向量的定比分点公式的应用_蔡玉书

定比分点坐标公式在解题中的应用河北 陈庆新许多同学可能已经能够熟练地应用有向线段的定比分点坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 及定比的坐标公式λ＝x －x 1x 2－x ，求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比了．事实上用这两个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．下面举例说明其解题中的应用． 一、在几何问题中的应用（一）关于公式的正用例1． 证明：三角形内角平分线分其对边之比等于夹这个角的两边长度之比．证明：以ΔOAB 的顶点O 为原点，∠AOB 的平分线OC 所以直线为x 轴，建立平面直角坐标系如图所示，设|OA|＝m ，|OB|＝n ，∠AOC ＝∠COB ＝θ，则A(m cos θ，m sin θ)，B(n cos θ，－nsin θ)，设C 点分−→−AB 的所成的比为λ，由定比分点的坐标公式：m sin θ－λn sin θ1＋λ＝0，解之得，λ＝m n ，即|AC||CB|＝|OA||OB|．点评：本例的结论在解题中有着很多的应用。

请看下面的例子。

例2．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(－1，1)，B(3，1)，C(2，5)，角A 的内角平分线交对边于D ，则向量AD −−→的坐标为 ．解析：容易计算|AB −−→|＝4，|AC −−→|＝5。

根据三角形内角平分线的性质知：ABAC＝BD DC ，于是可知点D 分有向线段BC −−→所成的比为45，从而由定比分点坐标公式可求得点D 的坐标（239，259），于是AD −−→＝（329，169）．例3．已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线把△ABC 的面积分成4∶5两部分，求点P 的坐标．A C OBx y解析：由题意得：ABCAPQ S S ∆∆＝2⎪⎭⎫ ⎝⎛AB AP ＝49．所以AP AB ＝23，即−→−AP ＝2−→−PB ，λ＝2，设P(x ，y )，则x ＝1＋2×41＋2＝3，y ＝2＋2×11＋2＝43．所以P 点的坐标为(3，43)．例4．已知在△ABC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，且A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)，求△ABC 的内心坐标．解析：设I 为△ABC 的内心，AD 为∠A 的平分线，则AB AC ＝BD DC ＝cb ，∴点D 分−→−BC 所成的比为c b ，∴由定比分点的坐标公式可求得D 点的坐标：x D ＝x 2＋c b ×x 31＋c b ＝bx 2＋cx 3b ＋c ，y D ＝by 2＋cy 3b ＋c．又AI ID ＝AB BD ＝AC CD ，∴AI ID ＝AB ＋AC BD ＋CD＝b ＋c a ，即点I 分−→−AD 所成的比b ＋c a ． ∴x I ＝acb c b cx bx a c b x ++++⋅++1321＝ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，同理y I＝ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c ．∴△ABC的内心坐标为(ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c)．（二）公式的逆用例5．已知一次函数y ＝－mx －2图象与线段AB 有交点，若A(－2，3)、B(3，2)，求实数m 的取值范围．解析：设一次函数的图象直线l 交AB 于点P(x ，y )且−→−AP ＝λ−→−PB (λ≥0)，当λ＝0时，直线过A 点，则由定比分点坐标公式知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=λλλλ123132y x ，又因P 在直线ACBDIl 上，故m ·－2＋3λ1＋λ＋3＋2λ1＋λ＋2＝0，解得：λ＝2m －53m ＋4≥0，从而m ≥52或m ＜－43．又当点P 与点B 重合时符合题意，所以将B(3，2)代入直线l 的方程，求得m ＝－43．故m 的取值范围为m ≥52或m ≤－43．本例可以推广为：已知定点P 1（x 1，y 1）、P 2(x 2，y 2)及直线l ：A x ＋B y ＋C=0，设直线l 与直线P 1P 2相交于点P ，求证：点P 分有向线段12PP −−→所成的比λ＝－A x 1+B y 1+C A x 2+B y 2+C ．略解：设点P 分有向线段12PP −−→所成的比λ，由定比分点坐标公式可求得点P 的坐标为：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，将点P 的坐标代入直线l 的方程：A 121x x λλ++＋B 121y y λλ++＋C=0，整理得：（A x 1＋B y 1＋C ）＋λ(A x 2＋B y 2＋C)=0，解之得：λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ．点评：若利用这个结论来解答一下例5，就显得非常简捷：设点P(x ，y )分有向线段AB −−→所成的比为λ，则λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ＝－－2m ＋3＋23m ＋2＋2＝2m －53m ＋4，因为P 为内分点，所以λ＝2m －53m ＋4≥0，解之得：m ≥52或 m ＜－43，当直线l 过点B 时，有m ＝－43．综上知：m ≥52或m ≤－43． 二、在代数问题中的应用 （一）、解不等式例6．解不等式2－x1＋3x≥1．解析：令y ＝2－x 1＋3x －1≥0，则x ＝1－y 4＋3y＝14＋3y 4×(－13)1＋3y 4，且y ≥0，于是此问题可转化为：数轴上以P 1(14)为起点，P 2(－13)为终点，定比λ＝34y ≥0时，求分点P 的坐标x 的范围问题．由λ＝34y ≥0知点P 为有向线段−→−21P P 的内分点，或与点P 1重合，故应有－13＜x ≤14．例7． 解不等式1＜x 2－2x －1x 2－2x －2＜2．解析：在数轴上取P 1，P ，P 2点依次表示1，x 2－2x －1x 2－2x －2，2，由−→−P P 1＝λ−→−2PP 得λ＝1x 2－2x －3，因为P 内分有向线段−→−21P P ，所以λ＞0，即x 2－2x －3＞0，解之即得原不等式的解集为：{x |x ＜－1或x ＞}3． （二）、求函数的值域例8． 求函数y ＝1＋3x ＋11－x ＋1的值域．解析：令λ＝－x ＋1，则λ≤0，依题意有y ＝－1＋λ(－3)1＋λ，根据上式可知λ为点P(y )分有向线段−→−21P P 所成的比，其中P 1(1)、P 2(－3)，于是函数y 为分点P 的坐标，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ＝y －1－3－y ≤0，解之得y ＜－3或y ≥1．即原函数的值域为(－∞，－3)∪[1，＋)∞．例9．求函数y ＝e x －1e x ＋1的反函数的定义域．解析：问题等价于求原函数的值域．令λ＝e x ＞0，P 1(－1)，P(y )，P 2(1)，则y ＝e x －1e x ＋1＝－1＋e x ·11＋e x ＝－1＋λ1＋λ，∵λ＞0，∴P 为有向线段−→−21P P 的内分点，∴－1＜y ＜1，故原函数的值域为(－1，1)，即其反函数的定义域为(－1，1)．例10．求函数y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1(1＜x ＜)3的值域．解析：将原函数式变形为：y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1＝－1＋(x ＋1x )·11＋(x ＋1x )，设P 1(－1，0)、P 2(1，0)，λ＝x ＋1x ，其中1＜x ＜3．由函数λ＝x ＋1x 的单调性可求得，2＜λ＜103．又当λ＝2时，y ＝13；λ＝103时，y ＝713，所以所求函数的值域为(13，713)． （三）、求函数的解析式例11．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过点(－1，0)且x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，对一切实数x 都成立，求f (x )．解析：因为当x ∈R ，总有x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，为此不妨设P 1(x )、P[f (x )]、P 2(x 2＋12)为数轴上三点，则−→−P P 1＝λ−→−2PP ，其中λ≥0，于是由定比分点坐标公式得： f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ，又因为y ＝ f (x )经过点(－1，0)，代入上式得，0＝－1＋λ1＋λ，解得λ＝1，再将λ＝1代入f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ得，f (x )＝ 14x 2＋12x ＋14．（四）、用于处理三角问题例12． 证明：y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．证明：①当sin x ＝1时，y ＝3∉(13，3)；②当sin x ＝－1时，y ＝－1∉(13，3)；③当sin x ≠±1时，将P(y )视为数轴上的点A(13)与B(3)的分点，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ，得λ＝y －133－y ＝sin x ＋13(sin x －1)＜0，即点P(y )为有向线段−→−AB 的外分点，故有y ∉(13，3)．综上可知，y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．（六）、用于解决数列问题数列是定义在正整数集上的特殊函数．而等差数列的通项公式为：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )为变量n 的一次函数(d ≠0)，其图象为直线．故而有A(m ，a m )、B(n ，a n )、C(p ，a p )三点共线(其中a m 、a n 、a p 分别为项数是m 、n 、p 的数列中的项)．为此我们把C 视为−→−AB 的一个定比分点，则有λ＝p －mn －p，a p ＝a m ＋λa n1＋λ． 例13 ．在3与19之间插入31个数，使它们成等差数列，求通项公式． 解析：设通项为a n ，令点P(n ，a n )分A(1，a 1)，B(33，a 33)两点连成的线段所成的比为λ，则有λ＝n －133－n ，又由题意，a 1＝3，a 33＝19，于是有a n ＝a 1＋λa 331＋λ＝3＋n －133－n ×191＋n －133－n ＝12n ＋52．即通项a n ＝12n ＋52．命题2． 设数列{ a n }是等差数列，S n 是数列的前n 项和，其中S P 、S m 、S n 满足λ＝p －m n －p (λ≠－1)，则S m m ＝S p p＋λS n n 1＋λ．例14． 设S n 是等差数列的前n 项和，已知S 10＝100，S 100＝10，求S 110． 解析：取λ＝110－10100－110＝－10，则S 110110＝S 1010＋λS 1001001＋λ ＝10010＋(－10)101001＋(－10) ＝－1，所以S 110＝－110．。

定比分点的向量公式及应用向量是在数学中广泛应用的一种重要概念。

在向量中，可以定义加法、减法和数量乘法等运算，这些运算规则以及向量的模、方向等性质，使得向量在数学、物理和工程等领域的应用中具有重要的意义。

在计算机科学和计算机图形学中，向量被广泛用于表示三维空间中的点、方向和位移等概念。

这些向量通常表示为[x,y,z]，其中x、y和z分别表示在三个坐标轴上的分量。

定比分点的向量公式可以用于计算两个点之间的中点、分点以及线段的长度。

假设有两个点A和B，它们的坐标分别为A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，我们可以使用如下的公式来计算两个点之间的中点：M=(A+B)/2其中M是点A和点B之间的中点，"+"表示向量的加法运算，"/"表示向量与标量的除法运算。

通过这个公式，我们可以计算出两个点之间的中点的坐标。

在计算两个点之间的分点时，可以使用类似的方法。

假设有一个分点P，它位于点A和点B之间的t比例处，我们可以使用如下的公式来计算分点的坐标：P=A+t*(B-A)其中t是一个介于0和1之间的比例值。

当t等于0时，分点P的坐标就是点A的坐标；当t等于1时，分点P的坐标就是点B的坐标。

通过改变t的值，我们可以在点A和点B之间找到任意位置的分点。

除了计算中点和分点之外，向量的长度也是一个重要的概念。

在三维空间中，向量的长度可以通过计算其模来获得。

一个向量的模定义为其各个分量的平方和的平方根。

对于一个三维向量V=[x,y,z]，其模的计算公式如下：V， = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)通过计算向量的模，我们可以获得向量的长度信息。

定比分点的向量公式在计算机图形学中有许多应用。

例如，在三维建模中，我们经常需要计算物体的表面上的点的位置和属性。

通过定比分点的向量公式，我们可以在物体的两个顶点之间找到任意位置的点，从而进行物体的细分或者其他形变操作。

此外，向量的线性插值也是一个重要的应用。

定比分点的向量式及其应用举例河北陈庆新课本上的例习题大都具有典型性，示范性与实用性等特点，仔细研究，深入挖掘其使用价值，一定会使我们受益匪浅．人教版高一数学(下)第五章107页例5是这样一个题目：如图1，−→−OA、−→−OB不共线，−→−AP＝t−→−AB(t∈R)，用−→−OA、−→−OB表示−→−OP．这道例题是在本章的第3节中学过的，它主要考查了我们对于向量加、减法及共线向量等知识，略解如下：−→−OP＝−→−OA＋−→−AP＝−→−OA＋t−→−AB＝−→−OA＋t(−→−OB－−→−OA)＝(1－t)−→−OA+t−→−OB．本例的结果揭示出点P在直线AB上的应满足的一个条件关系式，事实上也刻画出了直线AB的向量式方程．现在我们学完定比分点的内容后，再从另外的角度重新审视这道题目，是不是会有新的发现与认识呢？对本例的结果可作如下变形：−→−OP＝(1－t)−→−OA＋t−→−OB＝ttOBtOAt+-+-−→−−→−)1()1(＝ttOBttOA-+-+−→−−→−111，其中t≠1．令t 1－t ＝λ，则有−→−OP＝λλ+⋅+−→−−→−1OBOA(λ≠－1)，此式与定比分点的坐标公式结构一致，为此我们称其为：定比分点的向量式，其中λ为点P分有向线段−→−AB所成的比．特殊地，当λ＝1，即t＝12时，此时点P为线段AB的中点，有−→−OP＝2−→−−→−+OBOA(中点的向量公式)．又由−→−OP＝λλ+⋅+−→−−→−1OBOA＝11+λ−→−OA＋λ1+λ−→−OB，且发现11+λ＋λ1+λ＝1 若令m＝11+λ，n＝λ1+λ，则本例的结果−→−OP＝(1－t)−→−OA+t−→−OB可变形为：−→−OP ＝OABP图1m −→−OA +n −→−OB ，其中m ＋n ＝1，即A 、B 、P 三点共线的充要条件是：m ＋n ＝1．通过对上述例题的引申与变形，我们揭示出这样两个重要结论： (1)O 、A 、B 三点不共线，则P 、A 、B 三点共线的充要条件为：−→−OP ＝m −→−OA ＋n −→−OB ，m ，n ∈R ，且m ＋n ＝1；(2) O 、A 、B 三点不共线，点P 分有向线段−→−AB 所成的比为λ，则有−→−OP ＝λλ+⋅+−→−−→−1OBOA (λ≠－1)； 特殊地，当特殊地，当λ＝1，即t ＝12时，此时点P 为线段AB 的中点，有−→−OP ＝2−→−−→−+OBOA ． 事实上，我们发掘的上述结论颇具实用价值，在解题中有着广泛的应用，尤其是在处理有关几何图形中的多点共线或与线段的中点或定比分点有关的问题时，有着特有的优越性。

平面向量分点定比平面向量分点定比平面向量是数学中的一个重要概念，它可以用来描述平面上的各种运动和变化。

在平面向量中，分点定比是一个常见的概念，它可以帮助我们计算向量的长度和方向，从而更好地理解向量的性质和应用。

什么是分点定比？分点定比是指在平面向量中，将一个向量分成两个部分，使得这两个部分的长度之比等于给定的比例。

具体来说，如果有向量AB和一个比例k，那么我们可以在向量AB上找到一个点C，使得AC和CB的长度之比等于k。

这个点C就是向量AB的分点。

如何计算分点？要计算向量的分点，我们可以使用向量的坐标表示法或向量的几何表示法。

具体来说，如果我们知道向量AB的坐标表示(x1,y1)和(x2,y2)，以及分点的比例k，那么我们可以使用以下公式计算分点的坐标表示(x,y)：x = (kx2 + x1) / (k+1)y = (ky2 + y1) / (k+1)如果我们使用向量的几何表示法，那么我们可以在向量AB上找到一个点C，使得AC和CB的长度之比等于k。

具体来说，我们可以使用以下步骤计算分点：1. 计算向量AB的长度，即|AB| = sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)。

2. 计算分点C到点A的距离，即|AC| = k|AB| / (k+1)。

3. 计算向量AC的方向，即向量AB的方向加上向量AC的方向。

4. 根据向量AC的方向和长度，计算出分点C的坐标表示。

分点定比的应用分点定比在数学中有着广泛的应用，特别是在向量的计算和几何问题中。

例如，我们可以使用分点定比来计算向量的长度和方向，从而更好地理解向量的性质和应用。

此外，分点定比还可以用来解决平面几何中的各种问题，例如求解三角形的重心、垂心和外心等。

总结分点定比是平面向量中的一个重要概念，它可以帮助我们计算向量的长度和方向，从而更好地理解向量的性质和应用。

在计算分点时，我们可以使用向量的坐标表示法或向量的几何表示法。

分点定比在数学中有着广泛的应用，特别是在向量的计算和几何问题中。

定比分点坐标公式在解题中的应用河北 陈庆新许多同学可能已经能够熟练地应用有向线段的定比分点坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x 及定比的坐标公式λ＝x －x 1x 2－x ，求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比了．事实上用这两个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．下面举例说明其解题中的应用． 一、在几何问题中的应用（一）关于公式的正用例1． 证明：三角形内角平分线分其对边之比等于夹这个角的两边长度之比．证明：以ΔOAB 的顶点O 为原点，∠AOB 的平分线OC 所以直线为x 轴，建立平面直角坐标系如图所示，设|OA|＝m ，|OB|＝n ，∠AOC ＝∠COB ＝θ，则A(m cos θ，m sin θ)，B(n cos θ，－nsin θ)，设C 点分−→−AB 的所成的比为λ，由定比分点的坐标公式：m sin θ－λn sin θ1＋λ＝0，解之得，λ＝m n ，即|AC||CB|＝|OA||OB|．点评：本例的结论在解题中有着很多的应用。

请看下面的例子。

例2．已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(－1，1)，B(3，1)，C(2，5)，角A 的内角平分线交对边于D ，则向量AD −−→的坐标为 ．解析：容易计算|AB −−→|＝4，|AC −−→|＝5。

根据三角形内角平分线的性质知：ABAC＝BD DC ，于是可知点D 分有向线段BC −−→所成的比为45，从而由定比分点坐标公式可求得点D 的坐标（239，259），于是AD −−→＝（329，169）．例3．已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线把△ABC 的面积分成4∶5两部分，求点P 的坐标．A C OBx y解析：由题意得：ABCAPQ S S ∆∆＝2⎪⎭⎫ ⎝⎛AB AP ＝49．所以AP AB ＝23，即−→−AP ＝2−→−PB ，λ＝2，设P(x ，y )，则x ＝1＋2×41＋2＝3，y ＝2＋2×11＋2＝43．所以P 点的坐标为(3，43)．例4．已知在△ABC 中，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，且A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)、C(x 3，y 3)，求△ABC 的内心坐标．解析：设I 为△ABC 的内心，AD 为∠A 的平分线，则AB AC ＝BD DC ＝cb ，∴点D 分−→−BC 所成的比为c b ，∴由定比分点的坐标公式可求得D 点的坐标：x D ＝x 2＋c b ×x 31＋c b ＝bx 2＋cx 3b ＋c ，y D ＝by 2＋cy 3b ＋c．又AI ID ＝AB BD ＝AC CD ，∴AI ID ＝AB ＋AC BD ＋CD＝b ＋c a ，即点I 分−→−AD 所成的比b ＋c a ． ∴x I ＝acb c b cx bx a c b x ++++⋅++1321＝ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，同理y I＝ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c ．∴△ABC的内心坐标为(ax 1＋bx 2＋cx 3a ＋b ＋c ，ay 1＋by 2＋cy 3a ＋b ＋c)．（二）公式的逆用例5．已知一次函数y ＝－mx －2图象与线段AB 有交点，若A(－2，3)、B(3，2)，求实数m 的取值范围．解析：设一次函数的图象直线l 交AB 于点P(x ，y )且−→−AP ＝λ−→−PB (λ≥0)，当λ＝0时，直线过A 点，则由定比分点坐标公式知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++-=λλλλ123132y x ，又因P 在直线ACBDIl 上，故m ·－2＋3λ1＋λ＋3＋2λ1＋λ＋2＝0，解得：λ＝2m －53m ＋4≥0，从而m ≥52或m ＜－43．又当点P 与点B 重合时符合题意，所以将B(3，2)代入直线l 的方程，求得m ＝－43．故m 的取值范围为m ≥52或m ≤－43．本例可以推广为：已知定点P 1（x 1，y 1）、P 2(x 2，y 2)及直线l ：A x ＋B y ＋C=0，设直线l 与直线P 1P 2相交于点P ，求证：点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ＝－A x 1+B y 1+C A x 2+B y 2+C ．略解：设点P 分有向线段12P P −−→所成的比λ，由定比分点坐标公式可求得点P的坐标为：121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，将点P 的坐标代入直线l 的方程：A 121x x λλ++＋B 121y y λλ++＋C=0，整理得：（A x 1＋B y 1＋C ）＋λ(A x 2＋B y 2＋C)=0，解之得：λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ．点评：若利用这个结论来解答一下例5，就显得非常简捷：设点P(x ，y )分有向线段AB −−→所成的比为λ，则λ＝－A x 1+B y 1+CA x 2+B y 2+C ＝－－2m ＋3＋23m ＋2＋2＝2m －53m ＋4，因为P 为内分点，所以λ＝2m －53m ＋4≥0，解之得：m ≥52或 m ＜－43，当直线l 过点B 时，有m ＝－43．综上知：m ≥52或m ≤－43． 二、在代数问题中的应用 （一）、解不等式例6．解不等式2－x1＋3x≥1．解析：令y ＝2－x 1＋3x －1≥0，则x ＝1－y 4＋3y＝14＋3y 4×(－13)1＋3y 4，且y ≥0，于是此问题可转化为：数轴上以P 1(14)为起点，P 2(－13)为终点，定比λ＝34y ≥0时，求分点P 的坐标x 的范围问题．由λ＝34y ≥0知点P 为有向线段−→−21P P 的内分点，或与点P 1重合，故应有－13＜x ≤14．例7． 解不等式1＜x 2－2x －1x 2－2x －2＜2．解析：在数轴上取P 1，P ，P 2点依次表示1，x 2－2x －1x 2－2x －2，2，由−→−P P 1＝λ−→−2PP 得λ＝1x 2－2x －3，因为P 内分有向线段−→−21P P ，所以λ＞0，即x 2－2x －3＞0，解之即得原不等式的解集为：{x |x ＜－1或x ＞}3．（二）、求函数的值域例8． 求函数y ＝1＋3x ＋11－x ＋1的值域．解析：令λ＝－x ＋1，则λ≤0，依题意有y ＝－1＋λ(－3)1＋λ，根据上式可知λ为点P(y )分有向线段−→−21P P 所成的比，其中P 1(1)、P 2(－3)，于是函数y 为分点P 的坐标，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ＝y －1－3－y≤0，解之得y ＜－3或y ≥1．即原函数的值域为(－∞，－3)∪[1，＋)∞．例9．求函数y ＝e x －1e x ＋1的反函数的定义域．解析：问题等价于求原函数的值域．令λ＝e x ＞0，P 1(－1)，P(y )，P 2(1)，则y ＝e x －1e x ＋1＝－1＋e x ·11＋e x ＝－1＋λ1＋λ，∵λ＞0，∴P 为有向线段−→−21P P 的内分点，∴－1＜y ＜1，故原函数的值域为(－1，1)，即其反函数的定义域为(－1，1)．例10．求函数y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1(1＜x ＜)3的值域．解析：将原函数式变形为：y ＝x 2－x ＋1x 2＋x ＋1＝－1＋(x ＋1x )·11＋(x ＋1x)，设P 1(－1，0)、P 2(1，0)，λ＝x ＋1x ，其中1＜x ＜3．由函数λ＝x ＋1x 的单调性可求得，2＜λ＜103．又当λ＝2时，y ＝13；λ＝103时，y ＝713，所以所求函数的值域为(13，713)． （三）、求函数的解析式例11．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过点(－1，0)且x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，对一切实数x 都成立，求f (x )．解析：因为当x ∈R ，总有x ≤f (x )≤12(x 2＋1)，为此不妨设P 1(x )、P[f (x )]、P 2(x 2＋12)为数轴上三点，则−→−P P 1＝λ−→−2PP ，其中λ≥0，于是由定比分点坐标公式得： f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ，又因为y ＝ f (x )经过点(－1，0)，代入上式得，0＝－1＋λ1＋λ，解得λ＝1，再将λ＝1代入f (x )＝ x ＋λ·x 2＋121＋λ得，f (x )＝ 14x 2＋12x ＋14．（四）、用于处理三角问题例12． 证明：y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．证明：①当sin x ＝1时，y ＝3∉(13，3)；②当sin x ＝－1时，y ＝－1∉(13，3)；③当sin x ≠±1时，将P(y )视为数轴上的点A(13)与B(3)的分点，由定比的坐标公式：λ＝x －x 1x 2－x ，得λ＝y －133－y ＝sin x ＋13(sin x －1)＜0，即点P(y )为有向线段−→−AB 的外分点，故有y ∉(13，3)．综上可知，y ＝2sin x ＋12sin x －1的值不在区间(13，3)内．（六）、用于解决数列问题数列是定义在正整数集上的特殊函数．而等差数列的通项公式为：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )为变量n 的一次函数(d ≠0)，其图象为直线．故而有A(m ，a m )、B(n ，a n )、C(p ，a p )三点共线(其中a m 、a n 、a p 分别为项数是m 、n 、p 的数列中的项)．为此我们把C 视为−→−AB 的一个定比分点，则有λ＝p －mn －p，a p ＝a m ＋λa n1＋λ． 例13 ．在3与19之间插入31个数，使它们成等差数列，求通项公式．解析：设通项为a n ，令点P(n ，a n )分A(1，a 1)，B(33，a 33)两点连成的线段所成的比为λ，则有λ＝n －133－n ，又由题意，a 1＝3，a 33＝19，于是有a n ＝a 1＋λa 331＋λ＝3＋n －133－n ×191＋n －133－n ＝12n ＋52．即通项a n ＝12n ＋52．命题2．设数列{ an}是等差数列，S n是数列的前n项和，其中S P、S m、S n满足λ＝p－mn－p(λ≠－1)，则S mm＝S pp＋λS nn1＋λ．例14．设S n是等差数列的前n项和，已知S10＝100，S100＝10，求S110．解析：取λ＝110－10100－110＝－10，则S110110＝S1010＋λS1001001＋λ＝10010＋(－10)101001＋(－10)＝－1，所以S110＝－110．。

《空间向量定比分点坐标公式及应用》教学设计量P P 1、2PP 有何位置关系?结合定理1.4.1和定理1.4.6,引入空间向量定比分点的定义...定义 P 为向量→21P P 所在的直线上任意一点,点P 把向量→21P P 分成了两个共线向量→P P 1、→2PP ,如果→→≠02PP ,设→→=21PP P P λ,称P 为分向量→21P P 定比为λ的分点. 引入定义后,让学生理解两点: (1)P 位于向量→21P P 所在的直线上,但P 的位置是相当自由的;(2)向量→P P 1是→2PP 的λ倍,这里的λ也是相当自由的.与此同时,引导学生紧紧使用向量的方法来理解这个定义,还应该关注两个向量→P P 1、→2PP 的方向问题,于是提出问题4. 问题4. 点P 的位置与λ的取值有什么关系?三、向量定比分点的坐标公式 法国数学家笛卡尔为把几何与代数有机结合,发明了标架.有了标架后,空间中的任何向量就可以进行坐标化, 也就是代数化.既然我们用点P 把向量→21P P 分成了两个向量→P P 1、→2PP 我们就特别关心分点P 的坐标.下面是从向量(几何)与坐标(代数)两个方面同时研究这个问题.从而提出问题5 问题 5 取定标架⎭⎬⎫⎩⎨⎧→→→321,,;e e e O ,()i i i i z y x P ,,.点P 的坐标是什么?在老师的提示下,引导学生分析解决问题的办法.教学过程中,根据实际情况,可以让学生只使用两种方法之一解决即可. 具体过程:由于→→=21PP P P λ所以→→+=211PP P P λλ,代向量坐标公式入此式,即有 {}{}121212111,,1,,z z y y x x z z y y x x ---+==---λλ,即()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=--+=--+=-121121121111z z z z y y y y x x x x λλλλλλ 化简即得定比侵占的坐标公式是⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++λλλλλλ1,1,1212121z z y y x x ..是只需直接代定比分点公式就可以直接得到任意空间三角形的重心的必须得先确定对边中点坐标.为了突出向量的教学中可以补充介绍三角形重心的向量表示法。

定比分点公式的向量形式及应用马洪炎　吴文尧(宁波市北仑中学,浙江　315800) 众所周知,向量法是解决平面几何问题的重要方法,而定比分点公式是解析几何中应用非常广泛的重要公式.本文介绍定比分点公式的向量形式及其在解决平面几何问题中的应用,供大家参考.1　定理及其推论定理　(定比分点公式的向量形式)设点P 分P 1P 2的比为λ(即P 1P =λPP 2,λ≠-1),Q 为平面上的任意一点,则QP =11+λQP 1+λ1+λQP 2.证明　∵P 1P =λP P 2,∴QP -QP 1=λ(QP 2-QP ),即(1+λ)QP =QP 1+λQP 2,即QP =11+λQP 1+λ1+λQP 2.推论1　设点P 为■O AB 的边AB 上的点,且AP =m ,P B =n ,则OP =n m +n OA +mm +nOB .推论2　设点P 为■O AB 的边AB 的中点,则OP =12(OA +OB ).推论3　■OAB 中,点P 在直线AB 上的充要条件是:存在实数t ,使OP =t OA +(1-t )OB 成立.推论4　(定比分点公式)在直角坐标平面中,设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),P (x ,y ),且点P 分P 1P 2的比为λ(其中λ≠-1),则x =x 1+λx 21+λ,y =y 1+λy 21+λ.2　应用举例2.1证明比例线段关系例1　如图1,在■ABC 中,D ,E 是BC 边的三等分点,D 在B 和E 之间,F 是AC的中点,G 是AB 的中点,设H 是线段D F与EG 的交点,求比值E H ∶HG .分析　要求比值E H ∶HG 的大小,只须得到向量E H 与向量EG 之间的线性关系,由平面向量基本定理可知,可选择一组合适的基底使向量E H 、向量EG 都可用这组基底的线性组合表示,一旦表示成功,则结论也唾手可得了.图1　例1图解　设CB =a ,CA =b ,连结CG ,EF ,由于BE =2EC ,由推论1可知:GE =23GC +13GB=23GC +13(CB -CG )=13CB -CG =13CB -12(CB +CA )=-16a -12b ,即EG =16a +12b ;∵D ,H ,F 三点共线,∴E H =t ED +(1-t )EF=t ED +(1-t )(CF -CE )=t 3a +(1-t )(12b -13a )=2t -13a +1-t 2b .∵EG 与E H 是共线向量,∴16·1-t 2-12·2t -13=0,即t =35,40数学通讯 2007年第24期故E H =25(16a +12b )=25E G ,∴E H ∶H G =2∶3.评注　①由于本题的相关点均“生长”在■ABC 的三边上,所以选择以向量CB =a ,CA =b 作为基底比较合理.②在向量运算过程中,通过合理的运用上述定理的推论,可简化运算过程,甚至可直奔结论.例2　(第23届IMO 试题)已知AC ,CE 是正六边形ABCD EF 的两条对角线,点M ,N 分别内分AC ,CE ,使得AM ∶AC =CN ∶CE =r ,如果B ,M ,N 三点共线,求r 的值.分析　①要求出r 的值,只须得到关于r 的一个方程,故解决问题的关键是如何结合其它已知条件,把条件“B ,M ,N 三点共线”翻译成关于r 的一个方程.②由于B ,M ,N 三点所在直线过顶点B ,因此选择向量B A 、BC 作为基底比较合理,再把向量B M ,B N 用基底表示之,则不难得到关于r 的方程.图2　例2图解　∵AM ∶AC =CN ∶CE =r ,∴AM ∶MC =CN ∶N E =r ∶(1-r ).由推论1可知BM =r BC +(1-r )B A ,B N =r BE +(1-r )BC .∵ABCDEF 是正六边形,∴B E =2(B A +BC ),∴B N =2r (B A +B C )+(1-r )BC=(1+r )B C +2r B A .∵B ,M ,N 共线,∴r ·2r -(1-r )(1+r )=0,解得r =33.评注　由于本题的“情景”与推论1的使用条件非常吻合,因此上述解法通过推论1的应用使运算过程显得非常简捷,极大地缩短了解题的长度.2.2　证明三角形的面积关系例3　如图3所示,已知■AB C 的面积为14cm 2,D ,E 分别是边AB ,BC 上的点,且AD ∶DB =B E ∶EC =2∶1,求■P AC 的面积.分析　由于已知■AB C 的面积,因此要计算■P AC 的面积,只须求这两个三角形的面积比,注意到■ABC 与■P AC 是同底三角形,设直线BP 与AC 交于点Q ,则只须求出点P 分BQ 的比,若选择以向量B A =a ,BC =c 为基底,再把向量BQ ,B P 用基底表示之,则就大功告成了.图3　例3图解　连结BP 并延长交AC 于Q ,设B A=a ,BC =c .∵C ,P ,D 三点共线,∴B P =t BD +(1-t )BC ,又∵BD =13B A =13a ,∴B P =t 3a +(1-t )c .∵A ,P ,E 三点共线,∴B P =λB A +(1-λ)B E ,即B P =λa +2(1-λ)3c .由平面向量基本定理可知t3=λ且1-t =2(1-λ)3,解得λ=17,∴B P =17a +47c .设BQ =μBP =μ7a +4μ7c ,因为A ,Q ,C三点共线,所以μ7+4μ7=1,即μ=75,∴B P =57BQ ,PQ =27BQ ,S ■PAC =27S ■BAC =4cm 2.评注　在用向量方法解决平面几何问题时,除注意基底的合理选择外,还需注意方程412007年第24期 数学通讯思想的应用,虽然上述解法操作过程有一定的技巧性,但若在操作过程中始终以方程思想为指导,则思路还是比较自然.2.3证明三点共线问题例4　(2004年斯洛文尼亚数学奥林匹克试题)设O,P是平面上的两个不同的点,四边形AB CD是平行四边形,两条对角线相交于点O,点P不在直线AB关于直线CD 对称的图形上,M,N分别是线段P A,PB的中点,Q是直线MC与直线ND的交点.证明:P,Q,O三点共线,且点Q的位置与平行四边形ABCD的选择无关.分析　要证明P,Q,O三点共线,只须证明PO=λPQ,注意到O是AC的中点,即有PO=12(P A+P C)成立,故可选择向量P A,PC为基底,再设法把向量PQ也用基底表示之即可.图4　例4图证明　∵M,N分别是线段PA,PB的中点,∴MN瓛12AB.∵ABCD是平行四边形,∴AB瓛C D,即MN瓛12CD,∴Q C=2MQ,由推论1可知PQ=23PM+13PC=13P A+13P C.又因为O是线段AC的中点,由推论2可知PO=12(P A+PC),所以PQ=23PO,即PQ,PO共线,且PQ=23PO,即P,Q,O三点共线,且点Q的位置与平行四边形ABCD 的选择无关.评注　证明三点共线是平面几何中的难点之一,利用平面向量方法证明之的思路自然且易于操作.2.4证明平面几何中的定值问题例5　已知G是■ABC的重心,过点G 任作一条直线l,分别交边AB,AC于点D, E,若AD=x AB,AE=y AC.求证:1x+1y为定值.分析　当点D与点B重合,即x=1时,且E为AC之中点,即y=12,此时1x+1y=3,因此只须证明1x+1y=3即可.所以只须得到关于x,y应满足的方程即可,注意到D,G,E三点共线及G是■ABC的重心,因此可选择以向量AB,AC为基底,由向量AG 的两种不同的表示方法得到此方程.图5　例5图证明　∵D,G,E三点共线,∴AG=λAD+(1-λ)AE=λx AB+(1-λ)y AC,又∵G是■ABC的重心,所以AG=23AF=13AB+13AC,由平面向量基本定理可知λx=13,且(1-λ)y=13,∴1x+1y=3λ+3(1-λ)=3(定值).通过以上各例的解法不难发现,用定比分点公式的向量形式及其推论解决平面几何问题的解题程序如下:1)把平面几何问题转化为平面向量问题;2)合理选择一组基底;3)把问题涉及的向量用基底表示之;4)得到需要的结论并回归到平面几何问题.(收稿日期:2007-09-04)42数学通讯 2007年第24期。

向量的定比分点公式运用设有向量AB表示一条线段，点C为分割点，将AB分成的两个线段分别为AC和CB。

那么根据向量的定比分点公式，我们可以得到以下关系式：AC=λABCB=(1-λ)AB其中，λ是一个标量，表示分割点C到点A的距离与线段AB的长度之比。

下面我们将介绍向量的定比分点公式的几种具体运用。

1.证明三点共线：给定三个点A、B、C，要证明它们共线，可以使用向量的定比分点公式。

假设分割点C在点A和点B之间，那么根据向量的定比分点公式，可以得到AC=λAB，CB=(1-λ)AB。

若AC与CB的坐标相同，则说明三点共线。

2.点的坐标求解：已知线段AB的坐标，要求分割点C的坐标。

根据向量的定比分点公式，我们可以得到AC=λAB，即(x_C-x_A,y_C-y_A)=λ(x_B-x_A,y_B-y_A)。

令点C的坐标为(x_C,y_C)，代入这个关系式可以求解出点C的坐标。

3. 矢量平均值：给定一组n维向量，要求它们的平均值。

可以使用向量的定比分点公式求解。

假设向量集合为{v_1, v_2, ..., v_n}，则平均向量v_avg可以表示为v_avg = λ_1*v_1 + λ_2*v_2 + ... +λ_n*v_n。

其中，λ_1 + λ_2 + ... + λ_n = 1，且λ_i >= 0。

这样可以求得平均向量v_avg的坐标。

4.线段的等分点：已知线段AB的长度，要求线段上的一个点C，使得AC与AB的长度比为m:n。

根据向量的定比分点公式，我们可以得到AC=λAB，其中λ=(m/(m+n))。

将AB的长度乘以λ，得到AC的长度，即可得到分割点C的坐标。

5.找出一些点到线段的最近点：假设有线段AB和点P，要求点P到线段AB上的最近点Q的坐标。

根据向量的定比分点公式，可以得到向量AQ=λAB，其中λ表示AQ与AB的长度之比。

我们可以通过遍历0≤λ≤1的所有值，计算出对应的点Q的坐标，再选择距离最近的点作为最近点Q的坐标。