2018年数学同步优化指导(北师大版选修2-2)练习：第4章 3.1、3.2 定积分的简单应用 Word版含解析

第一章 §41．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假设当n ＝2k ＋1时正确，再推当n ＝2k ＋3时正确B ．假设当n ＝2k －1时正确，再推当n ＝2k ＋1时正确C ．假设当n ＝k 时正确，再推当n ＝k ＋1时正确D ．假设当n ≤k (k ≥1)时正确，再推当n ＝k ＋2时正确(以上k ∈N ＋)解析：因为n 为正奇数，所以用数学归纳法证明的第二步应先假设第k 个正奇数成立，即假设当n ＝2k －1时正确，再推第(k ＋1)个正奇数即当n ＝2k ＋1时正确． 答案：B2．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1(n ∈N ＋)，则f (1)为( ) A ．1B ．15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案解析：∵f (n )＝1＋12＋13＋…16n －1， ∴f (1)＝1＋12＋13＋…＋16×1－1＝1＋12＋13＋14＋15. 答案：C3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N ＋)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10 解析：左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 答案：B4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N ＋)的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1， 所以，当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N ＋，等式都成立．上述证明错误的是________．解析：当n ＝k ＋1时正确的解法是1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1， 即一定用上第二步中的假设．答案：没有用上归纳假设进行递推5．用数学归纳法证明：⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n(n ≥2，n ∈N ＋)． 证明：(1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边．∴n ＝2时等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时等式成立，即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k ，那么n ＝k ＋1时，利用归纳假设有：⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2 ＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， ∴即n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)和(2)，可知对任意n ≥2，n ∈N ＋等式恒成立．。

4.3.2简单几何体的体积一、教学目标1、理解定积分概念形成过程的思想；2、会根据该思想求简单旋转体的体积问题。

二、 学法指导本节内容在学习了平面图形面积计算之后的更深层次的研究，关键是对定积分思想的理解及灵活运用，建立起正确的数学模型，根据定积分的概念解决体积问题。

三、教学重难点：重点：利用定积分的意义和积分公式表解决一些简单的旋转体的体积问题；难点；数学模型的建立及被积函数的确定。

四、教学方法：探究归纳，讲练结合五、教学过程（一）、复习：（1）、求曲边梯形面积的方法是什么？(2)、定积分的几何意义是什么？（3）、微积分基本定理是什么？（二）新课探析问题：函数()y f x =，[],x a b ∈的图像绕x 轴旋转一周，所得到的几何体的体积V = 。

2[()]ba V f x dx π=⎰ 典例分析例1、给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体。

求它的体积。

学生阅读课本P89解：圆锥体的体积为x ∆12310033V x dx x πππ===⎰变式练习1、求曲线x y e =，直线0x =， 12x =与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

答案：)(12-e π；例2、如图，是常见的冰激凌的形状，其下方是一个圆锥，上方是由一段抛物线弧绕其对称轴旋转一周所成的形状，尺寸如图所示，试求其体积。

分析：解此题的关键是如何建立数学模型。

将其轴载面按下图位置放置，并建立坐标系。

则A ，B 坐标可得，再求出直线AB 和抛物线方程，“冰激凌”可看成是由抛物线弧OB 和线段AB 绕X 轴旋转一周形成的。

解：将其轴载面按下图位置放置，并建立如图的坐标系。

则),(012A ， ),(44B ，设抛物线弧OA 所在的抛物线方程为：px y 22=，代入),(44B 求得：2=p∴抛物线方程为：x y 42=（0≥y ）设直线AB 的方程为：12+=qy x ，代入),(44B 求得：2-=q∴直线AB 的方程为：621+-=x y ∴所求“冰激凌”的体积为：3401242232246212)()()(cm dx x dx x ππ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+⎰⎰ 变式练习2如图一，是火力发电厂烟囱示意图。

第三章§4
1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用()
①结论的否定；②已知条件；③公理、定理、定义等；④原结论．
A．①②B．②③
C．①②③D．①②④
解析：①②③均可作条件使用，④不能作条件使用．
答案：C
2．命题“关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的”的结论的否定是()
A．无解B．两解
C．至少有两解D．无解或至少有两解
解析：“唯一”的意义是“存在且只有一个”，其否定应为“不存在或不止有一个”．故选D．
答案：D
3．用反证法证明命题“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设为________ ____________________
.解析：“x＝－1或x＝1”的否定为“x≠－1且x≠1”．
答案：x≠－1且x≠1
4．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，应假设为________ ____________________(用文字作答)．
解析：用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”时，应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是“三角形的三个内角都大于60°”．
答案：三角形的三个内角都大于60°。

第二章 §3 3.21.如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14解析：由题意知OP →＝OB →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP →＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－OB →)＝23OA →＋13OB →.所以x ＝23，y ＝13. 答案：A2．给出下列命题：①若向量e 1，e 2不共线，则空间中的任一向量a 均可表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )； ②若向量e 1，e 2不共线，则平面内的零向量不能用e 1，e 2线性表示；③若向量e 1，e 2共线，则平面内任一向量a 都不能用e 1，e 2表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )的形式；④若向量e 1，e 2是一组基底，则e 1＋e 2与e 1－e 2也可以作为一组基底． 其中正确命题的序号是________________________.解析：①错误．当e 1，e 2不共线时，平面向量可用e 1，e 2唯一地线性表示，但空间中的向量则不一定．②错误．零向量也可以用一组基底来线性表示．③错误．当e 1，e 2共线时，平面内的有些向量可以表示为λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )的形式，有些向量则不可以．④正确．当e 1，e 2不共线时，e 1＋e 2与e 1－e 2一定不共线，可以作为基底． 答案：④3.如图，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，M ，N 分别是边OA ，OB 上的点，且OM →＝13a ，ON →＝12b .设AN 与BM 相交于点P ，用向量a ，b 表示OP →.解：OP →＝OM →＋MP →＝ON →＋NP →.设MP →＝mMB →，NP →＝nNA →(m ，n 为实数)，则OP →＝OM →＋mMB →＝13a ＋m ⎝⎛⎭⎫b －13a ＝13(1－m )a ＋m b ，OP →＝ON →＋nNA →＝12b ＋n ⎝⎛⎭⎫a －12b ＝12(1－n )b ＋n a . 由a ，b 不共线，得⎩⎨⎧ 13(1－m )＝n ，12(1－n )＝m ，解得⎩⎨⎧ n ＝15，m ＝25.故OP →＝15a ＋25b . 4．在平行四边形ABCD 中，设AC →＝a ，BD →＝b .试用a ，b 表示AB →，BC →.解：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ AB →＋BC →＝a ，BC →－AB →＝b ，解方程组得⎩⎨⎧ AB →＝12a －12b ，BC →＝12a ＋12b .5．已知两个非零向量a ，b 不共线．(1)若OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b ，证明：A ，B ，C 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 与a ＋k b 共线．(1)证明：由于OA →＝a ＋b ，OB →＝a ＋2b ，OC →＝a ＋3b ，则AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b －(a ＋b )＝b .而AC →＝OC →－OA →＝a ＋3b － (a ＋b )＝2b ，于是AC →＝2AB →，即AC →与AB →共线．又AC 与AB 有公共点A ，所以A ，B ，C 三点共线．(2)解：由于a ，b 为非零向量且不共线，所以a ＋k b ≠0.若k a ＋b 与a ＋k b 共线，则必存在唯一实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，整理得(k －λ)a ＝(λk－1)b .因此⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1. 即存在实数λ＝1，使k a ＋b 与a ＋k b 共线，此时k ＝1；或存在实数λ＝－1，使k a ＋b 与a ＋k b 共线，此时k ＝－1.因此k ＝±1都满足题意．。

第一章 §41．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”的第二步是( )A ．假设当n ＝2k ＋1时正确，再推当n ＝2k ＋3时正确B ．假设当n ＝2k －1时正确，再推当n ＝2k ＋1时正确C ．假设当n ＝k 时正确，再推当n ＝k ＋1时正确D ．假设当n ≤k (k ≥1)时正确，再推当n ＝k ＋2时正确(以上k ∈N ＋)解析：因为n 为正奇数，所以用数学归纳法证明的第二步应先假设第k 个正奇数成立，即假设当n ＝2k －1时正确，再推第(k ＋1)个正奇数即当n ＝2k ＋1时正确． 答案：B2．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋16n －1(n ∈N ＋)，则f (1)为( ) A ．1B ．15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案解析：∵f (n )＝1＋12＋13＋…16n －1， ∴f (1)＝1＋12＋13＋…＋16×1－1＝1＋12＋13＋14＋15. 答案：C3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N ＋)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10 解析：左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 答案：B4．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N ＋)的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1， 所以，当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N ＋，等式都成立．上述证明错误的是________．解析：当n ＝k ＋1时正确的解法是1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝2k －1＋2k ＝2k ＋1－1， 即一定用上第二步中的假设．答案：没有用上归纳假设进行递推5．用数学归纳法证明：⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19⎝⎛⎭⎫1－116…⎝⎛⎭⎫1－1n 2＝n ＋12n(n ≥2，n ∈N ＋)． 证明：(1)当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边．∴n ＝2时等式成立．(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时等式成立，即⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2＝k ＋12k ，那么n ＝k ＋1时，利用归纳假设有：⎝⎛⎭⎫1－14⎝⎛⎭⎫1－19…⎝⎛⎭⎫1－1k 2⎣⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2 ＝k ＋12k ⎡⎦⎤1－1(k ＋1)2＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2 ＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， ∴即n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)和(2)，可知对任意n ≥2，n ∈N ＋等式恒成立．。

阶段质量评估(四) 数系的扩充与复数的引入(时间：60分钟 满分：80分)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．⎣⎡⎦⎤－916，1 C ．⎣⎡⎦⎤－916，7 D ．⎣⎡⎦⎤916，7 解析：由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎫sin θ－382－916.因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈⎣⎡⎦⎤－916，7. 答案：C2．设i 是虚数单位，则复数i 3－2i ＝( )A ．－iB ．－3iC ．iD ．3i解析：可通过分母实数化计算求解． i 3－2i ＝－i －2i ＝－i －2ii 2＝－i ＋2i ＝i.答案：C3．复数z ＝(2－i)×i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 解析：z ＝(2－i)×i ＝2i －i 2＝1＋2i ，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)，该点位于第一象限．答案：A4．设i 是虚数单位，若复数a ＋5i 1－2i (a ∈R )是纯虚数，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：∵a ＋5i1－2i ＝a ＋5i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝a ＋－10＋5i 5＝a －2＋i 是纯虚数，∴a ＝2.故选D ．答案：D5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ，b c ，d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z ，1＋i 2，1 ＝0的复数z 对应的点在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由题意得z －2(1＋i)＝0，即z ＝2＋2i ，所以复数z 对应的点在第一象限．故选A ． 答案：A6．(2015·山东卷)若复数z 满足z－1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i解析：由已知得z －＝i(1－i)＝1＋i ，则z ＝1－i ，故选A ． 答案：A二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把正确答案填在题中的横线上) 7．(2017·江苏卷)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________. 解析：方法一 ∵z ＝(1＋i)(1＋2i)＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ，∴|z |＝(－1)2＋32＝10. 方法二 |z |＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10. 答案：108．若i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，则复数z 1＋2i＝________.解析：由图可知z ＝－1＋2i.则复数z1＋2i ＝－1＋2i 1＋2i ＝(－1＋2i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝3＋4i 5＝35＋45i.答案：35＋45i9．已知z ∈C ，且|z －2－2i|＝1，i 为虚数单位，则|z ＋2－2i|的最小值是________. 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，满足|z －2－2i|＝1的点均在以C 1(2,2)为圆心，以1为半径的圆上，复数－2＋2i 的对应点为C 2(－2,2)，如图所示．所以|z ＋2－2i|的最小值是C 1，C 2连线的长为4与1的差，即为3. 答案：3三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 10．(本小题满分10分)已知i 是虚数单位，且复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，求实数b 的值．解：∵z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，∴z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝(3－b i )(1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝3＋2b 5＋6－b 5i. ∵z 1z 2是实数，∴6－b 5＝0，解得b ＝6. 11．(本小题满分12分)已知复数z ＝(m ＋2)＋(3－2m )i.实数m 分别取什么数值时， (1)复数z 与复数12＋17i 互为共轭复数？ (2)复数z 的模取得最小值？求出此时的最小值．解：(1)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＝12，3－2m ＝－17.解得m ＝10.(2)|z |＝(m ＋2)2＋(3－2m )2＝5⎝⎛⎭⎫m －452＋495， ∴当m ＝45时，复数的模取得最小值755.12．(本小题满分13分)已知m ∈R ，i 为虚数单位，且(m ＋2i)2＝－3＋4i. (1)求实数m 的值；(2)若|z －1|＝|m ＋2i|，求复数z 在复平面上所对应的点P 的轨迹方程． 解：(1)∵(m ＋2i)2＝－3＋4i ， ∴m 2＋4m i －4＝－3＋4i.∴m ＝1. (2)若|z －1|＝|m ＋2i|，由(1)得|z－1|＝|1＋2i|，设z＝x＋y i，则|x－1＋y i|＝|1＋2i|，∴(x－1)2＋y2＝5.故复数z在复平面上所对应的点P的轨迹方程是以(1,0)为圆心，以5为半径的圆．。