双曲线的几何性质(一)

x2 b2
1
的几何性质。
例1 求双曲线 9 y2 16 x2 144 的实半轴长和虚半轴长、
焦点坐标、离心率、渐近线方程。
y2
解：把双曲线化为标准式方程得：
x2
1
16 9
a 4,b 3 所以 c a2 b2 5
得实半轴长a 4，虚半轴长，b 3
焦点坐标是（0，-5），（0，5），离心率 e c 5 ， a4
渐近线方程: x 3 y， 4
，即
y4x 3
例2：双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其
虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m，上口半径为 13 m ，下口半径为25 m ，高为55 m 。选择适当的坐标
系，求此双曲线的方程。
解：以小圆直径 AA 为X轴， AA 的垂直平分线为Y轴建立
2
x2
等轴双曲线：
a
2
y2 a2
1
离心率 e
2
渐近线 y x
3
共轭双曲线： x2 a2
y2 b2
1
y2 b2
x2 a2
1
注意 （1）共轭双曲线是相互的；（2）a,b含义已发生改变； （3）把方程中的 1 改为 –1 即为共轭双曲线；（4）共轭双 曲线具有相同的渐近线。
根据以上问题，口述
y2 a2
双曲线的几何性质(一)
一：以
x2 a2
y2 b2
1, (a 0,b 0)
为例
1 范围： x a, y R
2 对称性：X，Y轴是对称轴，原点O是对称中心
3 顶点： A1(a,0), A2 (a,0)
4
渐近线：y b x a
注：渐近线是
x a
2 2
y2 b2
0 的两个解
以第一象限为例说明如下：
a4 b3
则 2c 10
a 4,b 3, c 5
得
y2 x2 1 16 9
c2 a2 b2
待定系数法
x2
（2）设双曲线方程为：
y2
k
9 16
把A（2，4）代入
得 22 42 k k 5
9 16
9
故 x2 y2 5 9 16 9
整理得所求双曲线方程为 y2 x2 1
例3 已知双曲线的渐近线方程为 4x 3y 0，求满足下列条
件的双曲线方程（1）焦距为10 ；（2）过点A（2，4）。
解
（1）如果焦点在X轴上，设其方程为：x
b4
a
2 2
y2 b2
1
则
a3
2c 10
a 3,b 4, c 5
得
x2 y2 1 9 16
c2 a2 b2
y2 x2
如果焦点在Y轴上，设其方程为： a2 b2 1
坐标系。 设双曲线方程为
x2 y2 a2 b2
1, (a 0,b 0)
令C（13，y），则 B（25，y-55），
13 2 12 2
y2 b2
1
把B、C两点坐标代入双曲线方程，得： 25 2 ( y 55)2 1
使用计算器求得，b 25m
12 2
b2
得所求双曲线方程为： x2 y 2 1 144 625
5
y离2 心 率b2：( axe22c1)
y
(e 1)
b a
x
e
1 (a)2 x
b x, (x ) a
越大双曲线开口越大
a
e2 c2 a2 b2 1 b2
a2
a2
a2
注释：
1 A1(a,0), A2 (a,0) 称为实轴端点，A1A2 叫双曲线的实轴
B1(0,b), B2 (0,b) 称为虚轴端点，B1B2 叫双曲线的虚轴
P
R
Q
o
N
x
F2
NF1 NF2 2a
说明N点在双曲线上，故N点为双曲线的顶点。
作业：Ｐ61Ａ组３、4 ， P80 A组10
ຫໍສະໝຸດ Baidu
80 5
待
9
定 系
所求双曲线也可设为 16 x2 9 y2 k
数 法
设P是双曲线
x2 a2
y2 b2
1
上一点，F1, F2 是其左右焦点，
求证：PF1F2 的内切圆切实轴于顶点
y
证：设 PF1F2 的内切圆与X轴切于点N
切 PF1 于R 切 PF2 于Q
F1
则 PF1 PF2 RF1 QF2