2024学年郑州市高三（下）第三次模拟考试数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知实数a ，b 且0ab >，则222229aba b a b +++取得最大值时，a b +的值为（）B. C.- D.-2.已知32a =，35b =，58c =，则（）A.a b c<< B.a c b << C.c b a<< D.<<b c a3.法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数()1111cos isin z r θθ=+，()()222212cos isin ,0z r r r θθ=+>，则()()12121212cos isin z z r r θθθθ⎡⎤=+++⎣⎦.设12z =-，则2024z 的虚部为（）A. B.2C.1D.04.已知,αβ满足πππ2π,44αβ≤≤-≤≤，且553π32cos 5,962sin252ααββ⎛⎫-+=+=- ⎪⎝⎭，则24πsin 994αβ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（）5.在平面直角坐标系中，集合(){},0A x y kx y k =-+=，集合(){},1B x y y kx ==-，已知点M A ∈，点N B ∈，记d 表示线段MN 长度的最小值，则d 的最大值为（）A.2C.16.算盘起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项伟大的发明.在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具，下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右向左分别表示个位、十位、百位、千位，L ，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小.例如如图二，个位上拨动一粒上珠、两粒下珠，十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17.现将算盘的个位、十位、百位、千位、万位、十万位分别随机拨动一粒珠子至梁上，则表示的六位数至多含4个5的情况有（）A.57种B.58种C.59种D.60种7.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，58102a a a +=-，3726a a +=-，则满足10n n S S +<的值为（）A.14 B.15C.16D.178.已知为定义在−∞,0∪0,+∞上的偶函数，已知1=0，当＞0时，有2−B '＞0，则使＞0成立的的取值范围为（）A.−∞,−1∪0,1B.−1,0∪1,+∞C.−∞,−1∪1,+∞D.−1,0∪0,1二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.已知()sin cos sin 2f x x x x =+，则（）A.()f x 的图象关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称B.()f x 的值域为33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.()f x 在区间()0,50上有33个零点D.若方程()34f x =在()0,t （0t >）有4个不同的解i x （1i =，2，3，4），其中1i i x x +<（1i =，2，3），则1234x x x x t ++++的取值范围是55π85π,1212⎛⎤⎥⎝⎦10.已知正方体ABCD A B C D -''''的棱长为1M ，是AA '中点，P 是AB 的中点，点N满足[]()0,1D N D C λλ'''=∈ ，平面MPN 截该正方体，将其分成两部分，设这两部分的体积分别为12V V ，，则下列判断正确的是（） A.12λ=时，截面面积为32B.12λ=时，12V V =C.12V V -随着λ的增大先减小后增大 D.12V V -的最大值为51211.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点A 到其两条渐近线的距离之积为32，则下列结论正确的是（）A.221123a b += B.3ab ≤ C.226a b +≥ D.11a b +≤三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.曲线()()1ln 211f x x x x =-++在点()()1,1f 处的切线方程为.13.已知有,A B 两个盒子，其中A 盒装有3个黑球和3个白球，B 盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从A 盒、乙从B 盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A 盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B 盒中.按上述方法重复操作两次后，B 盒中恰有7个球的概率是.14.一个圆锥的顶点和底面圆都在半径为2的球体表面上，当圆锥的体积最大时，其底面圆的半径为.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知等比数列{}n a 的公比3q =，且1289a a +=.(1)求{n a }的前n 项和n S ；(2)若等差数列{}n b 的前2项分别为2a ，312a ，求{}nb 的前n 项和n T .16.(15分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面,ABCD PD 与底面所成的角为45︒，E 为PD 的中点.(1)求证：⊥AE 平面PCD ；(2)若2,AB G =为BCD △的内心，求直线PG 与平面PCD 所成角的正弦值.17.(15分)某地区工会利用“健步行APP”开展健步走活动.为了解会员的健步走情况，工会在某天从系统中抽取了100名会员，统计了当天他们的步数（千步为单位），并将样本数据分为[)3,5，[)5,7，[)7,9，…，[)17,19，[]19,21九组，整理得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计样本数据的70%分位数；(2)据统计，在样本数据[)3,9，[)9,15，[]15,21的会员中体检为“健康”的比例分别为15，13，35，以频率作为概率，估计在该地区工会会员中任取一人，体检为“健康”的概率.18.(17分)已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，3,2M m ⎛⎫- ⎪⎝⎭为C 上一点，且32MF =.(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 且斜率存在的直线l 与C 交于不同的两点,A B ，且点B 关于x 轴的对称点为D ，直线AD 与x 轴交于点Q .（i）求点Q 的坐标；（ii）求OAQ 与OAB 的面积之和的最小值.19.(17分)对于函数12(),,(),y f x x D y g x x D =∈=∈及实数m ，若存在1122,x D x D ∈∈，使得()()12f x g x m +=，则称函数()f x 与()g x 具有“m 关联”性质.(1)若()sin f x x =与()cos 2g x x =具有“m 关联”性质，求m 的取值范围；(2)己知0a >，()f x 为定义在R 上的奇函数，且满足；①在[0,2]a 上，当且仅当2ax =时，()f x 取得最大值1；②对任意x ∈R ，有()()0f a x f a x ++-=.求证：1sin π()y x f x =+与2cos π()y x f x =-不具有“4关联”性.2024学年郑州市高三（下）第三次模拟考试数学•参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【解析】22222222299292ab ab a b a b ab a b ab ab≤=+++++++，又0ab >，所以96ab ab +≥，所以22222194ab a b a b ≤+++，当且仅当3ab =，即a b ==a b ==所以a b +=a b +=-.故选：D 2.【答案】C【解析】由题意得3log 5b =，5log 8c =，因为32333log 3log log 52a b ===>=，即a b >，32553log 5log log 82a ===，即a c >，因为2222222lg5lg5(lg5)(lg5)4(lg5)lg 25×=1lg3+lg8lg3lg8lg3×lg8lg 24lg 24()2b c =>==>，所以b c >，故a b c >>.故选：C .3.【答案】B【解析】14π4πcos isin233z =--=+，所以20244π20244π2024cos isin 33z⨯⨯=+2π2π1cosisin 332=+=-,所以2024z的虚部为故选:B.4.【答案】D【解析】由5962sin25ββ+=-，得()53(2)2sin 250ββ-+--=，由53π32cos 52αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，得53π3π32sin 5022αα⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2β-和3π2α-是方程532sin 50x x +-=的两个实数根.因为[]πππ,2π,,44αβ⎡⎤∈∈-⎢⎥⎣⎦，所以3π2α-和2β-的取值范围都是ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，因为函数53,2sin y x y x ==在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上均单调递增，所以函数532sin y x x =+在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故方程532sin 50x x +-=在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上只有一个根，所以3π22αβ-=-，即3π22αβ+=，于是有24π993αβ+=，所以24πππππππsin sin sin cos cos sin 9943434344αβ⎛⎫⎛⎫+-=-=-=⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.5.【答案】D【解析】集合{}|0A x kx y k =-+=可以看作是表示直线1:0-+=l kx y k 上的点的集合，由0kx y k -+=变形可得，()10k x y +-=，由100x y +=⎧⎨=⎩可得，10x y =-⎧⎨=⎩，所以直线1:0-+=l kx y k 过定点()1,0E -.集合(){},1B x y y kx ==-可看作是直线2:1l y kx =-上的点的集合，由1y kx =-变形可得，()10kx y -+=，由010x y =⎧⎨+=⎩可得，01x y =⎧⎨=-⎩，所以，直线2:1l y kx =-过定点()0,1F -.显然，当点,M N 与点,E F 分别重合，且线段MN 与直线12,l l 都垂直时，d 有最大值EF =故选：D.6.【答案】A【解析】至多含4个5，有以下5种情况：不含5，有06C 1=种；含1个5，有16C 6=种；含2个5，有2615C =种；含3个5，有36C 20=种；含4个5，有46C 15=种；所以，所有的可能情况共有6016346626C C C C C 57++++=种，故选：A.7.【答案】B【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为581037226a a a a a +=-⎧⎨+=-⎩，则()111211292826a d a d a d ⎧+=-+⎨+=-⎩，解得1294a d =-⎧⎨=⎩，可得()()12942312n n n S n n n -=-+⨯=-，且*n ∈N ，当15n ≤时，0n S <；当16n ≥时，0n S >；可知：当14n ≤或16n ≥时，10n n S S +>；当15n =时，10n n S S +<；若10n n S S +<，所以15n =.故选：B.8.【答案】D 【解析】令=，其中≠0，因为函数为定义在−∞,0∪0,+∞上的偶函数，则−=，所以，−===为偶函数，当＞0时，'=4，所以，函数在0,+∞上为减函数，且1==0，由＞0可得=，则=|U ＞0=1，所以，，解得−1＜＜0或0＜＜1，因此，使＞0成立的的取值范围为−1,0∪0,1.故选：D.二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9.【答案】AB 【解析】对A：由()()()()()()()πsin πcos πsin 2πsin cos sin 2sin cos sin 2f x x x x x x x x x x f x -=--+-=⨯--=--=-，所以()()π0f x f x -+=，则()f x 的图象关于π,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 正确；对B：由()sin cos sin 2sin cos 2sin cos f x x x x x x x x =+=+，因为()()()()()2πsin 2πcos 2πsin 24πsin cos 2sin 2f x x x x x x x f x +=++++=+=，所以()f x 的一个周期为2π，不妨讨论[]0,2π一个周期的值域情况，当π02x ≤≤，此时sin 0,cos 0x x ≥≥，则()113sin cos sin 2sin cos sin 2sin 2sin 2sin 2222f x x x x x x x x x x =+=+=+=，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]20,πx ∈，则[]sin 20,1x ∈，则()30,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；当ππ2x <≤，此时sin 0,cos 0x x ≥≤，则()113sin cos sin 2sin cos sin 2sin 2sin 2sin 2222f x x x x x x x x x x =+=+=+=，因为π,π2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以(]2π,2πx ∈，则[]sin 21,0x ∈-，则()3,02f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当3ππ2x <≤，此时sin 0,cos 0x x ≤≤，则()111sin cos sin 2sin cos sin 2sin 2sin 2sin 2222f x x x x x x x x x x =+=-+=-+=，因为3ππ,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以(]22π,3πx ∈，则[]sin 20,1x ∈，则()10,2f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当3π2π2x <≤，此时sin 0,cos 0x x ≤≥，则()111sin cos sin 2sin cos sin 2sin 2sin 2sin 2222f x x x x x x x x x x =+=-+=-+=，因为3π,2π2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以(]23π,4πx ∈，则[]sin 21,0x ∈-，则()1,02f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，综上所述()33,22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，故B 正确；对C ：()()cos sin 2sin f x x x x =+，令()0f x =得sin 0x =或cos 0x =，可得1π2x k =（k ∈Z ），所以31π502<，32π502>，所以()f x 在()0,50上有31个零点，故C 错误；对D：()f x 是以2π为周期的周期函数，当(]0,πx ∈时()33,22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()34f x =在(]0,π上有2个实根1x ，2x ，且1x 与2x 关于π4x =对称，所以12π2x x +=；当(]π,2πx ∈时()11,22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()34f x =在(]π,2π上没有实根，则()34f x =在(]2π,3π上有2个实根3x ，4x ，且3x 与4x 关于9π4对称，且349π2x x +=，且3π2π12x =+，45π2π12x =+，当(]3π,4πx ∈时()11,22f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()34f x =在(]π,2π上没有实根，当(]4π,5πx ∈时，()34f x =有2个实根，但()f x 只需有4个零点，所以29π49π1212t <≤，又因为12345πx x x x +++=，所以1234x x x x t ++++的取值范围是89π109π,1212⎛⎤⎥⎝⎦，故D 错误，故选：AB.10.【答案】BCD 【解析】如图1，当12λ=时，点N 是D C ''的中点，易得截面为正六边形.其棱长为=26(),424⨯⨯=故A 项错误；由对称性可知.当12λ=时.平面分两部分是全等的，故体积相等，故B 项正确；如图2.当λ从0变化到1时.截面从四边形MD CP '变化至五边形MPJC Q '（其中J 为BC 靠近B 点的三等分点）.结合B 项可知，被截面所分两部分体积之差的绝对值先减小至0，再逐渐增大，故C 项正确；12V V -取最大值时对应为0λ=，或1λ=时情形.当0λ=时，不妨记1V 为截面MD CP '左上角的部分几何体，则1111117(113423224P AMD D P DD C V V V ''--=+=-⨯+⨯⨯=,则271712424V =-=,此时121775242412V V -=-=；当1λ=时，不妨记1V 为截面MPJC Q '左上角的部分几何体，则1P DAMQD P DCC D Q PCJ Q JC C V V V V V ''''----=+++1111111147(1)111131223363372=-⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=,则2472517272V =-=，此时12472511727236V V -=-=.12V V ∴-的最大值为512，故D 项正确.故选：BCD.11.【答案】ACD【解析】易知：双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线方程为b y x a =±，设点(,)A x y 到两条渐近线的距离分别为12,d d ，则利用点到直线的距离公式可得221222()()bx ay d d a b -=+.因为22221x y a b-=，所以2222()()bx ay a b -=，所以222212222232a b a b d d a b a b ===++，所以221123a b +=，A 正确；因为2211223a b ab+=≥，所以3ab ≥，B 错误；因为()222222222211333226222b a a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++⨯=++⨯≥+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当a b =时等号成立，C 正确;因为22211112222243333a b a b ab ab ⎛⎫+=++=+≤+= ⎪⎝⎭，所以11a b +≤，当且仅当a b =时等号成立，D 正确.故选:ACD.三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.【答案】7450x y --=【解析】因为()()1ln 211f x x x x =-++，则()1111ln1112f =⨯+=+，所以切点为11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且()()()221ln 21211x f x x x x '=-+--+，则()22171ln12124k f '==+-=-，由直线的点斜式可得()17124y x -=-，化简可得7450x y --=，所以切线方程为7450x y --=.故答案为：7450x y --=13.【答案】77300【解析】若两次取球后，B 盒中恰有7个球，则两次取球均为乙获胜；若第一次取球甲取到黑球，乙取到白球，其概率为121255⨯=，第一次取球后A 盒中有2个黑球和3个白球，B 盒装有4个黑球和2个白球，第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为22348565615⨯+⨯=；此时B 盒中恰有7个球的概率为18851575⨯=；若第一次取球甲取到白球，乙取到黑球，其概率为1332510⨯=，第一次取球后A 盒中有3个黑球和2个白球，B 盒装有3个黑球和3个白球，第二次取到异色球为取到一个白球一个黑球，其概率为3323156562⨯+⨯=；此时B 盒中恰有7个球的概率为31310220⨯=；所以B 盒中恰有7个球的概率为83777520300+=.故答案为：7730014.【答案】【解析】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则圆锥的体积为21π3V r h =，当圆锥顶点与底面在球心O 的同侧时，有122h OO =-=02h ≤≤，()24r h h ∴=-，()()32211182256ππ4π82π366381h h h V h h h h ++-⎛⎫∴=-=-≤⨯=⎪⎝⎭，当且仅当82h h =-，即83h =时等号成立，又02h ≤≤，所以等号不成立.当圆锥顶点与底面在球心O 的异侧时，122h OO =+=24h ≤≤，()24r h h ∴=-，()()32211182256ππ4π82π366381h h h V h h h h ++-⎛⎫∴=-=-≤⨯=⎪⎝⎭，当且仅当82h h =-，即83h =时等号成立.此时2329r =，即r 所以当圆锥的体积最大时，其底面圆的半径为423.故答案为：423.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)【答案】(1)2139n n S -=-(2)236n n nT +=【解析】（1）解：因为等比数列{}n a 的公比3q =，所以121118349a a a a a +=+==，可得129a =，所以1323239n n n a --=⨯=⨯，所以()()1221311931139n n n n a q S q ---===---.（2）解：由（1）得1223b a ==，23112b a ==，所以{}n b 的公差21133d =-=，所以()()2111232366n n n n n n n T nb d n --+=+⋅=+.16.(15分)【答案】(1)证明见解析(2)24【解析】（1）因为PA ⊥平面,ABCD CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为PD 与平面ABCD 所成的角为45,PA ︒⊥平面ABCD ，所以45PDA ∠=︒，且45PDA APD ∠=∠=︒，所以PA AD =，又E 为PD 的中点，所以AE PD ⊥，因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，又,,,CD PA PA AD A PA AD ⊥=⊂ 平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，因为AE ⊂平面PAD ，所以CD AE ⊥，因为,,PD CD D PD CD ⋂=⊂平面PCD ，所以⊥AE 平面PCD .（2）因为底面ABCD 为正方形，G 为BCD △的内心，所以G 在对角线AC 上.如图，设正方形的对角线的交点为O ，所以,OG GF CG ==，所以))1,221CO CG OG OG AC CO OG =+===，所以)21AG AO OG CO OG OG =+=+==+，所以AG AC =，又因为2AB =，所以2AG =.由题意知,,AB AD AP 两两垂直，以,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.所以)G，由（1）知AP AD =，所以()()()0,0,2,0,2,0,0,1,1P D E ，所以)2PG =- .又因为⊥AE 平面PCD ，所以平面PCD 的一个法向量为()0,1,1AE =.设直线PG 与平面PCD 所成角为θ，则2sin cos ,4AE PG AE PG AE PGθ⋅=〈〉=⋅.17.(15分)【答案】(1)14.5；(2)0.38【解析】（1）解：（1）由于在[)3,13的样本数据比例为：0.010.020.120.170.230.55++++=∴样本数据的70%分位数在[)13,15内∴估计为：0.70.5513214.50.750.55-+⨯=-.（2）（2）设任取的会员数据在[)3,9，[)9,15，[]15,21中分别为事件1A ，2A ，3A ，∴()10.010.020.120.15P A =++=，()20.170.20.230.6P A =++=，()30.170.060.020.25P A =++=设事件A =在该地区工会会员中任取一人体检为“健康”()1130.150.60.250.38535P A =⨯+⨯+⨯=.18.(17分)【答案】(1)23y x =(2)（i）(4,0)Q -；（ii）86【解析】（1）由题意可得322924p m pm ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得32p =，所以C 的方程为：23y x =；（2）（i）由已知可得直线l 的斜率不为0，且过点()4,0，故可设的直线l 的方程为4x my =+，代入抛物线23y x =的方程，可得23120y my --=，方程23120y my --=的判别式2Δ9480m =+>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，22(,)D x y -不妨设10y >，则12123,12y y m y y +==-,所以直线AD 的方程为：121112()y y y y x x x x +-=--，即121112()()y y y y x x m y y +-=--即()11123y y x x y y -=--，令0y =，可得()()212113y y y x y -⋅-=-，所以()()2121112312x y y y y y y =-⋅-+==-，所以4x =-所以(4,0)Q -；（ii）如图所示，可得111114222OAQ S OQ y y y =⋅⋅=⨯⨯= ，121211442222OAB S y y y y =⨯⨯+⨯⨯=+ ，所以OAQ 与OAB 的面积之和1121222242OAQ OAB S S S y y y y y =+=++=+11111224424y y y y -=+=+≥=当且仅当11244y y =时，即1y =时，等号成立，所以OAQ 与OAB的面积之和的最小值为19.(17分)【答案】(1)[2,2]-(2)证明见解析【解析】（1）由题意可知1122()sin [1,1],()cos2[1,1]f x x g x x ∈-∈=-=，故()()12[2,2]f x g x +∈-，则m 的取值范围为[2,2]-；（2）证明：因为在[0,2]a 上，当且仅当2ax =时，()f x 取得最大值1，且()f x 为定义在R 上的奇函数，故在[2,0]a -上当且仅当2ax =-时，()f x 取得最小值-1，由对任意x ∈R ，有()()0f a x f a x ++-=，可知()f x 图象关于点(0)a,对称，又()()()f a x f a x f x a +=--=-，即(2)()f x a f x +=，故2a 为函数()f x 的周期，故()[1,1]f x ∈-，[][]sinπ1,1,cosπ1,1x x ∈-∈-，当()11f x =时，12,Z 2ax na n =+∈，1sin π1x =时，112,Z 2x k k =+∈，若12222a na k +=+，4141k a n +=+，,Z k n ∈，此时有()111sin π2y x f x =+=为最大值；当()21f x =-时，22,Z 2ax ma m =-+∈，2cos π1x =时，22,Z x t t =∈，若222a ma t -+=，4,,Z 41t a t m m =∈-，此时有()222cos π2y x f x =-=为最大值，由于4144141k ta n m +=≠+-，故()()1122sin πcos π4x f x x f x ++-<，即不存在12R,R x x ∈∈，使得()()1122sin πcos π4x f x x f x ++-=，所以1sin π()y x f x =+与2cos π()y x f x =-不具有“4关联”性.。
