河南省郑州市2012届高三下学期第二次质量预测(数学理)

2012年高中毕业年级第二次质量预测地理参考答案一、选择题(每小题4分)1.B2.D3.C4.A5.D6.C7.A8.B9.D 10.B 11.B二、非选择题36.（26分）（1）地表沙漠广布（或地势南高北低）；（2分）地表水缺乏，井泉（或地下水）分布范围广；（2分）河流多为季节性河流或时令河；（2分）植被稀少。

（2分）（2）多分布在该国北部（地中海沿岸）地区，（2分）和油井附近。

（2分）沿海地区气候较为温和湿润；（2分）有便捷的海洋运输条件；（2分）石油资源丰富，（2分）易形成资源型城市。

（3）输出地：可能引起地面塌陷；（2分）导致水资源减少；（2分）地表植被会更少，荒漠化加剧。

（2分）输入地：可能产生土地盐碱化，可能增加生物入侵的机会。

（2分）37.（20分）（1）选择在城市东南郊。

（2分）因为炼铁厂污染大气，（2分）应该建在城市最小风频上风地带，（2分）应远离居民区。

（2分）（2）从原料（包括数量、质量、价格、地域组合）、土地、水源、交通运输，劳动力、市场、协作条件、技术水平等方面分析。

（每点2分，满分12分）42．(10分)类型：高原雪域自然风光；（2分）历史文化遗产；（2分）宗教文化艺术、建筑（藏传佛教）；（2分）藏族民俗风情。

（2分）（任答3点得6分）原因：地处两大板块交界处，地壳运动活跃（2分）地球内能容易释放出来。

（2分）43．(10分)中东部地区距沙源地近，（2分）（且地形开阔）所以沙尘暴日数多。

西北部山地阻挡含沙气流，（2分）水源条件较好，植被覆盖率较高；（2分）南部气候较湿润，（2分）距沙源地较远。

（2分）所以沙尘暴日数少。

44．(10分)半湿润地区，降水量少，（2分）植被覆盖率较低，（2分）有些地区荒漠化加剧，（2分）城市化、工业化快，建筑工地遍布，（2分）城市汽车数量猛增，尾气排放不达标。

（2分）秸秆燃烧等。

（2分）（任答5点给10分）2012年高中毕业年级第二次质量预测历史参考答案24．D 25．B 26．C 27．C 28．D 29．D 30．D 31．C 32．A33．A 34．B 35．B40．（1）表现：①追求个性解放，大胆张扬个性；②知识分子身体力行批判与抗议封建礼教的压制；③蔑视权贵，无所畏惧，不怕流血牺牲的斗争精神。

郑州市高中毕业年级第二次质量预测理科数学及答案YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】2017年高中毕业年级第二次质量预测数学（理科） 参考答案一、选择题1. A ． 二、填空题．112；；16．6.三、解答题17.（Ⅰ）12a =-，由*111(N )2n n S a n n +=++∈，得11(2)2n n S a n n -=+≥，两式相减得132n n a a +=+，………………3分 由132n n a a +=+得到13(1)1n n a a +-=-，又1130,a -=-≠所以{1}n a -为以-3为首项以3为公比的等比数列11(3)33.n n n a --=-⋅=-1故3 1.n n a =-+………………6分 （Ⅱ）33log (1)log 3n n n b a n =-+==，211111(),(2)22n n b b n n n n +==-++…………9分 1111111111(1)23243511211113233(1).221242(1)(2)4n T n n n n n n n n n =-+-+-++-+--+++=+--=-<++++………………12分18．(Ⅰ)证明：在三棱柱111ABC A B C -中，11//AC A C ，且11=,AC A C 连结ED ，在ABC ∆中，因为D , E 分别为棱AB , BC 的中点. 所以1//,2DE AC DE AC =. 又F 为11A C 的中点，可得11112A F AC =，所以11//,A F DE A F DE =，………………2分因此四边形1A FED 为平行四边形，所以1//EF A C ,又111EF ACD DA ACD ⊄⊂平面，平面， 所以1//EF A CD 平面.………………4分(Ⅱ)证明：由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点，所以CD AB ⊥, 又1AA CD ⊥，又1AA AB A =，所以11.CD A ABB ⊥平面………………6分在平面11A ABB 内，过点B 作1BG A D ⊥，交直线1A D 于G ，连结CG ,1BG A CD ⊥平面，由此得，BCG ∠为直线BC 与1A CD 平面所成的角. 设三棱柱的棱长为a ，可得152aA D =，由1A AD ∆∽BGD ∆，所以5a BG =, 在Rt BGC ∆中，5sin BG BGC BC ∠==. 所以直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值为55.………………12分 19.解析：（I ）0.033.a =………………4分 （II ）由（I ）知，2~(200,12.2)Z N ，从而(187.8212.2=(20012.220012.2)0.6826.P Z P Z <<-<<+=）………………6分由题设条件及食品的质量指标的频率分布直方图，得食品生产成本分组与频率分布表如下：组号 1 2 3 4 5 6 7分组 [66,70] 70,74]（ 74,78]（ 78,82]（ 82,92]（ 92,100]（ 100,108]（xyzO… (9)分根据题意，生产该食品的平均成本为700.02740.09780.22820.33920.241000.081080.0284.52.⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………………12分20.解析：（Ⅰ）将椭圆化成标准方程221(0)2x y m mm +=>，2e =………………3分 （Ⅱ）由题意，设1122(,),(,)A x y B x y ，3344(,),(,)C x y D x y 直线AB 的斜率存在，设AB 为(2)1y k x =-+，联立222(0),x y m m +=> 得：222(12)4(12)2(21)0(0).k x k k x k m m ++-+--=>1224(21)4,112k k x x k k -+===-+，此时由0>得，6,m >………………6分则AB 为30x y +-=，则CD 为10.x y --=………………8分则2210,2x y x y m--=⎧⎨+=⎩得23210y y m ++-=3423y y +=-故CD 的中点N 为21(,).33-由弦长公式可得到12|||AB x x=-=34|||||3CD y y AB=-=>，若存在圆，则圆心在AB上，CD的中点N到直线AB的距离为3………………10分2222||64||||((),329AB mNA NB-==+=又22||164(),249CD m-==存在这样的6m>，使的,,,A B C D在同一个圆上. ………………12分21．解：（Ⅰ）()ln.f x x x x=-函数的定义域为，()ln,f x x'=当1x时，()0f x'>；当01x时，()0f x'<.所以，()f x在(0,1)上单调递减；在(1,)+∞上单调递增. ………………2分22()(2)()22a ag x x a x x a R=-=-∈若在(0,1)上单调递减；在(1,)+∞上单调递增，则0.a>………………4分(Ⅱ) （ⅰ）依题意，函数()h x的定义域为，()ln,h x x ax'=-()f x(0,)+∞(0,)+∞所以方程()0h x '=在有两个不同根.即，方程在有两个不同根. ………………5分转化为，函数与函数,y ax =的图像在上有两个不同交点，如图.可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为，只须. ………………6分令切点，所以，又，所以，解得，，于是，所以. ………………8分（ⅱ）由（i ）可知分别是方程的两个根，即，，不妨设12x x >，作差得，，即. (0,)+∞ln 0x ax -=(0,)+∞ln y x =(0,)+∞ln y x =k 0a k <<00A(,ln )x x 001|x x k y x ='==00ln x k x =000ln 1x x x =0x e =1k e =10a e<<12,x x ln 0x ax -=11ln x ax =22ln x ax =1122ln()x a x x x =-1212lnx x a x x =-原不等式212x x e ⋅>等价于()()12112122122ln ln 22ln x x x x x a x x x x x -+>⇔+>⇔>+ 令12x t x =，则1t >，()()121212221ln ln 1x x t x t x x x t -->⇔>++ ……10分设()()21ln ,11t F t t t t -=->+，()()()221'01t F t t t -=>+， ∴函数()F t 在()1,+∞上单调递增，∴()()10F t F >=，即不等式()21ln 1t t t ->+成立，故所证不等式212x x e ⋅>成立．……12分 22．解：（Ⅰ）直线的直角坐标方程是y =，曲线C 的普通方程是22(2) 4.x y +-=易得圆心到直线l 的距离d =1，所以所求的弦长为=………………5分（Ⅱ）从极点作曲线C 的弦，各弦中点得轨迹的极坐标方程为2sin ρθ=.…………10分23.解(Ⅰ)当0=a 时，由)()(x g x f ≥得x x ≥+12，两边平方整理得01432≥++x x ，解得1-≤x 或31-≥x ∴原不等式的解集为1(1][).3-∞--+∞，， ………………5分（Ⅱ）由)()(x g x f ≤得x x a -+≥12，令x x x h -+=12)(，则11,,21()31,0,21,0,x x h x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩故21)21()(min -=-=h x h ，从而所求实数a 的范围为1.2a ≥-………………10分。

精品解析：郑州市2012届高三第二次质量预测数学（文）试题解析（教师版）本试卷分第I 卷(选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效.第I 卷一、选择題(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合韪目要求的.） 1. 设（i 是虚数单位），则=A. –iB.iC. 0D. 11．B 依题意得知，()()()21212112i z i i z i i +===+-，选B. 2. 已知全集，集合，则A. {1,2}B. {5}C. {1,2,3}D. {3,4,6} 2．A 依题意得知{}1,2,3B =，{}1,2A B =，选A.3. 直线与直线 _平行，则a 的值为A. 2B.C.D.3．D 依题意得知，142a a -=-且522a a -≠，由此得知a = D. 4.在一个边长为500米的正方形区域的每个顶点处设有一个监测站，若向此区域内随机投放一个爆炸物,则爆炸点距离监测站200米内都可以被检测到.那么随机投放一个爆炸物被监测到的概率为._____ A. B. C.D.4．D 依题意得知，随机投放一个爆炸物被监测到的概率等于22200450025ππ⨯=，选D. 5.如图给出的是计箅的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是A. B. C.D.5．A 依题意得知，111124620++++是计算数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和，因此结合题目中的程序框图得知，判断框内应填入的条件是“10i >”，选A. 6. 在等比数列中，若是方程的两根,则的值是A.B.C.D.的值恒为正值，选A.8.—个几何体的三视图及其尺寸如右图所示，其中正（主)视图是直角三角形,侧(左)视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的体积是(单位cm 3) A. B.C.D.8．A 依题意得知，该几何体是一个圆锥的一半（沿圆锥的轴剖开），其中该圆锥的底面半径等于1、高等于3，因此该几何体的体积等于21113232ππ⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，选A.9. 若向量相互垂直,则的最小值为A. 12B.C.D. 6 9．D依题意得知()4120x y -+=，即22x y +=，293336x y x y +=+≥==，当且仅当21x y ==时取等号，因此93x y+的最小值是6，选D. 10. 设是三个互不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是 A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则中c 是双曲线的半焦距），35a c ==，53c a =，因此该双曲线的离心率等于53，选B.12. 设A 、B 、C 是圆上不同的三个点，且，存在实数使得，实数的关系为 A.B.C.D.12． A 依题意得知，2221OA OB OC ===，()22OC OA OB λμ=+，222222OC OA OB OA OB λμλμ=++，即221λμ=+，选A.第II 卷本卷包括必考题和选考題两部分。

2021年河南省郑州市高考数学第二次质量预测试卷（理科）（二模）一、选择题（每小题5分）.1．设集合A＝{x∈N|2＜x＜6}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B＝（）A．{x|3≤x＜5}B．{x|2＜x＜5}C．{3，4}D．{3，4，5} 2．若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣2B．C．﹣D．23．如图是某统计部门网站发布的《某市2020年2～12月国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月相比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比）下列说法错误的是（）①2020年9月CPI环比上升0.5%，同比上涨2.1%②2020年9月CP1环比上升0.2%，同比无变化③2020年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨0.2%④2020年3月CPI环比下降0.2%，同比上涨1.7%A．①③B．①④C．②④D．②③4．函数f（x）＝sin xln在（﹣π，π）的图象大致为（）A．B．C．D．5．S n是公比不为1的等比数列{a n}的前n项和，S9是S3和S6的等差中项，则＝（）A．B．C．D．6．已知x，y满足，则z＝2x+4y的取值范围是（）A．[0，4]B．[4，6]C．[0，6]D．[6，8]7．已知实数a，b，c满足lna＝e b＝，则下列不等式中不可能成立的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a8．关于函数f（x）＝|sin（2x﹣）+cos（2x﹣）|，下列判断正确的是（）A．f（x）的值域为[0，]B．f（x）是以π为最小正周期的周期函数C．f（x）在[0，π]上有两个零点D．f（x）在区间[，]上单调递减9．元宵节是中国传统佳节，放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵活动．某社区计划举办元宵节找花灯活动，准备在3个不同的地方悬挂5盏不同的花灯，其中2盏是人物灯．现要求这3个地方都有灯（同一地方的花灯不考虑位置的差别），且人物灯不能挂在同一个地方，则不同的悬挂方法种数有（）A．114B．92C．72D．4210．已知函数f（x）＝2x4+e x+e﹣x﹣1，若不等式f（1+ax）＜f（2+x2）对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，2）D．（﹣2，2）11．已知三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是线段AB上一点，且AD＝5DB．过点D作球O的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为28π，则球O的表面积为（）A．128πB．132πC．144πD．156π12．已知梯形ABCD中，以AB中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．|AB|＝2|CD|，点E在线段AC上，且＝，若以A，B为焦点的双曲线过C、D、E三点，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分）.13．函数f（x）＝ln（x+1）+x2e x的图象在点（0，f（0））处的切线方程为．14．已知向量与的夹角为60°，||＝3，||＝6，则2﹣在方向上的投影为．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D．若a+4c的最小值为9，则BD＝．16．已知a＞0，不等式（x+1）1﹣a e x+1﹣aln（x+1）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}满足a1＝1，S n＝．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝（﹣1）n+1，数列{b n}的前n项和为T n，求T2021．18．在四棱锥P﹣ABCD中，AP＝PD＝DC＝CB＝1，AB＝2，∠APD＝∠DCB＝∠CBA＝90°，平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：PB＝PC；（Ⅱ）求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，点D （1，）是椭圆C上一点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过椭圆右焦点F2且与椭圆交于P、Q两点，直线AP、AQ与直线x＝4分别交于M，N．（ⅰ）求证：M，N两点的纵坐标之积为定值；（ⅱ）求△AMN面积的最小值．20．已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸X（单位：mm）服从正态分布N（280，25）．（Ⅰ）从该生产线生产的零件中随机抽取10个，求至少有一个尺寸小于265mm的概率；（Ⅱ）为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，假设该生产设备使用期限为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为5000元，若生产设备能连续运行，则不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，则除了日常维护费外，还会产生一次故障维修费．已知故障维修费第一次为2000元，此后每增加一次则故障维修费增加2000元．假设每个维护周期互相独立，每个周期内设备不能连续运行的概率为．求该生产设备运行的四年内生产维护费用总和Y的分布列与数学期望．参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（p﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.998710≈0.9871．21．已知函数f（x）＝xe x﹣alnx﹣e．（Ⅰ）当a＝2e时，不等式f（x）≥mx﹣m在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若a＞0，f（x）最小值为g（a），求g（a）的最大值以及此时a的值．(二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（t是参数，α∈[0，）），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sin （）﹣2cosθ．（Ⅰ）写出曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1与C2有且仅有一个公共点，求sin2α﹣sinαcosα的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+a|（a＞0）．（Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（每小题5分）.1．设集合A＝{x∈N|2＜x＜6}，B＝{x|log2（x﹣1）＜2}，则A∩B＝（）A．{x|3≤x＜5}B．{x|2＜x＜5}C．{3，4}D．{3，4，5}解：∵A＝{3，4，5}，B＝{x|0＜x﹣1＜4}＝{x|1＜x＜5}，∴A∩B＝{3，4}．故选：C．2．若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣2B．C．﹣D．2解：复数＝＝，它是纯虚数，所以2a﹣1＝0，a＝故选：B．3．如图是某统计部门网站发布的《某市2020年2～12月国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第n个月与去年第n个月相比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比）下列说法错误的是（）①2020年9月CPI环比上升0.5%，同比上涨2.1%②2020年9月CP1环比上升0.2%，同比无变化③2020年3月CPI环比下降1.1%，同比上涨0.2%④2020年3月CPI环比下降0.2%，同比上涨1.7%A．①③B．①④C．②④D．②③解：根据折线图（下图）可得，其中上一条折线为月度同比折线图，下一条为月度环比折线图，所以根据数据可得，9月份月度环比比上年上涨0.5%，同比比上年上涨2.1%，故①正确；根据数据可得，3月份月度环比比上年下降0.2%，同比比上年上涨1.7%，故④正确；因此②③错误．故选：B．4．函数f（x）＝sin xln在（﹣π，π）的图象大致为（）A．B．C．D．解：根据题意，函数f（x）＝sin xln，x∈（﹣π，π），f（﹣x）＝sin（﹣x）ln＝sin xln＝f（x），则f（x）在区间（﹣π，π）上为偶函数，排除BC，又由f（）＝sin ln＝ln＜0，排除D，故选：A．5．S n是公比不为1的等比数列{a n}的前n项和，S9是S3和S6的等差中项，则＝（）A．B．C．D．解：∵S9是S3和S6的等差中项，∴S3+S6＝2S9，∵S n是公比不为1的等比数列{a n}的前n项和，∴，整理得，q3（2q6﹣q3﹣1）＝0，∵q≠0，∴2q6﹣q3﹣1＝0，则（2q3+1）（q3﹣1）＝0，又∵q≠1，∴2q3+1＝0，解得，，则＝＝．故选：A．6．已知x，y满足，则z＝2x+4y的取值范围是（）A．[0，4]B．[4，6]C．[0，6]D．[6，8]解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x+4y得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象知当直线经过A点时，直线的截距最大，此时z最大，此时x+2y＝3，即z＝2x+4y＝6，经过点C（2，0）时，直线的截距最小，此时z最小，z＝2x+4y＝4+0＝4，即4≤z≤6，即z的取值范围是[4，6]，故选：B．7．已知实数a，b，c满足lna＝e b＝，则下列不等式中不可能成立的是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a解：∵实数a，b，c满足lna＝e b＝，∴e b＞0，∴a＞1，c＞0，当a＝e时，b＝0，c＝1，此时a＞c＞b，故B可能成立；当a＝e3时，b＝ln3∈（1，2），c＝∈（0.5，1），此时a＞b＞c，故A可能成立；当b＝﹣1时，c＝e，a＝，此时，c＞a＞b，故C可能成立；∴由排除法得D不可能成立．故选：D．8．关于函数f（x）＝|sin（2x﹣）+cos（2x﹣）|，下列判断正确的是（）A．f（x）的值域为[0，]B．f（x）是以π为最小正周期的周期函数C．f（x）在[0，π]上有两个零点D．f（x）在区间[，]上单调递减解：f（x）＝|sin（2x﹣）+cos（2x﹣）|＝|sin（2x﹣）+sin2x|＝|2sin（2x﹣）cos|＝|sin（2x﹣）|，对于A，f（x）的值域为[0，]，不是[0，]，所以A错；对于B，f（x）的最小正周期为，不是π，所以B错；对于C，因为f（x）一个周期（0，]内只有一个零点，f（0）≠0，所以f（x）在[0，π]上有两个零点，所以C对；对于D，因为区间，]长度为，所以f（x）在区间[，]上不是单调函数，所以D错．故选：C．9．元宵节是中国传统佳节，放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵活动．某社区计划举办元宵节找花灯活动，准备在3个不同的地方悬挂5盏不同的花灯，其中2盏是人物灯．现要求这3个地方都有灯（同一地方的花灯不考虑位置的差别），且人物灯不能挂在同一个地方，则不同的悬挂方法种数有（）A．114B．92C．72D．42解：根据题意，分2步分析：①将5盏不同的灯分为3组，要求两盏人物灯不在同一组，若分为3、1、1的三组，有C53﹣C31＝7种分组方法，若分为2、2、1的三组，有﹣C32＝12种分组方法，则有7+12＝19种分组方法，②将分好的三组全排列，安排到3个不同的地方，有A33＝6种情况，则有19×6＝114种安排方法，故选：A．10．已知函数f（x）＝2x4+e x+e﹣x﹣1，若不等式f（1+ax）＜f（2+x2）对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，2）C．（﹣2，2）D．（﹣2，2）解：函数f（x）＝2x4+e x+e﹣x﹣1，所以f（﹣x）＝2（﹣x）4+e﹣x+e x﹣1＝f（x），故函数f（x）为偶函数，故当x＞0时，f'（x）＝8x3+e x﹣e﹣x单调递增，故f'（x）＞f'（0）＝0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不等式f（1+ax）＜f（2+x2）对任意x∈R恒成立，等价于不等式f（|1+ax|）＜f（|2+x2|）对任意x∈R恒成立，即|1+ax|＜|2+x2|对任意x∈R恒成立，即|1+ax|＜2+x2对任意x∈R恒成立，所以﹣2﹣x2＜1+ax＜2+x2对任意x∈R恒成立，则对任意x∈R恒成立，所以，解得﹣2＜a＜2，所以实数a的取值范围是（﹣2，2）．故选：D．11．已知三棱锥P﹣ABC的各个顶点都在球O的表面上，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是线段AB上一点，且AD＝5DB．过点D作球O的截面，若所得截面圆面积的最大值与最小值之差为28π，则球O的表面积为（）A．128πB．132πC．144πD．156π解：因为AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，所以，设面ABC所截的截面圆的圆心为O'，外接球的球心为O，则O'为BC的中点，且OO'⊥平面ABC，则有O'A＝O'B＝O'C＝，取AB的中点E，连结O'E，O'O，则O'E＝，因为AD＝5DB，AB＝8，E为AB的中点，所以DE＝2，所以，设OO'＝x，则有OD2＝O'D2+OO'2＝20+x2，则球的半径R2＝O'A2+x2＝52+x2＝25+x2，故与OD垂直的截面圆的半径，所以截面圆面积的最小值为πr2＝5π，截面圆面积的最大值为πR2，由题意可得πR2﹣5π＝28π，解得R2＝33π，所以球的表面积为S＝4πR2＝132π．故选：B．12．已知梯形ABCD中，以AB中点O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．|AB|＝2|CD|，点E在线段AC上，且＝，若以A，B为焦点的双曲线过C、D、E三点，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．解：设双曲线方程为，由题中的条件可知|CD|＝c，且CD所在直线平行x轴，设C（），A（﹣c，0），E（x，y），∴，，∴，…①由＝，可得，点E的坐标满足双曲线方程，所以，…②联立①②可得，故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）＝ln（x+1）+x2e x的图象在点（0，f（0））处的切线方程为x﹣y＝0．解：∵f（x）＝ln（x+1）+x2e x，∴f′（x）＝+2xe x+x2e x，则f′（0）＝1，又f（0）＝0，∴函数y＝f（x）图象在点（0，0）处的切线方程为：y﹣0＝x，即函数y＝f（x）图象在点（0，0）处的切线方程为y＝x；故答案为：x﹣y＝0．14．已知向量与的夹角为60°，||＝3，||＝6，则2﹣在方向上的投影为﹣3．解：向量与的夹角为60°，||＝3，||＝6，可得2﹣在方向上的投影为：＝＝＝﹣3．故答案为：﹣3．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D．若a+4c的最小值为9，则BD＝．解：如图，∠ABC的平分线交AC于点D，所以∠ABD＝∠CBD＝45°，所以S△ABC＝ac sin90°＝c•BD•sin45°+a•BD•sin45°，可得2ac＝c•BD+a•BD，可得＝1，所以a+4c＝•BD，a+4c＝BD（+5+）≥BD•（5+2）＝BD＝9，当且仅当a＝2c 时取等号，所以BD＝．故答案为：．16．已知a＞0，不等式（x+1）1﹣a e x+1﹣aln（x+1）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围为（0，e]．解：不等式（x+1）1﹣a e x+1﹣aln（x+1）≥0对任意的x∈（0，+∞）恒成立，令t＝x+1，则t＞1，所以不等式等价于t1﹣a e t﹣alnt≥0对t＞1恒成立，变形可得不等式te t≥t a lnt a对t＞1恒成立，令f（t）＝te t，t＞1，则不等式等价于f（t）≥f（lnt a）对t＞1恒成立，f'（t）＝（t+1）e t，当t＞1时，f'（t）＞0，故f（t）单调递增，所以不等式转化为t≥lnt a对t＞1恒成立，即对t＞1恒成立，令，所以，令g'（t）＝0，解得t＝e，当1＜t＜e时，g'（t）＜0，则g（t）单调递减，当t＞e时，g'（t）＞0，则g（t）单调递增，所以当t＝e时，g（t）取得最小值g（e）＝e，所以a≤e，又a＞0，所以实数a的取值范围为（0，e]．故答案为：（0，e]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}满足a1＝1，S n＝．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n＝（﹣1）n+1，数列{b n}的前n项和为T n，求T2021．解：（Ⅰ）由a1＝1，S n＝，①可得n≥2时，S n﹣1＝，②由①﹣②可得a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣，化为（n﹣1）a n＝na n﹣1，即＝＝…＝＝1，可得a n＝n，上式对n＝1也成立，则数列{a n}的通项公式为a n＝n，n∈N*；（Ⅱ）b n＝（﹣1）n+1＝（﹣1）n+1＝（﹣1）n+1（+），所以T2021＝（1+）﹣（+）+（+）﹣…+（+）＝1+＝．18．在四棱锥P﹣ABCD中，AP＝PD＝DC＝CB＝1，AB＝2，∠APD＝∠DCB＝∠CBA＝90°，平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：PB＝PC；（Ⅱ）求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：设AD，BC的中点分别为O，E，连结PO，OE，EP，则OE为直角梯形ABCD的中位线，故BC⊥OE，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，所以PO⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以PO⊥BC，又PO∩OE＝O，PO，OE⊂平面PEO，所以BC⊥平面PEO，又PE⊂平面PEO，所以BC⊥PE，又E为BC的中点，所以PB＝PC；（Ⅱ）解：在AB上取一点F，使得AB＝4AF，则OF，OE，OP两两垂直，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面PCD的法向量为，则有，令z＝﹣1，则y＝0，x＝，故，所以，故直线PA与平面PCD所成角的正弦值为．19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，点D （1，）是椭圆C上一点，离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过椭圆右焦点F2且与椭圆交于P、Q两点，直线AP、AQ与直线x＝4分别交于M，N．（ⅰ）求证：M，N两点的纵坐标之积为定值；（ⅱ）求△AMN面积的最小值．解：（Ⅰ）由题意可知，解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的方程为+＝1．（Ⅱ）（ⅰ）设直线l的方程为x＝my+1，联立，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以y1+y2＝，y1y2＝，直线AP的方程为y＝（x+2），令x＝4得y M＝，同理可得y N＝，所以y M y N＝＝＝＝＝﹣9．（ⅱ）S△AMN＝•6•|y M﹣y N|＝3|y M+|≥3•2＝18．当且仅当y M＝3，y N＝﹣3或y M＝﹣3，y N＝3时等号成立．20．已知某生产线的生产设备在正常运行的情况下，生产的零件尺寸X（单位：mm）服从正态分布N（280，25）．（Ⅰ）从该生产线生产的零件中随机抽取10个，求至少有一个尺寸小于265mm的概率；（Ⅱ）为了保证生产线正常运行，需要对生产设备进行维护，包括日常维护和故障维修，假设该生产设备使用期限为四年，每一年为一个维护周期，每个周期内日常维护费为5000元，若生产设备能连续运行，则不会产生故障维修费；若生产设备不能连续运行，则除了日常维护费外，还会产生一次故障维修费．已知故障维修费第一次为2000元，此后每增加一次则故障维修费增加2000元．假设每个维护周期互相独立，每个周期内设备不能连续运行的概率为．求该生产设备运行的四年内生产维护费用总和Y的分布列与数学期望．参考数据：若Z～N（μ，σ2），则P（p﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）＝0.9974，0.998710≈0.9871．解：（Ⅰ）因为X～N（280，25），则μ＝280，σ＝5，265＝μ﹣3σ，所以P（X＜265）＝＝0.0013，所以从该生产线生产的零件中随机抽取10个，至少有一个尺寸小于265mm的概率为：P＝1﹣（1﹣0.0013）10＝1﹣0.998710≈0.0129．（Ⅱ）由题意可得Y的所有可能取值为20000，22000，24000，26000，28000，P（Y＝20000）＝＝，P（Y＝22000）＝××＝，P（Y＝24000）＝××＝，P（Y＝26000）＝××＝，P（Y＝28000）＝＝，所以Y的分布列为：Y2000022000240002600028000P数学期望E（Y）＝20000×+22000×+24000×+26000×+28000×＝22000．21．已知函数f（x）＝xe x﹣alnx﹣e．（Ⅰ）当a＝2e时，不等式f（x）≥mx﹣m在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若a＞0，f（x）最小值为g（a），求g（a）的最大值以及此时a的值．解：（Ⅰ）a＝2e时，f（x）＝xe x﹣2elnx﹣e，令u（x）＝f（x）﹣mx+m＝xe x﹣2elnx﹣e﹣mx+m，则u′（x）＝（x+1）e x﹣﹣m，u″（x）＝（x+2）e x+＞0，故u′（x）在[1，+∞）递增，u′（1）＝﹣m，u′（x）≥u′（1），当m＞0时，u′（1）＝﹣m＜0，故存在x0＞1，使得u（x）在[1，x0）递减，∴u（x0）＜u（1）＝0，∴u（x）≥0在[1，+∞）上不恒成立，∴m＞0不可取，m≤0可取，∴m的取值范围是（﹣∞，0]；（Ⅱ）f′（x）＝（x+1）e x﹣，令f′（x）＝0，得a＝e x（x2+x），令h（x）＝e x（x2+x），则h′（x）＝e x（x2+3x+1）＞0，∴h（x）在（0，+∞）递增，∴a＝e x（x2+x）至多1个解，设该解是x0，即a＝（+x0），∴f（x）的最小值是g（a）＝x﹣alnx0﹣e＝x0﹣（+x0）lnx0﹣e，令F（x0）＝x0﹣（+x0）lnx0﹣e，则F′（x0）＝﹣lnx0（+3x0+1），∵x0＞0，令F′（x0）＞0，解得：0＜x0＜1，令F′（x0）＜0，解得：x0＞1，∴F（x0）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴F（x0）的最大值是F（1）＝0，即g（a）的最大值是0，此时x0＝1，a＝2e．(二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（t是参数，α∈[0，）），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sin （）﹣2cosθ．（Ⅰ）写出曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若曲线C1与C2有且仅有一个公共点，求sin2α﹣sinαcosα的值．解：（Ⅰ）曲线C2的极坐标方程是ρ＝4sin（）﹣2cosθ，根据转换为直角坐标方程为x2+y2＝2x+4y，即（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5．（Ⅱ）曲线C1的参数方程是（t是参数，α∈[0，）），转换为直角坐标方程为y＝kx+5，（k＞0），利用圆心（1，2）到直线的距离公式，解得k＝，（负值舍去），故k＝2，即tanα＝2，所以sin，cos，故sin2α﹣sinαcosα＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+a|（a＞0）．（Ⅰ）若a＝1，求不等式f（x）≥5的解集；（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）若a＝1，不等式f（x）≥5即为|2x﹣4|+|x+1≥5，等价为或或，解得x≤﹣1或﹣1＜x≤0或x≥4，所以原不等式的解集为（﹣∞，0]∪[4，+∞）：（Ⅱ）若f（x）≥a2﹣2a+4恒成立，即为（|2x﹣4|+|x+a|）min≥a2﹣2a+4，a＞0，而|2x﹣4|+|x+a|＝|x﹣2|+（|x﹣2|+|x+a|）≥|2﹣2|+|x﹣2﹣x﹣a|＝|a+2|＝a+2，当x＝2时，上式取得等号，所以a2﹣2a+4≤a+2，即a2﹣3a+2≤0，解得1≤a≤2，即a的取值范围是[1，2]．。