高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介学案新人教A选修4_42

四柱坐标系与球坐标系简介1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R.(2)空间任意一点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.[例1] (1)设点A 的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标． (2)已知点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，8，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用变换公式求解．[解] (1)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＝x 2＋y 2，z ＝z ，即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2. tan θ＝yx ＝3，又x ＞0，y ＞0.∴θ＝π3，∴点A 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，5. (2)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得x ＝4cos π3＝2，y ＝4sin π3＝23，z ＝8.∴点P 的直角坐标为(2,23，8)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z求ρ，也可利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx 求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标.1．已知点M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标． 解：ρ＝x 2＋y 2＝02＋12＝1.∵x ＝0，y ＞0，∴θ＝π2，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，2. 2．将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标． (1)⎝⎛⎭⎫2，π6，1；(2)⎝⎛⎭⎫6，5π3，－2；(3)()1，π，0. 解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭⎫2，π6，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，z ＝1，∴(3，1,1)为所求．(2)∵(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭⎫6，5π3，－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝6cos 5π3＝3，y ＝ρsin θ＝6sin 5π3＝－33，z ＝－2，∴(3，－33，－2)为所求．(3)∵(ρ，θ，z )＝(1，π，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝cos π＝－1，y ＝ρsin θ＝sin π＝0，z ＝0，∴(－1,0,0)为所求.[例2] (1)已知点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，3π4， π4，求它的直角坐标； (2)已知点M 的直角坐标为(－2，－2，－22)，求它的球坐标． [思路点拨] 直接套用坐标变换公式求解． [解] (1)由坐标变换公式得， x ＝r sin φcos θ＝4sin3π4cos π4＝2， y ＝r sin φsin θ＝4sin 3π4sin π4＝2，z ＝r cos φ＝4cos 3π4＝－22，故其直角坐标为(2,2，－22)． (2)由坐标变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－2)2＋(－2)2＋(－22)2＝4. 由r cos φ＝z ＝－22，得cos φ＝－22r ＝－22，φ＝3π4. 又tan θ＝y x ＝1，则θ＝5π4(M 在第三象限)，从而知M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，3π4，5π4.由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝zr来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置．3．将下列各点的球坐标分别化为直角坐标． (1)⎝⎛⎭⎫2，π6，π3；(2)⎝⎛⎭⎫6，π3，2π3. 解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎫2，π6，π3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝2sin π6cos π3＝12，y ＝r sin φsin θ＝2sin π6sin π3＝32，z ＝r cos φ＝2cos π6＝3，∴⎝⎛⎭⎫12，32，3为所求．(2)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎫6，π3，2π3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos 2π3＝－332，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin 2π3＝92，z ＝r cos φ＝6cos π3＝3，∴⎝⎛⎭⎫－332，92，3为所求．4．求下列各点的球坐标．(1)M (1，3，2)；(2)N (－1,1，－2)． 解：(1)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋(3)2＋22＝2 2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝222＝22，∴φ＝π4，又tan θ＝y x ＝31＝3，x ＞0，y ＞0，∴θ＝π3，∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，π4，π3. (2)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－1)2＋12＋(－2)2＝2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝－22，∴φ＝3π4.又tan θ＝y x ＝1－1＝－1，x ＜0，y ＞0，∴θ＝3π4，∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4，3π4.一、选择题1．在球坐标系中，方程r ＝2表示空间的( ) A ．球 B ．球面 C ．圆D ．直线解析：选B r ＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面．2．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，π3，3 B.⎝⎛⎭⎫2，2π3，3 C.⎝⎛⎭⎫2，4π3，3 D.⎝⎛⎭⎫2，5π3，3 解析：选C ρ＝(－1)2＋(－3)2＝2，∵tan θ＝y x ＝3，x <0，y <0，∴θ＝4π3，又z＝3，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，4π3，3. 3．若点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫8，π3，5π6，则它的直角坐标为( ) A ．(－6,23，4) B ．(6,23，4) C ．(－6，－23，4)D ．(－6,23，－4)解析：选A 由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π3＝4，得点M 的直角坐标为(－6,23，4)．4．若点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，3π4，π6 B.⎝⎛⎭⎫22，π4，π6C.⎝⎛⎭⎫22，π4，π3D.⎝⎛⎭⎫22，3π4，π3 解析：选A 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，则r ＝(3)2＋12＋(－2)2＝22， 由22cos φ＝－2得φ＝3π4， 又tan θ＝13＝33，x >0，y ＞0，得θ＝π6，∴点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π4，π6.故选A. 二、填空题5．点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫4，π6，3，则点P 到原点的距离为________． 解析：x ＝ρcos θ＝4cos π6＝23，y ＝ρsin θ＝4sin π6＝2.即点P 的直角坐标为(23，2,3)，其到原点的距离为(23－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝25＝5.答案：56．点M (－3，－3,3)的柱坐标为________． 解析：ρ＝x 2＋y 2＝(－3)2＋(－3)2＝32，∵tan θ＝－3－3＝1，x <0，y <0，∴θ＝5π4，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫32，5π4，3. 答案：⎝⎛⎭⎫32，5π4，3 7．已知点M 的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r ，φ，θ)，则tan φ＝________，tan θ＝________.解析：如图所示，tan φ＝x 2＋y 2z ＝53，tan θ＝y x ＝2.答案：532 三、解答题8．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求点M 的柱坐标与球坐标． 解：由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2， ∵tan θ＝y x ＝1，x >0，y >0，∴θ＝π4.r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2. 由r cos φ＝z ＝2(0≤φ≤π)，得cos φ＝2r ＝22，φ＝π4. 所以点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，2，球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π4. 9．已知点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，3，点N 的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π2，求线段MN 的长度． 解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，由变换公式得，x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1，z ＝3，∴点M 的直角坐标为(1,1,3)，设点N 的直角坐标为(a ，b ，c )， 则a ＝ρsin φ·cos θ＝2×22×0＝0，b ＝ρsin φ·sin θ＝2×22×1＝2，c ＝ρcos φ＝2×22＝2，∴点N 的直角坐标为(0，2，2)．∴|MN |＝12＋(1－2)2＋(3－2)2＝15－8 2.10.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系A -xyz ，以Ax 为极轴．求点C 1的直角坐标，柱坐标以及球坐标．解：点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由坐标变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎨⎧ρ＝2，tan θ＝1，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33.结合图形，得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2.所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，1，球坐标为⎝⎛⎭⎫3，φ，π4，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.。

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四 柱坐标系与球坐标系简介教学目的：知识目标:了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法能力目标:了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。

德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。

教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系教学难点：利用它们进行简单的数学应用授课类型：新授课教学模式:启发、诱导发现教学。

教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境：我们用三个数据来确定卫星的位置,即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。

问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？学生回顾在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理二、讲解新课：1、球坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP,记| OP ｜=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ,P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为ϕ，点P 的位置可以用有序数组),,(ϕθr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)有序数组),,(ϕθr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0,0≤θ≤π，0≤ϕ＜2π。

四柱坐标系与球坐标系简介互动课堂重难突破本课时的重点与难点均为对柱坐标系、球坐标系概念的理解及简单应用.一、柱坐标系1.定义:如图,建立空间直角坐标系O—xyz，设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标.这时点P的位置可用有序数组(ρ,θ,z)(z∈R)表示.这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ,θ,z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ,θ,z)叫做点P 的柱坐标，记作P(ρ,θ,z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π,-∞<z<+∞.2.空间点P的直角坐标(x,y,z)与柱坐标(ρ,θ,z)之间的变换公式为⎪⎩⎪⎨⎧===.,cos,coszzyxθρθρ二、球坐标系1.定义:如图,建立空间直角坐标系O—xy z，设P是空间任意一点，连结OP，记|OP|=r,OP 与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示.这样，空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r,φ,θ)叫做点P的球坐标，记作P(r,φ,θ)，其中r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π.2.空间点P的直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为⎪⎩⎪⎨⎧===.cos,sinsin,cossinϕθϕρθϕρrzryrx3.球坐标系在地理学、天文学中有着广泛的应用.在测量实践中，球坐标中的角θ称为被测点P(r,φ,θ)的方位角，90°-φ称为高低角.可以看出,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的.在直角坐标系中，我们需要三个长度：(x,y,z)，而在球坐标系与柱坐标系中，我们需要长度，还需要角度.它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要(ρ,θ,z )或者(r ,φ,θ).三种坐标系互相不同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画空间一点的位置,只是描述的角度不同.至此,我们已经学习了数轴、平面直角坐标系、平面极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系、球坐标系等知识,可以看到坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化.不同的坐标系有不同的特点，在实际应用时，我们就可以根据问题的特点选择适当的坐标系，借助坐标系方便、简捷地研究问题.三、在实际问题中的应用在球坐标系中，它的三度实际上也是我们所熟悉的，它与前面所学的球的一些基本知识是有着密切联系的.我们得熟悉这部分内容.1.经线与经度： 地球球面上从北极到南极的半个大圆叫做经线，规定经过英国格林威治天文台旧址的经线为0°经线.一个地方的经度是指经过当地经线的所在半平面和0°经线所在半平面之间的夹角的度数，以0°经线为基准，向东度量的为东经，向西度量的为西经.如东经30°、西经60°等.2.纬线与纬度：与地轴（通过北极和南极的直线）垂直的平面截地球球面所得的圆叫做纬线，其中大圆叫做赤道.一个地方的纬度是指当地与球心的连线和地球赤道平面之间所成的角的度数，赤道为0°纬线,以赤道为基准，向北度量为北纬，向南度量为南纬.如北纬25°、南纬23.5°等.活学巧用【例1】一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区,…,十六区，我们设圆形体育场第一排与体育中心的距离为500 m ，每相邻两排的间距为1 m ，每层看台的高度为0.7 m ，现在需要确定第九区第四排正中的位置A ，请建立适当的坐标系，把点A 的坐标求出来.解:以圆形体育场中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系.则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为504 m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转1617π,就是OA 在地平面上的射影.A 距地面的高度为2.8 m ，因此我们可以用柱坐标来表示点A 的准确位置.∴点A 的柱坐标为(504,1617π,2.8) 点评:找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径、极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点的空间中的高度.【例2】经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标.解:在赤道平面上，选取地球球心为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立球坐标系,如图.由已知航天器位于经度80°，可知θ=80°，由航天器位于纬度75°，可知φ=90°-75°=15°，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r =2 384+6 371=8 755千米.∴点P 的球坐标为(8 755 km,15°,80°).【例3】 已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的边长为AB =14,AD =6,AA 1=10,以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB 、AD 、AA 1分别为Ox 、Oy 、Oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C 1的空间直角坐标、球坐标、柱坐标.解析:如图,此题是考查空间直角坐标、球坐标、柱坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找到它们的相同和不同来.C 1点的(x ,y ,z )分别对应着CD 、BC 、CC 1,C 1点的(ρ,θ,z )分别对应着AC 、∠BAC 、CC 1，C 1点的（r ,φ,θ)分别对应着AC 1、∠A 1AC 1、∠BAC .解:C 1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C 1点的柱坐标为(232,arc t a n73,10)，C 1点的球坐标为(232,arc cos 33210,arc t a n 73). 点评:应当注意,在球坐标系中,当点P 在z 轴上,θ不确定;点P 与坐标原点O 重合,φ与θ都不确定.。

四 柱坐标系与球坐标系简介一、基础达标1.在空间直角坐标系中，点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，3，P 在xOy 平面上的射影为Q ，则Q点的坐标为( ) A.(2，0，3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0 解析 由点的空间柱坐标的意义可知，选B. 答案 B2.空间直角坐标系Oxyz 中，下列柱坐标对应的点在平面yOz 内的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，0C.⎝⎛⎭⎪⎫3，π4，π6 D.⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，π2 解析 由P (ρ，θ，z )，当θ＝π2时，点P 在平面yOz 内.答案 A3.设点M 的直角坐标为(2，0，2)，则点M 的柱坐标为( ) A.(2，0，2) B.(2，π，2) C.(2，0，2)D.(2，π，2)解析 设点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，∴ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝y x＝0， ∴θ＝0，z ＝2.∴点M 的柱坐标为(2，0，2). 答案 A4.若点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8，π3，56π，则它的直角坐标为( )A.(－6，23，4)B.(6，23，4)C.(－6，－23，4)D.(－6，23，－4)解析 由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π3＝4，得点M 的直角坐标为(－6，23，4). 答案 A5.已知点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π4，3π4，则点M 到Oz 轴的距离为________.解析 设M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则由(r ，φ，θ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4，34π，知x ＝4sin π4cos34π＝－2，y ＝4sin π4sin 34π＝2，z ＝r cos φ＝4cos π4＝2 2.∴点M 的直角坐标为(－2，2，22). 故点M 到Oz 轴的距离（－2）2＋22＝2 2. 答案 2 26.已知点P 1的球坐标是P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，5π3，P 2的柱坐标是P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，1，则|P 1P 2|＝________. 解析 点P 1的直角坐标为(2，－23，0)点P 2的直角坐标为(3，1，1)，由两点距离公式得|P 1P 2|＝21. 答案217.已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，5π6，－3，点B 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8，π3，π4，求这两个点的直角坐标.解 设点P 的直角坐标为(x ，y ，z )，则x ＝4cos 5π6＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－23，y ＝4sin 5π6＝4×12＝2，z ＝－ 3. 设点B 的直角坐标为(x ，y ，z )，则x ＝8sin π3cos π4＝8×32×22＝26，y ＝8sin π3sinπ4＝8×32×22＝26，z ＝8cos π3＝8×12＝4. 所以点P 的直角坐标为(－23，2，－3)，点B 的直角坐标为(26，26，4). 二、能力提升8.已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( ) A.P 点(5，1，1)，B 点⎝⎛⎭⎪⎫364，324，62B.P 点(1，1，5)，B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62C.P 点⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62，B 点(1，1，5)D.P 点(1，1，5)，B 点⎝ ⎛⎭⎪⎫62，364，324解析 设P 点的直角坐标为(x ，y ，z )，x ＝2·cos π4＝2·22＝1，y ＝2·sin π4＝1，z ＝5.设B 点的直角坐标为(x ，y ，z )，x ＝6·sin π3·cos π6＝6·32·32＝364， y ＝6·sin π3·sin π6＝6·32·12＝324， z ＝6·cos π3＝6·12＝62. 所以，点P 的直角坐标为(1，1，5)，点B 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62.答案 B9.在球坐标系中，方程r ＝1表示____________，方程φ＝π4表示空间的____________.答案 球心在原点，半径为1的球面 顶点在原点，中心轴为z 轴，轴截面顶角为π2的上半个圆锥面10.已知柱坐标系Oxyz 中，若点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，5，则|OM |＝________.解析 ∵(ρ，θ，z )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，5，设M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则x 2＋y 2＝ρ2＝4，∴|OM |＝x 2＋y 2＋z 2＝4＋（5）2＝3. 答案 311.在球坐标系中，求两点P ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，π4，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，3π4的距离. 解 设P ，Q 两点球坐标转化为直角坐标.设点P 的直角坐标为(x ，y ，z )，x ＝3sin π6cos π4＝342，x ＝3sin π6sin π4＝342，z ＝3cos π6＝3×32＝323. ∴P ⎝⎛⎭⎪⎫324，324，332.设点Q 的直角坐标为(x 1，y 1，z 1)，x 1＝3sin π6cos 3π4＝－324，y 1＝3sin π6sin 3π4＝324，z 1＝3cos π6＝323.∴点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－324，324，332.∴|PQ |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫324＋3242＋⎝ ⎛⎭⎪⎫324－3242＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332－3322＝322.即P ，Q 两点间的距离为322.12.在柱坐标系中，求满足⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝10≤θ<2π0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )的围成的几何体的体积.解 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z ≤2的动点M (ρ，θ，z )的轨迹如图所示，是以直线Oz 为轴，轴截面为正方形的圆柱，圆柱的底面半径r ＝1，h ＝2，∴V ＝Sh ＝πr 2h ＝2π. 三、探究与创新13.在赤道平面上，我们选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系.有A 、B 两个城市，它们的球坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，π4，π6、B ⎝⎛⎭⎪⎫R ，π4，2π3，飞机从A 到B 应该走怎样的航线最快？所走的路程有多远？解 如图所示，∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫R ，π4，π6、B ⎝⎛⎭⎪⎫R ，π4，2π3，∴∠AOO 1＝∠BOO 1＝π4.设赤道面上与A 、B 经度相同的点分别为C 、D ，x 轴与赤道大圆的交点为E ，则∠EOC ＝π6，∠EOD ＝2π3，∴∠COD ＝2π3－π6＝π2.∴∠AO 1B ＝∠COD ＝π2.在Rt △OO 1B 中，∠O 1BO ＝π4，OB ＝R ，∴O 1B ＝22R ，同理O 1A ＝22R .∵∠AO 1B ＝π2，∴AB＝R .在△AOB 中，AB ＝OB ＝OA ＝R ，∴∠AOB ＝π3.则经过A 、B 两地的球面距离为π3R .答：走经过A 、B 两地的大圆，飞机航线最短，其距离为π3R .。

1 四 柱坐标系与球坐标系简介
课前导引
问题导入
一个圆形体育馆,自正东方向起,按逆时针方向等分为十六个扇形区域,顺次记为一区,二区,…,十六区,我们设圆形体育场第一排与体育中心的距离为500 m,每相邻两排的间距为1 m,每层看台的高度为0.7 m,现在需要确定第九区第四排正中的位置A,请建立适当的坐标系,把点A 的坐标求出来.
解:以圆形体育场中心O 为极点，选取以O 为端点且过正东入口的射线Ox 为极轴，在地面上建立极坐标系.则点A 与体育场中轴线Oz 的距离为504 m ，极轴Ox 按逆时针方向旋转16
17π,就是OA 在地平面上的射影，A 距地面的高度为2.8 m ，因此我们可以用柱坐标来表示点A 的准确位置.
∴点A 的柱坐标为(504,16
17π,2.8). 点评:找空间中一点的柱坐标，与找平面极坐标是类似的，需要确定极径,极角，只是比平面极坐标多了一个量，即点在空间中的高度.
这即是本节要讨论的柱坐标系,还将讨论球坐标系.
知识预览
1.点P 的柱坐标(ρ,θ,z)中,ρ≥0,0≤θ<2π,-∞<z<+∞,柱坐标系又称半极坐标系.
2.点P 的球坐标(r,φ,θ)中,r≥0,0≤φ≤π,0≤θ<2π.
3.空间直角坐标与柱坐标(ρ,θ,z)的关系⎪⎩
⎪⎨⎧===.,sin ,cos z z y x θρθρ
4.空间直角坐标与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为⎪⎩
⎪⎨⎧===.cos ,sin sin ,cos sin ϕθϕθϕr z r y r x。