空间向量定比分点坐标公式及应用

第09讲空间向量及其运算的坐标表示10种常见考法归类理解和掌握空间向量的坐标表示及意义，会用向量的坐标表达空间向量的相关运算.会求空间向量的夹角、长度以及有关平行、垂直的证明.知识点1空间直角坐标系1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O 和一个单位正交基底{i ，j ，k }，以O 为原点，分别以i ，j ，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz .(2)相关概念：O 叫做原点，i ，j ，k 都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为Oxy 平面、Oyz 平面、Ozx 平面，它们把空间分成八个部分．注意点：(1)基向量：|i |＝|j |＝|k |＝1，i ·j ＝i ·k ＝j ·k ＝0.(2)画空间直角坐标系Oxyz 时，一般使∠xOy ＝135°(或45°)，∠yOz ＝90°.(3)建立的坐标系均为右手直角坐标系．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．2．空间一点的坐标、向量的坐标（1）空间点的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中，i ，j ，k 为坐标向量，对空间任意一点A ，对应一个向量OA →，且点A 的位置由向量OA →唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使OA →＝xi ＋yj ＋zk .在单位正交基底{i ，j ，k }下与向量OA →对应的有序实数组(x ，y ，z )，叫做点A 在空间直角坐标系中的坐标，记作A (x ，y ，z )，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标．注：空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标特点（2）空间点的对称问题①空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解．②对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论．（3）空间向量的坐标向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz 中，给定向量a ，作OA →＝a ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z )，使a ＝xi ＋yj ＋zk .有序实数组(x ，y ，z )叫做a 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，可简记作a ＝(x ，y ，z )．知识点2空间向量的坐标运算1．空间向量的坐标运算法则设向量a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，λ∈R ，那么(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致．(2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．(3)运用公式可以简化运算：(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2；(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2.(4)向量线性运算的结果仍是向量，用坐标表示；数量积的结果为数量．2．空间向量相关结论的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则有(1)平行关系：当b ≠0时，a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)；(2)垂直关系：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.(3)|a|＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23.(4)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23.注意点：(1)要证明a ⊥b ，就是证明a ·b ＝0；要证明a ∥b ，就是证明a ＝λb (b ≠0)．(2)a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，若a ∥b ，则x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2成立的条件是x 2y 2z 2≠0.3．空间两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)．(1)P 1P 2――→＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．(2)P 1P 2＝|P 1P 2――→|＝x 2－x 12＋y 2－y 12＋z 2－z 12.(3)若O (0,0,0)，P (x ，y ，z )，则|OP →|＝x 2＋y 2＋z 2.注：空间两点间的距离公式推导过程如图，建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)是空间中任意两点，P 1P 2—→＝OP 2→－OP 1→＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)，于是|P 1P 2—→|＝P 1P 2—→·P 1P 2—→所以P 1P 2＝|P 1P 2—→|因此，空间中已知两点A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB ＝|AB →|1．建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上．充分利用几何图形的对称性．2.求某点M 的坐标的方法作MM ′垂直于平面Oxy ，垂足为M ′，求M ′的横坐标x ，纵坐标y ，即点M 的横坐标x ，纵坐标y ，再求M 点在z 轴上射影的竖坐标z ，即为M 点的竖坐标z ，于是得到M 点的坐标(x ，y ，z )．3.空间向量坐标运算的规律及注意点(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定．已知空间点的坐标、A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)向量AB ―→的坐标等于终点坐标减起点坐标．即AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)．(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算．(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标．4.解决空间向量垂直、平行问题的有关思路(1)若有关向量已知时，通常需要设出向量的坐标．例如，设向量a ＝(x ，y ，z )．(2)判断两向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要条件，在有关平行的问题中，通常需要引入参数．例如，已知a ∥b ，则引入参数λ，有a ＝λb ，再转化为方程组求解；已知两向量平行或垂直求参数值，则利用平行、垂直的充要条件，将位置关系转化为坐标关系，列方程(组)求解．(3)利用向量证明直线、平面平行或垂直，则要建立恰当的空间直角坐标系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、垂直的充要条件证明．5．利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．6．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)求出线段端点的坐标；(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．考点一：空间中点的坐标表示例1．（2023秋·北京西城·高二北师大二附中校考期中）已知点()4,1,2A -，()2,3,0B -，点C 满足AC CB =，则点C 的坐标是______．【答案】()3,2,1-【分析】直接代入空间向量的坐标公式列方程计算即可.【详解】设(,,)C x y z ，则(4,1,2)AC x y z =-+- ，(2,3,)CB x y z =----由题可得42132x x y y z z-=-⎧⎪+=--⎨⎪-=-⎩，解得321x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩即点C 的坐标是()3,2,1-.故答案为：()3,2,1-.变式1．（2022·高二课时练习）若△ABC 顶点()2,5,3A -，且()4,1,2AB = ，()3,2,5BC =-，则点C 坐标是___________.【答案】()9,6,10-【分析】根据向量的坐标表示有(,,)B A B A B A AB x x y y z z =--- 、(,,)C B C B C B BC x x y y z z =--- ，即可求C 坐标.【详解】由()2,5,3A -，()(2,5,3)4,1,2B B B AB x y z =-+-=，可得：()6,4,5B -，又()3,2,5BC =- ，同理可得：()9,6,10C -.故答案为：()9,6,10-变式2．（2022·全国·高二专题练习）平行六面体1111ABCD A B C D -中，()()11,2,3,1,2,4AC C =-，则点1A 的坐标为（）A ．()0,4,7B ．()2,0,1-C ．()2,0,1-D ．()2,0,1【答案】B【分析】利用空间向量的坐标表示，即得.【详解】设()1,,A x y z ，∵()()11,2,3,1,2,4AC C =- ，又11AC AC = ，∴()()1,2,31,2,4x y z =----，解得2,0,1x y z =-==，即()12,0,1A -.故选：B.变式3．（2023·全国·高二专题练习）已知点()1,0,2M ，()1,1,0N -，2MN MP =，则点P 的坐标为______．【答案】10,,12⎛⎫⎪⎝⎭/()0,0.5,1【分析】先求出向量MN 的坐标，设点(),,P x y z ，得出MP的坐标，根据条件得出方程组可得答案.【详解】点()1,0,2M ，()1,1,0N -，则()2,12MN =--，设点(),,P x y z ，则()1,,2MP x y z =--由2MN MP = ，则22221242x y z -=-⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，即=0=12=1，所以点P 的坐标为10,,12⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：10,,12⎛⎫⎪⎝⎭变式4．（2023春·高二课时练习）若()3,2,4A ､()1,2,8B -，点C 在线段AB 上，且23AC AB=，则点C 的坐标是___________.【答案】5,2,43⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】设点C 的坐标为(),,x y z ，由题意可得23AC AB =，即可得到方程组，解得即可求得C 的坐标．【详解】解： 点()3,2,4A ､()1,2,8B -，C 为线段AB 上一点，且23AC AB=，所以23AC AB = ，()2,0,12AB =-- 设点C 的坐标为(),,x y z ，则()3,2,4AC x y z =---，则()()23,2,432,0,12x y z -----=，即4332048x y z ⎧-=-⎪⎪-=⎨⎪-=-⎪⎩，解得5324x y z ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，即5,2,43C ⎛⎫- ⎪⎝⎭；故答案为：5,2,43⎛⎫- ⎪⎝⎭．变式5．（2023·高三课时练习）若ABCD 为平行四边形，且已知点()4,1,3A 、()2,5,1B -、()3,7,5C --，则顶点D 的坐标为______．【答案】()1,13,3--【分析】设(),,D x y z ，然后利用AB DC =求解即可.【详解】设(),,D x y z ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB DC =，所以()()2,6,23,7,5x y z ---=-----，所以327652x y z --=-⎧⎪-=-⎨⎪--=-⎩，所以1133x y z =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，即()1,13,3D --.故答案为：()1,13,3--.考点二：空间点的对称问题例2．（2023春·高二课时练习）在空间直角坐标系中，点(2,1,4)-关于x 轴对称的点坐标是（）A ．(2,1,4)--B ．(2,1,4)-C ．(2,1,4)---D ．(2,1,4)-【答案】C【分析】利用空间直角坐标系对称点的特征即可求解.【详解】在空间直角坐标系中，点(2,1,4)-关于x 轴对称的点坐标为(2,1,4)---.故选：C.变式1．（2023·全国·高二专题练习）已知点1M ，2M 分别与点(1,2,3)M -关于x 轴和z 轴对称，则12M M =（）A ．(2,0,6)-B ．(2,0,6)-C ．(0,4,6)-D ．(0,4,6)-【答案】A【分析】在空间直角坐标系中，求出点(1,2,3)M -关于x 轴和z 轴对称的坐标，再利用向量的坐标表示即可得解.【详解】依题意，点(1,2,3)M -关于x 轴对称点1(1,2,3)M -，关于z 轴对称点2(1,2,3)M -，所以12(2,0,6)M M =-.故选：A变式2．（2023春·江苏常州·高二校联考阶段练习）已知点()1,2,3A 关于Oxy 平面的对称点为B ，而点B 关于x 轴的对称点为C ，则BC =（）A ．B ．C ．D ．8【答案】B【分析】由对称性分别求出B 、C ，则有BC，即可求得BCuu u r 【详解】由题意()1,2,3B =-，则()1,2,3C =-，故()0,4,6BC =-，BC == 故选：B变式3．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第十七中学校考阶段练习）在空间直角坐标系Oxyz 中，P 是坐标平面xOy 内一动点，()4,2,2M ，()7,5,4Q ，当PM PQ +最小时P 的坐标为___________.【答案】()5,3,0【分析】先利用对称找出P 的位置，再结合三角形相似以及空间向量的运算即可求解【详解】过点M 作平面xOy 垂线MA ，垂足为A ，延长MA 到N ，使得MA AN =，过点Q 作平面xOy 垂线MB ，垂足为B ，则()4,2,0A ，()4,2,2N -，()7,5,0B ，因为M 与N 关于平面xOy 对称，所以PM PQ PN PQ NQ +=+≥，所以当PM PQ +最小时点P 是连接NQ 与平面xOy 的交点，连接AB ，易知,,,,,M A N B Q P 共面，且ANP 与BQP 相似，所以2142AP AN BP BQ ===，所以13AP AB = ，设(),,0P x y ，则()()()114,2,0,74,52,01,1,033AP x y AB =--=--=，所以41,21x y -=-=，解得5,3x y ==，所以P 的坐标为()5,3,0，故答案为：()5,3,0考点三：空间向量的坐标表示例3．（2023春·高二课时练习）已知点()3,8,5A -，()2,0,8B -，则向量AB的坐标为________．【答案】()5,8,13--【分析】利用向量的坐标运算求解.【详解】()()()2,0,83,8,55,8,13AB =---=--．故答案为：()5,8,13--变式1．（2023春·高二课时练习）已知{},,i j k 是空间的一个单位正交基底，向量52b i k =-+用坐标形式可表示为________．【答案】()5,0,2-【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标表示直接写出作答.【详解】因为{},,i j k 是空间的一个单位正交基底，则有52(5,0,2)b i k =-+=-.所以向量52b i k =-+用坐标形式表示为(5,0,2)-.故答案为：(5,0,2)-变式2．（2022秋·广东广州·高二校联考期末）如图，正方体1111OABC O A B C -的棱长为2，1E B B ∈，且12EB EB =，则OE =（）A ．(2,2,1)B ．(2,2,2)C ．22,2,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．42,2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据已知条件求得OE.【详解】依题意，12EB EB =，所以24233EB ⨯==，所以OE = 42,2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：D变式3．（2023·全国·高二专题练习）已知空间直角坐标系中，点()1,1,2A -，()3,0,4B -，若6c = ，c 与AB同向，则向量c的坐标为______.【答案】(4,2,4)--【分析】求出AB坐标，根据给条件表示出c 坐标，利用向量模的坐标表示计算作答.【详解】因(1,1,2)A -，(3,0,4)B -，则()2,1,2AB =--，因c 与AB 同向，则设()2,,2(0)c AB λλλλλ==-->r uu u r ，因此，||3c λ=r ，于是得36λ=，解得2λ=，则(4,2,4)c =--，所以向量c的坐标为(4,2,4)--.故答案为：(4,2,4)--变式4．【多选】（2022秋·黑龙江大庆·高二大庆二中校考阶段练习）已知四边形ABCD 的顶点分别是()3,1,2A -，()1,2,1B -，()1,1,3C --，()3,5,3D -，那么以下说话中正确的是（）A ．()2,3,3AB =--B ．()4,6,6CD =--C ．AC 的中点坐标为()2,0,1--D ．四边形ABCD 是一个梯形【答案】AD【分析】根据向量的坐标运算判断A ，B ，C ，通过判断AB，CD 的关系，判断四边形ABCD 的形状，由此判断D.【详解】设点O 为坐标原点，因为()3,1,2A -，()1,2,1B -，()1,1,3C --，()3,5,3D -，所以()3,1,2OA =-，()1,2,1OB =-，()1,1,3OC =--，()3,5,3OD=-，所以()2,3,3AB OB OA=-=--，A 正确；所以()4,6,6CD OD OC=-=-，B 错误；设AC 的中点为点E ，则()1513,1,22,1,1,0,222OE OA AE OA AC 骣骣鼢珑=+=+=-+--=-鼢珑鼢珑桫桫 ，所以点E 的坐标为11,0,2骣÷ç-÷ç÷ç桫，C 错误；因为()2,3,3AB =-- ，()4,6,6CD =-，所以2CD AB =-，所以//AB CD ，12AB CD =，所以四边形ABCD 是一个梯形，D 正确；故选：AD.考点四：空间向量的坐标运算例4．（2022秋·北京丰台·高二统考期末）已知(1,0,1)a =- ，b =(2，1，1)，则2a b -= ________．【答案】(0,1,3)--【分析】以向量的代数运算律解之即可.【详解】由(1,0,1)a =- ，b =(2，1，1)可得22(1,0,1)(2,1,1)(2,0,2)(2,1,1)(0,1,3)a b -=--=--=--故答案为：(0,1,3)--变式1．（2023·全国·高二专题练习）向量()1,1,0a = ，()0,1,1b = ，()1,0,1c =，()1,0,1d =- 中，共面的三个向量是（）A ．,，a b cB ．,,b c dC ．,,c d aD ．,,d a b【答案】D【分析】根据向量共面满足的坐标关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】A ：若,，a b c共面，则a xb yc =+ ，即()()()1,1,00,,,0,x x y y =+，即1,1,0y x x y ==+=，显然不存在,x y 满足题意，故,，a b c 不共面；同理，B ，C 中的三个向量也不共面；D ：若,,d a b 共面，则d xa yb =+，即()()()1,0,1,,00,,x x y y -=+，即1,0,1x x y y =+==-，故存在1,1x y ==-满足题意，则,,d a b共面.故选：D.变式2．（2023秋·湖北·高二统考期末）已知向量()2,0,2a = ，()0,2,1b =- ，()3,4,c m = ，若向量a ，b，c共面，则实数m 的值为________．【答案】1【分析】依题意可得存在实数x ，y 使得c xa yb =+，从得到方程组，解得即可.【详解】解：因为向量a ，b ，c 共面，所以存在实数x ，y 使得c xa yb =+，即()()3,4,2,2,2m x y x y =-，所以23242x y m x y =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得3221x y m ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩．故答案为：1变式3．（2023秋·北京丰台·高二北京市第十二中学校考期末）在空间直角坐标系中，已知三点(0,0,0),(1,2,1),(1,1,0)O A B -，若点C 在平面OAB 内，则点C 的坐标可能是（）A ．(1,1,3)--B ．(3,0,1)C ．(1,1,2)D ．(1,1,2)-【答案】B【分析】根据向量的运算可得(1,2,1)OA = ，(1,1,0)OB =- ，由OA ，OB不共线，结合向量基本定理可得(,2,)OC OA OB λμλμλμλ=+=+-，求得C 点坐标为(,2,)λμλμλ+-，代入验算即可得解.【详解】由(1,2,1)OA = ，(1,1,0)OB =-，显然OA ，OB不共线，根据向量基本定理可得(,2,)OC OA OB λμλμλμλ=+=+-，故C 点坐标为(,2,)λμλμλ+-，经验算只有B 选项符合条件，此时1,2λμ==，故选：B变式4．【多选】（2023秋·辽宁葫芦岛·高二统考期末）已知在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，且(1,0,2),(1,1,1),(3,1,2)A B C -，则下列结论正确的是（）A ．||3AB = B ．()1AB AC BC +⋅=-C ．AB AC⊥ D ．若111236OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面【答案】BD【分析】由条件求,,AB AC BC uu u r uuu r uu u r，根据向量的模的个数，数量积运算公式，数量积的性质，向量共面定理依次判断各选项.【详解】因为(1,0,2),(1,1,1),(3,1,2)A B C -，所以()()()2,1,1,2,1,0,4,0,1AB AC BC =--==，所以||AB =A 错误；()()0420111AB AC BC +⋅=⨯+⨯+-⨯=-，B 正确；()()2211103AB AC ⋅=-⨯+⨯+-⨯=- ，所以,AB AC不垂直，C 错误；因为111236OP OA OB OC =++ ，所以632OP OA OB OC =++ ，所以33220OA OP OB OP OC OP -+-+-= ，所以320PA PB PC ++= ，即32PC PA PB =-- ，所以,,PC PA PB共面，所以P ，A ，B ，C 四点共面，D 正确；故选：BD.变式5．（2023春·重庆·高一重庆一中校考期中）下列几组空间向量中，不能作为空间向量基底的是（）A ．()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1a b c ===B ．()()()1,1,0,1,0,1,0,1,1a b c ===C ．()()()1,1,2,1,1,0,1,0,1a b c ===D ．()()()1,1,1,1,0,1,1,2,1a b c ===【答案】D【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可.【详解】对于A ，设()()()1,0,00,1,00,0,1λμ=+，无解，即,,a b c不共面，故可以作为空间向量一个基底，故A 错误；对于B ，设()()()1,1,01,0,10,1,1λμ=+，无解，即,,a b c不共面，故可以作为空间向量一个基底，故B 错误；对于C ，设()()()1,1,21,1,01,0,1λμ=+，无解，即,,a b c不共面，故可以作为空间向量一个基底，故C 错误；对于D ，设()()()1,1,11,0,11,2,1λμ=+，解得12λμ==，所以,,a b c共面，故不可以作为空间向量一个基底，故D 正确.故选：D变式6．（2022·高二课时练习）在ABC 中，若(2,2,0)AB =- ，(4,2,1)AC =-，则ABC 是（）A ．顶角为锐角的等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．顶角为钝角的等腰三角形【答案】A【分析】利用空间向量的坐标运算计算BC的坐标，由模长公式分别计算AB ，AC ，BC 的值，可得AC BC = ，再计算0CA CB ⋅>可判断C ∠为锐角，进而可得正确答案.【详解】(4,2,1)(2,2,0)(2,4,1)BC AC AB ---=-=-=，AB ==AC ，BC ==所以BC AC ==因为(4,2,1)CA AC =-=-- ，(2,4,1)CB BC =-=--，因为()()()()422411170CA CB ⋅=-⨯-+-⨯-+⨯=> ，所以C ∠为锐角，所以ABC 是顶角为锐角的等腰三角形，故选：A.考点五：空间向量的平行问题例5．（2022·高二课时练习）若(2,1,3),(1,2,9)a x b y ==- ，且a 与b共线，求x ，y 的值．【答案】13,62x y ==-【分析】先判断0x ≠，然后根据题意可得到比例式，求得答案.【详解】(2,1,3),(1,2,9)a x b y ==- ，且a 与b共线，当0x =时，显然(2,1,3),(1,2,9)a x b y ==-不共线，故0x ≠，则由题意得：213129==-x y ，即13,62x y ==-.变式1．（2023春·高二课时练习）已知向量)1,(2,1a = ，) 3,(2,2b = ，且)//()(2ka b a b +- ，则实数k 的值为（）A ．2512-B ．2512C ．12-D ．12【答案】C【分析】根据给定条件，利用空间向量线性运算的坐标表示，结合向量共线条件列式计算作答.【详解】向量)1,(2,1a = ，) 3,(2,2b = ，则(3,22,2),(5,2,3)2b k k ka b a k =+++=----+，因为)//()(2ka b a b +- ，则3222523k k k +++==---，解得12k =-，所以实数k 的值为12-.故选：C变式2．【多选】（2023秋·湖南衡阳·高二衡阳市田家炳实验中学校考期中）与向量(2,3,6)a =共线的单位向量是（）A ．236,,777⎛⎫--- ⎪⎝⎭B ．236,,777⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．236,,777⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．236,,777⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】AC【分析】根据单位向量的概念，求出与向量a共线的单位向量a a± 即可【详解】因为向量(2,3,6)a = ，所以7a == ，所以与向量(2,3,6)a =共线的单位向量为1(2,3,6)7a a±=± ，即236,,777⎛⎫--- ⎪⎝⎭和236,,777⎛⎫⎪⎝⎭，故选：AC变式3．（2023秋·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）已知空间两点(2A ，1，1)，(3B ，2，1)，下列选项中的a →与AB →共线的是（）A ．(1a →=，0，1)B ．(2a →=，1，1)C ．(2a →=，2-，0)D ．(2a →=，2，0)【答案】D【分析】由题得(1AB →=，1，0)，再利用空间向量共线定理判断得解.【详解】解：由点(2A ，1，1)，(3B ，2，1)，所以(1AB →=，1，0)，对于A ，(1a →=，0，1)，不满足a AB λ→→=，所以a与AB →不共线；对于B ，(2a →=，1，1)，不满足a AB →→=，所以a与AB →不共线；对于C ，(2a →=，2-，0)，不满足a AB λ→→=，所以a与AB →不共线；对于D ，(2a →=，2，0)，满足2a AB →→=，所以a →与AB →共线．故选：D变式4．（2022秋·广东江门·高二江门市第二中学校考期中）已知空间直角坐标系中，点()1,1,2A -，()3,0,4B -，若6c = ，且c 与AB反向共线，则c = _____．【答案】()4,2,4-【分析】根据向量c 与AB反向共线，设(2,,2),0c AB λλλλλ==--< ，利用6c = 列方程求得λ，即得答案.【详解】由()1,1,2A -，()3,0,4B -，可得(2,1,2)AB =--，由于c 与AB反向共线，设(2,,2),0c AB λλλλλ==--< ，由6c =6=，解得2λ=-，2λ=（舍去），故()4,2,4c =-，故答案为：()4,2,4-变式5．（2022秋·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考期末）在空间直角坐标系Oxyz 中，()2,1,1A ，(),0,5B b ，()0,,4C c ，若四边形OABC 为平行四边形，则b c +=________.【答案】1【分析】由四边形OABC 为平行四边形，可得OA CB =，再根据向量的坐标运算求解即可.【详解】解：(2,1,1)OA =，(,,1)CB b c =- ，因为四边形OABC 为平行四边形，所以OA CB = ，所以2b =，1c =-，则1b c +=.故答案为：1.考点六：利用坐标运算解决数量积问题例6．（2022·全国·(2,4,1)A --，(1,5,1)B -，(3,4,1)C -，则CA CB ⋅=（）A ．-11B ．3C ．4D ．15【答案】C【分析】先求出CACB，的坐标表示，再利用向量数量积的坐标表示计算即可【详解】由已知，(23,4(4),11)(1,0,2)CA =------=--，(13,5(4),11)(4,9,0)CB =-----=-，∴4004CA CB ⋅=++=.故选：C ．变式1．（2022·高二单元测试）若向量()2,1,2a =- ，()6,3,2b =-，则()2a a b ⋅+= ______．【答案】19【分析】根据空间向量的坐标运算，求得2a b +的坐标，再根据向量的数量积的坐标表示求得答案.【详解】∵()2,1,2a =- ，()6,3,2b =- ，∴()()()22,1,226,3,214,5,2a b +=-+-=-，∴()()()22,1,214,5,219a a b ⋅+=-⋅-=,故答案为：19变式2．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知向量(1,1,)a x =，(2,2,3)b =-，若(2)1a b b -⋅=，则x =（）A ．3-B ．3C ．1-D ．6【答案】B【分析】根据空间向量的坐标运算可得2(4,0,23)a b x -=-，结合空间向量数量积的坐标表示计算即可求解.【详解】由题意知，2(4,0,23)a b x -=-由(2)1a b b -⋅=，得4(2)02(23)31x ⨯-+⨯+-⨯=，解得3x =.故选：B.变式3．（2022秋·江苏徐州·高二校考阶段练习）在ABC 中，(2,5,3),(4,1,2),(3,2,5)A AB BC -==-．(1)求顶点,B C 的坐标；(2)求CA BC ⋅ ．【答案】(1)(6,4,5)B -,(9,6,10)C -(2)58CA BC ⋅=-,B C 的坐标，利用向量数量积的坐标运算可求得CA BC ⋅.【详解】（1）设(,,)B B B B x y z ,(,,)(2,5,3)(4,1,2)B A B A B A B B B AB x x y y z z x y z =---=-+-=,24651,4325B B B B B Bx x y y z z -==⎧⎧⎪⎪∴+==-⎨⎨⎪⎪-==⎩⎩,(6,4,5)B ∴-.设(,,)C C C C x y z ,(,,)(6,4,5)(3,2,5)C B C B C B C C C BC x x y y z z x y z =---=-+-=-,63942,65510C C C C C Cx x y y z z -==⎧⎧⎪⎪∴+=-=-⎨⎨⎪⎪-==⎩⎩,(9,6,10)C ∴-.（2）(7,1,7),(3,2,5)CA BC =--=-，2123558CA BC ∴⋅=---=-.考点七：空间向量的垂直问题例7．（2023秋·高二课时练习）已知(1,0,1),(1,1,0)a b =-=- ，单位向量n满足,n a n b ⊥⊥ ，则n =_________．【答案】333⎛ ⎝⎭或,333⎛--- ⎝⎭【分析】设向量(,,)n x y z = ，其中2221x y z ++=，由,n a n b ⊥⊥ ，得到方程组0x z x y -=⎧⎨-=⎩，进而求得,,x y z 的值，即可求解.【详解】设向量(,,)n x y z =，其中2221x y z ++=，因为(1,0,1),(1,1,0)a b =-=- 且,n a n b ⊥⊥ ，可得00x z x y -=⎧⎨-=⎩，即,z x y z ==，将,z x y z ==代入2221x y z ++=，可得x y z ===x y z ===所以向量n 的坐标为333⎛ ⎝⎭或,,333⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭.故答案为：⎝⎭或⎛ ⎝⎭.变式1．（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）已知向量()()()2,1,2,2,,1,4,3,2a b x c ==-=，若()b a c ⊥+，则x 的值为（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【分析】根据题中条件，求出a c +的坐标，再由向量垂直的坐标表示列出方程求解，即可得出结果.【详解】因为()()()2,1,2,2,,1,4,3,2a b x c ==-=，所以()6,4,4a c +=，又()b a c ⊥+ ，所以12440x -++=，解得2x =.故选：D.变式2．（2022秋·广东阳江·高二阳江市阳东区第一中学校考期中）已知向量(2,1,1)a =- ，(1,1,)b x =-，若a 与b垂直，则2a b + ＝_____.【答案】【分析】根据给定条件，利用向量垂直关系求出x ，再结合向量的坐标运算及模的运算计算作答.【详解】向量(2,1,1)a =- 与(1,1,)b x =-垂直，则有2(1)(1)10x ⨯-+-⨯+=，解得3x =，于是2(2,1,1)2(1,1,3)(0,1,7)a b +=-+-=，所以2a b += .故答案为：变式3．（2022秋·河南·高二校联考阶段练习）已知空间有三点()2,0,1A -，()0,4,1B ，()5,2,4C ，若直线AB 上存在一点M ，满足CM AB ⊥，则点M 的坐标为______.【答案】()1,2,0【分析】设AM AB λ=，根据空间向量的坐标表示求得点M 的坐标，再根据CM AB ⊥，可得数量积为0，从而可求出λ，即可得解.【详解】解：设AM AB λ=，由()2,4,2AB =- ，得()2,4,2AM AB λλλλ==-，故()22,4,21M λλλ--，则()23,42,25CM λλλ=----，因为CM AB ⊥，所以()()()2234422250CM AB λλλ⋅=---+-+-= ，解得12λ=，所以()1,2,0M .故答案为：()1,2,0.变式4．（2022秋·山东济宁·高二统考期中）已知空间中三点(2,0,2)A -，(1,1,2)B -，(3,0,4)C -，设AB a = ，AC b = .(1)求向量a 与向量b的坐标；(2)若ka b +与2ka b - 互相垂直，求实数k 的值.【答案】(1)(1,1,0)a = ，(1,0,2)b =-；(2)2k =或52k =-.【分析】（1）根据空间向量坐标表示公式进行求解即可；（2）根据空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可.【详解】（1）(1,1,0)a = ，(1,0,2)b =-；（2）∵(1,,2)ka b k k +=- ，2(2,,4)ka b k k -=+-，且ka b + 与ka b +互相垂直，∴2(1,,2)(2,,4)2100k k k k k k -⋅+-=+-=解得2k =或52k =-.变式5．（2023·全国·高二专题练习）在空间直角坐标系中，若三点()1,1,A a -，()2,,0B a ，()1,,2C a -满足()2AB AC BC -⊥，则实数a 的值为（）．A ．92B ．1C ．92-D ．72-【答案】C【分析】先求出,,AB AC BC的坐标，再由()2AB AC BC -⊥ ，得()20AB AC BC -⋅= ，解方程可求出实数a的值【详解】因为()1,1,A a -，()2,,0B a ，()1,,2C a -，所以(1,1,)AB a a =+- ，(0,1,2)AC a a =+-- ，(1,0,2)BC =--，所以2(1,1,)2(0,1,2)(1,1,4)AB AC a a a a a a -=+--+--=--+，因为()2AB AC BC -⊥，所以()20AB AC BC -⋅= ，所以102(4)0a -+-+=，解得92a =-，故选：C变式6．（2023秋·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）已知长方体''''ABCD A B C D -中，3AB =，4BC =，5AA '=，'BP BC λ→→=，若''A P BC ⊥则λ=（）A ．12B ．1625C ．2541D ．2534【答案】C【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.【详解】解：根据题意，如图，建立空间直角坐标系，因为3AB =，4BC =，5AA '=，()'0,0,5A ，()'0,3,5B ，()'4,3,5C ，()0,3,0B ，所以()'4,0,5BC = ，()()()'''0,3,54,0,54,3,55'A P A B BP A B BC λλλλ→→→→→=+=+=-+=-，因为''A P BC ⊥，所以'162525'0A P BC λλ→→⋅=+-=，解得2541λ=.故选：C.考点八：利用坐标运算解决夹角问题例8．（2023·全国·高三对口高考）已知向量()()1,2,3,2,4,6,a b c ==---=，若()7a b c +⋅= ，则,a c 〈〉=_________．【答案】120︒【分析】设(),,c x y z =，依题意可得7---=⎪⎩，再根据向量夹角公式即可求解.【详解】设(),,,c x y z = 向量()()1,2,3,2,4,6,a b ==---()7c a b c +⋅= ，()1,2,3a b ∴+=---，7∴---=⎪⎩a 与c 的夹角为θ，1cos 2a c a c θ⋅==-，0180θ︒≤≤︒ ，120θ∴= .故答案为：120 .变式1．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）已知()()(),0,3,1,2,1,1,,1a x b c z ==-=，,a b a ⊥r r r c，则a 与b c + 的夹角为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【分析】根据空间向量的平行、垂直关系求,x z ，再根据空间向量的坐标运算求夹角.【详解】∵a b ⊥，∴()1023130x x ⨯+⨯+⨯-=-=，解得3x =，即()3,0,3a =r .又∵a c ，注意到0a ≠，则λ∃∈R ，使得()3,0,3c a λλλ==r r ，∴310z λ=⎧⎨=⎩，解得130z λ⎧=⎪⎨⎪=⎩，故()1,0,1c =r .∴()()2,2,0,3202306b c a b c a b c +==+==⋅+=⨯+⨯+⨯=r r r r r r r r ，∴()1cos ,2a b c a b c a b c⋅++==+rr r r r rrr r ，又[],0,πa b c +∈r r r ，∴π,3a b c +=r r r .故选：B.变式2．（2023春·江苏·高二南师大二附中校联考阶段练习）若向量()()1,,1,2,1,2a b λ==-- ，且a 与b夹角的余弦值为6，则λ等于（）A ．BC ．D ．2【答案】A【分析】利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【详解】因为()()1,,1,2,1,2a b λ==--，所以22a b λλ⋅=--=-，3a b === ，又a 与b夹角的余弦值为6，cos ,ab a b a b ⋅=，所以36λ-=，解得22λ=，注意到0λ->，即0λ<，所以λ=故选：A.例9．（2023春·高二课时练习）若(2,1,4),(1,,2)a b t =-=-- ，若a 与b的夹角是锐角，则t 的值的取值范围为__________.【答案】(),10-∞-【分析】根据空间向量a 与b 的夹角是锐角可得0a b ⋅> 且a 与b不同向共线，结合数量积的坐标表示计算即可求解.【详解】因为a 与b的夹角是锐角，所以0a b ⋅> ，即280t --->，解得10t <-，若a 与b的夹角为0︒，则存在λ，使a b λ= ，即(2,1,4)(1,,2)t λ-=--，所以2142t λλλ=-⎧⎪-=⎨⎪=-⎩，解得12t =.故t 的取值范围是(,10)-∞-.故答案为：(,10)-∞-.变式1．（2023秋·福建泉州·高二福建省泉州第一中学校考期中）点()1,0,1A ，()3,2,2B ，()1,4,3C λ+，若AB，AC 的夹角为锐角，则λ___________.【答案】()()5,44,-+∞ 【分析】根据题意可求出AB 和AC ，因为AB，AC 的夹角为锐角，可得0AB AC ⋅> ，且不能是同向共线，列出不等式求解即可.【详解】根据题意有()2,2,1AB = ，(),4,2AC λ= ，若AB AC ∥，则42221λ==，解得4λ=若4λ=，则2AC AB =，即,AB AC 同向∵AB，AC 的夹角为锐角，则0AB AC ⋅> ，且,AB AC 不能同向即2+8+2>04λλ≠⎧⎨⎩，解得5λ>-，且4λ≠，则λ的取值范围为()()5,44,-+∞ .故答案为：()()5,44,-+∞ .变式2．（2023春·上海宝山·高二上海市吴淞中学校考阶段练习）已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==-r r，若向量k + a b 与2a b +的夹角为锐角，求实数k 的取值范围______.【答案】11(1,)(,)22-+∞ 【分析】根据已知条件及向量的线性运算的坐标表示，再利用向量的数量积的坐标运算及向量平行的坐标表示即可求解.【详解】因为()()1,1,0,1,0,2a b ==-r r，所以()1,1,2a kb k k +=-，()21,2,2a b +=，因为向量k + a b 与2a b +的夹角为锐角，所以()()2124330k a b k k k +⋅+=-++=+>a b ，解得1k >-，而当()()//2a kb a b ++ 时，112122k k -==，解得12k =，所以实数k 的取值范围为11(1,)(,)22-+∞ .故答案为：11(1,)(,)22-+∞ 变式3．（2023春·高二课时练习）已知空间中的三点(2,0,2),(1,1,2),(3,0,4)P M N ---，a PM =，b PN = .(1)求PMN 的面积；(2)当ka b + 与2ka b -的夹角为钝角时，求k 的范围．【答案】(1)32；(2)5,22k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.【分析】（1）应用向量坐标表示有(1,1,0)a = ，(1,0,2)b =- ，由向量夹角的坐标运算可得cos ,a b <>= 再求其正弦值，应用三角形面积公式求面积；（2）向量坐标表示得(1,,2)ka b k k +=-，()22,,4ka b k k -=+- ，它们的夹角θ为钝角，即cos 0θ<，即可求参数范围，注意排除向量反向共线的情况.【详解】（1）由题设(1,1,0)a = ，(1,0,2)b =-，则cos ,10||||a b a b a b ⋅<>===-，所以cos MPN ∠=，故在PMN中sin MPN ∠=，故PMN的面积为132102=.（2）由（1）知：(1,,2)ka b k k +=-，()22,,4ka b k k -=+- ，且它们夹角θ为钝角，所以2cos 0θ-++-=，即()()21280k k k -++-<，所以()()22102520k k k k +-=+-<，可得522k -<<，当它们反向共线，即(2)ka b ka b λ+=-且0λ<时，有1(2)24k k k k λλλ-=+⎧⎪=⎨⎪=-⎩，无解，综上，5(,2)2k ∈-.变式4．（2023秋·高二单元测试）已知()()()1,1,12,2,23,2,4、、A B C ，则ABC 的面积为__________．【答案】2【分析】根据题意，求得AB，AC 的坐标及其夹角的余弦值和正弦值，利用三角形面积公式即可求得结果.【详解】因为()()()1,1,12,2,23,2,4、、A B C ，故可得()()1,1,1,2,1,3==AB AC ，不妨设AB ，AC的夹角为θ，故可得cos 7θ⋅==AB AC AB AC，因为0πθ≤≤，所以sin 7θ==，则11sin 22θ=⨯=ABC S AB AC 变式5．（2023春·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）长方体1111ABCDA B C D -，4AB =，2AD =，1AA =11A B 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．12B ．35C ．25D ．45【答案】D【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值.【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1A，(1B ，()2,0,0A，(1C ，可得()110,4,0A B =，(1AC =- ，设异面直线11A B 与1AC 所成角为θ，则111111111164cos cos ,455A B AC A B AC A B AC θ⋅====⨯⋅.所以异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为45.故选：D.变式6．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）如图四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，且各棱长均相等，E 是PB 的中点，则异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为（）A．6BC ．13D ．12【答案】A【分析】连接AC 与BD 交于点O ，连接PO ，以O 点为原点，建立空间直角坐标系，分别求得向量AE 和PC的坐标，结合向量的夹角公式，即可得解.【详解】连接AC 与BD 交于点O ，连接PO ，由题意得，AC BD ⊥，且PO ⊥平面ABCD ，以O 点为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设四棱锥P ABCD -各棱长均为2，则AO BO DO ===，PO =，可得)()(,0,,,22AE C P ⎛ ⎝⎭，则(,22AE PC ⎛== ⎝⎭，设异面直线AE 与PC 所成角为θ，则cos cos ,6AE PC AE PC AE PCθ⋅=〈〉=== ．故选：A ．考点九：利用坐标运算解决距离问题例10．（2023春·四川绵阳·高二四川省绵阳实验高级中学校考阶段练习）在空间直角坐标系Oxyz 中，点(102)A -，，，则OA =______【分析】写出对应的向量，利用向量模求解.【详解】由题意，可得102)OA =-(，，，故OA OA ==变式1．（2022·全国·高二专题练习）若()1,2,3AB =- ，()1,1,5BC =--，则AC = （）ABC ．5D ．10【答案】A【分析】先求出AC,再利用向量的模长计算公式即可【详解】因为(1,2,3)(1,1,5)(0,1,2)AC AB BC =+=-+--=-所以||AC ==故选:A变式2．（2022秋·上海徐汇·高二上海中学校考期中）设正四面体ABCD 的棱长为1，点M 、N 满足2AM MD =，2=CN NB ，则MN = ______.【答案】3【分析】利用空间向量的坐标运算求两点间的距离.【详解】如图,将正四面体ABCD 放在正方体中,则正方体的边长为2,因为2AM MD = ，2=CN NB ,所以,,063266M N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，,所以0,,62MN ⎛=-- ⎝⎭,所以MN =3.变式3．（2023秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）在空间直角坐标系中，(,1,1)A t t -，(0,,3)B t ，则AB的最小值是________.【答案】3【分析】根据空间向量的坐标表示，以及向量模的计算公式，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，向量(,1,1)A t t -，(0,,3)B t ，可得(,1,2)AB t t t =--+，所以AB === ，所以当13t =-时，AB 取得最小值3.故答案为：3.变式4．（2022·高二单元测试）若A (,5,21)x x x --，B (1,2,2)x x +-，当AB 取最小值时，x 的值等于（）A ．19B ．87-C ．87D ．1914【答案】C【分析】利用向量的坐标公式求得AB的坐标，再利用向量模的坐标公式求解.【详解】因为A (,5,21)x x x --，B (1,2,2)x x +-，所以()1,23,33AB x x x =---+ ，则AB =当87x =时，AB 取最小值，故选：C变式5．（2022·全国·高三专题练习）在空间直角坐标系O xyz -中，已知(1,0,2)A -，(0,1,1)B -，点,C D 分别在x 轴，y 轴上，且AD BC ⊥，那么CD →的最小值是______.【解析】设(C x ，0，0)，(0D ，y ，0)，则(1,,2)AD y →=-，(,1,1)BC x →=-，由20AD BC x y →→=--= ，知2x y =+．所以||CD →，由此能求出其最小值．【详解】设(C x ，0，0)，(0D ，y ，0)，(1A - ，0，2)，(0B ，1，-1)，∴(1,,2)AD y →=-，(,1,1)BC x →=-，AD BC ⊥ ，∴20AD BC x y →→=--= ，即2x y =+．(,,0)CD x y →=-，∴||CD →===1y =-时取最小值）【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解.变式6．（2023春·上海宝山·高二统考期末）已知a 、b 是空间互相垂直的单位向量，且8c = ，c a c b ⋅=⋅= 则c ma nb --的最小值是______.【答案】4【分析】利用坐标法，根据空间向量数量积的坐标运算，向量线性运算，不等式思想即可求解．【详解】 ,a b 是空间相互垂直的单位向量，∴设(1,0,0)a = ，(0,1,0)b = ，设(,,)c x y z =，又c a c b ⋅=⋅=x y ∴==，又8c ===，216z ∴=，∴)c z =，其中216z =，∴,,)c ma nb m n z --=--，∴c ma nb --=4≥，当且仅当m n ==时取得等号，∴c ma nb --的最小值是4．故答案为：4．考点十：利用坐标运算求投影或投影向量例11．（2023春·高二课时练习）已知空间向量()1,2,3a =- ，则向量a在坐标平面Oyz 上的投影向量是（）A ．()0,2,3B ．()0,2,3-C ．()1,2,0D ．()1,2,3-【答案】B【分析】根据投影向量的定义即可得出正确的答案.【详解】根据空间中点的坐标确定方法知，空间中点(1,2,3)a =-在坐标平面Oyz 上的投影坐标，横坐标为0，纵坐标与竖坐标不变．所以空间向量(1,2,3)a =-在坐标平面Oyz 上的投影向量是：(0,2,3)-故选：B.变式1．（2023春·湖北孝感·高二校联考阶段练习）已知向量()()1,3,0,2,1,1a b == ，则向量a 在向量b上的投影向量c =（）A ．555,,244⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．555,,366⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．555,,488⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,4,4【答案】B【分析】利用投影向量的定义求解作答.【详解】向量()()1,3,0,2,1,1a b == ，1231015a b ⋅=⨯+⨯+⨯=，||b ==所以向量a 在向量b 上的投影向量5555=(,,6366||||a b b c b b b ⋅=⋅= .故选：B变式2．（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）已知向量()0,1,1a = ，()1,1,0b = ，则向量b 在向量a 上的投影向量为（）．A ．()0,1,1--B ．()1,0,1--C ．110,,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,0,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据投影向量的计算公式求解即可.【详解】向量b 在向量a上的投影向量为011110110,221,22a b a a a aa⋅⨯+⨯+⨯⋅=⋅==⎛⎫⎪⎝⎭.故选:C.变式3．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）已知点。

【高考导航】高考对本节的要求：理解右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体顶点的坐标；掌握空间向量的坐标运算法则；掌握空间两点间距离公式；会根据坐标，判断两个向量共线或垂直；会运用中点坐标公式解决有关问题.此节内容高考必考，而且是以解答题的形式出现.例如2003全国新课程卷12分；2003上海春季高考题12分；2002全国新课程卷12分.【学法点拨】本节内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O 和一个单位正交基底｛i ，j ，k ｝建立坐标系，对于O 点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变.如向量的数量积a ²b =|a |²|b |cos<a ，b >在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为λ，对于中点公式要熟记.同时了解空间定比分点公式以及重心坐标公式.总之对于本节的学习要结合平面向量的有关知识，加强练习巩固.【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.空间直角坐标系在空间选定一点O 和一个单位正交基底｛i ，j ，k ｝（i ，j ，k 按右手系排列）建立坐标系，坐标轴正方向与i ，j ，k 方向相同.空间一点P 的坐标的确定可以按如下方法：过P 分别作三个坐标平面的平行平面（或垂直平面），分别与坐标轴交于A 、B 、C 三点，|x|=O A ，|y|=O B ，|z|=O C ，当与i 方向相同时，x ＞0，反之x ＜0.同理确定y 、z.点P 的坐标与坐标相同.2.向量的直角坐标运算设a =(a 1，a 2，a 3)，b =（b 1，b 2，b 3），则 a +b =(a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3)， a -b =(a 1-b 1，a 2-b 2，a 3-b 3)， a ²b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3a ∥b ⇔a 1=λb 1，a 2=λb 2，a 3=λb 3(λ∈R ).或11b a =22b a =33b a a ⊥b ⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0 3.夹角和距离公式 (1)夹角公式设a =(a 1，a 2，a 3)，b =(b 1，b 2，b 3) 则cos<a ，b >=332221232221332211b b b a a a b a b a b a ++∙++++（2）距离公式设A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，z 2），则 ||=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.（3）定比分点公式设A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，z 2），则 若M 分AB 为定比λ（λ≠-1），则M 的坐标为 x=λλ++121x x ，y=λλ++121y y ，z=λλ++121z z ，特别地，当λ=1即M 为中点时得中点坐标公式： x=221x x +，y=221y y +，z=221zz +. 由中点公式，可得以A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，z 2），C （x 3，y 3，z 3）为顶点的三角形重心公式：x=3321x x x ++，y=3321y y y ++，z=3321zz z ++.4.两个概念(1)向量垂直于平面，若表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，称a 垂直于α，记作a ⊥α.(2)法向量，如果a ⊥α，称向量a 是α的法向量. 二、重点难点突破本节重点是空间右手直角坐标系，向量的坐标运算，夹角公式和距离公式.建立右手直角坐标系要以题中已知条件为依托，让尽可能多的点，尽可能多的线落在轴上或者是坐标平面上，简化运算过程.空间向量坐标运算要抓住空间向量的坐标表示这一根本去突破.即向量a 在空间用惟一的有序数组a =(x ，y ，z)来表示.对于夹角公式.两点间距离公式要多练习.本节的难点是向量坐标的确定及夹角公式和两点间距离公式的应用.要理解两点间距离公式类似于平面上两点间的距离公式.可直接套用，两公式都与坐标原点的选取无关.三、易错点和易忽略点导析1.本节课涉及到几何量的代数运算，夹角公式和两点间距离公式的应用.易出现计算不准确而导致结论错误.2.易忽略向量坐标的表达形式a =（x ，y ，z ），在实际解题中有很多同学忽略了“=”，与点坐标(x ，y ，z)混淆.【综合应用创新思维点拨】 一、学科内综合思维点拨【例1】 已知空间三点A （-2，0，2），B （-1，1，2），C （-3，0，4）.设a =AB ，b =AC ，（1）求a 和b 的夹角θ；（2）若向量k a +b 与k a -2b 互相垂直，求k 的值.思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.解：∵A(-2，0，2)，B （-1，1，2），C(-3，0，4)，a =AB ，b =AC ， ∴a =(1，1，0)，b =（-1，0，2）. (1)cos θ=||||b a b a ∙∙=52001⨯++--1010，∴a 和b 的夹角为π-arccos1010.(2)∵k a +b =k （1，1，0）+（-1，0，2）＝（k-1，k ，2）， k a -2b =（k+2，k ，-4），且(k a +b )⊥（k a -2b ），∴（k-1，k ，2）²（k+2，k ，-4）=(k-1)(k+2)+k 2-8=2k 2+k-10=0. 则k=-25或k=2. 点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做.(k a +b )(k a -2b )=k 2a 2-k a ²b -2b 2=2k 2+k-10=0， 解得k=-25，或k=2. 【例2】 如图9-6-1，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D 、BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG=41CD ，H 是C 1G 的中点.应用空间向量的办法解决下列问题：(1)求证：EF ⊥B 1C ；(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求FH 的长.思维入门指导：本题主要利用空间向量的基础知识，证明异面直线垂直，求异面直线所成的角及线段的长度.解：如图9-6-1，建立空间直角坐标系O 一xyz ，D 为坐标原点O ，由已知得E(0，0，21)，F(21，21，0)，C(0，1，0)，C 1(0，1，1)，B 1(1，1，1)，G(0，43，0). (1)则EF =(21，21，-21)，C B 1=(-1，0，-1). ∴EF ²C B 1=(21，21，-21)²(-1，0，-1) =21³(-1)+21³0+(-21)³(-1)=0. ∴EF ⊥C B 1.即EF ⊥B 1C. (2)G C 1=(0，-41，-1)，则|G C 1|=417. 又|EF |=23，且EF ²G C 1=83， ∴cos<EF ，G C 11=1751. (3)∵H 是C 1G 的中点，由中点坐标公式知H(0，87，21).又F(21，21，0)， ∴FH=||=222)021()2187()210(-+-+-=841. 点拨：通过向量，把几何问题转化为代数计算，是数学中化归思想的具体体现，而且在解立体几何题中，由于向量的引入，避免了一些繁难的推理论证，用定量计算代替定性分析，从而降低了难度.二、应用思维点拨【例3】 已知a 、b 、c 为正数，且a+b+c=1，求证：113+a +113+b +113+c ≤43.思维入门指导：本题考查|a |²|b |≥a ²b 的应用，解题时要先根据题设条件构造向量a ，b .然后结合数量积性质进行运算.证明：设m =(113+a ，113+b ，113+c )，n =(1，1，1)， 则|m |=4，|n |=3. ∵m ²n ≤|m |²|n |，∴m ²n =113+a +113+b +113+c ≤|m |²|n |=43. 当1131+a =1131+b =1131+c 时，即a=b=c=31时，取“=”号.点拨：若m =(x ，y ，z)，n =(a ，b ，c)，则由m ²n ≤|m |²|n |，得(ax+by+cz)2≤(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2).此式又称为柯西不等式(n=3).三、创新思维点拨【例4】 如图9-6-2，已知矩形ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，∠PDA 为θ，能否确定θ，使直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线?若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由.思维入门指导：对于判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，这是一种最常用也是最基本的方法.解：以点A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz.设|AD|=2a ，|AB|=2b ，∠PDA=θ.则A(0，0，0)、B(0，2b ，0)、C(2a ，2b ，0)、D(2a ，0，0)、P(0，0，2atan θ)、M(0，b ，0)、N(a ，b ，atan θ).∴AB =(0，2b ，0)，PC =(2a ，2b ，-2atan θ)，MN =(a ，0，atan θ). ∵AB ²MN =(0，2b ，0)²(a，0，atan θ)=0， ∴AB ⊥MN .即AB ⊥MN.若MN⊥P C ，则MN ²PC =(a ，0，atan θ)²(2a，2b ，-2atan θ)=2a 2-2a 2tan 2θ=0.∴tan 2θ=1，而θ是锐角. ∴tan θ=1，θ＝45°.即当θ=45°时，直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线.点拨：对于条件开放型问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决.向量、空间坐标系的建立，让人耳目一新，回味无穷.四、高考思维点拨【例5】（2003，全国，12分）如图9-6-3，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1、A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.(1)求A 1B 与平面ABD 所成角的大小(结果用反三角函数表示)； (2)求点A 1到平面AED 的距离.(学习了第7节后再做此问.) 思维入门指导：本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.借助向量和坐标系解立体几何问题的步骤是：①建立适当的空间直角坐标系(或仿射坐标系)；②确定关键点的坐标；③写出相关向量；④运用向量公式进行计算.解：(1)连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 上的射影，即∠A 1BG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 如图9-6-3所示建立坐标系，坐标原点为C ，设CA=2a.则A （2a ，0，0），B （0，2a ，0），D （0，0，1），A 1（2a ，0，2），E （a ，a ，1），G(32a ，32a ，31). ∴GE =(3a ，3a ，32)，BD =(0，-2a ，1). ∵²=-32a 2+32=0. 解得a=1.∴1BA ＝（2，-2，2），BG ＝(32，-34，31). ∴cos∠A 11=213132314∙=37.A 1B 与平面ABD 所成角是arccos37. （2）由（1）有A （2，0，0），A 1（2，0，2），E （1，1，1），D （D ，0，1），AE ²ED =(-1，1，1)²(-1，-1，0)=0，1AA ²ED =(0，0，2)²(-1，-1，0)=0，∴ED⊥平面AA 1E. 又ED ⊂平面AED ，∴平面AED ⊥平面AA 1E. 又面AED∩面AA 1E=AE ，∴点A 在平面AED 上的射影K 在AE 上. 设AK =λAE ，则K A 1=A A 1+=(-λ，λ，λ-2). 由K A 1²AE =0，即λ+λ+λ-2=0，解得λ=32. ∴K A 1=(-32，32，-34). ∴|A 1|=362. 故A 1到平面AED 的距离为362. 点拨：由上述例题可以看出，利用向量知识解决几何问题的基本思路是：根据题意巧构向量或把题中有关线段看作向量，利用向量中的有关公式列出方程求解.思路清晰，方法简捷规范.五、经典类型题思维点拨 【例6】 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 和BC 的中点，如图9-6-4，试问在棱BB 1上是否存在点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1？若存在，指出点M 的位置；若不存在，说明理由.思维入门指导：数学“开放性问题”主要具有“非完备性、不确定性、发散性和探究性”等特征.“开放性问题”的题意新颖，解法多样，立体几何“开放性问题”特别能培养学生的发散思维能力和空间想象能力.近年来，这类问题已成为高考命题的热点.解：以D 点为坐标原点，建立如图9-6-4所示的空间右手直角坐标系D －xyz ，因为棱长等于1，所以D 1(0，0，1)，E(1，21，0)，F(21，1，0)，B 1(1，1，1). 设点M 在棱BB 1上，可设M 点的坐标为(1，1，λ)(0≤λ≤1)， 则M D 1=(1，1，λ-1)，1EB =(0，21，1)，1FB =(21，0，1). 由于D 1M ⊥平面EFB 1的充要条件为D 1M⊥FB 1，且D 1M ⊥EB 1， 即M D 1²1EB =(1，1，λ-1)²(0，21，1)=21+λ-1=0，M D 1²1FB =(1，1，λ-1)²(21，0，1)=21+λ-1=0，得λ=21. 而21∈[0，1]，因此存在点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1，且M 是棱BB 1的中点. 点拨：用代数的方法研究解决几何问题，自然离不开运算.但在运算过程，中要注意概念的灵活应用.六、探究性学习点拨【例7】 在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，所有棱的长度都是2，M 是BC 边的中点，问：在侧棱CC 1上是否存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°？思维入门指导：立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.解：以A 点为原点，建立如图9-6-5所示的空间右手直角坐标系A －xyz. 因为所有棱长都等于2，所以A （0，0，0），C （0，2，0），B （3，1，0），B 1(3，1，2)，M(23，23，0). 点N 在侧棱CC 1上，可设N （0，2，m ）（0≤m ≤2），则1AB =(3，1，2)，MN =(-23，21，m)， 于是|1AB |=22，||=12+m ，1AB ²=2m-1.如果异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°，那么向量1AB 和的夹角是45°或135°，而cos<1AB ，MN 1122122+∙-m m ，所以122122+∙-m m =±22. 解得m=-43，这与0≤m≤2矛盾. 即在侧棱CC 1上不存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°.点拨：通过以上例子可以看出，在解决一些立体几何探索性问题时，利用空间向量，能够避免繁琐的“找”、“作”、“证”，只须通过定量计算，就可解决问题，降低了思维难度，易于把握，体现了空间向量在解题中的巨大作用.A 卷：教材跟踪练习题 （60分 45分钟）一、选择题（每小题5分，共30分）1.设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），则△ABC 的重心G 的坐标为（ ） A.(34，34，0) B.(34，0，34) C.(34，34，1) D.(34，34，2) 2.若向量a =(1，λ，2)，b =(2，-1，2)a ，b 夹角的余弦值为98，则λ的值为（ ） A.2 B.-2 C.-2或552 D.2或-552 3.已知两个非零向量a =（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ）A.a ：|a |=b ：|b |B.a 1²b 1=a 2²b 2=a 3²b 3C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0D.存在非零实数k ，使a =k b 4.在下列各结论中，不正确的是（ ）A.两非零向量a =(x 1，y 1，z 1)和b =(x 2，y 2，z 2)垂直的充要条件为x 1²x 2+y 1²y 2+z 1²z 2=0B.若向量a =(x 1，y 1，z 1)和b =(x 2，y 2，z 2)则 a ²b ≤))((222222212121z y x z y x ++++C.已知a ，b 是两个非零向量，则<a ，b >=arccos22ba b a ∙∙D.a²b =0是a =0或b =0的充要条件5.已知向量a =（2，4，x ），b =（2，y ，2），若|a |=6，a ⊥b ，则x+y 的值是（ ） A.-3或1 B.3或-1 C.-3 D.16.下列各组向量共面的是（ ）A.a =(1，2，3)，b =(3，0，2)，c =(4，2，5)B.a =(1，0，0)，b =(0，1，0)，c =(0，0，1)C.a =(1，1，0)，b =(1，0，1)，c =(0，1，1)D.a =(1，1，1)，b =(1，1，0)，c =(1，0，1) 二、填空题（每小题4分，共16分）7.若点P （x 、y 、z ）到A （1，0，1）、B （2，1，0）两点的距离相等，则x 、y 、z 满足的关系式是__________________.8.已知a +b =(2，-8，5)，a -b =（-8，16，-3），则a ²b =__________.9.已知a =(1，2，3)，b =（1，0，1），c =a -2b ，d =m a -b ，若c ∥d ，则m=______ . 10.与a =(1，1，0)共线的单位向量为____________ . 三、解答题（每小题7分，共14分）11.已知△ABC 的顶点A （1，1，1），B （2，2，2），C （3，2，4），试求△ABC 的面积. 12.设向量a =(3，5，-4)，b =(2，1，8)，确定λ、μ的值，使λa +μb 与z 轴垂直.B 卷：综合应用创新练习题 （90分 90分钟）一、学科内综合题(10分)1.设空间两个不同的单位向量a =(x 1，y 1，0)，b =(x 2，y 2，0)与向量c =(1，1，1)的夹角都等于4. (1)求x 1+y 1和x 1y 1的值；(2)求<a ，b >的大小(其中0＜<a ，b >＜π). 二、应用题（10分）2.已知F 1=i +2j +3k ，F 2=-2i +3j -k ，F 3=3i -4j +5k ，若F 1，F 2，F 3共同作用于同一物体上，使物体从点M 1（1，-2，1）移到点M 2(3，1，2)，求物体合力做的功.三、创新题（60分）（一）教材变型题（10分）3.（P 42习题9.6第9题变型）在正方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AB 1、B 1B 的中点，求直线AM 与CN 所成角.（二）一题多解（15分）4.已知三角形三顶点(1，-2，-3)，B （-1，-1，-1），C （0，0，-5）.试证明它是直角三角形.（三）一题多变(15分) 5.如图9-6-6，矩形ABCD 中，AB=1，BC=a ，PA ⊥平面ABCD ，问BC 边上是否存在Q 点，使PQ ⊥，说明理由.(1)一变：问当Q 点惟一，且cos<，>=1010时，求点P 的位置. （四）新解法题(1O 分)6.如图9-6-7所示，在长方体O ABC —O 1A 1B 1C 1中，O A=2，AB=3，AA 1=2，E 是BC 的中点.（1）求直线A O 1与B 1E 所成角的大小； （2）作O 1D ⊥A C 于D ，求点O 1到点D 的距离. （五）新情境题（10分）7.O 1、G 、H 分别为△ABC 的外心、重心、垂心，且不重合.试证明O 1、G 、H 三点共线，且O 1G ：GH=1：2.四、高考题(10分)8.(2003，全国新课程)如图9-6-8，已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB=1，AA 1=2，点E 为CC 1的中点，点F 为BD 1的中点(注：正四棱柱即底面为正方形的长方体).(1)求证：EF 为BD 1与CC 1的公垂线； (2)求点D 1到面BDE 的距离. 加试题：竞赛趣味题（10分）（第八届加拿大数学奥林匹克竞赛题）已知四边形ABCD 中，四个角∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 、∠DAB 都是直角.求证：四边形ABCD 必是矩形.【课外阅读】平面法向量的进一步研究在试验（修订）教材第二册（下B ）给出了这样一个概念：如果a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量.课本仅给出了这个概念，在其例题、课后练习、习题中均未涉及对此概念的进一步研究，但是利用平面的法向量（或法单位向量）解有关立体几何中空间的角和距离等问题时，将更能体现出教材（下B ）的特点.下面就有关的问题作一些探讨.1.如何利用空间坐标求法向量及法单位向量【例1】 已知三点A （2，3，-3）、B （4，5，-2）、C （6，8，0）.求与平面ABC 垂直的一个法向量和法单位向量.解：假设n 是与平面ABC 垂直的某一个向量，设此向量为n =（x ，y ，1），则n ⊥AB 且n ⊥AC ，因为AB =（2，2，1），AC =（4，5，3），故由n ⊥AB 及n ⊥AC 分别得2x+2y+1=0及4x+5y+3=0，解之有x=21，y=-1，故n =(21，-1，1)即为平面ABC 的一个法向量，又|n |=23，故所求一个法单位向量n 0=||n n =32(21，-1，1)=(31，-32，32).点拨：为了求n 这个未知向量，按理应当设n =(x ′，y ′，z ′)，但是因为相差一个常数因子并不影响其与平面ABC 的垂直性，在z ′≠0的条件下，由n =(x ′，y ′，z ′)=z ′(''z x ，''z y ，1)，令''z x =x ，''z y =y ，于是可设n =(x ，y ，1)，同理也可设n =(1，y ，z)或(x ，1，z)，这样做可以减少一个待定的未知数.2.利用平面的法向量求线面角如图9-6-9，AB 为平面α的斜线，n 为平面α的法向量，如果与n 之间所成的角ϕ为锐角，则斜线AB 与平面α之间所成的角θ=2π-ϕ.【例2】 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中（如图9-6-19），M 、N 分别是棱B 1C 1、AD 的中点，求直线AD 与平面BMD 1N 所成角的余弦值.解：不妨假定正方体棱长为1.以D 为原点，以DA 、DC 、1DD 方向分别作为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，则D （0，0，0）、A(1，O ，0)、D 1（0，0，1）、N(21，0，0)、M(21，1，1)、B(1，1，0)，N D 1=(21，0，-1)，NB =(21，1，0).设n =（x ，y ，1）是垂直于平面BMD 1N 的法向量，由例1的方法可求得x=2，y=-1.∴n =(2，-1，1).又DA =(1，0，0)，则DA ²n =2，|DA |=1，|n |=6. ∴以ϕ表示DA 与n 所成之角，则 cos ϕ||||n DA ∙=62=36. 以θ表示DA 与平面BMD 1N 所成之角，则cos θ=p 2cos 1-=961-=33. 点拨：为了避免向量n 中双重符号选取的麻烦，对于平面α的斜线向量l 与法向量n 之间的锐角ϕ可由cos ϕ=||||||n l n l ∙∙来确定.3.利用平面的法向量求二面角如图9-6-11，设用θ表示欲求的二面角α-l -β的值，又设n 1、n 2分别是平面α及β的法向量，这两个法向量的方向应该是这样配备的：当α或β半平面绕着其棱l 转动到与另一半平面重合时，这两个向量的方向应当一致，在满足这些条件之下，我们有cos θ=||||2121n n n n ∙.【例3】 如图9-6-12，ABCD 是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，又SA ⊥平面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=21，求面SCD 与面SAB 所成二面角的正切值. 解：建立如图9-6-12所示的空间直角坐标系A 一xyz ，有A(0，0，0)、D(21，0，0)、C(1，1，0)、S(0，0，1)，则=(21，0，0)是平面SAB 的法向量.设面SCD 的法向量n =(1，λ，μ)，由例1的方法可求得λ=-21，μ=21.∴n =(1，-21，21). 如以θ表示欲求二面角的值，则cos θ=cos<，n .因²n =(21，0，0)²(1，-21，21)=21，||=21， |n |=22)21()21(1+-+=23， ∴cos θ=232121∙=32，sin θ=31.∴tan θ=21=22. 4.利用平面的法向量求点到面的距离求点P 到平面M 的距离d ，可以在平面M 上任取一点A ，则AP 在M 的法单位向量n 0上的射影长就是所求的距离：d=|²n 0|=||||n n AP ∙(n 为平面M 的一个法向量). 【例4】 如图9-6-13，已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离.解：建立如图9-6-13所示的空间直角坐标系C 一xyz ，则E(2，4，0)、F(4，2，0)、G(0，0，2)、B(0，4，0).设平面EFG 的法向量n =(λ，μ，1)，由例1方法可求得λ=μ=31.∴n =(31，31，1)，|n |=311.因为E 是平面EFG 上一点，故所求距离d=||||n n ∙=311)1,31,31()0,0,2(∙-=11112.点拨：直线到与它平行的平面的距离，或两个平行平面间的距离都可转化为点到平面的距离来求.5.利用平面的法向量求两异面直线a 与b 的距离先设法找出直线a 与b 的公垂线上的单位向量n 0，然后在a 、b 上分别各取一点A 及B ，则d=|²n 0|=||||n n AB ∙(n 为与直线a 、b 都垂直的一个向量). 【例5】 如图9-6-14，已知正方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求BC 1与DB 1的距离.解：建立如图9-6-14所示的空间直角坐标系D —xyz ，则D （0，0，0）、B （1，1.0）、C 1（0，1，1）、B 1（1，1，1），1BC =（-1，0，1），1DB =（1，1，1）.设n =（λ，μ，1）是同时与BC 1、DB 1垂直的向量，则由n ²1BC =(λ，μ，1)²(-1，0，1)=-λ+1=0及n ²1DB =(λ，μ，1)²(1，1，1)=λ+μ+1=0，∴λ=1，μ=-2.∴n =(1，-2，1)，|n |=6.∴d=||1n n BB ∙=6)1,2,1()1,0,0(-∙=66.点拨：n 是与异面直线都垂直的向量，实际上我们也可把n 看作是经过异面直线a 、b中的一条直线且平行于另一条直线的平面的一个法向量.参考答案A 卷一、1.D 点拨：根据三角形重心坐标公式可解得答案.2.C 点拨：由题知95422∙++-λλ=98⇒λ=-2或λ=552. 3.D 点拨：由共线向量定线易知.4.D 点拨：a ²b ＝0⇔a ⊥b ，而不是a =0或b =0.5.A 点拨：由题知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0244361642x y x ⇒⎩⎨⎧-==3,4y x 或⎩⎨⎧=-=.1,4y x6.A 点拨：由共面向量基本定理可得.二、7.2x+2y-2z-3=0 点拨：由|PA |=|PB |，利用空间两点距离公式化简可得. 8.-59 点拨：⎩⎨⎧--=--=∙)3,16,8()5,8,2(b a b a ⇒⎩⎨⎧-=-=)4,12,5()1,4,3(b a ⇒a ²b =-59.9.m=21点拨：∵c =(-1，2，1)，d =(m-1，2m ，3m-1)， 又∵c ∥d ，∴11--m =m 22=131-m ⇒m=21.10.(22，22，0)或(-22，-22，0) 点拨：∵a =(1，1，0)=2(22，-22，0)，∴e =(22，22，0)或e =(-22，-22，0). 三、11.解：∵A(1，1，1)，B(2，2，2)，C(3，2，4)，∴AB =(1，1，1)，AC =(2，1，3).∴|AB |=3，|AC |=14，AB ²AC =(1，1，1)²(2，1，3)=6. ∴||||AC AB ∙=1436∙=426则sinA=A 2cos 1-=71.∴S △ABC =21|AB|²|AC|²sinA=21²3²14²71=26. 即△ABC 的面积为26. 点拨：可以自己尝试用向量表示三角形面积公式.12.解：由(λa +μb )²(0，0，1)=（3λ+2μ，5λ+μ，-4λ+8μ）²（0，O ，1）=-4λ+8μ=0知，只要λ、μ满足-4λ+8μ=0即可使λa +μb 与z 轴垂直.B 卷一、1.解：(1)∵|a |=|b |=1，∴x 21+y 21=1，∴x 22=y 22=1.又∵a 与c 的夹角为4π， ∴a ²c =|a ||c |cos 4π=22222111++=26. 又∵a ²c =x 1+y 1， ∴x 1+y 1=26. 另外x 21+y 21=(x 1+y 1)2-2x 1y 1=1，∴2x 1y 1=(26)2-1=21.∴x 1y 1=41. (2)cos<a ，b >=||||b a ba ∙=x 1x 2+y 1y 2， 由(1)知，x 1+y 1=26，x 1y 1=41.∴x 1，y 1是方程x 2-26x+41=0的解. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,426,42611y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=.426,42611y x同理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,426,42622y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=.426,42622y x∵a ≠b ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+==,426,4261221y x y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==-==.426,4261221y x y x∴cos<a ，b >=426+²426-+426+²426-=41+41=21.∵0≤<a ，b >≤π.∴<a ，b >=3π.二、2.解：W =F ²s =(F 1+F 2+F 3)²21M M =14.三、(一)3.解：如答图9-6-1所示，把D 点视作坐标原点，以、、1DD 方向为正方向，建立空间直角坐标系D 一xyz ，则A(1，0，0)，M （1，21，21），C （0，1，0），N(1，1，21).∴AM =(0，21，21)，CN =(1，0，21).∴AM ²CN =41，|AM |=22，|CN |=25. ∴设直线AM 与CN 所成的角为α，则cos α=252241∙=101.∴α=arccos1010.故AM 与CN 所成的角为arccos 1010. (二)4.证法一：||=222)13()12()11(+-++-++=414++=9=3， ||=222)51()1()1(+-+-+-=1611++=32， |AC |=22)53()2(1+-+-+=441++=3. ∴||+||2=9+9=18=||2. ∴三角形ABC 是直角三角形.证法二：∵AB =(-1，-1，-1)-(1，-2，-3)=(-2，1，2)， =(0，0，-5)-(-1，-2，-3)=(-1，2，-2)，∴²=(-2)³(-1)+1³2+2³(-2)=2+2-4=0. ∴AB ⊥AC .∴三角形ABC 是直角三角形.(三)5.解：如答图9-6-2所示，建立空间直角坐标系A 一xyz ，设P （0，0，z ），D （0，a ，0），Q （1，y ，0），则=(1，y ，-z)，=(-1，a-y ，0)，且⊥. ∴PQ ²QD -1+y(a-y)=0⇒y 2-ay+1=0.∴△=a 2-4.当a ＞2时，△＞0，存在两个符合条件的Q 点； 当a ＝2时，△＝0，存在惟一一个符合条件的Q 点； 当a ＜2时，△＜0，不存在符合条件的Q 点. (1)当Q 点惟一时，由5题知，a=2，y=1.∴B(1，0，0)，BP =(-1，0，z)，QD =(-1，1，0).∴cos<BP ，QD ||||QD BP ∙=2112∙+z =1010. ∴z=2.即P 在距A 点2个单位处. (四)6.老解法(纯几何解法)；用平移找到两条异面直线所成角，然后放到三角形中去求角.第(2)问用等积法求距离.新解法（向量法）：(1)如答图9-6-3所示，以O 为原点，分别以、、1OO 为O x 轴、O y 轴、O z 的正方向建立空间直角坐标系O 一xyz ，∵||=2，|=3，|A A 1|=2，E 为BC 的中点，∴A （2，0，0），O 1（0，0，2），B 1（2，3，2），E （1，3，0）. 则1AO =(-2，0，2)，E B 1=(-1，0，-2). ∴cos<1AO ，E B 1>=-1010. 则<1AO ，E B 1>=π-arccos1010. 所以直线A O 1与B 1E 所成角为arccos1010. (2)连结O D ，∵O 1D ⊥AC ，∴O D ⊥AC.设D （x ，y ，0）.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=∙2221||||||0OA AD OD O ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=+-4)2(0322222y x y x y x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==1312,1318y x 或⎩⎨⎧==00y x (舍去) ∴点D 的坐标为(1318，1312，0). 则|O 1|=2222)132()1318(++=132862.(五)7.证明：如答图9-6-4建立直角坐标系O －xy.设A （0，a ），B （-b ，0），C （c ，0），则G(3c b +-，3a).设垂心H （0，λ），则BH =（b ，λ），AC =（c ，-a ）由BH ⊥AC ，∴²=bc-a λ=0，从而λ=abc ， 即H （0，abc ） 又D(2c b +-，0)，E(2c ，2a). 设外心O 1(2c b +-，μ)，E O 1=(2b ，2a，-μ)，AC =(c ，-a)， 由O 1E ⊥AC 知E O 1²AC =2bc -a(2a-μ)=0. ∴μ=a bc a 22-.即O 1(2cb +-，a bc a 22-).于是可得G O 1=(6cb -，a bc a 632+-)，H O 1=(2c b +-，a bc a 232+-)∴O 1=31O 1可知O 1、G 、H 三点共线，且O 1G ：GH=1：2. 四、8.(1)证明：如答图9-6-5所示，建立空间直角坐标系，得B(0，1，0)，D 1(1，0，2)，F(21，21，1)，C 1(0，0，2)，E(0，0，1).∴EF =(21，21，0)，1CC =(0，0， 2)，1BD =(1，-1，2).∴EF ²1CC =0，1BD ²EF =0.即EF ⊥CC 1，EF ⊥BD 1. 故EF 是CC 1与BD 1的公垂线.(2)解：连结ED 1，有V 1DBD E -=V DBE D -1.由(1)知EF ⊥面DBD 1.设D 1到面BDE 的距离为d ，则S△DBE²d=S 1DBD △²EF.∵AA 1=2，AB=1，∴BD=BE=ED=2，EF=22. ∴S 1DBD △=21²2²2=2，S △DBE =21²23²(2)2=23.∴d=23222=332.故点D 1到平面BDE 的距离为332.加试题：证明：如答9-6-6，以A 为原点，分别以AB 、AD 为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，则可设B （a ，0，0），D （0，b ，0），其中a 、b 均不为零.设C （c ，d ，e ），则有=（a ，0，0），=（c-a ，d ，e ），=（-c ，b-d ，-e ），＝（0，b ，0）.∵∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 都是直角，∴AB ²BC =a(c-a)=0，BC ²CD =0，CD ²AD =b （b-d ）=0.则e=0.这说明C 在平面ABD 内，即四边形ABCD 是平面四边形.又它的四个角都是直角，故四边形ABCD 是矩形.。

A B = ( a2 − a1 , b2 − b1 , c2 − c1 )
空间向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标. 空间向量的坐标等于它的终点坐标减去起点坐标.
例1、已知 a = (2, −3, 5), b = ( −3,1, − 4) 求 a + b, a − b, 8a
解:
a + b = (2, −3,5) + (−3,1, −4) = (−1, −2,1) a − b = (2, −3,5) − (−3,1, −4) = (5, −4,9) 8a = 8× (2, −3,5) = (16, −24, 40)
5.已知m = (8,3, a), n = (2b, −6,5) ,若m n 已知 若 则a=_____,b=______.
例题3: 例题 (1)已知 已知A(1,0,2),B(0,1,-2),C(0,0,3),若四边 若四边 已知 是平行四边形,求点 的坐标. 形ABCD是平行四边形 求点 的坐标 是平行四边形 求点D的坐标 (2)已知 已知A(1,0,1),B(2,4,1),C(2,2,3), 已知 D(10,14,17),试判断 试判断A,B,C,D四点是否共面 四点是否共面. 试判断 四点是否共面 已知A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10), 变:已知 已知 D(8,4,9),试证明 四边形 试证明:四边形 是梯形. 试证明 四边形ABCD是梯形 是梯形
空间向量的坐标表示
1、空间向量基本定理： 空间向量基本定理： 如果三个向量 a、、不共面， 那么对空间任一 b c 不共面， 向量 p ， 存在唯一的有序实数组{x,y,z} {x,y,z}， 存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使得
p = x a + yb + z c

高中数学常用公式及结论（平面向量总结）一、实数与向量的积的运算律：设λ、μ 为实数，那么：① 结合律：结合律图② 第一分配律：第一分配律图③ 第二分配律：第二分配律图二、向量 a 与向量 b 的数量积(或内积)：数量积图三、平面向量的坐标运算：①平面向量的坐标运算图（1）②平面向量的坐标运算图（2）③平面向量的坐标运算图（3）④平面向量的坐标运算图（4）⑤平面向量的坐标运算图（5）四、求夹角和长度：① 求夹角：求夹角图② 求长度：求长度图五、平面两点间的距离公式：平面两点间的距离公式图六、共线向量定理：空间任意两个向量共线向量定理图①三点共线：三点共线图②与向量 a 共线的单位向量为与向量 a 共线的单位向量图七、共面向量：①定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

② 共面向量定理：共面向量定理图③ 四点共面：四点共面图八、向量的平行与垂直：向量的平行与垂直图九、线段的定比分点公式：线段的定比分点公式图十、三角形的重心坐标公式：△ABC三个顶点的坐标分别为 A（x1 , y1）、B（x2 , y2）、C（x3 , y3）, 则△ABC 的重心的坐标是三角形的重心坐标公式图十一、三角形四“心”向量形式的充要条件：设 O 为△ABC 所在平面上一点，角 A , B , C 所对边长分别为 a , b , c ，则①三角形四“心”向量形式的充要条件图（1）②三角形四“心”向量形式的充要条件图（2）③三角形四“心”向量形式的充要条件图（3）④三角形四“心”向量形式的充要条件图（4）。