数学北师大版九年级上册初三数学专题复习——分类讨论思想

00k k b ⎧⎪⎨⎪⎩+时时
点与直线的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与直线的位置关系。

三角形的分类、四边形的分类
【例题与练习】
少元？此所得税法修改前少纳税多少元？
(3)已知某人2006年9月激纳个人所得税a（0＜a＜200）元,求此人本月工资（未纳税）
是多少元？
9.已知：如图所示，直线l切⊙O于点C，AD为⊙O的任意一条直径，
点B在直线l上，且∠BAC=∠CA D(A D与AB不在一条直线上)，试
判断四边形ABCO为怎样的特殊四边形？
10. (1)抛物线2
22
y x bx
=+-经过点A (1，0)．
①求b的值；
②设P为此抛物线的顶点，B（a，0）（a≠1）为抛物线上的一点，Q是坐标平面内
的点．如果以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，试求线段PQ的长．(2)已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点，作一条射线，将矩形
分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于1
2
，
设梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积S关于x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
布置作业见学案
教后记。

《等腰三角形存在性问题-----分类讨论》基于课程标准的教学方案设计【课题】《等腰三角形存在性问题-----分类讨论》【教材来源】义务教育教科书北京师范大学出版社 2011年版【内容】九年级数学上册（北师大版）总复习【授课对象】九年级学生【目标确定的依据】1.基于课程标准的思考分类讨论是一种重要的数学思想，它能使复杂，难于解决的问题简单化，当问题的条件不具体而模棱两可时，通过分类讨论可以确定准确答案,同时提高周密严谨的数学素养.面向全体学生，着眼于学生中考，使学生会解决动点产生的等腰三角形存在性问题。

2.基于教材理解本节课内容是在学生全面复习后的二轮复习中的小专题学习，它既是对前面所学知识的综合应用，也是对这些知识的拓展与延伸，使学生更熟练运用数学分类讨论思想解决问题。

3.基于学情分析学生对于等腰三角形会三种情况讨论，但此类问题涉及知识比较广，很多学生不能求出最后结果，很有必要安排专题课引领，帮助他们分析，寻找解决问题的策略.【学习目标】1．在等腰三角形存在性问题的探究过程，用分类讨论的思想从不同角度分析思考问题，会等腰三角形存在性问题解决的多种方法。

2．会用等腰三角形问题的几何探究法和代数探究法解决有关数学问题。

.【学习重点】会总结解决等腰三角形存在性问题的方法步骤。

【学习难点】会解决动点产生的等腰三角形存在性问题。

（两个动点）【评价任务】1.借助小组讨论交流，能够归纳总结出等腰三角形存在性问题的代数几何多种解决问题方法。

2.会准确选用合理的方法解决等腰三角形存在性问题。

3.用观察、体验的方法总结分类讨论法解决等腰三角形存在性问题。

【学习资源准备】多媒体课件、班班通资源【教学环节】一、创设问题情境，导入新课知识回顾：前面我们学过等腰三角形，请同学们回忆一下相关性质，并谈谈我们在复习中遇到的动态等腰三角形有哪些类型？如何解决的？知识的掌握只能受益一时,而思想的形成，方法的掌握却受益终生！这句话都说明了方法的重要性。

初三（上）重点知识点汇总第1课 一元二次方程1. 一元二次方程的定义及一般形式：（1） 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

（2） 一元二次方程的一般形式：_________。

其中a 为二次项系数，b 为一次项系数，c为常数项。

注意：三个要点，①只含有一个未知数；②所含未知数的最高次数是2；③是整式方程。

2. 一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如2()(0)x a b b +=≥的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得x a +=或者x a +=∴x a =-±注意：若b<0，方程无解（2）配方法:用配方法解一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的一般步骤①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为2()(0)x m n n +=≥的形式；④用直接开平方法解变形后的方程。

注意：当0n <时，方程无解（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠ 根的判别式：_________________0∆>⇔方程有两个不相等的实根:x =240b ac -≥）⇔()f x 的图像与x 轴有两个交点0∆=⇔方程_____________实根⇔()f x 的图像与x 轴有一个交点0∆<⇔方程无实根⇔()f x 的图像与x 轴没有交点（4）因式分解法通过因式分解，把方程变形为(-)(-)0a x m x n =，则有=x m 或x n =。

步骤：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③另每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解救是原方程的根。

注：（1）因式分解常用的方法（提公因式、公式法、十字相乘法）在这里均可使用，其中十字相乘法是最方便、快捷的方法。

第五章《反比例函数》拓展《学会分类讨论》（北师大版初三上）【实践与探究】学会分类讨论在解数学题时，我们必须对咨询题的题设和结论进行认真认确实全面分析，必须考虑咨询题的各种可能情形，力求找到正确的、最正确的解题途径. 否那么，便有可能显现漏解，甚至错解. 因此，同学们应学会分类讨论. 下面我们通过对两道习题的分析解答，体会分类讨论的重要意义.咨询题一 如图5-4，直线y = 12x +2分不交x 、y 轴于点A 、C . P 是该直线上在第一象限内的一点，PB ⊥x 轴，B 为垂足，S △ABP = 9.设点R 与点P 在同一个反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 的右侧，作RT ⊥x 轴，T 为垂足，当△BRT 与△AOC 相似时，求点R 的坐标.分析 咨询题的关键是先求出点P 的坐标，在确定反比例函数的解析式之后， 再求点R 的坐标. 由于△BRT 与△AOC 相似有△RTB ∽△AOC 和△BTR ∽△AOC 两种可能，因此，此题应分两种情形进行讨论.解：设P 点的坐标为(x , y ) ( x > 0, y > 0). 由题设知，A 点的坐标为(-4,0)), B 点的坐标为(x,0). ∴ AB = x + 4, △ABP 的高为y, 那么()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅++=.9421,221y x x y 解那个方程组，得⎩⎨⎧==.3,2y x ()不合，舍去⎩⎨⎧-=-=.3,10y x∴ 点P 的坐标为(2,3).设反比例函数的解析式为 .xk y = ∵ 点P (2,3)在反比例函数的图象上 ∴ ,23k = 那么k = 6. 因此，反比例函数的解析式为 .6x y = 设点R 的坐标为〔m ，6m〕， 那么点T 的坐标为〔m, 0〕其中 m > 2，BT = m –2, RT = 6m.分两种情形讨论：① 当△RTB ∽△AOC 时，有 .OC TB AO RT = ∴ .2246-=m m 那么 m = 3, 或m = -1〔不合，舍去〕。

我的展示，我的作业
1、直角三角形的两边长分别为6和8，则此三角形的外接圆半径是________．
2、在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且
，则∠BCA的度数为____________．
3、如图，在矩形ABCD中，AD=，点E是AB边上的一点，AE=3，过D，E两点作直线PQ，与BC边所在的直线MN相交于点F．如果AE=3EB，点O是直线MN上的一个动点，以O为圆心作圆，使⊙O与直线PQ相切，同时又与矩形ABCD的某一边相切．问满足条件的⊙O有几个？并求出其中一个圆的半径．
4、如图，已知抛物线与轴交于点A、B，与轴
交于点C.
（1）点A坐标为_________；点B坐标为_________；点C坐标为_________；
（2）在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A，B重合），过P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．。

北师大版九年级数学上册知识点附常见题型解题技巧第一章特殊平行四边形1、菱形的性质与判定①菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

②菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

③菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

2、矩形的性质与判定①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。

矩形是特殊的平行四边形。

②矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。

（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）③矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

对角线相等的平行四边形是矩形。

四个角都相等的四边形是矩形。

④推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3、正方形的性质与判定①正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。

②正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）③正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。

④正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系⑤梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。

一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

⑥等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

夹在两条平行线间的平行线段相等。

在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章一元二次方程1、认识一元二次方程只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为ax 2 +bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。

把ax 2 +bx+c=0 （a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。

2021年九年级数学中考二轮专题思想方法复习——分类讨论思想一、分类思想：是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。

分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。

分类必须有一定的标准，标准不同分类的结果也就不同。

分类要做到不遗漏，不重复。

分类后，对每个类进行研究，使问题在各种不同的情况下，分别得到各种结论，这就是讨论。

分类讨论是对问题深入研究的思想方法，用分类讨论的思想，有助于发现解题思路和掌握技能技巧，做到举一反三，触类旁通。

二、引起分类讨论的原因主要有：1．涉及的数学概念是分类进行的2．涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的3．解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论4．某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等三、分类讨论的步骤：第一，确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围；第二，正确选择分类标准，合理分类；第三，逐类、逐段分类讨论；第四，归纳并做出结论。

四、主要分类有：1.数与代数中的分类2.几何中图形位置关系不确定的分类。

3.动点引起的分类（一）.数与代数中的分类1.概念中的分类例.1.|m-n| =n-m,且|m| =4,|n| =3,则(m+n)²=（）解∵|m| =4,|n| =3,所以 m=±4,n=±3,又∵|m-n| =n-m,所以 n-m ≥0,n ≥m. 当 n=3时,m 可能取的值为-4, (m+n)²＝1; 当 n=-3 时,m 可能取值为-4,则(m+n)²＝49, 所以(m+n)²的值是 49 或 1.小结：绝对值概念是一个需要分类讨论的概念,只有通过分类讨论后,得到的结论才是完整的,正确的,如不分类讨论,就很容易出现错误.练习．（1）已知||3,||2,0,x y xy x y ==<+=且则______（2）已知a ，b 为有理数，且ab>0，则 的值为( )2..(2009 年钦州)当 b ≠0 时,比较1+b 与1 的大小; 解∵b ≠0 时, ∴ b>0 或 b<0. 当 b>0 时,1+b>1; 当 b<0 时,1+b<1.小结：用分类讨论可以判断大小。

【实践与探索】学会分类讨论在解数学题时，我们必须对问题的题设和结论进行认真仔细的全面分析，必须考虑问题的各种可能情况，力求找到正确的、最佳的解题途径. 否则，便有可能出现漏解，甚至错解. 因此，同学们应学会分类讨论. 下面我们通过对两道习题的分析解答，体会分类讨论的重要意义.问题一 如图5-4，直线y = 12x +2分别交x 、y 轴于点A 、C . P 是该直线上在第一象限内的一点，PB ⊥x 轴，B 为垂足，S △ABP = 9.设点R 与点P 在同一个反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 的右侧，作RT ⊥x 轴，T 为垂足，当△BRT 与△AOC 相似时，求点R 的坐标.分析 问题的关键是先求出点P 的坐标，在确定反比例函数的解析式之后， 再求点R 的坐标. 由于△BRT 与△AOC 相似有△RTB ∽△AOC 和△BTR ∽△AOC 两种可能，因此，本题应分两种情况进行讨论.解：设P 点的坐标为(x , y ) ( x > 0, y > 0). 由题设知，A 点的坐标为(-4,0)), B 点的坐标为(x,0). ∴ AB = x + 4, △ABP 的高为y, 则()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅++=.9421,221y x x y 解这个方程组，得⎩⎨⎧==.3,2y x ()不合，舍去⎩⎨⎧-=-=.3,10y x∴ 点P 的坐标为(2,3).设反比例函数的解析式为 .xk y = ∵ 点P (2,3)在反比例函数的图象上 ∴ ,23k = 则k = 6. 所以，反比例函数的解析式为 .6x y = 设点R 的坐标为（m ，6m）， 则点T 的坐标为（m, 0）其中 m > 2，BT = m –2, RT = 6m.分两种情况讨论：① 当△RTB ∽△AOC 时，有 .OC TB AO RT = ∴ .2246-=m m 则 m = 3, 或m = -1（不合，舍去）。

北师大初三数学思想方法复习专题doc 初中数学一、考点，热点分析：深刻明白得函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础，运用方程思想解题可归纳为三个步骤：①将所面临的咨询题转化为方程咨询题；②解那个方程或讨论那个方程，得出相关的结论；③将所得出的结论再返回到原咨询题中去。

分类讨论的解题步骤一样是：〔1〕确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；〔2〕合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复 ；〔3〕逐步讨论，分级进行；〔4〕归纳总结作出整个题目的结论。

常用的转化策略有：与未知的转化；正向与反向的转化；数与形的转化；一样于专门的转化；复杂与简单的转化。

二、知识点归纳：常用的数学思想〔数学中的四大思想〕1.函数与方程的思想用变量和函数来摸索咨询题的方法确实是函数思想，函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。

2．数形结合思想在中学数学里，我们不可能把〝数〞和〝形〞完全孤立地割裂开，也确实是讲，代数咨询题能够几何化，几何咨询题也能够代数化，〝数〞和〝形 〞在一定条件下能够相互转化、相互渗透。

3．分类讨论思想在数学中，我们常常需要依照研究对象性质的差异。

分各种不同情形予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略 ，引起分类讨论的因素较多，归纳起来要紧有以下几个方面：〔1〕由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；〔2〕由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；〔3〕由于图形的不确定性引起的讨论；〔4〕由于题目含有字母而引起的讨论。

4.等价转化思想等价转化是指同一命题的等价形式.能够通过变量咨询题的条件和结论，或通过适当的代换转化咨询题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。

常用的数学方法要紧有换元法、配方法和待定系数法三种。

三、例题解析【例1】〔2004年北京市东城区〕解方程：(x+1)- -3x+1=2．解：设x ＋1＝y ，那么原方程化为y-3y=2去分母，得y 2-2y-3=0．解那个方程，得y 1=-1,y 2=3．当y ＝－1时，x ＋1＝－1，因此x ＝－2； 当y ＝3时，x ＋1＝3，因此x ＝2．经检验，x ＝2和x ＝－2均为原方程的解．〖点拨〗解分式方程通常是采纳去分母或还元法化为整式方程，并专门要注意验根。