立体几何(向量法)—找点难(定比分点公式)

奥数解谜立体几何中的难题立体几何是奥数中的一个重要分支，它与点、线、面相比，更加复杂和有趣。

解决立体几何难题需要学生具备良好的想象力、逻辑思维和空间想象能力。

本文将重点探讨奥数解谜立体几何中的一些难题，以及解决这些难题的方法。

第一部分：平面与立体的关系在立体几何中，我们经常需要将二维平面转化为三维立体，并理解它们之间的关系。

其中一个经典的难题是给定一个底面视图和一个侧面视图，要求确定对应的立体图形。

解决这个难题可以按照以下步骤进行：1. 观察底面视图和侧面视图，找出每个图形的特点和规律；2. 根据底面视图中的点、线、面的位置，将其转化为立体中的点、线、面；3. 根据侧面视图中的高度信息，确定立体图形的高度；4. 综合底面和侧面的信息，确定立体图形的形状和大小。

第二部分：直方体的拼装问题直方体是解谜立体几何中常见的图形。

一个常见的难题是给定一些尺寸相同的立方体块，要求用这些块拼出一个大的立方体。

解决这个难题可以按照以下步骤进行：1. 观察每个立方体块的形状和特点，找出它们之间的联系；2. 根据大立方体的尺寸确定需要多少个立方体块；3. 将每个立方体块按照规律进行拼装，注意保持块与块之间的相邻面接触。

第三部分：平行四边形的性质在立体几何中，平行四边形是常见的一个图形。

一个经典的难题是给定一个平行四边形，要求根据已有信息计算出其他未知的性质。

解决这个难题可以按照以下步骤进行：1. 观察平行四边形的特点，如平行边、角的性质等；2. 利用平行四边形的性质求解已知信息；3. 根据已知信息推导出其他未知的性质。

第四部分：圆锥体与圆台的体积计算圆锥体和圆台是奥数解谜立体几何中的另一个重要内容。

一个常见的难题是给定一个圆锥体或圆台，要求计算其体积。

解决这个难题可以按照以下步骤进行：1. 观察圆锥体或圆台的特点，了解它们的形状和性质；2. 根据已知信息计算出底面的面积和高度；3. 根据体积的计算公式，将已知信息代入计算。

y k iA(x,y,z)O jxz 空间向量与立体几何一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,,i j k（单位正交基底）为坐标向量，则存在唯一的有序实数组123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 叫作向量a在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标．二、空间向量的直角坐标运算律（1）若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=--- ，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈，（2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（3）//a b b a λ⇔= 112233()b a b a R b aλλλλ=⎧⎪⇔=∈⎨⎪=⎩三、空间向量直角坐标的数量积1、设b a ,是空间两个非零向量，我们把数量><b a b a ,cos ||||叫作向量b a ,的数量积，记作b a ⋅，即b a ⋅＝><b a b a ,cos |||| 规定：零向量与任一向量的数量积为0。

定比分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙定比分点的向量公式：在平面上任取一点O ，设a OP =1，b OP =2，若21PP P P λ=，则λλλ+++=111。

特别地，当1=λ时，即P 为线段21P P 的中点，则有2121+=。

用定比分点的向量公式，可使有些问题的解决更简洁。

下面举几例说明。

一、求定比λ的值：例1：已知A （1,2），B （1,3-）及直线l ：54-=x y ，直线AB 与l 相交于P 点，求P 点分的比λ。

解：设),(y x P ，则由λ=，得)11,131()1,3(1)1,2(11),(λλλλλλλ+-++=-+++=y x ， 又∵P 点在直线l 上， ∴51)31(411-++=+-λλλλ， ∴31=λ。

例2：如图所示，在ABC ∆中，D 为边BC 上的点，且k =，E 为AD 上的一点，且l =，延长BE 交AC 于F ，求F 分有向线段所成的比λ。

解：∵λ=，∴λλλ+++=111， 又l =，∴l ll +++=111，而kkk +==1， ∴llk l k ++++=1)1)(1(，∵B 、E 、F 共线，∴设t =，而tt t λλλ+++=11 ∴tt l l k l k λλλ+++=++++111)1)(1(FEDCBA∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+++=+llt k l k t11)1)(1(1λλλ，解得k k l )1(+=λ。

二、求直线上点的坐标例3：已知点)1,1(--A ，)5,2(B ，点C 为直线AB 上一点，且5-=，求C 点的坐标。

分析：先求出C 点分的λ的值，再利用定比分点的向量公式求出点C 的坐标。

解：∵5-=，∴5==λ，利用定比分点的坐标公式有)4,23()5,2(65)1,1(616561=+--=+=OB OA OC 。

∴C 点的坐标为)4,23(。

例4：已知)3,2(A ，)5,1(-B ，且31=，3=，求点C ，D 的坐标。

立体几何向量法解题步骤嘿，小伙伴们！今天咱们来讲讲立体几何向量法解题的步骤呀。

一、建立合适的空间直角坐标系1. 首先呢，你得观察这个立体几何图形的特点。

看看有没有现成的互相垂直的三条棱或者三条线呀。

这一步很关键哦！要是找不到现成的，你可能就得自己想办法构造啦。

比如说，利用图形中的垂直关系，像正方体、长方体那些棱就很好找垂直关系啦。

不过呢，有时候图形比较复杂，这就需要你多花点时间仔细观察啦。

我自己做的时候，在这个环节都会特别小心，因为这个坐标系建得好不好，直接影响后面的计算呢。

你可千万别小瞧这一步呀！2. 确定好坐标轴之后呢，把原点定好。

这就像给整个解题过程打地基一样重要呢。

通常我们会选择图形中比较特殊的点作为原点，比如顶点或者对称中心之类的。

这一步看起来很简单，但建议不要跳过，避免后续出现问题。

二、求出相关点的坐标1. 在坐标系建立好之后，就要找出题目中涉及到的点的坐标啦。

这时候呢，你要根据图形的已知条件，比如边长比例关系呀来确定坐标。

有些点的坐标可能很容易看出来，但是有些可能就需要你稍微推导一下喽。

比如说，如果知道一个点在某条棱上，而且知道它的比例位置，那就可以通过计算得到坐标。

我在求坐标的时候，经常会反复核对好几遍呢，因为一旦坐标错了，后面可就全错啦，这一点真的很重要，我通常会再检查一次，真的，确认无误是关键。

三、求出相关向量的坐标1. 根据已经得到的点的坐标，就可以求出我们需要的向量的坐标啦。

这一步就是简单的坐标相减啦。

不过呢，可别粗心算错了哦。

我就有过这样的经历，因为一个小的计算失误，结果整个题都做错了，真是太懊恼了！所以在这一步也要认真对待呢。

2. 如果涉及到多个向量，要一个一个耐心地求出来。

这时候，你可以把每个向量的坐标都写清楚，这样后面计算的时候就不容易混淆啦。

四、利用向量的运算解决问题（比如求角度、距离等）1. 要是求异面直线所成的角呢，我们就可以利用向量的夹角公式啦。

先算出两个向量的点积，再算出它们的模长，然后根据公式就能求出夹角的余弦值啦。

定比分点的向量公式定比分点的向量公式，这可是高中数学里一个相当重要的知识点呢！咱们先来聊聊啥是定比分点。

想象一下，在一条直线上有两个点 A 和 B，然后又有一个点 P 把线段 AB 按照一定的比例分成了两段。

这个点 P 就叫做线段 AB 的定比分点。

那定比分点的向量公式是啥呢？假设点 A 的坐标是 (x₁, y₁) ，点B 的坐标是 (x₂, y₂) ，点 P 的坐标是 (x, y) ，并且点 P 分线段 AB 的比是λ ，那么定比分点的向量公式就是：x = (x₁ + λx₂) / (1 + λ) ，y = (y₁ + λy₂) / (1 + λ) 。

听起来是不是有点晕乎？别担心，我给您举个例子哈。

有一次我在课堂上讲这个知识点，有个学生一脸迷茫地看着我，我就知道他没听懂。

于是我走到他身边，问他：“你是不是觉得有点迷糊呀？”他使劲儿点头。

我就拿了一支笔在纸上画了一条直线，标上 A 点和 B 点，然后跟他说：“咱们就把这当成是一条路，A 点是你家，B 点是学校，你每天上学走到某个地方，这个地方就是点 P 。

现在假设你走的路程和剩下的路程有个比例，那这个点 P 的位置是不是就能算出来啦？”这孩子听了，眼睛一下子亮了，好像突然就明白了。

咱们继续说这个公式啊。

定比分点的向量公式在解决很多几何问题的时候特别有用。

比如说，已知两个点的坐标和分点的比例，就能轻松算出定比分点的坐标。

在实际生活中，这个公式也能派上用场呢。

比如说，在规划物流路线的时候，要确定货物在某个路段的分配点，就可以用到这个公式。

还有在建筑设计中，计算一些结构的位置也能用到。

再比如，咱们想象一个场景，有一辆送快递的车，要在一条路线上的几个站点送货，每个站点的需求比例不同。

这时候，就可以用定比分点的向量公式来计算最佳的送货停留点，这样就能提高送货效率啦。

总之，定比分点的向量公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多做几道题，多联系实际，就能很好地掌握它，让它成为咱们解决问题的有力工具。

高中数学竞赛公式定理大全包括但不限于：
1. 集合运算的分配律与反演律（摩根律）、容斥原理、有限等集的性质。

2. 直线与方程：克莱姆法则、二维对称点坐标公式、二维投影点坐标公式、直线的参数方程、交轨法、定比分点公式。

3. 圆锥曲线：阿波罗尼斯圆、圆的直径式方程、曲线系、圆幂定理、调和点列、椭圆和双曲线的第二定义、各种切割线方程、特殊类型的双曲线、抛物线的各种几何性质、阿基米德三角形、齐次化方法、双根式、仿射变换、隐函数、蒙日圆、等角定理、二次锥面形成圆锥曲线的过程、极点与极线。

4. 立体几何：祖暅原理、用行列式求平面的法向量、三维对称点坐标公式、三维投影点坐标公式、直角四面体勾股定理、四面体余弦定理、三射线定理、三余弦定理、三面角余弦定理、三正弦定理、平行六面体的性质、立体几何中的正余弦定理。

5. 导数与极限：夹逼定理、洛必达法则、极限运算法则、常用极限、对数求导法则、隐函数求导、多个极值判定法、抽象函数的构造、对数平均不等式、指数平均不等式。

6. 数列：等差数列中，S奇=na中，例如S13=13a7；等差数列中，S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差；等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立；等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q²mS(n)可以迅速求q；数列的终
极利器，特征根方程等。

7. 其他公式和定理：三角形垂心爆强定理；维维安尼定理；爆强思路；常用结论；爆强公式；函数y=(lnx)/x在(0，e)上单调递增，在(e，+无穷)上单调递减等。

这些公式和定理是高中数学竞赛的重要知识点，需要学生熟练掌握和应用。

同时，学生还需要具备灵活运用知识的能力和创造性思维，才能取得优异的成绩。

定比分点向量公式定比分点向量公式是一种在几何学中使用的数学工具，用于计算两个给定向量之间的夹角和距离。

它是一种应用于平面几何的技术，能够以有效的方式测量两个向量之间的距离或角度。

定比分点向量公式已经用于许多不同的几何计算任务，如求解直线的斜率、计算所有的三角形面积、计算多边形的周长和面积以及计算多边形内部的面积等。

它也用于计算空间几何中的距离和角度，如求解一个真空间中的抛物线的斜率、求解立体几何中的椭圆的离心率等。

定比分点向量公式的定义定比分点向量公式的定义为：给定两个向量a=(a1,a2)和b=(b1,b2)，则它们的定比分点向量公式为：Vec(a,b)= (a1/b1, a2/b2)这里的“Vec”表示向量，a1和b1表示向量a的第一个分量，a2和b2表示向量b的第二个分量。

定比分点向量公式的作用定比分点向量公式的作用是根据两个给定向量确定它们之间的夹角和距离。

因此，该公式能够有效地求解平面几何中的距离和角度，也可以用于空间几何中的计算。

定比分点向量公式的用法要使用定比分点向量公式，首先要给定两个向量a和b，然后将它们表示为a=(a1,a2)和b=(b1,b2)的形式。

接下来，就可以将它们代入定比分点向量公式中：Vec(a,b)= (a1/b1, a2/b2)这样就可以得到两个向量之间的夹角和距离。

定比分点向量公式的应用定比分点向量公式可以用于许多不同的几何计算任务。

它可以帮助我们计算直线的斜率、三角形的面积、多边形的周长和面积以及多边形内部的面积。

此外，它还可以用于计算空间几何中的距离和角度，如求解一个真空间中的抛物线的斜率、求解立体几何中的椭圆的离心率等。

定比分点向量公式的优点定比分点向量公式的优点在于，它可以帮助我们有效地计算几何中的距离和角度，而无需考虑具体的坐标系。

此外，它还可以节省大量时间，因为它可以在非常短的时间内完成计算任务。

最后，它还可以帮助我们更好地理解几何中的各种概念，因为它可以清楚地描述几何中的距离和角度。

利用向量解决几何定比分点问题在几何学中，我们经常会遇到定比分点的问题，即在一条线段上找到满足一定比例的点。

利用向量方法，我们可以轻松解决这类问题。

本文将介绍如何利用向量解决几何定比分点问题。

一、向量的基本概念在开始讨论向量解决定比分点问题之前，我们先来了解一些向量的基本概念。

向量是具有大小和方向的量，可以用箭头表示。

在二维几何中，向量通常用有序数对表示，例如向量AB可以表示为→AB=(x,y)。

在三维几何中，向量通常用有序数对表示，例如向量AB可以表示为→AB=(x,y,z)。

二、定比分点的定义定比分点是指在一条线段上，将该线段分成两部分，使得两部分之间的比例是确定的。

例如，如果我们要在线段AB上找到一个点C，使得AC:CB=2:3，即AC是CB的两倍，那么点C就是线段AB的定比分点。

三、向量解法步骤下面我们将介绍利用向量解决定比分点问题的步骤。

步骤1：给出已知条件首先，我们需要明确已知条件。

在定比分点问题中，已知条件通常会给出线段的两个端点和分点的比例。

例如，在线段AB上，已知A(-1,2)和B(3,4)，要求找到点C，使得AC:CB=2:3。

步骤2：表示向量关系接下来，我们用向量来表示已知条件。

我们可以利用向量的加法和减法来表示线段的两个端点和分点。

例如，向量→AB可以表示为→AB=(3-(-1),4-2)=(4,2)。

步骤3：设定未知向量我们设未知点C的坐标为(x,y)。

步骤4：建立向量关系等式根据已知条件，我们可以建立向量关系等式。

根据AC:CB=2:3，我们可以得到以下向量关系等式：→AC : →CB = 2:3→AC = 2/3 × →CB步骤5：列方程解向量利用步骤4中得到的向量关系等式，我们可以列方程解向量。

根据→AC = 2/3 × →CB，我们可以得到以下方程：(x-(-1), y-2) = 2/3 × (3-(-1), 4-2)步骤6：求解未知向量解方程，得到未知点C的坐标(x,y)。

定比分点的向量公式及应用向量是在数学中广泛应用的一种重要概念。

在向量中，可以定义加法、减法和数量乘法等运算，这些运算规则以及向量的模、方向等性质，使得向量在数学、物理和工程等领域的应用中具有重要的意义。

在计算机科学和计算机图形学中，向量被广泛用于表示三维空间中的点、方向和位移等概念。

这些向量通常表示为[x,y,z]，其中x、y和z分别表示在三个坐标轴上的分量。

定比分点的向量公式可以用于计算两个点之间的中点、分点以及线段的长度。

假设有两个点A和B，它们的坐标分别为A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，我们可以使用如下的公式来计算两个点之间的中点：M=(A+B)/2其中M是点A和点B之间的中点，"+"表示向量的加法运算，"/"表示向量与标量的除法运算。

通过这个公式，我们可以计算出两个点之间的中点的坐标。

在计算两个点之间的分点时，可以使用类似的方法。

假设有一个分点P，它位于点A和点B之间的t比例处，我们可以使用如下的公式来计算分点的坐标：P=A+t*(B-A)其中t是一个介于0和1之间的比例值。

当t等于0时，分点P的坐标就是点A的坐标；当t等于1时，分点P的坐标就是点B的坐标。

通过改变t的值，我们可以在点A和点B之间找到任意位置的分点。

除了计算中点和分点之外，向量的长度也是一个重要的概念。

在三维空间中，向量的长度可以通过计算其模来获得。

一个向量的模定义为其各个分量的平方和的平方根。

对于一个三维向量V=[x,y,z]，其模的计算公式如下：V， = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)通过计算向量的模，我们可以获得向量的长度信息。

定比分点的向量公式在计算机图形学中有许多应用。

例如，在三维建模中，我们经常需要计算物体的表面上的点的位置和属性。

通过定比分点的向量公式，我们可以在物体的两个顶点之间找到任意位置的点，从而进行物体的细分或者其他形变操作。

此外，向量的线性插值也是一个重要的应用。

高中数学必考知识点归纳整理高中数学必考知识点必修一：1、集合与函数的概念 (部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用 (比较抽象，较难理解)必修二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角这部分知识是高一学生的难点，比如：一个角实际上是一个锐角，但是在图中显示的钝角等等一些问题，需要学生的立体意识较强。

这部分知识高考占22---27分2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题3、圆方程：必修三：1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分必修四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查2、平面向量：高考不单独命题，易和三角函数、圆锥曲线结合命题。

09年理科占到5分，文科占到13分必修五：1、解三角形：(正、余弦定理、三角恒等变换)高考中理科占到22分左右，文科数学占到13分左右2、数列：高考必考，17---22分3、不等式：(线性规划，听课时易理解，但做题较复杂，应掌握技巧。

高考必考5分)不等式不单独命题，一般和函数结合求最值、解集。

文科：选修1—1、1—2选修1--1：重点：高考占30分1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考2、圆锥曲线：3、导数、导数的应用(高考必考)选修1--2：1、统计：2、推理证明：一般不考，若考会是填空题3、复数：(新课标比老课本难的多，高考必考内容)理科：选修2—1、2—2、2—3选修2--1：1、逻辑用语2、圆锥曲线3、空间向量：(利用空间向量可以把立体几何做题简便化)选修2--2：1、导数与微积分2、推理证明：一般不考3、复数选修2--3：1、计数原理：(排列组合、二项式定理)掌握这部分知识点需要大量做题找规律，无技巧。

空间向量与立体几何知识点归纳总结在空间直角坐标系中，一个向量可以表示为三个坐标的有序三元组，分别表示在x轴、y轴、z轴上的投影长度。

2）坐标系的建立：选择三个不共面的向量作为基向量，建立起一个空间直角坐标系。

3）向量在坐标系中的表示：向量的坐标表示为它在基向量上的投影长度所组成的有序三元组。

7.向量的数量积与向量积。

1）数量积：定义为两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角的余弦值，表示为___或ab。

2）性质：⑴交换律：a·b=b·a；⑵结合律：(ka)·b=k(a·b)；⑶分配律：(a+b)·c=a·c+b·c。

3）向量积：定义为两个向量所在平行四边形的面积乘以一个垂直于这个平行四边形的单位向量，表示为a×b。

4）性质：⑴反交换律：a×b=-(b×a)；⑵结合律：a×(b×c)=(a·c)b-(a·b)c；⑶分配律：a×(b+c)=a×b+a×c。

二．练题。

1.已知向量a(1,2,3)，b(4,5,6)，c(7,8,9)，求向量a-b+2c的坐标。

解：a-b+2c=(1-4+14,2-5+16,3-6+18)=（11,13,15）。

2.已知向量a(2,1,-3)，b(1,2,1)，c(3,-1,2)，判断向量a,b,c 是否共面，并说明理由。

解：由四点共面定理，a,b,c共面，当且仅当存在实数x,y,z，使得x·a+y·b+z·c=0.代入向量坐标，得到方程组2x+y+3z=0，x+2y-z=0，-3x+y+2z=0.解得x=-1，y=1，z=-1，满足方程组，因此a,b,c共面。

3.已知向量a(1,2,3)，b(2,-1,1)，求向量a与b的数量积和向量积。

解：a·b=1×2+2×(-1)+3×1=-1；a×b=(5,1,-5)。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点;1. 空间向量的概念：在空间,我们把具有大小和方向的量叫做向量;注：1向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量;2向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算;定义：与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘运算如下如图;OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量;1如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向量,a平行于b ,记作b a //;2共线向量定理：空间任意两个向量a、b b≠0 ,a b a bAC AB λ=)1(=++=y x OB y OA x OC 其中aa ±共面向量1定义：一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量; 说明：空间任意的两向量都是共面的;2共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线,p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y使p xa yb =+;3四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一个唯一的有序实数组,,x y z ,使p xa yb zc =++;若三向量,,a b c 不共面,我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底,,,a b c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底;推论：设,,,O A B C 是不共面的四点,则对空间任一点P ,都存在唯一的三个有序实数,,x y z ,使OP xOA yOB zOC =++;6. 空间向量的直角坐标系： 1空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中,对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使zk yi xi OA ++=,有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标,记作(,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标,z 叫竖坐标;注：①点Ax,y,z 关于x 轴的的对称点为x,-y,-z,关于xoy 平面的对称点为x,y,-z.即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反;②在y 轴上的点设为0,y,0,在平面yOz 中的点设为0,y,z2若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底,用{,,}i j k 表示;空间中任一向量k z j y i x a ++==x,y,z3空间向量的直角坐标运算律：①若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,则112233(,,)a b a b a b a b +=+++,112233(,,)a b a b a b a b -=---,123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈,112233a b a b a b a b ⋅=++,112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈, 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=;②若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则212121(,,)AB x x y y z z =---;一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标;③定比分点公式：若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,PB AP λ=,则点P 坐标为)1,1,1(212121λλλλλλ++++++z z y y x x ;推导：设Px,y,z 则),,(),(22211,1z z y y x x z z y y x x ---=---λ,显然,当P 为AB 中点时,)2,2,2(212121z z y y x x P +++ ④),,(),,,(,,,333222111z y x C z y x B ）z y ，A（xABC 中∆,三角形重心P 坐标为)2,2,3(321321321z z z y y y x x x P ++++++⑤ΔABC 的五心：内心P ：内切圆的圆心,角平分线的交点;AC AB AP +=λ单位向量外心P ：外接圆的圆心,中垂线的交点;==垂心P ：高的交点：PC PB PC PA PB PA ⋅=⋅=⋅移项,内积为0,则垂直重心P ：中线的交点,三等分点中位线比)(31AC AB AP += 中心：正三角形的所有心的合一;4模长公式：若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,则21||a a a a =⋅=+21||b b b b =⋅=+5夹角公式：2cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+; ΔABC 中①0>•AC AB <=>A 为锐角②0<•AC AB <=>A 为钝角,钝角Δ 6两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,则2||(AB AB ==,或,A B d = 7. 空间向量的数量积;1空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ,在空间任取一点O ,作,OA a OB b ==,则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角,记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤,显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=,则称a 与b 互相垂直,记作：a b ⊥;2向量的模：设OA a =,则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模,记作：||a ;3向量的数量积：已知向量,a b ,则||||cos ,a ba b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积,记作a b ⋅,即a b⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>;4空间向量数量积的性质：①||cos ,a e a a e ⋅=<>;②0a b a b ⊥⇔⋅=;③2||a a a =⋅; 5空间向量数量积运算律：①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅;②a b b a ⋅=⋅交换律;③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅分配律;④不满足乘法结合率：)()(c b a c b a ⋅≠⋅二．空间向量与立体几何1．线线平行⇔两线的方向向量平行1-1线面平行⇔线的方向向量与面的法向量垂直 1-2面面平行⇔两面的法向量平行2线线垂直共面与异面⇔两线的方向向量垂直 2-1线面垂直⇔线与面的法向量平行 2-2面面垂直⇔两面的法向量垂直3线线夹角θ共面与异面]90,0[O O ⇔两线的方向向量2,1n n 的夹角或夹角的补角,><=2,1cos cos n n θ3-1线面夹角θ]90,0[O O ：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP 与面的法向量n 的夹角,若为锐角角即可,若为钝角,则取其补角；再求其余角,即是线面的夹角.><=n AP ,cos sin θ3-2面面夹角二面角θ]180,0[OO ：若两面的法向量一进一出,则二面角等于两法向量2,1n n 的夹角；法向量同进同出,则二面角等于法向量的夹角的补角.><±=21,cos cos n n θ4．点面距离h ：求点()00,P x y 到平面α的距离： 在平面α上去一点(),Q x y ,得向量PQ ;； 计算平面α的法向量n;.h =4-1线面距离线面平行：转化为点面距离 4-2面面距离面面平行：转化为点面距离 典型例题1．基本运算与基本知识例1. 已知平行六面体ABCD －D C B A '''',化简下列向量表达式,标出化简结果的向量;⑴AB BC +； ⑵AB AD AA '++；⑶12AB AD CC '++； ⑷1()3AB AD AA '++;例2. 对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ,问满足向量式：OP xOA yOB zOC =++其中1x y z ++=的四点,,,P A B C 是否共面例3 已知空间三点A0,2,3,B －2,1,6,C1,－1,5;⑴求以向量,AB AC 为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a 分别与向量,AB AC 垂直,且|a |＝3,求向量a 的坐标; 2．基底法如何找,转化为基底运算 3．坐标法如何建立空间直角坐标系,找坐标 4．几何法例 4. 如图,在空间四边形OABC中,8OA =,6AB =,4AC =,5BC =,45OAC ∠=,60OAB ∠=,求OA 与BC 的夹角的余弦值;说明：由图形知向量的夹角易出错,如,135OA AC <>=易错写成,45OA AC <>=,切记例5. 长方体1111ABCD A B C D -中,4AB BC ==,E 为11A C 与11B D 的交点,F 为1BC 与1B C 的交点,又AF BE ⊥,求长方体的高1BB ; 模拟试题1. 已知空间四边形ABCD ,连结,AC BD ,设,M G 分别是,BC CD 的中点,化简下列各表达式,并标出化简结果向量：1AB BC CD ++；21()2AB BD BC ++； 31()2AG AB AC -+;2. 已知平行四边形ABCD ,从平面AC 外一点O 引向量;,,,OE kOA OF kOB OG kOC OH kOD ====;1求证：四点,,,E F G H 共面；2平面AC //平面EG ;3. 如图正方体1111ABCD A B C D -中,11111114B E D F A B ==,求1BE 与1DF 所成角的余弦; 5. 已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中,4,3,5,90AB AD AA BAD '===∠=,60BAA DAA ''∠=∠=,求AC '的长;参考答案1. 解：如图,1AB BC CD AC CD AD ++=+=；2111()222AB BD BC AB BC BD ++=++;AB BM MG AG =++=；31()2AG AB AC AG AM MG -+=-=;2. 解：1证明：∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AC AB AD =+,∵EG OG OE =-, ∴,,,E F G H 共面；2解：∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅,又∵EG k AC =⋅, ∴//,//EF AB EG AC ; 所以,平面//AC 平面EG ; 3.解：不妨设正方体棱长为1,建立空间直角坐标系O xyz -,则(1,1,0)B ,13(1,,1)4E ,(0,0,0)D , 11(0,,1)4F ,∴11(0,,1)4BE =-,11(0,,1)4DF =, ∴11174BE DF ==, 11111500()114416BE DF ⋅=⨯+-⨯+⨯=;111515cos ,17BE DF ==; 4. 分析：⑴1(2,1,3),(1,3,2),cos 2||||AB AC AB AC BAC AB AC ⋅=--=-∴∠== ∴∠BAC ＝60°,||||sin 6073S AB AC ∴== ⑵设a ＝x,y,z,则230,a AB x y z ⊥⇒--+= 解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1,∴a ＝1,1,1或a ＝－1,－1,－1;5. 解：22||()AC AB AD AA ''=++所以,||85AC '=。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a //。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a共线的单位向量为±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x z y x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρϖ//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中（4）与a 共线的单位向量为a ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r。

立体几何定比分点公式好的，以下是为您生成的文章：在咱们学习立体几何的奇妙世界里，有一个挺重要的家伙，那就是定比分点公式。

这玩意儿，刚开始接触的时候，可能会让咱有点晕头转向，但只要搞明白了，那可真是解题的一把好手！我记得之前有个学生，叫小李。

小李这孩子吧，脑袋瓜挺灵，就是碰到立体几何的定比分点公式，那叫一个头疼。

有一次上课，我刚讲到这个公式，他就一脸迷茫地看着我，那眼神仿佛在说：“老师，这是啥外星语言啊？”我一看他那表情，就知道得好好给他讲讲。

咱们先来说说这定比分点公式到底是啥。

简单来说，就是已知有两个点 A 和 B 的坐标，然后存在一个点 P 把线段 AB 按照某个比例分成两段，通过这个比例就能算出点 P 的坐标。

听起来是不是有点抽象？别急，咱慢慢说。

比如说，点 A 的坐标是（x1, y1, z1），点 B 的坐标是（x2, y2, z2），然后点 P 分线段 AB 的比是λ，那点 P 的坐标（x, y, z）就可以通过公式算出来啦。

x = (x1 + λx2) / (1 + λ)y = (y1 + λy2) / (1 + λ)z = (z1 + λz2) / (1 + λ)这公式看起来有点复杂，但是咱只要多做几道题，多练练手，就能熟练掌握。

就像小李，刚开始怎么都搞不明白，我就给他举了个特别简单的例子。

假设 A 点坐标是（1, 2, 3），B 点坐标是（4, 5, 6），点 P 分线段AB 的比是 2，那咱们来算算点 P 的坐标。

先算 x 坐标，x = (1 + 2×4) / (1 + 2) = 9 / 3 = 3y 坐标，y = (2 + 2×5) / (1 + 2) = 12 / 3 = 4z 坐标，z = (3 + 2×6) / (1 + 2) = 15 / 3 = 5所以点 P 的坐标就是（3, 4, 5）。

小李听我这么一讲，好像有点开窍了，但还是不太自信。

解析几何中的定比点差法基础知识：一、定比分点的定义：若21PP P P λ=，则称λ为点P 分21P P 所成的比，称点P 为21P P 的定比为λ的分点。

（1）当0>λ时，P 在线段21P P 上；（2）当01<<-λ时，V M 在线段21P P 的反向延长线上；（3）当1-<λ时，P 在线段21P P 的延长线上；当点P 在线段21P P 上时称为21P P 的内分点；当点P 在线段21P P 的延长线上或者反向延长线上时称为21P P 的外分点二、定比分点的坐标公式：设),(),,(),,(222111y x P y x P y x P ，若21PP P P λ=，则分点P 的坐标公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ，即点P )1,1(2121λλλλ++++y y x x 三、点差法：设点),(),,(2211y x B y x A 是有心圆锥曲线12222=±b y a x 上两点，P 是AB 的中点，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=±=±11222222221221b y a x b y a x 222121212122121221210))(())((a b x x y y x x y y b y y y y a x x x x ±=++⋅--⇒=-+±-+⇒此方法可解决有心圆锥曲线的垂径定理，即解决与弦的中点有关的问题四、定比点差法：设点),(),,(2211y x B y x A 是有心圆锥曲线12222=±b y a x 上两点，则则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=±=±⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=±=±222222222221221222222221221111λλλb y a x b y a x b y a x b y a x 222121221211))(())((λλλλλ-=-+±-+⇒b y y y y a x x x x 11111112121221212=--⋅++⋅±--⋅++⋅⇒λλλλλλλλy y y y bx x x x a题型1.圆锥曲线作为定比分点的μλ+为定值问题例1.（2021年合肥模拟）已知)23,1(P 是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 上的一点，21,F F 分别是椭圆C 的左、右焦点，且251=PF （1）求椭圆C 的标准方程（2）过点2F 的直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，与椭圆C 的短轴交于点Q ，若λ=2AF AQ ，μ=2BF BQ ，μλ+是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由解析：（1）由题意得2549)1(21=++=c PF ，解得1=c ，所以焦点)0,1(),0,1(21F F -所以2449)11(252221=⇒=+-+=+=a PF PF a ，所以3222=-=c a b ，所以椭圆C 的标准方程为13422=+y x （2）解法1：（设线韦达）设直线AB ：1+=my x ，),(),,(2211y x B y x A ，则)1,0(mQ -439,436096)43(124312212212222+-=+-=+⇒=-++⇒⎩⎨⎧=++=m y y m m y y my y m y x my x 所以389612121121212211=--⨯+=+⨯+=+++=+m m y y y y m y m y y m y μλ解法2：（定比点差法）设),0(),,(),,(2211t Q y x B y x A ，由μλ==22,BF BQ AF AQ 可知22,BF QB AF QA μλ-=-=，所以)1,1(),1,1(μμμλλλ------tB t A ，又B A ,在椭圆上所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+--=-+--0412249041224912)1(4)1(312)1(4)1(322222222t t t t μμλλμμμλλλ所以μλ,是方程041224922=-+-t x x 的两个，所以38924==+μλ例2.（2021年浙江模拟）已知抛物线C ：x y 42=的焦点为F ，O 为坐标原点，过点F 的直线l 与抛物线C 交于B A ,两点（1）若直线l 与圆O ：9122=+y x 相切，求直线l 的方程（2）若直线l 与y 轴的交点为D ，且AF DA λ=，BF DB μ=，试探究：μλ+是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由解析：（1）)0,1(F ，显然直线l 的斜率存在，设直线l ：)1(-=x k y ，则3112=+k k 解得42±=k ，所以直线l 的方程为)1(42-±=x y （2）解法1：（设线韦达）设直线l ：1+=my x ，),(),,(2211y x B y x A ，则)1,0(mD -4,404441212122-==+⇒=--⇒⎩⎨⎧=+=y y m y y my y xy my x ，因为AF DA λ=，BF DB μ=，所以14412121121212211-=-⨯--=+⨯--=-++-+=+m m y y y y m y m y y m y μλ解法2：（定比点差法）设),0(t D ，由AF DA λ=，BF DB λ=可知)1,1(λλλ++tA )1,1(μμμ++tB ，又B A ,在椭圆上，所以⎪⎩⎪⎨⎧=++=++⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++-=+04404414)1(14)1(222222t t t t μμλλμμμλλλ，所以μλ,是方程04422=++t x x 的两个，所以1-=+μλ注：模型小结：模型一：若直线l 与椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 交于B A ,两点，与x 轴交于点P ，与y 轴交于点Q ，且BP QB AP QA μλ==,，则P 为左（右）焦点222ba -=+⇔μλ模型二：若直线l 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 交于B A ,两点，与x 轴交于点P ，与y 轴交于点Q ，且BP QB AP QA μλ==,，则P 为左（右）焦点222ba =+⇔μλ模型三：若直线l 与抛物线px y 22=交于B A ,两点，与x 轴交于点P ，与y 轴交于点Q ，且BP QB AP QA μλ==,，则P 为焦点1-=+⇔μλ练习1.（2021年上饶二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB 为半圆ADB 的直径，O 为圆心，且G B A ),0,4(),0,4(-为线段OD 的中点，曲线C 过点G ，动点P 在曲线C 上运动且保持PB P A +的值不变（1）求曲线C 的方程（2）过点B 的直线l 与曲线C 交于N M ,两点，与OD 所在直线交于E 点，MB EM 1λ=，NB EN 2λ=，求证：21λλ+为定值解析：（1）142022=+y x （2）解法1：（设线韦达）设直线MN ：4+=my x ，),(),,(2211y x N y x M ，则)4,0(mE -54,58048)5(20542212212222+-=+-=+⇒=-++⇒⎩⎨⎧=++=m y y m m y y my y m y x my x 因为MB EM 1λ=，NB EN 2λ=，所以10484242442121221121-=--⨯--=+⨯--=-++-+=+m m y y y y m y m y y m y λλ解法2：（定比点差法）设),0(),,(),,(2211t E y x N y x M ，因为MB EM 1λ=，，所以111111,14λλλ+=+=t y x ，又M 在C 上，所以052040420)1(5)14(212121211=-++⇒=+++t t λλλλλ同理得05204042222=-++t λλ所以21,λλ是方程052040422=-++t x x 的两根，所以1044021-=-=+λλ练习2.（2021年吉安期末）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的焦距为2，离心率为21（1）求椭圆C 的标准方程（2）直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点P Q ,，与椭圆分别交于点N M ,，各点均不重合且满足MQ PM λ=，NQ PN μ=，若4-=+μλ，证明：直线l 恒过定点解析：（1）13422=+y x （2）解法1：（设线韦达）设直线l ：t my x +=，),(),,(2211y x N y x M ，则),0(),0,(mtP t Q -43123,43601236)43(1243222122122222+-=++-=+⇒=-+++⇒⎩⎨⎧=++=m t y y m mt y y t mty y m y x t my x 因为MQ PM λ=，NQ PN μ=，所以212122112y y y y m t y m t y y m t y +⨯--=-++-+=+μλ4123622-=--⨯--=t mtm t 2=⇒t ，即直线l 恒过定点)0,2(解法2：（定比点差法）设)0,(),,0(),,(),,(2211m Q n P y x N y x M ，由MQ PM λ=得λλλ+=+=1,111n y m x ，代入椭圆方程得012424)123(121(41(322222=-+--⇒=+++n m n m λλλλλ同理得012424)123(222=-+--n m λλ，所以μλ,是方程012424)123(222=-+--n x x m 的两根，所以24123242=⇒-=-=+m m μλ，即直线l 恒过定点)0,2(五、调和点列（1）调和点列的概念：如图①，点P 在线段AB 上)0(>=λλ的点P 只有一个，但是，如果将线段AB 改为直线AB)0(>=λλ的点P 有两个，如图②，不妨记另一个点为Q ，则)1(≠==λλQBAQPB AP ，此种情况下，我们称点Q B P A ,,,为调和点列，或者称点Q P ,调和分割BA ,①②特别的，当1=λ时，即点P 为AB 的中点，则Q 为无穷远点（2）调和点的性质如图，对于线段AB 的内分点C 和外分点D 满足D C ,调和分割B A ,，即DBADCB AC =，设O 为线段AB 的中点，则有以下结论：①点B A ,也调和分割D C ,，即BDCBAD CA =②ADAC AB 112+=（AB 是AC 与AD 的调和平均数）（3）利用定比分点、调和点列支配下的圆锥曲线①设B A ,为椭圆或双曲线上的两点，若存在Q P ,两点，满足PB AP λ=，QB AQ λ-=，则一定有122=±by y ax x Q P Q P 证明：设点),(),,(2211y x B y x A ，则λλλλ++=++=1,12121y y y x x x P P ，λλλλ--=--=1,12121y y y x x x Q Q 由于B A ,为椭圆或双曲线上的两点，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=±=±⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=±=±222222222221221222222221221111λλλb y a x b y a x b y a x by a x 222121221211))(())((λλλλλ-=-+±-+⇒b y y y y a x x x x ⇒=--⋅++⋅±--⋅++⋅⇒11111112121221212λλλλλλλλy y y y b x x x x a 122=±by y a x x Q P Q P ②设B A ,为抛物线上两点，若存在Q P ,两点，满足PB AP λ=，QB AQ λ-=，则一定有)(Q P Q P x x p y y +=证明：设点),(),,(2211y x B y x A ，则λλλλ++=++=1,12121y y y x x x P P ，λλλλ--=--=1,12121y y y x x x Q Q 由于B A ,为双曲线上的两点，所以)22()22())((2222222211221212122222121222121x x x x p x x p y y y y px y px y px y px y λλλλλλλ--+=-=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==)())((22122121212121x x x x x x x x p y y y y λλλλλλλλ---+-++=-+⇒)1)(1()1)(()1)(1()1)(()1)(1())((21212121λλλλλλλλλλλλ-++-⋅+-+-+⋅=-+-+⇒x x p x x p y y y y ⇒)(Q P Q P x x p y y +=定比点差的原理谜题解开，就是两个互相调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程题型2.利用定比分点和调和分点证明特征方程例3.（2015年四川卷改编）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ，M 是C 的上顶点，21=MF212MF MF ⋅=（1）求椭圆C 的方程（2）当过点)1,4(P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同两点B A ,时，线段AB 上取点Q ，且Q 满=，证明：点Q 总在某定直线上，并求出该定直线的方程解析：（1）13422=+y x （2）解法1：（设线韦达）显然l 斜率存在，设直线l ：)4(1-=-x k y ，),(),,(2211y x B y x A 083264)328()34(1243)4(1222222=--+-++⇒⎩⎨⎧=+-=-k k x k k x k y x x k y 所以3483264,3483222212221+--=+-=+k k k x x k k k x x ，设),(00y x Q ，=得34832)4(2))(4(8)4)(())(4(220212*********+-+=-++=⇒--=--k kk x x x x x x x x x x x x x 3483264222+--⨯-k k k ，整理得k x x )4(2300-=-，又4100--=x y k ，代入整理得03300=-+y x ，所以点Q 总在定直线033=-+y x 上解法2：（定比点差法）=⇒令PB AP λ=，则QBAQ λ-=设),(),,(),,(002211y x Q y x B y x A ，则11,412121=++=++λλλλy y x x ，λλλλ--=--=1,1210210y y y x x x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+22222222121222*********4134134λλλy x y x y x y x )1)(1(3))((4))((21212121λλλλλλ-+=-++-+⇒y y y y x x x x 03313144111311141000021212121=-+⇒=⨯+⨯⇒=--⋅++⋅+--⋅++⋅⇒y x y x y y y y x x x x λλλλλλλλ所以点Q 在定直线033=-+y x 上解法3：（定比点差法）=⇒令PB AP λ=，则QBAQ λ-=设),(),,(),,(002211y x Q y x B y x A ，则11,412121=++=++λλλλy y x x ，λλλλ--=--=1,1210210y y y x x x 从而022222141x y x =--λλ---------①，02222211y y y =--λλ----------②又点B A ,在椭圆上，所以12432121=+y x ------③，12432222=+y x ------④①3⨯+②4⨯结合③④得12112124122200=--=+λλy x ，即03300=-+y x 所以点Q 总在定直线033=-+y x 上例4.（2021年湛江三模）设抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，过点)4,0(P 的动直线l 与抛物线C 交于B A ,两点，当F 在直线l 上时，直线l 的斜率为2-（1）求抛物线的方程（2）在线段AB 上取点D ，满足PB P A λ=，DB AD λ=，证明：点D 总在定直线上解析：（1）xy 82=（2）解法1：（设线韦达）设直线AB ：)4(-=y m x ，),(),,(2211y x B y x A m y y m y y m my y xy y m x 32,803288)4(212122==+⇒=+-⇒⎩⎨⎧=-=，因为PB P A λ=，DB AD λ=，所以148832648)(4244212121200121-=--=-++-=⇒--=--=m mm m m y y y y y y y y y y y y y λ，又)4(-=y m x ，得4-=y x m ，所以1444---=y x y x y ，整理得0)4)((=--y y x x y =⇒或4=y （舍）所以点D 总在定直线x y =上解法2：（定比点差法）设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，则PB AP PB P A λλ-=⇒=，所以41,012121=--=--λλλλy y x x ，λλλλ++=++=1,1210210y y y x x x 由于B A ,为抛物线的两点，所以)22(4)22(4))((2222222211221212122222121222121x x x x x x y y y y px y px y px y px y λλλλλλλ--+=-=-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==)(4))((22122121212121x x x x x x x x y y y y λλλλλλλλ---+-++=-+⇒)1)(1()1)((4)1)(1()1)((4)1)(1())((21212121λλλλλλλλλλλλ-++-⋅+-+-+⋅=-+-+⇒x x x x y y y y ⇒0000)0(44x y x y =⇒+=所以点D 总在定直线x y =上模型总结模型一：对于抛物线的定比点差法，实际上是逆推（凑）出来的，对椭圆和双曲线的定比点差法：11111112121221212=--⋅++⋅±--⋅++⋅λλλλλλλλy y y y b x x x x a ，替换得122=±b y y a x x Q P Q P ，因此可以猜想：)(Q P Q P x x p y y +=和11(1121212121λλλλλλλλ--+++=--⋅++x x x x p y y y y 也是一致的极点极线有关的题目，尤其是和定比分点或者和调和点列有关的题目，一般都可以尝试利用定比点差法进行处理！定比点差法是一种变形技巧，没有超纲，因此，试用定比点差法解题，不用担心被扣分模型二：我们知道，设B A ,为椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上的两点，若存在Q P ,两点，满足PB AP λ=，QB AQ λ-=，则一定有122=+b y y a x x Q P Q P ，所以①若0=P y 或0=Q y ，则2a x x Q P =，此时若还有m x P =，则m a x Q 2=②若0=P x 或0=Q x ，则2b y y Q P =，此时若还有m y P =，则mb y Q 2=模型三：我们知道，设B A ,为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上的两点，若存在Q P ,两点，满足PB AP λ=，QB AQ λ-=，则一定有122=-by y ax x Q P Q P ，所以①若0=P y 或0=Q y ，则2a x x Q P =，此时若还有m x P =，则m a x Q 2=②若0=P x 或0=Q x ，则2b y y Q P -=，此时若还有m y P =，则mb y Q 2-=上面的公式的背景和极点极线有关，不妨可以称它们为“调和共轭数”练习1.（2021年山东二模）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21=e ，且经过点)23,1(，点21,F F 为椭圆C 的左右焦点（1）求椭圆C 的方程（2）过点1F 分别作两条互相垂直的直线21,l l ，且1l 与椭圆C 交于不同两点B A ,，2l 与直线1=x 交于点P ，若B F AF 11λ=，且点Q 满足QB QA λ=，求1PQF ∆面积的最小值解析：（1）13422=+y x （2）解法1：（设线韦达）设直线1l ：1-=my x ，),(),,(),,(002211y x Q y x B y x A 439,436096)43(124312212212222+-=+=+⇒=--+⇒⎩⎨⎧=+-=m y y m m y y my y m y x my x 因为B F AF 11λ=，QB QA λ=，所以my y y y y y y y y y y 3221210020121-=+=⇒--=-=λ于是mmQF 3121+=，又直线2l ：11--=y m x ，令1=x 得)2,1(m P -所以2112m PF +=，所以6)1(3)1(3212211≥+=+==∆mm m m PF QF S PQF ，当且仅当1±=m 时等号成立，所以1PQF ∆面积的最小值为6解法2：（定比点差法）设点),(),,(),,(002211y x Q y x B y x A ，因为B F AF 11λ=，QB QA λ=所以,01,1,112102121=++=---=++λλλλλλy y x x x x x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+222222221212222212134134134134λλλy x y x y x y x )1)(1(3))((4))((21212121λλλλλλ-+=-++-+⇒y y y y x x x x 410411113111410021212121-=⇒=+⨯-⇒=--⋅++⋅+--⋅++⋅⇒x x y y y y x x x x λλλλλλλλ所以),4(0y Q -，直线1PF ：)1(30+-=x y y ，令1=x 得)6,1(0y P -所以61818)1(9183649212120202020211=+≥++=+⨯+⨯==∆y y y y PF QF S PQF 当且仅当10±=y 时等号成立，所以1PQF ∆面积的最小值为6模型总结坐标与比值转换定理（定比设点法）：类型一定点P 在x 轴过定点)0,(P x P 的直线与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于B A ,两点，设PB AP λ=，),(),,(2211y x B y x A ，则一定存在点Q 满足QB AQ λ-=，根据定比点差法可知P Q x b x 2=，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++=-++=λλ222221QP Q P Q P Q P x x x x x x x x x x 证明：⇒⎩⎨⎧-=-+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++Q Q P P QP x x x x x x x x x x x x x x λλλλλλλλ2121212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++=-++=λλ222221Q P Q P Q P Q P x x x x x x x x x x 类型二定点在y 轴上过定点),0(P y P 的直线与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于B A ,两点，设PB AP λ=，),(),,(2211y x B y x A ，则一定存在点Q 满足QB AQ λ-=，根据定比点差法可知P Q y b y 2=同理可知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++=-++=λλ222221QP Q P Q P Q P y y y y y y y y y y证明：⇒⎩⎨⎧-=-+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=++Q Q P P Q P y y y y y y y y y y y y y y λλλλλλλλ2121212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++=-++=λλ222221Q P Q P Q P Q P y y y y y y y y y y 题型三、定比点差设点法与μλ,的取值范围问题例5.（2018年浙江高考）已知点)1,0(P ，椭圆)1(422>=+m m y x 上两点B A ,满足PB AP 2=，则当=m 时，点B 的横坐标的绝对值最大解法1：（设点）设),(),,(2211y x B y x A ，则⎩⎨⎧+-=-=⇒⎩⎨⎧-=-=-⇒=322)1(212221212121y y x x y y x x PB AP 因为A 在椭圆上m y x m y x =+-+-⇒=+⇒22222121)32(4)2(4my y m =-+-⇒2222)32(44432+=m y ，所以416)5(41)43(4444222222+--=+-=-=m m m y m x ，所以当5=m 时，点B 的横坐标的绝对值最大解法2：（定比点差法）由PB AP 2=可知存在点Q 使得QB AQ 2-=，由定比点差法结论知14=+my y mx x Q P Q P ，而1,0==P P y x 所以m y Q =，所以由PB AP 2=，QB AQ 2-=可得43)(2)1(2122121m y m y y m y y +=⇒⎩⎨⎧--=--=-，所以416)5(41)43(4444222222+--=+-=-=m m y x 当5=m 时，点B 的横坐标的绝对值最大例6.已知椭圆14922=+y x ，过定点)3,0(P 的直线与椭圆交于两点B A ,的取值范围解法1：（设点）设),(),,(2211y x B y x A，设λ=，则PB AP λ-=⎩⎨⎧--=--=-⇒)3(32121y y x x λλ⎩⎨⎧-+==⇒λλλ332121y y x x ，又点A 在椭圆上1492121=+⇒y x 所以λλλλλλλλ651314)33(41(14)33(922222222222-=⇒=-++-⇒=-++y y y y x又222≤≤-y ，所以265132≤-≤-λλ，解得551≤≤λ的取值范围为]5,51[解法2：（定比点差法）设),(),,(2211y x B y x A ，λ=，则由PB AP λ-=得0121=--λλx x ，3121=--λλy y ，由定比点差法可知11141119121212121=--⋅++⋅+--⋅++⋅λλλλλλλλy y y y x x x x 所以)1(34114302121λλλλ+=+⇒=++⋅+y y y y 所以λλλ65613)1(32)1(231-=++-=y ，因为221≤≤-y ，所以2656132≤+≤-λ，解得551≤≤λ]5,51[模型总结：（1）若定点在x 轴（y 轴）的点P 满足PB AP λ=，当点P 已知而曲线方程未知时，可以构造含2a 或2b 的二次函数来解决取值范围问题（2）若定点在x 轴（y 轴）的点P 满足PB AP λ=，当曲线方程已知而λ未知时，则要根据曲线的有界性和相切（此时1±=λ）来确定变量的取值范围题型4.与坐标轴平行线过定点问题例7.（2021湛江模拟）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，长轴长为24，B A ,为椭圆上的两个动点，当B A ,关于原点对称时，2)(22ABF S BF AF ∆⋅+的最大值为216（1）求椭圆C 的方程（2）若存在实数λ使得AB AF λ=1，过点A 作直线4-=x 的垂线，垂足为N ，直线NB 是否恒过某点？若恒过某点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由解析：（1）14822=+y x （2）解法1：（非对称韦达）设直线AB ：2-=my x ，),(),,(2211y x B y x A ，则),4(1y N -24,24044)2(8222212212222+-=+=+⇒=--+⇒⎩⎨⎧=+-=m y y m m y y my y m y x my x )(2121y y y my +-=⇒直线NB ：)4(42121++-=-x x y y y y ，令0=y 得12211221)2(4)4(4y y my y y y x y x -+--=-+--=3144242412211212112121-=+-=----=-+----=-+--=y y y y y y y y y y y y y my 所以直线NB 过定点)0,3(-解法2：（定比点差法）设),(),,(2211y x B y x A ，由AB AF λ=1可设B F AF 11μ=，PB AP μ-=，则由定比点差法结论知414082-=⇒=⨯+-P PP x y x 所以μμμμμμμμμμ3144221412221212121-=⇒⎩⎨⎧+-=---=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-++=-x x x x x x x x x 因为AN ∥M F 1，所以MB NM μ=，所以31314142-=+-+-=++-=μμμμx x M 解法3：（定比设点法）设),(),,(2211y x B y x A ，由AB AF λ=1可设B F AF 11μ=，则μμ+-=---+-+-=3228222821x ，μμ13228222822+-=---+-+-=x ，021=+y y μ因为AN ∥M F 1，所以MB NM μ=，所以31)13(4142-=++-+-=++-=μμμμμx x M 即直线NB 过定点)0,3(-例8.（2021年铁岭一模）已知椭圆方程13422=+y x ，直线l ：4=x 与x 轴相交于点P ，过右焦点F 的直线与椭圆交于B A ,两点（1）若过点F 的直线MF 与AB 垂直，且与直线l 交于点M ，线段AB 的中点为D ，求证：OMOD k k =（2）设点Q 的坐标为)0,25(，直线BQ 与直线l 交于点E ，试问EA 是否垂直EP ，若是，写出证明过程，若不是，请说明理由解析：（1）解法1：（点差法）设点),4(t M ，),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x D ，则4303))((4))((134134212121212121212122222121-=++--⇒=-++-+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+x x y y x x y y y y y y x x x x y x y x 43-=⋅⇒OD AB k k ，又1-=⋅⇒⊥AB MF k k AB MF ，所以434343t t k k MF OD =⨯==又4tk OM =，所以OM OD k k =解法2：（设线韦达）设直线AB ：1+=my x ，),(),,(2211y x B y x A 439,436096)43(124312212212222+-=+-=+⇒=-++⇒⎩⎨⎧=++=m y y m m y y my y m y x my x 所以4332221+-=+=m m y y y D ，43112+=+=m my x D D ，即433,434(22+-+m mm D 所以43mk OD -=直线MF ：)1(--=x m y ，令4=x 得)3,4(m M -，所以43mk OM -=，所以OMOD k k =（2）解法2：（非对称韦达）由韦达定理可知2121212133296y y y my my y y y +=⇒=+122212323)32(3y my y my y y =-⇒-=⇒直线BQ ：)25(2522--=x x y y ，令4=x 得12222323523y my y x y y E =-=-=所以EA 垂直于EP解法2：（定比点差法）设),(),,(2211y x A y x B ，F A BF λ=，MA BM λ-=则由定比点差法结论知413041=⇒=⨯+⨯M MM x y x 所以λλλλλλλλλ3524411411121212121-=⇒⎩⎨⎧-=-+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=++=x x x x x x x x x ，0102121=+⇒++=y y y y λλλ所以直线)25(2511--=x x y y ，令4=x 得22115353523y y x y y E =---=-=λλ所以EA 垂直于EP解法2：（定比设点法）设F A BF λ=，),(),,(2211y x A y x B ，则λλ23252412411-=-++=x ，λλ23252412412-=-++=x ，021=+y y λ所以直线BQ ：)25(2511--=x x y y ，令4=x 得22115353523y y x y y E =---=-=λλ所以EA 垂直于EP模型总结：（中点截距定理）如图，在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 中，B A ,为椭圆上两点，设x 轴上一点)0,(m P ，存在直线n x =和x 轴上一点Q ，连接BQ 并延长交直线n x =于M ，则①2a mn =；②直线AM ∥x 轴；③22m a m x Q +=中任何两个可以得到第三个已知①2a mn =，②直线AM ∥x 轴，求证：22m a m x Q +=证明：令P A BP λ=，设),(),,(2211y x B y x A ，则存在点R ，使得RA BR λ-=，则m a x R 2=λ22221m a m m a m x -++=，又直线AM ∥x 轴，故QM BQ λ=，所以2122122221m a m m a m a m m a m x x x M Q +=++-++=++=λλλλλ题型5.圆锥曲线角平分线定理三角形的内角平分线定理：ABC ∆中，若AD 是A ∠的平分线，则有DCBDAC AB =证法1：过点D 作AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ，BC 边上的高为h ，易知DF DE =所以⇒⋅⋅=⋅⋅=∆∆h DC h BD DF AC DE AB S S ACD ABD DCBDAC AB =证法2：（正弦定理）在ABD ∆和ACD ∆中由正弦定理得BAD BD ADB AB ∠=∠sin sin ；CADDCADC AC ∠=∠sin sin 又因为CAD BAD ADC ADB ∠=∠∠=∠sin sin ,sin sin 所以DCBDAC AB =例9.（2018年全国Ⅰ卷）设椭圆C ：1222=+y x 的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于BA ,两点，点M 的坐标为)0,2(（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程（2）设O 为坐标原点，证明：OMBOMA ∠=∠解析：（1）当l 与x 轴垂直时，)22,1(±A ，所以直线AM ：222+-=x y 或222-=x y （2）证法1：（设线韦达）当l 与x 轴重合时，00=∠=∠OMB OMA ；当l 与x 轴不重合时，设直线AB ：1+=my x ，),(),,(2211y x B y x A ，21,22012)2(2212212212222+-=+-=+⇒=-++⇒⎩⎨⎧=++=m y y m m y y my y m y x my x 1)()(2112221212212122112211++-+-=-+-=-+-=+y y m y y m y y y my my y my y x y x y k k BM AM 01)(22222121222=++-+-++-=y y m y y m m mm m ，所以OMB OMA ∠=∠证法2：（定比点差法）当l 与x 轴重合时，00=∠=∠OMB OMA 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的中垂线，OMBOMA ∠=∠当l 与坐标轴不垂直时，设),(),,(2211y x B y x A ，点B 关于x 轴对称的点),(22'y x B -，设直线'AB 与x 轴相交于点N ，根据几何性质可得ON 为ANB ∠的角平分线，根据角平分线定理有NB AN NB AN B F AF =='22，令'NB AN λ=，则)0,1(21λλ++x x N ，B F AF 22λ-=，所以1121=--λλx x ，因为B A ,在椭圆上，所以22121212122222222121222221211))((2))((2121212λλλλλλλλ-=-++-+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x y x y x 111112*********=--+++--++⋅⇒λλλλλλλλy y y y x x x x ，即21121=⇒=⨯⨯N N x x ，所以)0,2(N ，即N 与M 重合，所以OMBOMA ∠=∠证法3：（定比设点法）设),(),,(2211y x B y x A ，B F AF 22λ=，则λλ21232212211-=-++=x ，λλ21232212212-=-++=x ，021=+y y λ所以0121222123221232222222211=+-+=--+---=-+-=+λλλλλλλy y y y x y x y k k BM AM 所以OMBOMA ∠=∠例10.（2021年黄山二模）已知椭圆1C ：)0(12222>>=+b a b y a x ，其短轴长为32，离心率为1e ，双曲线2C :)0,0(122>>=-q p qy p x 的渐近线为x y 3±=，离心率为2e ，且121=e e （1）求椭圆1C 的方程（2）设椭圆1C 的右焦点为F ，动直线l （l 不垂直于坐标轴）交椭圆1C 于N M ,不同两点，设直线FM 和FN 的斜率为21,k k ，若21k k -=，试探究该动直线l 是否过x 轴上的定点，若是，求出该定点，若不是，请说明理由解析：（1）由题意3=b ，212=+=p q e ，所以211==a c e ，1,1==c a 所以椭圆1C 的方程为13422=+y x （2）解法1：（设线韦达）设直线l ：t my x +=，),(),,(2211y x N y x M 43123,43601236)43(1243222122122222+-=+-=+⇒=-+++⇒⎩⎨⎧=++=m t y y m mt y y t mty y m y x t my x 由0110110221122112121=-++-+⇒=-+-⇒=+⇒-=t my y t my y x y x y k k k k04366432460))(1(222222121=+--+-⇒=+-+⇒m mtmt m m mt y y t y my 4=⇒t 存在点)0,4(P 满足题意解法2：（定比点差法）延长NF 交椭圆于'M ，因为FN FM k k -=，所以0'=+M M y y ，'M M x x =，故PF M NPF '∠=∠，所以FNFM PN PM PN PM ''==，令PN MP λ=，则FN F M λ-='，所以λλ++=1N M P x x x ，λλ--==11N M F x x x ，λλ++=1N M P y y y ，λλ--==10NMF y y y 根据定比点差法可知：14=F P xx ，所以4=P x ，故存在点)0,4(P 满足题意解法3：（定比设点法）设),(),,(2211y x N y x M ，PN MP λ=，)0,(m P ，则0,2424,24242121=+-++=-++=y y m m m m x m m m m x λλλ由01242412424011022221121=--+++--++-⇒=-+-⇒=+λλλm m m m y m m m m y x y x y k k 40)1)(28(=⇒=+-⇒m mλ，所以存在点)0,4(P 满足题意模型总结：已知AB 交椭圆)0(12222>>=+b a by a x 长轴（短轴）于点P ，',B B 是椭圆上关于长轴（短轴）对称的两点，直线'AB 交长轴（短轴）于Q ，则2a x x Q P =⋅或2b y y Q P =⋅题型6.斜率之和与积问题（齐次式解决不了的斜率问题）定比设点法之三炮齐鸣，天下太平若B A ,在圆锥曲线上，PB AP λ=，)0,(m P ，故根据定比设点法得出三式：λ2222m a m m a m x A -++=，λ2222m a m m a m x B -++=，0=+B A y y λ三式设点，代入斜率之和与积计算，这三式俗称：三炮齐鸣，天下太平！证明：（定比点差法）设QB AQ λ-=，则Q P ,调和分割B A ,，由定比点差法结论知ma x a x x by y ax x Q Q P Q P Q P 2222101=⇒=+⇒=+，由PB AP λ=，QB AQ λ-=得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++=-++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=++=λλλλλλλλλλ2222112222222m a m m a m x m a m m a m x m a m a x x m m x x x x m a x x m B A B A B A B A B A ，由PB AP λ=得⇒++=λλ10BA y y 0=+B A y y λ例11.（2021年押题卷）已知椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 经过点)0,2(-Q ，且直线),(022b c b a c bc cy bx >-==-+与圆4322=+y x 相切（1）求椭圆E 的标准方程（2）若过点)0,1(M 的直线l 交E 于B A ,两点，是否存在定点P ，使直线AP 与直线BP 的斜率之和为2？若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由解析：（1）1422=+y x （2）解法1：（设线韦达）设直线AB ：1+=my x ，),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x P 43,42032)4(4412212212222+-=+-=+⇒=-++⇒⎩⎨⎧=++=m y y m m y y my y m y x my x 由211220202010102020101=-+-+-+-⇒=--+--⇒=+x my y y x my y y x x y y x x y y k k BP AP 0)1(2))(122()22(2021000212=-++--+++-⇒x y y mx my x m y y m m 0)1(242)122(43)22(20200022=-++---++++--⇒x m m mx my x m m m m 0)12(8)4(2)228(002000022000=-+--+-+-+⇒x y x y x m x m x y x 对任何m 恒成立所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=-=-+0120)4(202280020002000x y x y x x x y x ，解得⎩⎨⎧==3400y x ，所以存在定点)3,4(P ，使直线AP 与直线BP 的斜率之和为2解法2：（定比设点法）设),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x P ，MB AM λ=，则λλ23252412411-=-++=x ，λλ23252412412-=-++=x ，021=+y y λ223)25(23)25(2325232500200200200202020101=---+----=---+----=--+--=+λλλλλλλλx y y x y y x y y x y y x x y y x x y y k k PB P A 0)1)(4(02=---⇒λλx y ，又1≠λ，所以40400=⇒=-x x ，30=y 存在定点)3,4(P 使直线AP 与直线BP 的斜率之和为2模型总结：过点)0,(m M 的直线交椭圆)0(12222>>=+b a by a x 于B A ,两点，椭圆上存在点P ，使得t k k PBP A =+成立，则一定有)2,(22t mma m a P -例12.（2021全国模拟）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21,F F ，且离心率为22，M 为椭圆上任意一点，当02190=∠MF F 时，21MF F ∆的面积为1（1）求椭圆C 的方程（2）已知点A 是椭圆C 上异于椭圆顶点的一点，延长21,AF AF 分别与椭圆交于D B ,，求证：BD OA k k ⋅为定值解析：（1）1222=+y x （2）解法1：（设点解点）设点)0)(,(0000≠y x y x A ，则122020=+y x 直线1AF ：)1(100++=x x y y ，直线2AF ：)1(100--=x x yy ，0)1(224]2)1[(22)1(1202020*********=+-++++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+++=x y x y x y x y x x x y y 所以324332432)1()1(22000020202020200+--=⇒+--=+++-=x x x x x x y x x y x x B B ，32)1(10000+-=++=x y x x y y B B 同理得324300--=x x x D ，32)1(10000-=++=x y x x y y B D所以00200020000000000066)2(124324332433232y x y y x x y x x x x x x y x y k BD-=-=-=+++--++-=所以61)6(0000-=-⨯=⋅y x x y k k BD OA 解法2：（定比设点法）第一步：（双三炮齐鸣）：设),(),,(),,(221100y x D y x B y x A ，设D F AF B F AF 2211,μλ==，则λλ21232)2()1(2)2()1(0+-=---+-+-=x ，λλ21232)2()1(2)2()1(1+-=---+-+-=x ，010=+y y λ，μμ21232212210-=-++=x ，μμ21232212212-=-++=x ，020=+y y μ所以621232123=+⇒-=+-μλμλ第二步：（对接数据）2000021213183)26(33)(21213μμλμμλμλμλ+--=--=++----=--=a y y yy x x y y k BD，μ2123000-==y x y k OA第三步：（寻找对称）222202203183)21(431834)2123)(3183()26(μμμμμμμμ+--=+-=-+--=⋅x y y k k BDOA 61)16(3)16(213183)2)2123(1(42222-=+-+--=+---=μμμμμμμ模型总结：问题依然控制在三步思维内，只是在这里，计算与数据处理逻辑显得很关键口诀：和消去，积分解斜率之和要消去无关变量，比如010=+y y λ，用0y 表示斜率，则会产生关于0y 的一次式，只需要针对0y ，局部通分得到00⨯y 形式，斜率之积，会出现2y ，此时将202222x ab b y -=，代入λ22220m a m m a m x -++=，分子分母均能因式分解，或者分子分母关于λ的二次式、一次式、常数项比例相同，从而得到定点定值关于焦弦常数：设点P 为椭圆或双曲线上任一点，过焦点21,F F 分别作弦PB P A ,，设A F PF 11λ=，B F PF 22μ=，连接12,BF AF 交于点Q ，则2222221)1(2)(2e e c a c a -+=-+=+μλ推广：如果将焦点21,F F 换成)0,(),0,(21m M m M -，则2222)(2m a m a -+=+μλ证明：对A M PM 11λ=，A M PM 22μ=，利用定比点差法易得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++=+-+--=μλ)(2(22222m a m m a m x ma m m a m x P P 22222222)(2)((m a m a m a m m a m m a m m a m -+=+⇒-++=+-+--⇒μλμλ题型7向量乘积为定值问题例13.（2021安庆二模）已知椭圆C ：)0(16222>=+b b y x 的左右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -P 为椭圆C 上任意一点，三角形21F PF 的面积的最大值为3（1）求椭圆C 的方程（2）若过点)0,2(M 的直线l 交椭圆于B A ,两点，且)0,49(Q ，证明：QB QA ⋅为定值解析：（1）13622=+y x （2）解法1：（设线韦达）设直线l ：2+=my x ，),(),,(2211y x B y x A 22,268,28024)2(0688)2(62222122212212222222+-=+-=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+-+⇒⎩⎨⎧=++=m y y m m x x m x x my y m m x x m y x my x 所以16152216812849268)49)(49(22222121-=+-+++⨯-+-=+--=⋅m m m m y y x x QB QA 解法2：（定比设点法）步骤一：令MB AM λ=，调和3=N x ，λλ2125232232-=-++=A x ，λλ2125232232-=-++=B x ，0=+B A y y λ步骤二：λλλ-+----=+--=⋅2)492125492125())((A B A Q B Q A y y y x x x x QB QA161584581)1(8116523)1(811652-=+-++-=--+-=λλλλλλλA x 例14.（2021宣城模拟）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆C 的短轴为直径的圆与直线02=-+y x 相切（1）求椭圆C 的标准方程（2）设过椭圆C 的右焦点且不重合于x 轴的动直线与椭圆C 相交于B A ,两点，探究在x 轴上是否存在定点E ，使得EB EA ⋅为定值？若存在，求出点E 坐标；若不存在，请说明理由解析：（1）1222=+y x （2）解法1：（设线韦达）设直线AB ：1+=my x ，),(),,(2211y x B y x A ，)0,(0x E 21,222,24012)1(0224)1(22122122212212222222+-=+-=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+-+⇒⎩⎨⎧=++=m y y m m x x m x x my y m m x x m y x my x 所以2020222020*********4122124222))((x m x m m x m x m m y y x x x x EB EA ++-+-=+-++-+-=+--=⋅为定值，所以452411200=⇒-=-x x ，所以存在定点)0,45(E ，使得EB EA ⋅为定值解法2：（定比设点法）步骤一：椭圆C 的右焦点)0,1(2F ，设B F AF 11λ=，则λλ2123221221-=-++=A x ，λλ2123221221-=-++=B x ，0=+B A y y λ步骤二：λλλ2)2123)(2123())((A B A B A y t t y y t x t x EB EA -----=+--=⋅λλλλλλλ2)2123(1)2123)(2123()21()2123)(2123(22-------=------=t t x t t A)1)(2185(43)23(2λλ+--+-=t t 为定值，所以4502185=⇒=-t t 题型8.蝴蝶模型之直线过定点与斜率为定值问题坎迪定理：设过点)0,(m M 的两直线分别交有心圆锥曲线于C A ,和D B ,两点，连接CDAB ,分别交x 轴于点G E ,，点M 的极线ma x 2=交x 轴于点)0,(2m a H ，则①MG ME MA MA 111121-=-，②HEHGk k AB CD =例15.（2021年江苏模拟）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为21，焦点到相应准线的距离为3（1）求b a ,的值（2）已知B A ,是椭圆C 上关于原点对称的两点，A 在x 轴的上方，)0,1(F ，连接BF AF ,并分别延长交椭圆C 于E D ,两点，证明：直线DE 过定点解析：（1）3,2==b a （2）解法1：（设点）设),(),,(),,(),,(33221111y x E y x D y x B y x A --，则由D F A ,,三点共线212112221111y y y x y x x yx y k k DF AF -=-⇒-=-⇒=⇒-----------------①又)(4)31(431(422212221212222212122y y y y y y y x y x -=---=-))((4))((212121122112y y y y y x y x y x y x -+=-+⇒，所以)(4212112y y y x y x +=+------②联立①②得5285112--=x x x ，523112-=x y y ，同理可得5285113++=x x x ，523113+=x y y 直线DE ：)(232322x x x x y y y y ---=-，令0=y 得323223323222)(y y yx y x y y x x y x x --=---=5830485235235235285523528511111111111111==+--+⨯----⨯++=y y x y x y x y x x x y x x ，即直线DE 过定点)0,58(解法2：（定比设点法）步骤一：设),(),,(),,(),,(33221111y x E y x D y x B y x A --，令FE BF FD AF μλ==,，所以λλ23252412411-=-++=x ，μμ23252412411-=-++=-x ，两式相加得310=+μλλλ23252412412-=-++=x ，021=+y y λ，μμ23252412413-=-++=x ，021=+-y y μ步骤二：深挖三点共线令DE 交x 轴于)0,(m M ，根据m y m y m x y m x y k k EM DM ---=--⇒-=-⇒=λλμμ232523251122333))(25(23)25(123)25(1=+-⇒+--=--⇒μλλμm m m ，所以583310)25(=⇒=⨯-m m 即直线DE 过定点)0,58(这里涉及到坎迪定理中的定点问题，还有一个斜率为定值的，我们可以继续深挖：15910)(23)(232311112323+-=--+=+-+=--=λμλμλλμλμy y y y x x y y k DE ，53223251111+-=-==λλy y x y k AB 所以35=AB DE k k 坎迪定理在高考中不能直接使用，我们仅仅是知道结论，用来验算答案是否正确，定比点差法的三炮齐鸣，必然天下太平！下面我们来了解一下抛物线的定比点差设点法，过定点)0,(m M 的直线AB 和抛物线)0(22>=p px y 相交，设MB AM λ=，),(),,(1111y x B y x A --，则有①⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=-++=21212111y y x x m x x m λλλλλ；②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===2121y y m x m x λλλ；③⎩⎨⎧-==pm y y m x x 221221证明：由MB AM λ=可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ1012121y y x x m ，)11(11222121212122222121λλλλλλλλλλ+-+++=--⋅++⇒⎪⎩⎪⎨⎧==x x x x p y y y y px y px y λλ--=-⇒121x x m ，进而得②③由于形式非常对称，我们甚至可以⎪⎩⎪⎨⎧-==λλpm y pm y 2221或⎪⎩⎪⎨⎧=-=λλpm y pm y 2221，具体正负号选取可以根据题意例16.（2021济南一模）如图，N M B A ,,,为抛物线x y 22=上四个不同的点，直线AB 与直线MN 相交于点)0,1(，直线AN 过点)0,2(（1）记B A ,的纵坐标分别为B A y y ,，求B A y y 的值（2）记直线BM AN ,的斜率分别为21,k k ，是否存在实数λ，使得12k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由解析：（1）设直线AB ：1+=my x 20222122-=⇒=--⇒⎩⎨⎧=+=B A y y my y xy my x （2）解法1：（设线韦达）同理可得2-=N M y y ，4-=N A y y 因为NA N A N A N A N A y y y y y y x x y y k +=--=--=222221，M B y y k +=22所以222212-=-=-+-+=++==N A NA N A MB NA y y y y y y y y y y k k λ，所以存在实数2-=λ，使得12k k λ=解法2：（定比设点法）步骤一：定比设点令AB 与MN 交点为)0,1(P ，再令PB AP λ=，PN MP μ=所以μμμμλλλλ2,1,2,,2,1,2,-====-====N N M M B B A A y x y x y x y x 步骤二：深挖几何AN 过点)0,2(，μλ44=⇒=N A x x。

定比分点的定义及求解方法在几何学中，比分点是指将一条线段分成两个比例相等的部分的点。

而定比分点则是指已知线段两端点和比例，求这个比例所对应的点的位置。

定比分点的定义定义一：已知线段AB，C是线段AB的任意一点，比例为m:n，则点D就是线段AB的定比分点，当且仅当AD:BD=m:n。

其中，当m=n=1时，点D是线段AB的中点。

定义二：在平面几何中，如果已知线段AB的长度为d，而且已知点D在线段上，线段在D点分割的比例为m:n，则当且仅当AD:BD=m:n时，D称为线段AB的定比分点。

定比分点的求解方法1.按照比分点的定义直接求解我们可以直接根据定比分点的定义来求解，通过构建等式来解出指定的比例段长度，最终确定定比分点的位置。

比如在定义一中，我们有AD:BD=m:n，因此可以得到AD=m/(m+n)×AB,BD=n/(m+n)×AB。

通过这个公式，我们可以根据已知的数据计算出定比分点的位置。

2.使用向量法求解向量法可以被用来求解定比分点的位置。

首先将线段AB表示为向量a和向量b，那么使向量BD=θa，则向量AD=(1-θ)b。

因此，我们有AD/AB=(1-θ)，BD/AB=θ。

同时由于AD/BD=m/n，我们可以得到m/(m+n)=(1-θ)/θ，解出θ=(n/ (n+m))，从而求出点D的位置。

3.使用相似三角形法求解在图形中，我们可以将三角形ADB与三角形CDF进行相似处理。

因此，我们有AD/AB=DF/CF=m/n，由此得到DF=CF×m/n，那么点D就可以表示为点C向量加上DF×向量AB的一部分。

总结以上就是定比分点的定义及求解方法，当然还有其他的方法可以求解定比分点的位置，比如重心法和割分线法等，根据不同的问题，我们可以使用不同的方法来求解定比分点。

无论是哪一种方法，都需要运用相应的数学知识和技巧，才能确保求解结果的准确性。

向量的定比分点公式运用设有向量AB表示一条线段，点C为分割点，将AB分成的两个线段分别为AC和CB。

那么根据向量的定比分点公式，我们可以得到以下关系式：AC=λABCB=(1-λ)AB其中，λ是一个标量，表示分割点C到点A的距离与线段AB的长度之比。

下面我们将介绍向量的定比分点公式的几种具体运用。

1.证明三点共线：给定三个点A、B、C，要证明它们共线，可以使用向量的定比分点公式。

假设分割点C在点A和点B之间，那么根据向量的定比分点公式，可以得到AC=λAB，CB=(1-λ)AB。

若AC与CB的坐标相同，则说明三点共线。

2.点的坐标求解：已知线段AB的坐标，要求分割点C的坐标。

根据向量的定比分点公式，我们可以得到AC=λAB，即(x_C-x_A,y_C-y_A)=λ(x_B-x_A,y_B-y_A)。

令点C的坐标为(x_C,y_C)，代入这个关系式可以求解出点C的坐标。

3. 矢量平均值：给定一组n维向量，要求它们的平均值。

可以使用向量的定比分点公式求解。

假设向量集合为{v_1, v_2, ..., v_n}，则平均向量v_avg可以表示为v_avg = λ_1*v_1 + λ_2*v_2 + ... +λ_n*v_n。

其中，λ_1 + λ_2 + ... + λ_n = 1，且λ_i >= 0。

这样可以求得平均向量v_avg的坐标。

4.线段的等分点：已知线段AB的长度，要求线段上的一个点C，使得AC与AB的长度比为m:n。

根据向量的定比分点公式，我们可以得到AC=λAB，其中λ=(m/(m+n))。

将AB的长度乘以λ，得到AC的长度，即可得到分割点C的坐标。

5.找出一些点到线段的最近点：假设有线段AB和点P，要求点P到线段AB上的最近点Q的坐标。

根据向量的定比分点公式，可以得到向量AQ=λAB，其中λ表示AQ与AB的长度之比。

我们可以通过遍历0≤λ≤1的所有值，计算出对应的点Q的坐标，再选择距离最近的点作为最近点Q的坐标。

高中数学立体几何学习常用公式及结论一线线平行的判断：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

直线和交线平行图②如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

交线平行图③垂直于同一平面的两条直线平行。

直线平行图二、线线垂直的判断：①在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

②在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。

线线垂直图③若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。

补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

三、线面平行的判断：①如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

②两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

四、面面平行的判断：①一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内两相交直线，这两个平面平行。

②垂直于同一条直线的两个平面平行。

五、线面垂直的判断：①如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。

②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。

③一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

④如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。

六、面面垂直的判断：一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。

七、空间角的求法：（所有角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三角形）①异面直线所成的角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交直线所成的角。

异面直线所成角的范围：0° < α≤90°；若异面直线中一条直线是三角形的一边，则平移时可找三角形的中位线。

有的还可以通过补形，如：将三棱柱补成四棱柱；将正方体再加上三个同样的正方体，补成一个底面是正方形的长方体。