新课标人教版数学B教案·必修第三章基本初等函数(Ⅰ)

《函数的应用》教学设计一、教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学1》（人教B版）第三章第四节第一课时《函数的应用》．函数的应用是在学生学习了函数，指数函数、对数函数和幂函数的概念与性质后进行的一次综合应用，它不仅能加深学生对所学函数知识的理解，同时能提高学生利用所学知识解决实际问题的能力．通过经历由实际问题建立函数模型，再利用模型分析、解决问题的过程，学生体验了数学在解决实际问题中的价值和作用，体验了数学与日常生活的联系，有助于增强学生的应用意识，激发他们学习数学的兴趣，发展他们的实践能力．二、教学目标设置根据教学内容，以及学生现有的认知水平和数学能力，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面：1．了解数学建模的基本步骤，会建立函数模型解决实际问题；2．经历建立函数模型解决实际问题的过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，提高综合运用数学知识和方法解决实际问题的能力；3．加深学生对数学应用问题的理解，培养学生的科学态度和反思意识，提高学习数学的兴趣．本节课的教学重点是建立函数模型解决实际问题；本节课的教学难点是选择适当的方案和函数模型解决问题．三、学生学情分析学生已经研究了一次函数、二次函数、指数函数等基本初等函数的图象和性质，能利用函数知识解决简单的数学应用问题．他们初步掌握了图形计算器的使用方法，能根据给定数据进行指定函数模型的拟合．授课班级的学生思维活跃，能积极参与课堂讨论．学生已经对北京的交通情况作了初步的调查和数据整理，对问题背景有一定的了解．但学生应用数学的意识不强，数据处理能力不足，也缺乏利用数学模型对实际问题进行分析和评价的经验．四、教学策略分析本节课以探究学习作为主要的学习方式，通过情境引入、初步探究、综合应用、总结提升四个环节，逐步将研究引向深入．引导学生通过自主探究、合作交流，经历数学建模的过程，培养应用数学的能力．为了突破难点，落实重点，我采取了以下措施：首先，学生使用图形计算器辅助学习，避免繁琐的计算，为从多角度，多层次研究问题提供了支持．其次，以北京的热点问题——交通问题作为研究背景，激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性．第三，将资料的采集和整理工作交给学生课前完成，让学生提前熟悉问题背景，降低探究难度，提高课堂效率．本节课的效果评价以当堂反馈为主，教师通过巡视、提问的方式关注学生的学习过程和学习进展．学生通过自主探索，交流讨论，上台展示等方式，展示学习的效果，发现认知障碍，以便得到及时的引导、分析和纠正．教师还将通过开放式作业进一步评估学生的学习效果．五、教学过程（一）创设情境，引入新课（1）教师对学生之前的调查作简单小结，引导学生回顾他们所提出的问题，引出本节课的课题——函数的应用．设计意图：让学生体会到数学来源于生活，激发学生的学习兴趣，并做好利用所学知识解决实际问题的准备，为后续探究做好铺垫．（2）ppt展示学生作业，师生共同梳理解题过程，并进行题后反思．设计意图：1. 复习利用确定函数模型解决应用问题的基本方法和步骤．2. 引发认知冲突，引导学生对问题进行反思，意识到实际问题往往数据多且没有确定的函数模型，从而引出后续的探究活动．（二）初步探究，归纳步骤展示阅读材料，探究问题一阅读材料——北京机动车保有量作为一个人口约为2000万的特大城市，北京市的交通拥堵问题一直比较严重．为了缓解拥堵，2011年，小客车（含私人小客车和非私人小客车）限购政策正式实施．从2011到2015年，小客车限购指标分别为24．．万．、24．．万．、24．．万．、12．．万．、12．．万．，在未来几年中，小客车限购指标将减少至每年1．0．万．．通过调控，北京市机动车（包含小客车和非小客车（如货车、摩托车等））增长趋势得到了一定的控制（见下图），截至2015年年底，北京市机动车保有量为562万．市交通委此前发布规划：力争到2020年将工作日高峰时段交通指数保持在6.0及以下，全市机动车保有量控制在630万辆以内．问题1 请你估计一下若不实行限购，2015年底北京市机动车保有量约为多少？学生分析、处理数据，利用图形计算器进行探究．之后学生上台展示探究过程，师生共同对探究过程和结果作简单评价并总结解决问题的基本步骤．设计意图：1．经历利用函数拟合解决实际问题的过程，了解解决实际问题的基本步骤，提高提取数据，分析数据的能力．2．通过选择不同的函数模型解决问题并对结果的合理性进行评价，学生感受到应用问题的现实意义．（三）综合应用，小结反思根据问题1总结的步骤，学生进一步探究问题2．问题2 请你预测一下按照现行的小客车限购政策，2020年北京市机动车的保有量控制目标能否达到？学生交流探究结果并对不同的问题处理方案进行简单评价．方案预设数据处理：（1）对总体数据（机动车保有量）进行拟合；（2）对调控部分（小客车）和非调控部分分别拟合．拟合函数：（1）y ax b =+；（2）2y ax bx c =++；（3）x y a b =⋅；（4）b y a x =⋅；（5）分段函数．设计意图：1．通过对问题的进一步探究，掌握解决实际问题的基本步骤．2．在对不同方案进行比较、评价的过程中，意识到解决实际问题应注意根据问题背景选择较合理的方案．题后反思： 1．请你对之前总结的流程图作适当修改，总结出利用函数知识解决实际问题的步骤．2．请你评价一下这个应用问题．设计意图：1．反思问题探究过程，归纳解决问题的一般方法，提高数学实践能力．2．体会到函数应用的现实意义，尝试从背景的现实性、方法的合理性、结果的有效性方面对应用问题进行反思．教师说明，现实问题往往受到很多因素的影响，并通过视频，让学生进一步了解问题背景．（四）课堂总结，提升认识师生共同回顾本节课的学习过程，归纳数学建模的过程与方法，了解了数学建模的两种方式．1．建立函数解决实际问题的步骤；2．建立函数模型的两种途径：（1）匹配确定模型（2）函数拟合3. 数学应用问题的现实意义背景的现实性、方法的合理性、结果的有效性设计意图：回顾本节课内容，总结解决问题的一般方法，体会到数学来源于生活，应用于生活，加深了对数学应用问题的理解，培养反思的意识．作业：1. 阅读教材113—115页，了解数学建模的第三种途径——创造新的函数模型．2. 请你利用本节课所学的知识和方法，整理和补充相关信息，建立适当的模型解决你提出的问题，并写出一篇小论文．设计意图：作业1给学有余力的同学以拓展的空间，完善学生的知识结构．通过开放式作业2，学生评估自身的学习效果，同时通过解决自己提出的问题，再次经历学数学、用数学的过程，提高数学实践能力．《函数应用》点评本节课研究的是北京市汽车保有量的问题，这是一堂数学建模课。

3．1．1实数指数幂及其运算【学习要点】1根式、分数指数幂的概念.2分数指数的运算性质．【学习要求】1理解根式和分数指数幂的概念及它们的运算性质．了解实数指数幂的意义。

2 会进行简单的运算。

【复习引入】1 、相同因数相乘个n a aaa ⋅⋅⋅记作na ，读作 ，a 叫做幂的 ， n 叫做幂的 。

其中n 是正整数。

2、 正整数指数幂的性质：（1） （2） （3） （3）【概念探究】阅读教材85页到88页例1，完成下列各题。

1、 指数概念的扩充：n a 中的n 可以扩展为整数。

整数指数幂的性质为：（1） （2） （3） 。

2 、0a = ，n a -=3、零指数幂和负整数指数幂都要求 。

4、 如果存在实数x ，使得(,1,)nx a a R n n N +=∈>∈，则x 叫作 。

求a 的n 次方根，叫作把a 开n 次方，称作 。

5、规定正分数指数幂的定义是：（1） （2） 。

规定负分数指数幂的定义是： 。

规定0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂和0次幂 。

规定了分数指数幂以后，指数的概念也就从整数指数扩展到了 指数。

6 、有理指数幂的运算性质有：（1） （2） （3） 。

完成教材89页1题【例题解析】例题1计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数的形式（式子中的,0a b ≠）（1）322123(3)9a b a b a b------=（2）34320()()[]()()a b a b a b a b --+--+(0,0)a b a b +≠-≠例题2化简下列各式 （12（23）1020.5231(2)2(2)(0.01)54--+⨯-小结：化简，注意体会指数的运算性质。

例3： 化简：332ba abb a练习：（1【补充练习】1、 化简，注意体会指数的运算性质：（1）22252432()()()a b a b a b --÷ （2）340.10.01--3、 求值，注意体会分数指数幂与根式的转换：（1） 2 1.53(0.027)-； （2； （3完成教材89页2题3.1.2 指数函数【学习要点】1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系； 2. 理解指数函数的概念和意义；3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）. 【学习过程】一、新课导学探究任务一：指数函数模型思想及指数函数概念实例：细胞分裂时，第 1 次由1个分裂成 2 个，第 2 次由2个分裂成 4 个，第 3 次由4个分裂成 8 个，如此下去，如果第 x 次分裂得到 y 个细胞，那么细胞个数 y 与次数x 的关系式是什么？_________________________________.【讨论】：（1）这个关系式是否构成函数？ （2）是我们学过的哪个函数？如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字？ 新知：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做________函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .反思1：为什么规定10≠>a a 且呢？否则会出现什么情况呢？ 【讨论】：则若,0=a _______________________________________. 则若,0<a _______________________________________.则若,1=a _______________________________________.反思2：函数x y 32⨯=是指数函数吗？ 《学生活动》下列函数哪些是指数函数？（1）xy 3= （2）x y 12= （3）xy )2(-= (4)13+=xy （5）xy 23= （6）xy π= （7）24x y = (8))121()12(≠>-=a a a y x且____________________________探究任务二：指数函数的图象和性质引言：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？回顾：（1）研究方法：画出函数图象，结合图象研究函数性质．（2）研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值等等．《作图》：在同一坐标系中画出下列函数图象：x y 2= x y )1(=《练习》在上面的坐标系中继续作出xxy y )31(3==与的图像【讨论】新知：根据图象归纳指数函数的性质《巩固训练》1. 函数xa y =中，无论10,0<<>a a 还是,都经过______________. 2. 指数函数x a y =中，x a 和的取值范围分别是_________________________. 3. 若函数xa y )12(+=是减函数，则a 的取值范围是__________________.二、典型例题例1：求下列函数的定义域： （1）23-=x y （2）x y 1)21(=例2：已知指数函数xa x f =)(（1,0≠>a a 且）的图象经过点),3(π,求)3(),1(),0(-f f f 的值.例3：比较下列各题中两个值的大小: (1) 35.27.1 ,7.1 (2) 2.01.08.0 ,8.0-- (3) 1.33.09.0 ,7.1(4) 比较2131a a 与的大小，)1,0(≠>a a 且《练习》1. 求下列函数的定义域： （1）xy -=32 （2）123+=x y （3）xy 5)21(= （4）x y 17.0=2. 比较下列各题中两个数的大小： (1) 7.08.03,3(2) 1.01.075.0 ,75.0-(3) 5.37.201.1 ,01.1(4)已知的大小关系是则c b a c b a ,,,2.1,8.0,8.08.09.07.0===_____________________.3.2.1对数及其运算（1）【学习要点】1. 理解对数的概念；2. 能够说明对数与指数的关系；3. 掌握对数式与指数式的相互转化.【学习要点】理解对数概念，能够进行对数式与指数式的互化。

3.4 函数的应用（Ⅱ）整体设计教学分析教材利用3个实例介绍了指数函数、对数函数和幂函数在社会学、经济学和核物理学等领域中的广泛应用．由于本节与社会生活经验有联系，建议学生课前了解相关生活的知识．三维目标掌握指数函数、对数函数和幂函数在实际中的应用，提高学生分析问题和解决问题的能力，树立应用的意识．重点难点教学重点：建立函数模型．教学难点：建立函数模型．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(事例导入)一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n次的厚度：f(n)＝0.01·2n(cm)，n块砖的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105 m，g(20)＝2 m.也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解．思路2.(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象性质，本节我们通过实例比较它们的应用．推进新课新知探究提出问题①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.②正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数.③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力，湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数.④分别用表格、图象表示上述函数.⑤指出它们属于哪种函数模型.⑥讨论它们的单调性.⑦继续扩大x的取值范围，比较它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．①总价等于单价与数量的积．②面积等于边长的平方．③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、….④列表画出函数图象．⑤引导学生回忆学过的函数模型．⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性． ⑦让学生自己比较并体会．⑧另外还有与对数函数有关的函数模型． 讨论结果：①y＝x.②y＝x 2.③y＝(1＋5%)x，甲 乙 丙 ⑤它们分别属于：y ＝kx ＋b(直线型)，y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0，抛物线型)，y ＝ka x＋b(指数型)．⑥从表格和图象得出它们都为增函数．⑦在不同区间增长速度不同，随着x 的增大y ＝(1＋5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．⑧另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y ＝log a x ＋b ，我们把它叫做对数型函数． 函数模型是应用最广泛的数学模型之一．许多实际问题一旦认定是函数关系．就可以通过研究函数的性质把握问题，使问题得到解决．应用示例例11995年我国人口总数是12亿．如果人口的自然年增长率控制在1.25%，问哪一年我国人口总数将超过14亿？解：设x 年后人口总数为14亿．依题意，得12·(1＋0.012 5)x＝14，即(1＋0.012 5)x＝1412.两边取对数，得xlg1.012 5＝lg14－lg12，所以x ＝lg14－lg12lg1.012 5≈12.4.所以13年后，即2008年我国人口总数将超过14亿．x，写出本利和y随存期x变化的函数式．如果存入本金1 000元，每期利率2.25%，试计算5期后的本利和是多少(精确到0.01元)?解：已知本金为a元：1期后的本利和为y1＝a＋a×r＝a(1＋r)；2期后的本利和为y2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2；3期后的本利和为y3＝a(1＋r)3；……x期后的本利和为y＝a(1＋r)x.将a＝1 000(元)，r＝2.25%，x＝5代入上式得y＝1 000×(1＋2.25%)5＝1 000×1.022 55.由计算器算得y＝1 117.68(元)．所以复利函数式为y＝a(1＋r)x,5期后的本利和为1 117.68元.例3一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减：(1)求t年后，这种放射性元素质量ω的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期．(精确到0.1)．解：(1)最初的质量为500 g，经过1年，ω＝500(1－10%)＝500×0.91，经过2年，ω＝500×0.92，…由此推知，t年后，ω＝500×0.9t.(2)解方程500×0.9t＝250.0．9t＝0.5，lg0.9t＝lg0.5，tlg0.9＝lg0.5，t ＝lg0.5lg0.9≈6.6.知能训练(1)根据上表提供的数据，能否建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系？试写出这个函数模型的解析式．(2)若体重超过相同身高男性体重的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175 cm ，体重为78 kg 的在校男生的体重是否正常？活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：根据表中的数据画出散点图．观察发现，这些点的连线是一条向上弯曲的曲线．根据这些点的分布情况，可以考虑用y ＝a·b x这一函数模型来近似刻画这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 的函数关系．解：(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图(下图甲)．根据点的分布特征，可以考虑用y ＝a·b x作为刻画这个地区未成年男性体重y kg 与身高x cm 关系的函数模型．如果取其中的两组数据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y ＝a·b x，得⎩⎪⎨⎪⎧7.9＝a·b 70，47.25＝a·b 160.用计算器算得a≈2，b≈1.02.这样，我们就得到一个函数模型：y ＝2×1.02x.将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图象(下图乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系．(2)将x ＝175代入y ＝2×1.02x ，得y ＝2×1.02175， 由计算器算得y≈63.98.由于78÷63.98≈1.22＞1.2，所以这个男生偏胖．甲 乙2．在自然界中，有些种群的世代是隔离，即每一代的生活周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡，第二年种子萌发产生下一代．假设一个理想种群，其每个个体产生2个后代，又假定种群开始时有10个个体，到第二代时，种群个体将上升为20个，以后每代增加1倍，依次为40,80,160，…，试写出计算过程，归纳种群增长模型，说明何种情况种群上升，种群稳定，种群灭亡．活动：学生仔细审题，理解题目的含义，教师指导，注意归纳总结．解：设N t表示t世代种群的大小，N t＋1表示t＋1世代种群的大小，则N0＝10；N1＝10×2＝20；N2＝20×2＝40；N3＝40×2＝80；N4＝80×2＝160；….由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示：N t＋1＝R0·N t，其中R0为世代净繁殖率．如果种群的R0速率年复一年地增长，则N1＝R0N0，N2＝R0N1＝R02N0，N3＝R0N2＝R30N0，…N t＝R t0N0.R0是种群离散增长模型的重要参数，如果R0＞1，种群上升；R0＝1，种群稳定；0＜R0＜1，种群下降；R0＝0，雌体没有繁殖，种群在一代中死亡．拓展提升某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象(如下图所示)．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m2；③野生水葫芦从4 m2蔓延到12 m2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2 m2、3 m2、6 m2所需的时间分别为t1、t2、t3，则有t1＋t2＝t3；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．哪些说法是正确的？解：①说法正确．∵关系为指数函数，∴可设y＝a x(a＞0且a≠1)．∴由图知2＝a1.∴a＝2，即底数为2.②∵25＝32＞30，∴说法正确．③∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确．④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴说法正确．⑤∵指数函数增加速度越来越快，∴说法不正确．课堂小结活动：学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结．小结：(1)建立函数模型；(2)利用函数图象性质分析问题、解决问题．作业课本习题3—4 A 2、3、4.设计感想本节设计由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣．课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，是课本的补充和提高，其难度适中是各地高考模拟经常选用的素材．其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点，是一个不可多得的素材．备课资料[备选例题]例1某公司一年需要一种计算机元件8 000个，每天需同样多的元件用于组装整机．该元件每年分n 次进货，每次购买元件的数量均为x ，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，可以认为平均库存量为12x 件，每个元件的库存费是一年2元．请核算一下，每年进货几次花费最小？解：无论分几次进货，公司进货的总数是8 000个元件，元件费用是固定不变的，影响总费用变化的量只是库存费和购货手续费，若想减少库存费，就要增加进货次数，而进货次数的增加又使手续费的总量增加了，这就需要将二者对总费用的影响用数学关系表示清楚，进而求最小的花费．设购进8 000个元件的总费用为F ，一年总库存费为E ，手续费为H ，其他费用为C(C 为常数)，则E ＝2×12x ，H ＝500×8 000x ，x ＝8 000n (n≥1，n∈Z )，所以F ＝E ＋H ＋C ＝2×12x ＋500×8 000x ＋C＝8 000n ＋500n ＋C ＝500(16n＋n)＋C＝500(4n －n)2＋4 000＋C≥4 000＋C ，当且仅当4n＝n ，即n ＝4时，总费用最少，故以每年进货4次为宜．例2电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB 胶粘合扬声器中的磁钢与夹板．长期以来，由于对AB 胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响了产品质量．经过实验，已有一些恰当用胶量的具体数据(见下表)．现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系．解：我们取磁钢面积x 为横坐标、用胶量y 为纵坐标，建立直角坐标系．根据上表数据在直角坐标系中描点，得出下图．从图中我们清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近．画出这条直线，使图上的点比较均匀地分布在直线两侧．用函数y ＝ax ＋b 表示用胶量与磁钢面积的关系．取点(56.6,0.812)，(189.0,2.86)，将它们的坐标代入y ＝ax ＋b ，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧0.812＝56.6a ＋b ，2.86＝189.0a ＋b.解得a ＝0.015 47，b ＝－0.063 50.这条直线是y ＝0.015 47x －0.063 50.点评：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律．这种方法称为数据拟合．在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的．例3某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1 000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润．于是只需在区间[10,1 000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x的图象(如下图所示)．观察函数的图象，在区间[10,1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x的图象都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图象始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万． 对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x ＝20时，y ＝5，因此，当x ＞20时，y ＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10,1 000]上递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，所以该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x∈[10,1 000]时，是否有y x ＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f(x)＝log 7x ＋1－0.25x ，x∈[10,1 000]．利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象(如下图所示)，由函数图象可知它是递减的，因此f(x)＜f(10)≈－0.316 7＜0， 即log 7x ＋1＜0.25x.所以当x∈[10,1 000]时，log 7x ＋1x＜0.25. 说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不超过利润的25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司的要求．。

3.2.2对数函数通过本节学习应达到的目标:（1）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；（2）能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；（3）通过比较、对照的方法，结合图象类比指数函数，探索研究对数函数的性质，培养自身数形结合的思想方法，学会研究函数性质的方法.重点与难点：掌握对数函数的图象和性质；对数函数的定义，对数函数的图象和性质及应用.学习过程:一、创设情境，知识链接.复习1、指数函数的定义.函数______________叫做指数函数，其中x是自变量，定义域是R.复习2、指数函数的图象和性质.图象性质定义域_________________值域_________________过定点过定点_____，即x=________时，y=________.函数值的变化当x>0时，____________当x<0时，____________当x>0时，____________当x<0时，____________ 单调性是R上的 ____________ 是R上的____________ 复习3：指数式与对数式的互化：_____________________________________.二、学生互动，合作探究.（一）自主探究某种细胞分裂时，得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数______________表示.这种细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个……细胞?分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数.这个函数写成对数的形式是______________.(二) 基础学习交流：问题1：定义：函数 __________________________ 叫对数函数。

其中x是自变量，函数的定义域是___________________________。