2018-19朝阳高三第一学期期中数学理科答案

数学（理工类）答案 1 北京市朝阳区2018-2019学年度第一学期高三年级期中统一检测

数学试卷（理工类）答案 2018.11

一、选择题：

题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）

答案 B C A D A B C A

二、填空题：

题号 （9） （10） （11） （12） （13） （14）

答案 45 34 3 2yx

(或3yx等) 12 3sin86yt 3 1,2,2,4；

1,3,3,9；

2,4,4,8；

4,6,6,9.

三、解答题：

（15）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设{}na的首项为1a，公比为(0)qq，则依题意

13211318aqaqaq，，解得11,3aq.

所以{}na的通项公式为13nna，*nN.

……………………. 7分

（Ⅱ）因为13log3(1)nnnnbaan，

所以123nbbbb21(1333)[012(1)]nn

13(1)132nnn

31(1).22nnn ……………….13分

（16）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由已知可得()3sin2cos2fxxx

312(sin2cos2)22xx

2sin(2)6x.

数学（理工类）答案 2 所以最小正周期为22T.

令222262kxk，kZ.

所以222233kxk，

所以63kxk，即单调递增区间为[,],63kkkZ.

…………………….8分

（Ⅱ）因为[0,]2x，

所以52[,]666x，

则1sin(2)[,1]62x，

所以()[1,2]fx，

当262x，即3x时，max()2fx.

因为()fxm恒成立，所以2m，所以m的最小值为2. …………….13分

（17）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为tan43B，即sin43cosBB，

又22sincos1BB，B为钝角，所以43sin7B.

由sinsinabAB，所以834327a，解得7a. ……………….7分

（Ⅱ）在△ABC中，由tan0B知B为钝角，所以1cos7B.

又因为sinsin()sincoscossinCABABAB，

所以3114333sin272714C.

所以1133sin78632214ABCSabC. …………………….13分

（18）（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）2()666(1)fxmxxxmx，

数学（理工类）答案 3 当1m时，()6(1)fxxx,

当x在[1,2]内变化时，(),()fxfx的变化如下表：

当[1,2]x时，max()5fx；min()4fx. …………………….5分

（Ⅱ）若1m，1()6()fxmxxm.

当x变化时，(),()fxfx的变化如下表：

x

(,0) 0 1(0,)m 1m 1(,)m

()fx  0  0 

()fx ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

3221111()2311fmmmmm，因为1,m所以2101m.即1()0fm.

且22()(23)10fmmm，所以()fx有唯一零点.

所以“1m”是“()fx有唯一零点”的充分条件.

又2m时，当x变化时，(),()fxfx的变化如下表：

x

1(,)2 12 1(,0)2 0 (0,)

()fx  0  0 

()fx ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘

又113()10224f，(0)0f，(3)0f.

所以此时()fx也有唯一零点.

从而“1m”是“()fx有唯一零点”的充分不必要条件. …………………….13分 x 1 (1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2

()fx  0  0 

()fx 4 ↗ 极大值1 ↘ 极小值0 ↗ 5

数学（理工类）答案 4 （19）（本小题满分14分）

解：函数()fx的定义域为(0,)，

且21()(2)ln()fxxaxxaxxax(2)lnxax.

（Ⅰ）易知1(1)2fa，(1)0f，

所以曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程为1()0(1)2yax.

即12ya. ……………….3分

（Ⅱ）令()(2)ln0fxxax得1,2axx

①当02a时，12a.

当x变化时，(),()fxfx变化情况如下表：

x (0,)2a 2a (,1)2a 1 (1,)

()fx + 0 - 0

+

()fx ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

所以函数()fx在(0,)2a和(1,)上单调递增，在(,1)2a上单调递减.

②当2a时，()2(1)ln0fxxx恒成立.

所以函数()fx在(0,)上单调递增.

③当2a时，12a.

当x变化时，(),()fxfx变化情况如下表：

数学（理工类）答案 5 x (0,1) 1 (1,)2a 2a

(,)2a

()fx +

0

-

0

+

()fx ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

所以函数()fx在(0,1)和(,)2a上单调递增，在(1,)2a上单调递减.…….9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，要使1x是函数()fx的极大值点，需满足2a.

此时，函数()fx的极小值为()ga223()ln2428aaafa.

所以1()(ln1)22agaa.

令1()(ln1)022agaa得2ea.

当a变化时，g(),()aga变化情况如下表：

a (2,2e) 2e (2e,)

g()a + 0 -

()ga ↗ 极大值 ↘

所以函数()ga的最大值为2e(2e)2g.

……………….14分

（20）（本小题满分14分）

(Ⅰ)解：数列12,,,mbbb是6,4,3,1,1.

……………….3分

(Ⅱ) 由题知 b1=n=2m,

由于数列12,,,mbbb是一共

m项的等比数列,

因此数列12,,,mbbb为12,2,,2.mm

下面证明1212nmaaabbb.

假设数列 {an}中有 dm个 m, dm-1个 m-1, , d2个 2, d1个 1, 显然 di³0.

所以

数学（理工类）答案 6 由题意可得1321232,,mmbddddbddd

33,,mbdd,,.kmkmmbddbd

所以1211(12.)mjmmjbmdmddd

故 aii=1nå=bjj=1må.

即111212(1)222222.112mmmmmnaaa（） …………….8分

(Ⅲ)对1,2,...,,imib表示数列12,,,naaa中大于等于i的个数.

由已知得12,,,naaa一共有 n项, 每一项都大于等于

1,

故

b1=n; 由于 a1=m³m,

故 bm³1.

由于，故当1,2,,1im时，1iibb.即

接下来证明对1,2,,jn, aj=cj.

设 aj=i, 则12,jaaai即,

从而 bi³j. 故

从而 , 故 cj³i, 而 i=aj, 故有 cj³aj.

设

cj=k, 即{1,2,,}jCk, 根据集合 Cj的定义, 有

由

bk³j知，, 由 Bk的定义可得

而由 k=cj, 故 aj³cj.

因此，对1,2,,jn, aj=cj. ……………….14分