高中数学选修1课件：2.2.2双曲线的简单几何性质

双 曲 线 方 程4y 2－x 2＝4.
渐近线方程2 y x 0
能不能直接由双曲线方程得出它的渐近线方程？
x2 y2 a2 b2 0
( x y )( x y ) 0 a ba b
x y 0或 x y 0.
ab
ab
y＝ b x a
b2x2 a2y2 0
(bx ay)(bx ay) 0
e 74 5
y5x 7
例3．已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为16，离 心率是4/3，求双曲线的标准方程。
解：由题意得2c 16,
c 8. 又 c 4
a3 解得a 6,则
b2 c2 a2 82 62 28.
又 双曲线的焦点在y轴上 所求双曲线的标准方程为 y2 x2 1.
y2 a2
x2 b2
1
(a 0,b 0)
图象 范围
y
xa
o
或
x x a
y ya
或
o x y a
对称 性
顶点
渐近 线
离心 率
关于 坐标
(a,0) y b x
a
e c
轴和
a
原点
(其中
都对 称
(0,a) y a x c2 a2 b2)
b
小结
方程 a b c关系
图象
椭圆
双曲线
x2 a2
双曲线方程与其渐近线方程之间有什么规律?
双曲线方程 x2 y2 1 94
双曲线方程4 x2 9 y2 36
渐近线方程是y＝ 2 x 3
渐近线方程是x y 0. 32
渐近线方程是y＝ 2 x. 3
渐近线方程是2x 3 y 0.
双 曲 线 方 程x 2－4y 2＝4.
渐近线方程x 2 y 0
(2)定义式: e=－ca
x (3)范围: e>1 (c>a) (4)双曲线的形状与e的关系
kb a
c2 a2 a
e2 1
即:e越大,渐进线斜率越大, 其开口越阔.
y
L!
.
B
图形
A1
O
.L x A
方程
x2
a2 +
by22= 1
B1
(a>b>0)
范围 直线x= + a,和y=+b所围成的矩形里
对称性 关于X轴、Y轴、原点都对称。
e c (0 e 1) a
e c (0 e 1) a
焦点在x轴上的双曲线图像
Y
x2 y2 1
a2 b2
B2
F1
A1
A2
F2 X
B1
焦点在x轴上的双曲线的几何性质
• 双曲线标准方程：
双曲线性质：
x2 y2 a2 b2 1.
1、 范围： x≥a或x≤-a
2、对称性： 关于x轴，y轴，原点对称。
Y
1、范围： y≥a或y≤-a F2
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。 B2
3、顶点：B1（0，-a），B2（0，a）
4、轴：实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2 A1
o
5、渐近线方程： y a x
b
B
6、离心率：e=c/a
1
F2
A2 X
小结
性 双质 曲 线
x2 y2 a2 b2 1 (a 0,b 0)
结论：
bx ay 0或 bx ay 0
y＝ b x a
1)双
曲
线
x a
2 2
y2 b2
的渐
近
线
方
程是
x2 a2
y2 b2
0,即 x a
y b
0.
2)渐近线方程为 x a
y b
0的双
曲
线
方
程
是
x2 a2
y2 b2
..(
0)
例题讲解
例2:求双曲线 9y2 16x2 144的实半轴长,虚半轴长,
2.2.2《双曲线的简单几何性质》
教学目标
• 知识与技能目标 • 了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条
件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究 曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称 轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念； 掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决 实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定 义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步 见识圆锥曲线的统一定义．
y2 a2
x2 b2
1
1、 范围： y≥a或y≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。
3、顶点 B1（0，-a），B2（0，a）
A1
4、轴：实轴 B1B2 ; 虚轴 A1A2
5、渐近线方程：y a x b
6、离心率： e=c/a
Y F2 B2
o
B1
F2
X A2
例题1:求双曲线
9x2 16 y 2 144 的实半轴长,虚半轴长,
四.小结:
1.双曲线的几何性质: ①范围; ②对称 性; ③顶点; ④渐进线; ⑤离心率
2.几何性质的应用
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0)的点的轨迹.
Y Mx, y
2. 引入问题：
O
F1 c, 0
F2 c, 0 X
平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
一.复习引入
• 1.双曲线的定义是怎样的？
• 2.双曲线的标准方程是怎样的？
x2 y2 a2 b2 1
y2 x2 a2 b2 1
• 思考回顾 椭圆的简单几何性质 ？
①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率等 回想：我们是怎样研究上述性质的？
双曲线是否具有类似的性质呢?
一、双曲线的简单几何性质
定义:
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值
动 等于常数（小于︱F1F2︱） 的点的轨迹叫做双曲线.
画
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
注意
F1 o F2
• | |MF1| - |MF2| | = 2a
方程 图形
范围 对称性 顶点 离心率
x2 a2
baA2
B1
a
5.离心率:
(1)概念:
(2)定义式:
e=－c
a
(3)范围: e>1 (4)双曲线的形状与e的关系
x2 y2 a2 b2 1
kb a
c2 a2 a
e2 1
即:e越大,渐进线斜率越大,其开口越阔.
二. 应 用 举 例:
例1.求双曲线9y2– 16x2 =144的实半轴与虚 半轴长,焦点坐标,离心率及渐进线方程.
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程：
y2 x2 1 42 32
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c= 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率: e c 5
a4
渐近线方程:
即 y 4x 3
练习题:填表
标 准 方 x 2 8 y 2 32 程
2a
3、顶点 A1（-a，0），A2（a，0）
A1
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2
5、渐近线方程： y b x
6、离心率： e= c
a
a
Y B2
X A2
B1
焦点在y轴上的双曲线图像
Y
y2 a2
x2 b2
1
F2
A2
B1
O
B2
X
A1
F1
焦点在y轴上的双曲线的几何性质
• 双曲线标准方程：
双曲线性质：
y2 b2
1
y
B1
y2 a2
A2 x
x2 b2
1
B2
y B1
A1
x A2
B2
A1
a x a,b y b b x b,a y a
关于x轴，y轴，原点 对称。
关于x轴，y轴，原点对称。
A1 a,0, A2(a,0), B10,b, B20,bA10,a, A2(0,a), B1b,0, B2b,0
y
N QM
B2
A1 O
b a
A2
B1
1.范围:
两直线x=±a的外侧
x2.对称性:
关于x轴, y轴,原点对称
原点是双曲线的对称中心
x2 y2 1 a2 b2
对称中心叫双曲线的中心
一.双曲线的简单几何性质
y
N QM
B2
A1 O
b a
A2
B1
x2 y2 1 a2 b2
3.顶点::
x (1)双曲线与x轴的两个交A1(-a,0), A (a,0)叫双曲线的顶点
顶点 A(a,0) A(1-a,0),B(0,b),B1(0,-b) c
离心率 e= a (0<e<1)
准线
y
. B.
A1 o A x B1
一.双曲线的简单几何性质
1.范围:2.对称性:3.顶点: 实轴,虚轴
y
N QM
4.渐进线: (1)渐进线的确定:对角线
B2
b
(2)直线的方程: y=±－x
A1 O
例2.求一渐进线为3x+4y=0,一个焦 点为(5,0)的双曲线的标准方程.
• 例3：点M（x,y)到定点F（5， 0）的距离和它到定直线 l:x=16/5的距离的比是常数 5/4，求点M的轨迹。
• 例4：双曲线型冷却塔的外形，是双曲线 的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它 的最小半径为12m，上口半径为13m，下 口半径m，高为55m，试选择适当的坐标 系，求出此双曲线的方程。
顶点
4 2,0
焦点
6,0
离心率 渐进线
e 3 2 2
y 2 x 4
9x 2 y 2 81 x 2 y 2 4 x 2 y 2 1
49 25
6
4
10
18
4
14
|x|≥3
|y|≥2
|y|≥5
(±3,0)
3 10,0
ห้องสมุดไป่ตู้
(0,±2)
0,2 2
(0,±
5)
0,
74
e 10
y=±3x
e 2 y x
82
2b
4
9x2 y2 81 x2 y2 4
6
4
18
4
x2
y2
1
49 25
10
14
范围
|x|≥ 4 2
|x|≥3
|y|≥2
|y|≥5
顶点
4 2,0
(±3,0)
(0,±2)
(0,±5)
焦点
离心率 渐进线
6,0
e3 2 2
y 2x 4
3 10 ,0 0,2 2
e 10
e 2
y=±3x
焦点坐标,离心率.渐近线方程。
解：把方程化为标准方程
y2 42
x2 32
1
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3
半焦距c= 42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
离心率: e c 5
a
4
渐近线方程: y 4 x 3
1、填表
标准 程
2a
2b
范围
方 x 2 8 y 2 32
82
4
|x|≥ 4 2
6、离心率：e= ca b a
Y
B2
X
A2
B 1
思考：
（1）等轴双曲线的离心率e= ?2
离心率e 2的双曲线是等轴双曲线
( 2 ) e c , c2 a2 b2
a 在a、b、c、e四个参数中，知几可求几？
知二求二.
焦点在y轴上的双曲线的几何性质口答
• 双曲线标准方程：
y2 x2 a2 b2 1
|x|a,|y|≤b
|x| ≥ a，yR
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b)
长轴：2a 短轴：2b
对称轴：x轴，y轴 对称中心：原点
(-a,0) (a,0) 实轴：2a 虚轴：2b
e=
c a
( 0＜e ＜1 )
无
e= c (e1)
a
y =±
b a
x
例1.求下列双曲线的渐近线方程，并画出图像：
x y
0, 74
e 74 5
x7 y 5
复习回顾：
焦点在x轴上的双曲线的几何性质
双曲线标准方程：
x2 a2
y2 b2
1
1、范围：x≥a或x≤-a
2、对称性：关于x轴，y轴，原点对称。 3、顶点: A1（-a，0），A2（a，0） A1
4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2 5、渐近线方程： x y 0
x2 y2 1). 1
94
x2 y2 2). 1
94
解：1) a 2 9, b2 4
y
a 3, b 2
渐近线方程是y＝ 2 x 3
2)把方程化为标准方程 y2 x2 1
49
a2 4, b2 9a 2, b 3
0
x
渐近线方程是y＝ 2 x. 3
如何记忆双曲线的渐进线方程？
P56
• 过程与方法目标
• （1）复习与引入过程
• 引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的 方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线 的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质 的理解和应用，而且还注意对这种研究方法 的进一步地培养．①由双曲线的标准方程和 非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由 方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥 曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶 点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息 技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问 题；⑤探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心 率
2
(2)实轴:线段A1 A2 实轴长:2a 虚轴:线段B1 B2 虚轴长:2b
y
N Q
M
B2
A1
b A2
Oa
B1
4.渐进线:
(1)渐进线的确定:矩形的对角线
b
(2)直线的方程: y=±－a x
x 渐渐接近但永不相交
•
x2 a2
y2 b2
1
y
N Q
M
B2
A1
b A2
Oa
B1
5.离心率
(1)概念:焦距与实轴长之比
y2 b2
1（ a＞ b ＞0）
x 2 y 2 1 ( a＞ 0 b＞0)
a2 b2
c2 a 2 b 2 (a＞ b＞0) c2 a 2 b 2 (a＞ 0 b＞0)
y
M
Y p
F1 0
F2 X
F1 0
F2 X
图象
范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
y
M
F1 0 F2 X
Y F1 0
p F2 X
36 28
练习：P38 1、2
例4．已知双曲线的渐近线是 x 2 y 0 ，并且双曲线过点
M (4, 3) 求双曲线方程。
解： 过M点作直线x＝4与渐近线y＝ 1 x的交于Q（4,2)
2
3
M点在直线y＝