河南省郑州市2020届高三数学上学期第一次质量预测试题文扫描版

（高三）上期入学摸底测试数学（理科）试题说明：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）满分150分，考试时间120 分钟。

2.将第I 卷的答案代表字母填（涂）在第II 卷的答题表（答题卡）中。

第I 卷 （选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 A={N x x x∈≤,42|},B={)1,>16|Z x x x ∈+},则满足条件C B A ⊆⊆集合 C 的个数为 A. 4B. 3C. 2D. 12.已知 33,:2≥+∈∀x R x p ” ,则p ⌝是A. 3<3,2+∈∀x R x ” B. 33,2≤+∈∃x R x ”C. 3<3,2+∈∃x R x ”D. 33,2≥+∈∃x R x ” 3.下列命题中正确命题的个数是（1）对分类变量X 与Y 的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系” 的把握越大。

（2）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变； （3）在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高； （4）设随机变量ξ服从正态分布N(0,1) 若p 1)>(=ξP ，则p P -=-210)<<1(ξ. A. 4B. 3C. 2D. 14.《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天 多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？ A. 18 B. 20 C.21 D. 255.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体最长的一条棱长为A. 62B. 52C. 4D. 226.设n S 是数列{n a }的前n 项和，且1-=n a ，n n n S S a =++11，则=10SA.101 B. 101- C.10 D.-10 7.设xdx a sin 0π⎰=,则)2()1(26+⋅-x xx a 的展开式中常数项是A. 332B. -332C. 320D. -3208.设0390sin =a ,函数⎩⎨⎧≥=0log 0<)(xx x a x f a x ,则)81(log )81(2f f +的值等于A. 9B. 10C. 11D. 129.现有一个不透明的口袋中装有标号为1，2，2，3的四个小球，他们除数字外完全相同，现从中随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球所标号码不同的概率为 A.61 B. 65 C. 83 D. 8510.已知定义在区间],2[ππ-上的函数)(x f y =的图像关于直线4π=x 对称，当4π≥x 时， x x f sin )(=，如果关于x 的方程a x f =)(有解，记所有解的和为S ，则S 不可能为 A.π43 B. 2πC. πD. π2 11.已知直线l 与双曲线1422=-y x 相切于点P ，l 与双曲线两条渐近线交于M,N 两点，则=⋅OM 的值为 A. 3B. 4C.5D.与P 的位置有关12. 设0)>(...1)(2x x x x x f nn ++++=，其中2,≥∈n N n ，则函数2)()(-=x f x G n n 在)1,21(n 内的零点个数是A. 0B. 1C. 2D.与n 有关二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上13.已知复数i z +=1，则=--122z zz 14.从抛物线241x y =上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |= 5 。

2020年高中毕业年级第一次质量预测数学（理科） 参考答案一、选择题1-12 BDACB CBCDB DA二、填空题13. 10;x y -+= 14.4; 15.;530 16.{}.66,2,0-- 三、解答题17.解析：(I)222(sinsin )()sin .R A B a c C -=- ∴2222(sinsin )()sin 2,R R A B a c C R ×-=-× 即：222.a c b ac +-= ……3分 ∴2221cos .22a cb B ac +-== 因为0,B p <<所以3B p Ð=……6分 (II)若12,8b c ==，由正弦定理，sin sin b c BC =, sin 3C =, 由b c >，故C Ð为锐角，cos 3C =……9分1sin sin()sin()323236A B C C p +=+=+=×+×=……12分 18. 解析：（I ）如图所示：连接OM ， 在ABC D中：2,AB BC AC ===，则90,ABC BO Ð=°AC .……2分 在MAC D 中：M A M C A C ===，O 为AC AC ^，且O M ……4分 在MOB D 中：BO OM MB ==222OM MB += 根据勾股定理逆定理得到OB OM ^ ,AC OM 相交于O ，故OB ^平面AMC ………………….6分（Ⅱ）因为,,OB OC OM 两两垂直，建立空间直角坐标系 − 如图所示． 因为M A M B M C AC ====,2AB BC ==则(0,A B C M ……8分 由23BN BC =uuu r uuu r所以，(,,0)33N 设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z =u r ，则(,0)(,,)0,3333(,,)0AN n x y z x y AM n x y z ì×=×=+=ïíï×=×==îuuu r r uuuu r r令y =，得(1)m =--u r ……10分因为BO ^平面AMC，所以OB =uuu r为平面AMC 的法向量，所以(1)m =--u r与OB =uuu r所成角的余弦为cos ,m OB <u ruuuu r所以二面角的正弦值为2|sin ,|79m OB <=u ruuuu r .……12分 19．（I ）由题意知1b =，2c a =.……1分 又因为222a b c =+解得，a =……3分 所以椭圆方程为2212y x +=. ……4分 （Ⅱ） 设过点1(,0)3-直线为13x ty =-，设()11,A x y ，()22,B x y 由221312x ty x y ì=-ïïíï+=ïî得()2291812160t ty y +--=，且>0D . 则12212212,918616,918y y y t y t t ì+=ïï+¼¼íï=-ï+î分又因为()111,CA x y =-uuu r ，()221,CB x y =-uuu r ， ()()212121212121244416(1)(1)13339CA CB x x y y ty ty y y t y y t y y æöæö×=--+=--+=+-++ç÷ç÷èøèøuuu r uuu r ()22216412161091839189t t t t t -=+-×+=++，……10分 所以C A C B ^uuu r uuu r .因为线段AB 的中点为M ，所以||2||AB CM =.……12分20. 解析：(I)该混合样本达标的概率是28(39=，……2分 所以根据对立事件原理，不达标的概率为81199-=.……4分 (II)（i ）方案一：逐个检测，检测次数为4. 方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为89；若不达标则检测次数为3，概率为19.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6.其分布列如下，可求得方案二的期望为26416119822()246818181819E x =´+´+´== 方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5. 其分布列如下，可求得方案四的期望为46417149()15818181E x =´+´=. 比较可得42()()4E E x x <<，故选择方案四最“优”．……9分 (ii)方案三：设化验次数为3h ，3h 可取2,5.3h2 5 p3p31p - 3333()25(1)53E p p p h =+-=-；方案四：设化验次数为4h ，4h 可取1,5 4h1 5 p4p 41p -4444()5(1)54E p p p h =+-=-；由题意得34343()()53544E E p p p h h <Û-<-Û<.故当304p <<时，方案三比方案四更“优”．……12分 21解析：(I)()ln x e f x x x x=--，定义域(0,)+¥， 221(1)(1)()()1x x e x x x e f x x x x---¢=--=， 由1x e x x ³+>，()f x 在(0,1]增，在(1,)+¥减，max ()(1)1f x f e ==-……4分 (II)1()()e 1x f x x bx x++-³ e e ln e 1x x x x x x bx x xÛ-+-++-³ ln e 10x x x x bx Û-++--³e ln 1x x x x b x --+Û³min e ln 1(,x x x x b x--+Û³……6分 令e ln 1()x x x x x x j --+=，2ln ()x x e x x xj +¢= 令2()ln x h x x e x =+，()h x 在(0,)+¥单调递增，0,()x h x ®®-¥，(1)0h e =>()h x 在(0,1)存在零点0x ，即02000()ln 0x h x x e x =+=0001ln 2000000ln 1ln 0(ln )()x x x x x e x x e e x x +=Û=-=……9分 由于x y xe =在(0,)+¥单调递增，故0001ln ln ,x x x ==-即001x e x = ()x j 在0(0,)x 减，在0(,)x +¥增，000000min00e ln 111()2x x x x x x x x x j --++-+=== 所以2b £.……12分 22.解析：(I)将点3(1,)2P 代入曲线E 的方程，得1cos ,3,2a a a =ìïí=ïî解得24a =，……2分 所以曲线E 的普通方程为22143x y +=, 极坐标方程为22211(cos sin )143r q q +=.……5分 (Ⅱ)不妨设点,A B 的极坐标分别为1212()(00,2A B p r q r q r r +>>，，，，， 则22221122222211(cos sin )1,4311(cos (sin ()1,4232r q r q p p r q r q ì+=ïïíï+++=ïî 即22212222111cos sin ,43111sin cos ,43q q r q q r ì=+ïïíï=+ïî……8分 2212111174312r r +=+=,即22117||||12OA OB +=……10分 23. 解：(I)由()f x m ³，得，不等式两边同时平方，得221)(21)x x ³(－＋，……3分 即3(2)0x x +£，解得20x -££.所以不等式()f x m ³的解集为{|20}x x -££．……5分(Ⅱ)设g (x )＝|x －1|－|2x ＋1|， ……8分()0()f n g n m ³Û³-因为(2)(0)0g g -==，(3)1,(4)2,(1) 3.g g g -=--=-=- 又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n ³， 所以2 1.m -<-£-故m 的取值范围为[1,2). ……10分 12,,21()3,1,22,1,x x g x x x x x ì+£-ïïï=--<£íï-->ïïî。

2020届河南省郑州市第一中学高三上学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．若x 0,y 0>>，则x+y 1>是22x 1y +>的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件【答案】B【解析】在第一象限中，画出1x y +>和221x y +>的范围，根据两者的包含关系判断充分、必要条件. 【详解】在第一象限中，画出1x y +>和221x y +>的范围如下图所示，由图可知前者的范围包含后者的范围，故前者是后者的必要不充分条件条件.故选B.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查利用图像表示不等式，属于中档题.2．若复数21m imi+-是实数，则实数m 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．D【答案】A【解析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，利用虚部为零可求出实数m 的值. 【详解】()()()()()()223223222111111111m i mi m m m i m i m m m i mi mi mi m m m ++-+++-+===+--++++，由题意可得32101m m +=+，解得1m =-.故选：A. 【点睛】本题考查根据复数的类型求参数的值，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，利用实部和虚部进行求解，考查计算能力，属于基础题. 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知()()1,0,0,1A B ，点C 在第二象限内，56AOC π∠=，且2OC=，若OC OA OB λμ=+，则,λμ的值分别是（ ） AB ．C ．D ．-【答案】C【解析】试题分析：由题意可得,则,解之得,应选C.【考点】向量的坐标形式的运算及待定系数法的运用.4．具有相关关系的两个量x 、y 的一组数据如下表，回归方程是0.6754.9y x =+，则m =（ ）A ．65B ．67C ．68D ．70【答案】C【解析】求出x 、y 的值，然后将点(),x y 的坐标代入方程0.6754.9y x =+，即可求出实数m 的值.【详解】1020304050305x ++++==，6275818930755m my +++++==，将点30730,5m +⎛⎫ ⎪⎝⎭代入回归直线方程得3070.673054.95m+⨯+=，解得68m =. 故选：C. 【点睛】本题考查利用回归直线方程求原始数据，解题时要熟悉“回归直线过样本的中心点(),x y ”这一结论的应用，考查计算能力，属于基础题.5．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()cos 2y x π=--的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移512π个单位 C ．向右平移512π个单位 D ．向右平移3π个单位 【答案】C【解析】将初始函数的解析式化为cos 2y x =，目标函数的解析式化为5cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后利用平移变换的基本原则可得出正确选项. 【详解】初始函数为()cos 2cos2y x x π=--=，目标函数为55sin 2cos 2cos 2cos 2332612y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因此，将函数()cos 2y x π=--的图象向右平移512π个单位，可得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的平移变换，在处理这类问题要注意两个问题：一是两个函数的名称相同，二是左右平移指的是自变量上变化了多少，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．根据某地方的交通状况绘制了关于交通指数的频率分布直方图（如图）.若样本容量为500个，则交通指数在[)5,7之间的个数是（ ）A ．223B ．222C ．200D ．220【答案】D【解析】用500乘以[)5,7内的两个矩形面积之和，可得出所求结果. 【详解】由题意可知，交通指数在[)5,7之间的个数是()5000.240.21220⨯+⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频数，解题时要熟悉样本容量、频率和频数三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 7．若0x >，0y >的最小值为（ ）AB ．1C．2D ．12【答案】C平方，利用基本不等式可求出2的最小值，由此的最小值.【详解】()()212x y x y x y x y x ⎛++=≥=++++⎝≥当且仅当x y =的最小值为2. 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，解题时要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于中等题. 8．已知椭圆的中心在原点，离心率12e =，且它的一个焦点与抛物线24y x =-的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）A ．22143x y +=B ．22186x y +=C ．2212x y +=D ．2214x y +=【答案】A【解析】试题分析：抛物线24y x =-的焦点坐标为,所以椭圆的一个焦点坐标为，所以，又，所以，所以椭圆的标准方程为22143x y +=，故选A ．【考点】1．椭圆的标准方程与几何性质；2．抛物线的标准方程与几何性质． 9．如图，AB 是抛物线()220y px p =>的一条经过焦点F 的弦，AB 与两坐标轴不垂直，已知点()1,0M -，AMF BMF ∠=∠，则p 的值是（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】设直线AB 的方程为2px my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，由AMF BMF ∠=∠可得知，直线AM 的斜率和BM 的斜率互为相反数，然后利用斜率公式以及韦达定理可求出实数m 的值. 【详解】抛物线()220y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， 设直线AB 的方程为()02px my m =+≠，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则12y y ≠-.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立222p x my y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220y mpy p --=，由韦达定理得122y y mp +=，212y y p =-.由于AMF BMF ∠=∠，则直线AM 的斜率和BM 的斜率互为相反数.即121211y y x x =-++，即1222121122y y y y p p=-++，整理得2122y y p p =-=-，0p >，因此2p =.故选：C. 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，处理这种问题一般将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 10．执行如图的程序框图，则输出x 的值是 ()A ．2018B ．2019C ．12D ．2【答案】D【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，当2019y = 时，不满足条件退出循环，输出x 的值即可得解． 【详解】解：模拟执行程序框图，可得2,0x y ==.满足条件2019y <，执行循环体，1,1x y =-=； 满足条件2019y <，执行循环体，1,22x y == ； 满足条件2019y <，执行循环体，2,3x y ==； 满足条件2019y <，执行循环体，1,4x y =-= ； …观察规律可知，x 的取值周期为3，由于20196733⨯＝，可得： 满足条件2019y <，执行循环体，当2,2019x y == ,不满足条件2019y <，退出循环，输出x 的值为2． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x 的值是解题的关键． 11．若函数()()2102xf x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．(-∞B ．⎛-∞ ⎝ C ．⎛ ⎝ D ．⎛ ⎝ 【答案】A【解析】由题意可得：存在x 0∈（-∞，0），满足0220001()ln()2xx e x x a +-=-+-+， 即001-ln()02xe x a --+=有负根， ∵当x 趋近于负无穷大时，001-ln()2xe x a --+也趋近于负无穷大，且函数1()-ln()2xh x e x a =--+为增函数，∴(0)0h >，∴ln a <∴a∴a 的取值范围是-∞（， 故选：A12．已知双曲线22221x y a b-=的左右焦点为12,,F F O 为它的中心，P 为双曲线右支上的一点，12PF F ∆的内切圆圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于A 点，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若双曲线的离心率为e ，则（ ） A ．OB OA = B ．OB e OA =C ．OA e OB =D ．||OB 与||OA 关系不确定 【答案】A【解析】F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0），内切圆与x 轴的切点是点A ∵|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，及圆的切线长定理知， |AF 1|﹣|AF 2|=2a ，设内切圆的圆心横坐标为x ， 则|（x+c ）﹣（c ﹣x ）|=2a ∴x=a ； |OA|=a ，在△PCF 2中，由题意得，F 2B ⊥PI 于B ，延长交F 1F 2于点C ，利用△PCB ≌△PF 2B ，可知PC=PF 2，∴在三角形F 1CF 2中，有： OB=12CF 1=12（PF 1﹣PC ）=12（PF 1﹣PF 2）=12×2a=a ． ∴|OB|=|OA|． 故选：A ．点睛：这个题目考查了双曲线的几何意义和双曲线的第一定义；用到了焦三角形的的内切圆的性质和结论。

教学资料范本2020高三数学上学期质量监测试题（一）文（扫描版）-精装版编辑：__________________时间：__________________【精选】20xx 最新高三数学上学期质量监测试题（一）文（扫描版）××市普通高中20xx 届高三质量监测（一）数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. D3. C4. B5.C6. A7. B 8. A 9. D 10. D 11.C 12. D简答与提示：1. 【命题意图】本题考查复数的运算.【试题解析】C .故选C. (13)(3)10i i i -+-=2. 【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】D 有.故选D. M N M =U N M ⊆3. 【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】C 由题意可知函数最大值为. 故选C. 234. 【命题意图】本题主要考查函数的性质.【试题解析】B 由函数是偶函数，排除C ，在上是减函数，排除A ，D.故 选B.(0,)+∞5. 【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.【试题解析】C 由题意知.故选C.2120,cos ,2⋅-=<>=a b b a b6. 【命题意图】本题主要考查等比数列的相关知识. 【试题解析】A 由条件可知，所求算式等于.故选A 137. 【命题意图】本题考查线面成角.【试题解析】B 由题意知成角为，余弦值为.故选B. 3π12 8. 【命题意图】本题主要考查解三角形的相关知识.【试题解析】A由正弦定理可知.故选A. 1cos ,602A A ==︒9. 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选D.10. 【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可知.故选D.11. 【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】C 由题意可知，从而渐近线方程为 .故选C. 22222223,13y x y x a a a =-=-3y x =± 12. 【命题意图】本题是考查函数图象的对称性.【试题解析】D 函数的图象关于点对称，则共有8个零点，其和为16. 故选D.()()g x f x ，(2,1)()0F x =二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 14. 15.16. 521221y x =-13简答与提示：13. 【命题意图】本题考查对数运算.【试题解析】由题意可知值为. 5214. 【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.【试题解析】.12,3,1,2a b c e ==== 15. 【命题意图】本题考查导数的几何意义的相关知识.【试题解析】由题意可得. 1()1,(1)2,(1)1,21f x f f y x x ''=+===-16. 【命题意图】本题考查三棱锥的相关知识.【试题解析】由题意可知其.2113231(2)32233V =⨯⨯⨯⨯= 三、解答题17. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列的相关知识.【试题解析】解：（1）由，解得，可得.（2）由（1），，所求式等于 . 2n b n=111111()4(1)41n n b b n n n n +==-++1223341111111(1)41n n b b b b b b b b n ++++⋅⋅⋅+=-+18. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）连接，由，是的中点，得， 由平面平面，可得平面，，又由于四边形 是边长为2的菱形，，所以，从而平面.BD 2PA PD ==E AD PE AD ⊥⊥PAD ABCD PE ⊥ABCD PE BE ⊥ABCD ο60=∠A BE AD ⊥⊥BE PAD（2）在中，，，所以点到平面的距离为.PAB∆152,6,2PAB PA AB PB S ∆====111313322P ABE V -=⨯⨯⨯⨯=E PAB 155 19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识.【试题解析】答案：（1）设，从而.（2）由条件可知，，联立直线和抛物线，有，有，设，由有，有，由韦达定理可求得，所以抛物线.2:4C y x = 20. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望.【试题解析】（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为， 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.216360.690++=（2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y=6450-4450=900；若最高气温位于区间 [20,25），则Y=6300+2（450-300）-4450=300；若最高气温低于20，则Y=6200+2（450-200）-4450= -100. 所以，Y 的所有可能值为900,300，-100. Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8. 3625740.890+++=21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得，设，则，()1x g x e '=-所以当时，在上单调递增，0x >()0g x '>()f x '()0,+∞当时，在上单调递减，0x <()0g x '<()f x '(),0-∞所以，因为，所以，即，()()01f x f a ''≥=+1a >-10a +>()0f x '>所以函数在上单调递増.（6分）()f x （2）由（1）知在上单调递増，因为，所以，()1 10f e a '=-+<所以存在，使得，即，即，()1,t ∈+∞()0f t '= 所以函数在上单调递减，在上单调递増，(),t +∞ 所以当时，[)1,x ∈+∞()()()()222min 1111222t t t t f x f t e t at e t t t e e t t ==-+=-+-=-+令，则恒成立，()()2111,2x h x e x x x =-+>()1()0x x x h e =-<'所以函数在上单调递减，所以，()h x ()1,+∞()()21111122h x e <-+⨯=所以，即当时，()211122t e t t -+<[)1,x ∈+∞()min 12f x <故函数在上的最小值小于. （12分）()f x [)1,+∞12 22. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.【试题解析】 （1）圆C 的直角坐标方程为. 222410x y x y +--+=（2）将直线的参数方程代入到圆C 的直角坐标方程中，有，由得，所以或. l 24sin 0t t α-=32=AB 3sin 2α=3πα=23πα= 23. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到基本不等式等内容. 本小题重点考查化归与转化思想.【试题解析】（1）.2221()22a b a b +≥+=（2），2212133(22)()222224a b b a a b a b a b +++=⨯+=++≥+= 故. 21212a b+≥+。

河南省郑州市2020届高三数学上学期第一次质量预测试题 理注意事项：1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合{}2||≤∈=x N x A ，{}21x y y B -==，则B A I 的子集个数为A.2B.4C.8D.16 答案：B 2. 复数iiz +=1在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案：D3. 郑州市某一景区为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是 A.月接待游客逐月增加 B.年接持游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 答案：A4. 定义在R 上的函数2)31()(||-=-m x x f 为偶函數，)21(log 2f a =，))21((31f b =，)(m f c =，则A.b a c <<B.b c a <<C.c b a <<D.c a b << 答案：C5. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A.516B.518C.10D.532 答案：B6. 已知向量与夹角为3π，且1||=，3|2|=-，则=|| A.3 B.2C.1D.23 答案：C7. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于А.5B.4C.3D.2 答案：B8. 函数x x f x x cos 1212)(⋅-+的图象大致是答案：C9. 第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种 A.60B.90C.120D.150 答案：D10. 已知抛物线x y 22=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N两点，若3=，则||MN = A.316 B.38 C.2 D.338 答案：B11. 已知三棱锥ABC P -内接于球O ，⊥PA 平面ABC ，ABC ∆为等边三角形，且边长为3，球O 的表面积为π16，则直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为 A.715 B.515C.215 D.1015 答案：D12. ⎩⎨⎧>-<+=1),1(log 1|,12|)(2x x x x x f ,241545)(23++-=m x x x g ，若m x g f y -=))((有9个零点，则m的取值范围是 A.)1,0( B.)3,0(C.)35,1(D.)3,35(答案：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 曲线122+-=x xe y x 在点)1,0(处的切线方程为___________.答案：10;x y -+=14. 若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若01≠a ，123a a =，则=510S S ___________. 答案：4;15. 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右顶点为A ，以A 为圆心，6为半径做圆，圆A与双曲线C 的一条渐近线相交于M ，N 两点，若ON OM 23=（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为___________.答案：;530 16. 已知数列{}n a 满足：对任意*N n ∈均有221-+=+p pa a n n （p 为常数，0≠p 且1≠p ），若{}30,11,6,2,6,18,,,5432---∈a a a a ，则1a 的所有可能取值的集合是___________.答案：{}.66,2,0-- 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17. （12分）已知∆ABC 外接圆半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，设MC c a B A R sin )()sin (sin 222-=-.（1）求角B ；（Ⅱ）若b =12，c =8，求sin A 的值 【解析】(I)222(sin sin )()sin .R A B a c C -=-∴2222(sin sin )()sin 2,R R A B a c C R ⋅-=-⋅即：222.ac b ac +-= ……3分∴2221cos .22a c b B ac +-==因为0,B π<<所以3B π∠=……6分(II)若12,8b c ==，由正弦定理，sin sin b cB C =, 3sin 3C =,由b c >，故C ∠为锐角，6cos C =……9分3613323sin sin()sin()32A B C C π+=+=+==……12分18. （12分）已知三棱锥M-ABC 中，MA=MB=MC=AC=22，AB=BC=2，O 为AC 的中点，点N 在校BC 上，且BC BN 32=. （1）证明：BO ⊥平面AMC ； （2）求二面角N-AM-C 的正弦值.NOA【解析】（I ）如图所示：连接OM ，在ABC ∆中：2,22AB BC AC ===，则90,2ABC BO ∠=︒=，OB AC ⊥.2分在MAC ∆中：22MA MC AC ===，O 为AC 的中点，则OM AC ⊥，且6.OM = ……4分在MOB ∆中：2,6,22BO OM MB ===，满足：222BO OM MB +=根据勾股定理逆定理得到OB OM ⊥ ,AC OM 相交于O ， 故OB ⊥平面AMC ………………….6分（Ⅱ）因为,,OB OC OM 两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示．因为22MA MB MC AC ====2AB BC ==则(0,2,0),2,0,0),2,0),6)A B C M -……8分由23BN BC =u u u r u u u r 所以，222,33N设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z =u r，则252252,0)(,,)0,33332,6)(,,)260AN n x y z x y AM n x y z z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎪⋅=⋅=+=⎩u u u r r u u u u r r 令3y =(3,3,1)m =--u r……10分因为BO ⊥平面AMC ，所以(2,0,0)OB =uuu r为平面AMC 的法向量，所以(53,3,1)m =--u r 与(2,0,0)OB =uuu r所成角的余弦为5653cos ,79279m OB <>==u r u u u u r 所以二面角的正弦值为253279|sin ,|1()7979m OB -<>=-==u r u u u u r 分 19. （12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b x a y E 的离心率为22，且过点)0,1(C .（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点)0,1(-的任意直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求证，恒有||2||CM AB =.【解析】（I ）由题意知1b =，22c a =.……1分 又因为222a b c =+解得，2a =分所以椭圆方程为2212y x +=. ……4分 （Ⅱ） 设过点1(,0)3-直线为13x ty =-，设()11,A x y ，()22,B x y 由221312x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2291812160t ty y +--=，且>0∆. 则12212212,918616,918y y y t y tt ⎧+=⎪⎪+⋯⋯⎨⎪=-⎪+⎩分又因为()111,CA x y =-u u u r ，()221,CB x y =-u u u r，()()212121212121244416(1)(1)13339CA CB x x y y ty ty y y t y y t y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=--+=+-++⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ()22216412161091839189t t t t t -=+-⋅+=++，……10分所以CA CB ⊥u u u ru u u r.因为线段AB 的中点为M ，所以||2||AB CM =.……12分 20.（12）水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A 系统处理，处理后的污水（A 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p （0<p <1）.经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B 系统处理后直接排放.某厂现有4个标准水量的A 级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放 现有以下四种方案：方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验； 方案四：四个样本混在一起化验. 化验次数的期望值越小，则方案越"优". （1）若322=p ，求2个A 级水样本混合化验结果不达标的概率； （2）①若322=p ，现有4个A 级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优"？②若“方案三”比“方案四"更“优”，求p 的取值范围. 【解析】(I)该混合样本达标的概率是22289=，……2分 所以根据对立事件原理，不达标的概率为81199-=.……4分 (II)（i ）方案一：逐个检测，检测次数为4.方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为89；若不达标则检测次数为3，概率为19.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6. 其分布列如下，2ξ 2 46 p6481 1681181可求得方案二的期望为2()246818181819E ξ=⨯+⨯+⨯==方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5. 其分布列如下，4ξ15 p64811781可求得方案四的期望为4()15818181E ξ=⨯+⨯=. 比较可得42()()4E E ξξ<<，故选择方案四最“优”．……9分 (ii)方案三：设化验次数为3η，3η可取2,5.3η25 p3p31p -3()25(1)53E p p p =+-=-；方案四：设化验次数为4η，4η可取1,54η15 p4p41p -444()5(1)54E p p p η=+-=-；由题意得34343()()53544E E p p p ηη<⇔-<-⇔<. 故当304p <<时，方案三比方案四更“优”．……12分 21. （12分）已知函数xe x x xf x--=ln )(.（1）求)(x f 的最大值；（2）若1)1()(≥-++bx e xx x f x 恒成立，求实数b 的取值范围.【解析】(I)()ln xe f x x x x=--，定义域(0,)+∞，221(1)(1)()()1x x e x x x e f x x x x---'=--=， 由1x e x x ≥+>，()f x 在(0,1]增，在(1,)+∞减，max ()(1)1f x f e ==-……4分(II)1()()e 1xf x x bx x++-≥e e ln e 1x xx x x x bx x x ⇔-+-++-≥ ln e 10x x x x bx ⇔-++--≥e ln 1xx x xb x --+⇔≥min e ln 1(),x x x x b x--+⇔≥……6分令e ln 1()x x x x x x ϕ--+=，2ln ()x x e xx x ϕ+'=令2()ln x h x x e x =+，()h x 在(0,)+∞单调递增，0,()x h x →→-∞，(1)0h e =>()h x 在(0,1)存在零点0x ，即02000()ln 0x h x x e x =+=0001ln 2000000ln 1ln 0(ln )()x x x x x e x x e e x x +=⇔=-=……9分 由于x y xe =在(0,)+∞单调递增，故0001ln ln ,x x x ==-即001x e x =()x ϕ在0(0,)x 减，在0(,)x +∞增，000000min00e ln 111()2x x x x x x x x x ϕ--++-+===所以2b ≤.……12分 （二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第题记分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点P )23,1(，其参数方程⎩⎨⎧==ααsin 3cos y a x （α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA ⊥OB ，求证：22||1||1OB OA +为定值，并求出这个定值.【解析】(I)将点3(1,)2P 代入曲线E 的方程， 得1cos ,33,2a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩解得24a =，……2分 所以曲线E 的普通方程为22143x y +=, 极坐标方程为22211(cos sin )143ρθθ+=.……5分 (Ⅱ)不妨设点,A B 的极坐标分别为1212()()00,2A B πρθρθρρ+>>，，，，， 则22221122222211(cos sin )1,4311(cos ()sin ()1,4232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩ 即22212222111cos sin ,43111sin cos ,43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……8分2212111174312ρρ+=+=,即22117||||12OA OB +=……10分 23. [选修4-5不等式选讲]（10分）已知函数m x x x f ++--=|12||1|)(.（1）求不等式m x f >)(的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n ，使得0)(≥n f ，求m 的取值范围.【解析】(I)由()f x m ≥，得，不等式两边同时平方，得221)(21)x x ≥(－＋，……3分 即3(2)0x x +≤，解得20x -≤≤.所以不等式()f x m ≥的解集为{|20}x x -≤≤．……5分(Ⅱ)设g (x )＝|x －1|－|2x ＋1| ……8分()0()f n g n m ≥⇔≥-因为(2)(0)0g g -==，(3)1,(4)2,(1) 3.g g g -=--=-=- 又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n ≥，所以2 1.m -<-≤-故m 的取值范围为[1,2). ……10分12,,21()3,1,22,1,x x g x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪-->⎪⎪⎩。

河南省郑州市2020届高三数学上学期第一次质量预测试题理注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时120分钟。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}2||≤∈=xNxA，{}21xyyB-==，则BA I的子集个数为A.2B.4C.8D.16答案：B2.复数i iz+=1在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案：D3.郑州市某一景区为了了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是 A.月接待游客逐月增加 B.年接持游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 答案：A4. 定义在R 上的函数2)31()(||-=-m x x f 为偶函數，)21(log 2f a =，))21((31f b =，)(m f c =，则A.b a c <<B.b c a <<C.c b a <<D.c a b << 答案：C5. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A.516 B.518 C.10D.532 答案：B6. 已知向量a 与b 夹角为3π，且1||=a ，3|2|=-b a ，则=||b A.3 B.2 C.1 D.23 答案：C7. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输人的a ，b 分别为3，1，则输出的n 等于А.5B.4C.3D.2 答案：B8. 函数x x f x x cos 1212)(⋅-+的图象大致是答案：C9. 第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行，某项目比赛期间需要安排3名志愿者完成5项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有多少种 A.60B.90C.120D.150 答案：D10. 已知抛物线x y 22=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N两点，若MF PF 3=，则||MN = A.316 B.38 C.2 D.338 答案：B11. 已知三棱锥ABC P -内接于球O ，⊥PA 平面ABC ，ABC ∆为等边三角形，且边长为3，球O 的表面积为π16，则直线PC 与平面PAB 所成的角的正弦值为 A.715 B.515 C.215 D.1015 答案：D12. ⎩⎨⎧>-<+=1),1(log 1|,12|)(2x x x x x f ,241545)(23++-=m x x x g ，若m x g f y -=))((有9个零点，则m的取值范围是 A.)1,0( B.)3,0(C.)35,1(D.)3,35(答案：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 曲线122+-=x xe y x 在点)1,0(处的切线方程为___________.答案：10;x y -+=14. 若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若01≠a ，123a a =，则=510S S ___________. 答案：4;15. 已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a by a x C 的右顶点为A ，以A 为圆心，6为半径做圆，圆A与双曲线C 的一条渐近线相交于M ，N 两点，若23=（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为___________.答案：;53016. 已知数列{}n a 满足：对任意*N n ∈均有221-+=+p pa a n n （p 为常数，0≠p 且1≠p ），若{}30,11,6,2,6,18,,,5432---∈a a a a ，则1a 的所有可能取值的集合是___________.答案：{}.66,2,0-- 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22，23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分 17. （12分）已知∆ABC 外接圆半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，设C c a B A R sin )()sin (sin 222-=-.（1）求角B ；（Ⅱ）若b =12，c =8，求sin A 的值 【解析】(I)222(sin sin )()sin .R A B a c C -=-∴2222(sin sin )()sin 2,R R A B a c C R ⋅-=-⋅即：222.ac b ac +-= ……3分∴2221cos .22a c b B ac +-==因为0,B π<<所以3B π∠=……6分(II)若12,8b c ==，由正弦定理，sin sin b cB C =, sin 3C =,由b c >，故C ∠为锐角，cos 3C =……9分1sin sin()sin()32A B C C π=+=+==……12分 18. （12分）已知三棱锥M-ABC 中，MA=MB=MC=AC=22，AB=BC=2，O 为AC 的中点，点N 在校BC 上，NOMBC A且BC BN 32=. （1）证明：BO ⊥平面AMC ； （2）求二面角N-AM-C 的正弦值.NOAC【解析】（I ）如图所示：连接OM ， 在ABC ∆中：2,22AB BC AC ===，则90,2ABC BO ∠=︒=，OB AC ⊥.2分在MAC ∆中：22MA MC AC ===，O 为AC 的中点，则OM AC ⊥，且6.OM = ……4分在MOB ∆中：2,6,22BO OM MB ===，满足：222BO OM MB +=根据勾股定理逆定理得到OB OM ⊥ ,AC OM 相交于O ， 故OB ⊥平面AMC ………………….6分（Ⅱ）因为,,OB OC OM 两两垂直，建立空间直角坐标系如图所示．因为22MA MB MC AC ====2AB BC ==则(0,2,0),2,0,0),2,0),6)A B C M -……8分由23BN BC =u u u r u u u r 所以，222,33N设平面MAN 的法向量为(,,)m x y z =u r，则252252,0)(,,)0,33332,6)(,,)260AN n x y z x y AM n x y z z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⎪⋅=⋅=+=⎩u u u r r u u u u r r 令3y =(3,3,1)m =--u r……10分因为BO ⊥平面AMC，所以OB =uuu r为平面AMC 的法向量，所以(1)m =--u r与OB =uuu r所成角的余弦为cos ,m OB <>==u r u u u u r所以二面角的正弦值为2|sin ,|79m OB <>===u r u u u u r .……12分 19. （12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b x a y E 的离心率为22，且过点)0,1(C .（1）求椭圆E 的方程；（2）若过点)0,1(-的任意直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求证，恒有||2||CM AB =.【解析】（I ）由题意知1b =，2c a =.……1分 又因为222a b c =+解得，a =……3分所以椭圆方程为2212y x +=. ……4分 （Ⅱ） 设过点1(,0)3-直线为13x ty =-，设()11,A x y ，()22,B x y 由221312x ty x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得()2291812160t ty y +--=，且>0∆. 则12212212,918616,918y y y t y tt ⎧+=⎪⎪+⋯⋯⎨⎪=-⎪+⎩分又因为()111,CA x y =-u u u r ，()221,CB x y =-u u u r，()()212121212121244416(1)(1)13339CA CB x x y y ty ty y y t y y t y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+=--+=+-++⎪⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ()22216412161091839189t t t t t -=+-⋅+=++，……10分所以CA CB ⊥u u u r u u u r.因为线段AB 的中点为M ，所以||2||AB CM =.……12分 20.（12）水污染现状与工业废水排放密切相关，某工厂深人贯彻科学发展观，努力提高污水收集处理水平，其污水处理程序如下：原始污水必先经过A 系统处理，处理后的污水（A 级水）达到环保标准（简称达标）的概率为p （0<p <1）.经化验检测，若确认达标便可直接排放；若不达标则必须进行B 系统处理后直接排放.某厂现有4个标准水量的A 级水池，分别取样、检测，多个污水样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有样本不达标，则混合样本的化验结果必不达标，若混合样本不达标，则该组中各个样本必须再逐个化验；若混合样本达标，则原水池的污水直接排放 现有以下四种方案： 方案一：逐个化验；方案二：平均分成两组化验；方案三；三个样本混在一起化验，剩下的一个单独化验； 方案四：四个样本混在一起化验. 化验次数的期望值越小，则方案越"优". （1）若322=p ，求2个A 级水样本混合化验结果不达标的概率； （2）①若322=p ，现有4个A 级水样本需要化验，请问：方案一、二、四中哪个最“优"？②若“方案三”比“方案四"更“优”，求p 的取值范围.【解析】(I)该混合样本达标的概率是28(39=，……2分 所以根据对立事件原理，不达标的概率为81199-=.……4分 (II)（i ）方案一：逐个检测，检测次数为4.方案二：由(1)知，每组两个样本检测时，若达标则检测次数为1，概率为89；若不达标则检测次数为3，概率为19.故方案二的检测次数记为ξ2，ξ2的可能取值为2,4,6. 其分布列如下，可求得方案二的期望为2()246818181819E ξ=⨯+⨯+⨯==方案四：混在一起检测，记检测次数为ξ4，ξ4可取1,5. 其分布列如下，可求得方案四的期望为4()15818181E ξ=⨯+⨯=. 比较可得42()()4E E ξξ<<，故选择方案四最“优”．……9分 (ii)方案三：设化验次数为3η，3η可取2,5.3333()25(1)53E p p p η=+-=-；方案四：设化验次数为4η，4η可取1,54444()5(1)54E p p p η=+-=-；由题意得34343()()53544E E p p p ηη<⇔-<-⇔<. 故当304p <<时，方案三比方案四更“优”．……12分 21. （12分）已知函数xe x x xf x--=ln )(.（1）求)(x f 的最大值；（2）若1)1()(≥-++bx e xx x f x 恒成立，求实数b 的取值范围. 【解析】(I)()ln xe f x x x x=--，定义域(0,)+∞， 221(1)(1)()()1x x e x x x e f x x x x ---'=--=， 由1x e x x ≥+>，()f x 在(0,1]增，在(1,)+∞减，max ()(1)1f x f e ==-……4分(II)1()()e 1x f x x bx x++-≥e e ln e 1x xx x x x bx x x ⇔-+-++-≥ ln e 10x x x x bx ⇔-++--≥e ln 1x x x x b x --+⇔≥min e ln 1(),x x x x b x --+⇔≥……6分 令e ln 1()x x x x x x ϕ--+=，2ln ()x x e x x x ϕ+'=令2()ln x h x x e x =+，()h x 在(0,)+∞单调递增，0,()x h x →→-∞，(1)0h e =>()h x 在(0,1)存在零点0x ，即02000()ln 0x h x x e x =+=0001ln 2000000ln 1ln 0(ln )()x x x x x e x x e e x x +=⇔=-=……9分 由于x y xe =在(0,)+∞单调递增，故0001ln ln ,x x x ==-即001x e x =()x ϕ在0(0,)x 减，在0(,)x +∞增，000000min00e ln 111()2x x x x x x x x x ϕ--++-+===所以2b ≤.……12分 （二）选考题：共10分，请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第题记分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点P )23,1(，其参数方程⎩⎨⎧==ααsin 3cos y a x （α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线E 的极坐标方程；（2）若直线l 交E 于点A ，B ，且OA ⊥OB ，求证：22||1||1OB OA +为定值，并求出这个定值.【解析】(I)将点3(1,)2P 代入曲线E 的方程，得1cos ,3,2a αα=⎧⎪⎨=⎪⎩解得24a =，……2分所以曲线E 的普通方程为22143x y +=, 极坐标方程为22211(cos sin )143ρθθ+=.……5分(Ⅱ)不妨设点,A B 的极坐标分别为1212()()00,2A B πρθρθρρ+>>，，，，， 则22221122222211(cos sin )1,4311(cos ()sin ()1,4232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎩ 即22212222111cos sin ,43111sin cos ,43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩……8分 2212111174312ρρ+=+=,即22117||||12OA OB +=……10分23. [选修4-5不等式选讲]（10分）已知函数m x x x f ++--=|12||1|)(.（1）求不等式m x f >)(的解集；（2）若恰好存在4个不同的整数n ，使得0)(≥n f ，求m 的取值范围.【解析】(I)由()f x m ≥，得，不等式两边同时平方，得221)(21)x x ≥(－＋，……3分即3(2)0x x +≤，解得20x -≤≤.所以不等式()f x m ≥的解集为{|20}x x -≤≤．……5分 (Ⅱ)设g (x )＝|x －1|－|2x ＋1|……8分()0()f n g n m ≥⇔≥-因为(2)(0)0g g -==，(3)1,(4)2,(1) 3.g g g -=--=-=- 又恰好存在4个不同的整数n ，使得()0f n ≥，所以2 1.m -<-≤-故m 的取值范围为[1,2). ……10分12,,21()3,1,22,1,x x g x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪-->⎪⎪⎩。

2020届河南省郑州市第一中学高三上学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．若x 0,y 0>>，则x+y 1>是22x 1y +>的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件【答案】B【解析】在第一象限中，画出1x y +>和221x y +>的范围，根据两者的包含关系判断充分、必要条件. 【详解】在第一象限中，画出1x y +>和221x y +>的范围如下图所示，由图可知前者的范围包含后者的范围，故前者是后者的必要不充分条件条件.故选B.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查利用图像表示不等式，属于中档题.2．若复数21m imi+-是实数，则实数m 的值是（ ）A ．1-B ．1C ．2-D 2【答案】A【解析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，利用虚部为零可求出实数m 的值. 【详解】()()()()()()223223222111111111m i mi m m m i m i m m m i mi mi mi m m m ++-+++-+===+--++++，由题意可得32101m m +=+，解得1m =-.故选：A. 【点睛】本题考查根据复数的类型求参数的值，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，利用实部和虚部进行求解，考查计算能力，属于基础题. 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知()()1,0,0,1A B ，点C 在第二象限内，56AOC π∠=，且2OC =，若OC OA OB λμ=+，则,λμ的值分别是（ ） A ．3,1B ．1,3C ．3,1-D ．1,3-【答案】C【解析】试题分析：由题意可得,则,解之得,应选C.【考点】向量的坐标形式的运算及待定系数法的运用.4．具有相关关系的两个量x 、y 的一组数据如下表，回归方程是0.6754.9y x =+，则m =（ ）x10 2030 40 50y62 m7581 89A ．65B ．67C ．68D ．70【答案】C【解析】求出x 、y 的值，然后将点(),x y 的坐标代入方程0.6754.9y x =+，即可求出实数m 的值.【详解】1020304050305x ++++==，6275818930755m my +++++==，将点30730,5m +⎛⎫ ⎪⎝⎭代入回归直线方程得3070.673054.95m+⨯+=，解得68m =. 故选：C. 【点睛】本题考查利用回归直线方程求原始数据，解题时要熟悉“回归直线过样本的中心点(),x y ”这一结论的应用，考查计算能力，属于基础题.5．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()cos 2y x π=--的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移512π个单位 C ．向右平移512π个单位 D ．向右平移3π个单位 【答案】C【解析】将初始函数的解析式化为cos 2y x =，目标函数的解析式化为5cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后利用平移变换的基本原则可得出正确选项. 【详解】初始函数为()cos 2cos2y x x π=--=，目标函数为55sin 2cos 2cos 2cos 2332612y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因此，将函数()cos 2y x π=--的图象向右平移512π个单位，可得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的平移变换，在处理这类问题要注意两个问题：一是两个函数的名称相同，二是左右平移指的是自变量上变化了多少，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．根据某地方的交通状况绘制了关于交通指数的频率分布直方图（如图）.若样本容量为500个，则交通指数在[)5,7之间的个数是（ ）A ．223B ．222C ．200D ．220【答案】D【解析】用500乘以[)5,7内的两个矩形面积之和，可得出所求结果. 【详解】由题意可知，交通指数在[)5,7之间的个数是()5000.240.21220⨯+⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频数，解题时要熟悉样本容量、频率和频数三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题. 7．若0x >，0y >x y x y++的最小值为（ ）A ．2B ．1C 2D ．12【答案】C【解析】x yx y ++平方，利用基本不等式可求出2x y x y ++的最小值，由此x y x y++的最小值.【详解】()()2122x y x y x y x y x y x y xy ⎛++=≥= ++++++⎝2x y x y +≥+ 当且仅当x y =x y x y++2故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，解题时要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于中等题. 8．已知椭圆的中心在原点，离心率12e =，且它的一个焦点与抛物线24y x =-的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）A ．22143x y +=B ．22186x y +C ．2212x y +=D ．2214x y +=【答案】A【解析】试题分析：抛物线24y x =-的焦点坐标为,所以椭圆的一个焦点坐标为，所以，又，所以，所以椭圆的标准方程为22143x y +=，故选A ．【考点】1．椭圆的标准方程与几何性质；2．抛物线的标准方程与几何性质． 9．如图，AB 是抛物线()220y px p =>的一条经过焦点F 的弦，AB 与两坐标轴不垂直，已知点()1,0M -，AMF BMF ∠=∠，则p 的值是（ ）A ．12B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】设直线AB 的方程为2px my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，由AMF BMF ∠=∠可得知，直线AM 的斜率和BM 的斜率互为相反数，然后利用斜率公式以及韦达定理可求出实数m 的值. 【详解】抛物线()220y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， 设直线AB 的方程为()02px my m =+≠，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则12y y ≠-.将直线AB 的方程与抛物线的方程联立222p x my ypx⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2220y mpy p --=，由韦达定理得122y y mp +=，212y y p =-.由于AMF BMF ∠=∠，则直线AM 的斜率和BM 的斜率互为相反数.即121211y y x x =-++，即1222121122y y y y p p=-++，整理得2122y y p p =-=-，0p >，因此2p =.故选：C. 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，处理这种问题一般将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理设而不求法进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 10．执行如图的程序框图，则输出x 的值是 ( )A ．2018B ．2019C ．12D ．2【答案】D【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，当2019y = 时，不满足条件退出循环，输出x 的值即可得解． 【详解】解：模拟执行程序框图，可得2,0x y ==.满足条件2019y <，执行循环体，1,1x y =-=； 满足条件2019y <，执行循环体，1,22x y == ； 满足条件2019y <，执行循环体，2,3x y ==； 满足条件2019y <，执行循环体，1,4x y =-= ； …观察规律可知，x 的取值周期为3，由于20196733⨯＝，可得： 满足条件2019y <，执行循环体，当2,2019x y == ,不满足条件2019y <，退出循环，输出x 的值为2． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次写出每次循环得到的x ，y 的值，根据循环的周期，得到跳出循环时x 的值是解题的关键． 11．若函数()()2102xf x x e x =+-<与()()2ln g x x x a =++图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( )A ．(-∞B ．⎛-∞ ⎝ C ．⎛ ⎝ D ．⎛ ⎝ 【答案】A【解析】由题意可得：存在x 0∈（-∞，0），满足0220001()ln()2xx e x x a +-=-+-+， 即001-ln()02xe x a --+=有负根， ∵当x 趋近于负无穷大时，001-ln()2xe x a --+也趋近于负无穷大，且函数1()-ln()2xh x e x a =--+为增函数，∴(0)0h >，∴ln a <∴a∴a 的取值范围是-∞（， 故选：A12．已知双曲线22221x y a b-=的左右焦点为12,,F F O 为它的中心，P 为双曲线右支上的一点，12PF F ∆的内切圆圆心为I ，且圆I 与x 轴相切于A 点，过2F 作直线PI 的垂线，垂足为B ，若双曲线的离心率为e ，则（ ） A ．OB OA = B ．OB e OA =C ．OA e OB =D ．||OB 与||OA 关系不确定 【答案】A【解析】F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0），内切圆与x 轴的切点是点A ∵|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，及圆的切线长定理知， |AF 1|﹣|AF 2|=2a ，设内切圆的圆心横坐标为x ， 则|（x+c ）﹣（c ﹣x ）|=2a ∴x=a ； |OA|=a ，在△PCF 2中，由题意得，F 2B ⊥PI 于B ，延长交F 1F 2于点C ，利用△PCB ≌△PF 2B ，可知PC=PF 2，∴在三角形F 1CF 2中，有： OB=12CF 1=12（PF 1﹣PC ）=12（PF 1﹣PF 2）=12×2a=a ． ∴|OB|=|OA|． 故选：A ．点睛：这个题目考查了双曲线的几何意义和双曲线的第一定义；用到了焦三角形的的内切圆的性质和结论。