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2. 2.2双曲线的简单几何性质Hi［提出问龜］己知双曲线C1的方程：令一話=1・问题1：双曲线C1中的三个参数a, b, c的值分别为多少? 提示：3,4,5・问题2：试画出双曲线G的草图?提示：如图所示:问题3：观察双曲线G的图象，曲线与兀.J轴哪一条轴有交点？有无对称性?提示：与兀轴有交点，有对称性.［导入新知］1.双曲线的几何性质2.等轴双曲线卖轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线,它的渐近线是y = ±r ,离心率为e=2 .［祀解疑瑋］对双曲线的简单几何性质的几点认识⑴双曲线的焦点决定双曲线的位置.⑵双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性, 由双曲线的方程話一R=l（a>0』>0）,得缶=1+缶…••兀即兀W —a或x^a.(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然.2 2⑷对称性：由双曲线的方程寺一$=1(°>0,方>0),若巴,y)是双曲线上任意一点，则P1(—Xf j), p2(x, 一丿)均在双曲线上，因P与P1，卩2分别关于y轴、兀轴对称，因此双曲线分别关于y轴、x 轴对称.只不过双曲线的顶点只有两个，而椭圆有四个.离心率e=》=2渐近线方程为丿=±孑・［例1］求双曲线9J 2-4X 2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、 虚轴长、离心率和渐近线方程.2 2［解］双曲线的方程化为标准形式是奇一曽=1,又双曲线的焦点在兀轴上，.••顶点坐标为(一3,0), (3,0),焦点坐标为(-0), 0),实轴长5=6,虚轴长2b=4,题型一双曲线的几何性质［类题通法］已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中"，方的对应值，利用c2=a2+b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质•［活学活用］求双曲线9X2-16J2+144=0的实半轴长、虚半轴上长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出这个双曲线的草图.解：把方程9X2-16J2+144=0化为标准方程为由此可知，实半轴长“=3；虚半轴长方=4；c=Q/+，=Q9+i6=5,焦点坐标为(0，—5), (0,5)；c 5离心率e=-=~.渐近线方程为j=±|x=±|x. 双曲线的草图如图.［例2］求适合下列条件的双曲线的标准方程:3(2)顶点间距离为6,渐近线方程为丿=±尹.［解］⑴设双曲线的标准方程为由题意知2b = 12f 且/=/+方2,• •方^6, c 10> a ==8,・:双曲线的标准方程为右一話=1或右一冷=1・题型二 利用双曲线的几何性质求其标准方程(1)虚轴长为12, 离心率为才;—^2=1（«>0,方>0）・卅=13(2)设以y=±壬为渐近线的双曲线方程为X2 V2 孑_§=2(2工0)，当;l>0 时，a2=4x,当2V0 时，a2=—92,2a=2\[—91=6=>2 = — 1.2 j 2 2 2・・・双曲线的标准方程为奇一箸=1或牛一令=1・［类题通法］(1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定0,0的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得.再结合c2=a2+b2及列关于a, 〃的方程(组), 解方程(组)可得标准方程.(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y=±纭那么此双曲线方程2 2可设为京一話=皿工0)・［活学活用］分别求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线的标准方程:⑴双曲线C 的右焦点为（2,0）,右顶点为（迪，0）；⑶与双曲线x 2-2y 2=2有公共渐近线，且过点M （2, —2）・2 2解：⑴设双曲线的标准方程为》一話=1（">0,方>0）・由已知得羽，c=2,再由a 2+b 2=c 29 得 b 2=l.故双曲线C 的标准方程（2）由/=罟，得缶=罟，设/=9反仇>0）, ⑵双曲线过点（3,9边）, yip则c2=10k9 b2=c2—a2=k.2 2于是，设所求双曲线方程为話一十=1,①或立十1,② 把（3,9边）代入①，得k= — 161与E>0矛盾; 把（3,9边）代入②，得匸9,2 2故所求双曲线的标准方程为^-|=1.题型三双曲线的离心率r2(3)设与双曲线= 1有公共渐近线的双曲线方程为^—y2=k(k^G)922将点(2，_2)代入，得&=/—(—2)2=—2,2 2•:双曲线的标准方程J=l.3［例3］已知双曲线的渐近线方程为y=土孑，求此双曲线的离心率•［解］当焦点在兀轴上时，其渐近线方程为丁=±2, 依题意,得?=事c=\la2+b2=^a f依题意，得;=事c=*?+方2=|a,c_5当焦点在丿轴上时，其渐近线方程为y=±务,a=4;题型三双曲线的离心率c 5 5 5==・•••此双曲线的离心率为滅务［类题通法］求双曲线离心率的常用方法⑴依据条件求出4, C,计算(2)依据条件建立a, b, c的关系式，一种方法是消去b转化成离心率e的方程求解；另一种方法是消去c转化成含?的方程，求出2后利用求解.［活学活用］2 2已知F1，尸2是双曲线和一学=1@>0, 〃>0)的两个焦点，PQ 是经过Fi且垂直于兀轴的双曲线的弦，如果ZPF2Q=90° ,求双曲线的离心率.解:设F@0),将x=c 代入双曲线的方程得则尸±仔・曲PF2\ = \QF2^ ZPF22=90O,知IPFiUlFiFJ,••上=2c, :. b2=lac.a.\c2—lac—a2=Q9・©2 £..―_2X—_1=0.W a即e2—2e—1 = 0.••‘ = 1+边或e = l-y/2（舍去）. 所以所求双曲线的离心率为1+边・【典例］（12分）已知斜率为2的直线被双曲线¥_号=1所截得的弦长为4,求直线/的方程.［解题流程］帀结论•明解题方向I 市条件•挖解题信息I 理联系•找解题突破丨I［设直线5 = 2,T + —＞解方程组i i 2 2 ；:| 壬一 乂 = 1 :i 3 2 ”—两点间距离公［心=2丁+b ［I 式一求“ ：I［求直线方程，应确定I1直线在、轴上的截 I ［距bI油斜率为2可设直线方程为I 心=2工+人由弦长为4,利用 i 弦长公式可得关于“的等式,I ［求b 的值I［规范解答］设直线z的方程为y=2工+乩2 2直线I与双曲线計冷=1的交点为心，力）9心，力）・（疋一丄=］由3 2 —'化简得10* + 12心+3（/ + 2）=0,（3 分）I，= 2 .r+ b9rm】I _ 66 _ 3（/ + 2） / 彳△、则乂 1 + 乂 2 = 9 乜= E ・（4 分）•: 3J i —玄=（2』i + b）—（2 .r2 + E = 2（】：i — r2） , （5 分）由丨= 4 9得（羽一忑）"+ （$丄一）2）=®5（眄一K）"=16.（7 分）即5［（丿j + .Jt』—4*：i 丿2〕= 16 , （10 分），城卜晋卜炽警严］=16,解得心乎， +士率［名师批注］「篓蒋勿發裏「帚萎發羲金爲巫1• • p：标，由于含未知量b,求根较困: •«1难，因此据根与系数的关系求i•・•I .r.x'2 ・・••所求直线I的方程为）=2圧警.（12分）［活学活用］已知双曲线C： X2—于=1及直线？：y=kx—1.(1)若直线Z与双曲线C有两个不同的交点，求实数氐的取值范围.(2)若直线2与双曲线C两支交于A, B两点，O是坐标原点, 且ZkAOB的面积为边，求实数A:的值.消去y 整理，得(l—k2)x2+2kx—2=0.由题意知[/=4 疋+8(1_疋)>0,解得—y^2<k<^2且k^+1.所以实数疋的取值范围为(一边，-1)U(-14)U(1,(2)设Ji), B(X 29 乃)，又直线Z 恒过点1>(0, —1),且兀1兀2<0, 即1zpj 2+jzzp =8-解得 k=0 或疋=±乎, 由⑴知上述疋的值符合题意，所以k=0或k=± ； 解析：由题意知c=4,焦点在兀轴上, 所以2卜+1=/=4,2k由(1)得兀1+兀2= 一 ]_0 2兀1兀2=一匸则 S AOAB = S AO 4D + S'OBD2k 、W丿又由a2+Z>2=4«2=c2 = 16, 得/=4, b2=12.所以双曲线的方程为予一务=1・答案：A2-（新课标全国卷I）已知双曲线、5为；则C的渐近线方程为A 1A. y=±~x「丄1 C・尸土尹X2 v2C： ^2—^2=l(a>0,方>0)的离心率D. y=±x解析：因为双曲线缶一缶=1的焦点在兀轴上, 所以双曲线的渐近线方程为y=土令.所以号今所以双曲线的渐近线方程为J=土*. 答案：C3.已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴又离心率为仑=十=a a2+b 2长之比为5： 4,则双曲线的标准方程为_______________ .解析：由题意得双曲线的焦点在兀轴上, 且a=3,焦距与虚轴长之比为5： 4,即c ： b=5 ： 4,解得c=5, b=4,・•・双曲线的标准方程为于一舊=1.答案:中A, B 分别为直线与双曲线的交点，则L4BI 的长为 ______________ 解析：双曲线的左焦点为Fi （—2,0）, 将直线AB 的方程尸罟（兀+2）代入双曲线方程,得 8x 2—4x —13=0，显然 / >0・5.求适合下列条件的双曲线的标准方程:4.过双曲线F；=1的左焦点Fi ，作倾斜角为?的直线AB,其设 Ad ji ）, B （X 2,乃），/.x 1+x 2=|>L4BI=寸1 + 疋•寸（兀］+兀2）答案：3、5⑴过点（3,—羽）,离心率e=夕；（2）中心在原点，焦点Fi，尸2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P（4, —顶）.解：⑴若双曲线的焦点在兀轴上，设其标准方程为話一器=l（a>0, 〃>0）.因为双曲线过点（3, —边），9 2则2 一产1•①由①②得«2=1,沪=亍故所求双曲线的标准方程为x2-^=l.若双曲线的焦点在v轴上, 设其标准方程为缶一話=l(a>0, b>0). 同理可得沪=一号，不符合题意.综上可知，所求双曲线的标准方程为兀(2)由2a=2b得°=方所以可设双曲线方程为兀2_于=2（2工0）・•••双曲线过点P(4, -A/10),•••16—10=2，即2=6.・•・双曲线方程为X2-J2=6.2 2•••双曲线的标准方程为*1.^A F is 中！•»•M 一篠遢黛社終血弋。
