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12-1、设3级线性反馈移位寄存器的特征方程为：23()1f x x x =++，试验证它为本原多 项式。
解：由题意n=3，所以217nm =-=。
而73243211(1)(1)m x x x x x x x +=+=+++++上式说明()f x 可整除71x +，且()f x 既约，除不尽6541,1,1x x x +++所以f (x)为本原多项式。
12-2、己知三级移位寄存器的原始状态为111，试写出两种m 序列的输出序列。
解：因为反馈移存器能产生m 序列的充要条件为：反馈移位寄存器的特征多项式为本原多项式。
当n=3时，有2个3阶本原多项式：31()1f x x x =++，322()1f x x x =++1()f x 和2()f x 为互逆的本原多项式，都可以产生m 序列。
根据第5题，由31()1f x x x =++产生的m 序列为11101000， 同理，由322()1f x x x =++产生的m 序列为11100100。
12-3、设4级线性反馈移存器的特征方程为：234()1f x x x x x =++++，试证明此移位寄 存器产生的不是m 序列。
证明：方法一：由题意n ＝4，得2115nm =-=。
因为 4325(1)(1)1x x x x x x +++++=+()f x 可整除51x +，故()f x 不是本原多项式，它所产生的序列不是m 序列。
方法二：由特征多项式234()1f x x x x x =++++构成的4级线性反馈移位寄存器如图9-4所示。
假设初始状态为：1 1 1 1 状态转换位： 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1可见输出序列的周期为462115≠-=，故不是m 序列。
图 12-112-4、己知一个由9级移位寄存器所产生的m 序列，写出在每一周期内所有可能的游程长度的个数。
解：该m 序列中共有82256=个游程。
伪随机m序列（也称为最大长度序列或m序列）是一种由线性反馈移位寄存器（LFSR）生成的二进制序列。
它具有许多特性，如周期性、平衡性（即在一个周期内，0和1的个数几乎相等）等，因此被广泛应用于通信、加密和测试等领域。
要将伪随机m序列转换成二进制，实际上m序列本身就是二进制的。
可能你的意思是如何从LFSR的状态或某个多项式来生成这个m序列。
以下是一个简单的步骤说明如何从给定的LFSR 生成m序列：
确定LFSR的初始状态：首先，你需要为LFSR选择一个非零的初始状态。
这个状态决定了序列的起始点。
确定反馈多项式：LFSR的工作方式基于一个反馈多项式，它决定了在每一步中哪些位的值会被异或（XOR）以产生新的输出位。
进行移位操作：在每一步中，LFSR都会将其内容向左（或向右，取决于定义）移动一位，并根据反馈多项式计算新的最右（或最左）位。
记录输出：随着LFSR状态的变化，你可以记录每一步的输出，从而形成一个二进制序列。
重复上述步骤：继续这个过程，直到序列重复或达到所需的长度为止。
对于n位的LFSR，其生成的m序列的最大长度为2^n - 1。
注意：为了确保生成的序列是m序列，选择的反馈多项式必须是本原多项式。
举个例子，考虑一个4位的LFSR，初始状态为1000，反馈多项式为x^4 + x + 1（这意味着在每一步中，最左边的位与第三个位进行异或操作以产生新的最右位）。
则生成的m序列可能是这样的：
1000
0100
1010
0101
1011
0111
1110
1100
...
这只是一个简化的例子，实际的LFSR和m序列可能会更复杂。
扩频通信原理
一般的无线扩频通信系统都要进行三次调制。
一次调制为信息调制，二次调制为扩频调制，三次调制为射频调制。
接收端有相应的射频解调，扩频解调和信息解调。
根据扩展频谱的方式不同，扩频通信系统可分为：直接序列扩频（DS）、跳频（FH）、跳时（TH）、线性调频以及以上几种方法的组合。
在发端，信息码经码率较高的PN码调制以后，频谱被扩展了。
在收端，扩频信号经同PN码解调以后，信息码被恢复；
信息码经调制、扩频传输、解调然后恢复的过程，类似与PN码进行了二次"模二相加的过程。
伪随机序列扩频通信技术在发送端以扩频码进行扩频调制，在接收端以相关解扩技术进行收信，这一过程使其具有诸多优良特性，即抗干扰性能好、隐蔽性强、干扰小、易于实现码分多址等。
扩频调制即是将扩频码与待传输的基带数字信号进行模二叠加（时域相乘）。
扩频调制后的信号还需经过载波调制后才可发送至信道。
而接收端则采用相干解扩和解调，恢复出原始数据信息，以达到抑制干扰的目的。
扩频调制是通过伪随机码或伪随机序列来实现的。
从理论上讲，用纯随机序列来扩展信号的频谱是最重要的，但是接收端必须复制同一个伪随机序列，由于伪随机序列的不可复制性，因此，在工程中，无法使用纯随机序列，而改为采用伪随机序列。
各类扩频通信系统都有伪随机编码序列，而且具有良好随机特性和相关特性的扩频编码对于扩频通信是至关重要的，对扩频通信的性能具有决定性的重要作用。
在扩频通信系统中，抗干扰、抗截获、信息数据隐蔽和保密、多径保护和抗衰落、多址通信、实现同步捕获等都与扩频编码密切相关。
能满足上述要求的扩频编码应具有如下的理想特性：（1）有尖锐的自相关特性；（2）有处处为零的互相关；（3）不同码元数平衡相等；（4）有足够的编码数量；（5）有尽可能大的复杂度。
m序列m序列是最长线性移位寄存器序列的简称。
顾名思义，m序列是由多级移位寄存器或其延迟元件通过线性反馈产生的最长的码序列。
在二进制移位寄存器中，若n为移位寄存器的级数，n级移位寄存器共有2n个状态，除去全零状态外，还剩下2n-1种状态，因此它能产生最大长度的码序列为2n-1位。
故m序列的线性反馈移位寄存器称做最长线性移位寄存器。
产生m序列的移位寄存器的电路结构，即反馈线连接不是随意的，m序列的周期P 也不能随意取值，而是必须满足：P=2n -1部分m 序列的反馈系数C i 如下表所示： 级数n 周期P 反馈系数C i （八进制）3 7 134 15 235 31 45，67，756 63 103，147，1557 127 203，211，217，235，277，313，325，345，367 8 255 435，453，537，543，545，551，703，747 9 511 1021，1055，1131，1157，1167，1175 10 1023 2011，2033，2157，2443，2745，3471 1120474005，4445，5023，5263，6211，7363对于m 序列，下面以级数n=4为例进行讨论。
伪随机码的原理与应用1. 什么是伪随机码？伪随机码（Pseudorandom code）是一种非真随机生成的代码，通常由伪随机序列生成器生成。
它不是通过真正的随机过程产生的，而是使用算法生成的，因此被称为伪随机码。
伪随机码具有类似于真随机码的统计特性，但是其生成规则是可预测的。
2. 伪随机码的原理伪随机码的生成原理基于数学算法。
常见的伪随机码生成算法有线性反馈移位寄存器（LFSR）、梅森旋转算法等。
其中，LFSR是最常见的伪随机码生成算法之一。
LFSR是一种基于移位寄存器的随机数生成器。
它主要由一个寄存器和一个反馈系数构成。
通过不断的移位和异或运算，LFSR生成一个伪随机序列。
这个序列在统计特性上与真随机序列非常相似。
3. 伪随机码的应用伪随机码在数字通信、密码学、网络安全等领域有广泛的应用。
下面列举几个常见的应用场景：3.1 伪随机码的加密伪随机码可用于加密通信过程中的数据。
在加密过程中，发送方使用伪随机码对原始数据进行加密操作，然后将加密后的数据发送给接收方，接收方通过使用相同的伪随机码对加密数据进行解密操作，从而还原出原始数据。
3.2 伪随机码的扩频技术伪随机码在扩频技术中起到关键的作用。
扩频技术用于增加通信系统的抗干扰性能和保密性能。
发送方使用伪随机码对原始信号进行扩频，接收方通过使用相同的伪随机码对接收到的信号进行解扩，从而还原出原始信号。
3.3 伪随机码的随机性测试伪随机码的随机性是衡量其质量的重要指标。
在应用中，需要对生成的伪随机码进行随机性测试，以保证其符合随机性的要求。
常见的随机性测试方法包括序列统计方法、频谱分析方法等。
4. 伪随机码的优缺点伪随机码相比于真随机码具有一些优缺点。
下面分别列举：4.1 优点•生成速度快：伪随机码是通过算法生成的，因此生成速度非常快。
•可控性强：伪随机码的生成规则是可预测的，可以根据需要进行调整。
•长周期性：伪随机码的周期可以很长，可以满足大多数应用场景的需求。
正交编码与伪随机序列————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：ﻩ3. 正交编码与伪随机序列在数字通信中,正交编码与伪随机序列都是十分重要的技术。
正交编码不仅可以用作纠错编码，还可用来实现码分多址通信。
伪随机序列在误码率测量、时延测量、扩频通信、通信加密及分离多径等方面有十分广泛的应用。
3.1. 正交编码一、几个概念 1、互相关系数设长为ｎ的编码中码元只取+１、-1，x 和ｙ是其中两个码组)...,(21n x x x x =，)...,(21n y y y y =,其中)1,1(,-+∈i i y x则ｘ、y 间的互相关系数定义为∑==ni i i y x n y x 11),(ρ如果用0表示+1、1表示-1，则DA DA y x +-=),(ρ,其中A 是相同码元的个数，D 为不同码元的个数。
2、自相关系数自相关系数定义为:∑=+=ni j i i x x x n j 11)(ρ，其中下标的计算按模n 计算。
3、正交编码若码组C y x ∈∀,，（C 为所有编码码组的集合)满足0),(=y x ρ,则称C 为正交编码。
即：正交编码的任意两个码组都是正交的。
例1：已知编码的4个码组如下:)1,1,1,1();1,1,1,1();1,1,1,1();1,1,1,1(4321--=--=--=++++=S S S S试计算1S 的自相关系数、21,S S 的互相关系数。
4、超正交编码若两个码组的互相关系数0<ρ，则称这两个码组互相超正交。
如果一种编码中任何两个码组间均超正交,则称这种编码为超正交编码。
例２:例1中取后三个码组,且去掉第１位构成的编码为超正交编码。
(０,1,1），（１,１,０)（1,0,１） 5、双正交编码由正交编码及其反码便组成双正交编码。
例3:正交编码(1,1，1，１)（1,１,0，0）（１,０，０，1）（1,0,1,0） 反码为（0,０，０,0）（０,0,1，1）(0,1，１，0）(０,1,0,１） 双正交码中任意两个码组间的互相关系数为０或-1。
m序列基本概念：M序列（即De Bruijn序列）又叫做伪随机序列、伪噪声(PN)码或伪随机码。
可以预先确定并且可以重复实现的序列称为确定序列；既不能预先确定又不能重复实现的序列称随机序列；不能预先确定但可以重复产生的序列称伪随机序列。
具体解释于一个n级反馈移位寄存器来说，最多可以有2^n 个状态，对于一个线性反馈移位寄存器来说，全“0”状态不会转入其他状态，所以线性移位寄存器的序列的最长周期为2^n-1。
当n级线性移位寄存器产生的序列{ai}的周期为T= 2^n-1时，称{ai}为n级m序列。
当反馈函数f（a1,a2,a3,…an）为非线性函数时，便构成非线性移位寄存器，其输出序列为非线性序列。
输出序列的周期最大可达2^n ，并称周期达到最大值的非线性移位寄存器序列为1.m序列的产生原理和结构m序列是n 级二进制线性反馈移位寄存器除去输出为0的状态外，产生的周期为2 n -1 的最大可能长度序列，又称为最大长度线性反馈移位序列。
其产生的原理如图1所示。
PN序列发生器由n级移位寄存器，模二加法器和反馈线三个部分组成。
图中，c i ( i =1…n ) 为反馈系数，若c i =1,表示有连接，有反馈，若c i =0则表示断开，无反馈。
c i 的取值决定了移位寄存器的反馈连接和序列的结构，故是一个很重要的参量。
2.m序列的基本性质(1) 移位相加特性。
一个m序列与其任意次延迟移位后产生的另一个不同序列模2相加，得到的仍是该m 序列的延迟移位序列。
如，0100111向右移1次产生另一个序列1010011 ，模2相加后的序列为1110100 ，相当于原序列右移3次后得到的序列。
(2) 平衡特性。
在m序列的每个2n－1周期中，"1"码元出现的数目为次，"0"码元出现的数目为2n －1－1 次，即"0"的个数总是比"1"的个数少一个，这表明，序列平均值很小。
伪随机序列的构造及其性质分析伪随机序列的构造及其性质分析随机序列在现代密码学和计算机科学中有着广泛的应用。
伪随机序列（Pseudo-Random Sequence，简称PRBS）是一种通过确定性算法构造出的近似随机序列。
本文将探讨伪随机序列的构造方法，以及分析其性质。
一、伪随机序列的构造方法：1. 线性反馈移位寄存器（Linear Feedback Shift Register，简称LFSR）：LFSR是最常见的构造伪随机序列的方法之一。
它是一个位寄存器，其中的每一个比特都是由寄存器中之前的多个位的线性组合得到的。
通过不同的初始状态和反馈多项式，可以构造出不同长度和周期的伪随机序列。
2. 循环冗余校验码（Cyclic Redundancy Check，简称CRC）：在数据传输和存储过程中，CRC常用于错误检查和校正。
CRC算法利用多项式除法的原理，将输入数据与一个预设的除数进行除法运算，生成校验码。
将输入数据与校验码连接起来，就得到了伪随机序列。
二、伪随机序列的性质分析：1. 均匀性：伪随机序列应当具有均匀分布的特性，即每个元素出现的概率相等。
通过统计分析伪随机序列的频率分布，可以验证其均匀性。
2. 独立性：在伪随机序列中，相邻的元素应当是独立的，即前一个元素不能推断出下一个元素的值。
通过计算伪随机序列的自相关函数和互相关函数，可以评估序列中元素的独立性。
3. 周期性：伪随机序列应当具有较长的周期，周期越长，序列的重复性就越低。
通过寻找伪随机序列中的重复模式，并计算出其周期，可以评估序列的周期性。
4. 伪随机性：伪随机序列应当具有足够的伪随机性，即难以被预测。
通过应用统计学方法，如Chi-square检验和Kolmogorov-Smirnov检验，可以验证伪随机序列的随机性。
三、总结：伪随机序列的构造方法多种多样，常用的方法包括LFSR和CRC。
对于生成的伪随机序列，我们可以通过分析其均匀性、独立性、周期性和伪随机性来评估其质量和安全性。
伪随机原理
伪随机原理是指使用计算机算法生成的数列，虽然具有一定的随机性，但实际上是可预测和可重现的。
这种随机性是通过特定的算法和初始种子（seed）来生成的。
与真正的随机数相对，伪随机数是一种伪装成随机的数列。
以下是伪随机原理的一些关键概念：
1. 算法：伪随机数生成的核心是一个算法，它通过一系列的数学运算，以及对前一次生成的数字的处理，产生看似随机但实际上具有可预测性的数列。
2. 种子：伪随机数生成器通常需要一个起始值，称为种子。
相同的种子将产生相同的伪随机数序列。
因此，如果知道种子和算法，理论上可以复现整个数列。
3. 周期性：伪随机数生成器具有一个周期，即在经过一定次数的生成后，数列将重复。
这意味着如果用相同的算法和种子生成足够多的数字，最终会回到相同的数列。
4. 均匀性：伪随机数生成器的输出应该在一定范围内均匀分布，以模拟真实随机数的均匀性。
5. 确定性：伪随机数是确定性的，即在相同的输入条件下，生成的数列是可预测的。
这使得在科学计算、模拟和其他需要可重现性的领域中广泛使用。
6. 常见算法：线性同余法、梅森旋转算法、梅尔森尼旋转算法等是常见的伪随机数生成算法。
尽管伪随机数不具备真正随机数的性质，但在许多应用中，它们足够满足需要。
在实际应用中，选择合适的伪随机数生成器和合理的种子对于确保生成的数列满足要求非常重要。
伪随机数生成原理
伪随机数生成原理是指通过一定的算法和种子，生成看似随机的数字序列。
这种序列与真正的随机序列有所不同，因为它们是通过计算机程序生成的。
在实际应用中，伪随机数可以用于密码学、模拟、游戏等领域。
伪随机数生成算法通常包括线性同余法、梅森旋转算法、拉格朗日插值法等。
其中，线性同余法是最简单的算法，通过如下公式生成： X(n+1) = (a * X(n) + c) mod m
其中，a、c、m为常量，X(n)为上一个随机数种子，X(n+1)为新生成的随机数种子。
在实际应用中，伪随机数生成原理的安全性和随机性都受到极大的关注。
因此，需要严格控制种子值的生成和算法的选择，以确保生成的随机数序列不易被猜测和攻破。
同时，还需要对生成的随机数序列进行统计分析，以检验其随机性和分布情况。
总之，伪随机数生成原理是计算机科学中一个重要的概念，它涉及到许多领域的应用和研究。
在实际应用中，我们需要理解伪随机数生成原理的基本原理和技术，以便更好地应用和优化算法。
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伪随机的大概规律
伪随机数是指在计算机中生成的一组看起来像随机数的数字序列，但实际上是由一个确定的算法按照一定的规律生成的。
伪随机数是计算机领域中一个重要的概念，它可以用于密码学、模拟、游戏等领域。
伪随机数的生成方法有很多种，其中最常见的是线性同余法。
这种方法的基本原理是：从一个种子值开始，按照一个固定的公式不断生成一系列数字，每个数字都会受到前面的数字的影响，但是这种影响是不可预测的。
当生成的数字足够多时，就会形成一组看起来随机的数字序列。
但是，伪随机数并不是真正的随机数，它们有一个重要的缺陷：它们是可预测的。
如果知道了生成伪随机数的算法和种子值，就能够准确地预测出接下来的数字。
因此，在一些需要高度安全性的场合，如加密、随机数抽取等，就需要使用真正的随机数。
为了解决伪随机数的这个问题，人们发明了硬件随机数生成器。
硬件随机数生成器利用物理现象，如热噪声、放射性衰变等，生成真正的随机数。
这些随机数是无法预测的，因此非常适合用于加密、密钥生成等需要高度安全性的场合。
然而，硬件随机数生成器也有一些缺点。
首先，它的性能比较差，
生成随机数的速度比较慢。
其次，它的成本比较高，需要专门的硬件支持。
因此，在一些对安全性要求不是非常高的场合，如模拟、游戏等，还是使用伪随机数比较方便和经济。
伪随机数和真正的随机数都有各自的优缺点，应根据具体的应用场景来选择使用哪种随机数。
同时，我们也应该认识到，伪随机数并不是真正的随机数，不能用于一些对安全性要求非常高的场合。
梅森旋转法生成伪随机数序列一、梅森旋转法简介梅森旋转法（Mersenne Twister）是一种常用于生成伪随机数序列的算法。
它由Makoto Matsumoto和Takuji Nishimura于1997年开发，并以旋转矩阵理论中的一个重要问题命名。
该算法的主要特点是周期长、计算速度快且具有较好的随机性质。
它可以产生高质量的伪随机数，被广泛应用于计算机模拟、密码学、游戏开发等领域。
二、梅森旋转法的实现原理梅森旋转法基于一个大的、固定长度的状态数组，通常为一个624维的向量。
该向量的初始值称为”种子”（seed），可以由任意数值产生。
通过对种子进行一系列运算，可以生成一个长周期（2^19937-1）的伪随机数序列。
具体来说，梅森旋转法的实现包括以下几个步骤：1.初始化种子：通过一个非线性函数将种子初始化为一个624维的向量。
2.生成随机数：通过一个旋转运算和一系列位运算，根据当前状态数组中的值，生成一个随机数。
3.更新状态数组：将当前状态数组中的值更新为下一个状态的值，以便生成下一个随机数。
4.循环生成：重复执行步骤2和3，直到达到需要的伪随机数的数量。
注意，为了保持生成的随机数序列的质量，每次生成随机数时都需要对状态数组进行更新。
因此，在生成大量的随机数时，要进行适当的周期检测和状态重置。
三、Python中的梅森旋转法实现在Python中，我们可以使用标准库中的random模块来实现梅森旋转法。
import randomclass MersenneTwister:def __init__(self, seed):self.mt = [0] * 624self.index = 0self.mt[0] = seedfor i in range(1, 624):self.mt[i] = (0x6c078965 * (self.mt[i-1] ^ (self.mt[i-1] >> 30)) +i) & 0xffffffffdef generate_random_number(self):if self.index == 0:self.twist()y = self.mt[self.index]y = y ^ (y >> 11)y = y ^ ((y << 7) & 0x9d2c5680)y = y ^ ((y << 15) & 0xefc60000)y = y ^ (y >> 18)self.index = (self.index + 1) % 624return ydef twist(self):for i in range(624):y = (self.mt[i] & 0x80000000) + (self.mt[(i+1) % 624] & 0x7fffffff) self.mt[i] = self.mt[(i + 397) % 624] ^ (y >> 1)if y % 2 != 0:self.mt[i] = self.mt[i] ^ 0x9908b0df以上是一个基于Python实现的简单版梅森旋转法。
伪随机序列的主要性质研究王磊学号：摘要：伪随机序列在保密通信、航空航天、测距、密码学、自动控制等领域具有重要作用。
扩频通信系统的频谱扩展是借助扩频函数而实现的。
典型的扩频函数就是伪随机序列，实用的伪随机序列必须是具有随机性，有尖锐的自相关特性，有较小的互相关值，有较多的序列数；同时还要求序列平衡，易于实现等特点。
本文介绍了应用比较广泛的m序列、gold序列和M序列,研究了伪随机序列的共有性质及其各自序列的特性。
关键词：伪随机序列，m序列，M序列，Gold序列Studies of the major properties of Pseudo-random sequenceWang LeiAbstract: Pseudo—Random Sequences play an important role in many fields such as secret communication, aviation, auto-control and cryptography. The spread spectrum of communication system is achieved through spread spectrum functions. A typical spread spectrum function is pseudo-random sequence, useful pseudo-random sequence must be random, with sharp autocorrelation, cross-correlation values are smaller, have more serial numbers; also called sequence of balance, easy-to- and implement. This article describes m sequence, gold series and M series, which are broader applied and studies the nature of pseudo-random sequences and their respective sequences shared characteristics.Keywords: Pseudo-random sequence, m sequence, gold series, M series.1 伪随机序列的概念在现代科学中，白噪声由于其瞬时值服从正态分布、功率谱在很宽频带内都是均匀的等特性而被很多系统所青睐。
《通信信号处理》专题姓名：杨晶超学号：s2*******目录1 伪随机序列的概念2 伪随机序列的相关函数3 m序列• 3.1 m序列的定义• 3.2 m序列的构造• 3.3 m序列的性质• 3.4 m序列的相关性4 M序列5 Gold序列• 5.1 m序列优选对• 5.2 Gold序列的产生方法• 5.3 Gold序列的相关特性6 伪随机序列的应用• 6.1 扩展频谱通信• 6.2 码分多址(CDMA)通信• 6.3 通信加密• 6.4 误码率的测量• 6.5 数字信息序列的扰码与解扰• 6.6 噪声产生器• 6.7 时延测量1 伪随机序列的概念扩频系统的扩频运算是通过伪随机序列来实现的。
从理论上来讲，用纯随机序列来扩展信号的频谱是最理想的，但是接收端必须复制同一个随机序列，由于随机序列的不可复制性，因此在工程中，无法使用纯随机序列，而改为采用伪随机序列。
随机序列通信的基本理论源于香农的编码定理。
香农编码定理指出：只要信息速率R d 小于信道容量C ，则总可以找到某种编码方法，使得在码字相当长的条件下，能够几乎无差错地从高斯白噪声干扰的信号中恢复出原发送的信号。
伪随机序列应当具有类似理想随机序列的性质。
在工程上常用二元{0，1}序列来产生伪随机序列，它具有以下三个特点：(1)随机序列中的“0”的个数和“1”的个数接近相等；(2)随机序列中长度为1的游程约占游程总数的1/2，长度为2的游程约占游程总数的(1/2)2，长度为3的游程约占游程总数的(1/2)3…… 在同长度的游程中，“0”的游程数和“1”的游程数大致相等；(3)随机序列的自相关函数具有类似白噪声自相关函数的性质。
2 伪随机序列的相关函数(1) 凡自相关函数满足()120111,011,0N i i a N i i j i a j N R j a a j N N -=-+=⎧==⎪⎪=⎨⎪=-≠⎪⎩∑∑ 则为狭义伪随机序列。
(2) 凡自相关函数满足()1201011,011,0N i i aN i i j i a j N R j a a c j N -=-+=⎧==⎪⎪=⎨⎪=<≠⎪⎩∑∑ 则为广义伪随机序列。
3 m 序列3.1 m 序列的定义m 序列是最长线性移位寄存器序列，线性移位寄存器是由移位寄存器加上反馈后所产生的。
如图1所示。
图1 n 位线性反馈移位寄存器结构对于一个序列{a n }，序列的生成多项式为()2012nn G x a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+序列的特征多项式为()2012nn F x c c x c x c x =+++⋅⋅⋅+可以证明：()()1G x F x =反馈逻辑c i 一旦确定，产生的序列就确定了。
由n 级移位寄存器产生的序列，其最大的周期为2n -1。
因此，假设在二元域上的n 级线性反馈移位寄存器所产生的非零序列的周期为N=2n -1，则称这个序列为n 级最大周期线性移位寄存器序列，简称m 序列。
3.2 m 序列的构造产生m 序列的条件由下述定理给出。
定理1：如果一个n 级线性移位寄存器所产生的序列周期是N=2n -1的m 序列，则其特征多项式必然是不可约的。
定理2：设()0ni i i F x cx ==∑，c 0=c n =1是二元域上的多项式，以G(F)代表由特征多项式所产生的所有非零序列的集合。
于是G(F)中的非零序列均为m 序列的充要条件是F(x)为二元域上的本原多项式。
所谓本原多项式是指F(x)可整除1+x N ，N=2n -1，F(x)除不尽1+x M ，M<N 。
3.3 m 序列的性质m 序列具有下列性质。
1. 平衡性在m 序列中，“1”的个数比“0”的个数多1个，且“1”的个数为2n-1个，“0”的个数为2n-1-1个。
2. 移位可加性一个m 序列同该序列的任意循环移位序列模2加是该序列的另一移位序列，即仍属于m 序列。
3. 游程特性周期为N=2n -1的m 序列中，总共有2n-1个游程，长度为k 的游程个数占游程总数的1/2k ，其中1≤k ≤(n -2)。
“0”和“1”的游程数目各占一半。
长度为n-1的游程只有一个，为全“0”游程；长度为n 的游程也只有一个，为全“1”游程。
3.4 m 序列的相关性m 序列相关函数定义为()11N i i ji R j a a N-+==∑ 根据m 序列的平衡性和移位可加性，可得()1,01,1,2,,(1)j R j j N N=⎧⎪=⎨-=±±⋅⋅⋅±-⎪⎩由于m 序列是周期函数，因此自相关函数也是周期函数，它是以周期N 重复的。
若周期m 序列的每个码元宽度为T c ，则一个周期为T=NT c ，其自相关函数时域波形如图2所示：图2 二元m 序列自相关函数波形其功率谱密度曲线如图3所示：图3 m 序列功率谱4 M 序列M 序列是由移位寄存器产生的最长非线性序列，其码长为2n 的周期序列。
M 已达到n 级移位寄存器所能达到的最长周期，所以又称全长序列。
M 序列可以在m 序列的基础上，加上全“0”状态后形成。
显然，“0”状态应插在x n x n-1…x 1=100…0之后，同时还必须使“0”状态的后续状态为原m 序列的下一状态，即0…001。
因此必须对原m 序列的反馈逻辑进行修正。
当检测到M 序列的状态为 (即00…0)后，加上原m 序列的反馈逻辑f 0(x 1, x 2, …, x n )，得到新的反馈逻辑M 序列具有如下性质：（1）在一个周期2n 内，序列中的“0”和“1”的个数相等。
（2）在一个周期中，共有2n-1个游程，其中同样长度的“0”游程和“1”游程的个数相等。
当1≤k ≤n -2时，长度为k 的游程数占总游程数的2-k ，长度为n -1的游程不存在，长度为n 的游程有两个，分别为全“1”和全“0”游程。
（3）由n 级移位寄存器产生m 序列的数量为()21nnφ-，()φ∙为欧拉函数。
而由n 级移位寄存器产生M 序列的数量为122n n--个。
当n >4时，M 序列比m 序列的数量大得多。
（4）M 序列不再具有移位相加性，因而其自相关函数不再具有双值特性，而是一个多值函数。
对于周期N=2n 的M 序列自相关函数R M (τ)具有如下相关值：12121021),,(),,(x x x x x x f x x x f n n n n --+=12121021),,(),,(x x x x x x f x x x f n n n n --+=① R M (0)=1； ② R M (j )=0，0<j <n ； ③ R M (±n )=1-4W (f 0)/N ；其中，W (f 0)是产生M 序列的反馈逻辑函数表示成f (x 1, x 2, …, x n )= f 0(x 1, x 2, …, x n-1)+x n 的形式时，函数f 0取值为1的个数，称为f 0的权重。
④ 当j >n 时，无确定的表达式。
5 Gold 序列5.1 m 序列优选对所谓m 序列优选对，是指在m 序列集中，其互相关函数最大值的绝对值小于某个值的两个m 序列。
如果有两个m 序列, 它们的互相关函数满足不等式：122221,()21,n n R τ++⎧+⎪≤⎨⎪+⎩ 则我们称这一对m 序列为优选对。
5.2 Gold 序列的产生方法如果把两个m 序列发生器产生的优选对序列作模2加运算,生成的新的码序列即为Gold 序列。
每改变两个m 序列相对位移就可得到一个新的Gold 序列。
因为总共有2n -1个不同的相对位移, 加上原来的两个m 序列本身, 所以, 两个n 级移位寄存器可以产生2n ＋1个Gold 序列。
产生Gold 序列的电路原理框图如图4所示。
n 为奇数 n 为偶数但不能被4整除图4 产生Gold序列的电路原理框图5.3 Gold序列的相关特性Gold序列具有三值互相关特性。
表1给出了互相关值和出现某种相关值的概率。
表1 Gold序列的互相关函数值出现的概率Gold序列的自相关函数也是三值函数，只是出现的概率不同。
6 伪随机序列的应用6.1 扩展频谱通信图5 数字基带扩展频谱通信系统的模型6.2 码分多址(CDMA)通信码分多址系统有以下特点：（1）所有用户可以异步地共享整个频带资源，也就是说，不同用户码元发送信号的时间并不要求同步；（2）系统容量大；（3）信道数据率非常高。
图6 码分多址扩频通信系统模型6.3 通信加密数字通信的一个重要优点是容易做到加密,在这方面m序列的应用很多。
将信源产生的二进制数字消息和一个周期很长的m序列模二相加,这样就将原消息变成不可理解的另一序列。
将这种加密序列在信道中传输，被他人窃听也不可理解其内容。
在接收端再加上一同样的m序列，就能恢复为原发送消息。
图7 数字加密的基本原理框图6.4 误码率的测量在数字通信中，误码率是一项主要的性能指标。
在实际测量数字通信系统的误码率时，一般测量结果与信源送出信号的统计特性有关。
通常认为二进制信号中0和1是以等概率随机出现的，所以测量误码率时最理想的信源应是随机信号产生器。
由于m序列是周期性的伪随机序列，因而可作为一种较好的随机信源，它通过终端机和信道后，输出仍为m序列。
在接收端，本地产生一个同步的m序列，与收码序列逐位进行模二加运算，一旦有错，就会出现“1”码，用计数器计数。
图8 误码率测试6.5 数字信息序列的扰码与解扰如果我们能够先将信源产生的数字信号变换成具有近似于白噪声统计特性的数字序列，再进行传输；在接收端收到这个序列后先变换成原始数字信号，再送给用户。
这样就可以给数字通信系统的设计和性能估计带来很大方便。
所谓加扰技术，就是不用增加多余度而扰乱信号，改变数字信号统计特性，使其近似于白噪声统计特性的一种技术。
具体做法是使数字信号序列中不出现长游程，且使数字信号的最小周期足够长。
这种技术的基础是建立在伪随机序列理论之上的。
图9 采用加扰技术的系统图10 自同步加扰器和解扰器原理框图6.6 噪声产生器测量通信系统的性能时，常常要使用噪声产生器。
在实际测量中，往往需要用到带限高斯白噪声。
使用噪声二极管这类噪声源构成的噪声发生器，测量得到的误码率常常很难重复得到。
m序列的功率谱密度的包络是(sin x／x)2形的。
设m序列的码元宽度为T1秒，则大约在0～(1／T1)×45％Hz的频率范围内，可以认为它具有均匀的功率谱密度。
将m序列进行滤波，就可取得上述功率谱均匀的部分并将其作为输出,所以可以用m序列的这一部分频谱作为噪声产生器的噪声输出。
虽然这种输出是伪噪声，但其对多次进行的某一测量都有较好的可重复性，且性能稳定，噪声强度可控。
