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双曲线的几何性质(2)

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双曲线的简单几何性质(二)(2)

双曲线的简单几何性质(二)(2)
四、点拨升华：
五、达标检测：
1.已知双曲线 的一条渐近线为 ，离心率 ，则双曲线方程为（ ）
A. B. C. D． .
2.已知双曲线 的左右焦点分别是 ， 是以 为圆心以 为半径的圆与该双曲线左支的两个交点,且 是等边三角形,则双曲线离心率是( )A. B. C. D.
3.翰林汇翰林汇翰林汇下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（ ）
二）渐近线与离心率的综合运用
例2.一双曲线的渐近线方程是 ；求双曲线的离心率
解：
反之若由离心率如何求渐近线的方程呢？
变式训练：一双曲线的离心率是 ；求双曲线的渐近线方程
解：
例3.已知双曲线的中心在原点，焦点 在坐标轴上，离心率为 且过点 ，
（1）求双曲线方程．
（2）若点 在双曲线上，求证 ．
（3）求 的面积
如果已知一双曲线的渐近线方程为 ，那么此双曲线方程就一定是： 或写成
(三)典型例题：
一）有共同渐近线的双曲线系方程及其运用
例1翰林汇.求下列双曲线的标准方程
1.若双曲线经过点 ，且渐近线方程是 ；
2.以 为渐近线，一个焦点是
变题：若把焦点坐标去掉，则方程怎么求？
3.与双曲线 有相同的渐近线且一个焦点为
课题
双曲线的简单几何性质（二）
主备
周绍健
复备
罗全明
课标要求
牢固掌握双曲线的性质，并能初步运用
(一)复习联想：
双曲线的几何性质：
标准方程
图
形
焦
点
焦
距
范
围
对称性
顶
点
轴
长
离心率
渐近
线Hale Waihona Puke 基础练习：1．已知双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则这条双曲线的离心率是

双曲线的简单几何性质(二)

双曲线的简单几何性质(二)

B′
25
B
9
根据下列条件，求双曲线方程: x2 y2 ⑴与双曲线 1 有共同渐近线，且过点 (3, 2 3) ； 9 16 2 2 x y 1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) ⑵与双曲线 16 4
分析:这里所求的双曲线方程易知是标准方程.
这里有两种方法来思考:
法一:直接设标准方程,运用待定系数法;
C′ A′ 0 y 13 C 12 A x
B′
25
B
7
B2
. .
B2 A2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线
x y 1 (a b 0) 2 2 a b
由此可知, PF右
x2 y2 3. P( x0 , y0 ) 是双曲线 2 2 1 上的任意一点到右焦点 F右 (c, 0) 的距 a b2 c
min
ca.
a 常数 e : x 离和它到定直线 的距离的比是__________. a c
那么反过来满足这个条件的点的轨迹是什么呢 ? 18
(动画演示) e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大 （4）等轴双曲线的离心率e= ? 2 , 反过来也成立. c、 e 四个参数中,知二求二. ⑸在 a 、b 、
e 增大时,渐近线与实轴的夹角增大.
c 2 2 2 e , a b c ∵ a
5
例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、 焦点坐标、离心率、渐进线方程.

2.2.2(二)双曲线的简单几何性质(二)

2.2.2(二)双曲线的简单几何性质(二)

2.2.2(二)
跟踪训练 3 设 A、B 分别是双曲线xa22－yb22＝1(a，b>0)的左、
右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3.
(1)求此双曲线的方程；
(2)已知直线 y＝ 33x－2 与双曲线的右支交于 D、E 两点，
本 讲 栏
且在双曲线的右支上存在点 C，使得O→D＋O→E＝mO→C，求
练一练·当堂检测、目标达成落实处
2.2.2(二)
2.已知双曲线xa22－by22＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1、
F2，过 F2 的直线交双曲线右支于 A，B 两点.若△ABF1
是以 B 为顶点的等腰三角形，且△AF1F2，△BF1F2 的面
本 讲
积之比 S△AF1F2∶S△BF1F2＝2∶1，则双曲线的离心率
本
讲
A.(x－5)2＋y2＝36
B.(x＋5)2＋y2＝36
栏 目
C.(x－5)2＋y2＝9
D.(x＋5)2＋y2＝9
开 关
解析 由双曲线ax22－y92＝1(a>0)得渐近线方程为 y＝±3ax，即
3x±ay＝0，∴a＝4，
∴c2＝a2＋9＝25，∴右焦点为(5,0). 又∵b2＝9，∴虚轴长 2b＝6. ∴所求圆的方程为(x－5)2＋y2＝36.
2.2.2(二)
题型一 直线与双曲线的位置关系
例 1 已知直线 y＝kx－1 与双曲线 x2－y2＝1 有且仅有一个
公共点，k 为何值？
本 讲 栏
解 由yx＝2－kyx2－＝11， ⇒(1－k2)x2＋2kx－2＝0.
目 开
当 1－k2≠0 时，即 k≠±1 时，
关 ∵直线和双曲线只有一个交点，

双曲线的简单几何性质(二)

双曲线的简单几何性质(二)

当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直 线方程代入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根本得不到一元二次方程 , 当然也就没有所 谓的判别式了 。
结论：判别式依然可以判断直线与双曲线的 位置关系 ！
判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相切
[2] l : y 4 x 1 , c : x2 y2 1 相 交
3
9 16
试一下:判别式情况如何?
一般情况的研究
显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的, 也就是相交.把直线方程代入双曲线方程,看 看判别式如何?
l : y b x m ,c: x2 y2 1
a
a2 b2
根本就没有判别式 !
Δ>0
直线与双曲线相交（两个交点）
Δ=0
直线与双曲线相切
Δ<0
直线与双曲线相离
注:
①相交两点:
△＞0
直线与双曲线只
同侧：x1 x2＞0 异侧: x1 x2 ＜0 相交一点: 直线与渐进线平行
有一个交点是直 线与双曲线相切 的必要不充分 条 件！
②相切一点: △=0
特别注意直线与双 曲线的位置关系中：
③相 离: △＜0
一解不一定相切， 相交不一定两解， 两解不一定同支。
判断下列直线与双曲线的位置关系：
[1] l : y 4 x 1,c : x2 y2 1; 相交(一个交点)
5
25 16
[2] l : y 5 x 1,c : x2 y2 1. 相离
4
25 16
题型一：直线与双曲线的位置关系
为三角形的三边。解决与这个三角形有关的问题，要充分 利用双曲线的定义和三角形的边角关系、正弦定理、余弦 定理。

2.3.2双曲线的简单几何性质(2)

2.3.2双曲线的简单几何性质(2)

§2.3.2双曲线的简单几何性质（2）编写：英德市第二中学，叶加修；审核：英西中学，刘东【学习目标】理解渐进线的概念，能根据双曲线的几何性质确定双曲线的标准方程【知识回顾】1、已知双曲线的焦点在x 轴上，方程为 ，两顶点的距离为8，一渐近线上有点A(8,6)，试求此双曲线的方程。

2.小结：【新知构建】双曲线的渐近线方程．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±a bx ，一般情况下，先求a 、b ，再写方程．两者容易混淆，可将双曲线方程中右边的“1”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程，这样就不至于记错了．(1) 若已知渐近线方程为mx ±ny ＝0，求双曲线方程．双曲线的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，可用下面的方法来解决．方法一 分两种情况设出方程进行讨论；方法二 依据渐近线方程，设出双曲线为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)，求出λ即可． (2)与x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)． 例1 求双曲线9y 2－4x 2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．例2 根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．(1)过点P (3，－2)，离心率e ＝52； (2)焦距为10，渐近线方程为y ＝±12x ； 小结：1by a x 2222=-【当堂练习】1．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( ) A ．2 B. 3 C. 2 D.322．设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±12x B ．y ＝±22x C ．y ＝±2x D ．y ＝±2x 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x ＋2y ＝0，则双曲线的离心率e 的值为( ) A.52 B.62C. 2 D ．2 4.已知双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，求双曲线的离心率．小结：【课后作业】1．设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若F 1，F 2，P (0，2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( ) A.32 B ．2 C.52D ．3 2．已知双曲线x 22－y 2b2＝1(b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，其中一条渐近线方程为y ＝x ，点P (3，y 0)在该双曲线上，则PF 1→·PF 2→＝( )A ．－12B ．－2C ．0D ．4 3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的实轴长、虚轴长、焦距长成等差数列，则双曲线的离心率e 为( )A ．2B ．3 C.43 D.534.双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0，两顶点间的距离为4，求双曲线的方程？。

双曲线的简单几何性质(经典)

双曲线的简单几何性质(经典)

双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -22b y ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x ｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且(4)＝1中的1(5)(6)e ＝2(7)注意：且λ（2）与椭圆2a +2b ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-2a -λ-2b ＝1(λ＜a 2,其中b 2-λ＞0时为椭圆，b 2＜λ＜a 2时为双曲线)（3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c(c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2，与椭圆相同.1、写出双曲线方程1254922-=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程2、已知双曲线的渐近线方程为x y 43±=，求双曲线的离心率3、求以032=±y x 为渐近线，且过点p （1,2）的双曲线标准方程4、已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为43，求双曲线的标准方程。

5、求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()23,3A -点的双曲线的标准方及离心率．【知识点2】弦长与中点弦问题（1）．直线和圆锥曲线相交时的一般弦长问题：一般地，若斜率为k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB ，A 、B 两点分别为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则弦长]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+=]4)[()11(11212212122y y y y ky y k -+⋅+=-⋅+=,这里体现了解析几何“设而不求”的（2）设A(x 1；对于y 2【变1变4】7、过双曲线2212y x -=的右焦点F 作直线l 交双曲线于A,B 两点,若|AB|=4,这样的直线有几条？【题型2】双曲线离心率的求法一、根据离心率的范围，估算e ：即利用圆锥的离心率的范围来解题，有时可用椭圆的离心率e ∈()01，，双曲线的离心率e >1，抛物线的离心率e =1来解决。

双曲线的简单几何性质(2)

2.3.1 双曲线的简单几何性质(2)
第2章 圆锥曲线与方程
复习 双曲线的标准方程与几何性质
双曲线定义
图形
方程 范围 对称性 顶点 焦点焦距 实轴、虚轴 渐近线 离心率 a,b,c 关系
一、焦点三角形、焦半径的最值
双曲线 x2 y2 1 上有一点 P 到右焦点的距离为 7 ，
9 16
则 P 到左焦点的距离等于_____
【练习】与圆 x2 y2 1以及圆 x2 y2 8x 12 0
都外切的圆的圆心在（ ）
A．一个椭圆上
B.双曲线的一支上
C.一个双曲线上
D.一个圆上
【思考】将“外切”变为“相切”？
教材54页B组第三题
作业
《小黄》
y2 b2
1 与直线 y
2x 有交点，
则其离心率的取值范围为
四、双曲线相关的轨迹问题（教材48页）
四、双曲线相关的轨迹问题(教材55页）
四、双曲线相关的轨迹问题
例 2.已知点 P 圆 M : (x 2)2 y2 4 上动点，
A(2,0)，线段 PA 的中垂线与直线 PM 交于点 Q， 求 Q 的轨迹方程
若椭圆xm2＋y2＝1(m>1)与双曲线xn2－y2＝1(n>0)有相同的焦点 F1，F2，
P 是两曲8 线的一个交点，则△F1PF2 的面积是( )
A．4 B6 ．2
C．1
1 D.2
4
P
2
5
F1
O
2
4
F2
5
10
15
20
二、通径
5
4
3
2
1
O
8
6
4

2.3.2双曲线的几何性质2

F1
B2
O
A1
B1
A2
F2
x
线围成一个矩形 图2.2 7 .
图2 . 2 7 b 直线的方程是 y x. a 2 2 x y 双曲线 2 2 1的各支向处延伸时 , 与这两 a b 条直线逐渐接近, 我们把这两条直线叫做
双曲线的渐近线 .
也就是说, 双曲线与它的 渐近线无限接近 但永远不相交 , .
作业:P41 习题 7、10
§ . 3. 2 双曲线的几何性质(2) 2
学习目标:
了解双曲线的渐近线和离心率
自学指导:
1.双曲线的渐近线是什么样的线?有几条? 2.如何画双曲线的草图? 3.双曲线的离心率与椭圆的有什么不同? 它 主要描述双曲线的什么特征? 自学检测：P41 练习 3
4 渐近线
信息技术应用
y
如图 , 经过 A1 , A2 作y轴的平 行线 x a, 经过 B1 , B2 作 x 轴的平行线 y b,四条直 矩形的两条对角线 所在的
x a x a b b 或 y x y x a a b b y x y x a a
y2 x2 2 1(a 0, b 0) 2 a b
y a y a b b 或 y x y x a a b b y x y x a a
y x 例1:求双曲线 2 2 1的离心率和 . 3 渐近线方程 4
2
2
例题2 :已知双曲线的中心在原 , 焦点在y轴上, 点 4 焦距为 , 离心率为 , 求双曲线的方程 16 . 3
双曲线的两个标准方程的几何性质与特征比较 焦点的位置 标准方程 范围

人教A版【选修1-1】课时教案：2.2.2双曲线的几何性质(2)


x 轴有两个交点
A (a,0) A2 (a,0) ，他们是双曲线
x2 y2 1 的顶点。 a2 b2
令 x 0 ，没有实根，因此双曲线和 y 轴没有交点。 1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶 点）， 双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段 A A2 叫做双曲线的实轴，它的长等于 2a, a 叫做双曲线 的实半轴长。 虚轴：线段 B B2 叫做双曲线的虚轴，它的长等于 2b, b 叫做双曲线 的虚半轴长。 在作图时，我们常常把虚轴的两 个端点画上（为要确定渐进线）， 但要注意他们并非是双曲线的顶点。 2、渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线， 这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。 在初中学习反比例函数 y 三角函数 y
c ，叫双曲线的离心率. a
感悟二： 4 有共同渐近线，且过点 M (2, 2) 的双曲
2 2
线的方程。
三、感悟方法练习：
1、双曲线的性质：
椭 标准方程 图 范 顶 象 围 点 感悟三： 圆 双 曲 线 不 同 点
对 称 性 渐 近 线 1、 课本 P 58 练习第 1，2 题
x2 y2 1 a2 b2
tan x ，渐近线是 x k (k Z ) 。
2
k 时提到 x 轴 y 轴都是它的渐近线。 高中 x
所谓渐近，既是 无限接近但永不相交 。 3、离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比 e= 说明：①由 c>a>0 可得 e>1； ②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.
课型：新授课
时间： 月
日
学习札记
〖学习目标及要求〗：

2.3.2双曲线的简单几何性质(二))

12
方程(2)的焦距___;虚轴长__;渐近线方程是
4x y 3 ________________
x2 y2 根据上述双曲线渐近线方程, 你能发现形如 2 2 1 a b 的双曲线渐近线方程是什么?有什么规律?
x y 0 a b
x2 y2 形如 2 2 l 的双曲线渐近线方程是 a b
双曲线的简单几何性质(二)
复习与回顾
方程 图形
o x
x2 y2 2 1(a , b 0) 2 a b
y
x2 y2 2 2 1(a , b 0) b a
y o x
顶点
对称 范围 焦点 离心率 渐近线
(±a , 0 ) ( 0, ±a ) x 轴、y 轴、原点 （ 原点是双曲线的中心 ） |x|≥a |y|≥a (±c , 0 )
( x c )2 y 2 a2 x c
a a2 解:∵点 M ( x, y) 到定直线 : x 的距离 d x , c c
MF ( x c ) y ,
2 2
MF c ∴ , a 2 b2 ,方程②化为
x2 y2 1② 方程①两边平方化简整理得 2 2 2 c a a 2 2
8 3 ，则该双曲线的方程为（ D ） 3 x2 y2 y2 x2 1 (C) x 2 1 (D) y 2 1 (A) y 2 1 (B) x 2 2 4 2 4
a2 直线 : x 是对应于焦点 F (c,0) 的一条准线, c
2
作业:课本 P B 组第 4 题
62
x2 y2 1 的左焦点 F1 作倾角为 的直线与双曲线 1.过双曲线 9 16 4
192 交于 A、B 两点，则|AB|= . 7
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1、中心在原点，一个顶点为A（ 3，0），
离心率为4 的双曲线方程是（） 3
A. x2 y2 1 B.7y2 x2 1
97
81 9
C y2 x2 1 D x2 y2 1或 7y2 x2 1
97
97
81 9
2.以椭圆x2 y2 1的焦点为顶点， 16 9
顶点为焦点的双曲线的方程是（）
4.中心在原点,实轴在x轴上,实轴长为2 3,
且两条渐近线夹角为600的双曲线方程是
A : x2 y2 1 3
B x2 y2 1 39
C. x2

y2
1或 x2
y2
1
12 36
12 4
D.x2 y2 1或 x2 y2 1
3
39
变
：求以y

3 4
x为渐近
线且
焦距为5的双曲线方程。
特殊的双曲线：
1、定义：实轴和虚轴等长的双曲线 叫做等轴双曲线。
2、等轴双曲线的标准方程：
1x2 y2 a2 2x2 y2 a2
3x2 y2 0
3、性质： 离心率e 2 渐近线方程为y x
42
2双曲线 x2 y2 1的渐近线方程为：
84
3双曲线x2 2y2 1的渐近线方程为：
4双曲线 x2 y2 1的渐近线方程为：
42
5双曲线 x2 y2 1的渐近线方程为：
16 8
？？上述求渐近线的过程中你 能发现什么规律？
与 x2
m2
y2 n2
1
双曲线的几何性质（2）
双曲线 焦点在x轴
焦点在y轴
标准方程 图形
x2 a2

y2 b2
1(a

0, b
0)
y2 x2 a2 b2 1(a 0, b 0)
范围 对称性 顶点 焦点 渐近线
离心率
x a或x a
x轴：实轴,y轴：虚轴
(± a,0）
(c,0), c a2 b2
x2 m2

y2 n2
λλ 0
具有相同的渐近线。
重新解答： （2）过点（-1，3）和双曲线
x2 4

y2 9
1 有共同的渐近线。
(3)以y 2 x为渐近线的双曲线不可能是() 3
A.4x2 9y2 1 B.9y2 4x2 1
C.4x2 9y2 λ(λR,且λ 0) D.9x2 4y2 1
yb x a
e>1
y a或y a y轴：实轴,x轴：虚轴
(0,±a)
(0,c), c a2 b2
xb y a
e>1
填空：龙门教案P136
例1：求适合下列条件的双曲线的 标准方程。
（1）过点(3,4)且虚轴长为实轴长的 2倍
（2）过点（-1，3）和双曲线 x2 y2 1 有共同的渐近线。
A x2 y2 1 16 9
C y2 x2 1 79
B x2 y2 1 9 16
D x2 y2 1 79
3.以
y


2 3
x为渐
近线的双曲
线不可能是(
)
A.4x2 9y2 1 B.9y2 4x2 1
C.4x2 9y2 λ(λR,且λ 0) D.9x2 4y2 1
例2：
1求实轴在x轴上，一个
焦点在直线3x 4y 12 0 上的等轴双曲线的标准方程。
2 求 经 过 点3 ， 1的 等 轴 双 曲
线方程。
例3：已知双曲线与椭圆 25x2 9y2 225有公共焦点， 且它们的离心率之和为2， 求双曲线方程。
小结：
希望大家能掌握与渐 近线有关的双曲线方程 的求法，掌握等轴双曲 线的有关知识。
说明：
1与双
曲
线
x2 m2
y2 n2
1m
0,n 0
共渐近线的双曲线方程可设为:
x2 m2
y2 n2
λλ 0
2以直线y


n m
x渐近
线的双
曲线
方程可设为:
x2 m2
y2 n2
λλ 0
练习：
求
以y

3 4
x为渐近线且
过点A 2 3,3 的双曲线方程。
49
1
x2 a2

y2 b2
1(焦点在x
轴上)
渐近线方程 y b x，x2 a a2
y2 b2
0
2
y2 a2

x2

1(
渐近线方程 y
焦

点

在y轴上)
a x， b
y a
2 2
x2 b2
0
练习：
1双曲线 x2

y2
y
2x 2
1 的 渐 近 线 方 程 为：