高中数学极坐标系教案

高中数学极坐标教案教学目标1. 理解极坐标系的定义及其与直角坐标系的区别与联系。

2. 掌握极坐标系中的点的位置表示方法。

3. 学会基本的极坐标图形的绘制，如圆、直线等。

4. 能够将极坐标方程与直角坐标方程相互转换。

5. 解决一些简单的极坐标应用问题。

教学内容极坐标系的基本概念- 引入极坐标系的概念，解释极点、极轴、极径、极角等基本元素。

- 通过实例演示极坐标系与直角坐标系的转换关系。

极坐标下的点的位置表示- 详细讲解如何在极坐标系中表示一个点的位置。

- 强调极径和极角的取值范围和特点。

极坐标图形的绘制- 教授如何在极坐标系中绘制基本图形，例如圆和直线。

- 分析极坐标图形的特性和方程形式。

极坐标方程与直角坐标方程的转换- 通过具体例题，展示如何将极坐标方程转换为直角坐标方程。

- 同样地，讲解如何将直角坐标方程转换为极坐标方程。

极坐标的应用- 探讨极坐标在物理学、工程学等领域的实际应用。

- 解决一些实际问题，如定位、导航等。

教学方法- 采用启发式教学，鼓励学生主动思考和探索。

- 结合多媒体教学工具，使抽象概念形象化。

- 开展小组合作学习，促进学生之间的交流与合作。

教学过程1. 导入新课：回顾直角坐标系的知识，引出极坐标系的概念。

2. 新课讲解：按照教学内容的顺序，逐一讲解极坐标系的相关知识。

3. 实践操作：指导学生在极坐标纸上绘制图形，进行方程转换练习。

4. 应用探究：提出实际问题，引导学生运用极坐标解决问题。

5. 小结反馈：总结本节课的重点内容，对学生的学习情况进行评价。

教学评价- 通过课堂提问，了解学生对极坐标概念的理解程度。

- 布置相关习题，检验学生对知识点的掌握情况。

- 收集学生的反馈意见，评估教学方法的有效性。

结语。

高中数学极坐标方程教案
教学内容：极坐标方程
一、教学目标：
1. 理解极坐标的概念，掌握极坐标系的基本概念和用法；
2. 掌握极坐标系下的点、曲线、面积等的表示方法；
3. 能够根据题目要求，求解相关的极坐标方程。

二、教学重点和难点：
1. 极坐标系的基本概念和用法；
2. 极坐标方程的求解方法。

三、教学内容及步骤：
1. 极坐标系的概念和表示方法（5分钟）：
- 介绍极坐标系的定义和基本概念；
- 讲解极坐标系下点的表示方法；
- 演示极坐标系下点的坐标计算方法。

2. 极坐标方程的表示和求解（15分钟）：
- 解释极坐标方程的含义和表示方法；
- 示范如何根据题目要求，列出相应的极坐标方程；
- 练习相关题目，让学生熟练掌握求解极坐标方程的方法。

3. 极坐标方程的应用（10分钟）：
- 讲解极坐标方程在求解曲线、面积等问题中的应用；
- 练习相关题目，让学生掌握如何应用极坐标方程解决实际问题。

四、课堂练习及作业布置（10分钟）：
- 布置相关的课堂练习题，并进行答疑；
- 完成相关作业，并提醒及时复习和巩固知识点。

五、教学反思：
本节课主要围绕极坐标系及极坐标方程展开教学，通过理论讲解和实例演练，使学生掌握极坐标系的基本概念和应用方法。

在课堂练习及作业布置方面，应该注意引导学生运用所学知识解决实际问题，巩固和深化对极坐标方程的理解和应用能力。

二极坐标系学习目标：1.理解极坐标系的概念.2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．(难点)3.掌握极坐标和直角坐标的互化关系式,能进行极坐标和直角坐标的互化．(重点、易错点)教材整理1 极坐标系阅读教材P8～P10,完成下列问题．1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O,叫做极点；自极点O引一条射线Ox,叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ；以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ)．一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数．2．点与极坐标的关系一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点．特别地,极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R)．如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用惟一的极坐标(ρ,θ)表示；同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是惟一确定的．在极坐标系中,ρ1＝ρ2,且θ1＝θ2是两点M(ρ1,θ1)和N(ρ2,θ2)重合的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件[解析]前者显然能推出后者,但后者不一定推出前者,因为θ1与θ2可相差2π的整数倍．[答案] A教材整理2 极坐标和直角坐标的互化阅读教材P11,完成下列问题．1．互化背景：把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示．2．互化公式：设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M直角坐标(x,y)极坐标(ρ,θ)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θρ2＝x 2＋y 2,tan θ＝yx(x≠0)将点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫10，π3化为直角坐标是( ) A ．(5,53) B ．(53,5) C ．(5,5)D ．(－5,－5)[解析] x ＝ρcos θ＝10 cos π3＝5,y ＝ρsin θ＝10sin π3＝5 3.[答案] A将点的极坐标化为直角坐标【例1】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π；(3)⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3；(4)(2,－2)．[思路探究] 点的极坐标(ρ,θ)―→⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ―→点的直角坐标(x,y)―→判定点所在象限．[自主解答] (1)由题意知x ＝2cos 4π3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1,y ＝2sin 4π3＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－3, ∴点⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3的直角坐标为()－1，－3,是第三象限内的点．(2)x ＝2cos 23π＝－1,y ＝2sin 23π＝3,∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π的直角坐标为(－1,3),是第二象限内的点．(3)x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝1,y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－3, ∴点⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3的直角坐标为(1,－3),是第四象限内的点．(4)x ＝2cos (－2)＝2cos 2,y ＝2sin(－2)＝－2sin 2,∴点(2,－2)的直角坐标为(2cos 2,－2sin 2),是第三象限内的点．1．点的极坐标与直角坐标的互化公式的三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合；(2)极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合；(3)两种坐标系的长度单位相同．2．将点的极坐标(ρ,θ)化为点的直角坐标(x,y)时,运用到求角θ的正弦值和余弦值,熟练掌握特殊角的三角函数值,灵活运用三角恒等变换公式是关键．1．分别把下列点的极坐标化为直角坐标：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6；(2)⎝⎛⎭⎪⎫3，π2；(3)(π,π)．[解] (1)∵x＝ρcos θ＝2cos π6＝3,y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1,∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，π6化为直角坐标为(3,1)．(2)∵x＝ρcos θ＝3cos π2＝0,y ＝ρsin θ＝3sin π2＝3,∴点的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫3，π2化为直角坐标为(0,3)．(3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π, y ＝ρsin θ＝πsin π＝0,∴点的极坐标(π,π)化为直角坐标为(－π,0)．将点的直角坐标化为极坐标【例2】 (1)(－2,23)；(2)(6,－2)；(3)⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2.[思路探究] 利用公式ρ2＝x 2＋y 2,tan θ＝y x (x≠0),但求角θ时,要注意点所在的象限．[自主解答] (1)∵ρ＝x 2＋y 2＝(－2)2＋(23)2＝4, tan θ＝yx＝－3,θ∈[0,2π),由于点(－2,23)在第二象限, ∴θ＝2π3,∴点的直角坐标(－2,23)化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，23π. (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝(6)2＋(－2)2＝22, tan θ＝y x ＝－33,θ∈[0,2π),由于点(6,－2)在第四象限, ∴θ＝11π6,∴点的直角坐标(6,－2)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，11π6. (3)∵ρ＝x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2,tan θ＝yx ＝1,θ∈[0,2π),由于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限,∴θ＝π4,∴点的直角坐标⎝⎛⎭⎪⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4.1．将直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ),主要利用公式ρ2＝x 2＋y 2,tan θ＝y x (x≠0)进行求解,先求极径,再求极角．2．在[0,2π)范围内,由tan θ＝yx (x≠0)求θ时,要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限．如果允许θ∈R ,再根据终边相同的角的意义,表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可．2．已知下列各点的直角坐标,求它们的极坐标： (1)A(3,3)；(2)B(－2,－23)；(3)C(0,－2)；(4)D(3,0)．[解] (1)由题意可知：ρ＝32＋(3)2＝23, tan θ＝33, 所以θ＝π6,所以点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，π6. (2)ρ＝(－2)2＋(－23)2＝4,tan θ＝－23－2＝3,又由于θ为第三象限角,故θ＝43π,所以B 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，43π.(3)ρ＝02＋(－2)2＝2,θ为32π,θ在y 轴负半轴上,所以C 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π.(4)ρ＝32＋02＝3,tan θ＝03＝0,故θ＝0,所以D 点的极坐标为(3,0)．极坐标与直角坐标的综合应用【例3】 在极坐标系中,如果A ⎝⎛⎭⎪⎫2，4,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4为等边三角形ABC 的两个顶点,求顶点C 的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π)．[思路探究] 解答本题可以先利用极坐标化为直角坐标,再根据等边三角形的定义建立方程组求解点C 的直角坐标,进而求出点C 的极坐标．[自主解答] 对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4有ρ＝2,θ＝π4,∴x＝2cos π4＝2,y ＝2sin π4＝2,则A(2,2)．对于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，54π有ρ＝2,θ＝54π,∴x＝2cos 5π4＝－2,y ＝2sin 5π4＝－2,∴B(－2,－2)．设C 点的坐标为(x,y),由于△ABC 为等边三角形, 故|AB|＝|BC|＝|AC|＝4,∴有⎩⎨⎧ (x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16，解之得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝6，∴C 点的坐标为(6,－6)或(－6,6), ∴ρ＝6＋6＝23,tan θ＝－66＝－1,∴θ＝7π4或θ＝3π4.故点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫23，7π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4.1．本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质．结合几何图形可知,点C 的坐标有两解,设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键．2．若设出C(ρ,θ),利用余弦定理亦可求解．3．本例中,如果点的极坐标仍为A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4,且△ABC 为等腰直角三角形,如何求直角顶点C的极坐标？[解] 对于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4,直角坐标为(2,2),点B ⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4的直角坐标为(－2,－2),设点C 的直角坐标为(x,y),由题意得AC⊥BC ,且|AC|＝|BC|, ∴AC →·BC →＝0,即(x －2,y －2)·(x＋2,y ＋2)＝0, ∴x 2＋y 2＝4. ①又|A C →|2＝|B C →|2,于是(x －2)2＋(y －2)2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2,∴y＝－x,代入①,得x 2＝2,解得x ＝±2,∴⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－2，或⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2，∴点C 的直角坐标为(2,－2)或(－2,2), ∴ρ＝2＋2＝2,tan θ＝－1,θ＝7π4或3π4,∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4.极坐标[探究问题]1．如图是某校园的平面示意图．假设某同学在教学楼处,请回答下列问题： ①他向东偏北60°方向走120 m 后到达什么位置？该位置惟一确定吗？ ②如果有人打听体育馆和办公楼的位置,他应如何描述？[提示] 以A 为基点,射线AB 为参照方向,利用与A 的距离、与AB 所成的角,就可以刻画平面上点的位置．①到达图书馆,该位置惟一确定；②体育馆在正东方向60 m 处,办公楼在西北方向50 m 处．2．在极坐标系中,⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6,⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6＋2π,⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6＋4π,⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6－2π表示的点有什么关系？你能从中体会极坐标与直角坐标在刻画点的位置时的区别吗？[提示] 由终边相同的角的定义可知,上述极坐标表示同一个点．实际上,⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6＋2kπ(k∈Z)都表示这个点．【例4】 设点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3,直线l 为过极点且垂直于极轴的直线,分别求点A 关于极轴,直线l,极点的对称点的极坐标(限定ρ>0,－π<θ≤π)．[思路探究] 欲写出点的极坐标,首先应确定ρ和θ的值． [自主解答] 如图所示,关于极轴的对称点为B2,－π3,关于直线l 的对称点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π, 关于极点O 的对称点为D ⎝⎛⎭⎪⎫2，－23π. 四个点A,B,C,D 都在以极点为圆心,2为半径的圆上．1．点的极坐标不是惟一的,但若限制ρ>0,0≤θ<2π,则除极点外,点的极坐标是惟一确定的． 2．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前,极角θ在后,不能颠倒顺序．4．在极坐标系中与点A ⎝⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23πB.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，43π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，56π [解析] 与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2kπ＋π3(k∈Z)． [答案] B极坐标系—⎪⎪⎪—极坐标的概念—点与极坐标的关系—极坐标与直角坐标的互化1．极坐标系中,点M(1,0)关于极点的对称点为( ) A ．(1,0) B ．(－1,π) C ．(1,π)D ．(1,2π)[解析] ∵(ρ,θ)关于极点的对称点为(ρ,π＋θ), ∴M(1,0)关于极点的对称点为(1,π)． [答案] C2．点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，7π6,则点A 的直角坐标为( )A ．(－1,－3)B ．(－3,1)C ．(－3,－1)D ．(3,－1)[解析] x ＝ρcos θ＝2cos 76π＝－3,y ＝ρsin θ＝2sin 76π＝－1.[答案] C3．点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，π2,则点M 的极坐标可以为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0B.⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C.⎝⎛⎭⎪⎫π2，π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－π2[解析] ∵ρ＝x 2＋y 2＝π2,且θ＝π2,∴M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π2.[答案] C4．将极轴Ox 绕极点顺时针方向旋转π6得到射线OP,在OP 上取点M,使|OM|＝2,则ρ>0,θ∈[0,2π)时点M 的极坐标为________,它关于极轴的对称点的极坐标为___________________(ρ>0,θ∈[0,2π))．[解析] ρ＝|OM|＝2,与OP 终边相同的角为－π6＋2kπ(k∈Z)．∵θ∈[0,2π), ∴k＝1,θ＝11π6,∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6, ∴M 关于极轴的对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π65．在极轴上求与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4距离为5的点M 的坐标．[解] 设M(r,0), ∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫42，π4,∴(42)2＋r 2－82rcos π4＝5,即r 2－8r ＋7＝0, 解得r ＝1或r ＝7,∴点M 的坐标为(1,0)或(7,0)．。

极坐标系的概念教学设计一、教学目标：1.了解极坐标系的概念和基本性质；2.掌握如何在直角坐标系和极坐标系之间进行转换；3.掌握在极坐标系下表示点的方法；4.能够用极坐标系描述简单图形。

二、教学重点与难点：1.教学重点：极坐标系的概念和基本性质；2.教学难点：在极坐标系下表示点的方法。

三、教学准备：1.教师准备：PPT、投影仪、白板、黑板笔；2.学生准备：直角坐标系与极坐标系的相关知识。

四、教学过程：Step 1 引入新课 (10分钟)1.引导学生回顾直角坐标系的概念和性质；2.提问：在直角坐标系中，我们如何用两个坐标值x和y来定位一个点？是否能用其他方式来表示点的位置？3.出示极坐标系的图形，引导学生思考极坐标系的概念。

Step 2 极坐标系的概念与性质 (15分钟)1.解释极坐标系的概念：极坐标系是由极轴和极角组成的，极轴是用来表示点到极点的距离的半直线，极角是用来表示点到极点的半直线与固定半直线的夹角；2.引导学生分析极坐标系的性质：极坐标系是二维坐标系，极轴是从极点出发的一条非负半直线，极角的范围是[0,2π)，极坐标系中，每一个点都有唯一的极坐标。

Step 3 直角坐标系与极坐标系的转换 (20分钟)1.提示学生极坐标系直角坐标系的转换方法：- x = r * cosθ- y = r * sinθ2.在白板上画出一个示例图形，并引导学生进行转换练习。

Step 4 极坐标系中点的表示方法 (20分钟)1.解释如何用极坐标表示平面上的点：极坐标的标记方式是(r,θ)，其中，r表示点到极点的距离，θ表示点与固定半直线的夹角；2.在黑板上画出一个示例图形，引导学生练习用极坐标表示点的方法。

Step 5 极坐标系的应用 (20分钟)1.示范用极坐标系描述简单图形；2.引导学生进行实际练习。

Step 6 小结与课堂练习 (15分钟)1.积极小结本课的内容：回顾极坐标系的概念和性质，直角坐标系与极坐标系的转换，极坐标系中点的表示方法，以及极坐标系的应用；2.针对性布置相关课后习题。

重点 极坐标系中点与坐标对应
难点 理解极坐标系意义
关键 类比直角坐标系
环节
教学内容
手段 学案导学 教学过程
双边活动设计
设计意图
知识 再现 引入
新知 探究
1、 平面直角坐标系中任意角的画法
复习角的相关知
2、特殊角的角度、弧度转换及三角函数值： 识
思考：
思考 ：1、有什么 方法可以给咱们 班同学学的位置
1、 极坐标系的建立：
建立了一个极坐标系。 （其中 O 称为极点，射线 OX 称为极轴。）
总结并填写学案
温故而知新，为新 课学习做最充分的 准备 引导学生体会用极 坐标的建立及表示 方法
认识极坐标的含义
教学过程
双边活动设计
设计意图
知识 应用
2、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上任意一点 M，用 表示线段 OM
授课 教师 课题
代小剑 1.2.1 极坐标系的概念
教龄
3年
日期
2012.4.3
班级
高二.三班
课程 目标 教学 目标
能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标和平面直角坐标系中刻画 点的位置的区别 知识与技能 ：理解极坐标的概念，了解点在极坐标中的对称 过程与方法 ：经历类比学习极坐标系的过程，体会类比思想 情感、态度与价值 观 ：培养创新意识。
极坐标。
（1） P 是点 Q 关于极点 O 的对称点；
课堂
（2）
P 是点 Q 关于直线 的对称点； 2
练习 （3） P 是点 Q 关于极轴的对称点。
小结 课堂练习见学案
作业 练习册：题型一、二、四
1.2.2 极坐标系定义
板书 设计 1、任意角和特殊角

《极坐标系的概念》教学设计教材版本：人民教育出版社数学A版选修4-4《坐标系与参数方程》一、教材分析极坐标系是高中教材人教A版选修4-4第一讲第一节的内容, 是在学生已经学习过平面直角坐标系的背景下，通过生活实例、类比直角坐标系的研究方法让学生针对建立极坐标系的合理性，便捷性进行探究，自主完成极坐标系的建立，并表示点的极坐标。

为后面学习直角坐标与极坐标的互化，简单曲线的极坐标方程以及参数方程奠定基础。

二、学情分析通过前面对平面直角坐标系的学习，学生已经对坐标系有了一定的了解；极坐标的思想已经普遍地存在于日常生活中，对于极坐标系的学习应该容易接受。

三、教学设计原则及策略激发学生的兴趣，充分调动其积极性，让他们真正参与到教学活动中来。

此外，该节课的核心在于自主探究出极坐标系建立的顺其自然和合理性，并熟悉，初步会应用。

基于以上认识，我根据学生的认知特点和接受水平，对教材进行了一些处理，先从实际例子、生活常识出发，抛出问题，让学生自主探究，过程中加以指导，最终完成整节课的教学。

四、教学目标1、知识与技能：利用生活实例，体会极坐标的思想，用此思想自主建立极坐标系，并求点的极坐标；理解点的极坐标的不惟一性。

2、过程与方法：①通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法。

②通过探究活动培养学生观察、分析、比较和归纳能力。

3、情感态度与价值观：用生活实例，类比直角坐标系，使学生明白建立极坐标系的好处，感觉数学源于生活用于生活。

采取探究的形式，合作交流的形式激发学生的学习兴趣。

五、教学重、难点1．重点：运用我们的生活常识，体会极坐标的思想，并用此思想建立极坐标系，表示点的极坐标。

2．难点：对点的极坐标的不惟一性（极角的不惟一）的理解六、教学方法问题探究法、讲解示范法七、教学媒体设计本节课涉及的知识点少且简单，就一个极坐标系的建立，但为了能更好的完成自主探究和节约时间，故本节课采取用多媒体课件进行辅助展示，师生共同合作交流来突出重点、突破难点。

《极坐标系》教学设计一、教学目标分析1.知识与技能：①理解极坐标系的有关概念；②掌握极坐标平面内点的极坐标的表示：会在极坐标系内描出已知极坐标的点；能写出极坐标平面内点的极坐标；③掌握平面内一点极坐标与平面直角坐标的互化。

2.过程与方法：通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法；通过探究活动培养学生观察、分析、比较和归纳能力。

3.情感态度与价值观：通过生活中的具体事例引入极坐标系使学生认识极坐标的作用及应用极坐标来描述实际问题的方便性及实用性，体验数学的实际应用价值。

通过对问题的探究使学生享受到成功的喜悦。

二、教学重难点：重点：认识极坐标系的重要性，能利用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标与直角坐标的互化。

难点：理解用极坐标刻画点的位置的基本思想，认识点与极坐标之间的对应关系。

三、教学方法：问题探究法、讲解示范法四、教学基本流程五、教学情境设计： 问题 设计意图 师生活动（1）直角坐标系的有什么作用？课件中，“从这里向东南走约50米。

”这句话从哪些方面刻画了录播教室的位置？ 体会表述位置的常见方法，体会用距离和角度表达方位的优越性。

教师提问直角坐标系的作用，展示课件，引导学生思考体会用距离和角表示方位。

（2）身边的实例，用方位和距离刻画点的位置。

1）回顾本节开头的“声响定位”问题引导学生通过类比、迁移，尝试自己建立极坐标系。

教师提出问题，引导学生回顾直角坐标系、三角函数相关知识，学生完成思考，可以适当全班交流，建立问题情境，体会引进新坐标系的必要性 探讨出极坐标系的概念 例1的教学，掌握极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 极坐标与直角坐标的互化公式小结：总结归纳对比，体会极坐标系与直角坐标系的关系 概念深化，学生相互出题、辨析例2的教学，运用极坐标与直角坐标的互化公式六、板书设计：学生对直角坐标系已经进行了系统地学习，而且对直角坐标系已经形成了很强的思维定势，而极坐标系对学生来说是个全新的概念，却也不是完全陌生。

高中数学极坐标的教案
教学目标：
1. 了解极坐标的概念和基本表示方法；
2. 掌握极坐标系下向量的表示和运算方法；
3. 能够进行极坐标系下的函数图像的绘制和分析。

教学重点：
1. 极坐标概念的理解和运用；
2. 向量在极坐标系下的表示和运算；
3. 极坐标系下函数的图像绘制和解析。

教学难点：
1. 极坐标系下向量的运算；
2. 极坐标系下的函数图像绘制。

教学准备：
1. 教师准备课件、教材和教具；
2. 学生准备笔记本和作业本。

教学步骤：
第一步：导入
引导学生回顾直角坐标系下的向量表示和运算方法，然后介绍极坐标概念及其与直角坐标系的关系。

第二步：讲解
1. 讲解极坐标的定义和表示方法；
2. 介绍向量在极坐标系下的表示和运算；
3. 分析极坐标系下的函数图像特点和绘制方法。

第三步：练习
1. 让学生进行向量在极坐标系下的表示和运算练习；
2. 让学生尝试绘制一些简单函数在极坐标系下的图像。

第四步：总结
总结极坐标系的特点和应用，并强调极坐标系与直角坐标系的联系和区别。

第五步：作业
布置相关的作业，在家里继续巩固和练习所学知识。

教学反思：
教师应根据学生的理解情况和反应及时调整教学方法和策略，保证教学效果和进度的顺利推进。

同时，多鼓励学生进行思考和讨论，培养他们的数学思维和解决问题的能力。

2.让学生充分讨论，鼓励发表不同观点，培养合作交流能力。
3.教师巡回指导，针对每个小组的讨论情况进行点评，引导学生深入思考。
（四）课堂练习
1.设计具有代表性的练习题，涵盖本节课的知识点，让学生在练习中巩固所学。
2.分层次布置练习题，使每个学生都能在适合自己的练习中提高。
3.及时批改反馈，针对学生存在的问题，给予个性化指导。
高中高三数学《极坐标系》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解极坐标系的概念，掌握极坐标与直角坐标之间的转换方法，能够熟练运用互化公式进行坐标变换。
2.掌握极坐标系下点的表示方法，能够准确地绘制极坐标图形，并解决相关几何问题。
3.熟练运用极坐标系解决实际问题，如极坐标下的直线、圆等图形的方程求解，以及极坐标系在物理学、工程学中的应用。
1.基础题：完成课本第十五章的习题1、2、3，要求学生熟练掌握极坐标系的基本概念和转换方法。
2.提高题：解答课本第十五章习题4、5，培养学生运用极坐标系解决几何问题的能力。
3.应用题：结合实际案例，设计一道与极坐标系相关的应用题，要求学生运用所学知识分析问题、解决问题。
4.研究性学习：分组进行课题研究，选择与极坐标系相关的科学问题或实际应用场景，深入探讨并撰写研究报告。
作业布置要求：
1.学生在完成作业时，要认真思考，独立完成，切勿抄袭。
2.对于基础题，要求学生掌握基本概念，注意运算过程的准确性。
3.提高题和应用题旨在培养学生的解题策略和实际应用能力，鼓励学生多角度思考问题。
4.研究性学习要注重团队合作，充分发挥每个成员的作用，提高学生的综合素质。
5.教师在批改作业时，要关注学生的解题思路和过程，给予针对性的评价和建议。

极坐标系教案范文教案：极坐标系主题：极坐标系的概念和运用目标：1.了解极坐标系的概念和特点。

2.掌握极坐标和直角坐标之间的转换关系。

3.理解和应用极坐标系的运算规则。

教学过程：一、导入（10分钟）1.学生回顾直角坐标系的概念和特点。

2.引入极坐标系的概念：极坐标系是一种使用极径和极角表示点的坐标系统。

二、讲解（30分钟）1.介绍极坐标的表示方法：a.极径：表示点到原点的距离，用正实数表示。

b.极角：表示点与正半轴正方向之间的角度，用弧度制表示。

2.极坐标系和直角坐标系的转换关系：a.极坐标到直角坐标：使用以下公式进行转换：x = r * cosθy = r * sinθb.直角坐标到极坐标：使用以下公式进行转换：r=√(x^2+y^2)θ = arctan(y/x)3.极坐标系的特点：a.极坐标系更适合描述圆形和环状的图形。

b.极坐标系更符合人们对环绕性质的感觉。

三、练习（30分钟）1.根据给定的直角坐标，计算其对应的极坐标。

2.根据给定的极坐标，计算其对应的直角坐标。

3.给定一个点的极坐标，画出对应的图形。

四、拓展（20分钟）1.讲解极坐标系的运算规则：a.极坐标的加法：将极径相加，而极角保持不变。

b.极坐标的减法：将极径相减，而极角保持不变。

c.极坐标的乘法：将极径相乘，将极角相加。

d.极坐标的除法：将极径相除，将极角相减。

2.举例子说明运算规则的应用：a.计算两个点的距离。

b.计算两个点的角度差。

c.计算两个点之间连线的方程等。

五、总结（10分钟）1.回顾极坐标系的概念和特点。

2.总结极坐标和直角坐标的转换公式。

3.强调极坐标系的运算规则和应用。

教学反思：通过本节课的教学，学生们对极坐标系的概念和特点有了更深入的了解，掌握了极坐标和直角坐标之间的转换关系，并能够应用极坐标系的运算规则解决相关问题。

丰富的练习和拓展部分有助于提高学生理解和运用极坐标系的能力。

可以通过在实际生活中找到更多的例子来巩固学生对极坐标系的理解和应用。

二、极坐标系【基础知识导学】1． 极坐标系和点的极坐标极点、极轴、长度单位、角度单位和它的方向构成极坐标系的四要素，缺一不可。

规定：当点M 在极点时，它的极坐标θρ,0=可以取任意值。

2． 平面直角坐标与极坐标的区别在平面直角坐标系内，点与有序实数对（x ，y ）是一一对应的，可是在极坐标系中，虽然一个有序实数对),(θρ只能与一个点P 对应，但一个点P 却可以与无数多个有序实数对对应),(θρ，极坐标系中的点与有序实数对极坐标),(θρ不是一一对应的。

3． 极坐标系中，点M ),(θρ的极坐标统一表达式Z k k ∈+),2,(θπρ。

4． 如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示，同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

5． 极坐标与直角坐标的互化（1） 互化的前提：①极点与直角坐标的原点重合；②极轴与X 轴的正方向重合；③两种坐标系中取相同的长度单位。

（2） 互化公式⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=0,tan 222x x yy x θρ。

【知识迷航指南】 【例1】 在极坐标系中，描出点)3,2(πM ，并写出点M 的统一极坐标。

【点评】点)3,2(πM 的统一极坐标表示式为)32,2(ππ+k ，如果允许0<ρ，还可以表示为)3)12(,2(ππ++-k 。

X【例2】已知两点的极坐标)6,3(),2,3(ππB A ，则|AB|=______,AB 与极轴正方向所成的角为________.解:根据极坐标的定义可得|AO|=|BO|=3,∠AOB=600,即∆AOB 为等边三角形,所以|AB|=|AO|=|BO|=3, ∠ACX=65π 【点评】在极坐标系中我们没有定义两点间的距离,我们只要画出图形便可以得到结果. 【例3】化下列方程为直角坐标方程,并说明表示的曲线. (1)43πθ=,()R ∈ρ (2)θθρcos 2sin +=【解】(1)根据极坐标的定义,因为x y xy-==即,43tanπ,所以方程表示直线. (2)因为方程给定的ρ不恒为0,用ρ同乘方程的两边得:θρθρρcos 2sin 2+=化为直角坐标方程为,222x y y x +=+即45)21()1(22=-+-y x ,这是以(1,21)为圆心,半径为25的圆. 【点评】①若没有R ∈ρ这一条件,则方程表示一条射线.②极坐标方程化为直角坐标方程,方程两边同乘ρ,使之出现ρ2是常用的方法.【解题能力测试】1．已知点的极坐标分别为)4,3(π-A ，)32,2(πB ，),23(πC ，)2,4(π-D ，求它们的直角坐标。

极坐标系教案一、教学目标：1.了解极坐标系的概念和基本性质。

2.掌握在极坐标系中表示点的方法。

3.了解极坐标系与直角坐标系之间的转换关系。

二、教学重点：1.极坐标系的概念和基本性质。

2.在极坐标系中表示点的方法。

三、教学难点：1.极坐标系与直角坐标系之间的转换关系。

四、教学准备：1.教师准备黑板、彩色粉笔和教学课件。

2.学生准备铅笔和笔记本。

五、教学过程：Step 1 引入新课教师通过引导学生回忆直角坐标系的表示方法，让学生了解到直角坐标系的局限性，引出极坐标系的概念和意义。

Step 2 讲解极坐标系的概念和基本性质教师通过板书和课件向学生讲解极坐标系的概念和基本性质：极坐标系是以原点O和极轴为基准建立的坐标系，点P的位置用距离r和角度θ来表示。

极半径r是点P到原点O的距离，极角θ是以极轴的正方向为起点，逆时针旋转到点P所过的角。

Step 3 示范和练习教师通过示范和练习帮助学生掌握在极坐标系中表示点的方法。

首先，教师示范在极坐标系中表示一个点的步骤：先确定点的位置，然后确定点的极坐标。

随后，教师让学生在极坐标系中表示给定的点，进行练习。

Step 4 讲解极坐标系与直角坐标系的转换教师通过板书和课件向学生讲解极坐标系与直角坐标系之间的转换关系：在直角坐标系中，点P的坐标是( x，y)，在极坐标系中，点P的坐标是( r，θ )。

直角坐标系到极坐标系的转换公式为： r = sqrt( x^2 + y^2 )，θ = arctan( y / x )。

Step 5 示范和练习教师通过示范和练习帮助学生掌握直角坐标系和极坐标系之间的转换关系。

首先，教师示范将直角坐标系中的点转换为极坐标，然后将极坐标系中的点转换为直角坐标。

随后，教师让学生进行练习，巩固转换关系的理解和运用。

Step 6 小结和作业布置教师通过让学生回答问题和归纳总结的方式对本节课的内容进行小结，然后布置作业：完成课后练习题，做好笔记。

六、板书设计：极坐标系1.概念：以原点O和极轴为基准建立的坐标系，点P的位置用距离r和角度θ来表示。

高中数学教案极坐标
主题：极坐标
教学目标：学生能够理解极坐标系的概念并能够在平面上用极坐标表示点的位置。

教学重点：极坐标系的定义及性质，平面上点的极坐标表示。

教学难点：将直角坐标系与极坐标系相互转换。

教学准备：投影仪，课件，白板，书籍
教学过程：
一、导入
1. 引导学生回顾直角坐标系，了解坐标系的概念。

2. 提出问题：直角坐标系与极坐标系有何异同，如何相互转换？
二、概念讲解
1. 定义：极坐标系是将平面直角坐标系上的点用其到一个固定点的距离和与固定轴的夹角来表示的坐标系。

2. 性质：极坐标系下，点的位置唯一确定。

三、示例演练
1. 利用极坐标系表示平面上的点A(2,π/6)，求出A点的极坐标表示。

2. 利用直角坐标系表示点B(3，4)，求出B点的极坐标表示。

四、实战练习
1. 请同学们用极坐标表示平面上的点C(5，6)。

2. 请同学们将点D的极坐标表示(7,π/3)转换成直角坐标表示。

五、归纳总结
1. 总结极坐标系的定义及性质。

2. 总结直角坐标系与极坐标系的相互转换方法。

教学反馈：
1. 和学生一起讨论极坐标系的应用领域，比如天文学、工程等领域。

2. 检查学生的练习情况，指出常见错误并及时纠正。

课后作业：
1. 完成《高中数学教材》中关于极坐标的练习题。

2. 研究极坐标系的相关知识，做一次小结。

教学结束。

高二数学教课设计：极坐标系的的观点教案1.2.1 极坐标系的的观点学习目标1.能在极坐标系顶用极坐标刻画点的地点.2.领会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的地点的区别.学习过程一、学前准备情境 1：军舰巡逻在海面上，发现前面有一群水雷，如何确定它们的地点以便将它们引爆?情境 2：如图为某校园的平面表示图，假定某同学在教课楼处。

(1)他向东偏60 方向走 120M 后抵达什么地点?该地点独一确定吗 ?(2)假如有人探询体育馆和办公楼的地点，他应如何描绘?问题 1：为了简易地表示上述问题中点的地点，应创立如何的坐标系呢 ?问题 2：如何刻画这些点的地点?二、新课导学◆研究新知 (预习教材 P8～ P10，找出迷惑之处)1、如右图，在平面内取一个，叫做;自极点引一条射线，叫做;在选定一个，一个 (往常取 )及其 (往常取方向 )，这样就成立了一个。

2、设是平面内一点，极点与的距离叫做点的，记为; 以极轴为始边，射线为终边的角叫做点的，记为。

有序数对叫做点的，记作。

3、思虑：直角坐标系与极坐标系有何异同?___________________________________________.◆应用示例例题 1： (1)说出右图中各点的极坐标(2)：思虑以下问题，在横线上给出解答。

①平面上一点的极坐标能否独一 ? ②若不独一，那有多少种表示方法 ? ③坐标不独一是由谁惹起的 ?④不一样的极坐标能否能够写出一致表达式? ⑤此题点的极坐标一致表达式。

解：◆反应练习在下边的极坐标系里描出以下各点小结：在平面直角坐标系中，一个点对应个坐标表示，一个直角坐标对应个点。

极坐标系里的点的极坐标有种表示，但每个极坐标只好对应个点。

三、总结提高◆本节小结1.本节学习了哪些内容?答：能在极坐标系顶用极坐标刻画点的地点.学习评论一、自我评论你达成本节导教案的状况为( )A. 很好B.较好C. 一般D.较差课后作业1.已知，以下所给出的不可以表示点的坐标的是A.B.C. D.2、在极坐标系中,与(,)对于极轴对称的点是( ) A、B、C、 D、3、设点 P 对应的复数为 -3+3i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴成立极坐标系，则点 P 的极坐标为 ( )A.( ， )B.( ， )C.(3， )D.(3， )我国古代的念书人 ,从上学之日起 ,就日诵不辍 ,一般在几年内就能识记几千个汉字 ,熟记几百篇文章 ,写出的诗文也是咬文嚼字 ,琅琅上口 ,成为博学多才的文人。

高中数学备课教案极坐标系与参数方程高中数学备课教案：极坐标系与参数方程一、引言数学中的坐标系是描述平面上点位置的重要工具，常见的坐标系有直角坐标系和极坐标系。

而参数方程则是一种描述曲线的方程形式。

本教案将介绍高中数学中的极坐标系和参数方程，并探讨其应用。

二、极坐标系1. 定义与转换公式极坐标系是以原点为中心，极轴为正方向的坐标系。

任意点P在极坐标系中的位置可以由两个量确定：极径r和极角θ。

其中，极径r表示点P距离原点的长度，极角θ表示点P与极轴的夹角。

将直角坐标系中的点(x, y)转换为极坐标系中的点(r, θ)的公式为：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)2. 极坐标下的曲线方程在极坐标系中，曲线的方程可以表示为r = f(θ)，其中f(θ)是关于θ的函数。

常见的极坐标曲线有：- 极径为常数：以原点为圆心的圆。

- 极径关于角度的函数：如r = a + bsin(θ)，表示螺旋线。

- 极径为角度的函数：如r = aθ，表示阿基米德螺线。

三、参数方程1. 定义与示例参数方程是用参数表示自变量和因变量之间关系的方程。

常用的参数方程形式为x = f(t)和y = g(t)，其中x和y分别表示平面上的横纵坐标，t是参数。

例如，参数方程x = cos(t)，y = sin(t)，描述了一个单位圆的轨迹。

2. 参数方程与直角坐标系之间的转换将参数方程x = f(t)和y = g(t)转换为直角坐标系中的方程，可以通过消去参数t来实现。

通常使用代数方法或几何方法进行转换，并根据具体情况选择适当的方法。

四、极坐标系与参数方程的应用1. 曲线的绘制极坐标系和参数方程在曲线的绘制中具有很强的优势，特别适用于描述复杂的几何图形，如心形线、螺旋线等。

通过设置极角或参数的范围，可以绘制出完整的曲线图形。

2. 积分计算对于一些特殊形状的区域，使用极坐标系可以简化积分计算。

通过转换成极坐标系的面积元素，可以减少积分的复杂程度，简化计算过程。

石泉中学课时教案科目:高二数学教师:张艳琴授课时间: 第11周星期四2016 年 5月 5 日单元（章节）课题第一章坐标系本节课题 2.1极坐标系的概念三维目标知识与技能: 理解极坐标系的概念, 能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 过程与方法：通过实例, 体会极坐标系与平面直角坐标系的区别。

情感,态度与价值观: 培养学生学习数学概念的方法；情感,态度与价值观：培养学生学习数学概念的方法；提炼的课题极坐标系的概念教学重难点重点: 理解极坐标系的概念, 能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 难点: 的理解。

难点：0,0<<θρ的理解。

教学过程一、情境导入如图为某校园的平面示意图, 假设某同学在教学楼处。

（1）他向东偏60°方向走120M后到达什么位置？该位置唯一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置, 他应如何描述？二、自主学习（预习教材P8~ P9, 找出疑惑之处）1.极坐标的概念1.如右图, 在平面内取一个定点, 叫做；自极点引一条射线, 叫做；再选定一个, 一个（通常取）及其 （通常取 方向）, 这样就建立了一个 。

如图：2.设是平面内一点, 极点与的距离叫做点的 , 记为 ；以极轴为始边, 射线为终边的角叫做点的 , 记为 。

有序数对 叫做点的 , 记作 。

特别规定： 当M 在极点时, 它的极坐标= , 可以取任意值.3、思考: 如何做点）？，（），，（ππ-2-6-2B A 三、典型例题例1． 题型一: 已知点的极坐标在极坐标系里描出点的位置在极坐标系中描出下列各点:).675.3(),345(),23(),62()0,4(ππππ，，，，，E D C B A 题型二: 已知极坐标系点的位置写出点的极坐标例2.在极坐标系中, 请写出点A, B, C 的极坐标。

四、课堂小结你今天主要学习了什么？ 都有哪些收获？你今天主要学习了什么？都有哪些收获？),(θρM● ρ θ O x。

1.2 极坐标系一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，认识极坐标系、能在极坐标系下用极坐标表示点的位置，会进行极坐标和直角坐标的互化，在直观想象、数学抽象中感受极坐标的特点．（二）学习目标1．通过实例，认识极坐标系，体会用极坐标表示点的特点．2．了解用极坐标系表示点的不唯一性．3．能进行极坐标系与平面直角坐标系的互化，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别．（三）学习重点1．认识极坐标系的重要性．2．用极坐标刻画点的位置．3．会进行极坐标与直角坐标的互化．（四）学习难点1．理解用极坐标刻画点的位置的基本思想．2．认识点与极坐标之间的对应关系．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第8页至第11页，填空：极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记ρ叫做点M为θ.有序数对),(θρ，θ可取任意实数．为0≥（2）想一想：点与极坐标有什么关系？一般地，极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点．特别地，极点O 的坐标为))(,0(R ∈θθ．如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的． （3）写一写：极坐标系与直角坐标系如何转化？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，则：=x θρcos ， =y θρsin=2ρ22y x +， =θtan )0(≠x xy2．预习自测（1）在极坐标系中，下列各点中与)3,2(π表示的不是同一个点的是( )A ．)35,2(π-B ．)37,2(πC ．)35,2(πD ．)313,2(π 【知识点】极坐标系【解题过程】由于极坐标),(θρ与)2,(πθρk +)(Z k ∈表示同一个点，检验得，选项C 不是同一个点【思路点拨】根据点的极坐标定义代入验证可得 【答案】C（2）已知点A 的直角坐标为)2,0(，则点A 的极坐标为（ ）A ．)2,2(πB ．)0,2(C ．)2,2(πD ．)2,2(π-【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：22022=+=ρ，显然2πθ=【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】A（3）已知点M 的极坐标为)4,3(π，则点M 的直角坐标为（ ）A ．)3,3(B ．)223,223(C ．)233,23( D ．)33,3( 【知识点】极坐标与直角坐标互化【解题思路】根据极坐标与直角坐标互化公式可得：223sin ,223cos ====θρθρy x 【思路点拨】由极坐标与直角坐标互化可得 【答案】B（4）已知A 、B 两点极坐标为)32,6(),3,4(ππ-B A ，则线段AB 中点的极坐标为________．【知识点】极坐标与直角坐标互化、中点坐标公式【解题过程】 将A,B 两点化为直角坐标得 )33,3(),32,2(--B A ，所以中点的直角坐标为)23,21(--，化为极坐标得)34,1(π【思路点拨】先化为直角坐标，利用在直角坐标系下的中点坐标公式求出中点，再化为极坐标 【答案】)34,1(π(二)课堂设计 1．知识回顾（1）平面直角坐标系中的点P 与坐标(a ,b)是一一对应的. 2．问题探究探究一 结合实例，认识极坐标系★ ●活动① 提出问题，创设情境如右图1是某校园教学平面示意图，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题： (1)他向东偏北 60方向走m 120后到达什么位置？该位置唯一确定吗？(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？ （学生回答）(1) 他向东偏北 60方向走m 120后到达是点C 图书馆的位置，该位置唯一确定.(2)如果去体育馆向正东方向走m 60，去办公楼向北偏西图145走m 50.上面刻画位置是以A 作为基点，并以射线AB 为参照方向，然后利用与A 距离和与AB 所成角度来描述位置，例如“东偏北 60，距离m 120”，即利用“距离”和“角度”来刻画平面上点的位置.在上一节中，我们用“在信息中心的西偏北 45方向，距离m 10680处”描述了巨响的位置.即以信息中心为基点，以正西方向为参照，用与信息中心的距离与正西方向所成的角来刻画巨响的位置.有时候它比直角坐标更方便，在现实生活中，有很多的应用，例如台风预报，地震预报，测量、航空、航海中主要采用这种方法.【设计意图】从生活实例到数学问题，引入学习极坐标系概念的必要性，形成用角和距离刻画点的位置的直觉.●活动② 互动交流，类比提炼概念我们类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系？（学生讨论交流）平面直角坐标系的建立是在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.通常，两条数轴分别置于水平位置与垂直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向.水平的数轴叫做x 轴或横轴，垂直的数轴叫做y 轴或纵轴，它们的公共原点O 称为直角坐标系的原点，以点O 为原点的平面直角坐标系记作平面直角坐标系xOy .类比上述过程，我们在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．极坐标建立后，如何来定义平面中的点的极坐标呢？ 如右图2，设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．【设计意图】从特殊到特殊，类比得到极坐标系，让学生不会觉得极坐标系来得太突然，顺其图2B 自然得到点在极坐标系中的定义. ●活动③ 巩固基础，检查反馈 例1 在极坐标系里描出下列各点.)0,3(A ，)2,3(πB ,)34,5(πC ,)65,3(πD ,)35,6(πE【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图． 【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值． 【答案】如右图．同类训练 在右图3的极坐标系中描出下列点的位置：)4,3(πF ，),4(πG【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示【数学思想】数形结合【解题过程】根据点在极坐标的表示，ρ表示的是点到极点的距离，θ表示射线与极轴所成的角，所以个点在极坐标的位置如图3．【思路点拨】欲确定点的位置，需先确定ρ和θ的值． 【答案】如右图3．探究二 探究点与极坐标的对应关系 ●活动① 认识差异、辨析极坐标系在图1中，用点E D C B A ,,,,分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.我们以点A 为极点，AB 所在的射线为极轴（单位长度为m 1），GFAD CE4πOx2π 65π π34π 35π图34πOx2π 65π π34π 35π x图4建立极坐标系，则E D C B A ,,,,的极坐标分别为)43,50(),2,360(),3,120(),0,60(),0,0(πππ建立极坐标系后，给定ρ和θ，就可以在平面内惟一确定点M ，反过来，给点平面内任意一点，也可以找到她的极坐标),(θρ.但是否和平面直角坐标系中的点和直角坐标一样，极坐标和点事一一对应的关系呢？【设计意图】通过对点的极坐标的认识，为后面点的极坐标不惟一做好铺垫． ●活动② 合作探究，解决问题我们来观察下列极坐标表示的点之间有何关系呢？)26,4(),46,4(),26,4(),6,4(πππππππ-++由终边相同的角的定义可知，上述极坐标表示的是同一个点，于是：一般地，极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点，所以，极坐标和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示.特别地，极点O 的极坐标为))(,0(R ∈θθ如果我们规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．同类训练 在极坐标系中，写出下图中各点的极坐标(πθρ20,0<≤>)A （4，0）B （ ）C （ ）D （ ） F （ ） G （ ） 【知识点】极坐标系的定义、点在极坐标系中的表示 【数学思想】数形结合【解题过程】根据点A 的极坐标，可以得到其它点的极坐标)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【思路点拨】(1)写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了． (2)点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ＞0，0≤θ＜2π，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．【答案】)4,2(πB ，)2,3(πC ,)65,1(πD ,)34,6(πF ,)35,5(πG ．【设计意图】通过辨析认识点的极坐标是不唯一的，加深对极坐标系的认识． 探究三 实现极坐标与直角坐标的互化★▲ ●活动① 归纳梳理、理解实质平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标来表示，那么这两种坐标之间有何联系呢？把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图5所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 这就是极坐标和直角坐标的互化公式. 【设计意图】得到直角坐标与极坐标之间的关系． 活动② 巩固基础，检查反馈例2 分别把下列点的极坐标化为直角坐标（1）)6,2(π （2）)2,3(π【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】（1）由cos 2cos36sin 2sin16x y πρθπρθ======所以点的极坐标)6,2(π化为直角坐标为)1,3(．图5（2）由cos 3cos02sin 3sin32x y πρθπρθ======所以点的极坐标)2,3(π化为直角坐标为)3,0(．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )1,3( （2） )3,0(． 同类训练 分别把下列点的极坐标化为直角坐标（1）)32,4(π（2）),(ππ 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】【解题过程】（1）3232sin 4sin 232cos 4cos ===-===πθρπθρy x 所以点的极坐标)32,4(π化为直角坐标为)32,2(-．（2）由cos cos sin sin 0x y ρθπππρθππ===-===所以点的极坐标),(ππ化为直角坐标为)0,(π-．【思路点拨】将点的极坐标),(θρ化为点的直角坐标),(y x 时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键． 【答案】（1） )32,2(- （2） )0,(π-．例3 已知点B 、C 的直角坐标为)2,2(-,)15,0(-,求它的极坐标(ρ>0,0≤θ<2π). 【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】∵ρ=,22)2(22222=-+=y x ＋122tan -=-=θ,且点位于第四象限∴θ=47π,点B 的极坐标为(22,47π).又∵x =0,y <0,ρ=15,∴点C 的极坐标为(15,23π).【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值. 【答案】B(22,47π) C(15,23π)．同类训练 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π)（1） )3,3(； （2） )1,1(-- ；（3） )0,3(-． 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【数学思想】【解题过程】（1）333tan ,323)3(22===+=θρ 又因为点在第一象限，所以3πθ=.所以点)3,3(的极坐标为)3,32(π． （2）111tan ,2)1()1(22=--==-+-=θρ又因为点在第三象限，所以45πθ=.所以点)1,1(--的极坐标为)45,2(π．（3）30)3(22=+-=ρ，极角为π，所以点)0,3(-的极坐标为),3(π．【思路点拨】化点的直角坐标为极坐标时，一般取πθρ20,0<≤≥，即θ取最小正角,由tanθ=xy求θ时，还需结合在直角坐标系下点),(y x 所在的象限来确定θ的值. 【答案】（1）)3,32(π （2）)45,2(π（3）),3(π．【设计意图】巩固检查极坐标与直角坐标互化公式． 3.课堂总结 知识梳理（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．（3）如果规定πθρ20,0<≤>，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是惟一确定的．（4）把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下：⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=)0(tan 222x x y y x θρ 重难点归纳（1）极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可．（2）写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序（3）若两个坐标系符合三个前提条件：(1)极点与直角坐标系的原点重合; (2) 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合; (3) 两种坐标系的单位长度相同.则其相互转化：（三）课后作业 基础型 自主突破1．极坐标系中，点)1,2(πP 到极点的距离是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．π2 【知识点】极坐标的定义．【解题过程】由极坐标定义)1,2(πP 已知πρ2=，故P 到极点的距离为2π． 【思路点拨】根据极坐标的定义进行判断． 【答案】D ．2．下列各点中与极坐标)7,5(π表示同一个点的是( )．)0(tan ,222≠=+=x xyy x θρ 直角坐标),(y x M极坐标),(θρMθρθρsin ,cos ==y xA ．(5，67π)B ．(5，157π)C ．(5，67π-)D ．(5，7π-) 【知识点】点在极坐标系中的表示．【数学思想】 【解题过程】根据极坐标)7,5(π和))(27,5(Z k k ∈+ππ表示同一个点，取1=k ，得选项B ． 【思路点拨】极坐标),(θρ和))(2,(Z k k ∈+πθρ表示同一个点．【答案】B ．3．在直角坐标系中点()3,1-P ，则它的极坐标是A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2πB ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2πC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2πD ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 【知识点】极坐标与直角坐标互化． 【解题过程】因为313tan ,21)3(22-=-==+-=θρ，且点在第四象限，所以选C 【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化来求解．【答案】C ．4．已知O 为极点，π23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ，7π56B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则AOB S ∆= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5错误!未找到引用源。