第二节初等函数

w z z e
n
n ln z n 2 k i
e
n
e
n ln z
m 3、当 (n 1)时，幂函数是一个n值函数。 n m
事实上，
e
2 k i
e
2 k i
只能取n个不同的值，即k=0,1,…,n-1
复变函数 4、当α是无理数或虚数时，幂函数是一多值函数； 例
2
1 i
z
同样k Z ,
z
e
z 2 k i
e . (4.7)
z
(8) 极限 lim e z 不存在.
z z x 0
lim e z lim e x
x
z z x 0
lim e z lim e x 0
x
复变函数
（3）指数函数的映射（几何）性质
复变函数
第二节
4.
初等函数
指数函数
5.
6. 7. 8.
辐角函数
对数函数 幂函数 三角函数
复变函数
6、对数函数 ⑴ 复对数的定义
定义 满足方程z ew ( z 0)的复数w确定的函数,
称为对数函数，记为w Lnz或Logz。
那么，复数z的对数具体是一个什么样的呢？
结论：
w Lnz ln | z | iArgz. (6.1)
讨论z在带形 B= z z C , 0 Im z 2 (4.8)
中变化时，w e 的映射性质。
z
1、把直线L： Im z y0映射为w平面上的射线 L1： arg w y0 .
2、把线段:Re z x0 , 0 Im z 2 映射为w平面
0 上的一个圆: w e x （除去点（ e x0，0）） .

1. 上移k 个单位，若k 为负数，则下 平 移；
移
用xh 代替x 是将图像右移h
个单位( h>0)，若h 为负数，则左
移．
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
例
1. 平
已知 f (x) x3，试画出 2 f (x)
移 和 f (x) 2 的图像，并写出该函数的
图像向左平移 5 个单位所得图像的函
函 函数，设第一种产品的销售利润为
数 U1=f(t)，第二种产品的销售利润为 的 U2=g(t)， 则两种产品的实际利润
和 用函数符号表示即有
差
函数的和
U(t)= U1 +U2 =f(t) +g(t)
第二节 初等函数及其图像
三、构建新函数
函数和的定义
2.
函
两个函数的和是一个函数，其在
数 每一点的函数值都是两个函数在自变 的 量的相同取值点的函数值的和．
例 求函数 y x 的反函数. x2
第二节 初等函数及其图像
一、反函数
想一想
1.一个函数与其反函数的定义域及值域有
什么关系？
2.
f
1(
x)与
1 之间有没有关系？ f( x)
3. f 1( f( x))与f( f 1( x))各等于多少？
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
形如 y = x (R)的函数称为幂函数.
y arccos x的图像
4. 反 三 角 函 数 想一想 反余弦函数有什么性质?
第二节 初等函数及其图像
二、基本初等函数及其图像
y arctan x的图像
4. 反 三 角 函 数 想一想 反正切函数有什么性质?

Exp(z)的图像 z=4*cplxgrid(30); cplxmap(z, exp(z)) .
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1
例1 设 z x iy, 求(1) e ; i2z (2)Arg (ez2 ); (3) Re(e z );
(1) e e e , 解
i2z
i2( xiy )
当 y 时, sin yi , cos yi . (注意：这是与实变函数完全不同的)
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其他复变数三角函数的定义
正切函数 tan z sin z , cos z
余切函数 cot z cos z , sin z
正割函数 secz 1 , 余割函数 csc z 1 .
1. 反三角函数的定义 设 z cos w, 那么称 w 为 z 的反余弦函数,
记作 w Arccos z. 由 z cos w eiw eiw , 得 e2iw 2zeiw 1 0,
2 方程的根为eiw z z2 1, 两端取对数得
Arccos z iLn(z z2 1).
2. 指数函数的性质
(1) 指数函数在复平面处处不为零.
(2) 加法定理
e z1 e z2 e z1z2
(3) ez 的周期是2ki,
即 e z2ki e z e2ki e z . (其中k为任何整数)
(4) e z在复平面内处处解析, (e z ) e z .
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例：
原因
(1) z2 z2
(2)Lnz2 Lnz2
(3)Lnz Lnz Lnz Lnz
(4)2Lnz 2Lnz
(3)(4) 错了

2、反双曲函数
反双曲 ya正 rsi弦 nx;h yasrinxh
lnx( x2 1).
yarsinx hFra bibliotekD:( , )
奇函数,
在( , )内单调. 增加
反双曲余y弦 arcoshx
yacrosxh lnx( x21).
D:[1, )
yarcoshx
y loga x (a1)
(1,0)
y log1 x
a
4、三角函数
正弦函数 ysin x
ysinx
余弦函数 ycoxs
ycoxs
正切函数 ytaxn
ytaxn
余切函数 ycoxt
ycoxt
正割函数 y secx 1
cos x
ysexc
余割函数 y cscx 1
D:( , ) 奇函数, 有界函数,
双曲函数常用公式
sx i y n ) sh x i c n y ( o c h x s o sh y i ; s n h cx o y ) s cx h o cy o ( s sh x s i sn h y i ;n h co 2x s s hi2 n x h 1 ; si2 n x 2 h six n co h x ;sh co 2 x s ch 2 o x s si 2 h x n . h
定义域的子区间内都是初等函数, 所以仍可通过初等函 数来研究分段函数.
复合函数的分解——函数复合的逆运算
将一个复合函数分解成若干简单函数(基本初等函数或 由基本初等函数与常数的四则运算所得到的函数)是由外 到里, 从左到右, 逐层分解, 使每个层次都是简单函数.
例2 将下列函数分解为简单函数并求其定义域：