下载文档原格式
2.3.2 双曲线的简单几何性质（第2课时）（杨军君）一、教学目标（一）学习目标1.掌握双曲线的几何性质，能利用几何性质解决实际问题；2.掌握直线与双曲线的位置关系的判断.（二）学习重点1.双曲线的几何性质；2.双曲线各元素之间的相互依存关系.（三）学习难点1.双曲线的离心率、渐近线问题；2.直线与双曲线位置关系.二、教学设计（一）预习任务设计1.预习任务（1）读一读：阅读教材第59页至第61页.（2）想一想：直线与双曲线的问题关系有哪些？如何判定？（3）写一写：与22221(0,0)x y a b a b-=>>共焦点的双曲线方程：22221()()x y a b λλ-=+-. 与22221(0,0)x y a b a b-=>>共渐近线的双曲线方程：2222x y a b λλ-=≠（0）. 2.预习自测1.下面说法正确的是（ ）A.若直线与双曲线交于一点，则直线与双曲线相切.B.过点(1,0)A 作直线l 与双曲线221x y -=只有一个公共点，这样的直线可作2条.C.直线:l y x =与双曲线22:12y C x -=有两个公共点.D.过双曲线外一点可以作双曲线的两条不同切线.答案：C解析：【知识点】直线与双曲线的位置关系【解题过程】直线与双曲线交于一点，两者可能是相切，也可能是相交，故A 错误；过(10)A ，且与渐近线平行的直线也与双曲线221x y -=只有一个交点，故B 错误；过原点不能作任何直线与双曲线相切，故D 错误.点拨：直线与双曲线问题需注意考虑特殊情况，比如与渐近线平行的直线等等.（二）课堂设计1.知识回顾复习双曲线的几何性质：（1）范围：由双曲线的标准方程得，222210y x b a=-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥.这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域；（2）对称性：由以-x 代x ，以-y 代y 和-x 代x ，且以-y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；（3）顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；（4）渐近线：直线b y x a =±叫做双曲线22221x y a b-=的渐近线； （5）离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比ac e =叫做双曲线的离心率（e >1）. 【设计意图】为准确地运用新知，作必要的铺垫.2.新知讲解探究一：方程与几何性质●活动① 师生互动，深入理解问题1：椭圆22464x y +=的焦点是？问题2：双曲线的一条渐近线方程是0x =，则可设双曲线方程为？ 问题3：若双曲线与22464x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是。
课题： 2.2.2双曲线的几何性质（2）
〖学习目标及要求〗：
1、学习目标：（1）能用对比的方法分析双曲线的范围、对称性、顶点
等几何性质，并熟记之；；
（2）掌握双曲线的渐近线的概念和证明；
（3）能根据双曲线的几何性质，确定双曲线的方程并解
决简单问题。
2、重点难点：双曲线的范围、对称性、顶点和渐近线。
3、高考要求：双曲线的几何性质在解题中的灵活运用。
4、体现的思想方法：类比、设想。
5、知识体系的建构：圆锥曲线体系的建构。
〖讲学过程〗： 一、预习反馈:
二、探究精讲:
以双曲线标准方程122
22=-b
y a x 为例进行说明双曲线的顶点、渐近
线和离心率。
1、顶点：在双曲线122
22=-b
y a x 的方程里，对称轴是,x y 轴，所
以令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x 轴有两个交点
)0,()0,(2a A a A -，他们是双曲线
122
22=-b
y
a x 的顶点。
令0=x ，没有实根，因此双曲线和y 轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），
双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段2A A 叫做双曲线的实轴，它的长等于2,a a 叫做双曲线的实半轴长。
虚轴：线段2B B 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,b b 叫做双曲线的虚半轴长。
在作图时，我们常常把虚轴的两个端点画上（为要确定渐进线），但要注意他们并非是双曲线的顶点。
2、渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，
这两条直线即称为双曲线的渐近线。
从图上看，双曲线122
22=-b
y a x 的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
在初中学习反比例函数x
k
y =
时提到x 轴y 轴都是它的渐近线。
高中三角函数tan y x =，渐近线是)(2
Z k k x ∈+=π
π。
所谓渐近，既是无限接近但永不相交。
3、离心率：
双曲线的焦距与实轴长的比e =a
c
，叫双曲线的离心率.
说明：①由c >a >0可得e >1；
②双曲线的离心率越大，它的开口越阔.
探究二：
课本51页例3
双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（见课本），它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高55m ，选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m ）
探究三：
例3．求与双曲线2
2
44x y -=有共同渐近线，且过点(2,2)M 的双曲线的方程。
三、感悟方法练习：
1、双曲线的性质：
椭 圆
双 曲 线
不 同 点
标准方程 图 象 范 围 对 称 性 顶 点 渐 近 线
1、 课本58P 练习第1，2题
〖备选习题〗：
A 组
1、求与双曲线2
2
44x y -=有共同渐近线，且过点(2,2)M 的双曲线的方程。
B 组
1. 双曲线12222=-b y a x 的离心率为1e ，双曲线122
22-=-b
y a x 的离
心率为2e ，则21e e +的最小值是（ ）
A ．2
B ．2
C ． 22
D ．4
2. 求证：双曲线2222x y a b λ-=（0λ≠）与双曲线22
221x y a b
-=有
共同的渐近线。
