高中数学选修2-1优质学案11：2.3.2 双曲线的简单几何性质

§2.3.2双曲线的简单几何性质(2)学习目标1．根据双曲线的方程研究曲线的几何性质；2．双曲线与直线的关系．学习过程一、课前准备复习1：说出双曲线的几何性质?复习2：双曲线的方程为221914x y-=，其顶点坐标是( )，( )；渐近线方程．二、新课导学※学习探究探究1：椭圆22464x y+=的焦点是？探究2：双曲线的一条渐近线方程是0x=，则可设双曲线方程为？问题：若双曲线与22464x y+=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是0x+=，则双曲线的方程是？※典型例题例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．例2点(,)M x y 到定点(5,0)F 的距离和它到定直线l :165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹．例3过双曲线22136x y -=的右焦点，倾斜角为30的直线交双曲线于,A B 两点，求,A B 两点的坐标．变式：求AB ？思考：1AF B ∆的周长？※ 动手试试练1．若椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=的焦点相同，则a =____.练2 ．若双曲线2214x y m-=的渐近线方程为y =，求双曲线的焦点坐标．三、总结提升※ 学习小结1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合；2．双曲线的另一定义；3．直线与双曲线的位置关系．※ 知识拓展双曲线的第二定义：到定点的距离与到定直线的距离之比大于1的点的轨迹是双曲线．学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．若椭圆2212516x y +=和双曲线22145x y -=的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ∙的值为（ ）．A ．212B ．84C ．3D ．21 2．以椭圆2212516x y +=的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ）． A. 2211648x y -= B. 221927x y -= C. 2211648x y -=或221927x y -= D. 以上都不对3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠12PFQ π=，则双曲线的离心率e 等于（ ）．1 B. C. 1 D. 24．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________. 5．方程22141x y k k+=--表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围 ．课后作业1．已知双曲线的焦点在x 轴上，方程为22221x y a b-=，两顶点的距离为8，一渐近线上有点(8,6)A ，试求此双曲线的方程．2．过点P （8，1）的直线与双曲线2244x y -=相交于A 、B 两点，且P 是线段AB 的中点，求直线AB 的方程。

2.3.2双曲线的简单几何性质【学习目标】1.通过方程，研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；2.掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；3.掌握双曲线的渐近线的求法. 【导入新课】 复习导入1.复习椭圆的几何性质，重点复习它的范围、对称性、离心率、和有关量，类比得到双曲线的有关性质；2. 双曲线的标准方程及其推导过程. 新授课阶段双曲线的简单几何性质①范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲线在不等式所表示的区域；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以为对称轴，为对称中心；③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做，焦点不在的对称轴叫做；④渐近线：直线叫做双曲线22221x y a b-=的渐近线；⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率（1e >）． 例1双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为（ ）A.0⎫⎪⎪⎝⎭B.0⎫⎪⎪⎝⎭C.0⎫⎪⎪⎝⎭D.)例2求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()3A -点的双曲线的标准方及离心率．【点评】这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为()22,0169x y m m R m -=∈≠. 例3 已知双曲线C :12222=-by a x (0,0)a b >>，B 是右顶点,F 是右焦点, 点A 在x 轴正半轴上，且满足 OA OB OF u u u r u u u r u u u r ||、||、||成等比数列,过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P . （1）求证：FP PA OPPA ⋅=⋅；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别相交于点D 、E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围. 课堂小结1.双曲线的几何性质的灵活运用；2.双曲线的渐近线的求法及其运用. 作业见同步练习部分拓展提升1．双曲线1322=-y x 的渐近线中，斜率较小的一条渐近线的倾斜角是（ ） Ａ．060 Ｂ．090 Ｃ．0120 Ｄ．01502．如果221||21x y k k+=---表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距C 的取值范围是（ ） A ．(1,＋∞) B ．（0，2） C ．(2,＋∞) D ．（1，2）3．已知对称轴为坐标轴的双曲线的一条渐近线为x －2y =0，则该双曲线的离心率为（ ）A 或 5B 或 3CD ．54 或54．过点（－7，－6 2 ）与（27 ，－3）的双曲线标准方程为.5．已知F 1，F 2是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0)的左、右两个焦点，点P 在双曲线右支上，O 为坐标原点，若△POF 2是面积为1的正三角形，则b 的值是.6． 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A.2B.3C.3＋12 D.5＋127． 已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为( )A ．－2B ．－8116C ．1D ．08． 双曲线x 216－y 29＝1上到定点(5,0)的距离是9的点的个数是( )A ．0B ．2C ．3D ．49． 双曲线2x 2－3y 2＝1的渐近线方程是________.10．在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(5,0)，e 1＝(2,1)、e 2＝(2，－1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P ，若OP →＝a e 1＋b e 2(a 、b ∈R )，则a 、b 满足的一个等式是________.11．双曲线的渐近线为y ＝±43x ，则双曲线的离心率为________.12．点M (x ，y )到定点F (5,0)距离和它到定直线l ：x ＝95的距离的比是53，(1)求点M 的轨迹方程；(2)设(1)中所求方程为C ，在C 上求点P ，使|OP |＝34(O 为坐标系原点).13．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点F (－2,0) .(1)求双曲线方程；(2)设Q 是双曲线上一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若|MQ →|＝2|QF →|，求直线l 的方程.——★参考答案★——新授课阶段双曲线的简单几何性质x a≤-，或x a≥x轴和y轴，原点实轴，虚轴；by xa=±ace=例1[解析]双曲线的222131,,,22a b c c====.[答案]C例2[答案]解：根据双曲线221169x y-=的渐近线方程为34y x=±.①焦点在x轴上时，设所求的双曲线为22221169x yk k-=，∵()3A-点在双曲线上，∴214k=-，无解；②焦点在y轴上时，设所求的双曲线为22221169x yk k-+=，∵()3A-点在双曲线上，∴214k=，因此，所求双曲线的标准方程为221944y x-=，离心率53e=.【点评】这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为()22R,0169x ym m m-=∈≠.例3[答案]解：（1）法一．:()al y x cb=--，(),,ay x cbby xa⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得2(,).a abPcc|OA → |,|OB → |,|OF → |成等比数列，PA →=（0，－ab c）法二：同上得2(,).a ab P c c0.PA x PA OP PA FP PA OF PA OP PA FP ∴⊥⋅-⋅=⋅=∴⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 轴．． （2）222222(),,a y x c bb x a y a b ⎧=--⎪⎨⎪-=⎩422222244422222222422221242244222222)2()0,()0,.,.2a b x x c a b b a a a c b x cx a b b b b a c a b b x x a b bb a b ac a a e e ∴--=-+-+=-+⋅=<-∴>>->∴>>Q （）．即（即．即 拓展提升1．[答案]C[解析]求出倾斜角的正切值. 2．[答案]A[解析]解不等式组.3．[答案]A[解析]由a,b 之间的关系转化成a,c 之间的关系.4．[答案]2212575x y -=[解析]待定系数法.5．[答案] 2 [解析]数形结合.6．[答案]D[解析]设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，设F (c,0)，B (0，b )，直线FB 的斜率为－bc ，与其垂直的渐近线的斜率为b a ，所以有－b 2ac＝－1，即b 2＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，两边同时除22222222(,),(,),,..a ab b ab OP FP c c c ca b a b PA OP PA FP c cPA OP PA FP ==-∴⋅=-⋅=-∴⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r以a 2可得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋52.7．[答案]A [解析] 由已知可得A 1(－1,0)，F 2(2,0)，设点P 的坐标为(x ，y )，则PA 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－x －2＋y 2，因为x 2－y 23＝1(x ≥1)，所以PA 1→·PF 2→＝4x2－x －5，当x ＝1时，PA 1→·PF 2→有最小值－2.故选A.8．[答案]C [解析] (5,0)是双曲线的右焦点，它到双曲线左顶点的距离为9，所以以(5,0)为圆心，以9为半径作圆，该圆与双曲线的右支有两个交点，所以共有3个这样的点. 9．[答案]y ＝±63x [解析] 双曲线2x 2－3y 2＝1的渐近线方程为2x ±3y ＝0，即y ＝±63x . 10．[答案]4ab ＝1 [解析] 易知双曲线Γ的方程为x 24－y 2＝1，设P (x 0，y 0)，又e 1＝(2,1)，e 2＝(2，－1)，由OP →＝a e 1＋b e 2，得(x 0，y 0)＝a (2，1)＋b (2，－1)，即(x 0，y 0)＝(2a ＋2b ，a －b )， ∴x 0＝2a ＋2b ，y 0＝a －b ， 代入x 24－y 2＝1整理得4ab ＝1.11.[答案]53或54 [解析] 当焦点在y 轴上时，a b ＝43，即9a 2＝16b 2＝16(c 2－a 2)，解得e ＝54；当焦点在x 轴上时，b a ＝43，即16a 2＝9b 2＝9(c 2－a 2)，解得e ＝53.12．[答案]解：(1)|MF |＝x －52＋y 2，点M 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －95，依题意，有x －52＋y2⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －95＝53， 去分母，得3x －52＋y 2＝|5x －9|，平方整理得x 29－y 216＝1，即为点M 的轨迹方程．(2)设点P 坐标为P (x ，y )， 由|OP |＝34得x 2＋y 2＝34，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29－y 216＝1，x 2＋y 2＝34，得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝－4或⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝4或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝－4，∴点P 为(32，4)或(－32，－4)或(－32，4)或(32，－4).13．[答案]解：(1)由题意可设所求的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有e ＝ca＝2，c＝2，所以a ＝1，则b ＝3，所以所求的双曲线方程为x 2－y 23＝1 .(2)因为直线l 与y 轴相交于M 且过焦点F (－2,0)， 所以l 的斜率一定存在，设为k ，则l ：y ＝k (x ＋2)， 令x ＝0，得M (0,2k )，因为|MQ →|＝2|QF →|且M 、Q 、F 共线于l ， 所以MQ →＝2QF →或MQ →＝－2QF →. 当MQ →＝2QF →时，x Q ＝－43，y Q ＝23k ，所以Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，23k ， 因为Q 在双曲线x 2－y 23＝1上，所以169－4k 227＝1，所以k ＝±212，所以直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)，当MQ →＝－2QF →时，同理求得Q (－4，－2k )代入双曲线方程得， 16－4k 23＝1，所以k ＝±352，所以直线l 的方程为y ＝±352(x ＋2) . 综上：所求的直线l 的方程为y ＝±212(x ＋2)或y ＝±352(x ＋2).。

选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》 2.3.2双曲线的简单几何性质第二课时：求双曲线的离心率例1.已知椭圆22221x y a b +=，则双曲线22221x y a b-=的离心率为例 2.已知12,F F 是双曲线22221x y a b-=的两个焦点，以线段12F F 为边作等边三角形12F PF ，若线段2PF 的中点在双曲线上，则该双曲线的离心率为例3. 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，若F 2H 的中点M 在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率为________．解：取双曲线的渐近线y ＝b a x ，则过F 2与渐近线垂直的直线方程为y ＝－ab(x －c )，可解得点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2c ，ab c ，则F 2H 的中点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2＋c 22c ，ab 2c ，代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1可得(a 2＋c 2)24a 2c 2－a 2b 24c 2b 2＝1，整理得c 2＝2a 2，即可得e ＝c a＝ 2. 例 4 已知点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -->>的右支上，双曲线两焦点为12F F 、，212||||PF PF 最小值是8a ，求双曲线离心率的取值范围。

解：222122222||(||2)4||48||||||PF PF a a PF a a PF PF PF +==++≥，由均值定理知：当且仅当2||2PF a =时取得最小值8a ，又2||PF c a ≥-所以2a c a ≥-，则13e <≤。

例5设点P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支上，双曲线两焦点12F F 、，12||4||PF PF =，求双曲线离心率的取值范围。

双曲线的几何性质[学习目标 ] 1.认识双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、极点、渐近线和离心率等.2.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.3.能差别椭圆与双曲线的性质.活动一知识梳理引入新课知识点一双曲线的几何性质x2y2y2x22－ 2＝12－ 2＝1标准方程a b a b(a>0， b>0)(a>0，b>0)图形范围对称轴： ________.对称性对称中心： ________.极点坐标性质实轴和虚轴线段 A1A2叫做双曲线的实轴；线段B1B2叫做双曲线的虚轴渐近线b a y＝± x y＝± xa b离心率e＝c， e∈ (1，＋∞ ) a知识点二等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做________.，它的渐近线是________.[思虑 ] (1) 椭圆与双曲线的离心率都是e，其范围同样吗？(2)若双曲线确立，则渐近线确立吗？反过来呢？活动二数学应用例 1 求双曲线 9y2－ 4x2＝－ 36 的极点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程 .例 2求合适以下条件的双曲线的标准方程：13(1)一个焦点为 (0,13)，且离心率为5；1(2) 渐近线方程为y＝± x，且经过点A(2，－ 3).2例 3直线 l 在双曲线x2－y2＝ 1 上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线 l 的方程 . 32例 4已知双曲线方程为2x2－y2＝2.(1) 过定点 P(2,1)作直线l 交双曲线于P1， P2两点，当点P(2,1) 是弦 P1 P2的中点时，求此直线方程；(2)过定点 Q(1,1)可否作直线 l，使 l 与此双曲线交于 Q1，Q2两点，且 Q 是弦 Q1Q2的中点？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明原因.活动三讲堂反应单22x － y＝ 1 的焦点到渐近线的距离为________.1.双曲线4122.双曲线 mx2＋ y2＝ 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 的值为 ________.x2y23.双曲线16－9＝ 1 的渐近线方程为 ____________.22x y4.已知双曲线C：a2－b2＝1的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则双曲线 C 的方程为____________.5.已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为极点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线 C 的离心率为 ________.活动四讲堂小结x2y21.渐近线是双曲线独有的性质.双方程联系亲密，把双曲线的标准方程a2－b2＝ 1(a>0 ， b>0)右侧的常数 1 换为 0，就是渐近线方程 .反之由渐近线方程ax±by＝0 变成 a2x2－b2y2＝λ(λ≠ 0)，再联合其余条件求得λ，可得双曲线方程 .2.正确画出几何图形是解决分析几何问题的第一打破口.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，并且较为精准，只需作出双曲线的两个极点和两条渐近线，就能画出它的近似图形 .题型一 已知双曲线的标准方程求其几何性质例 1 求双曲线 9y 2－ 4x 2 ＝－ 36 的极点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程 .2 2解 将 9y 2－4x 2＝－ 36 化为标准方程 x － y＝ 1，9422即 x 32－ y22＝ 1，∴ a ＝ 3，b ＝ 2， c ＝ 13.所以极点为 A 1(－ 3,0)， A 2(3,0) ，焦点为 F 1(－13， 0)，F 2( 13， 0)，实轴长 2a ＝ 6，虚轴长 2b ＝ 4，离心率 e ＝a c ＝ 313，b 2 渐近线方程为y ＝ ± x ＝ ± x.a3反省与感悟议论双曲线的几何性质，先要将双曲线方程化为标准形式，而后依据双曲线两种形式的特色获得几何性质.追踪训练 1 求双曲线 x 2－ 3y 2＋ 12＝ 0 的实轴长、 虚轴长、 焦点坐标、极点坐标、渐近线方程、离心率 .22解 将方程 x 2－ 3y2＋ 12＝0 化为标准方程 y 4 － 12x＝ 1，∴ a 2＝ 4， b 2＝12， ∴ a ＝2， b ＝ 2 3， ∴ c ＝ a 2＋ b 2＝ 16＝ 4.∴ 双曲线的实轴长 2a ＝ 4，虚轴长 2b ＝ 4 3.3焦点坐标为 F 1(0，－ 4)，F 2(0,4)，极点坐标为 A 1(0，－ 2)，A 2(0,2)，渐近线方程为 y ＝ ±3 x ， 离心率 e ＝2.题型二 依据双曲线的几何性质求标准方程例 2求合适以下条件的双曲线的标准方程：(1) 一个焦点为 (0,13)，且离心率为13； 51(2) 渐近线方程为y ＝ ± x ，且经过点 A(2，－ 3).2解(1)依题意可知，双曲线的焦点在 y 轴上，且 c ＝13，又 c ＝ 13， ∴ a ＝ 5， b ＝ c 2－a 2＝12，a 522故其标准方程为 25y － 144x ＝1.1(2) 方法一∵双曲线的渐近线方程为y ＝ ± x ，2若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为x 2 y 2b1 .①2 － 2＝ 1(a>0 ， b>0) ，则a ＝ab249∵ A(2，－ 3)在双曲线上， ∴ a 2－ b 2＝ 1.②联立 ①② ，无解 .若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为y 2 x 2a1 .③2 － 2＝ 1(a>0 ， b>0) ，则b ＝ab294∵ A(2，－ 3)在双曲线上， ∴ 2－ 2＝ 1.④ab联立 ③④ ，解得 a 2＝ 8， b 2＝ 32.22∴ 所求双曲线的标准方程为 y 8 － 32x＝ 1.方法二由双曲线的渐近线方程为1 x2 2y ＝± x ，可设双曲线方程为2－ y ＝ λ(λ≠ 0)，22∵ A(2，－ 3)在双曲线上，2∴ 22－ (－ 3)2＝ λ，即 λ＝－8. 22 2∴ 所求双曲线的标准方程为 y 8 － 32x＝ 1.反省与感悟 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法，当焦点地点明确时直接设出双曲线的标准方程即可，当焦点地点不明确时，应注意分类议论，也能够不分类议论直接把双曲线方程设成mx 2－ny 2＝1(mn>0)，进而直接求出来 .当双曲线的渐近线方程bx 2y 2为 y ＝ ±22a x 时，能够将方程设为 a －b ＝ λ(λ≠0).追踪训练 2依据条件，求双曲线的标准方程 .(1) 与双曲线 x 2 － y 2＝ 1 有共同渐近线，且过点 (－ 3， 2 3)；9 1622(2) 与双曲线 x － y＝ 1 有公共焦点，且过点 (3 2， 2). 16 4解(1)设所求双曲线方程为 x 2－ y 2＝ λ(λ≠ 0)，9 16由题意可知－ 322 3 21 9－16 ＝ λ，解得 λ＝ .422∴ 所求双曲线的标准方程为 x － y＝1. 9 44(2) 设所求双曲线方程为x 2 － y 2 ＝ 1(16－ k>0， 4＋ k>0) ，16－ k 4＋k∵ 双曲线过点 (3 2， 2)， ∴32 2－4＝1，16－k 4＋ k解得 k ＝ 4 或 k ＝－ 14(舍去 ).∴ 所求双曲线的标准方程为x 2 － y 2 ＝ 1.12 8题型三 直线与双曲线的地点关系例 3直线 l 在双曲线x 2－y 2＝ 1 上截得的弦长为4，其斜率为 2，求直线 l 的方程 .3 2解 设直线 l 的方程为 y ＝ 2x ＋ m ，y ＝ 2x ＋ m ，得 10x 2＋ 12mx ＋ 3(m 2＋2)＝ 0.(*) 由 x 2 y 2－ ＝1，3 2设直线 l 与双曲线交于 A(x 1， y 1) ，B(x 2， y 2)两点，由根与系数的关系，得 x 1＋ x 2＝－ 632＋ 2).5m ， x 1x 2＝ 10(m又 y 1＝ 2x 1＋ m ， y 2＝ 2x 2＋ m ，∴ y 1－ y 2＝ 2(x 1－ x 2)，∴ AB 2 ＝(x 1－ x 2)2＋ (y 1－ y 2)2＝ 5(x 1－ x 2) 2 ＝ 5[(x 1＋ x 2)2－ 4x 1x 2]36 2 －4×3 2＝ 5[m 10(m ＋2)].25∵ AB ＝ 4， ∴36m 2－ 6(m 2＋ 2)＝16. 5∴ 3m 2＝70， m ＝ ±2103.由 (*) 式得＝ 24m 2－ 240，把 m ＝ ±210代入，3210得 >0， ∴m 的值为 ± 3.210∴ 所求直线 l 的方程为 y ＝ 2x ± 3 .反省与感悟直线与双曲线订交的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转变成对于x或 y 的一元二次方程 .要注意根与系数的关系，根的鉴别式的应用 .若与向量相关，则将向量 用坐标表示，并找寻其坐标间的关系，联合根与系数的关系求解.2追踪训练 3设双曲线 C ：x2－ y2＝ 1(a>0) 与直线 l ： x ＋ y ＝ 1 订交于两个不一样的点A 、 B.a(1) 务实数 a 的取值范围；→ 5 →(2) 设直线 l 与 y 轴的交点为 P ，若 PA ＝PB ，求 a 的值 .12x 22解(1)将 y ＝－ x ＋ 1 代入双曲线方程a 2－ y ＝ 1(a>0) ，得 (1－ a 2)x 2＋ 2a 2x － 2a 2＝ 0.1－ a 2≠0，依题意有＝ 4a 4＋ 8a 2 1－ a 2 >0 ，所以 0< a< 2且 a ≠ 1.(2) 设 A(x 1 ，y 1)，B(x 2， y 2)，依题意得 P(0,1) ，→5 →5因为 PA ＝ 12PB ，所以 ( x 1， y 1－1)＝ 12(x 2， y2 －1).5由此得 x 1＝ 12x 2.2 222的两根，且 2≠ 0，因为 x 1， x 2 是方程 (1－ a )x ＋ 2a x － 2a ＝ 0 1－ a所以17x2＝－2a22，5x22＝－2a22. 121－ a121－ a消去 x2得－2a228917.2＝60.由 a>0，解得 a＝13 1－ a例 4已知双曲线方程为2x2－y2＝2.(1) 过定点 P(2,1)作直线l 交双曲线于P1， P2两点，当点P(2,1) 是弦 P1 P2的中点时，求此直线方程；(2)过定点 Q(1,1)可否作直线 l，使 l 与此双曲线交于 Q1，Q2两点，且 Q 是弦 Q1Q2的中点？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明原因.剖析(1) 点 P 是弦 P1P2的中点，其端点是直线与双曲线的交点，所以设出直线方程后，将其与双曲线方程构成方程组，联合根与系数的关系和中点坐标公式可求解.(2)先假定直线存在，将交点的坐标代入原曲线方程得方程组，再将中点坐标公式代入求出k 的值，得直线方程，最后与曲线方程联立，考证根的状况.解(1)若直线的斜率不存在，即P1 P2⊥x 轴，则由双曲线的对称性，知弦P1P2的中点在x 轴上，不行能是点P(2,1)，所以直线l 的斜率存在 .故可设直线l 的方程为y－ 1＝ k(x－ 2)，即 y＝ kx－ 2k＋ 1.2x2－ y2＝ 2，由消去 y 并化简，y＝ kx－2k＋ 1得 (2－ k2)x2＋2k(2k－ 1)x－ 4k2＋ 4k－ 3＝0.设直线 l 与双曲线的交点为P1 (x1， y1)， P2(x2，y2).①当 2－k2≠0，即 k2≠ 2 时， x1＋ x2＝－2k 2k－ 12 . 2－ k因为点 P(2,1)是弦 P1P2的中点，k 2k － 1所以－2－k 2＝2，解得 k ＝ 4.当 k ＝ 4 时，＝ 4k 2(2k －1) 2－4(2－ k 2)( － 4k 2＋ 4k － 3)＝ 280＞0.② 当 k 2＝ 2，即 k ＝ ± 2时，直线与双曲线渐近线的斜率相等，即斜率为双曲线不行能有两个交点.k ＝ ± 2的直线l 与综上所述，所求直线方程为y ＝ 4x － 7.(2) 假定这样的直线 l 存在，设 Q 1(x 1， y 1) ，Q 2(x 2， y 2) ，则 x 1＋ x 2＝ 1， y 1＋ y2＝ 1.22所以 x 1＋ x 2＝ 2，y 1＋ y 2＝2，且2x 12－ y 12＝ 2， 2x 22－ y 22＝ 2.两式相减，得 (2x 12－ 2x 22)－ (y 12－ y 22)＝0，所以 2(x 1－ x 2)( x 1＋ x 2)－ (y 1－ y 2)( y 1＋ y 2)＝ 0，所以 2(x 1－ x 2)－ (y 1－y 2)＝ 0.若直线 l ⊥ x 轴，则直线 l 与双曲线只有一个交点，不切合题意.所以直线 l 的斜率存在，故k ＝ y 1－ y 2＝ 2.x 1－ x 2所以直线 l 的方程为 y － 1＝ 2(x － 1)，即 y ＝ 2x － 1.y ＝ 2x － 1，由得 2x 2－ (2x －1)2＝ 2，2x 2 － y 2＝ 2，即 2x 2－ 4x ＋ 3＝ 0，得 ＝16－ 24＜ 0.这就是说，直线l 与双曲线没有公共点，所以这样的直线不存在.解后反省在此题的解答过程中，共有 3 次用到了分类议论思想：在 (1) 中，先对直线的斜率能否存在进行了议论，再对一元二次方程的二次项系数能否为零进行了议论；在 (2) 中，也对直线能否与 x 轴垂直进行了议论 .活动三讲堂反应单2 21.双曲线 x － y＝ 1 的焦点到渐近线的距离为 ________. 4 12答案23x 2 y 2分析∵双曲线 4 －12＝ 1 的一个焦点为 F(4,0) ，此中一条渐近线方程为 y ＝ 3x ，∴点 F(4,0)到 3x － y ＝ 0 的距离为4 3＝ 2 3.22.双曲线 mx 2＋ y 2＝ 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 的值为 ________.答案－14分析由双曲线方程 mx 2＋y 2＝ 1，知 m<0 ，则双曲线方程可化为y 2－ x 2＝ 1，则 a 2＝ 1， a ＝ 1，－ m 112又虚轴长是实轴长的2 倍， ∴ b ＝ 2，∴ － ＝ b ＝ 4，∴ m ＝－ 1.4223.双曲线 x－ y＝ 1 的渐近线方程为 ____________.16 9答案 3x ±4y ＝ 0分析 由x 2－y 2＝ 1 得 a 2＝ 16， b 2＝ 9，16 93∴ 渐近线方程为 y ＝±4x ，即 3x ±4y ＝0.2 2x y4.已知双曲线 C ： a 2 －b 2 ＝ 1 的焦距为 10，点 P(2,1)在 C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为____________.22答案x － y＝ 1 20 5x 2 y 24 122分析 双曲线 C 的渐近线方程为a2－b 2＝ 0，点 P(2,1)在渐近线上， ∴a 2－ b 2＝ 0，即 a ＝ 4b ，又 a 2＋ b 2＝ c 2＝ 25，解得 b 2＝5， a 2＝ 20.5.已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为极点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线 C 的离心率为 ________.答案6 2分析 设双曲线的焦点为 F 1(－c,0)， F 2(c,0)，虚轴两个端点为 B 1(0，－ b)， B 2(0， b)，∵ c>b ，∴ 只有 ∠B 1F 1B 2＝ 60°，∴ tan 30 ＝° b， ∴c ＝ 3b ，c2222c 3b 6又 a ＝ c － b ＝ 2b ，∴ e ＝ a ＝ 2b ＝ 2.活动四 讲堂小结x 2y 2 1.渐近线是双曲线独有的性质.双方程联系亲密，把双曲线的标准方程a 2－ b2＝ 1 (a>0， b>0)右侧的常数1 换为0，就是渐近线方程.反之由渐近线方程ax ±by ＝ 0 变成 a 2x 2 － b 2 y 2＝ λ(λ≠0)，再联合其余条件求得λ，可得双曲线方程.2.正确画出几何图形是解决分析几何问题的第一打破口.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，并且较为精准，只需作出双曲线的两个极点和两条渐近线，就能画出它的近似图形 .你曾落的泪，最都会成阳光，照亮脚下的路。