2020北师大版数学中考题型针对专题训练(一)

【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合问题【中考展望】几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力.这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量，不仅有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题,还有更注重考查学生分析问题和解决问题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等.主要特点是图形较复杂，覆盖面广、涉及的知识点较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答.几何综合题的呈现形式多样，如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等，背景鲜活，具有实用性和创造性，考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能力.以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数量关系（包括相等、和、差、倍、分及比例关系等）；2、证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等）；3、几何计算问题；4、动态几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题，常常涉及到以下各部分的知识：1、与三角形有关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相似三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形有关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：1、注意图形的直观提示，注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形；2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打好基础，要由已知联想经验，由未知联想需要，不断转化条件和结论来探求思路，找到解决问题的突破点；3、要运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵活运用 数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题.【典型例题】类型一、动态几何型问题1．已知正方形中，为对角线上一点，过点作交于，连接，为中点，连接．（1）直接写出线段与的数量关系；（2）将图1中绕点逆时针旋转，如图2所示，取中点，连接，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中绕点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）【思路点拨】本题的核心条件就是G 是中点，中点往往暗示很多的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在.连接AG 之后，抛开其他条件，单看G 点所在的四边形ADFE ，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G 点做AD,EF 的垂线.于是两个全等的三角形出现了.第三问在△BEF 的旋转过程中，始终不变的依然是G 点是FD 的中点.可以延长一倍EG 到H ，从而构造一个和EFG 全等的三角形，利用BE=EF 这一条件将全等过渡.要想办法证明三角形ECH 是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBC 和三角形CGH 全等，利用角度变换关系就可以得证了.【答案与解析】ABCD E BD E EF BD ⊥BC F DF G DF EG CG ，EG CG BEF ∆B 45︒DF G EG CG ，BEF ∆B 图3图2 图1F EA B C D A B C D E FG GF E DC BA（1）（2）（1）中结论没有发生变化，即．证明：连接，过点作于，与的延长线交于点．在与中，∵，∴．∴．在与中，∵， ∴．∴在矩形中，在与中，∵， ∴．∴．∴（3）（1）中的结论仍然成立．CG EG =CG EG =AG G MN AD ⊥M EF N DAG ∆DCG ∆AD CD ADG CDG DG DG =∠=∠=，，DAG DCG ∆∆≌AG CG =DMG ∆FNG ∆DGM FGN FG DG MDG NFG ∠=∠=∠=∠，，DMG FNG ∆∆≌MG NG =AENM AM EN =Rt AMG ∆Rt ENG ∆AM EN MG NG ==，AMG ENG ∆∆≌AG EG =EG CG =MN图2A BC D E F G【总结升华】本题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题.从旋转45°到旋转任意角度，要求讨论其中的不变关系.举一反三：【变式】已知：如图（1），射线射线，是它们的公垂线，点、分别在、 上运动（点与点不重合、点与点不重合），是边上的动点（点与、不重合）， 在运动过程中始终保持，且．（1）求证：∽；（2）如图（2），当点为边的中点时，求证：；（3）设，请探究：的周长是否与值有关？若有关，请用含有的代数式表示 的周长；若无关，请说明理由．【答案】 （1）证明：∵，∴．∴．又∵，∴．∴．∴∽．（2）证明：如图，过点作，交于点，G图3F E ABCD//AM BN AB D C AM BN D A C B E AB E A B EC DE ⊥a AB DE AD ==+ADE ∆BEC ∆E AB CD BC AD =+m AE =BEC ∆m m BEC∆EC DE ⊥︒=∠90DEC ︒=∠+∠90BEC AED ︒=∠=∠90B A ︒=∠+∠90EDA AED EDA BEC ∠=∠ADE ∆BEC ∆E EF BC //CD F∵是的中点，容易证明． 在中，∵ ，∴ ． ∴ ． ∴ ．（3）解：的周长，．设，则．∵ ，∴ ．即．∴ ． 由（1）知∽，∴ ． ∴ 的周长的周长． ∴ 的周长与值无关．2．在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD为一E AB )(21BC AD EF +=DEC Rt ∆CF DF =CD EF 21=)(21BC AD +CD 21=CD BC AD =+AED ∆DE AD AE ++=m a +=m a BE -=x AD =x a DE -=︒=∠90A 222AD AE DE +=22222x m x ax a +=+-am a x 222-=ADE ∆BEC ∆的周长的周长BEC ∆∆ADE BEAD =m a a m a --=222a m a 2+=BEC ∆⋅+=m a a 2ADE ∆a 2=BEC ∆m边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC ＝，，CD=，求线段CP 的长．（用含的式子表示）【思路点拨】(1)由题干可以发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解.(2)是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，和上题一样找AC 的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解.(3)D 在BC 之间运动和它在BC 延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X 还是4-X.分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.【答案与解析】（1）结论：CF ⊥BD ；证明如下：AB=AC ，∠ACB =45º，∴∠ABC=45º．由正方形ADEF 得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90º，∴∠DAB=∠FAC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD ．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF ⊥BD ．（2）CF ⊥BD ．(1)中结论仍成立．理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF ⊥BD3 BC xx（3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ，①点D 在线段BC 上运动时，∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴DQ=4-x ，易证△AQD ∽△DCP ，∴ ，∴， ．②点D 在线段BC 延长线上运动时，∵∠BCA=45°，∴AQ=CQ=4，∴DQ=4+x ．过A 作AQ ⊥BC ，∴∠Q=∠FQC=90°，∠ADQ=∠AFC ，则△AQD ∽△ACF ．∴CF ⊥BD ，∴△AQD ∽△DCP ，∴, ∴, CP CD DQ AQ =44CP x x =-24x CP x ∴=-+CD DQ AQ 4+4x x =． 【总结升华】此题综合性强，需要综合运用全等、相似、正方形等知识点，属能力拔高性的题目．3．已知正方形ABCD 的边长为6cm ，点E 是射线BC 上的一个动点，连接AE 交射线DC 于点F ，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点B′ 处．（1）当=1 时，CF=______cm ， （2）当=2 时，求sin∠DAB′ 的值； （3）当= x 时（点C 与点E 不重合），请写出△ABE 翻折后与正方形ABCD 公共部分的面积y 与x 的关系式，（只要写出结论，不要解题过程）．【思路点拨】动态问题未必只有点的平移、图形的旋转，翻折（即轴对称）也是一大热点.(1)给出比例为1，(2)比例为2，(3)比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目.需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化.一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系.尤其要注意的是，本题中给定的比例都是有两种情况的，E 在BC 上和E 在延长线上都是可能的，所以需要分类讨论，不要遗漏.【答案与解析】（1）CF=6cm ；（2）① 如图1，当点E 在BC 上时，延长AB ′交DC 于点M ，24x CP x ∴=+CE BE CE BE CEBE∵ AB ∥CF ，∴ △ABE ∽△FCE ，∴ ． ∵ =2， ∴ CF=3． ∵ AB ∥CF ，∴∠BAE=∠F ．又∠BAE=∠B ′ AE ， ∴ ∠B ′ AE=∠F ．∴ MA=MF ．设MA=MF=k ，则MC=k -3，DM=9-k ．在Rt △ADM 中，由勾股定理得：k 2=(9-k)2+62， 解得 k=MA=． ∴ DM=． ∴ sin ∠DAB ′=； ②如图2，当点E 在BC 延长线上时，延长AD 交B ′ E 于点N ，FCAB CE BE =CE BE 13252135=AM DM图2同①可得NA=NE ．设NA=NE=m ，则B ′ N=12-m ．在Rt △AB ′ N 中，由勾股定理，得m 2=(12-m)2+62， 解得 m=AN=． ∴ B ′N=． ∴ sin ∠DAB ′=． （3）①当点E 在BC 上时，y=； ②当点E 在BC 延长线上时，y=． 【总结升华】动态几何问题当中有点动，线动，乃至整体图形动几种可能的方式，动态几何问题往往作为压轴题出现,所以难度不言而喻,但是拿到题后不要慌张,因为无论是题目以哪种形式出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量.只要一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.类型二、几何计算型问题4．已知如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形．（1）求证：梯形是等腰梯形；（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设 求与的函数关系式；（3）在（2）中，当取最小值时，判断的形状，并说明理由．【思路点拨】（1）属于纯静态问题，只要证两边的三角形全等就可以了.(2)是双动点问题，所以就需要研究在P,Q 运动过程中什么东西是不变的.题目给定∠MPQ=60°，其实就1529253='AN N B 18x x 1+18x 18x -ABCD 24AD BC AD BC ==∥，，，M AD MBC △ABCD P Q BC MC 60MPQ =︒∠PC x MQ y ==，，y x y PQC△是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以很自然想到要通过相似三角形找比例关系.(3)条件又回归了当动点静止时的问题，由第二问所得的二次函数，很轻易就可以求出当x 取对称轴的值时y 有最小值，接下来就变成了“给定PC=2，求△PQC 形状”的问题了，由已知的BC=4，自然看出P 是中点，于是问题轻松求解.【答案与解析】（1）证明：∵是等边三角形∴∵是中点∴∵∴∴∴∴梯形是等腰梯形．（2）解：在等边中， ∴ ∴∴∴ ∵ ∴∴ ∴MBC △60MB MC MBC MCB ===︒，∠∠M AD AM MD =AD BC ∥60AMB MBC ==︒∠∠，60DMC MCB ==︒∠∠AMB DMC △≌△AB DC =ABCD MBC △4MB MC BC ===，60MBC MCB ==︒∠∠，60MPQ =︒∠120BMP BPM BPM QPC +=+=︒∠∠∠∠BMP QPC =∠∠BMP CQP △∽△PC CQ BM BP=PC x MQ y ==，44BP x QC y =-=-，444x y x -=-2144y x x =-+（3）解：为直角三角形，∵ ∴当取最小值时，∴是的中点，而∴∴∴为直角三角形.【总结升华】以上题目是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求解.如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的.举一反三：【高清课堂：几何综合问题 例3】【变式】已知：如图，N 、M 是以O 为圆心，1为半径的圆上的两点，B 是上一动点（B 不与点M 、N 重合），∠MON=90°，BA ⊥OM 于点A ，BC ⊥ON 于点C ，点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点，GF 与CE 相交于点P ，DE 与AG 相交于点Q ．（1）四边形EPGQ （填“是”或者“不是”）平行四边形；（2）若四边形EPGQ 是矩形，求OA 的值.PQC △()21234y x =-+y 2x PC ==P BC MP BC ⊥，60MPQ =︒∠，30CPQ =︒∠，90PQC =︒∠PQC △MN【答案】（1）是．证明：连接OB，如图①，∵BA⊥OM，BC⊥ON，∴∠BAO=∠BCO=90°，∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．∴AB∥OC，AB=OC，∵E、G分别是AB、CO的中点，∴AE∥GC，AE=GC，∴四边形AECG为平行四边形．∴CE∥AG，∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ，∴四边形EPGQ是平行四边形；（2）解：如图②，∵口EPGQ 是矩形． ∴∠AED+∠CEB=90°．又∵∠DAE=∠EBC=90°，∴∠AED=∠BCE ．∴△AED ∽△BCE ，∴， 设OA=x ，AB=y ，则 得y 2=2x 2，又∵OA 2+AB 2=OB 2， 即x 2+y 2=12．∴x 2+2x 2=1，解得：x=． 即当四边形EPGQ 是矩形时，OA 的长度为． 5．在中，过点C 作CE ⊥CD 交AD 于点E,将线段EC 绕点E 逆时针旋转得到线段EF (如图1)（1）在图1中画图探究：①当P 为射线CD 上任意一点（P 1不与C 重合）时，连结EP 1绕点E 逆时针旋转 得到线段EC 1.判断直线FC 1与直线CD 的位置关系，并加以证明；②当P 2为线段DC 的延长线上任意一点时，连结EP 2,将线段EP 2绕点E 逆时针旋转得到线段EC 2.判断直线C 1C 2与直线CD 的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.AD AE BE BC=::222x y y x =3333ABCD 909090（2）若AD=6,tanB=,AE=1,在①的条件下，设CP 1=，S =，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.图1 备用图【思路点拨】(1)本题在于如何把握这个旋转90°的条件.旋转90°自然就是垂直关系，于是出现了一系列直角三角形，于是证角、证线就手到擒来了.(2)是利用平行关系建立函数式，但是不要忘记分类讨论.【答案与解析】（1）①直线与直线的位置关系为互相垂直．证明：如图1，设直线与直线的交点为．∵线段分别绕点逆时针旋转90°依次得到线段，∴．∵，， ∴． 43x 11P FC y y xx 1FG CD 1FG CD H 1EC EP 、E 1EF EG 、111190PEG CEF EG EP EF EC ∠=∠===°，，1190G EF PEF ∠=-∠°1190PEC PEF ∠=-∠°11G EF PEC ∠=∠FDC BAE 图1 G 2 G 1P 1 H P 2∴． ∴． ∵，∴， ∴．∴．∴．∴．②按题目要求所画图形见图1，直线与直线的位置关系为互相垂直．（2）∵四边形是平行四边形，∴．∵， ∴． 可得．由（1）可得四边形为正方形．∴．①如图2，当点在线段的延长线上时，11G EF PEC △≌△11G FE PCE ∠=∠EC CD ⊥190PCE ∠=°190G FE ∠=°90EFH ∠=°90FHC ∠=°1FG CD ⊥12G G CD ABCD B ADC ∠=∠461tan 3AD AE B ===，，45tan tan 3DE EBC B =∠==，4CE =EFCH 4CH CE ==1P CH∵， ∴． ∴． ②如图3，当点在线段上（不与两点重合）时，∵， ∴． ∴． ③当点与点重合时，即时，不存在．1114FG CP x PH x ===-，11111(4)22P FG x x S FG PH -=⨯⨯=△212(4)2y x x x =->1P CH C H 、1114FG CP x PH x ===-，11111(4)22P FG x x S FG PH -=⨯=△212(04)2y x x x =-+<<1P H 4x =11PFG △综上所述，与之间的函数关系式及自变量的取值范围是或． 【总结升华】本题着重考查了二次函数的解析式、图形的旋转变换、三角形全等、探究垂直的构成情况等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法． 举一反三：【变式】已知，点P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线PA 交射线OM 于点A ，将射线PA 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB+∠MON=180°．（1）利用图1，求证：PA=PB ；（2）如图2，若点C 是AB 与OP 的交点，当S △POB =3S △PCB 时，求PB 与PC 的比值；（3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP 交ON 于点D ，且满足且∠PBD=∠ABO ，请借助图3补全图形，并求OP 的长．【答案】（1）作PE ⊥OM，PF ⊥ON ，垂足为E 、F∵四边形OEPF 中，∠OEP=∠OFP=90°，∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，∴∠EPF=∠APB ，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB ，∴∠EPA=∠FPB ，由角平分线的性质，得PE=PF ，∴△EPA ≌△FPB ，即PA=PB ；y x x 212(4)2y x x x =->212(04)2y x x x =-+<<（2）∵S △POB =3S △PCB ，∴PO=3PC ，又∵∠BPC=∠OPB （公共角），∴△PBC ∽△POB ，即PB 2=PO •PC=3PC 2，（3）作BH ⊥OT ，垂足为H ，当∠MON=60°时，∠APB=120°，又∵∠PBD=∠ABO ，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°，在△OBP 中，∵∠BOP=30°，∴∠BPO=45°，在Rt △PBH 中，PH=BH=1，中考冲刺：几何综合问题—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.如图，直角三角板ABC 的斜边AB=12cm ，∠A=30°，将三角板ABC 绕C 顺时针旋转90°至三角板A ′B ′C ′的位置后，再沿CB 方向向左平移，使点B ′落在原三角板ABC 的斜边AB 上，则三角板A ′B ′C ′平移的距离为（ ）A.6cmB.4cmC.cmD.cm2.如图，△ABC 和△DEF 是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2，DE=4．点B 与点D 重合，点A ，B （D ），E 在同一条直线上，将△ABC 沿DE 方向平移，至点A 与点E 重合时停止．设点B ，D 之间的距离为x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，则准确反映y 与x 之间对应关系的图象是（ ）A B C D二、填空题3.如图，将两块直角三角板的斜边重合，E 是两直角三角形公共斜边AC 的中点．D 、B 分别为直角顶点，连接DE 、BE 、DB ，∠DAC=60°，∠BAC=45°．则∠EDB 的度数为_______．4.如图，一块直角三角形木板△ABC ，将其在水平面上沿斜边AB 所在直线按顺时针方向翻滚，使它滚动(6-()6cm ．三、解答题5.如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，AF 平分∠BAC ，交BD 于点F.（1）EF+AC =AB ； （2）点C 1从点C 出发，沿着线段CB 向点B 运动（不与点B 重合），同时点A 1从点A 出发，沿着BA 的延长线运动，点C 1与点A 1运动速度相同，当动点C 1停止运动时，另一动点A 1也随之停止运动.如图，AF 1平分∠B A 1 C 1，交BD 于F 1，过F 1作F 1E 1⊥A 1 C 1，垂足为E 1，试猜想F 1E 1，A 1 C 1与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想.（3）在（2）的条件下，当A 1 E 1=3，C 1 E 1=2时，求BD 的长.21216.如图，等腰Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时以每秒1个单位长的速度按顺时针方向沿△ABC 的边运动，当Q 运动到A 点时，P 、Q 停止运动.设Q 点运动时间为t 秒，点P 运动的轨迹与PQ 、AQ 围成图形的面积为S.求S 关于t 的函数解析式.7.正方形ABCD中，点F 为正方形ABCD 内的点，△BFC 绕着点B 按逆时针方向旋转90°后与△BEA 重合．（1）如图1，若正方形ABCD 的边长为2，BE=1，FC=，求证：AE ∥BF ；（2）如图2，若点F 为正方形ABCD 对角线AC 上的点，且AF ：FC=3：1，BC=2，求BF 的长．8.将正方形ABCD 和正方形BEFG 如图1摆放，连DF ．3∠DMC=_____；∠DMC的值，并证明你的结论；∠DMC=_________．请画出图形，并直接写出你的结论（不用证明）．9.已知△ABC≌△ADE，∠BAC=∠DAE=90°．（1）如图（1）当C、A、D在同一直线上时，连CE、BD，判断CE和BD位置关系，填空：CE_____BD．（2）如图（2）把△ADE绕点A旋转到如图所示的位置，试问（1）中的结论是否仍然成立，写出你的结论，并说明理由．（3）如图（3）在图2的基础上，将△ACE绕点A旋转一个角度到如图所示的△AC′E′的位置，连接10.将正方形ABCD 和正方形CGEF 如图1摆放，使D 点在CF 边上，M 为AE 中点，（1）连接MD 、MF ，则容易发现MD 、MF 间的关系是______________（2）操作：把正方形CGEF 绕C 点旋转，使对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上（CG ＞BC ），取线段AE 的中点M ，探究线段MD 、MF 的关系，并加以说明；（3）将正方形CGEF 绕点C 旋转任意角度后（如图3），其他条件不变，（2）中的结论是否仍成立？直接写出猜想，不需要证明.图3D E C F GM B A 图2CF MA B D E G 图1A B G MF ED C【答案与解析】一、选择题1.【答案】C.2.【答案】B.二、填空题3.【答案】15°.4.三、解答题5.【答案与解析】 （1）证明：如图1，过点F 作FM ⊥AB 于点M ，在正方形ABCD 中，AC ⊥BD 于点E ． ∴AE=AC ，∠ABD=∠CBD=45°， ∵AF 平分∠BAC ，∴EF=MF ，又∵AF=AF ，∴Rt △AMF ≌Rt △AEF ，∴AE=AM ，∵∠MFB=∠ABF=45°，∴MF=MB ，MB=EF ，∴EF+AC=MB+AE=MB+AM=AB ．1212证明：如图2，连接F1C1，过点F1作F1P⊥A1B于点P，F1Q⊥BC于点Q，∵A1F1平分∠BA1C1，∴E1F1=PF1；同理QF1=PF1，∴E1F1=PF1=QF1，又∵A1F1=A1F1，∴Rt△A1E1F1≌Rt△A1PF1，∴A1E1=A1P，同理Rt△QF1C1≌Rt△E1F1C1，∴C1Q=C1E1，由题意：A1A=C1C，∴A1B+BC1=AB+A1A+BC-C1C=AB+BC=2AB，∵PB=PF1=QF1=QB，∴A1B+BC1=A1P+PB+QB+C1Q=A1P+C1Q+2E1F1，即2AB=A1E1+C1E1+2E1F1=A1C1+2E1F1，（3）解：设PB=x，则QB=x，∵A1E1=3，QC1=C1E1=2，Rt△A1BC1中，A1B2+BC12=A1C12，即（3+x）2+（2+x）2=52，∴x1=1，x2=-6（舍去），∴PB=1，∴E1F1=1，又∵A1C1=5，6.【答案与解析】当P运动到C点时：t=6当Q运动到A点：t=∴分两种情况讨论(1)当0≤t≤6时，如图：作PH⊥AB于H，则△APH为等腰直角三角形此时AP=t，BQ=t，则AQ=-tPH=APsin45°=t∴S△AQP=AQ·PH=·(-t)·t=t2+3t(2)当6＜t≤时，如图：过P过PH⊥AB于H，此时△PBH为等腰直角三角形AC+CP=t，BQ=t∴BP=AC+CB-(AC+CP)=12-t∴PH=BPsin45°=(12-t)∴S四边形AQPC=S△ABC-S△BPQ=AC·BC-BQ·PH=·6·6-·t·(12-t)=18-t+t 2=t 2-t+18.综上，.7.【答案与解析】（1）证明：∵△BFC 绕着点B 按逆时针方向旋转90°后与△BEA 重合∴BE=BF=1，∠EBF=∠ABC=90°，∠AEB=∠BFC在△BFC 中，BC 2=22=4∴BF 2+FC 2=BC 2∴∠BFC=90°…（3分）∴∠AEB+∠EBF=180°∴AE ∥BF …（4分）（2）解：∵Rt △ABC 中，AB=BC=2，由勾股定理，得∵AF ：FC=3：1，∵△BFC 绕着点B 按逆时针方向旋转90°后与△BEA 重合∵四边形ABCD 是正方形∴∠ABC=90°∴∠BAC+∠ACB=90°∴∠EAB+∠BAC=90°即∠EAF=90°在Rt△EBF中，EF2=BE2+BF2∵BE=BF8.【答案与解析】（1）如图2，连接BF，∵四边形ABCD、四边形BEFG是正方形，∴∠FBC=∠CBD=45°，∴∠CBD=∠GBC=90°，而BF=BG，BD=BC，∴△BFD∽△BGC，∴∠BCG=∠BDF，=而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°，∴=，∠DMC=45°；（2）如图3，∵将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转45°，DF的延长线交CG于M，∴B、E、D三点在同一条直线上，22DFCGBFBGDFCG2而四边形ABCD 、四边形BEFG 是正方形，∴△BFD ∽△BGC， 而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°，即∠DMC=45°；9．【答案与解析】（1）CE ⊥BD ．（2）延长CE 交BD 于M ，设AB 与EM 交于点F ．∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠CAE=∠BAD ．又∵△ABC ≌△ADE ，∴AC=AE ，AB=AD ，∴∠ACE=，∠ABD=， ∴∠ACE=∠ABD ．又∵∠AFC=∠BFM ，∠AFC+∠ACE=90°，∴∠ABD+∠BFM=90°，∴∠BMC=90°，∴CE ⊥BD ．（3）过C ′作C ′G ⊥AM 于G ，过D 作DH ⊥AM 交延长线于点H ．01802CAE -∠01802BAD -∠∵∠∠E ′NA=∠AGC ′=90°， ∴∠NE ′A+∠NAE ′=90°，∠NAE′+∠C ′AG=90°，∴∠NE ′A=∠C ′AG ， ∵AE ′=AC ′∴△ANE ′≌△C ′GA （AAS ），∴AN=C ′G ．同理可证△BNA ≌△AHD ，AN=DH ．∴C ′G=DH ．在△C ′GM 与△DHM 中，∠C ′GM=∠DHM=90°，∠C ′MG=∠DMH ，C ′G=DH ，∴△C ′GM ≌△DHM ，∴C ′M=DM ，∴． 10．【答案与解析】如图1，延长DM 交FE 于N ，图1∵正方形ABCD 、CGEF ，∴CF=EF ，AD=DC ，∠CFE=90°，AD ∥FE ，∴∠1=∠2，又∵MA=ME ，∠3=∠4，∴△AMD ≌△EMN ，∴MD=MN ，AD=EN ．∵AD=DC ，12DM DC ='∴DC=NE．又∵FC=FE，∴FD=FN．又∵∠DFN=90°，∴FM⊥MD，MF=MD；（2）MD=MF，MD⊥MF．如图2，延长DM交CE于N，连接FD、FN．∵正方形ABCD，∴AD∥BE，AD=DC，∴∠1=∠2．又∵AM=EM，∠3=∠4，∴△ADM≌△ENM，∴AD=EN，MD=MN．∵AD=DC，∴DC=NE．又∵正方形CGEF，∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°．又∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∴∠DCF=∠NEF=45°，∴△FDC≌△FNE，∴FD=FN，∠5=∠6，∠DFN=∠5+∠CFN=∠6+∠CFN=90°，∴△DFN为等腰直角三角形，且FM为斜边DN上的中线，∴MD=MF，MD⊥MF；（3）FM⊥MD，MF=MD．如图3，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．∴∠ADC=∠H，AD∥EH，∴∠3=∠4．∵AM=ME，∠1=∠2，∴△AMD≌△EMN，∴DM=NM，AD=EN．∵正方形ABCD、CGEF，∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°．∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE．∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°，∴∠DCF=∠5=∠NEF．∵FC=FE，∴△DCF≌△NEF．∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．∵∠CFE=90°，∴∠DFN=90°．∴FM⊥MD，MF=MD．。

2020年数学中考模拟试卷北师大版数学（考试时间：100分钟试卷满分：120分）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．在数3，0，–4，|–2|中，最小的数是A．3 B．0 C．–4 D．|–2|2．据财政部网站消息，2018年中央财政困难群众救济补助预算指标约为929亿元，数据929亿用科学记数法表示为A．9.29×109B．9.29×1010C．92.9×1010D．9.29×10113．如图是由5个相同的小正方体构成的几何体，其俯视图是A．B．C．D．4．下列各式计算正确的是A．2ab+3ab=5ab B．（–a2b3）2=a4b5CD．（a+1）2=a2+15．不等式组32120xx->⎧⎨-≤⎩的解在数轴上表示为A．B．C．D．6．某企业车间有50名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下表：零件个数（个）5 6 7 8人数（人） 3 15 22 10表中表示零件个数的数据中，众数是A．5 B．6 C．7 D．8 7．如果关于x的方程x2+2x+c=0没有实数根，那么c在2、1、0、–3中可以取A．2 B．1 C．0 D．–3 8．在一个不透明的袋子里，有1个黑球和2个白球，除颜色外全部相同，现从中任意摸两个球，则摸到1个黑球、1个白球的概率是A．13B．23C．25D．359．如图，将边长为2 cm的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O 是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为A1）B．（2，–1）C．（1D．（–1，10．如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是A．π2B．π3C．π4D．π第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．计算：2sin30°+（–1）–2–|2|=__________．12．如图，在ABCD中，∠C=43°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为__________．13．已知反比例函数y =kx 的图象经过点A （-6，8），则当x =-3时，y =__________．14．如图，每个小正方形的边长为1，则△ABC 的边AC 上的高BD 的长为__________．15．如图，四边形ABCD 是边长为4的正方形，若AF =3，E 为AB 上一个动点，把△AEF 沿着EF 折叠，得到△PEF ，若△BPE 为直角三角形，则PC 的长度为__________．三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分8分）已知b =a +2018，求代数式2122()2a a b a ab a++÷--的值．17．（本小题满分9分）体育老师为了解学生最喜爱哪一种体育运动项目，围绕“在A：足球、B：篮球、C：乒乓球、D：羽毛球四种体育运动项目中，你最喜欢哪一种项目（必选且只选一种）”这一问题，在全校范围内随机抽取部分同学进行问卷调查，并将调查整理的结果绘制成条形统计图，已知喜欢羽毛球的学生占抽取的学生的20%．解答下列问题：（1）这次调查中一共抽取了多少名学生？（2）补全条形统计图；（3）若该校有2400名学生，试估计该校最喜欢篮球的学生有多少名？18．（本小题满分9分）如图，AB是⊙O的直径，且AB=6，点M为⊙O外一点，且MA，MC分别切⊙O于点A，C．点D是两条线段BC与AM延长线的交点．（1）求证：DM=AM；（2）直接回答：①当CM为何值时，四边形AOCM是正方形？②当CM为何值时，△CDM是等边三角形？19．（本小题满分9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函的图象与一次函数y=–x+1的图象的一个交点为A（–1，数y=kxm）．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）如果一次函数y=–x+1的图象与x轴交于点B（n，0），请的值的范围．确定当x<n时，对应的反比例函数y=kx20．（本小题满分9分）2018 年4 月12 日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，展示人民海军崭新的面貌，激发强军强国的坚定信念，为了维护海洋权益，国家海洋局加强了海洋巡逻力度．如图，现有一艘海监船位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔200海里的A处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处．（1）在这段时间内，海监船与灯塔P的最近距离是多少？（结果用根号表示）（2）在这段时间内，海监船航行了多少海里？（参考数据：≈．结果精确到0.1海里）2.44921．（本小题满分10分）每年的6月5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购，经调查：购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多花16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元．（1）求甲、乙两种型号的设备每台的价格分别是多少；（2）该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元，你认为该公司有几种购买方案？（3）在（2）的条件下，已知甲型设备的产量为240吨/月，乙型设备的产量为180吨/月，若每月要求总产量不低于2040吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案．22．（本小题满分10分）四边形是我们在学习和生活中常见的图形，而对角线互相垂直的四边形也比较常见．比如筝形、菱形、图1 等，它们给我们的学习和生活带来了很多的乐趣和美感．（1）如图2，在四边形ABCD中，AB =AD，CB =CD，问四边形ABCD 的对角线互相垂直吗？请说明理由；（2）试探究对角线互相垂直的四边形ABCD的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．猜想结论：_________（要求用文字语言叙述），并写出证明过程；（3）问题解决:如图3，分别以Rt ACB△的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE，BG，GE，BE，已知AC=4，AB =5，求GE的长．23．（本小题满分11分）如图，Rt△OAB按如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与x轴重合，∠OAB=90°，OA=4，AB=2，把Rt△OAB绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到点C的位置，一条抛物线正好经过点O，C，A三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在x轴上方的抛物线上有一动点P，过点P作x轴的平行线交抛物线于点M，分别过点P、点M作x轴的垂线，交x轴于E，F两点，问：四边形PEFM的周长是否有最大值？如果有，请求出最大值，并写出解答过程；如果没有，请说明理由．（3）如果x轴上有一动点H，在抛物线上是否存在点N，使O、C、H、N四点构成以OC为一边的平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．。

2020年中考数学模拟试题及参考答案（一）一、选择题(下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确答案的序号填入题后的括号内，每小题3分，共24分)1. 的相反数是（）A． B． C． D．2. 国家游泳中心－－“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积约为260 000平方米，将260 000用科学记数法表示应为（）A．0.26×106B．26×104C．2.6×106D．2.6×1053. 下列计算正确的是（）A．a6·a3=a18B．(-2a3)2=4a6C．a6÷a3=a2D．5a2-3a2=24. 如图，直线a,b被直线c所截，如果a∥b，那么（）A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2 D．∠1＋∠2＝180°5. 下列图形中，不是轴对称图形的是（）6.下列各组事件中，发生的可能性最大的是（）A．掷一枚均匀的骰子，朝上面的点数为6B．从一副扑克牌中任意抽取一张牌,得到红桃9C．掷一枚均匀的硬币,正面朝上D．一个口袋中有3个红球,2个白球,这些球除颜色以外都一样,从中任意摸出一个球,这个球是红球7. 数学老师为了估计全班每位同学数学成绩的稳定性,要求每位同学对自己最近5次的数学测试成绩进行统计分析,那么张明同学需要求出自己这5次成绩的 ( )A.平均数B. 众数C.频率D. 方差8.某市为鼓励居民节约用水，采取如下收费标准：①若每户每月居民用水不超过4立方米，则按每立方米2元收费；②若每月每户居民用水超过4立方米，则超过部分按每立方米4.5元收费(不超过部分仍然按每立方米2元收费).现假设该市某户居民某月用水x立方米，水费y元，则y与x的函数关系用图象表示正确的是（）二、填空题(每小题3分，共24分)9. 分解因式：2x2-18= ___________.10. 已知反比例函数的图象经过点A(-3,-6)，则k的值11. 函数中，自变量x的取值范围是．12. 如图，D、E两点分别在AC、AB上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为合适的条件：，使得△ADE∽△ABC.13.有两组扑克牌各三张，牌面数字分别是1，2，3，随意从每组中各抽出一张．数字和是偶数的概率是．14．以长为3cm,5cm,7cm,10cm的四根木棍中的三根木棍为边，可以构成三角形的个数是．15.如图，⊙O的直径EF的长为4cm，弦AB=2cm，CD=cm，且AB//CD//EF，则阴影部分的面积为．16．如图，是用火柴棒摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆20（即n=20）根时，需要的火柴棒总数为根．三、解答题（每小题8分，共16分）17.计算：（下面(1)、(2)两个小题中，请任选一题作答，若两个小题都解答，只以第(1)题评分.）（1）(a-2)2+a(a+4)；（2）+tan60°.18．先化简,求值 ,其中x=2009.四、解答题（每小题10分，共20分）19．在Rt△ABC中，∠A＜∠B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM沿直线CM折叠，点A落在D处，且CD恰好与AB垂直，求∠A的度数.20．如图是某班全体学生年龄的频数分布直方图.根据图中提供的信息，求出该班学生年龄的众数，你从图中还能得出什么结论（写出两条即可）.21．用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分，其中M 为AD的中点．用这两部分纸片可以拼成一些新图形，例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形.用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外，还可以拼成一些四边形．请你试一试，把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内．22．有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被分成4等分；转盘B被分成6等份，数字标注如图所示，有人设计了一个游戏，其规则如下：甲、乙两人同时各转动转盘一次，转盘停止后，指针各指向一个数字，将转得的数字相乘. 如果积为偶数，则甲胜；如果积为奇数，则乙胜.（1）你认为这个游戏公平吗？请你用所学的数学知识说明理由；（2）如果不公平，请你利用这两个转盘设计一个公平的游戏.23. 在锦州凌南新区的建设中，宝地施工队要拆除烟囱AB，他们在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在从离B点21米远的建筑物CD的顶点C，测得A点的仰角为45o，B点的俯角为30o，试问离B点35米远的居民住宅是否在危险区内，请你帮助他们做出正确的判断，并通过计算说明.24. 百货大楼经营一种进价为2元一件的小商品，在市场营销中发现，此商品的销售单价xx(元) 3 5 9 11y(件) 18 14 6 2（1（2）设经营此商品的日销售利润（不考虑其他因素）为P元，根据日销售规律，求出日销售利润P元与日销售单价x元之间的函数关系式.七、解答题（本题12分）25．如图一，已知点O是边长为2的正方形ABCD的对角线交点，四边形OBPC也是正方形，将正方形OBPC绕点O旋转任一角度得到图二中的正方形OGPH.(1)图二中两个正方形重叠部分的面积会怎样变化？证明你的结论；(2)如图三，连接AH、DG.①求证：AH=DG，②猜想AH、DG之间的位置关系，并证明你的猜想；（第25题）八、解答题（本题14分）26．已知二次函数y=x2+(2m-1)x+m2-1（m为常数），它的图象（抛物线）经过坐标原点O，且顶点M在第四象限，（1）求m的值，并写出二次函数解析式；（2）设点A是抛物线上位于O、M之间的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C．① 当BC=1时，求矩形ABCD的周长；② 试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由．参考答案及评分标准1一、1.C 2. D 3. B 4. B 5. A 6. D 7. D 8.C二、9.2(x+3)(x-3) 10.11. x≤6 12.∠1=∠B或∠2＝∠C或13.14.2个15.2πcm216.630三、17.(1)原式=a2-4a+4+a2+4a …… 4分 (2)原式=3+1-…… 4分=2a2+4. ……8分=1 …… 8分18. 原式=x+2. …… 4分当x=2009时,原式=2011. …… 8分四、19. 由题意,知△DCM≌△ACM，则∠1=∠2. …… 4分而已知CM为斜边中线，可得∠A=∠1. …… 6分又CD⊥AB，可得∠3=∠A.所以∠A=∠1=∠2=∠3=30°.…… 10分20. 众数是15岁，……2分,结论答案不唯一,只要合理即可,如:15岁占全班人数的一半,15岁比14岁的人数多10人等.（每条4分，共8分）五、21.画对1个得5分,一共10分.22.(1)这个游戏不公平. …… 2分因为,每次游戏可能出现的所有结果列表如下:1 2 3 4 5 61 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)根据列表,共有24种可能的结果,其中两数乘积为偶数的有18种；奇数的有6种,概率不相同,所以这个游戏不公平. ……6分 (也可画树状图说明)(2)答案不唯一,只要合理即可,如两个得数的乘积是偶数加1分,是奇数加3分等.……10分六、23.在Rt△ABC中，tan30O=.∵CK=BD=21，∴BK=7. …… 3分Rt△CKA中，tan45°=，∴AK=21. ……5分∴AB=AK+BK=21+≈33.1. ……8分∵AB＜35，∴居民住宅不在危险区内．……10分24.(1)图略,经描点连线可知,其图象是一条直线,所以y是x的一次函数. …… 2分设y=kx+b,将(5,14)、(9,6)分别代入，得解得…… 4分所以y=-2x+24 (6)(2)由题意知p=xy-2y=(24-2x)(x-2)=-2x2+28x-48，所以,所求的函数关系式为p=-2x2+28x-48. ……10分七、25. (1)重叠部分的面积不变.……1分证明：∵∠BOE+∠COE=∠COE+∠COF=90°，∴∠BOE=∠COF.……3分又∵OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∴△BOE≌△COF.……4分∴重叠部分的面积=.……5分(2)①证明：∵∠AOH=90°+∠DOH，∠DOG=90°+∠DOH，∴∠AOH=∠DOG.……6分∴△AOH≌△DOG.……7分∴AH=DG.……8分②AH⊥DG.……9分证明：由①得∠OAH=∠ODG，且∠OAH+∠DAH+∠ODA=90°，∴∠ODG+∠DAH+∠ODA=90°.∴AH⊥DG.……12分八、26.（1）∵抛物线过原点，∴n2-1=0，解得n1=1,n2= -1.n=1时，y=x2+x（顶点不在第四象限）；n=- 1时，y=x2-3x（顶点在第四象限），∴所求的函数关系为y=x2-3x.……4分（2）①由y=x2-3x，令y=0, 得x2-3x =0，解得x1=0，x2=3.∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0).∴它的顶点为M, 对称轴为直线x=,如图.∵BC=1，由对称性知B(1,0)，从而A(1,-2),∴矩形ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(2+1)=6. ……9分②设B(x,0)(0＜x＜），则A（x，x2-3x），从而BC=3-2x，AB=|x2-3x|=3x-x2.∴矩形ABCD的周长L=2(3+x-x2)=-2(x-2+.∴当x=时，矩形ABCD的周长有最大值为，此时.……14分。

北师大版2020届数学中考一模试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2017九上·宜城期中) 对于二次函数y=−3(x+1)2-2的图象与性质，下列说法正确的是（）A . 对称轴是直线x=1，最小值是-2B . 对称轴是直线x=1，最大值是-2C . 对称轴是直线x=−1，最小值是-2D . 对称轴是直线x=−1，最大值是-22. （2分）下列剪纸作品都是轴对称图形．其中对称轴条数最多的作品是（）A .B .C .D .3. （2分） (2018九上·鄞州期中) 下列成语所描述的事件，是随机事件的是（）A . 水涨船高B . 一箭双雕C . 水中捞月D . 一步登天4. （2分）在数-1，1，2中任取两个数作为点坐标，那么该点刚好在一次函数y=x-2图象上的概率是（）A .B .C .D .5. （2分）下列方程中，关于x的一元二次方程的是（）A . x2B . ax2+bx+c=0C . （x﹣1）（x+2）=1D . x（x﹣1）=x2+2x6. （2分）二次函数y=2x2+4x﹣1的顶点坐标是（）A . （﹣1，﹣3）B . （1，﹣3）C . （﹣1，3）D . （1，3）7. （2分） (2017九上·武昌期中) 一元二次方程x2+x﹣1=0的根的情况是（）A . 有两个不相等的实数根B . 有两个相等的实数根C . 没有实数根D . 无法判断8. （2分） (2019九上·綦江期末) 如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD，E为BC弧上一点，下列结论：①∠1=∠2；②∠3=2∠4；③∠3+∠5=180°,其中正确的是（）A . ①③B . ②③C . ①②③D . ①②9. （2分）如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为（3，﹣1），AB= ．将⊙P沿着与y轴平行的方向平移多少距离时⊙P与x轴相切（）A . 1B . 2C . 3D . 1或310. （2分）下列抛物线中，与轴有两个交点的是（）A . y=5x2-7x+5B . y=16x2-24x+9C . y=2x2+3x-4D . y=3x2-2 x+2二、填空题 (共8题；共8分)11. （1分） (2017九上·江津期中) 等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8=0的解，则这个三角形的周长是________．12. （1分）(2019·南山模拟) 下面是一道确定点P位置的尺规作图题的作图过程．如图1，直线L1与L2相交于点O，A，B是L2上两点，点P是直线L1上的点，且∠APB ＝30°，请在图中作出符合条件的点P．作法：如图2，⑴以AB为边在L2上方作等边△ABC；⑵以C为圆心，AB长为半径作⊙C交直线L1于P1 ， P2两点．则P1、P2就是所作出的符合条件的点P．请回答：该作图的依据是________．13. （1分）(2017·岱岳模拟) 我区大力推进义务教育均衡发展，加强学习标准化建设，计划用三年时间对全区学校的设施和设备进行全面改造.2015年区政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，2017年政府投资7.2亿元人民币，那么预计2018年应投资________亿元．14. （1分） (2019八上·衢州期中) 已知等腰三角形的其中两边长分别为2，5，则这个等腰三角形的周长为________．15. （1分）(2019·鄂州) 一个圆锥的底面半径r＝5，高h＝10，则这个圆锥的侧面积是________.16. （1分） (2019九上·沭阳月考) 若一直角三角形的两条直角边边长分别为6和8，则此三角形的外接圆的半径为 ________17. （1分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=2，∠A=90°，点E为腰AB的中点，点F在底边BC上，且FE⊥CE，则△BEF的面积________．18. （1分） (2017·绿园模拟) 如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为________．三、解答题 (共8题；共74分)19. （10分） (2019九上·沭阳开学考) 解方程（1）（2） (用配方法解)（3）（4）20. （5分） (2018九上·开封期中) 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）.（1）①请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；②请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；（2）直接写出A2，B2，C2的坐标.21. （2分） (2019九上·武威期末) 在“植树节”期间，小王、小李两人想通过摸球的方式来决定谁去参加学校植树活动，规则如下：在两个盒子内分别装入标有数字1，2，3，4的四个和标有数字1，2，3的三个完全相同的小球，分别从两个盒子中各摸出一个球，如果所摸出的球上的数字之和小于5，那么小王去，否则就是小李去．（1）用树状图或列表法求出小王去的概率；（2）小李说：“这种规则不公平”，你认同他的说法吗？请说明理由．22. （10分） (2018九上·岐山期中) 为了巩固全国文明城市建设成果，突出城市品质的提升，近年来，我市积极落实节能减排政策，推行绿色建筑，据统计，我市2016年的绿色建筑面积约为950万平方米，2018年达到了1862万平方米.若2017年、2018年的绿色建筑面积按相同的增长率逐年递增，请解答下列问题：（1）求这两年我市推行绿色建筑面积的年平均增长率；（2） 2019年我市计划推行绿色建筑面积达到2400万平方米.如果2019年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2019年我市能否完成计划目标?23. （15分）(2019·盘龙模拟) 如图，已知抛物线与轴交于点，，且线段，该抛物线与轴交于点，对称轴为直线 .（1）求抛物线的函数表达式；（2）根据图象，直接写出不等式的解集：________；（3）设D为抛物线上一点，为对称轴上一点，若以点，，，为顶点的四边形是菱形，则点的坐标为________.24. （10分）已知：正方形ABCD的边长为2，点M在射线BC上，且∠BAM＝θ，射线AM交BD于点N，作CE⊥AM于点E．（1）如图1，当点M在边BC上时，则θ的取值范围是（点M与端点B不重合）________；∠NCE与∠BAM的数量关系是________；（2）若点M在BC的延长线时；①依题意，补全图2；②第（1）中的∠NCE与∠BAM的数量关系是否发生变化？若变化，写出数量关系，并说明理由．25. （7分）(2018·临沂) 将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜360°），得到矩形AEFG．（1）如图，当点E在BD上时．求证：FD=CD；（2）当α为何值时，GC=GB？画出图形，并说明理由．26. （15分）(2018·镇江模拟) 如果过抛物线与y的交点作y轴的垂线与该抛物线有另一个交点，并且这两点与该抛物线的顶点构成正三角形，那么我们称这个抛物线为正三角抛物线．（1）抛物线 ________正三角抛物线；（填“是”或“不是”）（2）如图，已知二次函数（m > 0）的图像是正三角抛物线，它与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，点E在y轴上，当∠AEB=2∠ABE时，求出点E的坐标．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1、答案：略2、答案：略3、答案：略4、答案：略5、答案：略6、答案：略7、答案：略8、答案：略9、答案：略10、答案：略二、填空题 (共8题；共8分)11、答案：略12、答案：略13、答案：略14、答案：略15、答案：略16、答案：略17、答案：略18、答案：略三、解答题 (共8题；共74分)19、答案：略20、答案：略21、答案：略22、答案：略23、答案：略24、答案：略25、答案：略26、答案：略第11 页共11 页。

【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合题【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合问题【中考展望】几何综合题是中考试卷中常有的题型，大概可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考察学生综合运用几何知识的能力.这种题型在近几年全国各地中考试卷中据有相当的重量，不单有选择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综共计算题,还有更侧重考察学生剖析问题和解决问题能力的研究性的问题、方案设计的问题等等.主要特色是图形较复杂，覆盖面广、波及的知识点许多，题设和结论之间的关系较隐蔽，经常需要增添协助线来解答.几何综合题的体现形式多样，如折叠种类、研究型、开放型、运动型、情形型等，背景鲜活，拥有适用性和创建性，考察方式侧重于考察考生剖析问题、研究问题、综合应用数学知识解决实质问题的能力.以几何为主的综合题经常在必定的图形背景下研究以下几个方面的问题：1、证明线段、角的数目关系（包含相等、和、差、倍、分及比率关系等）；2、证明图形的地点关系（如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的地点关系等）；3、几何计算问题；4、动向几何问题等.【方法点拨】一、几何计算型综合问题，经常波及到以下各部分的知识：1、与三角形相关的知识；2、等腰三角形，等腰梯形的性质；3、直角三角形的性质与三角函数；4、平行四边形的性质；5、全等三角形，相像三角形的性质；6、垂径定理，切线的性质，与正多边形相关的计算；7、弧长公式与扇形面积公式.二、几何论证型综合题的解答过程，要注意以下几个方面：1、注企图形的直观提示，注意察看、剖析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，经过增添协助线补全或结构基本图形；1/33【北师大版 2020中考数学专项复习】：几何综合题2、注意剖析发掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创建条件打好基础，要由已知联想经验，由未知联想需要，不停转变条件和结论来研究思路，找到解决问题的打破点；3、要运用转变的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题，还要灵巧运用数学思想方法如数形联合、分类议论、转变、方程等思想来解决问题.【典型例题】种类一、动向几何型问题1．已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EFBD 交BC 于F ，连结DF ，G为DF 中点，连结EG ，CG ．（1）直接写出线段 EG 与CG 的数目关系；（2）将图1中BEF 绕B 点逆时针旋转45，如图2所示，取DF 中点G ，连结EG ，CG ，你在（1）中获取的结论能否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中 BEF 绕B 点旋转随意角度，如图 3所示，再连结相应的线段，问（ 1）中的结论能否仍然成立？（不要求证明）A D A D A D GF GEEEFBCBCBCF图2图3图1【思路点拨】本题的中心条件就是 G 是中点，中点常常示意好多的全等关系，怎样建立一对我们想要的全等三角形就成为了剖析的重点所在 .连结AG 以后，抛开其余条件，单看 G 点所在的四边形 ADFE ，我们 会发现这是一个梯形，于是依据我们在第一讲专题中所议论的方法，自然想到过 G 点做AD,EF 的垂线. 于是两个全等的三角形出现了 .第三问在△BEF 的旋转过程中，一直不变的依旧是 G 点是FD 的中点.能够延伸一倍 EG 到H ，进而结构一 个和EFG 全等的三角形，利用 BE=EF 这一条件将全等过渡 .要想方法证明三角形 ECH 是一个等腰直角三 角形，就需要证明三角形 EBC 和三角形 CGH 全等，利用角度变换关系就能够得证了 .【答案与分析】2/33【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合题（1）CGEG（2）（1）中结论没有发生变化，即 CGEG ．证明：连结AG ，过G 点作MN AD 于M ，与EF 的延伸线交于N 点．在 DAG 与DCG 中，∵ADCD ，ADG CDG ，DGDG ，∴ DAG ≌DCG ．∴ AGCG ．在DMG 与FNG 中，∵DGM F GN ，FG DG ，MDG NFG ，DMG ≌FNG ．MGNG在矩形AENM 中，AMEN在RtAMG 与RtENG 中，∵AMEN ，MG NG ，AMG ≌ENG ．AGEG ．EGCGA MD GEFNB C 图2（ 3）（1）中的结论仍旧成立．3/33【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合题A DGFEB C图3【总结升华】本题是一道典型的从特别到一般的图形旋转题.从旋转45°到旋转随意角度，要求议论其中的不变关系.贯通融会：【变式】已知：如图（1），射线AM//射线BN，AB是它们的公垂线，点D、C分别在AM、BN 上运动（点D与点A不重合、点C与点B不重合），E是AB边上的动点（点E与A、B不重合），在运动过程中一直保持DE EC，且AD DE AB a．（1）求证：ADE∽BEC；（2）如图（2），当点E为AB边的中点时，求证：AD BC CD；（3）设AE m，请研究：BEC的周长能否与m值相关？若相关，请用含有m的代数式表示BEC的周长；若没关，请说明原因．【答案】（1）证明：∵DE EC，∴DEC 90．∴AED BEC 90．又∵A B 90，∴AED EDA 90．∴BEC EDA．∴ ADE∽BEC．（2）证明：如图，过点E作EF//BC，交CD于点F，4/331∵E是AB的中点，简单证明EF(AD BC)．2在RtDEC中，∵DF CF，∴EF1CD．2∴1(ADBC)1CD．22ADBCCD．（3）解：AED的周长AE AD DEam，BEa m．设AD x，则DE a x．∵A90，∴DE2AE2AD2．即a22axx2m2x2．x a2m2．2a由（1）知ADE∽BEC，a2m2∴ADE的周长AD2a amBEC的周长BE a m ．2a∴BEC的周长2a2a．ADE的周长mBEC的周长与m值没关．2．在△ABC中，∠ACB=45o．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一5/33边且在AD的右边作正方形ADEF．1）假如AB=AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的地点关系，并证明你的结论．2）假如AB≠AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论能否成立，为何？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线订交于点P，设AC＝42，BC3，CD=x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）【思路点拨】(1)由题干能够发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传达，就能够得解.是典型的从特别到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中修建一个特别的条件就行，和上题同样找AC的垂线，就能够变为第一问的条件，而后同样求解.(3)D在BC之间运动和它在BC延伸线上运动时的地点是不同样的，因此已给的线段长度就需要分状况去考虑究竟是4+X仍是4-X.分类议论以后利用相像三角形的比率关系即可求出CP.【答案与分析】（1）结论：CF⊥BD；证明以下：AB=AC，∠ACB=45o，∴∠ABC=45o．由正方形ADEF得AD=AF，∵∠DAF=∠BAC=90o，∴∠DAB=∠FAC，∴△DAB≌△FAC，∴∠ACF=∠ABD．∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90o．即CF⊥BD．（2）CF⊥BD．(1)中结论仍成立．原因是：过点A作AG⊥AC交BC于点G，∴AC=AG可证：△GAD≌△CAF∴∠ACF=∠AGD=45o∠BCF=∠ACB+∠ACF=90o．即CF⊥BD6/333）过点A作AQ⊥BC交CB的延伸线于点Q，①点D在线段BC上运动时，∵∠BCA=45o，可求出AQ=CQ=4．∴DQ=4-x，易证△AQD∽△DCP，∴CPCD，∴CPx，DQ AQ4x4CPx2x．4∴∴∴∴∴∴∴∴∴②点D在线段BC延伸线上运动时，∴∵∠BCA=45°，∴AQ=CQ=4，∴DQ=4+x．∴过A作AQ⊥BC，∴∴∴∴∴∴∴∴∴∴∠Q=∠FQC=90°，∠ADQ=∠AFC，∴则△AQD∽△ACF．∴CF⊥BD，∴∴△AQD∽△DCP，CPCD,∴CPx,DQAQ4+x47/33【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合题CP x2x．4【总结升华】本题综合性强，需要综合运用全等、相像、正方形等知识点，属能力拔高性的题目．（3．已知正方形ABCD的边长为6cm，点E是射线BC上的一个动点，连结AE交射线DC于点F，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B′处．1）当BE=1时，CF=______cm，（CE（2）当BE=2时，求sin∠DAB′的值；CE（3）当BE=x时（点C与点E不重合），请写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与xCE的关系式，（只需写出结论，不要解题过程）．【思路点拨】动向问题未必只有点的平移、图形的旋转，翻折（即轴对称）也是一大热门.(1)给出比率为1，(2)比率为2，(3)比率随意，因此也是一道很显然的从一般到特别的递进式题目.需要认真掌握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化.一般说来，翻折中，角，边都是不变的，因此轴对称图形也意味着大批全等或许相像关系，因此要利用这些来获取线段之间的比率关系.特别要注意的是，本题中给定的比率都是有两种状况的，E在BC上和E在延伸线上都是可能的，因此需要分类议论，不要遗漏.【答案与分析】1）CF=6cm；（2）①如图1，当点E在BC上时，延伸AB′交DC于点M，图18/33【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合题∵AB∥CF，∴△ABE∽△FCE，∴BE AB．∵CE FC∵BE=2，∴CF=3．CEAB∥CF，∴∠BAE=∠F．又∠BAE=∠B′AE，∴∠B′AE=∠F．∴MA=MF．设MA=MF=k，则MC=k-3，DM=9-k．在Rt△ADM中，由勾股定理得：k2=(9-k)2+62，解得k=MA=13．∴DM=5．22∴sin∠DAB′=DM5；AM13②如图2，当点E在BC延伸线上时，延伸AD交B′E于点N，图29/33同①可得 NA=NE ．设NA=NE=m ，则B ′N=12-m ．在Rt △AB ′N 中，由勾股定理，得m 2=(12-m)2+62，解得m=AN=15．∴B ′N=9．22∴sin ∠DAB ′=BN3． AN5（ 3）①当点E 在BC 上时，y=18x；1②当点E 在BC 延伸线上时，y=18x 18．x【总结升华】动向几何问题中间有点动，线动，以致整体图形动几种可能的方式，动向几何问题常常作为压轴题出现 ,因此难度不问可知 ,可是拿到题后不要慌乱 ,由于不论是题目以哪一种形式出现，一直掌握 的都是在变化过程中那些不变的量 .只需一个个将条件抽出来 ,将大问题化成若干个小问题去解决 ,就很 轻松了.种类二、几何计算型问题4．已知如图，在梯形ABCD中， AD ∥BC ，AD2，BC 4， M是 AD的中点， △MBC是点等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段 BC 和MC 上运动，且∠MPQ 60保持不变．设 PC x ，MQ y ，求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）中，当y 取最小值时，判断 △PQC 的形状，并说明原因．【思路点拨】（ 1）属于纯静态问题，只需证两边的三角形全等就能够了.(2)是双动点问题，因此就需要研究在P,Q 运动过程中什么东西是不变的 .题目给定∠MPQ=60°，其实就10/33是将静态的那个等边三角形与动向条件联系了起来.由于最后求两条线段的关系,因此很自然想到要通过相像三角形找比率关系.(3)条件又回归了当动点静止时的问题，由第二问所得的二次函数，很轻易就能够求出当x取对称轴的值时y有最小值，接下来就变为了“给定PC=2，求△PQC形状”的问题了，由已知的BC=4，自然看出P 是中点，于是问题轻松求解.【答案与分析】（1）证明：∵△MBC是等边三角形MBMC，∠MBC∠MCB60M是AD中点∴AMMDAD∥BC∴∠AMB∠MBC60，DMC∠MCB60∴△AMB≌△DMCABDC∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）解：在等边△MBC中，MB MC BC 4，∠MBC∠MCB60，∠MPQ60∴∠BMP∠BPM∠BPM∠QPC120∴∠BMP∠QPC∴△BMP∽△CQP∴PC CQBM BP∵PC x，MQ y∴BP 4 x，QC 4 y∴x4y∴y1x2x444x411/33【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合题（3）解：△PQC为直角三角形，12∵y x 234∴当y取最小值时，x PC2∴P是BC的中点，MP BC，而∠MPQ60，∴∠CPQ 30，∴∠PQC 90∴△PQC为直角三角形.【总结升华】以上题目是动点问题，这一类问题的重点就在于当动点挪动中出现特别条件，比如某边相等，某角固准时，将动向问题化为静态问题去求解.假如没有特别条件，那么就需要研究在动点挪动中哪些条件是保持不变的.贯通融会：【高清讲堂：几何综合问题例3】【变式】已知：如图，N、M是以O为圆心，1为半径的圆上的两点，B是MN上一动点（B不与点M、N重合），∠MON=90°，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE订交于点P，DE与AG订交于点Q．（1）四边形EPGQ（填“是”或许“不是”）平行四边形；（2）若四边形EPGQ是矩形，求OA的值.12/33【答案】（1）是．证明：连结OB，如图①，BA⊥OM，BC⊥ON，∴∠BAO=∠BCO=90°，∵∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形．∴AB∥OC，AB=OC，E、G分别是AB、CO的中点，∴AE∥GC，AE=GC，∴四边形AECG为平行四边形．∴CE∥AG，∵点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，∴GF∥OB，DE∥OB，∴PG∥EQ，∴四边形EPGQ是平行四边形；（2）解：如图②，13/33∵口EPGQ是矩形．∴∠AED+∠CEB=90°．又∵∠DAE=∠EBC=90°，∴∠AED=∠BCE．∴△AED∽△BCE，∴AD AE，BE BC设OA=x，AB=y，则x:y y:x222得y2=2x2，222222又∵OA+AB=OB，即x+y=1．x2+2x2=1，解得：x=3．3即当四边形EPGQ是矩形时，OA的长度为3．35．在ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E,将线段EC绕点E逆时针旋转90获取线段EF(如图1)（1）在图1中绘图研究：①当P为射线CD上随意一点（P1不与C重合）时，连结EP1绕点E逆时针旋转90获取线段EC1.判断直线FC1与直线CD的地点关系，并加以证明；②当P2为线段DC的延伸线上随意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点E逆时针旋转90获取线段EC2.判断直线C1C2与直线CD的地点关系，画出图形并直接写出你的结论.14/33【北师大版 2020中考数学专项复习】：几何综合题4 （2）若AD=6,tanB=3,AE=1,在①的条件下，设 CP 1=x ，S P 1FC 1=y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.图1 备用图【思路点拨】 (1)本题在于怎样掌握这个旋转 90°的条件.旋转 90°自然就是垂直关系，于是出现了一系列直角三角形，于是证角、证线就易如反掌了 .(2)是利用平行关系成立函数式，可是不要忘掉分类议论.【答案与分析】（ 1）①直线FG 1与直线CD 的地点关系为相互垂直．证明：如图1，设直线FG 1与直线CD 的交点为H ．G 1FG 2P 1AHEDB CP 2 图1∵线段EC 、EP 1分别绕点E 逆时针旋转90°挨次获取线段 EF 、EG 1，∴PEGCEF 90°，EG EP ，EFEC ．1111∵G 1EF90 °1，1°1，PEF PEC90 PEF∴GEFPEC ．1115/33【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合题∴△GEF≌△PEC．11∴GFE PCE．11EC⊥CD，∴PCE90°，1G1FE90°．EFH90°．FHC90°．FG1⊥CD．②按题目要求所绘图形见图1，直线G1G2与直线CD的地点关系为相互垂直．（2）∵四边形ABCD是平行四边形，BADC．∵AD6，AE1，tanB4，3∴DE5，tanEBCtanB4．3可得CE 4．由（1）可得四边形EFCH为正方形．CHCE4．①如图2，当P1点在线段CH的延伸线上时，16/33G1FAP1 HE DB C图2∵FG1CP1x，PH1x4，∴S△PFG1FG1PH1x(x4)．1122∴y1x22x(x4)．2②如图3，当P1点在线段CH上（不与C、H两点重合）时，G1FAEDP1B C图3H∵FG1CP1x，PH1x4，∴S△PFG 1FG1PH1x(4x)．1122∴y1x22x(0x4)．2③当P点与H点重合时，即x4时，△PFG1不存在．1117/33综上所述，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围是y1x22x(x4)或2y1x22x(0x4)．2【总结升华】本题侧重考察了二次函数的分析式、图形的旋转变换、三角形全等、研究垂直的组成状况等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考察学生疏类议论，数形联合的数学思想方法．贯通融会：【变式】已知，点P是∠MON的均分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON=180°．1）利用图1，求证：PA=PB；2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB=3S△PCB时，求PB与PC的比值；3）若∠MON=60°，OB=2，射线AP交ON于点D，且知足且∠PBD=∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．【答案】（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为E、F∵四边形OEPF中，∠OEP=∠OFP=90°，∴∠EPF+∠MON=180°，已知∠APB+∠MON=180°，∴∠EPF=∠APB，即∠EPA+∠APF=∠APF+∠FPB，∴∠EPA=∠FPB，由角均分线的性质，得PE=PF，∴△EPA≌△FPB，即PA=PB；18/332）∵S △POB =3S △PCB ，∴PO=3PC ，由（1）可知△PAB 为等腰三角形，则∠PBC=1（180°-∠APB ）=1∠MON=∠BOP ，∴ 2 2∴ 又∵∠BPC=∠OPB （公共角）， ∴∴△PBC ∽△POB ，∴PBPC ，PO PB22即PB=PO?PC=3PC ， ∴PB3PC3）作BH ⊥OT ，垂足为H ，当∠MON=60°时，∠APB=120°，1由PA=PB ，得∠PBA=∠PAB=（180°-∠APB ）=30°，2又∵∠PBD=∠ABO ，∠PBD+∠PBA+∠ABO=180°，1∴∠ABO= （180°-30°）=75°，则∠OBP=∠ABO+∠ABP=105°，2在△OBP 中，∵∠BOP=30°，∴∠BPO=45°，在Rt △OBH 中，BH=1 ，OB=1，OH=32在Rt △PBH 中，PH=BH=1，∴OP=OH+PH=3+1．中考冲刺：几何综合问题—稳固练习（提升）【稳固练习】一、选择题19/33如图，直角三角板ABC的斜边AB=12cm，∠A=30°，将三角板ABC绕C顺时针旋转90°至三角板A′B′C′的地点后，再沿CB方向向左平移，使点B′落在原三角板ABC的斜边AB上，则三角板A′B′C′平移的距离为（）A.6cmB.4cmC. 6 23cmD.43 6cm如图，△ABC和△DEF是等腰直角三角形，∠C=∠F=90°，AB=2，DE=4．点B与点D重合，点A，B（D），E在同一条直线上，将△ABC沿DE方向平移，至点A与点E重合时停止．设点B，D之间的距离为x，△ABC与△DEF重叠部分的面积为y，则正确反应y与x之间对应关系的图象是（）A B C D二、填空题3.如图，将两块直角三角板的斜边重合，E是两直角三角形公共斜边AC的中点．D、B分别为直角极点，连结DE、BE、DB，∠DAC=60°，∠BAC=45°．则∠EDB的度数为_______．如图，一块直角三角形木板△ABC，将其在水平面上沿斜边AB所在直线按顺时针方向翻腾，使它转动到△A″B″C″的地点，若BC=1cm，AC=3cm，则极点A运动到A″时，点A所经过的路径是_________20/33cm．三、解答题5.如图，在正方形A BCD中，对角线AC与BD订交于点E，AF均分∠BAC，交BD于点F.1（1）EF+AC=AB；2（2）点C1从点C出发，沿着线段CB向点B运动（不与点B重合），同时点A1从点A出发，沿着BA的延伸线运动，点C1与点A1运动速度同样，当动点C1停止运动时，另一动点A1也随之停止运动.如图，AF1均分∠BA1C1，交BD于F1，过F1作F1E1⊥A1C1，垂足为E1，试猜想F1E1，1A1C1与AB之间的数目关系，2并证明你的猜想.（3）在（2）的条件下，当A1E1=3，C1E1=2时，求BD的长.21/33如图，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，动点P、Q分别从A、B两点同时以每秒1个单位长的速度按顺时针方向沿△ABC的边运动，当Q运动到A点时，P、Q停止运动.设Q点运动时间为t秒，点P运动的轨迹与PQ、AQ围成图形的面积为S.求S对于t的函数分析式.7.正方形ABCD中，点F为正方形ABCD内的点，△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合．（1）如图1，若正方形ABCD的边长为2，BE=1，FC=3，求证：AE∥BF；（2）如图2，若点F为正方形ABCD对角线AC上的点，且AF：FC=3：1，BC=2，求BF的长．将正方形ABCD和正方形BEFG如图1摆放，连DF．（1）如图2，将图1中的正方形BEFG绕B点顺时针旋转90°，连DF、CG订交于M，则DF=_______，CG22/33【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合题∠DMC=；（2）如图3，将图1中的正方形B EFG绕B点顺时针旋转45°，DF的延伸线交CG于M，尝试究DF与CG∠DMC的值，并证明你的结论；3）若将图1中的正方形BEFG绕B点逆时针旋转β（0°＜β＜90°），则∠DMC=．请画出图形，并直接写出你的结论（不用证明）．DF=_______，CG9.已知△ABC≌△ADE，∠BAC=∠DAE=90°．（1）如图（1）当C、A、D在同向来线上时，连CE、BD，判断CE和BD地点关系，填空：CE_____BD．（2）如图（2）把△ADE绕点A旋转到以下图的地点，试问（1）中的结论能否仍旧成立，写出你的结论，并说明原因．（3）如图（3）在图2的基础上，将△ACE绕点A旋转一个角度到以下图的△AC′E′的地点，连结BE′、DC′，过点A作AN⊥BE′于点N，反向延伸AN交DC′于点M．求DM的值．DC23/33【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合题将正方形ABCD和正方形CGEF如图1摆放，使D点在CF边上，M为AE中点，（1）连结MD、MF，则简单发现MD、MF间的关系是______________（2）操作：把正方形CGEF绕C点旋转，使对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延伸线上（CG＞BC），取线段AE的中点M，研究线段MD、MF的关系，并加以说明；（3）将正方形CGEF绕点C旋转随意角度后（如图3），其余条件不变，（2）中的结论能否仍成立？直接写出猜想，不需要证明.FDFE A D A FAMMDMEB C CBB G 图3EC图2图1GG24/33【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合题【答案与分析】一、选择题【答案】C.【答案】B.二、填空题3.【答案】15°.4.5.【答案】8+33.6三、解答题【答案与分析】（1）证明：如图1，过点F作FM⊥AB于点M，在正方形ABCD中，AC⊥BD于点E．∴AE=1°，AC，∠ABD=∠CBD=452∵AF均分∠BAC，∴EF=MF，又∵AF=AF，∴Rt△AMF≌Rt△AEF，∴AE=AM，∵∠MFB=∠ABF=45°，∴MF=MB，MB=EF，∴EF+1．AC=MB+AE=MB+AM=AB225/33【北师大版 2020中考数学专项复习】：几何综合题（ 2）E 1F 1，121A 1C 1与AB 三者之间的数目关系：E 1F 1+A 1C 1=AB2证明：如图 2，连结F 1C 1，过点F 1作F 1P ⊥A 1B 于点P ，F 1Q ⊥BC 于点Q ，A 1F 1均分∠BA 1C 1，∴E 1F 1=PF 1；同理QF 1=PF 1，∴E 1F 1=PF 1=QF 1，又∵A 1F 1=A 1F 1，∴Rt △A 1E 1F 1≌Rt △A 1PF 1， ∴A 1E 1=A 1P ，同理Rt △QF 1C 1≌Rt △E 1F 1C 1， C 1Q=C 1E 1，由题意：A 1A=C 1C ，A 1B+BC 1=AB+A 1A+BC-C 1C=AB+BC=2AB ，∵PB=PF 1=QF 1=QB ，A 1B+BC 1=A 1P+PB+QB+C 1Q=A 1P+C 1Q+2E 1F 1，即2AB=A 1E 1+C 1E 1+2E 1F 1=A 1C 1+2E 1F 1，1∴E 1F 1+A 1C 1=AB ．23）解：设PB=x ，则QB=x ， A 1E 1=3，QC 1=C 1E 1=2，Rt △A 1BC 1中，A 1B 2+BC 12=A 1C 12， 即（3+x ）2+（2+x ）2=52， x 1=1，x 2=-6（舍去）， PB=1， E 1F 1=1，又∵A 1C 1=5，由（2）的结论：E 1F 1+1 A 1C 1=AB ，2∴AB=7，27 2．∴BD=2【答案与分析】当P 运动到C 点时：t=6 当Q 运动到A 点：t=∴分两种状况议论(1)当0≤t ≤6时，如图：26/33【北师大版2020中考数学专项复习】：几何综合题作PH⊥AB于H，则△APH为等腰直角三角形此时AP=t，BQ=t，则AQ=-tPH=APsin45°=t∴S△AQP=AQ·PH= ·(-t)·tt2+3t(2)当6＜t≤时，如图：过P过PH⊥AB于H，此时△PBH为等腰直角三角形AC+CP=t，BQ=tBP=AC+CB-(AC+CP)=12-tPH=BPsin45°=(12-t)∴S四边形AQPC=S△ABC-S△BPQAC·BC-BQ·PH= ·6·6-·t·(12-t)27/33=18-t+t2=t2-t+18.综上，.【答案与分析】（1）证明：∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合BE=BF=1，∠EBF=∠ABC=90°，∠AEB=∠BFC在△BFC中，BF2+FC2=12+(3)2=4，BC2=22=4BF2+FC2=BC2∴∠BFC=90°（3分）∴∠AEB+∠EBF=180°AE∥BF（4分）（2）解：∵Rt△ABC中，AB=BC=2，由勾股定理，得AC=AB2 BC2=22．AF：FC=3：1，∴AF=3AC=32，FC=1AC=24242∵△BFC绕着点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合∴∠EAB=∠FCB，BE=BF，AE=CF=2，2∵四边形ABCD是正方形∴∠ABC=90°∴∠BAC+∠ACB=90°∴∠EAB+∠BAC=90°即∠EAF=90°在Rt△EAF中，EF=AE2AF2=5，28/33在Rt △EBF 中，EF 2=BE 2+BF 2 BE=BF∴BF= 2EF=10．2【答案与分析】（1）如图2，连结BF ，∵四边形 ABCD 、四边形 BEFG 是正方形， ∴∠FBC=∠CBD=45°， ∴∠CBD=∠GBC=90°，而BF=2BG ，BD=2BC ，∴△BFD ∽△BGC ，∴∠BCG=∠BDF ，DF =BFCG BG而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF=180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°=45°， ∴DF = 2，∠DMC=45°；CG（2）如图3，∵将图1中的正方形 BEFG 绕B 点顺时针旋转 45°，DF 的延伸线交CG 于M ，∴B 、E 、D 三点在同一条直线上，29/33而四边形 ABCD 、四边形 BEFG 是正方形，∴ ∴∠CBD=∠GBC=45°，BF=2BG ，BD=2BC ， ∴∴△BFD ∽△BGC ， DF =2，∠BCG=∠BDF （ CG（ 而∠DMC=180°-∠BCG-∠BCD-∠CDF（ =180°-∠BDF-∠BCD-∠CDF=180-45°-90°（ =45°，（ 即∠DMC=45°；3）DF=2，∠DMC=45°,图略.CG9．【答案与分析】（ 1）CE ⊥BD ． （2）延伸CE 交BD 于M ，设AB 与EM 交于点F ．∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠CAE=∠BAD ．又∵△ABC ≌△ADE ，AC=AE ，AB=AD ，1800 CAE 1800 BAD ∴∠ACE=2 ，∠ABD= ，2 ∴∠ACE=∠ABD ．又∵∠AFC=∠BFM ，∠AFC+∠ACE=90°，∴∠ABD+∠BFM=90°，∴∠BMC=90°，CE ⊥BD ．（3）过C ′作C ′G ⊥AM 于G ，过D 作DH ⊥AM 交延伸线于点 H ．30/33∵∠∠E′NA=∠AGC′=90°，∴∠NE′A+∠NAE′=90°，∠NAE′+∠C′AG=90°，∴∠NE′A=∠C′AG，AE′=AC′∴△ANE′≌△C′GA（AAS），AN=C′G．同理可证△BNA≌△AHD，AN=DH．C′G=DH．在△C′GM与△DHM中，C′GM=∠DHM=90°，∠C′MG=∠DMH，C′G=DH，∴△C′GM≌△DHM，∴C′M=DM，∴DM1．DC210．【答案与分析】如图1，延伸DM交FE于N，∵图1∵∵正方形ABCD、CGEF，∵CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，∵∴∠1=∠2，∵又∵MA=ME，∠3=∠4，∴△AMD≌△EMN，∵MD=MN，AD=EN．AD=DC，31/33DC=NE．又∵FC=FE，FD=FN．又∵∠DFN=90°，FM⊥MD，MF=MD；（2）MD=MF，MD⊥MF．如图2，延伸DM交CE于N，连结FD、FN．∵正方形ABCD，AD∥BE，AD=DC，∴∠1=∠2．又∵AM=EM，∠3=∠4，∴△ADM≌△ENM，AD=EN，MD=MN．∵AD=DC，DC=NE．又∵正方形CGEF，∴∠FCE=∠NEF=45°，FC=FE，∠CFE=90°．又∵正方形ABCD，∴∠BCD=90°，∴∠DCF=∠NEF=45°，∴△FDC≌△FNE，FD=FN，∠5=∠6，∠DFN=∠5+∠CFN=∠6+∠CFN=90°，∴△DFN为等腰直角三角形，且FM为斜边DN上的中线，MD=MF，MD⊥MF；（3）FM⊥MD，MF=MD．如图3，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延伸线于N、H，连结DF、FN．32/33∴∴∠ADC=∠H，AD∥EH，∴∴∠3=∠4．∴AM=ME，∠1=∠2，∴△AMD≌△EMN，∴DM=NM，AD=EN．∵正方形ABCD、CGEF，∴∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°．∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE．∴∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°，∴∠DCF=∠5=∠NEF．∴FC=FE，∴∴△DCF≌△NEF．∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．∵∠CFE=90°，∴∴∠DFN=90°．FM⊥MD，MF=MD．33/33。

2020春北师大版本数学中考专题演练—中考压轴题（Ⅰ卷）一、选择题（本题共10题，每题5分）1．（2019•深圳）如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2C．3 D．42．（2018•深圳）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE=EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB=2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF =．在以上4个结论中，正确的有（）A．1 B．2C．3 D．43．（2017•深圳）如图，已知四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，AD=，E为CD中点，连接AE，且AE=2，∠DAE=30°，作AE⊥AF交BC于F，则BF=（）A．1 B．3﹣C ．﹣1 D．4﹣24．（2013•深圳）如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上，则sinα的值是（）A ．B ．C ．D ．5．（2012•深圳）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A．6 B．12C．32 D．646．（2011•深圳）如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，则AD：BE的值为（）A ．：1B ．：1C．5：3 D．不确定7．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分线分别交AD、AC于点E，F，则的值是（）A ．B ．C ．D ．8．如图，已知双曲线y=（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣6，4），则△AOC的面积为（）A．12 B．9C．6 D．49．如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个 D．4个10．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a＞0 B．b2﹣4ac≥0C．x1＜x0＜x2 D．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0二、填空题（本题共10题，每题5分）1．（2019•深圳）如图，四边形ABCO是平行四边形，OA=2，AB=6，点C在x轴的负半轴上，将▱ABCO绕点A逆时针旋转得到▱ADEF，AD经过点O，点F恰好落在x轴的正半轴上，若点D在反比例函数y=（x＜0）的图象上，则k的值为______．2．（2018•深圳）如图，已知点A在反比例函数y=（x＜0）上，作Rt△ABC，点D为斜边AC的中点，连DB 并延长交y轴于点E．若△BCE的面积为8，则k=______．3．（2017•深圳）如图，双曲线y=经过Rt△BOC斜边上的点A ，且满足=，与BC交于点D，S△BOD=21，求k=______．4．（2013•深圳）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形…按这样的规律下去，第7幅图中有______个正方形．5．（2012•深圳）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为______．6．（2011•深圳）如图，△ABC的内心在y轴上，点C的坐标为（2，0），点B的坐标是（0，2），直线AC的解析式为，则tanA的值是______．7．如图，△AOB与△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线y=（x＞0）上，点A、C在x轴上，连接BC交AD于点P，则△OBP的面积= ．8．如图所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为米．（保留根号）9．（3分）如图，矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是．10．观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为（用含n 的代数式表示）．2020春北师大版本数学中考专题演练—中考压轴题（Ⅰ卷）参考答案与试题解析一、选择题（本题共10题，每题5分）1．【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴∠C=90°=∠ACB，∴∠CAD=∠AFG，在△FGA和△ACD 中，，∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC=FG，①正确；∵BC=AC，∴FG=BC，∵∠ACB=90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF=90°，S△FAB =FB•FG=S四边形CBFG，②正确；∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD=FE：FQ，∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；故选：D．2．【解答】解：由折叠可知，DF=DC=DA，∠DFE=∠C=90°，∴∠DFG=∠A=90°，∴△ADG≌△FDG，①正确；∵正方形边长是12，∴BE=EC=EF=6，设AG=FG=x，则EG=x+6，BG=12﹣x，由勾股定理得：EG2=BE2+BG2，即：（x+6）2=62+（12﹣x）2，解得：x=4，∴AG=GF=4，BG=8，BG=2AG，②正确；BE=EF=6，△BEF是等腰三角形，易知△GED不是等腰三角形，③错误；S△GBE=×6×8=24，S△BEF=•S△GBE==，④正确．故选：C．3．【解答】解：如图，延长AE交BC的延长线于G，∵E为CD中点，∴CE=DE，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠G=30°，在△ADE和△GCE 中，，∴△ADE≌△GCE（AAS），∴CG=AD=，AE=EG=2，∴AG=AE+EG=2+2=4，∵AE⊥AF，∴AF=AGtan30°=4×=4，GF=AG÷cos30°=4÷=8，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，则MN=AD=，∵四边形ABCD为等腰梯形，∴BM=CN，∵MG=AG•cos30°=4×=6，∴CN=MG﹣MN﹣CG=6﹣﹣=6﹣2，∵AF⊥AE，AM⊥BC，∴∠FAM=∠G=30°，∴FM=AF•sin30°=4×=2，∴BF=BM﹣MF=6﹣2﹣2=4﹣2．故选：D．4．【解答】解：如图，过点A作AD⊥l1于D，过点B作BE⊥l1于E，设l1，l2，l3间的距离为1，∵∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CAD=∠BCE，在等腰直角△ABC中，AC=BC，在△ACD和△CBE 中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD=BE=1，在Rt△ACD中，AC===，在等腰直角△ABC中，AB=AC=×=，∴sinα==．故选：D．5．【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，∴A3B3=4B1A2=4，A4B4=8B1A2=8，A5B5=16B1A2=16，以此类推：A6B6=32B1A2=32．故选：C．6．【解答】解：连接OA、OD，∵△ABC与△DEF均为等边三角形，O为BC、EF的中点，∴AO⊥BC，DO⊥EF，∠EDO=30°，∠BAO=30°，∴OD：OE=OA：OB=：1，∵∠DOE+∠EOA=∠BOA+∠EOA即∠DOA=∠EOB，∴△DOA∽△EOB，∴OD：OE=OA：OB=AD：BE=：1．故选：A．7．【解答】解：作FG⊥AB于点G，∵∠DAB=90°，∴AE∥FG ，∴=，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又∵BE是∠ABC的平分线，∴FG=FC，在Rt△BGF和Rt△BCF 中，∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），∴CB=GB，∵AC=BC，∴∠CBA=45°，∴AB=BC ，∴====+1．故选：C．8．【解答】解：∵OA的中点是D，点A的坐标为（﹣6，4），∴D（﹣3，2），∵双曲线y=经过点D，∴k=﹣3×2=﹣6，∴△BOC的面积=|k|=3．又∵△AOB的面积=×6×4=12，∴△AOC的面积=△AOB的面积﹣△BOC的面积=12﹣3=9．故选B．9．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD，∴OA=OD=OC=OB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=45°，∵∠CAE=15°，∴∠DAC=30°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAC=30°，∴∠DOC=60°，∵OD=OC，∴△ODC是等边三角形，∴①正确；∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°∴∠DAC=∠ACB=30°，∴AC=2AB，∵AC＞BC，∴2AB＞BC，∴②错误；∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=30°，∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，∴∠DAE=∠BAE=45°，∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠AEB=∠BAE，∴AB=BE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠DOC=60°，DC=AB，∵△DOC是等边三角形，∴DC=OD，∴BE=BO，∴∠BOE=∠BEO=（180°﹣∠OBE）=75°，∵∠AOB=∠DOC=60°，∴∠AOE=60°+75°=135°，∴③正确；∵OA=OC，∴根据等底等高的三角形面积相等得出S△AOE=S COE，∴④正确；故选C．10．【解答】解：A、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况，故本选项错误；B、∵x1＜x2，∴△=b2﹣4ac＞0，故本选项错误；C、若a＞0，则x1＜x0＜x2，若a＜0，则x0＜x1＜x2或x1＜x2＜x0，故本选项错误；D、若a＞0，则x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，所以，（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，若a＜0，则（x0﹣x1）与（x0﹣x2）同号，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0正确，故本选项正确故选：D．二、填空题（本题共10题，每题5分）1．【解答】解：如图所示：过点D作DM⊥x轴于点M，由题意可得：∠BAO=∠OAF，AO=AF，AB∥OC，则∠BAO=∠AOF=∠AFO=∠OAF，故∠AOF=60°=∠DOM，∵OD=AD﹣OA=AB﹣OA=6﹣2=4，∴MO=2，MD=2，∴D（﹣2，﹣2），∴k=﹣2×（﹣2）=4．故答案为：4．2．【解答】解：∵△BCE的面积为8，∴，∴BC•OE=16，∵点D为斜边AC的中点，∴BD=DC，∴∠DBC=∠DCB=∠EBO，又∠EOB=∠ABC，∴△EOB∽△ABC ，∴，∴AB•OB•=BC•OE∴k=AB•BO=BC•OE=16．故答案为：16．3．【解答】解：过A作AE⊥x轴于点E．∵S△OAE=S△OCD，∴S四边形AECB=S△BOD=21，∵AE∥BC，∴△OAE∽△OBC，∴==（）2=，∴S△OAE=4，则k=8．故答案是：8．4．【解答】解：观察图形发现第一个有1个正方形，第二个有1+4=5个正方形，第三个有1+4+9=14个正方形，…第n 个有：n（n+1）（2n+1）个正方形，第7个有1+4+9+16+25+36+49=140个正方形，故答案为：140．5．【解答】解法一：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB，∴∠AOM+∠BOF=90°，又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∴∠BOF=∠OAM，在△AOM和△BOF 中，，∴△AOM≌△BOF（AAS），∴AM=OF，OM=FB，又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形，∴AM=CF，AC=MF=5，∴OF=CF，∴△OCF为等腰直角三角形，∵OC=6，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，解得：CF=OF=6，∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1，则BC=CF+BF=6+1=7．故答案为：7．解法二：如图2所示，过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．∴O点在∠ACB的平分线上，∴△OCM为等腰直角三角形．∵OC=6，∴CM=ON=6．∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1，∴BC=CN+NB=6+1=7．故答案为：7．6．【解答】解：根据三角形内心的特点知∠ABO=∠CBO，∵已知点C、点B的坐标，∴OB=OC，∠OBC=45°，∠ABC=90°可知△ABC为直角三角形，BC=2，∵点A在直线AC上，设A点坐标为（x ，x﹣1），根据两点距离公式可得：AB2=x2+，AC2=（x﹣2）2+，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，解得：x=﹣6，y=﹣4，∴AB=6，∴tanA===．故答案为：．7．【解答】解：设等边△AOB的边长为a，等边△ACD的边长为b，∴点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（a+b，0），点B的坐标为（a ，a），点D的坐标为（a+b ，b）．过点B作BE⊥x轴于点E，过点P作PF⊥x轴于点F，如图所示．∵△AOB与△ACD均为正三角形，∴∠BOA=60°=∠PAC，∴BO∥PA ，∴．∵BE⊥x轴，PF⊥x轴，∴BE∥PF ，∴==．∵BE=a，∴PF=•BE=．S△OBP=S△OBC﹣S△OPC =OC•BE﹣OC•PF=（a+b ）×a ﹣（a+b ）×=．∵点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴k=a•a==4，∴S△OBP=4．故答案为：4．8．【解答】解：如图，作AD⊥CD于D点．∵∠B=30°，∠ACD=60°，∠ACD=∠B+∠CAB，∴∠CAB=30°．∴BC=AC=10m，在Rt△ACD中，CD=AC•cos60°=10×0.5=5m，∴BD=15．∴在Rt△ABD中，AB=BD ÷cos30°=15÷=10m．故答案为：10．9．【解答】解：以CD为轴，将△ACD往上翻转180°，如图，过点A作AE⊥A′C于E点，AE交CD于F点，当Q与F点重合，P′与E点重合时，AQ+QP=AF+EF=AE最短（直线外一点到这条直线中，垂线段最短），∵矩形ABCD中，AD=4，∠CAB=30°，∴∠A′CD=∠ACD=∠CAB=30°，∴∠A′CA=60°，又∵AC=A′C，∴△A′CA为等边三角形，且A′A=2AD=8，AE=A′A•sin∠A′CA=8×=4．故答案为：4．10．【解答】解：第1个图形中点的个数为：1+3=4，第2个图形中点的个数为：1+3+5=9，第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16，…，第n个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）==（n+1）2．故答案为：（n+1）2．。

北师大版中考数学复习：中点问题常考热点专项练习题汇编一．选择题1．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论正确的有：（）①AP＝FP，②AE＝AO，③若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，④CE•EF＝EQ•DE．A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，动点P从点A出发向终点D运动，连BP，并过点C作CH⊥BP，垂足为H．①△ABP∽△HCB；②AH的最小值为﹣；③在运动过程中，BP扫过的面积始终等于CH扫过的面积；④在运动过程中，点H的运动路径的长为π，其中正确的有个（）个．A．1B．2C．3D．43．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，线段AE，AF与对角线BD分别交于点G，H．设矩形ABCD的面积为S，则以下4个结论中：①AG：GE＝2：1；②BG：GH：HD＝1：1：1；③S1+S2+S3＝S；④S2：S4：S6＝1：2：4．正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连接AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A．B．C．D．5．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（）①AE⊥BF；②S△BCF＝5S△BGE；③QB＝QF；④tan∠BQP＝．A．1B．2C．3D．46．正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE 沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE＝．下列结论：①AD垂直平分EE′，②tan∠ADE＝﹣1，③C△ADE﹣C△ODE＝2﹣1，④S四边形AEFB＝，其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABC＝2S△ABF．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．如图，正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边CE重合，O是EG的中点，∠EGC 的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②HO BG；③S正方形ABCD：S正方形ECGF＝9﹣4：4；④EM：MG ＝1：（1+），其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，正方形ABCD中，P为对角线上的点，PB＝AB，连PC，作CE⊥CP交AP的延长线于E，AE交CD于F，交BC的延长线于G，则下列结论：①E为FG的中点；②FG2＝4CF•CD；③AD＝DE；④CF＝2DF．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题10．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝2，CD＝1．下列结论：①∠AED ＝∠ADC，②＝，③BF＝2AC，④BE＝DE．其中结论正确的个数有．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，BC＝4，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，若△AB′F为直角三角形，则AE的长为．12．已知：△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BE＝AB，F为AC上一点，且CF＝AC，EF交AD于P，则EP：PF＝．13．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC 边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为．14．如图，正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边CE重合，O是EG的中点，∠EGC 的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②HO BG；③点H不在正方形CGFE的外接圆上；④△GBE∽△GMF．其中正确的结论有．15．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：①DN＝DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC＝，则BF＝2；正确的结论有．16．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝90°，AC与BD交于点H，AE⊥BC于点E，AE交BD于点G，点F是BD的中点，连接EF，若HG＝10，GB＝6，tan∠ACB＝1，则下列结论：①∠DAC＝∠CBD；②DH+GB＝HG；③4AH＝5HC；④EC﹣EB＝EF；其中正确结论序号是．17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH＝．18．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP 翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有（写出所有正确结论的序号）①△CMP∽△BP A；②四边形AMCB的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为2；⑤当△ABP≌△ADN时，BP＝4﹣4．三．解答题19．在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝16cm，EF分别是AB、BD的中点，连接EF，点P 从点E出发沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s．同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接PQ．设运动时间为t（0＜t＜8）s．解答下列问题：（1）如图①，求证：△BEF∽△DCB；（2）如图②，过点Q作QG⊥AB，垂足为G，若四边形EPQG为矩形，t＝；（3）当△PQF为等腰三角形时，请直接写出t的值．20．如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，延长CA至点E，作DE⊥CE交BA 的延长线于点D，连接CD，点F为CD的中点，连接EF，BF．（1）直接写出线段EF和BF之间的数量关系为；（2）将△ADE绕点A顺时针旋转到图②的位置，猜想EF和BF之间的关系，并加以证明；（3）若AC＝3，AE＝2，将△ADE绕点A顺时针旋转，当A，E，B共线时，请直接写出EF的长．参考答案一．选择题1．解：连接AF．∵PF⊥AE，∴∠APF＝∠ABF＝90°，∴A，P，B，F四点共圆，∴∠AFP＝∠ABP＝45°，∴∠P AF＝∠PF A＝45°，∴AP＝FP，故①正确，设BE＝EC＝a，则AE＝a，OA＝OC＝OB＝OD＝a，∴，即AE＝AO，故②正确，根据对称性可知，△OPE≌△OQE，∴S△OEQ＝S四边形OPEQ＝2，∵OB＝OD，BE＝EC，∴CD＝2OE，OE∥CD，∴，△OEQ∽△CDQ，∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，∴S△CDO＝12，∴S正方形ABCD＝48，故③错误，∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，∴△EPF∽△ECD，∴，∵EQ＝PE，∴CE•EF＝EQ•DE，故④正确，故选：B．2．解：①∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAP＝90°，AD∥BC，∴∠APB＝∠HBC．∵CH⊥BP，∴∠BHC＝90°．∴∠BAP＝∠CHB＝90°．∴△ABP∽△HCB．∴①的结论正确；②如下图，点H的运动轨迹是以BC的中点为圆心，AB为半径的圆弧，设BC的中点为O，∵AH+HO≥AO，∴当A，H，O在一条直线上时，AH最小．∵BC＝2，∴OB＝BC＝．∴AO＝＝，∴AH的最小值＝AO﹣OB＝﹣，∴②的结论正确；③BP扫过的面积＝．∵点H的运动轨迹是以BC的中点为圆心，AB为半径的圆弧，∴CH扫过的面积为S扇形OBH+S△OHC．∵CD＝2，BC＝2，∴tan∠DBC＝，∴∠DBC＝30°，∴∠HOC＝2∠DBC＝60°，∴∠BOH＝120°．∴CH扫过的面积为S扇形OBH+S△OHC＝+××＝π+，∴③的结论错误；④∵点H的运动轨迹是以BC的中点为圆心，AB为半径的圆弧，∴点H的运动路径的长为：＝．∴④的结论错误；综上，正确的结论有：①②，故选：B．3．解：①∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E是BC的中点，∴BE＝BC，∵AD∥BE，∴＝＝2，即AG：GE＝2：1；故①正确；②∵AD∥BE，∴，∴BG＝BD，同理得：DH＝BD，∴BG＝GH＝HD，∴BG：GH：HD＝1：1：1；故②正确；③∵AD∥BE，∴△BEG∽△DAG，∴＝，∵BG＝GH＝HD，∴S5＝S3＝S4，设S1＝x，则S5＝S3＝S4＝2x，∴S＝12x，同理可得：S2＝x，∴S1+S2+S3＝x+x+2x＝4x＝S；故③正确；④由③知：S6＝6x﹣x﹣x＝4x，∴S2：S4：S6＝1：2：4，故④正确；所以本题的4个结论都正确；故选：D．4．解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH＝，故选：B．5．解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF，故①正确；∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE＝BC，BF＝BC，∴BE：BF＝1：，∴△BGE的面积：△BCF的面积＝1：5，∴S△BCF＝5S△BGE，故②正确．根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠PFB，∴QF＝QB，故③正确；∵QF＝QB，PF＝1，则PB＝2，在Rt△BPQ中，设QB＝x，∴x2＝（x﹣1）2+4，∴x＝，∴QB＝，PQ＝＝＝，∴tan∠BQP＝＝，故④错误；故选：C．6．解：如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，AO＝OB＝OD＝OC，∠DAC＝∠CAB＝∠DAE′＝45°，根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE，∴DE＝DE′，AE＝AE′，∴AD垂直平分EE′，故①正确，∴EN＝NE′，∵∠NAE＝∠NEA＝∠MAE＝∠MEA＝45°，AE＝，∴AM＝EM＝EN＝AN＝1，∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，∴EN＝EO＝1，AO＝DO＝+1，∴tan∠ADE＝tan∠ODE＝＝﹣1，故②正确，∴AB＝AD＝AO＝2+，∴C△ADE﹣C△ODE＝AD+AE﹣DO﹣EO＝，故③错误，∴S△AEB＝S△AED＝×1×（2+）＝1+，S△BDE＝S△ADB﹣2S△AEB＝1+，∵DF＝EF，∴S△EFB＝，∴S四边形AEFB＝S△AEB+S△BEF＝，故④错误，故选：C．7．解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，交BC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∴∠EAC＝∠ACB，∵BE⊥AC于点F，∴∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝，∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故②正确；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，CN＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DN垂直平分CF，∴DF＝DC，故③正确；∵CF＝2AF，∴S△ABC＝3S△ABF．∴④不正确；其中正确的结论有3个，故选：B．8．解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°，同理可得CE＝CG，∠DCG＝90°，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠BEC＝∠DGC，∵∠EDH＝∠CDG，∠DGC+∠CDG＝90°，∴∠EDH+∠BEC＝90°，∴∠EHD＝90°，即HG⊥BE，故①正确；在△BGH和△EGH中，，∴△BGH≌△EGH（ASA），∴BH＝EH，又∵O是EG的中点，∴HO＝BG，且HO∥BG，故②正确；设EC和OH相交于点N．设HN＝a，则BC＝2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC＝b，CD＝2a，∵OH∥BC，∴△DHN∽△DGC，∴＝，即＝，即a2+2ab﹣b2＝0，解得：a＝b＝（﹣1+）b，或a＝（﹣1﹣）b（舍去），则＝﹣1；则S正方形ABCD：S正方形ECGF＝（﹣1）2＝3﹣2，故③错误；∵EF∥OH，∴△EFM∽△OMH，∴＝＝，∴＝，＝，∴＝＝＝，故④正确．故选：C．9．解：①如图：正方形ABCD中BA＝BC，∠ABP＝∠CBP，BP＝BP，∴△ABP≌△CBP，那么∠1＝∠2，在直角三角形ABG中∠1与∠G互余，∠PCE＝90°，那么∠2与∠5互余，∴∠5＝∠G，∴EC＝EG．在直角三角形FCG中∠3与∠G互余，∠4与∠5也互余，而∠5＝∠G，∴∠3＝∠4，∴EC＝EF，从而得出EG＝EF，即E为FG的中点．∴①正确．③∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BP＝BP，∴△ABP≌△CBP，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴∠1＝∠DF A，∵AB＝BP，∴∠1＝∠BP A，∵∠DPF＝∠APB，∵EF＝CE，∴∠3＝∠4，∴∠4＝∠DPE，∴D、P、C、E四点共圆，∴∠DEA＝∠DCP，∵∠1+∠DAP＝90°，∠2+∠DCP＝90°，∴∠DAP＝∠DCP＝∠DEA，∴AD＝DE，∴③正确，②∵∠3＝∠4，AD＝DE（③已求证），∴△CEF∽△CDE，∴＝，即CE2＝CF•CD，∵∠3＝∠4，∴CE＝EF，∵E为FG的中点．∴FG＝2CE，即CE＝FG，∴＝CF•CD，即FG2＝4CF•CD，∴②正确．④∵四边形ABCD是正方形，∴△PDF∽△PBA，∴＝＝，∴＝，∴＝，即CF＝DF，∴④错误，综上所述，正确的由①②③．故选：C．二．填空题（共9小题）10．解：①∠AED＝90°﹣∠EAD，∠ADC＝90°﹣∠DAC，∵AD平分∠CAB，∴∠EAD＝∠DAC，∴∠AED＝∠ADC，故①正确；②∵∠EAD＝∠DAC，∠ADE＝∠ACD＝90°，∴△ADE∽△ACD，∴，∵AC的值未知，故②不一定正确；③连接DM，∵MD为斜边AE的中线，∴DM＝MA，∴∠MDA＝∠MAD＝∠DAC，∴DM∥BF∥AC，∴，∴，∴BF＝2AC，故③正确；④由③知，，∵，∴DM∥AC，DM⊥BC，∴∠MDA＝DAC＝DAM，∵∠ADE＝90°，∴DM＝MA＝ME，∵BM＝2AM，∴BE＝EM，∴ED＝BE，故④正确，故答案为：3个．11．解：①如图1中，当∠AFB′＝90°时．在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，AC＝4，∴AB＝2AC＝8，∵BD＝CD，∴BD＝CD＝BC＝2，由折叠的性质得：∠BFD＝90°，B'E＝BE，∴∠BDF＝60°，∴∠EDB＝∠EDF＝30°，∴∠B＝∠EDB＝30°，∴BE＝DE＝B'E，∵∠C＝∠BFD＝90°，∠DBF＝∠ABC＝90°，∴△BDF∽△BAC，∴，即＝，解得：BF＝3，设BE＝DE＝x，在Rt△EDF中，DE＝2EF，∴x＝2（3﹣x），解得：x＝2，∴AE＝8﹣2＝6．②如图2中，当∠AB′F＝90°时，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H．设AE＝x．∵AD＝AD，CD＝DB′，∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），∴AC＝AB′＝4，∵∠AB′E＝∠AB′F+∠EB′F＝90°+30°＝120°，∴∠EB′H＝60°，在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝（8﹣x），EH＝B′H＝（8﹣x），在Rt△AEH中，∵EH2+AH2＝AE2，∴[（8﹣x）]2+[4+（8﹣x）]2＝x2，解得：x＝，综上所述，满足条件的AE的值为6或．故答案为：6或．12．解：∵BE＝AB，CF＝AC，∴则＝，＝，分别作EE1，FF1平行于BC且与AD交于E1、F1两点．则EE1∥FF1，∴△EE1P∽△FF1P，＝，＝＝，＝＝，又BD＝CD，∴＝，∴＝＝，故答案为：．13．解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接MN′并延长交BD于P，连NP，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC＝AB＝，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝，∵N为OA中点，∴ON＝，∴ON'＝CN'＝，∴AN'＝，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．14．解：①如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠BEC＝∠BGH，∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，∴∠BEC+∠HDE＝90°，∴GH⊥BE，故①正确；②∵GH是∠EGC的平分线，∴∠BGH＝∠EGH，在△BGH和△EGH中，，∴△BGH≌△EGH（ASA），∴BH＝EH，又∵O是EG的中点，∴HO是△EBG的中位线，∴OH∥BG，HO＝BG，故②正确；③由①得△EHG是直角三角形，∵O为EG的中点，∴OH＝OG＝OE，∴点H在正方形CGFE的外接圆上，故③错误；④如图2，连接CF，由③可得点H在正方形CGFE的外接圆上，∴∠HFC＝∠CGH，∵∠HFC+∠FMG＝90°，∠CGH+∠GBE＝90°，∴∠FMG＝∠GBE，又∵∠EGB＝∠FGM＝45°，∴△GBE∽△GMF，故④正确；故答案为：①②④．15．解：正方形ABCD中，AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠ADF＝∠CDE，DE＝DF，∴∠EDF＝∠FDC+∠CDE＝∠FDC+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠DEF＝45°，∵∠DGN＝45°+∠FDG，∠DNG＝45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，∴∠DGN≠∠DNG，∴DN≠DH，判断出①错误；∵△DEF是等腰直角三角形，∵∠ABD＝∠DEF＝45°，∠BGF＝∠EGD（对顶角相等），∴△BFG∽△EDG，∵∠DBE＝∠DEF＝45°，∠BDE＝∠EDG，∴△EDG∽△BDE，∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正确；连接BM、DM．∵△AFD≌△CED，∴∠FDA＝∠EDC，DF＝DE，∴∠FDE＝∠ADC＝90°，∵M是EF的中点，∴MD＝EF，∵BM＝EF，∴MD＝MB，在△DCM与△BCM中，，∴△DCM≌△BCM（SSS），∴∠BCM＝∠DCM，∴CM在正方形ABCD的角平分线AC上，∴MC垂直平分BD；故③正确；过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，∵MC＝，∴MH＝×＝1，∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，∴MH是△BEF的中位线，∴BF＝2MH＝2，故④正确；综上所述，正确的结论有②③④．故答案是：②③④．16．解：①以BD中点F为圆心，BD为直径可以作出△ABC的外接圆，∵tan∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠ADB＝45°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠DAC＝∠CBD，故①正确；②∵△ABH∽△GDA，∴AB2＝BH•DG，即AB2＝16×（10+DH），叉∵BD＝AB，即16+DH＝AB，解得DH＝8，∵DH+GB＝8+6＝14≠10，∴DG+GB≠HG，故②错误；③∵△AHG∽△BHA，∴AH2＝BH•HG＝160，∴AH＝4，根据相交弦定理：AH•HC＝BH•DH，∴HC＝，∴4AH＝5HC，故③正确；④∵BD＝BH+DH＝24，△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝12，∵AC＝AH+HC＝，且△AEC是等腰直角三角形，∴AE＝CE＝，根据勾股定理可得，BE＝，∴CE﹣BE＝，由△ABH∽△DCH，得CD＝，而FN＝CD＝，BF＝12，由勾股定理可得，BN＝，BE＝，∴EN＝BN﹣BE＝，EF＝，∴CE﹣EB＝EF，故④正确．综上，正确的结论是①③④．故答案为：①③④．17．解：在BD上截取BE＝CH，连接CO，OE，∵∠ACB＝90°，CH⊥BD，∵AC＝BC＝3，CD＝1，∴BD＝，∴△CDH∽△BDC，∴，∴CH＝，∵△ACB是等腰直角三角形，点O是AB中点，∴AO＝OB＝OC，∠A＝∠ACO＝∠BCO＝∠ABC＝45°，∴∠OCH+∠DCH＝45°，∠ABD+∠DBC＝45°，∵∠DCH＝∠CBD，∴∠OCH＝∠ABD，在△CHO与△BEO中，，∴△CHO≌△BEO，∴OE＝OH，∠BOE＝∠HOC，∵OC⊥BO，∴∠EOH＝90°，即△HOE是等腰直角三角形，∵EH＝BD﹣DH﹣CH＝﹣﹣＝，∴OH＝EH×＝，故答案为：．18．解：∵∠APB＝∠APE，∠MPC＝∠MPN，∵∠CPN+∠NPB＝180°，∴2∠NPM+2∠APE＝180°，∴∠MPN+∠APE＝90°，∴∠APM＝90°，∵∠CPM+∠APB＝90°，∠APB+∠P AB＝90°，∴∠CPM＝∠P AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝DC＝AD＝4，∠C＝∠B＝90°，∴△CMP∽△BP A．故①正确，设PB＝x，则CP＝4﹣x，∵△CMP∽△BP A，∴＝，∴CM＝x（4﹣x），∴S四边形AMCB＝[4+x（4﹣x）]×4＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣2）2+10，∴x＝2时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确，当PB＝PC＝PE＝2时，由折叠知，AE＝AB＝AD，∠AEP＝∠B＝90°，∴∠AEN＝90°＝∠D，∵AN＝AN，∴Rt△ADN≌Rt△AEN（HL），∴DN＝EN，设ND＝NE＝y，在Rt△PCN中，（y+2）2＝（4﹣y）2+22解得y＝，∴NE≠EP，故③错误，作MG⊥AB于G，∴MG＝AD＝4，根据勾股定理得：AM＝＝，∴AG最小时AM最小，∵AG＝AB﹣BG＝AB﹣CM＝4﹣x（4﹣x）＝（x﹣2）2+3，∴x＝2时，AG最小值＝3，∴AM最小值＝＝5，故④错误．∵△ABP≌△ADN时，∴△ABP≌△ADN≌△AEN≌△AEP，∴∠P AB＝∠DAN＝22.5°，在AB上取一点K使得AK＝PK，设PB＝z，∴∠KP A＝∠KAP＝22.5°∵∠PKB＝∠KP A+∠KAP＝45°，∴∠BPK＝∠BKP＝45°，∴PB＝BK＝z，AK＝PK＝z，∴z+z＝4，∴z＝4﹣4，∴PB＝4﹣4，故⑤正确．故答案为①②⑤．三．解答题（共22小题）19．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠EBF＝＝∠CDB，∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∴EF∥BC，∴∠EFB＝∠CBD，∴△BEF∽△DCB；（2）当四边形EPQG为矩形时，如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝16cm，∴BD＝20cm，AD＝BC＝16cm，∵E、F分别是AB、BD的中点，∴BF＝DF＝10cm，EF＝AD＝×16＝8m，∴QF＝（2t﹣10）cm，PF＝（8﹣t）cm，∵四边形EPQG是矩形，∴PQ∥BE，∴△QPF∽△BEF，∴，∴，解得：t＝，∴当t＝时，四边形EPQG为矩形，故答案为；（3）当点Q在DF上，PF＝QF，如图所示，∵PF＝（8﹣t）cm，QF＝（10﹣2t）cm，∴8﹣t＝10﹣2t，解得：t＝2，当点Q在BF上，PF＝QF，如图所示，∵PF＝（8﹣t）cm，QF＝（2t﹣10）cm，∴8﹣t＝2t﹣10，∴t＝6，当点Q在BF上，PQ＝QF，如图所示，过点Q作QG⊥EF于点G，则GQ∥BE，∴△QGF∽△BEF，∴，∵PQ＝QF，∴GF＝PF＝（8﹣t），∴，∴t＝，当点Q在BF上，PQ＝PF，如图所示，过点P作PM⊥BF于点M，则∠PMF＝∠BEF＝90°，∵∠PFM＝∠BFE，∴△PFM∽△BFE，∴，∵PQ＝PF，∴MF＝QF＝（2t﹣10），∴，∴t＝，综上所述，t＝2或6或或时，△PQF是等腰三角形．20．解：（1）如图①中，结论：EF＝BF．理由：∵DE⊥CE，∴∠CED＝90°，∵∠CBD＝90°，CF＝DF，∴BF＝CD，EF＝CD，∴EF＝BF．故答案为：EF＝BF．（2）如图②中，结论：EF＝BF，EF⊥BF．理由：过点C作CT∥DE交EF的延长线于点T，连接BT，ET，延长DE交BC于点J，设AB交DJ于点K．∵CT∥DE，∴∠CTF＝∠DEF，∵∠CFT＝∠DFE，CF＝DF，∴△CFT≌△DFE（AAS），∴FT＝EF，CT＝DE，∵CT∥DJ，∴∠TCB＝∠DJB，∵∠AEK＝∠JBK＝90°，∠AKE＝∠JKB，∴∠EAK＝∠BJK，∴∠BCT＝∠BAE，∵AE＝DE，CT＝DE，∴CT＝AE，∵CB＝AB，∴△BCT≌△BAE（SAS），∴BT＝BE，∠CBT＝∠ABE，∴∠TBE＝ABC＝90°，∴△EBT是等腰直角三角形，∵FT＝EF，∴BF⊥EF，BF＝EF．（3）如图③﹣1中，当点E在BA的延长线上时，∵AB＝BC，AC＝3，∠ABC＝90°，∴AB＝AC＝3，∵AE＝2，∴BE＝5，∵△BFE是等腰直角三角形，∴EF＝AE＝如图③﹣2中，当点E在线段AB上时，同法可得EF＝，综上所述，满足条件的EF的长为或．。