江苏省扬州市2021届第一学期高三数学期中调研试卷

江苏省扬州中学2021－2022学年度第一学期期中试题高二数学 2021.11试卷满分：150分，考试时间：120分钟注意事项：1.作答第Ⅰ卷前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码．2.将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效．3.考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.0()y a a -+=∈R 的倾斜角为（ ） A .30° B .60° C .150° D .120° 【答案】B2.已知方程221104x y t t +=--表示的曲线是椭圆，则t 的取值范围为（ ）A .（4，7）B .（4，10）C .（7，10）D .（4，7）⋃（7，10） 【答案】D3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4610a a +=，则9S =（ ） A .36 B .38 C .45 D .50 【答案】C4.以坐标轴为对称轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上的抛物线的标准方程为（ ） A .y 2＝16x 或x 2＝－12y B .y 2＝16x 或x 2＝12y C .y 2＝－16x 或x 2＝12y D .y 2＝－12x 或x 2＝16y 【答案】A5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见初行行里数，请公仔细算相还．其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起因为脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天到达目的地．”则此人第一天走了（ ）A .192里B .148里C .132里D .124里6.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线与直线l ：x ＋2y ＝2平行，则此双曲线的离心率是（ ）A B .2C .32D 【答案】B7.已知圆C ：x 2＋（y －5）2＝4和两点A （－a ，0）、B （a ，0）（a ＞0），若圆C 上存在点M ，满足MA ⊥MB ，则实数a 的取值范围是（ ）A .（3.5）B .[3，5]C .[3，7]D .[4，7] 【答案】C8.如图，O 是坐标原点，P 是双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上的一点，F 是双曲线E 的右焦点，延长PO 、PF 分别交双曲线E 于Q 、R 两点，已知QF ⊥FR ，且||2||QF FR =，则双曲线E 的离心率为（ ）A B C D 【答案】B【解】如图，有 PFQF '是矩形，设||FR m =，则||2,||22,2,||32PF FQ m PF m a RF m a PR m a '==-=+=-'=， 在Rt F PR '中，222(2)(32)(2)m m a m a +-=+，解得43am =或m ＝0（舍去）， 从而有82,||,Δ33a a PF PF Rt F PF '='=中，22282433a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得2217,9c c e a a ===所以双曲线E 的离心率为3．二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若直线ax ＋y －2＋a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值可能是（ ） A .1 B .－1 C .2 D .－2 【答案】AC10.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1418a a +=，2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）A .q ＝2B .数列{}2n S +是等比数列C .8510S =D .数列{}lg n a 是公差为2的等差数列 【答案】ABC11.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．己知在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0）、B （4，0），点P 满足12PA PB =，点P 所构成的曲线记为曲线C ，则下列结论正确的是（ ） A .曲线C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝16 B .在曲线C 上存在点D ，使得||1AD =C .在曲线C 上存在点M ，使M 在直线x ＋y －2＝0上D .在曲线C 上存在点N ，使得22||||4NO NA += 【答案】AD12.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12F F 、，长轴长为4，点P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A.离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭B.当离心率为4时，1QF的最大值为2+C.不存在点Q，使得21QF QF⋅=D.1241QF QF+的最小值为94【答案】BCD【解】由题设，a＝2，则22214x yb+=，又P在椭圆内部，则21112b+<，即224b<<，e⎛∴==⎝⎭，故A错误；当4e=时，有272b=，易得12,22F F⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴由124QF QF+=，则12442222QF QF⎛⎫=-≤--=+⎪⎪⎝⎭，故B正确；由222420c b b-=-<，即c＜b，以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，∴椭圆上不存在点Q使得21QF QF⋅=，故C正确；换1法可求1241QF QF+的最小值为94，故D正确．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在数列{}n a中，12a==，则数列{}n a的通项公式为．【答案】22na n=14.设直线1:60l x my++=和2:(2)320l m x y m-++=，若12l l∥，则m＝．【答案】－115.过点P（－3，1）作直线m（x－1）＋n（y－1）＝0的垂线，垂足为点M，若定点N（3，4），那么||MN的最小值为．【答案】316.我国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在“杨辉三角”中，除了1之外的每个数字都等于上一行的左右两个数字之和，且第n行的所有数字之和为12n-．若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，则此数列的第12项为 ，前35项和为 ．【答案】15，995四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（10分）已知直线m ：2x －y －3＝0与直线n ：x ＋y －3＝0的交点为P ．（1）若直线l 过点P ，且点A （1，3）、B （3，2）到l 的距离相等，求直线l 的方程； （2）若直线1l 过点P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△ABO 的面积为4，求直线1l 的方程． 【解】（1）由23030x y x y --=⎧⎨+-=⎩得21x y =⎧⎨=⎩即交点P （2，1）．由直线l 过点P ，且点4（1，3）和点B （3，2）到直线l 的距离相等， 可知l //AB 或l 过AB 的中点． 当由l //AB 得321132l AB k k -===--， 所以直线l 的方程为11(2)2y x -=--即240x y +-=． 当直线l 过AB 的中点52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭时，直线l 的方程为x ＝2. 综上：直线l 的方程为x ＋2y －4＝0或x ＝2.（2）由题可知直线1l 的横、纵截距a ，b 都存在，且a ＞0，b ＞0， 则1:1x yl a b+=．又直线1l 过点P （2，1），△ABO 的面积为4， 所以211142a bab ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，故直线1l 的方程为142x y+=，即240x y +-=．18.（12分）已知双曲线C ：22221(0,0)y x a b a b -=>>，抛物线D ：y 2＝2px（P ＞0）的焦点为F ，准线为l ，直线l 交双曲线C 的两条渐近线于M 、N 两点，△MNF 的面积为3．（1）求双曲线C 的渐近线方程； （2）求抛物线D 的方程．【解】（1）由题意，双曲线C ：22221y x a b -=可得3c e a ===，解得13b a =可得3a b =， 所以C 的渐近线方程为3y x =±．（2）由抛物线D ：y 2＝2px ，可得其准线方程为l ：2px =-， 代入渐近线方程得33,,,2222p p p p M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以||3MN p =，则1332MFNSp p =⨯⨯=，解得p =所以曲线D 的方程为2y =．19.（12分）在数列{}n a 中，()112,431n n a a a n n *+==-+∈N ．（1）求证：数列{}n a n -是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．【解】（1）由已知得()1(1)4n n a n a n +-+=-， 又1110,a -=≠∴数列{}n a n -是公比为4的等比数列，（2）由（1）得()11114,4n n n n a n a a n ---=-⋅∴=+14(1)41(1),14232n n n n n n n S n N +-+-+∴=+=+∈-．20.（12分）已知椭圆C 的标准方程为：22221(0)x y a b a b+=>>，若右焦点为F ，．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M 、N 是椭圆C 上不同的两点，直线MN 与曲线x 2＋y 2＝b 2相切，且M 、N 、F 三点共线，求线段||MN 的长． 【解】（1）由题意，椭圆半焦距c =3c e a ==，则a = 2221b a c ∴=-=，∴椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>当直线MN 的斜率不存在时，直线MN ：x ＝1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y 又M ，N ，F 三点共线， 可设直线MN：(y k x =-，即0kx y -=， 由直线MN 与曲线x 2＋y 2＝1（x ＞01=，，解得1k =±，联立22(13y x x y ⎧=±-⎪⎨+=⎪⎩，得2430x -+=，则1212324x x x x +=⋅=，||MN ∴==．21.（12分）椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，以原点O 为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点P 是圆O ：x 2＋y 2＝r 2（r ＞0）上异于点A （－r ，0）和B （r ，0）的一点，直线AP 与椭圆C 交于点M ，N ，直线BP 与椭圆C 交于点S ，T ．若直线OM ，ON ，OS ，OT 的斜率存在且分别为1234,,,k k k k ，问：是否存在r ，m ，使得()12340k k m k k +++=恒成立？若存在，求r ，m 的值；若不存在，请说明理由． 【解】（1）由题意，圆心O （0，0），半径b，b=，即b = 又椭圆的离心率12c e a ==，即a ＝2c ，所以a 2＝4c 2，联立a 2＝b 2＋c 2＝3＋c 2，即可解得a 2＝4，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）由题意直线AP ，BP 斜率存在且均不为0，d 设直线AP 的方程为()()1122(),,,,y k x r M x y N x y =+，由22()143y k x r x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222223484120k x k rx k r +++-=，2221212228412,3434k r k r x x x x k k --∴+==++，① 又()1212121212122OM ONkx x kr x x y y k k k k x x x x +++=+=+=，②将①代入②得，122263kk k k r -+=-，又AP ⊥BP ，以1k-代替k ，以－r 替代r ， 同理可得342263OS OT kk k k k r k+=+=- 假设存在常数r ，m ，使得()12340k k m k k +++=恒成立 即222266033k km k r r k-+=--恒成立， 所以()22233mr k r m +=+对k ≠0恒成立，所以223030r m mr ⎧+=⎨+=⎩，解得1r m ==-，经检验此时判别式△＞0，因此存在常数1r m ==-满足题意．22.（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =M ⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）点P （0，1），直线l 交椭圆C 于A 、B 两点（异于P ），直线P A 、PB 的斜率分别为12,k k ，且121k k ⋅=，问：直线l 是否过定点？若是，请求出该定点：若不是，请说明理由．【解】（1）由已知条件可得222221314c a a b c ab ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（2）①当直线l 的斜率存在时，设()()1122:,,,,l y kx m A x y B x y =+，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()()222418410k x kmx m +++-=， 则()2121222418,4141m km x x x x k k -+=-=++， 由121k k ⋅=得()()12121212111,110y y kx m kx m x x x x --⋅=+-⋅+--⋅=()()2212121(1)(1)0k x x k m x x m ∴-+-++-=()()222224181(1)(1)04141m km k k m m k k -⎛⎫∴-⋅+--+-= ⎪++⎝⎭()()()222224118(1)41(1)0m k k m m k m ∴----++-= 2244(1)0m m ∴-++-=1m ∴=（舍）或53m =-∴直线l 过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭②当直线l 的斜率不存在时，设22:,(,),(,),14s l x s A s t B s t t =-+=由121k k ⋅=得2222111,1,,04t t s s t s s s s ---⋅=∴+=∴=∴=∴直线l ：x ＝0综上，直线l 过定点50,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．。

江苏省扬州市2021届高三上学期期初学情调研数学试卷(考试时间: 120 分钟试卷满分: 150 分)一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A= {1,2,3}, B={|y=3x,x∈A}. 则A∪B= ( )A. {,2,3,9,27}B.{3}C. {1,3,6,9,27}D.{1,3}2.已知随机变量X ~N(1,σ2 ),P(X≥0)=0.8, 则P(X>2)= ( )A.0.2B.0.4C.0.6D.0.83.设f(x)=lnx+x-2，则函数f(x)零点所在的区间为( )A. (0，1)B.(1, 2)C.(2, 3)D.(3，4)4.已知a = ,b= ,c=则a,b,c的大小关系为( )A. a>b>cB.b>a> CC. c>b>aD. c>a>b5.设函数f(x)=xIn,则函数的图像可能为( )x6.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究发现地震释放出的能量E (单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为IgE=4.8+1 .5M.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震与2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为( )A.10-15B.1.5C.lg1.5D.101.57.已知函数f(x)= +k,若存在区间[a,b] [-2,+∞),使得函数f(x)在区间[a,b] 上的值域为[a +2,b+2],则实数k的取值范围为( )A. (-1,+∞).B.(-]C.( -)D. (-1,0]8.己知定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)，y= f(x+3)为偶函数，若f(x)在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是( )A. f()<f()<f(ln2)B. f() <f(ln2) < f()C. f(ln2)<f() < f()D. f(ln2)<f()< f()二、多项选择题;本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省扬州市2021届高三数学上学期期中调研测试试题（含解析）第I 卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A ＝{3，4}，B ＝{1，2，3}，则A B ＝ ． 答案：{1，2，3，4} 考点：集合的并集解析：∵集合A ＝{3，4}，B ＝{1，2，3}， ∴A B ＝{1，2，3，4}．2．若(3i)2i z +=-(i 为虚数单位)，则复数z ＝ ．答案：11i 22-+ 考点：复数解析：∵(3i)2i z +=-∴222i (2i)(3i)i 5i 65i 511i 3i (3i)(3i)9i 1022z --⋅--+-+=====-+++⋅--． 3．函数3x my -=(m ∈R)是偶函数，则m ＝ ．答案：0考点：函数的奇偶性 解析：∵函数3x my -=关于直线x ＝m 对称，且是偶函数∴直线x ＝m 与y 轴重合，即m ＝0．4．双曲线1422=-x y 的渐近线方程为 ． 答案：2y x =± 考点：双曲线的渐近线解析：根据双曲线22221y x a b -=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为a y x b=±，得双曲线1422=-x y 的渐近线方程为2y x =±． 5．抛物线x y 42=上横坐标为4的点到焦点的距离为 ． 答案：5考点：抛物线的定义解析：抛物线x y 42=的焦点坐标为(1，0)，准线为x ＝﹣1， 则抛物线上横坐标为4的点到准线的距离为5，根据抛物线的定义，该点到抛物线焦点的距离为5．6．设函数2ln , 0()1, 02x x x f x x >⎧⎪=⎨<⎪⎩，则2(())f f e -＝ ．答案：16考点：分段函数 解析：∵20e->∴22()2ln 40f e e--==-<，则241(())(4)162f f e f --=-==． 7．直线062=++y ax 与直线2(1)10x a y a +-+-=平行，则两直线间的距离为 ．考点：平行直线及其距离解析：∵直线062=++y ax 与直线2(1)10x a y a +-+-=平行， ∴(1)20a a --=，22(1)6(1)0a a ---≠，解得a ＝﹣1， 此时两直线方程为：260x y --=与20x y -=，5． 8．函数1()xxf x e +=的极大值是 ． 答案：1考点：利用导数研究函数的极值 解析：∵1()x xf x e +=∴()xx f x e '=-当x ＜0时，()f x '＞0，()f x 在(-∞，0)单调递增，当x ＞0时，()f x '＜0，()f x 在(0，+∞)单调递减，∴当x ＝0时，()f x 有极大值010(0)1f e+==． 9．将函数x y cos =的图象向右平移2π个单位后，再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半（纵坐标保持不变），得到函数()f x 的图象，则()6f π＝ ．答案：2考点：三角函数的图像变换 解析：函数x y cos =的图象向右平移2π个单位后，的函数cos()sin 2y x x π=-=， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的一半（纵坐标保持不变），得()sin 2f x x =，故()sin632f ππ==． 10．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AD ＝AB ＝3DC ＝3，若M 为线段BC 的中点，则AM BD⋅的值是 ． 答案：﹣32考点：平面向量数量积解析：以A 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 得A(0，0)，B(3，0)，C(1，3)，D(0，3)，M(2，32) 则AM ＝(2，32)，BD ＝(﹣3，3)， ∴AM BD ⋅＝(2，32)·(﹣3，3)＝2×(﹣3)＋32×3＝﹣32．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝3，sin 2A ﹣sin 2B ＝3sin 2C ，cosA＝13-，则△ABC 的面积是 ． 2考点：正弦定理，余弦定理解析：由正弦定理可将sin 2A ﹣sin 2B ＝3sin 2C 转化为2223a b c -=，由余弦定理得：2222cos A a b c bc =+-， 将b ＝3，cosA ＝13-，代入上面两个式子，并化简可得： 22223929a c a c c ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩，解得：1c =， ∵cosA ＝13-，∴sinA 22，∴S ＝1sin A 2bc ＝1223123⨯⨯⨯2．12．已知点A(﹣1，0)，B(2，0)，直线l ：50kx y k --=上存在点P ，使得PA 2＋2PB 2＝9成立，则实数k 的取值范围是 ． 答案：[1515] 考点：直线与圆的位置关系解析：设P(x ，y )，根据PA 2＋2PB 2＝9得： 2222(1)2[(2)]9x y x y +++-+=， 化简得：22(1)1x y -+=，故点P 在以(1，0)为圆心，1为半径的圆上，又点P 在直线l ：50kx y k --=上，1≤，化简得：2151k ≤，则k ≤≤， 综上所述，实数k 的取值范围是[15-，15]． 13．已知实数x ，y 满足23>y 且04296=-+-y x xy ，则y x +3的最小值是 ．12考点：基本不等式解析：∵04296=-+-y x xy ，∴31(31)()22x y +-=，∴3(31)()2x y ++-≥2632x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩取“＝”，故132x y +≥，综上所述，y x +312． 14．已知关于x 的不等式2(1)0xx k e e --+<有且仅有三个整数解，则实数k 的取值范围是 ． 答案：(e ，213e +] 考点：利用导数研究函数存在性问题（不等式整数解） 解析：令2()(1)xf x x k e e =--+，则()()xf x e x k '=- 当x ＜k 时，()0f x '<，此时()f x 在(-∞，k )单调递减； 当x ＞k 时，()0f x '>，此时()f x 在(k ，+∞)单调递增． ∴当x ＝k 时，()f x 有最小值为2ke e -+，显然2(1)0x x k e e --+<有解，则2k e e -+＜0，则k ＞2， 此时2(2)(2)0f k e =-<，故x ＝2是原不等式的整数解， ①当(1)0f ≥时，即20ke e -+≥时，2＜k ≤e ，此时4242(4)(3)(3)0f k e e e e e =-+≥-+>，故此时最多有两个整数解； ②当(1)0f <时，即20ke e -+<时，k ＞e ，此时323222(3)(2)(2)(21)0f k e e e e e e e e =-+<-+=---<， 故x ＝1，2，3是原不等式的整数解，则242(0)10(4)(3)0f k e f k e e ⎧=--+≥⎪⎨=-+≥⎪⎩，解得22113k e k e ⎧≤-⎪⎨≤+⎪⎩，故e ＜k ≤213e +， 综上所述，实数k 的取值范围是(e ，213e+]． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）已知关于x 的不等式031<-+x x 的解集为A，函数()f x =域为集合B （其中R m ∈）．（1）若0=m ，求B A ； （2）若RB A ⊆，求实数m 的取值范围．16．（本题满分14分）已知α∈(0，2π)，3cos 5α=． （1）求tan()4πα+的值；（2）求sin(2)6πα+的值．17．（本题满分15分）已知圆C ：22(2)4x y +-=，直线l 过点A(﹣3，0)． （1）若l 与圆C 相切，求l 的斜率k ；（2）当l 的倾斜角为4π时，l 与y 轴交于点B ，l 与圆C 在第一象限交于点D ，设AB BD λ=，求实数λ的值.18．（本题满分15分）为迎接2021年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，内部有一“杠铃形图案”（如图阴影部分），圆的半径为1米，AC ，BD 是圆的直径，E ，F 在弦AB 上，H ，G 在弦CD 上，圆心O 是矩形EFGH 的中心，若2EF 3=米，∠AOB＝2θ，5412ππθ≤≤． （1）当3πθ=时，求“杠铃形图案”的面积；（2）求“杠铃形图案”的面积的最小值．19．（本题满分16分）如图，已知椭圆()012222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与椭圆交于点P(35，455)．（1）求椭圆的方程；（2）过y轴正半轴上一点A(0，t)作斜率为k(k＞0)的直线l．①若l与圆和椭圆都相切，求实数t的值；②直线l在y轴左侧交圆于B、D两点，与椭圆交于点C、E（从上到下依次为B、C、D、E），且AB＝DE，求实数t的最大值．20．（本题满分16分）已知函数2()ln 22f x x ax ax a =--++-(a ∈R)．（1）当1=a 时，求函数()f x 在1=x 处的切线方程；（2）是否存在非负整数a ，使得函数()f x 是单调函数，若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；（3）已知()()3g x f x x =+-，若存在b ∈(1，e )，使得当x ∈(0，b ]时，()g x 的最小值是()g b ，求实数a 的取值范围．（注：自然对数的底数 2.71828e =）第II卷（附加题，共40分）21．（10分）已知向量11α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦是矩阵⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1A03a的属于特征值λ的一个特征向量．（1）求实数λ,a的值；（2）求2A．22．（10分）一个盒子中装有大小相同的2个白球、3个红球，现从中先后有放回地任取球两次，每次取一个球，看完后放回盒中． （1）求两次取得的球颜色相同的概率；（2）若在2个白球上都标上数字1，3个红球上都标上数字2，记两次取得的球上数字之和为X ，求X 的概率分布列与数学期望()X E ．23．（10分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长均为2，点E 、F 分别在棱AA 1、BB 1上移动，且1AE AA λ=，()11BF BB λ=-． （1）若21=λ，求异面直线CE 与C 1F 所成角的余弦值；（2）若二面角A—EF—C的大小为θ，且552sin=θ，求λ的值．24．（10分）设()1111nkk n nk S kC +==-∑，*n k N ∈，． （1）求21S S -，32S S -； （2）猜想∑=-nk n k S 11的值，并加以证明．。

扬州市第一中学2020—2021学年第一学期教学质量调研评估（2）高三艺术班数学（满分： 150 分 时间： 120 分钟）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．将答案填在答题卡上)1．已知集合{}2340x x A x --≤=，{}12B x x =-<<，则A B =（ ） A ．()1,1- B ．()1,2- C ．[)1,2 D ．()1,22．“x=3”是“2230x x --=”的（ ）条件A ． 充分不必要B ．必要不充分C ． 充要D ． 既不必要也不充分3．若110a b〈〈，则下列不等式中错误的是（ ）． A ．a+b<abB ．∣a ∣> ∣b ∣C ． 3a > 3bD ．2a > 2b 4．若12x <，则1221x x +-的最大值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-25．下列求导运算正确的是（ ）A.211）x 1x （x+='+ B.2ln 1）log （2x x =' C ．e x 3x log 3）3（=' D ．x x x sin 2）cos x （2-=' 6．函数()441x x f x =-的图象大致是（ ） A.B. C. D.7．已知函数()()()14log 323x x x f x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则()2f f ⎡⎤⎣⎦的值为（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．98．某公司安排甲乙丙丁4人去上海、北京、深圳出差，每人仅出差一个地方，每个地方都要安排人出差.甲不去北京，不同的安排方法共有（ ）A.18种B.20种C.24种D.30种二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上)9．下列说法正确的是（ ）A ．不等式21131x x ->+的解集是1(2,)3-- B ．“1a >，1b >”是“1ab >”成立的充分条件C ．命题:p x ∀∈R ，20x >，则命题:p x ∃∈R 的否定，20x <D ．“5a <”是“3a <”的必要条件10．下列结论正确的是（ ）A. 正弦曲线sin y x =在6x π=处的切线的斜率为12. B. 若函数2()f x x ax =- 在[),1+∞上单调递增, 则实数a 的取值范围是2a ≥C 若2()()21x f x a x R =-∈+为奇函数，则a =1. D ．将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为12. 11．已知25a b m ==，现有下面四个命题中正确的是（ ）A ．若a b =，则1m =B ．若10m =，则111a b += C ．若a b =，则10m = D ．若10m =，则111+2a b = 12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，则下列判断中正确的有（ ）A.平面1PB D ⊥平面1ACDB.1A P ∥平面1ACDC.异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D.三棱锥1D APC -的体积不变三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上)13．函数2()log 1f x x =-的定义域为 ．14.12ln y x x=+的单调减区间为_________________. 15．已知且，则=______． 16．在区间[]0,3π上，函数sin 2y x =与cos y x =的图象的交点个数是 .三、解答题(17题10分，18---22每小题12分，共70分．将答案填在答题卡上)17.已知函数f (x )＝x 3－ax －1.(1) 当a=0时，求f (x )在点 (－1，-2)处的切线方程.(2) 若f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围.18．设命题p ：函数2()lg(1)f x x ax =++的定义域为R ；命题q ：函数2()21f x x ax =--在(,1]-∞-上单调递减．若命题“p q ∨”为真，“p q ∧”为假，求实数a 的取值范围。

姓名，年级：时间：树人学校2020-2021学年度第一学期期中模拟考试高三 数学总分：150分 时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{2,1,0,1,2}A =--，集合2{|log (1)}B x y x ==-,则A B =（ ） A 。

{2} B. {1,2} C. {2,1,0}-- D 。

{2,1,0,1}-- 2。

已知tan=13-，则2cos sin cos ααα-+的值为（ ）A 。

3B 。

34 C. 43D. 343。

函数ln ()x xf x x=的大致图象为（ ）A B C D4. 已知实数0,0>>y x ，则“1<xy ”是“0log log 3131>+y x "的（ ）A. 充分不必要条件 B 。

必要不充分条件 C 。

充要条件 D 。

既不充分也不必要条件5。

刘徽(约公元225年-295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形（如图所示),当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,运用割圆术的思想，得到sin 2的近似值为( ）A ．π90B ．π180C ．π270D ．π3606.函数()22x f x a x=--的一个零点在区间()1,2内,则实数a 的取值范围是( )A ．()1,3B ．()1,2C ．()0,3D ．()0,27.已知函数()f x 是偶函数,当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为( ) A ．y x =-B ．2y x =-+C ．y x =D ．2y x =-8。

2021年高三上学期期中测试数学试题 含答案xx ．11一：填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1.= 。

2.复数的虚部为 。

3.抛物线的准线方程为，则抛物线方程为 。

4.不等式的解集为 。

5.已知平行直线，则与之间的距离为 。

6.若实数满足条件，则目标函数的最大值为 。

7.已知向量，则的充要条件是= 。

8.已知，则= 。

9.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 。

10.已知圆，直线与圆C 相交于A 、B 两点，D 为圆C 上异于A ，B 两点的任一点，则面积的最大值为 。

11.若，且，则使得取得最小值的实数= 。

12.已知函数无零点，则实数的取值范围是 。

13.双曲线的右焦点为F ，直线与双曲线相交于A 、B 两点。

若，则双曲线的渐近线方程为 。

14. 已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 。

二：解答题（本大题共6小题，计90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题满分14分）已知函数2)cos (sin sin )2cos(2)(x x x x x f =+-=π。

（1）求函数的单调递增区间；（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求的值。

16.（本小题满分14分）函数的定义域为A，函数。

（1）若时，的解集为B，求；（2）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围。

17.（本小题满分14分）已知圆。

（1）若，过点作圆M的切线，求该切线方程；（2）若AB为圆M的任意一条直径，且（其中O为坐标原点），求圆M的半径。

18.（本小题满分16分）如图，某市在海岛A上建了一水产养殖中心。

在海岸线上有相距70公里的B、C两个小镇，并且AB=30公里，AC=80公里，已知B 镇在养殖中心工作的员工有3百人，C 镇在养殖中心工作的员工有5百人。

现欲在BC 之间建一个码头D ，运送来自两镇的员工到养殖中心工作，又知水路运输与陆路运输每百人每公里运输成本之比为1∶2. （1）求的大小；（2）设，试确定的大小，使得运输总成本最少。

2021－2022蒋王中学高三数学第一次检测试卷 2021.8.15一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知复数z ＝1－i ，z -为z 的共轭复数，则1＋z z-＝( ) A ．3＋i 2 B ．1＋i 2 C ．1－3i 2 D ．1＋3i 2【答案】C【考点】复数的运算2．已知全集为R ，集合A ＝{x |x 2＜2x }，B ＝{x |lg(x ＋4)＜1}，则 ( R A )∩B ＝( )A ．[－3，2]B ．[－3，6)C ．[－3，0]∪[2，＋∞)D ．[－3，0]∪[2，6) 【答案】D【考点】集合的运算3．已知函数f (x )＝1x的导函数为f ′(x )，若f ′(x 1)＜f ′(x 2)，则x 1，x 2的大小关系不可能为( )A ．0＜x 1＜x 2B ．0＜x 2＜x 1C ．x 1＜0＜x 2D ．x 2＜0＜x 1 【答案】B【考点】函数的单调性判断4．函数y ＝a －x－a (a ＞0，a ≠1)的图像可能是( )【答案】D【考点】函数的图象识别与判断5．已知随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，若P (ξ≤4)＝P (ξ≥8)＝0.18，则P (6＜ξ＜8)＝( )A ．0.12B ．0.22C ．0.32D ．0.42 【答案】C【考点】正态分布的应用6．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是6，则该棱台的体积是( )A ．563B ．583C ．20D ．21【考点】正四棱台的体积求解7．某班举行了由6名学生参加的“弘扬中华文化”演讲比赛，决出第1名到第6名的名次(没有并列名次)．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从回答分析，6人的名次排列情况可能有( )A ．216种B ．240种C ．288种D ．384种 【答案】D【考点】排列组合问题的应用 8．体积为34的三棱柱ABC －A 1B 1C 1，所有顶点都在球O 的表面上，侧棱AA 1⊥底面A 1B 1C 1，底面△A 1B 1C 1是正三角形，AB 1与底面A 1B 1C 1所成的角是45°．则球O 的表面积是( )A ．7π3B ．7π6C ．14π3D ．7π12【答案】A【考点】立体几何与球、空间角的应用二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，下列说法正确的是( ) A ．“经过两条平行直线，有且仅有一个平面”是空间图形的基本事实(公理)之一 B ．“若α∥β，m ⊂α，则m ∥β”是平面与平面平行的性质定理 C ．“若m ∥n ，m ⊄α，n ⊂α，则m ∥α”是直线与平面平行的判定定理 D ．若α∥β，m ∥α，m ∥n ，n ⊄β，则n ∥β 【答案】CD【考点】立体几何中位置关系的判断 10．设随机变量X 的分布列为其中ab ≠0．则下列说法正确的是( )A ．a ＋b ＝1B ．E (X )＝26C ．D (X )先增大后减小 D ．D (X )有最小值【考点】随机变量的分布列、期望、方差11．已知定义在R 上的奇函数f (x )图像连续不断，且满足f (x ＋2)＝f (x )，则以下结论成立的是A ．函数f (x )的周期T ＝2B ．f (2019)＝f (2020)＝0C ．点(1，0)是函数y ＝f (x )图像的一个对称中心D ．f (x )在[－2，2]上有4个零点 【答案】ABC【考点】函数的性质综合应用12．如图，△ABC 是由具有公共直角边的两块直角三角板组成的三角形，∠CAD ＝π4，∠BCD＝π3．将Rt △ACD 沿斜边AC 翻折成△D 1AC (D 1不在平面ABC 内)．若M ，N 分别为BC 和BD 1的中点，则在△ACD 翻折过程中，下列结论正确的是( )A ．MN ∥平面ACD 1B ．AD 1与BC 不可能垂直C ．二面角D 1－AB －C 正切值的最大值为2 D ．直线AD 1与DM 所成角的取值范围为(π6，π3)【答案】ACD【考点】立体几何的综合应用：位置关系判断、空间角的范围求解 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．函数f (x )＝1－log 2x 的定义域为________． 【答案】(0，2]【考点】定义域的求解、解对数不等式14．某盏吊灯上并联着3个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是56，则在这段时间内吊灯能照明的概率是_________． 【答案】215216【考点】相互独立事件概率的求解15．已知随机变量X ~B (6，0.4)，则当η＝－2X ＋1时，D (η)＝_________． 【答案】5.76【考点】二项分布的方差计算16．四棱锥P －ABCD 各项点都在球心为O 的球面上，且P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，P A ＝AB ＝2，AD ＝4，则球O 的体积是_________；设E 、F 分别是PB 、BC 中点，则平面AEF 被球O 所截得的截面面积为_________．(前一空2分，后一空3分) 【答案】86π；14π3【考点】立体几何中四棱锥与外接球的应用、截面应用四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x －sin x ． (1)当x ＜0时，求函数f (x )的解析式； (2)解关于m 的不等式f (2m )＞f (m －1)．【考点】利用函数的奇偶性求解析式、利用函数的奇偶性与单调性解不等式 【解析】(1)当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )－sin(－x )＝－x ＋sin x ， 又f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝－x ＋sin x ． ……4分 (2)当x ≥0时，f ′(x )＝(x －sin x )′＝1－cos x ≥0，所以f (x )在[0，＋∞)单调递增． ……6分 又f (x )为偶函数，所以f (2m )＞f (m －1)可得到f (|2m |)＞f (|m －1)． 所以|2m |＞|m －1|． ……8分 两边平方，整理得(3m －1)(m ＋1)＞0，解得m ＜－1或m ＞13． ……10分18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 2(4x＋1)＋ax .(1)若f (x )是定义在R 上的偶函数，求实数a 的值； (2)在(1)的条件下，若g (x )＝f (x )－2，求函数g (x )的零点． 【考点】函数的奇偶性应用【解析】利用函数的性质求函数的零点 (1)∵f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－1)＝f (1)，即log 254－a ＝log 25＋a ，故a ＝log 254－log 252＝log 2142＝－1，经检验满足题意，故实数a 的值为－1．(2)依题意g (x )＝log 2(22x＋1)－x －2＝log 2(22x＋1)－log 22x ＋2.则由22x＋1＝2x ＋2，得(2x )2－4(2x)＋1＝0，令2x ＝t (t ＞0)，则t 2－4t ＋1＝0， 解得t 1＝2－3，t 2＝2＋3， 即x 1＝log 2(2－3)，x 2＝log 2(2＋3)，∴函数g (x )有两个零点，分别为log 2(2－3)和log 2(2＋3)． 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln(4x＋k ·2x＋1)(k ∈R )，g (x )＝x ln2． (1)若f (x )的定义域为R ，求k 的取值范围； (2)若不等式f (x )＜g (x )有解，求k 的取值范围． 【考点】函数的性质应用、求解成立问题 【解析】(1)要使f (x )的定义域为R ，只需4x ＋k 2x ＋1＞0在R 上恒成立， 令t ＝2x ＞0，只需y ＝t 2＋kt ＋1＞0在t ＞0上恒成立，当－k2≤0，即k ≥0时，y (t )在(0，＋∞)单增，恒有y (t )＞y (0)＝1＞0，因此，对任意k ≥0均成立．当－k 2＞0，即k ＜0时，y (t )在(0，－k 2)单调递减，(－k 2，＋∞)单调递增，只需f (－k2)＞0，即k 24－k 22＋1＞0，解得－2＜k ＜2，所以－2＜k ＜0， 综上，k 的取值范围为(－2，＋∞)．(2)若不等式f (x )＜g (x )有解，即ln(4x ＋k ⋅2x ＋1)＜x ln2＝ln2x ， 可得0＜4x ＋k ⋅2x ＋1＜2x ，有解 因为当x →＋∞时，4x ＋k ⋅2x ＋1→＋∞，所以，对任意实数k ，总存在x 0＞0，使得4x0＋k ⋅2x0＋1＞0，即4x ＋k ⋅2x ＋1＞0有解， 由4x ＋k ⋅2x ＋1＜2x 可得，k －1＜－(2x ＋12x )，令t ＝2x ＞0，y ＝－t －1t ，则y′＝－1＋1t 2＝(1－t )(1＋t )t 2，显然当t ∈(0，1)时，函数y ＝－t －1t 单调递增；当t ∈(1，＋∞)时，函数y ＝－t －1t 单调递减，所以当t ＝1时，y 取最大值－2， 所以k －1＜－2，即k ＜－1． 20．(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，P A ⊥底面ABCD ，AC ＝22，P A ＝2，E 是PC 上的一点，PE ＝2EC ． (1)证明：PC ⊥平面BED ；(2)设二面角A －PB －C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小．【考点】立体几何的位置关系判断、利用二面角求解线面角 【解析】(1)设AC ，BD 相交于点F ，连接EF ，因为底面ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ，又P A ⊥底面ABCD ． BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD ，又AC ∩P A ＝A ，AC ，P A ⊂平面P AC ，所以BD ⊥平面P AC ， 又PC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥PC ， 因为AC ＝22，P A ＝2，PE ＝2EC ，故PC ＝P A 2＋AC 2＝23，EC ＝233，又F 为AC 中点，所以CF ＝2， 则有FC PC ＝EC AC ＝66，又∠ECF ＝∠ACP ，所以△FCE ∽△PCA ，∠FEC ＝∠P AC ＝90°， 由此可知PC ⊥EF ．又EF ，BD ⊂平面BED ，EF ∩BD ＝F ，故PC ⊥平面BED ．第20题解图① 第20题解图②(2)在菱形ABCD 中，有AC ⊥BD ，由P A ⊥底面ABCD ，故可以以A 为坐标原点，AC 为x 轴，AP 为z 轴，过点A 平行于BD 的直线为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ， 设FD ＝b ，由Ac ＝22，P A ＝2，得D (2，b ，0)，B (2，－b ，0)，C (22，0，0)，P (0，0，2)， 又PE ＝2EC ，则E (423，0，23)，→PC ＝(22，0，－2)，→BE ＝(23，b ，23)， →AP ＝(0，0，2)，→AB ＝(2，－b ，0)，设平面P AB 的一个法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·→AP ＝0m ·→AB ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2z 1＝02x 1－by 1＝0，令y 1＝2，则x 1＝b ，则m ＝(b ，2，0)， 设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·→PC ＝0m ·→BE ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧22x 2－2z 2＝023x 2＋by 2＋23z 2＝0，令z 2＝2，则x 2＝1，y 2＝－2b ，则n ＝(1，－2b，2)． 因为平面P AB ⊥平面PBC ，所以m ·n ＝b －2b＝0，故b ＝2，所以n ＝(1，－1，2)，→DP ＝(－2，－2，2)， 所以cos<→DP ，n >＝n ·→DP|n |·|→DP |＝12，设PD 与平面PBC 所成角为θ，则sin θ＝12，所以θ＝30°，所以PD 与平面PBC 所成角的大小为30°． 21．(本小题满分12分)2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9：20~10：40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9：20~9：40记作[20，40)、9：40~10：00记作[40，60)，10：00~10：20记作[60，80)，10：20~10：40记作[80，100)，例如：10点04分，记作时刻64．(1)估计这600辆车在9：20~10：40时间内通过该收费站点的时刻的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20~10：00之间通过的车辆数为X ，求X 的分布列；(3)根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T 服从正态分布N ~(μ，σ2)，其中μ可用3日数据中的600辆车在9：20~10：40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，σ2用样本的方差近似代替(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)．假如4日全天共有1000辆车通过该收费站点，估计在9：46~10：40之间通过的车辆数(结果保留到整数)．附：若随机变量T 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜T ≤μ＋σ)＝0.6827， P (μ－2σ＜T ≤μ＋2σ)＝0.9545，P (μ－3σ＜T ≤μ＋3σ)＝0.9973． 【考点】随机变量的分布列、正态分布的应用 【解析】(1)这600辆车在9：20~10：40日间段内通过该收费点的时刻的平均值为： (30×0.005＋50×0.015＋70×0.020＋90×0.010)×20＝64，即10：04，(2)由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在20，60这一区间内的车辆数， 即(0.005＋0.015)×20×10＝4，所以X 的可能的取值为0，1，2，3，4．所以P (X ＝0)＝C 46C 410＝114，P (X ＝1)＝C 36 C 14C 410＝821，P (X ＝2)＝C 26 C 24C 410＝37，P (X ＝3)＝C 16 C 34C 410＝435，P (X ＝4)＝C 44C 410＝1210，所以X 的分布列为：(3)由(1)得μ＝64，σ2车辆＝(30－64)2×0.1＋(50－64)2×0.3＋(70－64)2×0.4＋(90－64)2×0.2＝324， 所以σ＝18，估计在9：46~10：40之间通过的车辆数也就是在46，100通过的车辆数， 由T~N (64，182)，得P (64－18≤T ≤64＋2×18)＝12P (μ－σ＜T ≤μ＋σ)＋12P (μ－2σ＜T ≤μ＋2σ)＝0.8186，所以估计在在9：46~10：40之间通过的车辆数为1000×0.8186≈819． 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2m ln x ＋x 2－4x (m ∈R ). (1)当m ＝－3求f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)且f (x 1)－3ax 2≥0恒成立，求实数a 的取值范围． 【考点】函数与导数：求解函数的单调区间、求解恒成立问题【解析】(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，则f′(x )＝－6x ＋2x －4＝2(x 2－2x －3)x ，令f′(x )＝0，得6x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3． 当x ∈(0，3)时，f′(x )＜0，故f (x )在(0，3)上单调递减； 当x ∈(3，＋∞)时，f′(x )＞0，故f (x )在(3，＋∞)上单调递增．综上，f (x )的单调递减区间为(0，3)；f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)． (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，则f′(x )＝2mx ＋2x －4＝2(x 2－2x ＋m )x，f (x )有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，等价于方程x 2－2x ＋m ＝0的有两个不等正根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧∆＝4(1－m )＞0，02－2·0＋m ＞0x 1＋x 2＝2x 1x 2＝m ＞0，所以m ＝x 1(2－x 1)，0＜x 1＜1，1＜x 2＜2，此时不等式f (x 1)－3ax 2≥0恒成立，等价于2x 1(2－x 1)ln x 1＋x 12－4x 1－3a (2－x 1)≥0对x ∈(0，1)恒成立， 可化为a ≤2x 1(2－x 1)ln x 1＋x 12－4x 13(2－x 1)＝23(x 1ln x 1＋1－12x 1－2 2－x 1)恒成立，令g (x )＝x ln x ＋1－12x －22－x ，x ∈(0，1)，a ≤23g (x )，则g′(x )＝1＋ln x －12－2(2－x )2＝ln x ＋12－2(2－x )2＝ln x ＋x (x －4)2(2－x )2， ∵x ∈(0，1)，∴ln x ＜0，x (x －4)＜0，∴g ′(x )＜0在(0，1)恒成立，∴g (x )在(0，1)上单调递减， ∴g (x )＞g (1)＝0＋1－12×1－22－1＝－32，∴a ≤－1．故实数a 的取值范围是(－∞，－1]．。

2021届高三上学期期初学情调研数学试题2020. 09(考试时间: 120 分钟试卷满分: 150 分)一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A= {1,2,3}, B={|y=3x,x∈A}. 则A∪B=( )A. {,2,3,9,27}B.{3}C. {1,3,6,9,27}D.{1,3}2.已知随机变量X ~N(1,σ2 ),P(X≥0)=0.8, 则P(X>2)= ( )A.0.2B.0.4C.0.6D.0.83.设f(x)=lnx+x-2，则函数f(x)零点所在的区间为( )A. (0，1)B.(1, 2)C.(2, 3)D.(3，4)4.已知a = log392,b=(14)13,c=log1316则a,b,c的大小关系为( )A. a>b>cB.b>a> CC. c>b>aD. c>a>b5.设函数f(x)=xIn1+x1−x,则函数的图像可能为( )x6.尽管目前人类还无法准确预报地震,但科学家通过研究发现地震释放出的能量 E (单位:焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为IgE=4.8+1 .5M.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震与2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震所释放出来的能量的比值为( )A.10-15B.1.5C.lg1.5D.101.57.已知函数f(x)=√x+2+k,若存在区间[a,b]⊆[-2,+∞),使得函数f(x)在区间[a,b] 上的值域为[a +2,b+2],则实数k的取值范围为( )A. (-1,+∞).B.(-14,0] C.( -14,+∝) D. (-1,0]8.己知定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)，y= f(x+3)为偶函数，若f(x)在(0,3)内单调递减，则下面结论正确的是( )A. f(192)<f(e12)<f(ln2) B. f(e12) <f(ln2) < f(192)C. f(ln2)<f(192) < f(e12) D. f(ln2)<f(e12)< f(192)二、多项选择题;本题共4小题，每小题5分，共20分。