方案偏好已知的三角模糊数型多属性决策方法

基于毕达哥拉斯模糊Frank算子的多属性决策方法基于毕达哥拉斯模糊Frank算子的多属性决策方法，是一种用于解决多属性决策问题的模型。

本文将对该方法进行详细介绍，并分析其优点和应用场景。

多属性决策问题是一类常见的决策问题，涉及到多个决策属性和多个方案，需要根据这些属性对方案进行评估和排序。

而多属性决策方法就是针对这一类问题提出的解决方案。

毕达哥拉斯模糊Frank算子是多属性决策方法中的一种评估算子。

它是基于模糊集和模糊关系的数学理论，可以用于刻画属性之间的相互关系和权重。

该方法需要经过以下几个步骤来求解多属性决策问题：1. 确定属性集合：首先确定需要评估的属性集合，这些属性需要能够全面地反映方案的特征和性能。

2. 确定评价指标：对每个属性确定一个评价指标，用于衡量方案在该属性上的表现。

这些评价指标可以是定量的也可以是定性的，需要能够客观地反映属性的重要程度。

3. 构建模糊关系矩阵：根据属性之间的相互关系，构建一个模糊关系矩阵。

该矩阵描述了属性之间的模糊关系，可以体现属性之间的相对重要性和影响程度。

4. 计算属性权重：根据模糊关系矩阵，利用Frank算子来计算属性的权重。

Frank算子能够将属性之间的相对重要性进行排序和划分，从而确定每个属性的权重。

5. 属性评估和排序：根据属性的权重和评价指标，对每个方案进行评估和排序。

可以利用属性的权重和评价指标，计算每个方案在各个属性上的得分，然后根据得分来进行排序。

该方法的优点主要体现在以下几个方面：1. 能够全面地考虑多个属性的影响和相互关系，从而提供更准确和完整的评估结果。

2. 能够在评估过程中充分利用模糊关系和Frank算子的优势，对属性之间的相对重要性进行排序和划分。

3. 方法简单易用，能够快速地得到评估结果和排序结果。

基于毕达哥拉斯模糊Frank算子的多属性决策方法适用于各种多属性决策问题的场景，特别是当属性之间存在相互影响和权重不确定的情况下。

直觉模糊多属性决策方法综述一、本文概述随着信息时代的到来，决策问题变得越来越复杂，多属性决策问题在各个领域中都得到了广泛的研究和应用。

在多属性决策中，决策者常常面临属性值模糊、不完全或不确定的情况，这使得决策过程更加困难。

为了解决这些问题，直觉模糊多属性决策方法应运而生，它结合了直觉模糊集理论和多属性决策方法，为处理模糊信息提供了一种有效的工具。

本文旨在综述直觉模糊多属性决策方法的研究现状和发展趋势，分析不同方法的优缺点，为决策者提供更为全面和深入的理论支持和实践指导。

本文将对直觉模糊多属性决策方法进行概述，介绍直觉模糊集的基本概念和性质，以及其在多属性决策中的应用。

然后，将重点综述现有的直觉模糊多属性决策方法，包括基于直觉模糊集的权重确定方法、属性约简方法、决策规则等。

通过对这些方法的分析和比较，揭示各种方法的特点和适用范围。

本文将探讨直觉模糊多属性决策方法在实际应用中的挑战和解决方案。

针对决策过程中可能出现的模糊信息、不确定性等问题，提出相应的处理策略和方法，以提高决策的准确性和有效性。

本文将展望直觉模糊多属性决策方法的发展前景和趋势。

随着、大数据等技术的快速发展，直觉模糊多属性决策方法将在更广泛的领域得到应用，同时也将面临新的挑战和机遇。

因此，本文将分析未来的研究方向和发展趋势，为相关领域的研究和实践提供参考和借鉴。

本文将对直觉模糊多属性决策方法进行全面的综述和分析，旨在为决策者提供更为科学、有效的决策方法和工具，推动多属性决策理论和方法的发展和应用。

二、直觉模糊集理论直觉模糊集（Intuitionistic Fuzzy Sets, IFSs）是Zadeh模糊集理论的一种扩展，由Atanassov在1986年提出。

直觉模糊集不仅考虑了元素对模糊集合的隶属度，还考虑了元素对模糊集合的非隶属度和犹豫度，从而提供了更丰富的信息描述方式。

在直觉模糊集中，每个元素x在一个直觉模糊集A中的隶属度用μ_A(x)表示，非隶属度用ν_A(x)表示，而犹豫度π_A(x)则为1 - μ_A(x) - ν_A(x)。

模糊数直觉模糊数的多属性决策记分排序法摘要：对于属性值为模糊数直觉模糊数的多属性决策问题，提出了一种新的记分函数排序方法，该方法不仅考虑了支持部分对决策的影响，而且也考虑了反对部分对决策影响。

最后，给出实例分析，数值结果表明，该方法是可行的、有效的。

关键词：多属性决策；模糊数直觉模糊数；记分函数1引言多属性决策问题在经济、管理等领域有着广泛的应用，近年来倍受许多学者的关注。

随着决策问题的不断深入，人们对属性不确定的多属性决策问题的研究进一步加深，自从1986年，保加利亚学者Atanassov[1]提出直觉模糊集的概念后，许多学者把直觉模糊集的理论与方法应用到多属性决策问题中取得不少成果[2,3]，但在直觉模糊集中很难用精确的实数值来表达隶属度和非隶属度两个数值，为此人们开始对直觉模糊集进行推广研究。

Atanassov和Gargov[4]于1989年提出了区间直觉模糊集的概念，关于属性值为区间直觉模糊数的多属性决策问题也取得许多成果[5,6] ，区间直觉模糊数不具有倾向性，为了能够突出取值的机会在中心点最大，刘峰、袁学海[7]在2007提出了模糊数直觉模糊集概念，关于属性值为模糊数直觉模糊的多属性决策问题取得一些成果[8，9，10，11]。

对于多属性决策问题，排序是关键问题之一，许多学者提出了不少方法，其中基于记分函数的排序方法是行之有效方法之一，针对模糊数直觉模糊的多属性决策问题，汪新凡在文[8]中建立了记分函数及排序方法。

刘於勋[9,10]给出了精确的记分函数及排序方法。

本文将Ye[12]的方法推广到模糊数直觉模糊数，定义模糊数直觉模糊数的记分函数，并给出属性值为模糊数直觉模糊数多属性决策方法排序方法，最后把排序方法应用到实际问题中，结果表明方法是可行的、有效的。

2 记分函数定义1[7] 设是一个非空集合，则称为模糊数直觉模糊集，其中，为[0,1]上的三角模糊数，且满足条件.类似区间直觉模糊数的定义，把称为模糊数直觉模糊数，简记为。

三角模糊数的计算规则摘要：一、引言二、三角模糊数的概念三、三角模糊数的计算规则四、三角模糊数的应用五、结论正文：一、引言随着科学技术的发展，模糊数学作为一种处理不确定性的数学工具，在各个领域得到了广泛的应用。

三角模糊数是模糊数学中的一种重要概念，它具有较强的理论性和实用性。

本文将介绍三角模糊数的计算规则，并探讨其在实际应用中的价值。

二、三角模糊数的概念三角模糊数是一种特殊的模糊数，其定义包含三个参数：下限（s）、上限（u）和可能性最大的值（m）。

根据这三个参数，可以确定一个模糊数的隶属度，从而描述不确定性。

三角模糊数具有较好的数学性质，为处理不确定性问题提供了有效的工具。

三、三角模糊数的计算规则1.加法运算：对于两个三角模糊数A 和B，它们的和可以表示为A+B，其中A 和B 的隶属度分别为A(x) 和B(x)。

具体计算方法为：对于某个x，如果A(x) 和B(x) 均大于0，则A+B(x)=A(x)+B(x)；如果A(x) 或B(x) 等于0，则A+B(x) 等于非零者的值；如果A(x) 和B(x) 均小于0，则A+B(x)=0。

2.减法运算：对于两个三角模糊数A 和B，它们的差可以表示为A-B，其中A 和B 的隶属度分别为A(x) 和B(x)。

具体计算方法为：对于某个x，如果A(x) 和B(x) 均大于0，则A-B(x)=A(x)-B(x)；如果A(x) 或B(x) 等于0，则A-B(x) 等于非零者的值；如果A(x) 和B(x) 均小于0，则A-B(x)=0。

3.乘法运算：对于两个三角模糊数A 和B，它们的乘积可以表示为A*B，其中A 和B 的隶属度分别为A(x) 和B(x)。

具体计算方法为：对于某个x，如果A(x) 和B(x) 均大于0，则A*B(x)=A(x)*B(x)；如果A(x) 或B(x) 等于0，则A*B(x) 等于非零者的值；如果A(x) 和B(x) 均小于0，则A*B(x)=0。

几种模糊多属性决策方法及其应用一、本文概述随着信息时代的快速发展，决策问题日益复杂，涉及的属性越来越多，决策信息的不确定性也越来越大。

在这种背景下，模糊多属性决策方法应运而生，成为解决复杂决策问题的重要工具。

本文旨在探讨几种典型的模糊多属性决策方法，包括模糊综合评价法、模糊层次分析法、模糊集结算子等，并分析它们在实际应用中的优势和局限性。

本文首先介绍了模糊多属性决策方法的基本概念和理论基础，为后续研究提供必要的支撑。

接着，详细阐述了三种常用的模糊多属性决策方法，包括它们的原理、步骤和应用范围。

在此基础上，通过案例分析，展示了这些方法在实际应用中的具体运用和取得的效果。

通过本文的研究，读者可以深入了解模糊多属性决策方法的原理和应用，掌握其在实际问题中的使用技巧，为解决复杂决策问题提供有力支持。

本文也为进一步研究和改进模糊多属性决策方法提供了参考和借鉴。

二、模糊多属性决策方法概述模糊多属性决策（Fuzzy Multiple Attribute Decision Making，FMADM）是一种处理不确定性、不精确性和模糊性的决策分析方法。

在实际问题中，由于信息的不完全、知识的局限性或环境的动态变化，决策者往往难以获取精确的属性信息和权重信息，这使得传统的多属性决策方法难以应用。

模糊多属性决策方法通过引入模糊集理论，能够更好地处理这种不确定性和模糊性，为决策者提供更合理、更可靠的决策支持。

模糊多属性决策方法的核心思想是将决策问题中的属性值和权重视为模糊数，利用模糊集理论中的运算法则进行决策分析。

根据不同的决策目标和背景，模糊多属性决策方法可以分为多种类型，如模糊综合评价、模糊多目标决策、模糊群决策等。

这些方法在各自的领域内都有着广泛的应用，如企业管理、项目管理、环境评估、城市规划等。

在模糊多属性决策方法中，常用的模糊数有三角模糊数、梯形模糊数、正态模糊数等。

这些模糊数可以根据实际问题的需要选择合适的类型，以更好地描述属性值的不确定性和模糊性。

几种模糊多属性决策方法及其应用随着社会的不息进步和进步，人们在决策过程中面临的问题也越来越复杂。

面对多属性决策问题，传统的决策方法往往无法有效处理模糊性和不确定性。

模糊多属性决策方法应运而生，它能够更好地处理决策问题中存在的模糊性和不确定性，援助决策者做出更科学、合理的决策。

本文将介绍几种常见的模糊多属性决策方法及其应用，旨在援助读者了解这些方法，并在实际应用中发挥其作用。

二、几种常见的模糊多属性决策方法1. 人工智能模糊决策方法人工智能模糊决策方法是基于模糊集合理论和人工智能技术的决策方法，其核心优势在于可以更好地处理模糊性和不确定性的多属性决策问题。

其中，模糊综合评判方法是最常用的一种人工智能模糊决策方法。

该方法通过建立评判矩阵，运用模糊数学理论计算评判矩阵的权重，从而对多属性决策问题进行评判和排序。

2. 层次分析法层次分析法是一种将问题层次化、分解的多属性决策方法。

该方法通过构建决策模型的层次结构，将决策问题划分为若干个层次。

然后，通过对每个层次的评判和权重计算，最终得到决策问题的最优解。

层次分析法对于处理多属性决策问题具有很好的适用性，因为它能够充分思量到不同层次因素的权重干系。

3. 灰色关联分析法灰色关联分析法是一种基于灰色系统理论的多属性决策方法。

该方法主要通过灰色关联度的计算来评判和排序决策方案。

它能够将不同属性之间的关联度思量在内，从而得到较为客观合理的结果。

灰色关联分析法在处理模糊多属性决策问题方面具有较好的效果，主要用于较为复杂的决策问题。

三、模糊多属性决策方法的应用1. 经济决策在经济决策中，往往存在多个因素需要综合思量而做出决策。

模糊多属性决策方法可以援助决策者在不确定性和模糊性的状况下，找到最优的决策方案。

例如，在投资项目评估中，可以利用模糊综合评判方法对不同项目进行评判和排序，从而选择最具优势的投资项目。

2. 环境决策环境决策中存在许多模糊不确定性的因素，传统的决策方法无法很好地处理这些问题。

动态三角模糊多属性决策的VIKOR扩展方法张市芳;刘三阳;秦传东;翟任何【摘要】针对各决策时段的时间权重,以及属性权重已知、属性值以三角模糊数形式给出的动态多属性决策问题,提出了一种基于多准则妥协解排序拓展的决策分析方法。

该方法依据传统多准则妥协解排序法的基本思想,结合三角模糊数的运算法则,计算各时段各方案的评价值。

利用给出的动态三角模糊加权平均算子对各时段的评价值进行集成,以获取各方案的综合评价值。

利用三角模糊数两两比较的可能度公式对其进行比较,进而得到整个方案集的排序。

通过实例分析表明了该方法的实用性和可行性。

%Aiming at the dynamic multi-attribute decision making problems,which period weights and attribute weights for each period were specified and attribute values in different periods were expressed in triangular fuzzy numbers,an extended decision making method based on Vlsekriterijumska Optimizacija I Kompromisno Resenje（VIKOR） was presented.According to the basic idea of traditional VIKOR,by integrating the operational laws of triangular fuzzy numbers,the evaluation values for each scheme in different periods were calculated.The specified Dynamic Triangular Fuzzy Weighted Averaging（DTFWA） operator was used to integrate the evaluation values in different periods so as to obtain the total evaluation values of each scheme.Based on the possibility degree formula for the comparison between triangular fuzzy numbers,the ranking of scheme volum was obtained.A numerical example was provided to demonstrate the practicality and feasibility of the proposed method.【期刊名称】《计算机集成制造系统》【年(卷),期】2012(018)001【总页数】6页(P186-191)【关键词】动态多属性决策;三角模糊数;多准则妥协解排序法;可能度;加权平均算子【作者】张市芳;刘三阳;秦传东;翟任何【作者单位】西安电子科技大学计算机学院,陕西西安710071;西安电子科技大学理学院,陕西西安710071;西安电子科技大学计算机学院,陕西西安710071;陕西理工学院机械工程学院,陕西汉中723000【正文语种】中文【中图分类】C9340 引言多属性决策主要解决具有多个属性的有限方案决策问题，其实质是利用已有的决策信息，通过一定方式对有限个备选方案进行排序并择优，其理论和方法在系统工程、管理科学和工程设计等诸多领域有广泛的应用，如项目评估、工厂选址、投标招标和经济效益综合评价等。

基于三角模糊数的模糊综合评价优先决策孙文胜（辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新 123000）摘要本基于三角模糊数的综合评价在集团军作战模拟系统中战役方案的优先决策是此次论文的目标。

在解决的过程中，首先解决了基于三角模糊数的评价矩阵的转化，然后进行相关的综合评价，进而做出决策。

面对标准的多人多目标决策问题，首先对各个决策者对三种方案的五种因素做出综合评价。

在得出三个决策者对三种预定方案的综合评价后，运用两种不同的评价方法进行决策。

一种是基于波达选择函数的处理方式，另一种是在再一次对得出的综合评价做综合评价。

两种的结果完全一致，从而进行了彼此之间的相互检验。

关键词三角模糊数；综合评价；决策；波达选择函数；优序排列Fuzzy comprehensive evaluation based on triangular fuzzy numberSun Wensheng（College of science, Liaoning Technical University, Fuxin 123000, Liaoning）Abstract Based on triangular fuzzy number of the comprehensive evaluation of the group army combat simulation system, the priority of the battle plan is the goal of the paper. In the process of solving the problem, the transformation of the evaluation matrix based on triangular fuzzy number is first solved, and then the related comprehensive evaluation is carried out. Facing the standard multiperson multiobjective decision problems, first of all to each decision makers of the three schemes five factors make comprehensive evaluation. Two different evaluation methods are used to evaluate the comprehensive evaluation of three kinds of three kinds of schemes. One is the arrival of processing mode based on the function, the other is to do a comprehensive evaluation in the comprehensive evaluation again. The results of the two species are in complete agreement with each other.Keywords Triangular fuzzy number; comprehensive evaluation; decision making; selection function optimization in order of arrival;0 前言中模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评标方法，该方法是以隶属度来描述模糊界限的，是模糊数学中最基本的数学方法之一。

基于证据推理的设计方案多属性决策新方法卢章平;李小蕾;袁浩;刘明【摘要】为了解决传统证据推理方法中很难实现概念设计阶段权值确定且完全的问题,提出一种决策新方法.受物理规划法中偏好函数思想的启发,采用三角模糊数进行目标属性的模糊标度,创新地提出了一种反偏好函数法来确定权值,依据偏好区间的划分确定评价等级区间,并利用证据推理法、评价等级、概率分配函数及效用值等思想进行了方案的评价决策工作.最后通过实例验证了方法的可行性及其在定量描述决策者主观判断上的不确定性和不完全性的优势.结果表明,在概念设计阶段可以利用这种方法将模糊语言权值转化为具体权值,顺利实现有效评价.【期刊名称】《江苏大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(035)005【总页数】6页(P552-557)【关键词】多属性决策;概念设计;证据推理;反偏好权重;模糊标度【作者】卢章平;李小蕾;袁浩;刘明【作者单位】江苏大学机械工程学院,江苏镇江212013;江苏大学机械工程学院,江苏镇江212013;江苏大学机械工程学院,江苏镇江212013;江苏大学机械工程学院,江苏镇江212013【正文语种】中文【中图分类】TH122概念设计方案评价是一个典型的不确定多属性决策问题，是近年来决策研究中的一个重要内容，具有广泛的应用背景.处理多属性决策问题的方法有很多种，也各自存在一些不足，例如，层次分析法是在评价决策中应用较多的一种方法［1-3］，通过两两比较进行评价决策，缺点在于对不确定信息缺乏充分考虑，且两两比较矩阵难以保证一致性;模糊评价法主要有模糊综合评价法和改进的模糊综合评价法、模糊优序法等［4-6］，利用隶属度及模糊推理等方法对概念方案进行排序，不足在于确定隶属度较困难易造成评价误差;TOPSIS方法［7］和多属性效用理论［8］往往只考虑定量指标忽略定性指标，而现实中的多属性决策问题，尤其是概念设计方案评价问题常包含定性属性;证据推理法也称为Dempster-Shafer证据理论，是由 Dempster首先提出、后由 Shafer进一步发展的一种不精确推理理论，由于它能够处理不确定和不完全信息，所以在概念设计方案评价中有着广泛的应用［9-13］，但证据推理在概念设计方案决策应用过程中存在一些缺陷.首先，证据推理算法要求目标属性的权系数是确定且完全的，在已有的证据推理方法中，权重大多采用主观赋权法，由于决策者对问题认识或自身知识的局限性，给出的权重太主观且无实际意义，有些文献也提出构建客观权重，如文献［10-11］引入信息熵的概念，利用熵权求得各属性的客观权重，但决策结果显示方案排序不完全一致，仅依据评价系统中数据确定权值绝对客观，有可能产生与实际相悖的权值;其次，证据推理算法要求基本属性与广义属性应具有相同的评价集，这在实际决策中较难做到，特别是对定性的基本属性.为了克服这些问题，文中以证据推理决策这一最具代表性的决策方法为基础，引入反偏好函数的概念，利用主客观因素相结合的反偏好函数法确定目标属性的权重，以便决策者做出更合理的决策;通过建立不同反偏好阶段的区间边界值，确定统一的模糊评价集，以解决传统证据推理评价中定性定量指标分别构建评价集及评价集的统一处理等一系列复杂的问题.1 基于证据推理算法的多属性决策应用证据推理进行方案评价决策时把各个基本属性ei看成相应的证据，将评价等级H={Hn|n=1，2，…，N}看成辨识框架，方案的评价决策问题可以用不同证据E={ei|i=1，2，…，L}下各方案A={al|l=1，2，…，M}相应的期望程度及依据ER算法构造的基本概率分配函数 mn，i(al)表示［12］为式中:βn，i(al)为方案al在基本属性ei下被评为等级Hn的信任度，βn，i(al)≥ 0 且，当时为完全评价，否则为不完全评价;mH，i(al)为剩余的概率指派函数.再进行基本概率分配函数的证据集成，如下:对于∀al∈ A，可令.其中，I(i+1)表示集成i+1个基本属性，KI(i+1)为规模化因子，反映了各属性间的冲突程度，即各证据不同时支持某一评价等级的程度.方案al的上层分布评价如下:式中S(y(al))表示方案al在上层属性(各备选方案)y下以βn(al)为信任度的等级Hn 的分布评价.设等级Hn的效用值为u(Hn)，令u(H1)＜u(H2)＜…＜u(HN)，则∀al∈A，最大最小平均效用值为当对方案al做完全评价时，βH(al)=0，显然有umax(al)=umin(al)=uave(al).最后，根据效用值的高低确定方案的优劣排序.对于∀al∈A，有式中:“≺”表示“差于”;“～”表示“无差异与”.2 证据推理决策新方法中的要点2.1 评价指标的模糊标度针对概念设计阶段评价指标具有模糊性和预测性的特点，需要将评价指标进行模糊标度，鉴于三角模糊数具有使用简便、易于理解、能很好表达各种模糊变量的特点，文中在对概念设计方案指标值进行标度时采用三角模糊数形式［14］.将三角模糊数表示的指标 Ei记为(Ei1，Ei，Ei2)，对于数值指标有式中:β1，β2称为扩增系数，一般取 0.05 ～ 0.30;Ei为不考虑模糊性的第i个指标的实际预测值，Ei1，Ei2采用容差分析中的扩增系数法确定.对于定性指标，用语言等级确定方案目标属性的满意度，各语言值隶属度函数如图1所示，例如，可将“较好”表示为(0.50，0.67，0.83).图1 定性指标值的隶属函数2.2 反偏好权重的确定文中提出反偏好权重的概念，即采用反偏好函数法确定的属性权重，与Achille Messac教授提出的物理规划法构建偏好函数［15］类似，通过反偏好函数来表达决策者对各设计目标的偏好程度，不同之处在于，文中通过反偏好函数区间即边界值的确定来计算目标属性权重，不是直接利用综合偏好函数进行评价，且在物理规划法中，最终计算出的偏好函数值越小越满意，而文中研究的反偏好权重反映了决策者对各目标属性的重要程度，自然越大越好.记 ei为第 i个设计目标，ej，i为区间边界，j=1，2，…，5，nsc为设计目标的数量，则各区间边界上的反偏函数及其一阶导数表示为例如，对于1R型反偏函数有式中为区间边界j的函数值为经过第 j个区间的函数值变化;sj，i是区间边界j处函数的一阶导数;α，β 为参数.2.3 各目标属性值的反偏好函数类型及区间边界设计目标的反偏好函数，有4种类型:正指标型(1R型)，指标越大越好;逆指标型(2R型)，指标越小越好;最佳指标型(3R型)，指标趋于某值最好;区间指标型(4R型)，指标取在某个范围内最好.以目标属性e为横坐标，反偏值作为纵坐标，反偏好函数的定性含义如图2所示.则方案l在目标属性 Ei=(Ei1，Ei，Ei2)上的反偏好函数确定的权值ωi(al)也称反偏权值，可以表示为式中μ˜Ei(ei)为Ei的隶属函数.则综合反偏好函数值即各目标属性(指标)的权重值ωi可以表示为这里，0≤ωi≤1，因为权重的确定方法不同于以往传统方法，无需满足.显然，利用反偏好函数来划分重要度区间，在不同的区间范围内，决策者对于此目标属性的重要程度判断是不同的，这符合决策者在多目标属性决策中的思维特点，因此反偏好函数法能够从本质上把握决策者对目标属性的重要度偏好设置.图2 4种类型的反偏函数2.4 决策属性评价集的构建模糊评价集可以依据不同偏好阶段的属性偏重程度来划分，即:应用证据推理法中针对各评价等级为相应属性区间值的情况确定等级区间.以1R型反偏好区间为例，确定各属性ei对应等级的区间值，如下:应用模糊方法可确定方案al在目标属性ei下的评价信任度为其中μ˜Ei(ei)为Ei的隶属函数，其确定方法见文献［15］.3 实例分析文中以文献［14］中的应用实例即螺旋输送机输送系统4套初始方案为例进行证据推理决策新方法的应用，确定其有效性，方案如表1所示.表1 螺旋输送机初始方案指标值方案制造成本/万元结构紧凑性1 3.0 7.0 0.92 好12.0 较好2 5.0 8.5 0.96 一般 14.5 好3 4.2 9.0 0.96 较好 17.0 较好4 3.6 8.00.91 好 12.0 一般输送能力/(t·h-1)可靠性结构工艺性能耗/kW具体步骤如下:首先，采用模糊标度的方法对备选方案每一目标值进行模糊化处理，结果见表2;然后，设定各目标属性的反偏好函数类型及等级偏重程度区间边界，本例中，制造成本和能耗的反偏好函数为2R型，其他目标属性为1R型，相应的等级偏重程度区间边界见表3;最后，根据2.2节的方法，通过反偏好函数法确定决策者对螺旋输送机各评价指标的偏好程度，即偏好权重值.首先，利用公式(11)-(12)确定每个方案目标属性各区间段的反偏函数;然后，通过分段曲线拟合，便可得到符合要求的定量描述的反偏好函数;最后，利用公式(13)-(14)确定各目标属性的权重值，结果见表4.表2 方案指标的模糊标度方案制造成本输送能力可靠性结构工艺性能耗结构紧凑性1 (2.7，3.0，3.2) (6.4，7.0，7.5) (0.88，0.92，0.96) (0.66，0.83，1.00) (10.8，12.0，13.2) (0.50，0.66，0.83)2 (4.6，5.0，5.4) (7.8，8.5，9.2) (0.91，0.96，0.99) (0.34，0.50，0.66) (13.0，14.5，16.0) (0.66，0.83，1.00)3 (3.7，4.2，4.5) (8.3，9.0，9.7) (0.91，0.96，0.99) (0.50，0.66，0.83) (15.0，17.0，18.7) (0.50，0.66，0.83)4 (3.3，3.6，3.9) (7.4，8.0，8.6) (0.87，0.91，0.95)(0.66，0.83，1.00) (10.8，12.0，13.0) (0.34，0.50，0.66)表3 各目标属性的反偏好函数类型及等级区间指标ei 类型差区间H(i)1 较差区H(i)2 中等区H(i)3 较好区H(i)4 好区间H(i)5制造成本 2R (6，+ ∞) (5.5，6) (5，5.5) (4，5) (3.5，4)输送能力 1R (- ∞，6) (6，6.5) (6.5，8.0) (8.0，8.5) (8.5，9)可靠性 1R (- ∞，0.85) (0.85，0.88) (0.88，0.92) (0.92，0.96) (0.96，0.99)结构工艺性 1R (- ∞，0.3) (0.3，0.4) (0.4，0.5) (0.5，0.7) (0.70，0.85)能耗 2R (20，+ ∞) (19，20) (17，19) (14，17) (12，14)结构紧凑性 1R (- ∞，0.3) (0.3，0.4) (0.40，0.55) (0.55，0.75) (0.75，0.85)表4 各目标属性权重值目标属性ei 制造成本输送能力可靠性结构工艺性能耗结构紧凑性权重ωi 0.501 2 0.253 8 0.501 9 0.612 1 0.831 2 0.655 9应用证据推理算法对属性E={ei|i=1，2，…，5}的指派函数进行证据集成，由公式(16)-(17)确定各评价信任度，则可得方案A={al|l=1，2，…，4}的上层分布评价集:假设各上层评价等级的效用值分别为u(H1)=0，u(H2)=0.25，u(H3)=0.5，u(H4)=0.75，u(H5)=1，则依据效用值进行方案决策的结果如表5所示.表5 决策结果方案1234 0.604 3 0.872 9 0.898 1 0.642 3 uave(al)显然，方案优劣排序为a1≺a4≺a2≺a3，文中采用证据推理新决策方法得出的决策值虽与文献［14］的物理规划法决策值含义不同(其最优方案为得分最小值)，但排序结果一致，验证了多属性决策方法研究的有效性.另外，证据推理相比于其他方法的优势在于可以定量描述决策者主观判断上的不确定性和不完全性，本实例中为完全评价;若在决策中，决策者对目标属性的评价把握不准，如本例中，若在设置初始偏好时对于能耗的判断难以估计，将80%的信任度给了中等区间，其他区间不给予评价，即u˜E5(e5)=1，u˜Ei≠5(ei≠5)=0，βn，5(al)=0.8，，则，采用证据推理法得到的决策结果见表6.表6 不完全决策结果方案1234 uave(al)0.590 3 0.861 4 0.859 6 0.631 9方案排序为a1≺a4≺a3≺a2，文中假定的情况“将所有方案80%的信任度给了中等区间，其他区间信任度滞空”，相当于决策者“投机取巧”放弃了难以评价的能耗指标，在文献［14］中，方案3原为最优，但出现能耗指标太高不满意的情况，调整偏好后的评价结果与文中的不完全决策结果相同，说明了证据推理法在定量描述决策者主观判断指标不确定性和不完全性上的巧妙之处.4 结论1)提出了一种基于反偏好函数的权重确定方法，并采用三角模糊数进行目标属性的模糊标度，通过偏好区间的划分来确定评价等级区间.2)利用证据推理法中评价等级、概率分配函数、效用值等思想进行了方案的评价决策工作.3)应用实例验证了所用方法的有效性，并且说明了证据推理法有可以定量描述决策者主观判断上的不确定性和不完全性的优势.参考文献(References)【相关文献】［1］Fan Liguo，Zuo Feng.Research on multi-attribute decision-making method basedon AHP and outranking relation［C］∥Proceedings of the 2008 Workshop on Power Electronics and Intelligent Transportation System.Guangzhou:IEEE Computer Society，2008:227-232.［2］Vidal L A，Marle F，Bocquet J ing a Delphi process and the analytic hierarchy process(AHP)to evaluate the complexity of projects［J］.Expert Systems with Applications，2011，38(5):5388-5405.［3］Mizutani Eiji.A counterexample to a proposed dynamic programming algorithm foroptimal bid construction in an auction-based fully distributed manufacturing system ［J］.International Journal of Advanced Manufacturing Technology，2014，71(1/2/3/4):377-380.［4］张跃刚，向号.基于模糊综合评判法的传动方案设计［J］.煤矿机械，2007，28(6):36-37.Zhang Yuegang，Xiang Hao.Design of transmission schemes based on fuzzy synthetic evaluation［J］.Coal Mine Machinery，2007，28(6):36-37.(in Chinese)［5］魏锋涛，宋俐，李言，等.基于模糊理论的机械多目标优化设计［J］.工程图学学报，2010(2):9-12.Wei Fengtao，Song Li，Li Yan，et al.Mechanical multi-object optimization design based on fuzzy theory［J］.Journal of Engineering Graphics，2010(2):9-12.(in Chinese)［6］张晖，严新平，高岩，等.基于模糊评价的安全感知与车速相关性分析［J］.江苏大学学报:自然科学版，2011，32(5):511-515.Zhang Hui，Yan Xinping，Gao Yan，et al.Relationship between driver safety cognition and vehicle speed based on fuzzy comprehensiveevaluation［J］.Journal of Jiangsu University:Natural Science Edition，2011，32(5):511-515.(in Chinese)［7］Martin H，Spano G，Küster J F，et al.Application and extension of the TOPSIS method for the assessment of floating offshore wind turbine support structures［J］.Ships and Offshore Structures，2013，8(5):477-487.［8］Gruca A，Sikora M.Rule based functional description of genes-estimation of the multicriteria rule interestingness measure by the UTA method［J］.Biocybernetics and Biomedical Engineering，2013，33(4):222-234.［9］邵晓明，安鲁陵，孙小峰，等.一种基于证据推理的机械零件配合设计方法［J］.航空制造技术，2010(5):77-80.Shao Xiaoming，An Luling，Sun Xiaofeng，et al.Design method of mechanical part fitting based on evidential reasoning［J］.Aeronautical Manufacturing Technology，2010(5):77-80.(in Chinese)［10］李磊，裴凤.基于熵权和证据推理的多属性决策方案评价方法［J］.合肥工业大学学报:自然科学版，2010，33(9):1396-1400.Li Lei，Pei Feng.Evaluation method of multi-attribute decision making plans based on entropy weight and evidence reasoning［J］.Journal of Hefei University of Technology:Natural Science，2010，33(9):1396-1400.(in Chinese) ［11］郭凯红，李文立.基于证据推理的不确定多属性决策方法［J］.管理工程学报，2012，26(2):94-100.Guo Kaihong，Li Wenli.Evidential reasoning-based approach for multiple attribute decision making problems under uncertainty［J］.Journal of Industrial Engineering/Engineering Management，2012，26(2):94-100.(in Chinese)［12］周谧.基于证据推理的多属性决策中若干问题的研究［D］.合肥:合肥工业大学管理学院，2009.［13］Yang Jianbo.Rule and utility based evidential reasoning approach for multiattribute decision analysis under uncertainties［J］.European Journal of Operational Research，2001，131(1):31-61.［14］薄瑞峰，黄洪钟.交互式模糊物理规划在概念设计方案多目标决策中的应用［J］.应用基础与工程科学学报，2005，13(4):442-450.Bo Ruifeng，Huang Hongzhong.Application of interactive fuzzy physical programming in multi-objective decision making for concept selection［J］.Journal of Basic Science and Engineering，2005，13(4):442-450.(in Chinese) ［15］Messac A.Physical programming effective optimization for computational design ［J］.AIAA Journal，1996，34(1):149-158.。

多属性决策的模糊理想点法随着科学技术的不断发展，人们在工业生产、军事策略、投资决策等领域里一直在使用多属性决策分析。

这种决策对于分析各种不同的维度和目标进行综合分析和评估，是一件艰巨却又非常重要的事情。

模糊理想点（FIP）方法是一种实现多属性决策分析的有效方法，能够帮助我们找到最佳决策。

模糊理想点方法是一种多属性决策理论，主要目的是在多个目标变量和多种制约变量间寻找最优状态。

这一方法非常适合用于复杂系统分析，特别是需要综合考虑多因素的环境下。

它使人们能够从决策结果中发现最佳决策，并将其作为最终的决策基础，从而提高决策的质量。

模糊理想点方法的基本思想是，以模糊数学的方式组合决策者的意见、期望和偏好，将多个决策目标变量综合起来，最终找到一个最佳的决策结果。

通过利用模糊数学原理，把一系列决策因素转变成模糊变量，两两之间的不确定性通过期望变量的综合表达式得到综合的决策结果。

为了得到最优的结果，必须把多个变量的优先级进行整合，并评估每种变量的贡献度以及决策结果的可接受程度。

模糊理想点方法的实施一般需要经历四个步骤，分别为：1）建立多属性决策模型；2）分析、优化、衡量和评价多个决策因素；3）根据决策者的意见，在每一个因素上建立模糊数学规则；4）通过模糊数学模型，找到最优解。

模糊理想点方法在多属性决策中的应用已经成功地帮助了很多行业解决了复杂的多属性决策问题，从而提高了决策的质量。

模糊理想点方法也是一种有利于把复杂决策模型转换为实际可行问题、并获得最优决策的有效方法。

它更有利于在很多复杂系统中，根据决策者的期望和偏好，通过综合评价和决策优先级，实现最佳决策。

总之，模糊理想点方法是一种有效的多属性决策方法，它既能够满足决策者的期望和偏好，又能够把复杂的决策处理成实际可接受的决策结果。

当处理多属性决策问题时，模糊理想点方法是理想的工具，通过将多个决策因素综合起来，提高了决策质量，也为企业和政府提供了定制性的决策模型。

对方案有偏好的直觉模糊多属性决策方法
夏梅梅;魏翠萍
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2009(45)2
【摘要】对属性权重信息不完全、属性值和决策者对方案的偏好信息均以直觉模糊数表示的多属性决策问题提出一种决策方法.首先根据决策者对方案的偏好信息建立多目标规划模型,求出属性权重,接着利用觉模糊加权算术平均算子求出方案的综合属性值,由直觉模糊数的得分函数和精确函数确定方案的排序,最后通过实例证明了该方法的实用性和有效性.
【总页数】3页(P137-139)
【作者】夏梅梅;魏翠萍
【作者单位】曲阜师范大学,运筹与管理学院,山东,日照,276826;曲阜师范大学,运筹与管理学院,山东,日照,276826
【正文语种】中文
【中图分类】C934
【相关文献】
1.对方案有偏好的直觉模糊数多属性决策方法 [J], 卫贵武
2.考虑风险偏好的区间直觉模糊软集型多属性决策方法 [J], 赵海燕;马卫民;孙秉珍;贾菁菁
3.考虑决策者风险偏好的区间直觉模糊多属性群决策方法 [J], 赵萌;秦松松;谢佳恒;张奉冰;李刚
4.一种有方案偏好的直觉模糊多属性决策方法 [J], 何霞;刘卫锋
5.对方案有偏好的区间直觉模糊多属性决策方法 [J], 卫贵武
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

基于新的距离度量的三角模糊数多属性决策法程霄【摘要】利用基于区间数的中心、半宽度的距离度量以及三角模糊数的水平集信息,定义了三角模糊数上一个新的距离度量,并证明了该距离满足非负性、对称性和三角不等式性质.进一步,针对三角模糊数上的多属性决策问题,利用该距离度量和模糊理想点思想,给出了一种基于新的距离度量的多属性topsis决策方法.最后,给出应用实例,并验证了该方法的合理性、有效性.【期刊名称】《吉林师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(035)001【总页数】6页(P60-65)【关键词】模糊多属性决策;三角模糊数;模糊理想点;距离度量【作者】程霄【作者单位】新疆农业大学数理学院,新疆维吾尔自治区乌鲁木齐830052【正文语种】中文【中图分类】C934;O235多属性决策是一种在多个属性条件下选择最佳备选方案或进行方案排序的决策问题，是现代决策科学的重要组成部分．由于客观事物的复杂性和随机性、模糊性等不确定性影响，往往很难用一个精确的数值对属性值、偏好信息进行描述和评价，常用模糊数(如：区间数，三角模糊数等)描述属性特征．因此，模糊多属性决策问题研究已渐渐成为一个研究热点[1-5]．尤其是三角模糊数，在决策领域的应用受到学者们的普遍关注．针对三角模糊数上的多属性决策问题研究，已取得了大量的研究成果．许叶军等[5]通过定义三角模糊数正、负理想方案，提出了三角模糊数多指标决策问题的理想点方法；杨静等[6]提出一种基于线性规划和模糊向量投影的三角模糊数多属性决策方法；刘秀梅等[7]基于联系数提出了一种新的三角模糊数多属性决策模型；兰蓉[8]等对三角模糊数上的多属性决策问题，利用三参数区间数和三角模糊数的截集信息，定义了三角模糊数之间一个新的距离，给出一种基于理想点的决策方法；龚艳冰[9]对方案偏好已知、属性值以三角模糊数形式给出且属性权重信息不能完全确知的多属性决策问题提出了基于模糊比例值的决策方法和基于模糊偏差度的决策方法；张市芳等[10]针对各决策时段的时间权重，且属性权重已知、属性值以三角模糊数形式的动态多属性决策问题，提出了一种基于多准则妥协解排序拓展的决策分析方法．本文在已有的研究基础上，进一步讨论属性指标值和属性权重均为三角模糊数时的模糊多属性决策问题．利用区间数的距离度量，利用三角模糊数的水平集信息，定义了三角模糊数上一个新的距离度量，并给出详细的证明．此外，基于该距离度量，根据模糊理想点思想，提出了一种三角模糊数多属性topsis决策方法．最后，以实例验证该方法的有效性和合理性[12]．1 三角模糊数及其新的距离度量定义1 设X是一个非空集合，∀x,y∈X，给定一个实数d(x,y)与之对应．若d(x,y)满足：(1)非负性：d(x,y)≥0，且d(x,y)=0当且仅当x=y；(2)对称性：d(x,y)=d(y,x)；(3)三角不等式：d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)(z∈X)．则称d(x,y)是X上的一个距离．定义2 记I=[a,b]={x|a≤x≤b}，称I为一个区间数．特别地，若a=b，则I退化为一个实数．令表示区间数的中心，(b-a)表示区间数的半宽度，有时也将区间数记作I=〈m,Δ〉．定义3 设Ii=[ai,bi]，i=1，2为任意的两个区间数，如果a1=a2，b1=b2，则称区间数I1与I2相等，记作I1=I2．命题1 设Ii=[ai,bi]，i=1,2为任意的两个区间数，记则区间数I1等于I2，当且仅当m1=m2，Δ1=Δ2．证明：假设区间数I1=I2，则由定义3有：a1，a2，b1=b2，显然m1=m2，Δ1=Δ2成立；反之，已知m1=m2，Δ1=Δ2，则有两式相消可得a1=a2，b1=b2，从而区间数I1=I2．定义4 设I=[a,b]为任一区间数，∀θ∈[0,1]，称I(θ)=(1-θ)a+θb为区间数I的θ点．命题2 设I=[a,b]为任一区间数，∀θ∈[0，1]，则区间数I的θ点为I(θ)=m+(2θ-1)Δ，其中，m和Δ分别为区间数的中心、半宽度．证明：由(b-a)可得：b=m+Δ，a=m-Δ，故由定义4得：∀θ∈[0，1]，I(θ)=(1-θ)a+θb=(1-θ)(m-Δ)+θ(m+Δ)=m+(2θ-1)Δ，结论成立．定义5 设Ii=[ai,bi]，i=1，2为任意的两个区间数，定义(1)则称d(I1,I2)为区间数I1与I2之间的距离．其中mi，Δi分别为区间数I1，I2的中心和半宽度；I1(θ)，I2(θ)，分别为区间数I1，I2的θ点．可以验证，定义5中区间数的距离d(I1,I2)满足定义1中的三个条件：证明：(1)非负性：易知d(I1,I2)≥0显然成立；若d(I1,I2)=0，则=0，从而m1=m2，Δ1=Δ2成立，故由命题1知，I1=I2．反之，若I1=I2，则m1=m2，Δ1=Δ2，故d(I1,I2)=0．(2)对称性：显然成立；(3)三角不等式：对任意给定的区间数I3=[a3,b3]，记则根据欧氏平面点的距离公式的三角不等式性质，有成立，即d(I1,I2)≤d(I1,I3)+d(I3,I2)成立．定义6 若模糊数的隶属函数可表示为(2)则称为三角模糊数，记作特别地，当aC-aL=aR-aC时，称为对称三角模糊数；当aL=aC=aR时，三角模糊数退化为普通实数，即(aL,aC，aR)=aC．定义7 设为任意的两个三角模糊数，则三角模糊数的运算性质为；定义8 设为三角模糊数，则三角模糊数的λ水平集为(3)下面，本文利用区间数的距离定义5和三角模糊数的水平集信息，定义三角模糊数上一种新的距离度量．定义9 设三角模糊数定义(4)则称为三角模糊数和之间的距离．其中，由区间数的距离定义5而得．下面，验证满足定义1的三个条件．证明：(1)非负性：令f(λ)易知f(λ)是关于λ的一元函数，连续且非负，从而d2(aλ,bλ)dλ可积，且若则必有当时，由区间数的距离定义5知：此时；反之，当即则成立．从而，(2)对称性：显然成立；(3)三角不等式：对任给的三角模糊数，的λ水平集为由区间数的距离定义5的三角不等式性质知：成立．又因为每一项都大于等于0，因此从而，即成立.(注：上式证明用到了施瓦茨不等式．)命题3 设为任意的两个三角模糊数，记则三角模糊数和之间的距离为(5)证明：根据式(4)通过简单的积分运算即可证明，在此略．定义10 设则三角模糊数的期望定义为(6)下面，基于三角模糊数的距离度量和期望定义，根据模糊理想点思想，提出一种多属性topsis决策方法．2 模糊多属性topsis决策方法通常，一个模糊多属性决策问题可描述为：设A={A1,…，Am}为方案集，U={u1,u2，…，un}为属性集，为三角模糊数决策矩阵，其中表示第i个方案的第j个属性uj的三角模糊数属性值，i=1,2,…，m,j=1,2,…，n．属性权重以三角模糊数形式给出，即属性权重向量其中表示第j个属性uj的权重，j=1,2,…，n．对此，根据模糊理想点思想，本文提出一种基于新的距离度量的模糊多属性topsis决策方法，具体步骤如下：1) 构建模糊决策矩阵Z．2) 根据属性的类型(效益型属性、成本型属性)对决策矩阵Z进行规范化处理，以消除不同属性类型及量纲的影响，进而得到规范化决策矩阵，其中(i)当uj属性为效益型指标，则(7)(ii)当uj属性为成本型指标，则(8)3) 确定模糊多属性决策问题的正理想方案Z+和负理想方案Z-，即：其中4) 属性权重向量的解模糊化处理和归一化处理．(i)利用三角模糊数的期望定义10，对属性权重向量进行解模糊化处理，即：(9)记(ii)进行归一化处理，即：(10)进而归一化的属性权重向量记为ω′=(ω1,ω2，…，ωn)．5) 利用本文定义的三角模糊数的距离度量，分别计算各备选方案Ai与正、负理想方案之间的距离，即(11)(12)6) 计算各备选方案的相对贴近度，即：(13)最后，根据所有备选方案的相对贴近度进行排序，从而确定最优方案．3 应用实例例1 考核选拔干部是一个多因素的决策问题，决策者一方面要把德才优秀的人才选拔到领导岗位；另一方面，也希望在条件相当的情况下任用自己所偏爱的人才．某单位在对干部进行考核选拔时，首先制定了6项考核指标(即决策属性)：思想品德(u1)、工作态度(u2)、工作作风(u3)、文化水平和知识结构(u4)、领导能力(u5)和开拓能力(u6)．然后，根据群众推荐、评议，对各项指标分别打分，再进行统计处理，从中确定了5名候选人：Ai(i=1,2,…，5)．每一个候选人的各属性指标值以三角模糊数形式给出，见表1．已知属性权重向量ω=((0.1，0.15，0.20)，(0.05，0.10，0.15)，(0.20，0.25，0.30)，(0.05，0.10，0.15)，(0.15，0.20，0.25)，(0.10，0.15，0.20))．表1 候选人的属性指标值候选人u1u2u3u4u5u6A1(0.80,0.85,0.90)(0.90,0.92,0.95)(0.91,0.94,0.95)(0.93,0.96,0.99)(0.90,0.91,0.92)(0.95,0.97,0.99)A2(0.90,0.95,1.00)(0.89,0.90,0.93)(0.90,0.92 ,0.95)(0.90,0.92,0.95)(0.94,0.97,0.98)(0.90,0.93,0.95)A3(0.88,0.91,0.95)(0.84,0. 86,0.90)(0.91,0.94,0.97)(0.91,0.94,0.96)(0.86,0.89,0.92)(0.91,0.92,0.94)A4(0.85 ,0.87,0.90)(0.91,0.93,0.95)(0.85,0.88,0.90)(0.86,0.89,0.93)(0.87,0.90,0.94)(0.92, 0.93,0.96)A5(0.86,0.89,0.95)(0.90,0.92,0.95)(0.90,0.95,0.97)(0.91,0.93,0.95)(0. 90,0.92,0.96)(0.85,0.87,0.90)如下，基于本文的topsis决策方法，具体计算如下：(1)根据表1构建模糊决策矩阵：(2)因各属性指标均为效益型，利用(7)式对模糊决策矩阵Z进行规范化处理，得规范化模糊决策矩阵：(3)根据3)，确定正、负理想方案，得Z+=[(0.19,0.20,0.21),(0.19,0.20,0.20),(0.19,0.20,0.20),(0.19,0.20,0.21),(0.20,0.2 1,0.21),(0.20,0.20,0.21)]，Z-=[(0.17,0.18,0.19),(0.18,0.18,0.19),(0.18,0.18,0.19),(0.18,0.19,0.19),(0.18,0.19, 0.19),(0.18,0.18,0.19)]．(4)利用(9)式对属性权重向量ω进行解模糊化处理得进一步，利用(10)式计算得归一化权重向量：ω′=(0.16，0.11，0.26，0.11，0.21，0.16)．(5)根据(11)(12)式计算各备选方案与正理想方案、负理想方案的距离，见表2的第三、四行．(6)根据(13)式计算各备选方案的相对贴近度，见表2的第五行．为方便比较，将文献[5][8]的排序结果也列入表2的最后两行．表2 各备选方案与正、负理想方案的距离、相对贴近度及排序A1A2A3A4A5本文的方法D+i0.053×10-30.048×10-30.056×10-30.058×10-30.065×10-3D-i0.143×10-30.179×10-30.124×10-30.090×10-30.137×10-3ηi0.7290.7870.6890.6090.679排序21354文献[6]排序41352文献[9]排序21453由表2知，利用本文提出的方法，得5个候选人的排序为A2≻A1≻A3≻A5≻A4，故A2为最佳候选人．而文献[5]的候选人排序为：A2≻A5≻A3≻A1≻A4，最佳候选人为A2；文献[8]的候选人排序为：A2≻A1≻A5≻A3≻A4，最佳候选人也为A2．从最佳候选人的确定结果看，本文的方法与文献[5][8]的结果一致；说明本文提出的方法是合理有效的．但从5个候选人的最终排序看，本文的方法与文献[5][8]的排序却不同，其主要不同在于候选人A1、A3和A5的排序．导致这种分歧的主要原因在于三角模糊数上的距离度量不同．在此，本文是借助区间数基于中心和半宽度的距离度量，利用三角模糊数的水平集信息定义的一个新的距离度量．4 结语针对属性权重和属性指标均为三角模糊数时的模糊多属性决策问题，本文提出了一种基于新的距离度量的多属性topsis决策方法．其关键在于，本文融合区间数的一种距离度量和三角模糊数的水平集信息，定义了三角模糊数的一种新的距离度量，该距离满足非负性、对称性和三角不等式性质．并且，该距离具有通用性，可以类似地定义其他类型模糊数上的距离，并应用于决策领域．参考文献【相关文献】[1]徐玖平．基于Hausdauff度量模糊多指标决策的TOPSIS方法[J]．系统工程理论与实践,2002,22(10):84～93.[2]徐泽水.基于期望值的模糊多属性决策法及其应用[J].系统工程理论与实践,2004,24(1):109～113,119.[3]林健，兰继斌，林耀海．基于区间二元语义集结算子的多属性群决策方法[J]．吉林师范大学学报(自然科学版)，2009，30(1)：5～9．[4]刘晓峰，陈道．投资项目模糊多属性经济评价研究[J]．计算机工程与应用，2011，47(11)：219～222．[5]胡丽芳,关欣,邓勇，等.一种三角模糊数型多属性决策方法[J].控制与决策,2011,12:1877～1880.[6]许叶军,达庆利．基于理想点的三角模糊数多指标决策法[J]．系统工程与电子技术,2007,29(9):1469～1471.[7]杨静,邱菀华.基于投影技术的三角模糊数型多属性决策方法研究[J].控制与决策,2009,24(4):637～640.[8]刘秀梅,赵克勤,王传斌.基于联系数的三角模糊数多属性决策新模型[J].系统工程与电子技术,2009,31(10):2399～2403.[9]兰蓉,范九伦.三角模糊数上的完备度量及其在决策中的应用[J].系统工程学报,2010,25(3):313～319.[10]龚艳冰.方案偏好已知的三角模糊数型多属性决策方法[J].控制与决策,2012,(2):281～285.[11]张市芳,刘三阳,秦传东，等.动态三角模糊多属性决策的VIKOR扩展方法[J].计算机集成制造系统,2012,(1):186～191.[12]姜超．基于三角模的模糊矩阵的合成[J]．吉林师范大学学报(自然科学版)，2013，34(2)：51～58．。

三角模糊数的计算规则【原创版】目录一、引言二、三角模糊数的概念三、三角模糊数的计算规则四、三角模糊数的应用五、总结正文一、引言随着科学技术的发展，模糊数学作为一种处理不确定性的数学工具，在各个领域得到了广泛的应用。

三角模糊数是模糊数学中的一种重要概念，它具有较强的理论性和实用性。

本文将介绍三角模糊数的计算规则，并简要探讨其在实际应用中的价值。

二、三角模糊数的概念三角模糊数是一种特殊的模糊数，其定义包含三个参数：下限（s）、上限（u）和可能性最大的值（m）。

根据这三个参数，可以构建一个三角形，将参数对应的值域范围划分为三个部分。

三角模糊数主要用于解决多决策性问题，如权重值的求解和排序问题等。

三、三角模糊数的计算规则1.加法运算：对于两个三角模糊数 A 和 B，它们的和可以表示为 A ⊕ B，其中 A 和 B 的隶属函数分别为 A(x) 和 B(x)。

具体计算方法是将两个隶属函数相乘，然后根据乘积的隶属度进行归一化处理，得到新的隶属函数。

2.减法运算：对于两个三角模糊数 A 和 B，它们的差可以表示为 A B，其中 A 和 B 的隶属函数分别为 A(x) 和 B(x)。

具体计算方法是将两个隶属函数相减，然后根据差值的隶属度进行归一化处理，得到新的隶属函数。

3.乘法运算：对于两个三角模糊数 A 和 B，它们的乘积可以表示为 A * B，其中 A 和 B 的隶属函数分别为 A(x) 和 B(x)。

具体计算方法是将两个隶属函数相乘，然后根据乘积的隶属度进行归一化处理，得到新的隶属函数。

4.除法运算：对于两个三角模糊数 A 和 B（其中 B ≠ 0），它们的商可以表示为 A / B，其中 A 和 B 的隶属函数分别为 A(x) 和 B(x)。

具体计算方法是将两个隶属函数相除，然后根据商的隶属度进行归一化处理，得到新的隶属函数。

四、三角模糊数的应用三角模糊数在实际应用中具有广泛的价值，主要体现在以下几个方面：1.多决策性问题的处理：三角模糊数可以用于解决多决策性问题，如权重值的求解和排序问题等。

实例分析模糊多属性决策的算法多属性决策（Multiple attribute Decision Making，MADM）是指决策者按照已知的决策准则，对一组离散、有限的方案进行评价和选择的问题。

由于MADM 广泛存在于社会的各个领域，如项目的投资、人才的考核、政策的制定、效益的评估、战略的部署等等，所以长久以来MADM问题一直是决策分析的研究热点之一。

但现实的许多决策问题中，决策者常常会遇到一些难以准确描述的事物，即事物表现出一种亦此亦彼且不满足排中律的模糊性。

模糊集和多属性决策相结合形成了模糊多属性决策（FMADM），成为当今最有发展前途、最前沿的研究领域之一。

面对错综复杂、千变万化的工程系统，模糊决策矩阵是描述决策者对方案或者属性偏好的一个非常普遍、可行、合理、及强有力的重要工具。

且决策者的最终目标就是对方案集X中的元素进行排序或择优，故对基于模糊決策矩阵（包括AHP中的模糊判断矩阵）MADM方法的研究具有明显的现实意义和理论意义。

而在多属性模糊决策中，关于不同属性的权重的取值历来是模糊多属性决策问题中的重要一环。

权重的选择只靠选择者的主观评断或者专家系统，已经很难具有说服力。

虽然关于变权的定义也多有出现，但大多是定义在基础权重上的不同迭代算法，虽实现了权重的变化，但也脱离不了开始的基础权重，和本身系统的属性值关联不大，不能很好的体现可选择对象自身的含义。

而在信息论中，信息熵是基础概念，来描述信息系统的不确定性的大小。

它是关于通讯系统的描述函数，熵值越大，表明系统越不确定性大，无序性大，反之说明系统确定性大。

信息论中的模型本身就是一个多属性系统，因此，可以将信息熵和多属性决策进行结合。

本文讨论了基于信息熵定义的一种依靠模糊决策矩阵生成的权重方法，并在其基础上予以改进，并形成多属性的模糊决策的算法，具体解决了关于项目投资的多属性模糊决策问题。

1 多属性模糊决策的相关理论定义1.1[1]：记为决策方案集合。

三角模糊数的计算规则【实用版】目录一、引言二、三角模糊数的概念及运算规则1.三角模糊数的概念2.三角模糊数的运算规则三、三角模糊数的规范化四、三角模糊数的应用1.多决策性问题2.质量管理和风险管理五、总结正文一、引言随着科学技术的发展，模糊数学作为一种处理不确定性和模糊性的数学工具，已经在各个领域得到了广泛的应用。

三角模糊数是模糊数学中的一种重要概念，它具有较强的理论基础和实际应用价值。

本文将从三角模糊数的计算规则入手，详细介绍其概念、运算规则以及应用领域。

二、三角模糊数的概念及运算规则1.三角模糊数的概念三角模糊数是一种特殊的模糊数，它用于描述不确定性因素下的模糊现象。

三角模糊数由下限 s、上限 u 和可能性最大的值 m 组成，用 (s, m, u) 表示。

根据隶属度的不同，三角模糊数可以分为三种类型：下三角模糊数、上三角模糊数和双三角模糊数。

2.三角模糊数的运算规则三角模糊数的运算规则包括加法、减法、乘法、除法和数乘等。

其中，加法和乘法的运算较为简单，可以直接按照隶属度进行计算。

减法和除法的运算则需要特别注意，需要根据不同的模糊数类型进行相应的计算。

三、三角模糊数的规范化为了保证三角模糊数的合理性和准确性，需要对其进行规范化处理。

规范化主要包括两个方面：一是对三角模糊数的上下限进行规范化，以保证其符合实际情况；二是对三角模糊数的隶属度进行规范化，以保证其具有唯一性。

四、三角模糊数的应用1.多决策性问题三角模糊数在多决策性问题中具有广泛的应用。

它可以用于描述和解决各种不确定性和模糊性问题，如风险评估、质量管理等。

通过三角模糊数，可以更好地反映现实情况，提高决策的准确性和可靠性。

2.质量管理和风险管理三角模糊数在质量管理和风险管理领域具有重要意义。

它可以用于评估产品质量和风险程度，为决策者提供有效的决策依据。

同时，三角模糊数还可以用于优化资源配置、提高生产效率等方面。

五、总结总之，三角模糊数作为一种重要的模糊数学概念，具有较强的理论基础和实际应用价值。