空间向量定比分点公式及应用.

向量知识点与公式总结向量知识点与公式总结篇1考点一：向量的概念、向量的基本定理了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。

注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。

考点二：向量的运算向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会推断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积推断两个平面向量的垂直关系。

命题形式重要以选择、填空题型显现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。

考点三：定比分点掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能娴熟应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮忙理解。

重点考查定义和公式，重要以选择题或填空题型显现，难度一般。

由于向量应用的广泛性，常常也会与三角函数，解析几何一并考查，若显现在解答题中，难度以中档题为主，偶然也以难度略高的题目。

考点四：向量与三角函数的综合问题向量与三角函数的综合问题是高考常常显现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，实现了高考中试题的掩盖面的要求。

命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。

考点五：平面向量与函数问题的.交汇平面向量与函数交汇的问题，重要是向量与二次函数结合的问题为主，要注意自变量的取值范围。

命题多以解答题为主，属中档题。

考点六：平面向量在平面几何中的应用向量的坐标表示实际上就是向量的代数表示.在引入向量的坐标表示后，使向量之间的运算代数化，这样就可以将“形”和“数”紧密地结合在一起.因此，很多平面几何问题中较难解决的问题，都可以转化为大家熟识的代数运算的论证.也就是把平面几何图形放到适当的坐标系中，给予几何图形有关点与平面向量具体的坐标，这样将有关平面几何问题转化为相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.命题多以解答题为主，属中等偏难的试题。

【高考导航】高考对本节的要求：理解右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体顶点的坐标；掌握空间向量的坐标运算法则；掌握空间两点间距离公式；会根据坐标，判断两个向量共线或垂直；会运用中点坐标公式解决有关问题.此节内容高考必考，而且是以解答题的形式出现.例如2003全国新课程卷12分；2003上海春季高考题12分；2002全国新课程卷12分.【学法点拨】本节内容主要有空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，平行向量，垂直向量坐标之间的关系以及中点公式.空间直角坐标系是选取空间任意一点O 和一个单位正交基底｛i ，j ，k ｝建立坐标系，对于O 点的选取要既有作图的直观性，而且使各点的坐标，直线的坐标表示简化，要充分利用空间图形中已有的直线的关系和性质；空间向量的坐标运算同平面向量类似，具有类似的运算法则.一个向量在不同空间的表达方式不一样，实质没有改变.因而运算的方法和运算规律结论没变.如向量的数量积a ²b =|a |²|b |cos<a ，b >在二维、三维都是这样定义的，不同点仅是向量在不同空间具有不同表达形式.空间两向量平行时同平面两向量平行时表达式不一样，但实质是一致的，即对应坐标成比例，且比值为λ，对于中点公式要熟记.同时了解空间定比分点公式以及重心坐标公式.总之对于本节的学习要结合平面向量的有关知识，加强练习巩固.【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.空间直角坐标系在空间选定一点O 和一个单位正交基底｛i ，j ，k ｝（i ，j ，k 按右手系排列）建立坐标系，坐标轴正方向与i ，j ，k 方向相同.空间一点P 的坐标的确定可以按如下方法：过P 分别作三个坐标平面的平行平面（或垂直平面），分别与坐标轴交于A 、B 、C 三点，|x|=O A ，|y|=O B ，|z|=O C ，当与i 方向相同时，x ＞0，反之x ＜0.同理确定y 、z.点P 的坐标与坐标相同.2.向量的直角坐标运算设a =(a 1，a 2，a 3)，b =（b 1，b 2，b 3），则 a +b =(a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3)， a -b =(a 1-b 1，a 2-b 2，a 3-b 3)， a ²b =a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3a ∥b ⇔a 1=λb 1，a 2=λb 2，a 3=λb 3(λ∈R ).或11b a =22b a =33b a a ⊥b ⇔a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0 3.夹角和距离公式 (1)夹角公式设a =(a 1，a 2，a 3)，b =(b 1，b 2，b 3) 则cos<a ，b >=332221232221332211b b b a a a b a b a b a ++∙++++（2）距离公式设A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，z 2），则 ||=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.（3）定比分点公式设A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，z 2），则 若M 分AB 为定比λ（λ≠-1），则M 的坐标为 x=λλ++121x x ，y=λλ++121y y ，z=λλ++121z z ，特别地，当λ=1即M 为中点时得中点坐标公式： x=221x x +，y=221y y +，z=221zz +. 由中点公式，可得以A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，z 2），C （x 3，y 3，z 3）为顶点的三角形重心公式：x=3321x x x ++，y=3321y y y ++，z=3321zz z ++.4.两个概念(1)向量垂直于平面，若表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，称a 垂直于α，记作a ⊥α.(2)法向量，如果a ⊥α，称向量a 是α的法向量. 二、重点难点突破本节重点是空间右手直角坐标系，向量的坐标运算，夹角公式和距离公式.建立右手直角坐标系要以题中已知条件为依托，让尽可能多的点，尽可能多的线落在轴上或者是坐标平面上，简化运算过程.空间向量坐标运算要抓住空间向量的坐标表示这一根本去突破.即向量a 在空间用惟一的有序数组a =(x ，y ，z)来表示.对于夹角公式.两点间距离公式要多练习.本节的难点是向量坐标的确定及夹角公式和两点间距离公式的应用.要理解两点间距离公式类似于平面上两点间的距离公式.可直接套用，两公式都与坐标原点的选取无关.三、易错点和易忽略点导析1.本节课涉及到几何量的代数运算，夹角公式和两点间距离公式的应用.易出现计算不准确而导致结论错误.2.易忽略向量坐标的表达形式a =（x ，y ，z ），在实际解题中有很多同学忽略了“=”，与点坐标(x ，y ，z)混淆.【综合应用创新思维点拨】 一、学科内综合思维点拨【例1】 已知空间三点A （-2，0，2），B （-1，1，2），C （-3，0，4）.设a =AB ，b =AC ，（1）求a 和b 的夹角θ；（2）若向量k a +b 与k a -2b 互相垂直，求k 的值.思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.解：∵A(-2，0，2)，B （-1，1，2），C(-3，0，4)，a =AB ，b =AC ， ∴a =(1，1，0)，b =（-1，0，2）. (1)cos θ=||||b a b a ∙∙=52001⨯++--1010，∴a 和b 的夹角为π-arccos1010.(2)∵k a +b =k （1，1，0）+（-1，0，2）＝（k-1，k ，2）， k a -2b =（k+2，k ，-4），且(k a +b )⊥（k a -2b ），∴（k-1，k ，2）²（k+2，k ，-4）=(k-1)(k+2)+k 2-8=2k 2+k-10=0. 则k=-25或k=2. 点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做.(k a +b )(k a -2b )=k 2a 2-k a ²b -2b 2=2k 2+k-10=0， 解得k=-25，或k=2. 【例2】 如图9-6-1，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D 、BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG=41CD ，H 是C 1G 的中点.应用空间向量的办法解决下列问题：(1)求证：EF ⊥B 1C ；(2)求EF 与C 1G 所成角的余弦值； (3)求FH 的长.思维入门指导：本题主要利用空间向量的基础知识，证明异面直线垂直，求异面直线所成的角及线段的长度.解：如图9-6-1，建立空间直角坐标系O 一xyz ，D 为坐标原点O ，由已知得E(0，0，21)，F(21，21，0)，C(0，1，0)，C 1(0，1，1)，B 1(1，1，1)，G(0，43，0). (1)则EF =(21，21，-21)，C B 1=(-1，0，-1). ∴EF ²C B 1=(21，21，-21)²(-1，0，-1) =21³(-1)+21³0+(-21)³(-1)=0. ∴EF ⊥C B 1.即EF ⊥B 1C. (2)G C 1=(0，-41，-1)，则|G C 1|=417. 又|EF |=23，且EF ²G C 1=83， ∴cos<EF ，G C 11=1751. (3)∵H 是C 1G 的中点，由中点坐标公式知H(0，87，21).又F(21，21，0)， ∴FH=||=222)021()2187()210(-+-+-=841. 点拨：通过向量，把几何问题转化为代数计算，是数学中化归思想的具体体现，而且在解立体几何题中，由于向量的引入，避免了一些繁难的推理论证，用定量计算代替定性分析，从而降低了难度.二、应用思维点拨【例3】 已知a 、b 、c 为正数，且a+b+c=1，求证：113+a +113+b +113+c ≤43.思维入门指导：本题考查|a |²|b |≥a ²b 的应用，解题时要先根据题设条件构造向量a ，b .然后结合数量积性质进行运算.证明：设m =(113+a ，113+b ，113+c )，n =(1，1，1)， 则|m |=4，|n |=3. ∵m ²n ≤|m |²|n |，∴m ²n =113+a +113+b +113+c ≤|m |²|n |=43. 当1131+a =1131+b =1131+c 时，即a=b=c=31时，取“=”号.点拨：若m =(x ，y ，z)，n =(a ，b ，c)，则由m ²n ≤|m |²|n |，得(ax+by+cz)2≤(a 2+b 2+c 2)(x 2+y 2+z 2).此式又称为柯西不等式(n=3).三、创新思维点拨【例4】 如图9-6-2，已知矩形ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，∠PDA 为θ，能否确定θ，使直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线?若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由.思维入门指导：对于判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，这是一种最常用也是最基本的方法.解：以点A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz.设|AD|=2a ，|AB|=2b ，∠PDA=θ.则A(0，0，0)、B(0，2b ，0)、C(2a ，2b ，0)、D(2a ，0，0)、P(0，0，2atan θ)、M(0，b ，0)、N(a ，b ，atan θ).∴AB =(0，2b ，0)，PC =(2a ，2b ，-2atan θ)，MN =(a ，0，atan θ). ∵AB ²MN =(0，2b ，0)²(a，0，atan θ)=0， ∴AB ⊥MN .即AB ⊥MN.若MN⊥P C ，则MN ²PC =(a ，0，atan θ)²(2a，2b ，-2atan θ)=2a 2-2a 2tan 2θ=0.∴tan 2θ=1，而θ是锐角. ∴tan θ=1，θ＝45°.即当θ=45°时，直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线.点拨：对于条件开放型问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决.向量、空间坐标系的建立，让人耳目一新，回味无穷.四、高考思维点拨【例5】（2003，全国，12分）如图9-6-3，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1、A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.(1)求A 1B 与平面ABD 所成角的大小(结果用反三角函数表示)； (2)求点A 1到平面AED 的距离.(学习了第7节后再做此问.) 思维入门指导：本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.借助向量和坐标系解立体几何问题的步骤是：①建立适当的空间直角坐标系(或仿射坐标系)；②确定关键点的坐标；③写出相关向量；④运用向量公式进行计算.解：(1)连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 上的射影，即∠A 1BG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 如图9-6-3所示建立坐标系，坐标原点为C ，设CA=2a.则A （2a ，0，0），B （0，2a ，0），D （0，0，1），A 1（2a ，0，2），E （a ，a ，1），G(32a ，32a ，31). ∴GE =(3a ，3a ，32)，BD =(0，-2a ，1). ∵²=-32a 2+32=0. 解得a=1.∴1BA ＝（2，-2，2），BG ＝(32，-34，31). ∴cos∠A 11=213132314∙=37.A 1B 与平面ABD 所成角是arccos37. （2）由（1）有A （2，0，0），A 1（2，0，2），E （1，1，1），D （D ，0，1），AE ²ED =(-1，1，1)²(-1，-1，0)=0，1AA ²ED =(0，0，2)²(-1，-1，0)=0，∴ED⊥平面AA 1E. 又ED ⊂平面AED ，∴平面AED ⊥平面AA 1E. 又面AED∩面AA 1E=AE ，∴点A 在平面AED 上的射影K 在AE 上. 设AK =λAE ，则K A 1=A A 1+=(-λ，λ，λ-2). 由K A 1²AE =0，即λ+λ+λ-2=0，解得λ=32. ∴K A 1=(-32，32，-34). ∴|A 1|=362. 故A 1到平面AED 的距离为362. 点拨：由上述例题可以看出，利用向量知识解决几何问题的基本思路是：根据题意巧构向量或把题中有关线段看作向量，利用向量中的有关公式列出方程求解.思路清晰，方法简捷规范.五、经典类型题思维点拨 【例6】 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB 和BC 的中点，如图9-6-4，试问在棱BB 1上是否存在点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1？若存在，指出点M 的位置；若不存在，说明理由.思维入门指导：数学“开放性问题”主要具有“非完备性、不确定性、发散性和探究性”等特征.“开放性问题”的题意新颖，解法多样，立体几何“开放性问题”特别能培养学生的发散思维能力和空间想象能力.近年来，这类问题已成为高考命题的热点.解：以D 点为坐标原点，建立如图9-6-4所示的空间右手直角坐标系D －xyz ，因为棱长等于1，所以D 1(0，0，1)，E(1，21，0)，F(21，1，0)，B 1(1，1，1). 设点M 在棱BB 1上，可设M 点的坐标为(1，1，λ)(0≤λ≤1)， 则M D 1=(1，1，λ-1)，1EB =(0，21，1)，1FB =(21，0，1). 由于D 1M ⊥平面EFB 1的充要条件为D 1M⊥FB 1，且D 1M ⊥EB 1， 即M D 1²1EB =(1，1，λ-1)²(0，21，1)=21+λ-1=0，M D 1²1FB =(1，1，λ-1)²(21，0，1)=21+λ-1=0，得λ=21. 而21∈[0，1]，因此存在点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1，且M 是棱BB 1的中点. 点拨：用代数的方法研究解决几何问题，自然离不开运算.但在运算过程，中要注意概念的灵活应用.六、探究性学习点拨【例7】 在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，所有棱的长度都是2，M 是BC 边的中点，问：在侧棱CC 1上是否存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°？思维入门指导：立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.解：以A 点为原点，建立如图9-6-5所示的空间右手直角坐标系A －xyz. 因为所有棱长都等于2，所以A （0，0，0），C （0，2，0），B （3，1，0），B 1(3，1，2)，M(23，23，0). 点N 在侧棱CC 1上，可设N （0，2，m ）（0≤m ≤2），则1AB =(3，1，2)，MN =(-23，21，m)， 于是|1AB |=22，||=12+m ，1AB ²=2m-1.如果异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°，那么向量1AB 和的夹角是45°或135°，而cos<1AB ，MN 1122122+∙-m m ，所以122122+∙-m m =±22. 解得m=-43，这与0≤m≤2矛盾. 即在侧棱CC 1上不存在点N ，使得异面直线AB 1和MN 所成的角等于45°.点拨：通过以上例子可以看出，在解决一些立体几何探索性问题时，利用空间向量，能够避免繁琐的“找”、“作”、“证”，只须通过定量计算，就可解决问题，降低了思维难度，易于把握，体现了空间向量在解题中的巨大作用.A 卷：教材跟踪练习题 （60分 45分钟）一、选择题（每小题5分，共30分）1.设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），则△ABC 的重心G 的坐标为（ ） A.(34，34，0) B.(34，0，34) C.(34，34，1) D.(34，34，2) 2.若向量a =(1，λ，2)，b =(2，-1，2)a ，b 夹角的余弦值为98，则λ的值为（ ） A.2 B.-2 C.-2或552 D.2或-552 3.已知两个非零向量a =（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ）A.a ：|a |=b ：|b |B.a 1²b 1=a 2²b 2=a 3²b 3C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0D.存在非零实数k ，使a =k b 4.在下列各结论中，不正确的是（ ）A.两非零向量a =(x 1，y 1，z 1)和b =(x 2，y 2，z 2)垂直的充要条件为x 1²x 2+y 1²y 2+z 1²z 2=0B.若向量a =(x 1，y 1，z 1)和b =(x 2，y 2，z 2)则 a ²b ≤))((222222212121z y x z y x ++++C.已知a ，b 是两个非零向量，则<a ，b >=arccos22ba b a ∙∙D.a²b =0是a =0或b =0的充要条件5.已知向量a =（2，4，x ），b =（2，y ，2），若|a |=6，a ⊥b ，则x+y 的值是（ ） A.-3或1 B.3或-1 C.-3 D.16.下列各组向量共面的是（ ）A.a =(1，2，3)，b =(3，0，2)，c =(4，2，5)B.a =(1，0，0)，b =(0，1，0)，c =(0，0，1)C.a =(1，1，0)，b =(1，0，1)，c =(0，1，1)D.a =(1，1，1)，b =(1，1，0)，c =(1，0，1) 二、填空题（每小题4分，共16分）7.若点P （x 、y 、z ）到A （1，0，1）、B （2，1，0）两点的距离相等，则x 、y 、z 满足的关系式是__________________.8.已知a +b =(2，-8，5)，a -b =（-8，16，-3），则a ²b =__________.9.已知a =(1，2，3)，b =（1，0，1），c =a -2b ，d =m a -b ，若c ∥d ，则m=______ . 10.与a =(1，1，0)共线的单位向量为____________ . 三、解答题（每小题7分，共14分）11.已知△ABC 的顶点A （1，1，1），B （2，2，2），C （3，2，4），试求△ABC 的面积. 12.设向量a =(3，5，-4)，b =(2，1，8)，确定λ、μ的值，使λa +μb 与z 轴垂直.B 卷：综合应用创新练习题 （90分 90分钟）一、学科内综合题(10分)1.设空间两个不同的单位向量a =(x 1，y 1，0)，b =(x 2，y 2，0)与向量c =(1，1，1)的夹角都等于4. (1)求x 1+y 1和x 1y 1的值；(2)求<a ，b >的大小(其中0＜<a ，b >＜π). 二、应用题（10分）2.已知F 1=i +2j +3k ，F 2=-2i +3j -k ，F 3=3i -4j +5k ，若F 1，F 2，F 3共同作用于同一物体上，使物体从点M 1（1，-2，1）移到点M 2(3，1，2)，求物体合力做的功.三、创新题（60分）（一）教材变型题（10分）3.（P 42习题9.6第9题变型）在正方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AB 1、B 1B 的中点，求直线AM 与CN 所成角.（二）一题多解（15分）4.已知三角形三顶点(1，-2，-3)，B （-1，-1，-1），C （0，0，-5）.试证明它是直角三角形.（三）一题多变(15分) 5.如图9-6-6，矩形ABCD 中，AB=1，BC=a ，PA ⊥平面ABCD ，问BC 边上是否存在Q 点，使PQ ⊥，说明理由.(1)一变：问当Q 点惟一，且cos<，>=1010时，求点P 的位置. （四）新解法题(1O 分)6.如图9-6-7所示，在长方体O ABC —O 1A 1B 1C 1中，O A=2，AB=3，AA 1=2，E 是BC 的中点.（1）求直线A O 1与B 1E 所成角的大小； （2）作O 1D ⊥A C 于D ，求点O 1到点D 的距离. （五）新情境题（10分）7.O 1、G 、H 分别为△ABC 的外心、重心、垂心，且不重合.试证明O 1、G 、H 三点共线，且O 1G ：GH=1：2.四、高考题(10分)8.(2003，全国新课程)如图9-6-8，已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB=1，AA 1=2，点E 为CC 1的中点，点F 为BD 1的中点(注：正四棱柱即底面为正方形的长方体).(1)求证：EF 为BD 1与CC 1的公垂线； (2)求点D 1到面BDE 的距离. 加试题：竞赛趣味题（10分）（第八届加拿大数学奥林匹克竞赛题）已知四边形ABCD 中，四个角∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 、∠DAB 都是直角.求证：四边形ABCD 必是矩形.【课外阅读】平面法向量的进一步研究在试验（修订）教材第二册（下B ）给出了这样一个概念：如果a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量.课本仅给出了这个概念，在其例题、课后练习、习题中均未涉及对此概念的进一步研究，但是利用平面的法向量（或法单位向量）解有关立体几何中空间的角和距离等问题时，将更能体现出教材（下B ）的特点.下面就有关的问题作一些探讨.1.如何利用空间坐标求法向量及法单位向量【例1】 已知三点A （2，3，-3）、B （4，5，-2）、C （6，8，0）.求与平面ABC 垂直的一个法向量和法单位向量.解：假设n 是与平面ABC 垂直的某一个向量，设此向量为n =（x ，y ，1），则n ⊥AB 且n ⊥AC ，因为AB =（2，2，1），AC =（4，5，3），故由n ⊥AB 及n ⊥AC 分别得2x+2y+1=0及4x+5y+3=0，解之有x=21，y=-1，故n =(21，-1，1)即为平面ABC 的一个法向量，又|n |=23，故所求一个法单位向量n 0=||n n =32(21，-1，1)=(31，-32，32).点拨：为了求n 这个未知向量，按理应当设n =(x ′，y ′，z ′)，但是因为相差一个常数因子并不影响其与平面ABC 的垂直性，在z ′≠0的条件下，由n =(x ′，y ′，z ′)=z ′(''z x ，''z y ，1)，令''z x =x ，''z y =y ，于是可设n =(x ，y ，1)，同理也可设n =(1，y ，z)或(x ，1，z)，这样做可以减少一个待定的未知数.2.利用平面的法向量求线面角如图9-6-9，AB 为平面α的斜线，n 为平面α的法向量，如果与n 之间所成的角ϕ为锐角，则斜线AB 与平面α之间所成的角θ=2π-ϕ.【例2】 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中（如图9-6-19），M 、N 分别是棱B 1C 1、AD 的中点，求直线AD 与平面BMD 1N 所成角的余弦值.解：不妨假定正方体棱长为1.以D 为原点，以DA 、DC 、1DD 方向分别作为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，则D （0，0，0）、A(1，O ，0)、D 1（0，0，1）、N(21，0，0)、M(21，1，1)、B(1，1，0)，N D 1=(21，0，-1)，NB =(21，1，0).设n =（x ，y ，1）是垂直于平面BMD 1N 的法向量，由例1的方法可求得x=2，y=-1.∴n =(2，-1，1).又DA =(1，0，0)，则DA ²n =2，|DA |=1，|n |=6. ∴以ϕ表示DA 与n 所成之角，则 cos ϕ||||n DA ∙=62=36. 以θ表示DA 与平面BMD 1N 所成之角，则cos θ=p 2cos 1-=961-=33. 点拨：为了避免向量n 中双重符号选取的麻烦，对于平面α的斜线向量l 与法向量n 之间的锐角ϕ可由cos ϕ=||||||n l n l ∙∙来确定.3.利用平面的法向量求二面角如图9-6-11，设用θ表示欲求的二面角α-l -β的值，又设n 1、n 2分别是平面α及β的法向量，这两个法向量的方向应该是这样配备的：当α或β半平面绕着其棱l 转动到与另一半平面重合时，这两个向量的方向应当一致，在满足这些条件之下，我们有cos θ=||||2121n n n n ∙.【例3】 如图9-6-12，ABCD 是直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，又SA ⊥平面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=21，求面SCD 与面SAB 所成二面角的正切值. 解：建立如图9-6-12所示的空间直角坐标系A 一xyz ，有A(0，0，0)、D(21，0，0)、C(1，1，0)、S(0，0，1)，则=(21，0，0)是平面SAB 的法向量.设面SCD 的法向量n =(1，λ，μ)，由例1的方法可求得λ=-21，μ=21.∴n =(1，-21，21). 如以θ表示欲求二面角的值，则cos θ=cos<，n .因²n =(21，0，0)²(1，-21，21)=21，||=21， |n |=22)21()21(1+-+=23， ∴cos θ=232121∙=32，sin θ=31.∴tan θ=21=22. 4.利用平面的法向量求点到面的距离求点P 到平面M 的距离d ，可以在平面M 上任取一点A ，则AP 在M 的法单位向量n 0上的射影长就是所求的距离：d=|²n 0|=||||n n AP ∙(n 为平面M 的一个法向量). 【例4】 如图9-6-13，已知ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC 垂直于ABCD 所在的平面，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离.解：建立如图9-6-13所示的空间直角坐标系C 一xyz ，则E(2，4，0)、F(4，2，0)、G(0，0，2)、B(0，4，0).设平面EFG 的法向量n =(λ，μ，1)，由例1方法可求得λ=μ=31.∴n =(31，31，1)，|n |=311.因为E 是平面EFG 上一点，故所求距离d=||||n n ∙=311)1,31,31()0,0,2(∙-=11112.点拨：直线到与它平行的平面的距离，或两个平行平面间的距离都可转化为点到平面的距离来求.5.利用平面的法向量求两异面直线a 与b 的距离先设法找出直线a 与b 的公垂线上的单位向量n 0，然后在a 、b 上分别各取一点A 及B ，则d=|²n 0|=||||n n AB ∙(n 为与直线a 、b 都垂直的一个向量). 【例5】 如图9-6-14，已知正方体ABCD 一A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求BC 1与DB 1的距离.解：建立如图9-6-14所示的空间直角坐标系D —xyz ，则D （0，0，0）、B （1，1.0）、C 1（0，1，1）、B 1（1，1，1），1BC =（-1，0，1），1DB =（1，1，1）.设n =（λ，μ，1）是同时与BC 1、DB 1垂直的向量，则由n ²1BC =(λ，μ，1)²(-1，0，1)=-λ+1=0及n ²1DB =(λ，μ，1)²(1，1，1)=λ+μ+1=0，∴λ=1，μ=-2.∴n =(1，-2，1)，|n |=6.∴d=||1n n BB ∙=6)1,2,1()1,0,0(-∙=66.点拨：n 是与异面直线都垂直的向量，实际上我们也可把n 看作是经过异面直线a 、b中的一条直线且平行于另一条直线的平面的一个法向量.参考答案A 卷一、1.D 点拨：根据三角形重心坐标公式可解得答案.2.C 点拨：由题知95422∙++-λλ=98⇒λ=-2或λ=552. 3.D 点拨：由共线向量定线易知.4.D 点拨：a ²b ＝0⇔a ⊥b ，而不是a =0或b =0.5.A 点拨：由题知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++0244361642x y x ⇒⎩⎨⎧-==3,4y x 或⎩⎨⎧=-=.1,4y x6.A 点拨：由共面向量基本定理可得.二、7.2x+2y-2z-3=0 点拨：由|PA |=|PB |，利用空间两点距离公式化简可得. 8.-59 点拨：⎩⎨⎧--=--=∙)3,16,8()5,8,2(b a b a ⇒⎩⎨⎧-=-=)4,12,5()1,4,3(b a ⇒a ²b =-59.9.m=21点拨：∵c =(-1，2，1)，d =(m-1，2m ，3m-1)， 又∵c ∥d ，∴11--m =m 22=131-m ⇒m=21.10.(22，22，0)或(-22，-22，0) 点拨：∵a =(1，1，0)=2(22，-22，0)，∴e =(22，22，0)或e =(-22，-22，0). 三、11.解：∵A(1，1，1)，B(2，2，2)，C(3，2，4)，∴AB =(1，1，1)，AC =(2，1，3).∴|AB |=3，|AC |=14，AB ²AC =(1，1，1)²(2，1，3)=6. ∴||||AC AB ∙=1436∙=426则sinA=A 2cos 1-=71.∴S △ABC =21|AB|²|AC|²sinA=21²3²14²71=26. 即△ABC 的面积为26. 点拨：可以自己尝试用向量表示三角形面积公式.12.解：由(λa +μb )²(0，0，1)=（3λ+2μ，5λ+μ，-4λ+8μ）²（0，O ，1）=-4λ+8μ=0知，只要λ、μ满足-4λ+8μ=0即可使λa +μb 与z 轴垂直.B 卷一、1.解：(1)∵|a |=|b |=1，∴x 21+y 21=1，∴x 22=y 22=1.又∵a 与c 的夹角为4π， ∴a ²c =|a ||c |cos 4π=22222111++=26. 又∵a ²c =x 1+y 1， ∴x 1+y 1=26. 另外x 21+y 21=(x 1+y 1)2-2x 1y 1=1，∴2x 1y 1=(26)2-1=21.∴x 1y 1=41. (2)cos<a ，b >=||||b a ba ∙=x 1x 2+y 1y 2， 由(1)知，x 1+y 1=26，x 1y 1=41.∴x 1，y 1是方程x 2-26x+41=0的解. ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,426,42611y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=.426,42611y x同理可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,426,42622y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=.426,42622y x∵a ≠b ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==+==,426,4261221y x y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==-==.426,4261221y x y x∴cos<a ，b >=426+²426-+426+²426-=41+41=21.∵0≤<a ，b >≤π.∴<a ，b >=3π.二、2.解：W =F ²s =(F 1+F 2+F 3)²21M M =14.三、(一)3.解：如答图9-6-1所示，把D 点视作坐标原点，以、、1DD 方向为正方向，建立空间直角坐标系D 一xyz ，则A(1，0，0)，M （1，21，21），C （0，1，0），N(1，1，21).∴AM =(0，21，21)，CN =(1，0，21).∴AM ²CN =41，|AM |=22，|CN |=25. ∴设直线AM 与CN 所成的角为α，则cos α=252241∙=101.∴α=arccos1010.故AM 与CN 所成的角为arccos 1010. (二)4.证法一：||=222)13()12()11(+-++-++=414++=9=3， ||=222)51()1()1(+-+-+-=1611++=32， |AC |=22)53()2(1+-+-+=441++=3. ∴||+||2=9+9=18=||2. ∴三角形ABC 是直角三角形.证法二：∵AB =(-1，-1，-1)-(1，-2，-3)=(-2，1，2)， =(0，0，-5)-(-1，-2，-3)=(-1，2，-2)，∴²=(-2)³(-1)+1³2+2³(-2)=2+2-4=0. ∴AB ⊥AC .∴三角形ABC 是直角三角形.(三)5.解：如答图9-6-2所示，建立空间直角坐标系A 一xyz ，设P （0，0，z ），D （0，a ，0），Q （1，y ，0），则=(1，y ，-z)，=(-1，a-y ，0)，且⊥. ∴PQ ²QD -1+y(a-y)=0⇒y 2-ay+1=0.∴△=a 2-4.当a ＞2时，△＞0，存在两个符合条件的Q 点； 当a ＝2时，△＝0，存在惟一一个符合条件的Q 点； 当a ＜2时，△＜0，不存在符合条件的Q 点. (1)当Q 点惟一时，由5题知，a=2，y=1.∴B(1，0，0)，BP =(-1，0，z)，QD =(-1，1，0).∴cos<BP ，QD ||||QD BP ∙=2112∙+z =1010. ∴z=2.即P 在距A 点2个单位处. (四)6.老解法(纯几何解法)；用平移找到两条异面直线所成角，然后放到三角形中去求角.第(2)问用等积法求距离.新解法（向量法）：(1)如答图9-6-3所示，以O 为原点，分别以、、1OO 为O x 轴、O y 轴、O z 的正方向建立空间直角坐标系O 一xyz ，∵||=2，|=3，|A A 1|=2，E 为BC 的中点，∴A （2，0，0），O 1（0，0，2），B 1（2，3，2），E （1，3，0）. 则1AO =(-2，0，2)，E B 1=(-1，0，-2). ∴cos<1AO ，E B 1>=-1010. 则<1AO ，E B 1>=π-arccos1010. 所以直线A O 1与B 1E 所成角为arccos1010. (2)连结O D ，∵O 1D ⊥AC ，∴O D ⊥AC.设D （x ，y ，0）.由⎪⎩⎪⎨⎧=+=∙2221||||||0OA AD OD O ⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-++=+-4)2(0322222y x y x y x ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==1312,1318y x 或⎩⎨⎧==00y x (舍去) ∴点D 的坐标为(1318，1312，0). 则|O 1|=2222)132()1318(++=132862.(五)7.证明：如答图9-6-4建立直角坐标系O －xy.设A （0，a ），B （-b ，0），C （c ，0），则G(3c b +-，3a).设垂心H （0，λ），则BH =（b ，λ），AC =（c ，-a ）由BH ⊥AC ，∴²=bc-a λ=0，从而λ=abc ， 即H （0，abc ） 又D(2c b +-，0)，E(2c ，2a). 设外心O 1(2c b +-，μ)，E O 1=(2b ，2a，-μ)，AC =(c ，-a)， 由O 1E ⊥AC 知E O 1²AC =2bc -a(2a-μ)=0. ∴μ=a bc a 22-.即O 1(2cb +-，a bc a 22-).于是可得G O 1=(6cb -，a bc a 632+-)，H O 1=(2c b +-，a bc a 232+-)∴O 1=31O 1可知O 1、G 、H 三点共线，且O 1G ：GH=1：2. 四、8.(1)证明：如答图9-6-5所示，建立空间直角坐标系，得B(0，1，0)，D 1(1，0，2)，F(21，21，1)，C 1(0，0，2)，E(0，0，1).∴EF =(21，21，0)，1CC =(0，0， 2)，1BD =(1，-1，2).∴EF ²1CC =0，1BD ²EF =0.即EF ⊥CC 1，EF ⊥BD 1. 故EF 是CC 1与BD 1的公垂线.(2)解：连结ED 1，有V 1DBD E -=V DBE D -1.由(1)知EF ⊥面DBD 1.设D 1到面BDE 的距离为d ，则S△DBE²d=S 1DBD △²EF.∵AA 1=2，AB=1，∴BD=BE=ED=2，EF=22. ∴S 1DBD △=21²2²2=2，S △DBE =21²23²(2)2=23.∴d=23222=332.故点D 1到平面BDE 的距离为332.加试题：证明：如答9-6-6，以A 为原点，分别以AB 、AD 为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，则可设B （a ，0，0），D （0，b ，0），其中a 、b 均不为零.设C （c ，d ，e ），则有=（a ，0，0），=（c-a ，d ，e ），=（-c ，b-d ，-e ），＝（0，b ，0）.∵∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 都是直角，∴AB ²BC =a(c-a)=0，BC ²CD =0，CD ²AD =b （b-d ）=0.则e=0.这说明C 在平面ABD 内，即四边形ABCD 是平面四边形.又它的四个角都是直角，故四边形ABCD 是矩形.。

定比分点的向量公式及应用向量是在数学中广泛应用的一种重要概念。

在向量中，可以定义加法、减法和数量乘法等运算，这些运算规则以及向量的模、方向等性质，使得向量在数学、物理和工程等领域的应用中具有重要的意义。

在计算机科学和计算机图形学中，向量被广泛用于表示三维空间中的点、方向和位移等概念。

这些向量通常表示为[x,y,z]，其中x、y和z分别表示在三个坐标轴上的分量。

定比分点的向量公式可以用于计算两个点之间的中点、分点以及线段的长度。

假设有两个点A和B，它们的坐标分别为A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，我们可以使用如下的公式来计算两个点之间的中点：M=(A+B)/2其中M是点A和点B之间的中点，"+"表示向量的加法运算，"/"表示向量与标量的除法运算。

通过这个公式，我们可以计算出两个点之间的中点的坐标。

在计算两个点之间的分点时，可以使用类似的方法。

假设有一个分点P，它位于点A和点B之间的t比例处，我们可以使用如下的公式来计算分点的坐标：P=A+t*(B-A)其中t是一个介于0和1之间的比例值。

当t等于0时，分点P的坐标就是点A的坐标；当t等于1时，分点P的坐标就是点B的坐标。

通过改变t的值，我们可以在点A和点B之间找到任意位置的分点。

除了计算中点和分点之外，向量的长度也是一个重要的概念。

在三维空间中，向量的长度可以通过计算其模来获得。

一个向量的模定义为其各个分量的平方和的平方根。

对于一个三维向量V=[x,y,z]，其模的计算公式如下：V， = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)通过计算向量的模，我们可以获得向量的长度信息。

定比分点的向量公式在计算机图形学中有许多应用。

例如，在三维建模中，我们经常需要计算物体的表面上的点的位置和属性。

通过定比分点的向量公式，我们可以在物体的两个顶点之间找到任意位置的点，从而进行物体的细分或者其他形变操作。

此外，向量的线性插值也是一个重要的应用。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为aa ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

解析几何复习知识点总结第一章向長与坐标第一节向長的概念：空间中具有大小和方向的長叫做空间向長C向長的大小叫做向長的长度或模(modulus)©规定，长度为0的向長叫做零向長，记为0.模为1的向長称为单位向長。

与向星a长度相等而方向相反的向長，称为a的相反向呈。

记为-a方向相等且模相等的向長称为相等向長，长度为一个单位(即模为1)的向是，叫做单位向呈.与向長a同向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向星，记作a0, aO=a/|a o1共线向長定理两个空间向長a,b向是:b向長不等于0) , a //b的充要条件是存在唯一的实教X,使a=Xb2共面向長定理如果两个向長a,b不共线，则向長c与向星a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=ax+by3空间向星分解定理如果三个向長a、b、c不共面，那么对空间任一向旻p,存在一个唯一的有序实数组x, y, z, 使p=Ma+yb+zc。

任意不共面的三个向長都可作为空间的一个基底，雲向長的表示唯一。

1-2向長的加法三角形定则解决向長加减的方法：将各个向星依次首尾顺次相接，结果为第一个向呈的起点指向最后一个向長的终点。

平行四边形定则解决向長加法的方法：将两个向長平移至公共起点，以向長的两条边作平行四边形，向重的加法结果为公共起点的对角线。

平行四边形定则解决向長减法的方法：将两个向長平移至公共起点，以向長的两条边作平行四边形，结果由减向長的终点指向被减向長的终点。

(平行四边形定则只适用于两个非零非共线向長的加减。

)坐标系解向星加减法：在直角坐标系里面，定义原点为向長的起点•两个向長和与差的坐标分别等于这两个向長相应坐标的和与差若向長的表示为(x,y)形式，A(X1,Y1)B(X2,Y2),贝lj A+B= (X1+X2, Y1+Y2) , A-B= (X1-X2, Y1-Y2)简单地讲：向長的加减就是向長对应分長的加减。

类似于物理的正交分解。

解析几何复习知识点总结第一章向量与坐标第一节向量的概念：空间中具有大小和方向的量叫做空间向量。

向量的大小叫做向量的长度或模（moduius)。

规定，长度为0的向量叫做零向量，记为0.模为1的向量称为单位向量。

与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量。

记为-a方向相等且模相等的向量称为相等向量。

长度为一个单位（即模为1）的向量，叫做单位向量．与向量a同向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0，a0=a/|a|。

1共线向量定理两个空间向量a,b向量(b向量不等于0），a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使a=λb2共面向量定理如果两个向量a,b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y,使c=a x+b y3空间向量分解定理如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p=x a+y b+z c。

任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，零向量的表示唯一。

1.2 向量的加法三角形定则解决向量加减的方法：将各个向量依次首尾顺次相接，结果为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点。

平行四边形定则解决向量加法的方法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，向量的加法结果为公共起点的对角线。

平行四边形定则解决向量减法的方法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点。

（平行四边形定则只适用于两个非零非共线向量的加减。

）坐标系解向量加减法：在直角坐标系里面,定义原点为向量的起点.两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差若向量的表示为(x,y)形式,A(X1,Y1) B(X2,Y2)，则A+B=（X1+X2，Y1+Y2），A-B=（X1-X2，Y1-Y2）简单地讲：向量的加减就是向量对应分量的加减。

类似于物理的正交分解。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a//。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>AC AB λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a共线的单位向量为a ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

空间向量知识点归纳总结(经典)(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a //。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b （b ≠0 ），a b a bλ=)1(=++=y x y x 其中a a±共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

空间向量及其应用一、 空间向量1、空间向量定义：空间既有大小、又有方向的量叫做空间向量。

用带有箭头的线段表示。

以A 为始点，B 为终点的空间向量记作AB ，也可用a 表示，以AB 表示AB 的模。

2、相等的向量、零向量、负向量、单位向量、向量的平移、向量的平行、向量的夹角等概念与平面向量类似。

3、空间向量的运算：空间向量的和、差、数乘向量、数量积等运算的定义及其运算率与平面向量的相应运算及其运算率类似。

加法的平行四边形法则、三角形法则，减法的三角形法则在空间向量中仍适用。

例1、在平行六面体1AC 中，设111,,BA a BC b BD c ===，用,,a b c 表示下列向量： （1）AB ； （2）1BB ； （3）BD ； （4）1CB ； （5）1AC 。

解：（1）AB b c =-； （2）1BB a b c =+-； （3）BD 2c a b =--； （4）1CB 22a b c =+-；（5）1AC 2b c =-。

例2、已知平行六面体1AC ，点M 在对角线1A B 上，且112A M MB =，点N 在对角线1A C 上，且113A N NC =，求证：1,,M N D 三点共线。

证：设1,,AB a AD b AA c ===， 则()111133A M AB a c ==-， 所以()1111133D M D A A M a b c =+=--， ()111144A N AC a c b ==-+， 所以()1111134D N D A A N a b c =+=--， 1143D M D N =，所以1,,M N D 三点共线。

例3、已知向量a b ⊥，向量c 与,a b 的夹角都为60，且1,2,3a b c ===，求A BC1AD1B1C1DNM（1）()()323a b b c -⋅-； （2）2a b c +-； （3）2a b c +-与b 的夹角θ。

解：30,,32a b a c b c ⋅=⋅=⋅=， （1）()()73232a b b c -⋅-=-； （2）211a b c +-=；（3）()25a b c b +-⋅=，所以cos θ，θ=。

倒数关系: 商的关系：平方关系：tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secαsin2α＋cos2α＝11＋tan2α＝sec2α1＋cot2α＝csc2α诱导公式sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotαsin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotαsin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotαsin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanαsin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotαsin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβtan（α＋β）＝——————1－tanα ·tanβtanα－tanβtan（α－β）＝——————1＋tanα ·tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2)1－tan2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan2(α/2)2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan2(α/2)半角的正弦、余弦和正切公式 三角函数的降幂公式二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sin αcos αcos2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α2tan α tan2α＝————— 1－tan 2α sin3α＝3sin α－4sin 3α cos3α＝4cos 3α－3cos α 3tan α－tan 3α tan3α＝—————— 1－3tan 2α三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式α＋β α－β sin α＋sin β＝2sin —－－·cos—－— 2 2 α＋β α－β sin α－sin β＝2cos —－－·sin—－— 2 2 α＋β α－β cos α＋cos β＝2cos —－－·cos—－— 2 2 α＋β α－β cos α－cos β＝－2sin —－－·sin—－— 2 21sin α ·cos β＝-[sin （α＋β）＋sin （α－β）] 2 1cos α ·sin β＝-[sin （α＋β）－sin （α－β）] 2 1cos α ·cos β＝-[cos （α＋β）＋cos （α－β）] 2 1sin α ·sin β＝－ -[cos （α＋β）－cos （α－β）]2化asin α ±bcos α为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）在平面内具有大小和方向的量叫做和向量念运算性质实数与向量的积运算律平面向量基本定量?向量平行向量垂直定比分点公式空间向量的概念在空间内具有大小和方向的量叫做和向量共线向量定理共面向量定理理两个向量的数量积空间向量的数量积的性质空间向量的坐标运算两向量的夹角定比分点的向量公式及应用浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙定比分点的向量公式：在平面上任取一点O ，设=1，OP =2，若21PP P λ=，则b a OP λλλ+++=111。

空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b ，记作b a //。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b（b ≠0 ），a //b 存在实数λ，使a＝λb 。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与共线的单位向量为a±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

向量百科名片向量在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量），与标量相对目录向量的定义向量的来源向量的表示向量的模和向量的数量特殊的向量向量的运算其他向量的定义向量的来源向量的表示向量的模和向量的数量特殊的向量向量的运算其他向量的表示向量的定义数学中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量）。

注：在线性代数中的向量是指n个实数组成的有序数组，称为n维向量。

α=（a 1，a2，…，an）称为n维向量.其中ai称为向量α的第i个分量。

（"a1"的"1"为a的下标，"ai"的"i"为a的下标,其他类推）。

向量的来源向量（或矢量），最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量．大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到．“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿．从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系．向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数a＋bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算．把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学．但复数的利用是受限制的，因为它仅能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓三维“复数”以及相应的运算体系．19世纪中期，英国数学家哈密尔顿发明了四元数（包括数量部分和向量部分），以代表空间的向量．他的工作为向量代数和向量分析的建立奠定了基础．随后，电磁理论的发现者，英国的数学物理学家麦克思韦尔把四元数的数量部分和向量部分分开处理，从而创造了大量的向量分析．三维向量分析的开创，以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪8O年代各自独立完成的．他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分，但不独立于任何四元数．他们引进了两种类型的乘法，即数量积和向量积．并把向量代数推广到变向量的向量微积分．从此，向量的方法被引进到分析和解析几何中来，并逐步完善，成为了一套优良的数学工具。

空间向量及其运算( 一 )教课目标：1．理解空间向量的观点，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算.2．用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题..教课要点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律.教课难点：用向量解决立几问题.讲课种类：新讲课 .课时安排： 1 课时 .教具：多媒体、实物投影仪.教课过程：一、复习引入：1.向量的观点(1)向量的基本因素：大小和方向 .(2) 向量的表示：几何表示法uuur r r rAB ，a；坐标表示法 a xi yj ( x, y) .(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜ a ｜.(4)特别的向量：零向量 a ＝0｜a｜＝ 0.单位向量 a0为单位向量｜ a0｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向同样( x1 , y1 )( x2 , y2 )x1x2 y1y2(6)平行向量 ( 共线向量 ) ：方向同样或相反的向量，称为平行向量. 记作a∥b . 因为向量能够进行随意的平移( 即自由向量 ) ，平行向量总能够平移到同向来线上，故平行向量也称为共线向量.2.向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数目（内积）及其各运算的坐标表示和性质运算种类几何方法坐标方法运算性质向a b b a量1.平行四边形法例a b( a b)c a (b c)的2.三角形法例( x1x2 , y1y2 )加uuur uuur uuur法AB BC AC向a b a( b)量a b uuur uuur的三角形法例( x1x2 , y1y2 )AB BA减uuur uuur uuur法OB OA AB向 1. a 是一个向量,知足:量 2.>0 时 , a与a同a ( x, y)( a) ()a的向 ;()a a a 乘<0 时, a 与a异法向 ;( a b)a b=0 时 , a =0.a ∥b a ba ?b b ? a向 a ? b 是一个数( a) ? b a ? (b)(a ?b)量 1. a 0或b0 时,的a? b =0 a ?b( a b) ? c a ? c b ? c数 2. a 0且b0 时,x1 x2y1 y2量 a ? b | a || b | cos(a,b) a 2 | a |2| a |x2y2积| a ? b | | a || b |3.重要定理、公式：(1)平面向量基本定理e1 ,e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，关于这个平面内任一直量，有且仅有一对实数 1 ,2，使a1e1 2 e2(2)两个向量平行的充要条件a ∥b a ＝λb x1 y2x2 y10 .(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b a ·b＝O x1 x2y1 y20 .(4)线段的定比分点公式设点 P分有向线段uuur uuur所成的比为λ，即PP＝λ PP，则12uuur1uuur1uuur( 线段的定比分点的向量公式 ) OP ＝OP ＋OP1112x x1x2,1( 线段定比分点的坐标公式 )y y1y2. 1当λ＝1时，得中点公式：uuur1uuur uuur x x1x2 ,2OP ＝2（ OP1＋ OP2）或y1y2y.2(5)平移公式设点 P( x, y) 按向量 a(h, k) 平移后获得点uuur uuur x x h, P (x , y ) ，则 OP ＝ OP+ a或y，y k.曲线 y f (x) 按向量 a(h, k) 平移后所得的曲线的函数分析式为：y k f (x h)(6)正、余弦定理正弦定理：a b c2R. sin A sin B sin C余弦定理： a2b2c22bc cos A cos A b2 c 2a22bcb2 c 2a22ac cos B cos B c2 a 2b22cac2a2b22ab cosC cosC a 2b2c2.2ab二、解说新课：1．空间向量的观点：在空间，我们把拥有大小和方向的量叫做向量.注：⑴空间的一个平移就是一个向量.⑵向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.2．空间向量的运算定义：与平面向量运算同样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算以下（如图）uuur uuur uuur r vOB OA AB a bD'C'CbA'B'a aB bb D CaO AA Buuur uuur uuur r rBA OA OB a buuur rR)OP a(运算律：⑴加法互换律： a b b a⑵加法联合律：( a b ) c a (b c)⑶数乘分派律：( a b)a b3．平行六面体：平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A B C D 的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体， 并记作：ABCD － A B C D .它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 .三、解说典范：例 1.已知平行六面体 ABCD － A B C D 化简以下向量表达式，标出化简结果的向量.uuur uuur uuur uuur uuur ⑴ AB BC ；⑵ AB AD AA ；uuur uuur1 uuuur1 uuur uuur uuurD'C'⑶AB ADCC；⑷3( AB ADAA).2A'B'M解：如图：uuur uuur uuur ⑴ ABBC AC ；uuur uuur uuur uuur uuur uuuur ⑵ ABADAA =AC AA AC ；GDCABuuur uuur1 uuuuruuur uuuur uuuur⑶设 M 是线段 CC 的中点，则 ABADCCACCMAM ；2⑷设 G 是线段 AC 的三等份点，则1 uuur uuur uuur1 uuuuruuur3 (ABADAA )ACAG .3uuur uuuur uuuur uuur向量 AC, AC , AM , AG 以下图 :例 2 已知空间四边形ABCD ，连接 AC, BD ，设 M ,G 分别是 BC ,CD 的中点，化简以下各表uuur uuur uuur达式，并标出化简结果向量：（1） ABBCCD ；uuur 1 uuur uuur uuur 1 uuur uuur（2） AB ( BD BC) ；（ 3） AG (AB AC)．A2 2解：如图， uuur uuur uuur uuur uuuruuur（1） AB BC CD AC CD AD ；uuur uuur uuur uuur uuur uuurB（2） AB 1 (BD BC ) AB 1 BC 1 BDDuuur 2uuuur uuuur uuur 2 2MGAB BM MG AG ；uuur 1 uuuruuur uuur uuuur uuuur C（3） AG ( ABAC) AG AM MG ．2四、讲堂练习 ：1．如图，在空间四边形ABCD 中， E, F 分别是 AD 与 BC 的中点，uuur1 uuur uuur求证： EF(AB DC)．21 uuur1 uuuruuur uuur uuur uuuruuur证明： EF ED DC CF2 ADDC2CBA1 uuur uuur uuur1 uuur2( ABBD )DCCB2EBDFC1uuur uuur1uuur uuur2AB DC2(CB BD )1 uuur uuur1uuur2AB DC2CD1uuur uuur2( AB DC )r r r r r r r r r r r r r rr2．已知2x3y3a b4c ，3x y8a5b c ，把向量 x, y 用向量 a,b , c 表示.r r r r r r r r r r解 : ∵2x 3y3a b4c， 3x y8a5b cr r r r r r r r∴ x3a2b c ， y a b2c uuur r uuur r uuur r3 ．如图，在平行六面体ABCD ABCD 中，设AB a ， AD b, AA c ， E, F 分别是AD , BD 中点，uuuur uuur D' r r r；C'（ 1）用向量a, b,c表示D B, EFuuur uuur uuur uuuur uuuur （ 2 ）化简：AB BB BC C D2DE；uuuur uuuur uuuur uuur r r r 解 : （ 1）D B D A A B B Bb a cuuur uuur uuur uuur1 uuur r1 uuurEF EA AB BF D A a BDr 2r21r r 1 r1r r ( b c) a( a b )(a c ) 222A'B'EDCFA B五、小结：空间向量的有关的观点及空间向量的表示方法；平行六面体的观点；向量加法、减法和数乘运算 .六、课后作业：如图设 A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重心.求证：uuur 1 uuur uuur uuurAG(AB AC AD) .3A七、板书设计（略）.八、课后记：BG DC3.1《空间向量及其运算》教案(新人教选修2-1)。