定比、定比分点公式讲解学习

平面向量定比分点定理1. 引言大家好，今天咱们要聊聊一个数学中非常有趣的话题——平面向量定比分点定理。

听上去是不是有点高大上？别担心，咱们会把它说得简单易懂，甚至还有点幽默，让你轻松get到这个知识点。

毕竟，数学也可以很有趣，不是吗？1.1 什么是定比分点定理？先来捋捋，这个定理到底是个什么东西。

简单来说，定比分点定理就是告诉我们，如何通过某些特定的比例来确定一个点在两点之间的位置。

想象一下，假如你在一个超市里，想要在两排货架之间找到一个完美的购物位置，你就可以用这个定理来帮助你，当然，前提是你得知道你要的东西在哪儿，对吧？1.2 公式与例子那具体的公式是什么呢？假设你有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，如果我们希望找一个点P，按照比例m:n来分割AB线段，P的坐标就可以用这个公式表示：P(x, y) = ((mx2 + nx1) / (m + n), (my2 + ny1) / (m + n))。

听起来复杂？其实不然，我们来举个例子。

比如说，有两位朋友A和B，A在(1, 2)的位置，B在(3, 4)的位置。

如果你想找一个P点，使得它在A和B之间，比例是1:3，那么用公式计算一下，你就能找到P在(2.5, 3)的位置。

就像是找到朋友聚会的最佳位置，嘿嘿！2. 应用场景2.1 生活中的实际应用说到这儿，你可能会问：“这跟我的生活有什么关系？”其实还真有！想象一下，你在一个公园里散步，突然发现两个大树之间有个超级适合拍照的地方。

你可以用定比分点定理来判断这个地方的最佳位置，分出一段合理的距离。

生活中，许多设计、建筑、甚至是游戏开发，都离不开这个定理的支持，简直是个“万能钥匙”！2.2 动手实践而且，定比分点定理还可以用来做一些小实验。

比如说，你可以带着朋友们去外面，找两个标志性的位置，然后用比例来确定一个新位置，看看是不是大家都觉得这个位置最合适。

就像你们在决定去哪吃饭时，总得有人说：“咱们去那个小店吧，它的蛋糕好吃得不得了！”这种分点定理的思路，恰好就适合用来做决策，嘿！3. 总结与感悟3.1 直观与趣味总之，平面向量定比分点定理并不是个冷冰冰的公式，它其实可以为我们的生活增添一些乐趣和便利。

定比点差法及其应用解说一、定比分点若，则称点为点、的定比分点．当时，点在线段上，称为内分点；当（）时，点在线段的延长线上，称为外分点．定比分点坐标公式：若点，，，则点的坐标为二、点差法点差法其实可以看作是方程的相减，是对方程的一个巧妙的处理。

若点在有心二次曲线上，则有两式作差得此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题．1、弦的中点点差法一个妙用：例1 已知椭圆，直线交椭圆于两点，为的中点，求证：为定值。

分析用常规方法设直线也可以解决，但是计算就很繁杂，在这里使用点差法。

解设，，在椭圆上：，作差得：即：，因为所以，为定值。

以上结论与弦的中点有关，也称为垂径定理。

考虑当椭圆为圆的时候，，则，，正好也符合圆的“垂径定理”。

在双曲线中同样有类似的结论，但定值为，在这里就不再推导了。

2、弦上的定比分点当弦上的点不再是中点时，就成了定比分点：设，，，则点坐标可以表示为：，证明设，，化简可得：，同理这时候就出现了这样形式的式子。

如果再凑出，可能大家就会有点感觉了：可以将椭圆的方程乘上一个再作差，得到这样的式子。

因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。

例2 已知椭圆，在椭圆外，过作直线交椭圆于两点，在线段上且满足：，求证：点在定直线上。

分析按照以上思路，要出现和这样的式子，很容易想到设的坐标，再表示出的坐标。

解设，，，则，结合图形得：则，在椭圆上：①，②得：即，所以在定直线上。

下面介绍定比点差法：若点在有心二次曲线上，则有两式作差得这样就得到了例7、过异于原点的点引椭圆的割线，其中点在椭圆上，点是割线上异于的一点，且满足．求证：点在直线上．证明：直接运用定比点差法即可．设，则有，设，则有又因为点在椭圆上，所以有两式作差得两边同除以，即可得到命题得证．例8、已知椭圆，过定点的直线与椭圆交于两点（可以重合），求的取值范围．解析：设，，则．于是，于是又因为点在椭圆上，所以有两式相减得将(1)代入(2)中得到由(1)(3)解得从而解得的取值范围为，于是的取值范围为．例9、设、为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，直线分别交椭圆于异于的点、，若，，求证：．证明：设，，，则于是有又由点在椭圆上得到两式相减得从而有结合(4)式可解得同理可得结合(5)式得到于是有整理得，命题得证．例10、已知椭圆，点，过点作椭圆的割线，为关于轴的对称点．求证：直线恒过定点．解析：因为三点共线，三点也共线，且三点都在椭圆上，我们用定比点差法去解决这个问题．设，，则，设与轴的交点为，，，则于是有由点在椭圆上得两式相减得将(2)代入(3)得。

解析：设原来函数图象上任一点坐标为(x，y)，平移后 其对应点坐标为(x′，y′)． π x′＝x－ ， 4 由平移公式，得 y′＝y－2， π 又∵y′＝sin(x′＋ )－2， 4
π π ∴y－2＝sin[(x－4)＋4]－2， 化简，得 y＝sinx. ∴原来函数的解析式为 y＝sinx.
→，当P1Q＝－3P2Q即 λ＝3 时 xQ＝－1＋2λ＝5，yQ＝ → → 3P2 Q 4
1＋λ －5＋4λ 7 5 7 ＝4，∴Q 点坐标为(4，4)． 1＋λ → → 当P1Q＝3P2Q即 λ＝－3 时 －1＋2λ 7 －5＋4λ 17 xQ＝ ＝2，yQ＝ ＝2. 1＋λ 1＋λ 7 17 ∴Q 点坐标为(2， 2 )．


启示：函数与方程思想贯穿于整个中学数学， 则向量模的关系转化为解不等式，再由解不 等式探求不等式成立的条件，再由a·e＝1，
●回归教材 1．已知点 P 分有向线段P→ 2的比为 λ，则下列结论中正 1P 确的是 A．λ 可以是任意实数 B．λ 是不等于零的实数 C．当 λ＜－1 时，点 P 必在P→ 2的延长线上 1P D．当－1＜λ＜0 时，点 P 在P→ 2的延长线上 1P ( )
－5＋4λ1 解析：(1)由已知 1＝ 解得 λ1＝2， 1＋λ1 －1＋2λ1 x＝ ＝1. 1＋λ1 → ＝2PP2得P1P＝2(PP1＋P→ 2)整理得P→ 1 ＝－ 3 → → → (2)由P1P 1P 2P 2 → .∴λ2＝－3. P1P 2
→ → → → → → → (3)由P1Q∥P2Q且|P1Q|＝3|P2Q|知P1Q＝3P2Q或P1Q＝－
则点 P 分P→ 2所成的比是________． 1P → 2的延长线上，则P1P＝3. → 解题思路：如图，P 在P1P

三角形的定比分点公式及应用设在三角形ABC的边AB上，有两个点D和E，使得AD:DE:EB=m:n:p，其中m、n、p为正实数，且满足m+n+p=1、则称点D和点E是边AB上的定比分点。

应用：1.线段分点定比问题：已知两点A、B，找到两点之间的一个点P，使得AP:PB=m:n。

这个问题可以通过将线段AB看作三角形的一条边，然后应用定比分点公式来解答。

2.定比分点的证明：如果在三角形的边上有一个点是边的中点，则此点与边两端的点成1:1:1的定比分点。

证明如下：设在三角形ABC的边AB上有一点D是边AB的中点，即AD=BD，则AD:DE:EB=AD:AD:BD=1:1:1同理，三角形的另外两条边上也存在中点，可以利用定比分点公式得到其它的定比分点。

3.相似三角形的性质：如果在两个相似三角形的相应边上分别取定比分点，则这两个定比分点所确定的线段也是相似三角形的定比分点。

例如，在相似三角形ABC和DEF中，AB:DE=BC:EF=a，如果在边AB上取定比分点D和E，使得AD:DE:EB=m:n:p，则有BC:EF=AD:DE:EB=m:n:p=a。

即在三角形DEF中，BC是EF的定比分点。

4.解决长度比例问题：通过应用定比分点公式，可以解决与长度比例有关的数学问题。

例如，在已知等腰直角三角形ABC中，如果AD是边AC上的定比分点，即AD:DC=m:n，则可以根据定比分点公式求出在边AC上的偏距AD和线段AB、BC的长度。

5.解决面积比例问题：通过应用定比分点公式，可以解决与面积比例有关的数学问题。

例如，已知三角形ABC中，面积为S，若点D是边AB 上的定比分点，即AD:DB=m:n，则可以根据定比分点公式求出三角形ABD 和三角形ACD的面积，并据此计算出三角形ABC的面积。

总结起来，三角形的定比分点公式是一个重要的几何定理，它可以在解决线段或面积比例问题中起到重要的作用，能够推导出一些三角形的性质和关系。

（3）定比、定比分点公式一、教学内容分析本节是的第三节课，是学习向量坐标表示及运算、向量的模与平行之后的又一个新的知识点.它既是对前两节内容复习与巩固，又是对向量知识的进一步深化与拓展，如式子 12PP PP λ=中的λ由实数推广到定比.同时，经历定比分点公式的推导过程，让学生领悟定比分点的多元化表示方法.本节的教学重点是定比分点公式的形成、深化、拓展与应用.难点是定比λ的理解、确定及定比分点公式中分点、始点、终点坐标位置的识别.根据本节特点，教师采取启发、提问为主的教学方法；学生则进行自主学习.即课前进行主动预习，课中进行讨论与交流，课后进行探索研究. 二、教学目标设计1理解定比的概念，掌握定比分点公式；2通过定比分点公式的推导过程，巩固向量的运算方法； 感悟定比分点的几种表达方式；3通过本节的学习，提升发现能力、推理能力，渗透数形结合思想. 三、教学重点及难点定比的概念，定比分点公式的推导和应用. 四、教学流程设计五、教学过程设计一、 情景引入观察思考，引入新课问题1：设)1,2(A ，)1,2(--B ，)2,4(C 三点共线，可知BA ∥AC ，即存在实数λ，使BA = λAC ??，那么实数λ= . 而若?BC CA λ=，则λ= .[说明]（1）本问题由共线三点坐标求实数λ，它既是对前一节向量平行的复习与巩固，同时又为定比λ的产生作好铺垫（2）通过本题可以看出使两向量平行的实数λ的取值可正可负. 问题2：设1P （1，1），2P (4,4), λ=1.当12PP PP λ=时，你能求出点P的坐标吗（引出课题）[说明]问题2是由共线三点中的两点坐标和定比λ的值求第三点坐标，本题给出的点具有一定的特殊性，这样便于学生利用数形结合思想猜出结果，尝试成功的快乐. 二、学习新课 1．定比分点公式一般地，设点P 1（),11y x ，),(222y x P ，点P 是直线 21P P 上任意一点，且满足 12PP PP λ=，求点P 的坐标.解：由12PP PP λ= ，可知{)()(2121x x x x y y y y -=--=-λλ，因为λ≠-1， 所以⎩⎨⎧++=++=λλλλ112121x x x y y y ，这就是点P 的坐标.师生通过上面的结论共同解决（一）中的问题2.[说明]此例题的结论可作为公式掌握，此公式叫线段21P P 的定比分点公式. 2．小组交流（1）定比分点公式中反映了那几个量之间的关系当λ=1时，点P的坐标是什么 （2）满足式子12PP PP λ=的点P 称为向量 12PP 的分点.思考：上式中正确反映 P 1，P ，2P 三点位置关系的是（ ） A 、 始→分，分→终.B 、始→分，终→分.C 、终→分，分→始 （3）关于定比λ和分点P 叙述正确的序号是1）点P 在线段21P P 中点时，λ=1;2）点P 在线段21P P 上时，λ≥0 3）点P 在线段21P P 外时，λ﹤0; 4）定比λR ∈[说明]由定比分点公式可知λ=1 时有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121x x x y y y ，此公式叫做线段21P P 的中点公式. 此公式应用很广泛.3．例题辨析例1、已知平面上A 、B 、C 三点的坐标分别为A （),11y x ， ),(22y x B ， ),(33y x C ，G 是△ABC 的重心，求点G 的坐标.解：由于点G 是△ABC 的重心，因此CG 与AB 的交点D 是AB 的中点，于是点D 的坐标是（2,22121y y x x ++）. 设点G 的坐标为),(y x ，且2CG GD =则由定比分点公式得 ⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=21222122213213x x x x y y y y ，整理得 ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=3332121x x x x y y y y 这就是△ABC 的重心G 的坐标.[说明]本题难度不大，但综合性却比较强.不仅涉及到定比的概念，而且用到了中点公式、定比分点公式.（2）此结论可作为三角形重心的坐标公式.例2、)15,12(),0,3(),5,2(21P P P - 且有12PP PP λ=求实数λ的值.解1： 由已知可求 1(10,10)PP =，2(15,15)PP λλ=-- 故10=λ .（-15）， 所以定比λ=-32.解2： 因为12PP PP λ=，所以P 1，P ，2P 三点共线，由定比分点公式得12=λλ+-⨯+1)3(2 解出实数λ=-32.解3：由图形可知点P 在线段21P P 外，故λ﹤0 ，又21PP PP = 32，所以λ=-32 .[说明] 本题已知三点坐标求定比λ的值，学生往往偏爱第一种解法；解法二是定比分点公式的一个应用，其前提是三点共线，代公式时要注意始点、终点、分点坐标的位置；解法三是求定比λ的有效方法，简洁方便，鼓励学生大胆去尝试.三、演练反馈，巩固知识1设12PP PP λ= ，21P P PPλ'= ，则下列正确的是（ ） （A ）λλ'= （B ）λλ'=- （C ） 1λλ=' （D ）1λλ=-'2、△ABC 中，A （2，3），B （-3，4），重心G （-)34,32，求C 点的坐标.3、已知：A （3，-1），B （-4，-2），点P 在直线AB 上，且2AP =3BP ，求P 点坐标.四、知识梳理，提升思维1知识与技能小结：（1）主要的知识点有定比λ的概念，中点公式、定比分点公式，及定比分点公式的多元化表示.（2）主要的应用有定比λ的意义与范围，三点共线问题，三角形重心公式及综合应用.2 学生的体会和感悟：对本节学习过程的认识、理解和体会；提出新的疑点和问题.五、作业布置，课后探究 1、填空题（1）已知三点A 、B 、C 满足AB =2BC ，设1AC CB λ=2BA AC λ=则=•21λλ（2）△ABC 中，A （1，2），B （-2，3），C （4，-1），D 为BC 中点，且 3= ，则G 点坐标是 2、选择题（1）若 2143PP P -=，则下列各式中不正确的是（ ） （A ） 12P P =P P 131 （B ）P P 1234= （C ） 2113P P P -= （D ）1224P PP =(2) 设点P 是12PP 反向延长线上任意一点且12PP PP λ=，则实数λ的范围是（ ）（A ）（-∞，0） （B ）（—∞，-1） （C ）（-1，0） （D ）［-1，0)3、解答题（1）△ABC 中，已知A （3，1），AB 的中点D （2，4），△ABC 的重心G （3，4），求B 、C 两点的坐标.（2）已知设1P （3，2），2P (-8,3) , P （12，y ），若12PP PP λ=，求λ与y 的值.。

定比分点公式证明过程
标题，定比分点公式的证明过程。

在数学中，定比分点公式是一个非常重要的定理，它用于确定一条线段上的任意一点与两个端点的比例关系。

这个定理的证明过程非常有趣，让我们来看看它是如何被证明的。

首先，我们假设有一条线段AB，我们要找到一点P，使得AP与PB的比例为m:n。

我们将这个比例表示为m/n。

接下来，我们假设P点的坐标为(x, y)，A点的坐标为(x1,
y1)，B点的坐标为(x2, y2)。

根据定比分点公式，我们有以下关系式：
x = (mx2 + nx1) / (m + n)。

y = (my2 + ny1) / (m + n)。

现在，让我们来证明这些关系式。

首先，我们知道P点与A点的横坐标的比例为m:n，即(x x1) / (x2 x1) = m/n。

解方程可得x = (mx2 + nx1) / (m + n)。

同理，P点与A点的纵坐标的比例也为m:n，即(y y1) / (y2 y1) = m/n。

解方程可得y = (my2 + ny1) / (m + n)。

因此，我们得到了点P的坐标与m:n的比例关系，证明了定比分点公式。

通过这个证明过程，我们可以清楚地看到定比分点公式是如何被推导出来的。

这个定理在数学和几何中有着广泛的应用，它帮助我们理解线段上点的比例关系，为我们解决实际问题提供了重要的数学工具。

1 ∵ | AP | | AB | ， 3
又A（-1，6），B（3，0），
1 3 1 2 x 1 3 1 1 2 λ = 时， 2 1 6 0 y 2 4 1 1 2
设P（x，y），则由定比分点坐标公式得
1 1 3 7 4 x 1 3 1 1 4 λ = 时, 1 4 6 0 y 4 8 1 1 4
思维启迪
（1）利用向量的夹角公式求解；
（2）先把c·d化简整理成Asin(ωx+φ )+B的形成，再 利用角x的范围求最大值； （3）先化简f(x)=Asin(ωx+φ )，再设m的坐标，按平 移公式理顺关系求解. π 解 （1）∵x= , 4 ∴a= 6 ， 2 ）,b=(0, 2 ), （ 2 2 2 2 1 则a·b= （ 6 ， 2 ） （ 0， ） , · 2 2 2 2 a· b cos〈a，b〉= |a|· |b|
1 , 2 2 2· 2 1 2
［1分］
［3分］
π ∴向量a、b的夹角为 . 3
［4分］
（2）c·d=(sin x,cos x)·(sin x,sin x) =sin2x+sin xcos x
1 cos 2 x sin 2 x 1 1 (sin 2x-cos 2x) 2 2 2 2 π 1 2 = sin(2x) 4 2 2 π π π 3π ∵x∈［0, ］,∴ 2 x . 2 4 4 4 π π 3π 当2x- ,即x= 时， 4 2 8 2 1 c·d取最大值 . 2
λ =1 P为中点 内分点
λ >1 在中点与P2 之间
（2）线段定比分点坐标公式 设点P分有向线段 P P 所成的比为λ ，即 P P PP ， 1 2 1 2 x1 x2 并且P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)，则x= 1 ,y= y1 y2 1 (λ ≠-1)，特别地，当P(x,y)是 P P 的中点时， 1 2 x1 x2 y1 y2 有x= ,y= .2 2

线段的定比分点与平移
高三备课组
一、基础知识
1、 线段的定比分点
（1）定义
设P1,P2是直线L上的两点，点P是L上不同 于P1,P2的任意一点，则存在一个实数 ， P 使p1 p pp ， 所 2 叫做点P分有向线段 1P 2 成的比。
0 ；当点P在线 当点P在线段 P 上时， 1P 2 <0 段 P1 P2 或 P2 P1 的延长线上时，
（2）定比分点的向量表达式：
点P分有向线段 P 所成的比是 ，则 1P 2 1 OP OP1 OP2 1 1 （O为平面内任意点）

（3）定比分点的坐标形式
x1 x 2 x 1 y y 2 y 1 1
,

（4）中点坐标公式
当 =1时，分点P为线段的中点，即有
练习：
若直线x+2y+m=0，按向量a 1,2平移后与圆C：
x 2 y 2 2x 4 y 0
相切
则实数m的值等于
例5．是否存在这样的平移，使抛物线： y x 2 平移后 过原点，且平移后的抛物线的顶点和它与 x 轴的两个 交点构成的三角形面积为 1 ，若不存在，说明理由；若 存在，求出函数的解析式。 例4．设函数
x1 x y y 1 x2 2 y2 2
ABC 的重心坐标公式： （5）
x A x B xC x 3 y A y B yC y 3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有 点按照同一方向移动同样长度，得到图形 F’ ， 我们把这一过程叫做图形的平移。
A(4,1), B(3,4), C (1,2) ， BD 是角 ABC 的平分 线，求点D的坐标及BD的长。

2 + 5λ −1 + 3λ k − + 1 = 0 ⇒ (5k − 2)λ = −2k + 2 1+ λ 1+ λ
>0
点不能与B点重合 点重合， QP点不能与 点重合，所以 5k − 2 ≠ 0
2k + 2 2 ∴λ = − > 0得 − 1 < k < 5k − 2 5
进行平移， 6.将函数 y = − x 进行平移，使得到的图象与原函数的 图象的两交点关于原点对称.求平移后图象的解析式. 图象的两交点关于原点对称.求平移后图象的解析式.
3.三角形重心公式及推导 三角形重心公式及推导 x1 + x 2 + x3 y1 + y 2 + y 3 三角形重心公式： , ) 三角形重心公式： ( 3 3
二、平移及平移公式 1.图形平移：设 F 是坐标平面内的一个图形，将 F 上 图形平移： 是坐标平面内的一个图形， 图形平移 所有的点按照同一方向移动同样长度(即按向量 所有的点按照同一方向移动同样长度 即按向量 a 平 移)，得到图形 F`，我们把这一过程叫做图形的平移。 ， ，我们把这一过程叫做图形的平移。 r 2.平移公式：点 P ( x, y ) 按向量 a = ( h, k ) 平移到 P′ ( x', y' ) 平移公式： 平移公式
一、线段的定比分点 1.定义 设 P 、P2 是直线 l 上的两点 点 P 是 l 上不同于 定义:设 1 上的两点, 定义 uuu r uuur P 、P2 的任意一点,则存在一个实数 λ 使 P P = λ PP2 , 1 1 uuuu r λ 叫做点 P 分有向线段 P P2 所成的比.(如图) 1
r r r 例 2 设函数 f ( x) = a ⋅ b ,其中向量 a = (2 cos x ,1) , 其中向量 r b = (cos x, 3 sin 2 x ), x ∈ R .

《我爱这土地》中写“为什么我的眼里常含泪水”，上文结尾也写到了“流泪”，简要分析“眼泪”背后两位作者思想感情的异同。 3、文中的语言富有表现力，请结合句中加点的词语作简要分析。 一阵沙尘扑面而来，豆大的雨点砸了下来，劈头劈脸，欢笑的人群直往外冲。 ? 4、文
章第④段的“对我来说，去圆明园是一种凭吊，一种拜谒，甚至是一种提醒。”简要说说作者要“凭吊、拜谒”什么？ “提醒”什么呢？ 5、简要分析第⑤段中划线句在文中有什么作用？ ? 6、请你为圆明园遗址准备一条宣传语，要能揭示遗址给人的警示。（不超过20字，至少用一种
修辞手法） ? 参考答案： 1、A 理由：用拟人手法，容易引起读者的注意；更能表达作者对造成这种现象的悲痛心情（主题）。 2、相同点：都有对祖国的深切的爱。 不同点：艾青是目睹山河破碎、人民涂炭的现实，心中的痛苦。 本文作者是因为部分国人不知铭记历史而十分伤心、
难过。 3、“扑”表现风来得猛，“砸”表现雨下得大，这样写更能突出作者对人们不理解废墟价值的一种愤怒与悲哀。（言之有理，可酌情给分） 4、凭吊、拜谒无数在此长眠的死难者（中华民族屈辱的历史） 提醒自己不忘历史的耻辱，不能让悲剧重演。（意同即可） 5、一方面突
（5）ABC 的重心坐标公式：

x

y

xA yA

xB
3 yB

xC yC

3
2、平移
（1）图形平移的定义
设F是坐标平面内的一个图形，将图上的所有 点按照同一方向移动同样长度，得到图形F’， 我们把这一过程叫做图形的平移。
（2）平移公式
设P(x,y)是图形F上任意一点，它在平移后图形上的
起来，用极低的声音问：“老师，我可以带馒头吗？”一阵其实并没有恶意的笑声刺激着女孩，她的脸通红通红的，低着头默默地坐下，眼泪沿着脸颊流了下来。李老师走过去，抚摸着她的头说：“你放心，可以带馒头的。” ③出发的前一天，女孩子拿着饭票在学校食堂买了六个馒头，

定比分点公式的详细讲解
比分点公式是一种用于判断比赛结果的数学模型，它能够通过参考各项指标的权重来计算比赛的得分。

这个公式的目的是为了提供一个客观评估比赛结果的方法，以便更准确地判断比赛的胜负。

比分点公式通常包括多个指标，如进球数、控球率、射门次数、传球成功率等。

每个指标都有一个权重，代表着其对比赛结果的影响程度。

这些权重可以根据比赛的特点和重要性进行调整，以反映出不同指标在比赛中的重要程度。

在计算比分点时，需要将每个指标的数值乘以其对应的权重，并将所有指标的加权值相加，得出最终的比分点。

比分点越高，代表该队在比赛中表现越好，取得了更好的成绩。

需要注意的是，比分点公式只是一种参考方法，它并不能完全代表比赛的真实结果。

比赛结果受到多种因素的影响，包括球员的技术水平、战术安排、运气等。

因此，在使用比分点公式时，需要结合实际情况进行综合分析，不能仅仅依靠公式的结果来判断比赛的胜负。

比分点公式在足球比赛中得到了广泛应用，它可以帮助球队和教练员分析比赛结果，找出自己的不足之处，并进行调整和改进。

同时，比分点公式也可以用于评选最佳球员、最佳进球等个人奖项，为评判和表彰球员的表现提供依据。

比分点公式是一种用于评估比赛结果的数学模型，它通过加权计算各项指标的数值来得出比赛的得分。

尽管它不能完全代表比赛的真实结果，但它可以作为一种参考方法，帮助球队和教练员进行比赛分析和改进。

通过合理调整权重和指标，比分点公式可以更好地反映比赛的胜负。

平面向量分点定比平面向量分点定比平面向量是数学中的一个重要概念，它可以用来描述平面上的各种运动和变化。

在平面向量中，分点定比是一个常见的概念，它可以帮助我们计算向量的长度和方向，从而更好地理解向量的性质和应用。

什么是分点定比？分点定比是指在平面向量中，将一个向量分成两个部分，使得这两个部分的长度之比等于给定的比例。

具体来说，如果有向量AB和一个比例k，那么我们可以在向量AB上找到一个点C，使得AC和CB的长度之比等于k。

这个点C就是向量AB的分点。

如何计算分点？要计算向量的分点，我们可以使用向量的坐标表示法或向量的几何表示法。

具体来说，如果我们知道向量AB的坐标表示(x1,y1)和(x2,y2)，以及分点的比例k，那么我们可以使用以下公式计算分点的坐标表示(x,y)：x = (kx2 + x1) / (k+1)y = (ky2 + y1) / (k+1)如果我们使用向量的几何表示法，那么我们可以在向量AB上找到一个点C，使得AC和CB的长度之比等于k。

具体来说，我们可以使用以下步骤计算分点：1. 计算向量AB的长度，即|AB| = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。

2. 计算分点C到点A的距离，即|AC| = k|AB| / (k+1)。

3. 计算向量AC的方向，即向量AB的方向加上向量AC的方向。

4. 根据向量AC的方向和长度，计算出分点C的坐标表示。

分点定比的应用分点定比在数学中有着广泛的应用，特别是在向量的计算和几何问题中。

例如，我们可以使用分点定比来计算向量的长度和方向，从而更好地理解向量的性质和应用。

此外，分点定比还可以用来解决平面几何中的各种问题，例如求解三角形的重心、垂心和外心等。

总结分点定比是平面向量中的一个重要概念，它可以帮助我们计算向量的长度和方向，从而更好地理解向量的性质和应用。

在计算分点时，我们可以使用向量的坐标表示法或向量的几何表示法。

分点定比在数学中有着广泛的应用，特别是在向量的计算和几何问题中。

定比定比分点公式不仅在解析几何中广泛应用，而且在有些代数或立体几何问题中若用定比分点公式，常可以化繁为简,化难为易,收到事半功倍的效果,。

下面简要举例说明定比分点公式的应用 一、在解析几何中的应用例1．已知点P （2，-3），Q （4，1），要使直线ax+y+2=0与线段PQ 有交点，求实数a 的取值范围. 解：设交点为A （x ，y ），点A 分线段PQ 为两部分之比为λ，因A 为内分点，所以λ≥0，则有⎪⎩⎪⎨⎧++-=++=λλλλ13142y x ，因点A(x ，y)在直线ax+y+2=0上， 所以，02131)42(=+++-+++λλλλa 解得，3421+-=a aλ，又因为 λ≥0所以，43-<a ≤21 而当直线过点Q 时，a=43-， 故，a ∈[43-，21]例2．一直线顺次交双曲线12222=-by a x ，及渐近线于A 、B 、C 、D 四点，求证：||=||解：设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）则直线BC 的参数方程为（不含C 点）⎪⎩⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x （λ为参数） 将其代入双曲线方程整理得0)1()1(2)1(2212212212212222222=--+--+--bya xb y y a x x b y a x λλ （1）因为B 、C 在渐近线上，所以0221221=-b y a x ，0222222=-bya x代入方程（1）并整理得：01)1(22212212=+---by y a x x λλ 设DC=1λAC=2λ，则λ1·λ2=1DCAC=1 ∴·BA =·即（+）·BA =·（+） ∴·=· ∴= 即 ||=|| 二、在代数中的应用例3．已知a 、b 、m ∈R +，且a ＜b ，求证：bam b m a >++ 证明：∵mb m a ++=bm bm b a +⨯+11∴设A （b a ，y 1）、B （1，y 2），则P （m b m a ++，y 3），分线段AB 的比λ=0>bm ， 知P 在AB 线段内， 从而111<+⨯+<bm bmb a b a ， 故b a m b m a >++ 例4．求函数11+-=x x e e y 的反函数的定义域解：只需求函数y 的值域，因为y=xx ee +⋅+-111令y 1=-1，y 2=1，λ=e x＞0 所以y 1＜y ＜y 2故所求函数的定义域为（-1，1）例5．解不等式312322133<++++<x x x x 解：设y 1=21，y 2=3，y=123233++++x x x x ，则0)15(2531232321123223333>++=++++--++++=x x x x x x x x x x x λ 解得{x|x ＜35-或x ＞0} 三、在立体几何中的应用例6．把一个棱锥用平行于底面的平面截成棱台，使棱台上下底面积比为1：2，求截面的位置 解：设截平面与棱锥的高的交点P ，则P 分棱锥的高的比为λ，满足λλ++=1210S S S ，其中S 1，S 2分别为棱锥的上、下底面的面积，S 0为截面的面积。

答案：A
)
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第五章
平面向量
4．(教材P1352题改编)将点A(－4,3)按向量a＝(5，－2)
平移后的坐标是 ( A．(9，－5) C．(1,1) B．(－9,5) D．(－8,1) )
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解析：按向量平移公式计算得知应选C.
为________．
答案：y＝log2(x＋6)＋4
)
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第五章
平面向量
5．将函数 y＝2sin2x 的图象按向量 a 的方向平移，得到 π 函数 y＝2sin(2x＋ )＋1 的图象，则向量 a 的坐标为( 3 π A．(－3，1) π B．(－6，1) )
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第五章
平面向量
2．平移公式 设 P(x，y)为图形 F 上任一点，它按向量 a＝(h，k)平移 后的图形 F′上对应点为
x′＝x＋h P′(x′， y′)， 则有 y′＝y＋k
，
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第五章
平面向量
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第五章
平面向量
该类问题要正确地选取线段的起点与终点，应用定比

线段的定比分点
教学目标：⑴明白得定比分点的概念，能依照线段长度求比值λ；
⑵把握定比分点坐标公式，中点坐标公式的推导及应用。

教学回忆：
一．定比分点的概念
1．设直线l 上两点P P P ,,21是l 上不同于21,P P 的任意一点，若存在一个实数λ，使 ，则λ叫做点P 分21p p 所成的比。

2．当P 是线段21P P 的内分点时，=λ ；当P 是线段21P P 的外分点时，=λ 。

例题1⑴若点P 分AB 所成比为5
2，求点A 分PB 所成的比λ； ⑵若点P 分AB 所成比为2-，求点B 分AP 所成的比λ。

二．定比分点坐标公式：
3．设P P P ,,21的坐标分别为()()()y x y x y x ,,,,,2211，则=x ，=y ， 当1=λ时，即点P 为线段21P P 的中点，则=x ，=y 。

4．设P P P ,,21的坐标分别为()()()y x y x y x ,,,,,2211，则P 分21p p 所成的比=λ = 。

例题2见书本P116
⑶点P 是AB 的内分点，()()3,4,4,0B A ，且点P 分AB 所成的比与点B 分PA 所成的
比互为相反数，求P 点的坐标。

三．定比分点的应用：
例题3 ⑴已知()()()3,5,0,4,8,0--C B A ，点D 分AB 的比为
3
1，E 在BC 上，且使△BDE 的面积是△ABC 面积的一半，求点E 的坐标；
⑵*已知()()()4,2,1,3,4,1C B A -，求△ABC 中∠A 的平分线AD 的长。

定比分点的定义及求解方法在几何学中，比分点是指将一条线段分成两个比例相等的部分的点。

而定比分点则是指已知线段两端点和比例，求这个比例所对应的点的位置。

定比分点的定义定义一：已知线段AB，C是线段AB的任意一点，比例为m:n，则点D就是线段AB的定比分点，当且仅当AD:BD=m:n。

其中，当m=n=1时，点D是线段AB的中点。

定义二：在平面几何中，如果已知线段AB的长度为d，而且已知点D在线段上，线段在D点分割的比例为m:n，则当且仅当AD:BD=m:n时，D称为线段AB的定比分点。

定比分点的求解方法1.按照比分点的定义直接求解我们可以直接根据定比分点的定义来求解，通过构建等式来解出指定的比例段长度，最终确定定比分点的位置。

比如在定义一中，我们有AD:BD=m:n，因此可以得到AD=m/(m+n)×AB,BD=n/(m+n)×AB。

通过这个公式，我们可以根据已知的数据计算出定比分点的位置。

2.使用向量法求解向量法可以被用来求解定比分点的位置。

首先将线段AB表示为向量a和向量b，那么使向量BD=θa，则向量AD=(1-θ)b。

因此，我们有AD/AB=(1-θ)，BD/AB=θ。

同时由于AD/BD=m/n，我们可以得到m/(m+n)=(1-θ)/θ，解出θ=(n/ (n+m))，从而求出点D的位置。

3.使用相似三角形法求解在图形中，我们可以将三角形ADB与三角形CDF进行相似处理。

因此，我们有AD/AB=DF/CF=m/n，由此得到DF=CF×m/n，那么点D就可以表示为点C向量加上DF×向量AB的一部分。

总结以上就是定比分点的定义及求解方法，当然还有其他的方法可以求解定比分点的位置，比如重心法和割分线法等，根据不同的问题，我们可以使用不同的方法来求解定比分点。

无论是哪一种方法，都需要运用相应的数学知识和技巧，才能确保求解结果的准确性。

定比定比分点公式定比是指两个比例的比值在一定条件下保持不变的关系。

定比分点公式则是用来求解定比的分点的公式。

下面我们将详细讲解定比和定比分点公式。

【定比的定义】定比是指两个比例的比值在一定条件下保持不变的关系。

设a:b=c:d，其中a、b、c、d都是实数，且b、d不为零。

若a、b、c、d之间满足这一条件，我们称之为定比关系，记作a:b∷c:d。

在定比关系中，a和b称为第一个比例的两个比例项，c和d称为第二个比例的两个比例项。

【定比的性质】1.定比关系的比例项间的乘积相等，即a×b=c×d。

证明：设 a : b = c : d，则根据比例的定义，有 a/b = c/d。

两边同乘以bd，得到 ad = bc。

所以 ab = cd。

因此，定比关系的比例项间的乘积相等。

2.定比关系的两个比例可以用一个比值来表示。

证明：设 a : b = c : d，则根据性质 1，有 a/b = c/d。

两边交叉相乘，得到 ad = bc。

所以，比值 a/b 或 c/d 可以表示定比关系的两个比例。

在定比关系a:b∷c:d中，如果要求确定定比关系的分点e，也就是要求找到一个数x，使得a:b=x:e和c:d=x:(1-e)，则可以使用定比分点公式进行计算。

定比分点公式如下：e=[a/(a+b)]×(1-d/c)【定比分点公式的证明】设x=a/(a+b)，则1-x=1-a/(a+b)=b/(a+b)。

根据定比分点公式的条件，我们有：x:e=a:b带入x=a/(a+b)，得到：a/(a+b):e=a:b两边交叉相乘，得到：ae = ab同理，带入1-x=b/(a+b)，有：c/(c+d):(1-e)=c:d交叉相乘，得到：ce = cd由定比的性质可知，ab = cd，所以 ae = ab = cd = ce。

所以我们可以得出：ae = ce移项化简，得到：ae - ce = 0根据因式提取法，可将上式化简为：e(a-c)=0由于e≠0，所以我们可以得到a-c=0，即a=c。