环状可展机构构型设计的D_H矩阵传递法_韩莹莹
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第5 期
H 矩阵传递法 韩莹莹等： 环状可展机构构型设计的 D-
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其 中 变 换 矩 阵 T i －1， i 是 杆 i － 1 上 坐 标 系 O i －1 X i －1 Y i －1 Z i －1 与杆 i 上的坐标系 O i X i Y i Z i 间的变换 如图 1 所示， 每个铰链上固定一坐标系坐标 矩阵， Z i 轴沿该铰链的轴线向上， 系， 对于铰链 i， 铰链 i 的 轴线与铰链 i + 1 的轴线的公垂线即为 X i 轴， 方向由 Z i 指向 Z i +1 ， Xi 轴 与 铰 链 i 轴 线 的 交 点 为 坐 标 系 O i X i Y i Z i 的原点 O i ， Y i 轴由右手螺旋法则确定， 杆长 a i －1， i 是由被连接的两铰链轴线 Z i － 1 和 Z i 的公垂线 决定的； 两轴间的扭角 α i －1， 是由轴线 Z i －1 绕公垂线 i， X i －1 转至轴线 Z i 转过的角度， 依据右手螺旋法则确 定其方向， 两连杆间的夹角 θ i 为 X i －1 轴绕 Z i 轴转到 X i 轴的角度， X i －1 轴 其方向依据右手螺旋法则确定， 沿 Z i 轴到 X i 轴的距离为相邻两杆间的偏置。 通过下 列 变 换 建 立 坐 标 系 O i －1 X i －1 Y i －1 Z i －1 与 坐 标 系 O i X i Y i Z i 两系之间的变换矩阵： 首先绕 X i －1 轴转过 角度 α i －1， i ； 其次沿 X i － 1 轴移动距离 a i － 1 ， i ； 然后绕 Z i 转过角度 θ i ； 再沿 Z i 轴移动 d i 。 则推导得变换矩阵 T i －1， i 如下 1 0 = 0 0 0 cosα i －1， i sinα i －1， i 0 － sinθ i cosθ i 0 0 0 0 1 0 0 0 di 1 0 － sinα i －1， i cosα i －1， i 0 a i －1， i 0 · 0 1
d， θ、 所以杆系需要用这样的 4 种参数来描述， 其中 它们是固定不 杆长和扭角 2 个参数描述连杆本身， 变的； 而偏置和转角 2 个参数描述相邻两杆的连接 关系。 对于转动副连接的杆系， 转角是变量， 而偏置 是固定不变的， 故在杆运动过程中 （ 3 ） 式中的 T i －1 是固定不变的， 而 T θi 是变化的。正弦与余弦函数泰 勒展开并忽略高价项有 sin（ θ i + Δθ i ） ≈ sinθ i + cosθ i （ Δθ i ） cos（ θ i + Δθ i ） ≈ cosθ i － sinθ i （ Δθ i ） 由此当运动过程中夹角有微小变化量时 cos（ θ i + Δθ i ） － sin（ θ i + Δθ i ） sin（ θ + Δθ ） cos（ θ i + Δθ i ） i i T θ i + Δθ i = 0 0 0 0 － sinθ i cosθ i = T θi + 0 0 － cosθ i － sinθ i 0 0 0 0 0 0 0 0 Δθ i 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
2012 年 10 月 第 30 卷第 5 期
西北工业大学学报 Journal of Northwestern Polytechnical University
Oct． 2012 Vol． 30 No． 5
环状可展机构构型设计的 D-H 矩阵传递法
韩莹莹，袁 茹，王三民
（ 西北工业大学 机电学院，陕西 西安 710072 ）
空间闭环可展机构对航天结构的构型设计有一定帮 助， 并对研究基于这种机构的组合可展结构有重要 意义。
1
DH 矩阵传递法
Denavit 和 Hartenberg（ 1955 ） 提出了一种考虑几 何条件分析空间连杆机构的标准方法： 由连杆组成 的闭环机构运动的充分必要条件是所有连杆的变换 矩阵依次相乘为单位矩阵， 即 ［ T n1］ …［ T34］ ［ T23］ ［ T12］ = I （ 1）
（ 8）
图2
环状可展机构收拢和展开图
AC' = AE ·
假若机构由 n 个杆组成， 为保证机构能够收拢， 由图 2a） 得杆的顶角 α1 ≤ 360 ° / n， 为使机构收拢紧 凑取 α1 = 360 ° / n。 如图 2b） 所示， 为保证机构能够 展开有杆端面与截面间夹角 λ ≤ 180 ° / n。 而当 λ = 180 ° / n 时机构可以完全展开且各杆 之间达到最大面积的接触使机构具有构型稳定性 。 如图 2 所示， 最大可展半径 R 与杆的个数 n 及杆的顶 角所在边的边长 l 的关系为 cos（ 360 ° / n） = （ 2 R2 － l2 ） / 2 R2 令 且已知 ∠AMN = α1 ， AN = m1 ， AM = m2 ， ∠MAN = β， AB = BV1 = GA = l， MN = m3 由几何关系可推导图形中各尺寸如下 （ 7） 如图 3 所示， 杆的截面及端面形状都为三角形
可进一步写成 T i －1， i = T i －1 T θi 1 0 = 0 0 0 cosα i －1， i sinα i －1， i 0 cosθ i sinθ i = 0 0 0 － sinα i －1， i cosα i －1， i 0 － sinθ i cosθ i 0 0 0 0 1 0 － d i sinα i －1， i d i cosα i －1， i 1 0 0 0 1 a i －1， i
（ 4）
T i －1， i
将（ 4 ） 式代入（ 1 ） 式有 T n （ T θ1 + T ' θ1 Δ θ1 ） … T 2 （ T θ3 + T' θ3 Δ θ3 ） T 1 （ T θ2 + T ' θ2 Δ θ2 ） = I 合并同类项可得 T n1 …T34 T23 T12 + （ T n T ' θ1 T n － 1 n … T 34 T 23 T 12 ） Δ θ1 + （ T n1 T n －1 T ' θ n T n － 2 n － 1 … T 34 T 23 T 12 ） Δ θ n … + （ T n1 T n －1n …T34 T23 T1 T ' θ2 ） Δ θ2 = I 令 Q1 = T n T ' Q2 θ1 T n － 1 n … T 34 T 23 T 12 ， = T n1 T n －1 T ' …， θ n T n － 2 n － 1 … T 34 T 23 T12 ， Q n = T n1 T n －1n …T34 T23 T1 T ' θ2 由此可推导得 Q1 Δ θ1 + Q2 Δ θ2 + … + Q n Δ θ1 = ［ 0］ 且 Q i 的形式为 － Qi = － 0 Q i1 ， 2 Q i1 ， 3 0 Q i1 ， 2 0 － Q i2 ， 3 0 Q i1 ， 3 Q i2 ， 3 0 0 Q i1 ， 4 Q i2 ， 4 Q i3 ， 4 0 （ 5）
m1 AE = cosλ AM' = m2 cosβ CC' = MM' = h = m2 sinβ EN = m1 tanλ 由 ΔAC'M' ～ ΔAEN 得 C'M' AC' AM' = = EN AE AN 故 C'M' = EN· AM' = m2 tanλ cosβ AN m2 cosβ AM' = AN cosλ
T i －1
（ 6）
T θi
（ 3）
将（ 6 ） 式代入（ 5 ） 式可得如下方程组 K［ 0］ Δθ i］ = ［
a、 由（ 2 ） 式知变换矩阵 T 只依赖于 4 个参数 α、
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西
北
工
业
大
学
学
报
第 30 卷
Q1 1 ， 2 Q 3 11， Q 12， 3 K = Q1 4 1， Q1 2 ， 4 Q1 3 ， 4
矩阵 K 为约束方程的雅克比矩阵。 环状机构的构件 的数目 n， 设环形可展机构的自由度为 F ， 则矩阵 K 的秩为 rank（ K） ， 则 F = n － rank（ K） 。
2
环状可展机构参数关系
基于圆可由多边形近似得到， 设计满足收拢时
图3 机构完全展开时的原型连杆机构
为紧凑的圆柱束状而展开时为圆环状的多杆空间闭 考虑横截面和端面为三角形的完全相 环可展机构， 为使机构能够收拢与展开， 联接杆与杆的铰 同的杆， 链需内外交互布置， 如图 2 所示。
cosθ i sinθ i 0 0
cosθ i － sinθ i 0 a i －1 ， i sinθi cosα i －1， cos cos － sin － d sin θ α α α i i i －1 ， i i －1 ， i i i －1 ， i = cosθ i sinα i －1， cosα i －1， d i cosα i －1， i i i i sinθi sinα i －1， 0 0 0 1 （ 2）
要： 环状可展机构具有收缩比大， 质量轻等优点， 在航天领域具有巨大的应用潜力。由于环状可 展机构在结构上存在虚约束， 其几何参数应满足协调条件， 故其构型设计是十分复杂的问题， 目前成 摘 H 矩阵传递法， 为机构学领域一个研究热点。文章基于 D建立了具有多个对称面的环状可展机构构 型约束方程， 得出了环状可展机构构型设计公式， 研究了构件截面角、 铰链扭角与展开角间的制限关 系， 给出了四杆、 六杆和十二杆机构的参数关系曲线。研究工作对于进一步开展环状可展机构的尺寸 优化设计奠定了基础。 DH 矩阵传递法， 词： 环状可展机构， 约束方程， 构型设计 2758 （ 2012 ） 05079606 中图分类号： TH112 文献标识码： A 文章编号： 1000关 键 可展机构展开后面积大、 收拢时占用空间小， 便 于存放， 故在航天、 航空、 建筑等领域的应用越来越 广泛。为满足不同展开形状的要求， 可展机构的构 型设计方法研究受到机械工程科学家的普遍重视 ， 尤其是对空间过约束可展机构的研究已成为机构学 领域的热点。 详细阐述了 Bricard 六连杆机构和 Bennett 机构的几种形式及其运动特性， W． W． Gan Chen Yan 介绍了多边空间闭环机构并制作了这种机构的实体 模型， 讨论了这种模型所需满足的几何尺寸 ， 并以四 杆空间可 折 叠 机 构 为 例 分 析 了 其 夹 角 间 的 关 系， 4 ］ Chen Yan［3， 推导了特殊线面对称 Bricard 机构的分 叉点和三面对称 Bricard 机构的运动特性。 为了满 ［5 ］ 足收拢与展开的形状要求需要， 罗尧治 研究了基 于三面对称 Bricard 机构的一种伸缩开合机构。 3 ］ Chen Yan［2， 指出三面对称 Bricard 连杆机构与 两面对称 Bennett 连杆机构收拢时不紧凑， 本文针对 这种情况研究设计满足收拢时为紧凑的圆柱束状展 开时为圆环状的多杆空间闭环可展机构 ， 并基于 DH 矩阵传递法分析了影响其连杆扭角与最大展开角 的参数及在不同参数下扭角与最大展开角的变化 。 建立了由偶数个连杆组成的且在运动过程中始终保 持特殊对称的空间闭环机构的设计方法 。目前许多
