠3，解得：m≥﹣6且m≠﹣3．【点拨】本题考查的知识点是解一元一次不等式及解分式方程，解题的关键是熟练的掌握解一元一次不等式及解分式方程.。